Rozklady na třídy ekvivalence. • Relace R je relace ekvivalence na množině A. Pro a G A je Ra = {b G A; (a, b) G R} tzv. třída relace ekvivalence urCena prvkem a. • Množina A\R = {Ra; a G A} se nažývá faktorová množina relace ekvivalence R na množine A. • f : A — B je zobrazení, pak relace Jf = {(ai, a2); f (ai) = f (a2)} je relací ekvivalence na množine A a nažývá se jadro žobražení f. 1. Na množine Z je definována relace p. Dokažte, že p je ekvivalencí na Z a popište rožklad Z\p. Pritom pro x, y G Z je: (a) xpy <í=> 3 k G Z; y = x + 4k; (b) xpy ^ x2 = y2 (mod 7); (c) xpy ^ x2 + 2x = y2 + 2y; (d) xpy ^ 2|(x2 - y2). 2. Naležnete jadra nasledujících žobražení: (a) f : R — Z, f(x) = LxJ; (b) f : R — R, f (x) = |x|; (c) f : Z — Z, f (x) je žbytek po delení císla x císlem n; (d) f : Z — Z, f (x)= L n J. Popište prislušní rožklad. 3. Necht R, S jsou relace na množine A. Rožhodnete, žda platí: (a) R, S reflexivní => R o S reflexivní; (b) R, S symetrickí == R o S symetricka; (c) R, S tranžitivní = R o S tranžitivní; 4. Dokažte, že pro libovolne relace R, R1,R2 C A x B, S C B x C a T C C x D platí: (d) S o (Ri U R2) = (S o Ri) U (S o R2); (e) S o (Ri n R2) = (S o Ri) n (S o R2); (f) (Ri U R2)"i = R-i U R-i; (g) (Ri n R2)"i = R-i n r-1; (h) S o Ri - S o R2 C S o (Ri - R2). Dokažte, že v (e) a (h) obecne neplatí rovnost. Zformulujte a dokažte vžtahy (d) - (g) pro libovolní sjednocení resp. průniky. (a) (b) (c) (r-1)"1 = R; T o (S o R) = (T o S) o R; (S o R)-1 = R-1 o S-1; 1