Matematické důkazy
• axiómy (postuláty) - výchozí matematické výroky, které se prohlásí za pravdivé bez dokazování;
• Definice - stanoví nazev (oznaCení) zavadeneho pojmu a vymezuje podstatne (cha-rakteristicke) vlastnosti pojmu pomocí dríve definovaních nebo primitivních pojmu;
• Matematická veta (pouCka, teorem) - pravdiví matematickí vyrok; da se odvodit pomocí logiky na zaklade axiomu, definic a dríve dokazaních vet. Vetsina matema-tickích vet ma tvar obecného výroku V x; V(x), tzn. obecná vety, nebo existenčního výroku 3 x; V(x), tzv. existenCní vety.
Pro obecnou vetu ve tvaru implikace
V x G D; A(x) == B (x)
mame:
— A(x) - predpoklad věty; platnost je postacující podmínkou pro B(x);
— B(x) - zaver nebo tvrzení vety ; platnost je nutnou podmínkou pro A(x);
— obmena vety - logicky ekvivalentní s obecnou vetou; -B(x) == -A(x);
— obracení vety - nemusí bít veta (pravdiví mat. vírok); B(x) == A(x); jestlize je to pravdiví vírok, je to tzv. obrícena veta; pak A(x)     B (x);
— negace věty - 3x; (A(x) A -B(x))
Dukazem matematicke vety nazívame logicky proces, kterím overujeme její platnost na zaklade axiomu, definic a dríve dokazanych vet uzitím logických zakonu (vírokove a predikatove logiky).
K dukazu matematickych vet tvaru implikace A == B uzívame obvykle:
1. dukaz prímy - z platnosti predpokladu A radou platních implikací odvodíme platnost tvrzeníí B;
2. dukaz nepřímý spocíva v primem dukazu vety obmenene k dane vete, tj. vety
-B = -A;
3. dukaz sporem - modifikace neprímeho dukazu; predpoklídíme platnost A a -B; radou platnych implikací pak odvodíme spor s nekterím z predpokladu nebo s jiním vírokem. Znamena to tedy, ze musí platit B.
Matematicka veta ve tvaru ekvivalence A B se dokazuje vetsinou tak, ze dokazeme zvlíst' platnost implikace A == B a zvlast' implikace B = A.
Dukaz matematickou indukcí.
Pouze pro vety, ktere tvrdí, ze za urcitích predpokladu platí vírok V (n) pro vsechna prirození císla n > no, kde n0 je nejake pevne prirozene císlo (nejcasteji n0 = 0, resp. n0 = 1).
Dukaz matematickou indukcí probíha ve dvou krocích:
(a) dokízeme platnost víroku V(n0)
(b) predpokladame, ze vírok V(n) platí pro obecne n (indukcní predpoklad) a za
tohoto predpokladu dokazeme platnost vyroku V(n + 1).
Veta je pak dokazana.
1
1. K dané matematické větě formulujte větu obrácenou, obměněnou, obměněnou k obrácené větě, negaci daně věty. Dálě rozhodnětě, ktěrá z takto utvorených vět platí a ktěrá ně.
Je-li ciferný součet přirozeného čísla dělitelný třemi, pak je i toto číslo dělitelné třemi.
2. Dokazte neprímo větu: Jestliže je součet dvou celých čísel číslo liché, pak součin techto dvou čéísel je čéíslo sudée.
3. Dokazte neprímo větu: Pro kaZde přirozene číslo n platí: je-li n2 delitelne třemi, pak je třemi delitelne i číslo n.
4. Dokazte sporem:
(a) (Vx,y G R) (x,y> 0 == - + X > 2].
(b) (Vx,y G R) [x,y> 0 == (x + y) ^- + ^ > AJ.
5. Dokazte, ze pro kazdě prirozeně císlo n platí:
n2(n + 1)2
E'3
4
i=1
Domací ékol: Dokazte, ze pro kazdě prirozeně císlo n platí:
En     i(i + 5) n (n + 1)
i=i (i + 2)(i + 3) =   n + 3
6. Dokazte, ze pro kazdě prirozeně císlo n > 2 platí:
^ i2 > 12    n + 1
i=2
7. Dokazte, ze pro kazdě prirozeně císlo n > 6 platí 2n > (n + 1)2.
8. Necht r je reílně císlo takově, ze r + 1 je celě císlo. Dokazte, ze pak pro kazdě prirozeně císlo n je rn + rn rovněz celě císlo.
9. Dokazte, ze soucet vnitrních uhlu v (konvexním) n-íhelníku je roven n • (n — 2).
10. Pro kazdě a G Z, b G N existují jednoznacně urcena q,r G Z, 0 < r < b takova, ze platí a = bq + r. Dokazte.
2