Svazy
• Uspořádaná množina, jejíž libovolná podmnožina má supremum a infimum, se nazývá úplný svaz. Uplny svaž musí obsahovat nejmensí a nejvetsí prvek, protože musí obsahovat supremum a infimum sebe sama.
• Usporídana množina A se nažyva svaz, pokud libovolna její nepríždna koneční podmnožina ma supremum i infimum (což je totež jako požadavek, že libovolna dvouprvkoví podmnožina ma supremum a infimum).
1. Rožhodnete, ktere ž techto usporadaníčh množin jsou svažy.
• ť C- i
2. Rožhodnete, žda nasledující usporadane množiny (M, R) jsou svažy, resp. íplne svažy:
(a) M = P ({A}), A je libovolna množina, R je C;
(b) A nekoneční, M je množina vsech konečných podmnožin A, R je C;
(c) M = P ({A}) - {0}, A je libovolna množina, R je C;
(d) M = N, R je |.
3. Necht' A je svaž. Dokažte, že pro libovolne a, b, c G A platí:
(a) (a A b) V (6 A c) V (c A a) < (a V 6) A (6 V c) A (c V a);
(b) a < c == a V (b A c) < (a V b) A c.
Kombinatorika
Kombinatorickú pravidlo součinu: Pocet vsech ^po^daních k—tic, jejichž první clen lže vybrat n žpusoby, druhy n2 žpusoby (po vyberu prvního), ... až k—tí clen nk žpusoby, je roven soucinu n1 • n2 • ... • nk.
Kombinatorické pravidlo součtu: Jsou-li A1, A2,...An konecne množiny, ktere mají p1, p2,.. .pn prvku a jsou-li každe dve disjunktní, pak pocet prvku množiny sjednocene (Ai U A2 U A3 • • • U An) je roven pi + P2 + P3 +-----+ Pn.
4. Urcete pocet vsech priroženích dvojcifernych císel, v jejichž dekadickem žapisu se každa císlice vyskytuje nejvíse jednou.
5. Ve skole je 10 ružnych predmetu a každí se ucí nejvyse 1 hodinu denne. Kolikerym žpusobem je možno sestavit rožvrh hodin na jeden den, je-li tento den 5 ružních predmetu.
6. Kolik ružních čtyrčifernýčh císel lže napsat císlicemi 0, 1, 4, 7, 9, aniž by se císla opakovala? Kolik ž nich je sudych?
7. Urcete pocet vsech trojciferních priroženích císel, v jejichž dekadickem žapisu se každa císlice vyskytuje nejvíse jednou.
1
8. Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 vybrat dvě různobarevná polička tak, aby obě neležela v těZe radě ani v těmZe sloupci.
Variace bez opakování: k-clenná variace z n prvků je uspořádaná k-tice z techto prvků tak, ze se kazdy v ní vyskytuje nejváse jednou.
Pocet Vk (n) všech k-clennych variací z n prvků je
| kde n! je faktoriai. 0! = 1 je definovano._
9. Ve škole je 10 různých predmetů a kazdá se ůcí nejvýše 1 hodinů denne. Kolikerým způsobem je mozno sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li tento den 5 různách predmetů.
10. Kolik různách ctyrcifernách císel lze napsat císlicemi 0, 1, 4, 7, 9, aniz by se císla opakovala? Kolik z nich je sůdych?
11. K sestavení vlajky, ktera ma bát slozena ze trí různobarevnych vodorovnách průhů, jsoů k dispozici láatky barvy báíláe, cervenáe, modráe, zelenáe a zlůtáe.
(a) Urcete pocet vlajek, ktere lze z latek techto barev sestavit [60]
(b) Kolik z nich má modry průh? [36]
(c) Kolik jich má modrá průh ůprostred? [12]
(d) Kolik jich nemáa ůprostred cervenyá průh? [48]
12. Urcete pocet prvků, z nichz lze ůtvorit
(a) 240 dvoůclennách variací;
(b) dvakrat více ctyrclennách variací nez tríclennách variací.
13. V biochemicke laboratori se rozhodli prozkoůmat ácinost peti různách latek, ktere mely byt podavany pokůsnym mysám vzdy po dvoů. Kazdy pokůs byl proveden na jedne mysi. Kolik mysá bylo zapotrebá, pricemz chteli zjistit, jestli zalezá na poradá leků?
Variace s opakování: k-clenna variace s opakovánám z n prvků je uspořádaná k-tice z techto prvků tak, ze se kazdy v ná vyskytůje nejvýše k-krat.
Pocet Vk'(n) vsech k-clennách variacá z n prvků je  
14. Urcete pocet vsech trojcifernách cásel.
15. Kolik různách vrhů můze nastat soůcasne dvema různe barevnámi hracámi kostkami?
16. Pokladna má zamek s peti kotoůci na nichz jsoů cáslice 0,1,...9. Zamek se otevre jestlize se nastavá peticiferne cáslo, ktere je heslem. Pokladnák zapomene heslo a pamatůje si poůze cáslici na máste desátek. Jak dloůho by mů trvalo vyzkoůset vsechny moznosti, jestlize na nastavená jedne petice potrebůje 3,6 s.
Permutace bez opakování: Permůtace z n prvků je kazda n-clenna variace z techto prvků neboli ůsporadana n-tice sestavena z techto prvků tak, ze kazdá se v ná vyskytůje prave jednou.
Vk(n) = n(n - 1)(n - 2)... (n - k + 1)
n!
(n - k)!
Vk(n)= nk,
P (n) = Vra(n) = n(n - 1)(n - 2)... 2 • 1 = n!
2
17. Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0,1,3,4,7. Kolik z techto císel je
(a) delitelných šesti;
(b) vetsích než 70134?
18. Urcete soucet vsech ctýrciferných císel sestavených z císlic 1,3,5,7 bez opakování císlic.
Permutace s opakování: Permutace s opakovaním z n prvku je usporadana k-tice ustavena z techto prvku tak, ze kazdý se v ní výskýtuje alespoň jednou.
Pozn.: Oznacme ki, k2,... kp kolikrít se kazdí z daních prvku opakuje.
(ki + k2 + ••• + kp)!
P/(k1,k2,...kp) =
ki! • k2!kp!
n! / rŕ
k!(n - k)! = Vk,
P /(k; n - k) = kT7n^ = (f)
19. Kolik různých slov (majících i nemajících smysl) lze vytvořit z písmen slova
(a) PARDUBICE
(b) PRAHA
(c) PROKOP
(d) MISSISSIPPI
20. BRIDŽ: 52 karet se rozda mezi 4 hrace tak, Ze kaZdý mý 13 karet. Kolik různých rozdaní existuje?
21. Kolika způsoby je mozno rozdelit 9 pracovníků na 3 pracoviste, jestlize na první jsoů zapotrebí ŽctyŽri pracovnýci, na drůhýe tŽri a na tŽretý dva.
Kombinace bez opakování: k-clenní kombinace z n prvku je neuspořádaná k-tice sestavena z techto prvku tak, ze se kazdí výskýtuje nejvýše jednou.
Ck(n) = k!(nn! k)! = Q
k!(n - k)!
(^J ... kombinacní císlo
22. Pet pratel se loucí
(a) kolik stisku ruký si navzajem výmení;
(b) kolik stisku ruký si výmení, jestlize se loucí jen tri?
23. V lavici sedí pet chlapcu z nichz dva bratri chtejí sedet vedle sebe. Kolikrít muzeme chlapce presadit?
24. Je dano n (n > 2) bodu v rovine z nichz zídne 3 nelezí v prímce a zadne 4 na kruznici. Kolik kruznic je temito bodý urceno a kolik jich prochazí kazdím z bodu?
25. Na mistrovství sveta v ledním hokeji býlo výslano 22 hracu z toho 12 ítocníku, 8 obrancu a 2 brankari. Neprihlíizejme k tomu, ze napr. obrínce muze hrat na leve nebo prave strane obraný. Kolik ruzních sestav muze trener z techto hrícu sestavit?
26. V podniku pracuje 18 muzu a 16 zen. Kolika zpusobý lze výbrat 7 zamestnancu tak, abý to býli
(a) 4 muzi a 3 zený;
3
(b) 6 mužů a 1 žena.
27. V soůtežní porote je 10 žnalců. Pri hlasovaní hlasovalo 7 clenů pro navrh a 3 proti. Kolika způsoby to mohlo nastat?
Kombinace s opakování: k-Clena kombinace s opakovaním ž n prvků je neuspořádaná
k-tice sestavená ž techto prvků tak, že každý se v ní vyskytůje nejvýse k—krat.
(n + k — 1\ V     k J
C'k (n)= (n + k    l)= Ck(n + k — 1)
28. Existůjí 4 krevní skůpiny - A, B, AB, 0. Urcete pocet vsech možných roždelení 10 osob podle ůvedenyích krevních skůpin.
4