Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
2. PŘEDNÁŠKA
Blanka Šedivá
Katedra matematiky
Fakulta aplikovaných věd
Západočeská univerzita v Plzni
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Podmíněná pravděpodobnost
Nechť A, B ∈ A jsou jevy a nechť P(B) > 0.
Podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky jevu B definujeme vzta-
hem
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• je-li A ∩ B = ∅, pak P(A|B) = 0
• P(A|B) = P(B|A)
• P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad
Náhodný pokus je hod kostkou.
• jev A: na kostce padlo číslo „1 nebo „2
• jev B: na kostce padlo číslo sudé („2 ,„4 ,„6 )
• jev A ∩ B: na kostce padlo číslo „2
• P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A ∩ B) = 1/6
• P(A|B) = P (A∩B)
P (B)
= 1/6
1/2
= 1/3,
• P(B|A) = 1/2
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Závislost a nezávislost jevů
Jevy A, B ∈ A se nazývají nezávislé, jestliže platí
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Jevy, které nejsou nezávislé, jsou závislé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Následující tvrzení jsou ekvivalentní pro P(A) = 0 a P(B) = 0
A a B jsou nezávislé A a B jsou nezávislé
P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A)
A a B jsou nezávislé A a B jsou nezávislé
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Nezávislost vice jevů
Nechť {Ai, i ∈ I} je množina jevů. Jevy této množiny se nazývají nezávislé,
jestliže pro každé přirozené n a každou podmnožinu {i1, i2, . . . , in} ⊂
I platí
P(
n\
j=1
Aij ) = P(Ai1 ) P(Ai2 ) . . . P(Ain )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Rovnost musí platit pro všechny vybrané dvojice, trojice,. . . .
• Párová nezávislost nepostačuje k nezávislosti všech jevů.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad
Náhodný pokus je hod 2 mincemi.
• Ω = {ω1 = LL, ω2 = LR, ω3 = RL, ω4 = RR}, P(ωi) = 1/4
• A1 = {ω1, ω2}, P(A1) = 1/2
• A2 = {ω1, ω3}, P(A2) = 1/2
• A3 = {ω1, ω4}, P(A3) = 1/2
• jevy A1 a A2 jsou nezávislé, protože A1 ∩ A2 = {ω1} a
P(A1 ∩ A2) = 1/4 = 1/2 · 1/2
jevy A1 a A3 jsou nezávislé, protože A1 ∩ A3 = {ω1} a
P(A1 ∩ A3) = 1/4 = 1/2 · 1/2
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
.
jevy A2 a A3 jsou nezávislé, protože A2 ∩ A3 = {ω1} a
P(A2 ∩ A3) = 1/4 = 1/2 · 1/2
jevy A1,A2 a A3 jsou závislé, protože A1 ∩ A2 ∩ A3 = {ω1} a
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1/4 = 1/2 · 1/2 · 1/2
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad o zapomenutém deštníku
• Roztržitý profesor zapomíná v obchodě deštník s ppstí. 1
4
.
• Postupně navštívil tři obchody a cestou domů zjistí, že deštník nemá.
• Určete ppsti., že deštník zapomněl v jednotlivých obchodech.
• !!Deštník může být zapomenut v obchodě pouze tehdy, pokud jej
profesor do obchodu donese.
• Jevy Ai: deštník zapomněl v i-tém obchodě (jevy jsou disjunktní).
• Jev A = A1 ∪ A2 ∪ A3: děštník v některém z obchodů zapomněl.
• Jevy Ai|A: deštník zapomněl v i-tém obchodě za podmínky, že deštník
v některém obchodě zapomněl.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad o zapomenutém deštníku - řešení
• P(A1) = P(A1 ∩ A) = 1
4
• P(A2) = P(A2 ∩ A) = 3
4
· 1
4
• P(A3) = P(A3 ∩ A) = 3
4
· 3
4
· 1
4
• P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 37
64
• P(Ai|A) = P (Ai∩A)
P (A)
= P (Ai)
P (A)
• P(A1|A) = 16
37
P(A2|A) = 12
37
• P(A3|A) = 9
37
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Spolehlivost paralelně a sériově řazených nezávislých
prvků
• Nechť P1, P2, ..., Pn jsou prvky spojené sériově nebo paralelně.
• Nechť p1, p2, ...pn jsou pravděpodobnosti poruch těchto prvků.
• Předpokládáme, že poruchy jednotlivých prvků
jsou na sobě nezávislé.
• Pravděpodobnost poruchy celého systému značíme P.
• Spolehlivost celého systému značíme R a platí R = 1 − P.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Paralelně řazené prvky
p1
p2
pn
• P = p1 · p2 · · · · · pn =
nQ
i=1
pi
• R = 1 − p1 · p2 · · · · · pn = 1 −
nQ
i=1
pi
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Sériově řazené prvky
p1 p2 pn
• P = 1 − (1 − p1) · (1 − p2) · · · · · (1 − pn) = 1 −
nQ
i=1
(1 − pi)
• R = (1 − p1) · (1 − p2) · · · · · (1 − pn) =
nQ
i=1
(1 − pi)
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Věta o úplné pravděpodobnosti
• Nechť B1, B2, . . . tvoří úplný systém disjunktních jevů,
• nechť P(Bi) > 0 pro i = 1, 2, . . . a
• nechť jev A je libovolný jev příslušný témuž náhodnému pokusu.
Pak platí
P(A) =
X
i
P(A|Bi) P(Bi)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Důkaz:
Použiji definice podmíněné pravděpodobnosti P(A|B) = P (A∩B)
P (B)
a využiji
vlastnosti pravděpodobnosti pro sjednocení disjunktních jevů
P(
S
i Ai) =
P
i P(Ai).
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad
• Na třech výrobních linkách jsou vyráběny identické výrobky.
• První výrobní linka zajišťuje 60% produkce a ppst. vyrobení vadného
výrobku je 1%,
• druhá výrobní linka zajišťuje 30% produkce a ppst. vyrobení vadného
výrobku je 2% a
• třetí výrobní linka zajišťuje 10% produkce a ppst. vyrobení vadného
výrobku je 3%.
• Určete ppst., že náhodně vybraný výrobek bude vadný.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Řešení
Označme
• jev Bi výrobek je výrobek na i-té lince
• jev A výrobek je vadný
• P(B1) = 0.6, P(B2) = 0.3, P(B3) = 0.1
• P(A|B1) = 0.01
• P(A|B2) = 0.02
• P(A|B3) = 0.03
a podle věty o úplné ppsti platí
• P(A) = 0.6 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.1 · 0.03 = 0.015
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
O výstředním žalářníkovi
• V žaláři je vězeň odsouzený k smrti.
• Výstřední žalářník však dá vězni šanci. Přinese 12 černých a 12 bílých
kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny a sdělí mu, že zítra přijde kat
a náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku.
Bude-li bílá, dostane vězeň milost.
• Jak má vězeň rozdělit kuličky, aby maximalizoval ppst. udělení milosti.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Řešení
Označme
• jev Bj kat vybral j-tou urnu (j = 1, 2)
• n počet kuliček v první urně
• i počet bílých kuliček v první urně
• jev A kat vytáhl bílou kuličku, P(A(n,i)) ppst. vytažení bílé kuličky
Pak platí
• P(B1) = 1/2, P(B2) = 1/2
• P(A|B1) = i
n
, P(A|B2) = 12−i
24−n
a podle věty o úplné ppsti platí
• P(A(n,i)) = 1
2
( i
n
+ 12−i
24−n
)
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Hledám maximum funkce P(A(n,i)) pro všechna n a i.
• P(A(n,i)) < P(A(n,n)) pro n = 1, 2, . . . , 11, i = 0, 1, . . . , n − 1
• P(A(n,n)) < P(A(1,1)) pro n = 2, 3, . . . , 12
• maximální ppst vězeň dosáhne pro A(1,1)
• P(A(1,1)) = 17
23
= 73, 91%
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Bayesova věta o inverzní pravděpodobnosti
• Nechť B1, B2, . . . , Bn tvoří úplný systém disjunktních jevů,
• nechť P(Bi) > 0 pro i = 1, 2, . . . , n a
• nechť jev A je libovolný jev příslušný témuž náhodnému pokusu takový,
že P(A) > 0.
Pak platí pro všechna k = 1, 2, . . . , n
P(Bk|A) =
P(A|Bk) P(Bk)
nP
i=1
P(A|Bi) P(Bi)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Důkaz:
Použiji definici podmíněné pravděpodobnosti a výsledky věty o úplné prav-
děpodobnosti.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad
• Na třech výrobních linkách jsou vyráběny identické výrobky.
• První výrobní linka zajišťuje 60% produkce a ppst. vyrobení vadného
výrobku je 1%, druhá výrobní linka zajišťuje 30% produkce a ppst.
vyrobení vadného výrobku je 2% a třetí výrobní linka zajišťuje 10%
produkce a ppst. vyrobení vadného výrobku je 3%.
• Nechť výrobek je vadný.
• Určete ppst., že náhodně vybraný vadný výrobek pochází z 1., 2.
resp.3. linky.
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Řešení
• jev Bi výrobek je výrobek na i-té lince
• jev A výrobek je vadný
• P(A) = 0.6 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.1 · 0.03 = 0.015
podle inverzní věty platí
• P(B1|A) = P (A|B1) P (B1)
P (A)
= 0.6·0.01
0.015
= 0.4
• P(B2|A) = 0.3·0.02
0.015
= 0.4
• P(B3|A) = 0.1·0.03
0.015
= 0.2
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Příklad z lékařské diagnostiky
• Označme jev CH, že náhodně vybraná osoba má sledovanou chorobu.
P(CH) = 0.5% (prevalence nebo incidence choroby).
• Předpokládejme, že určitý test na odhalení choroby má následující
výsledky.
– Má-li osoba sledovanou chorobu, poskytne test pozitivní výsledek
v 95% případů (senzitivita testu).
– Nemá-li osoba sledovanou chorobu, poskytne test negativní výsledek
v 90% případů (specificita testu).
• Jestliže u náhodně vybrané osoby byl výsledek testu pozitivní, jaká je
ppst., že skutečně má sledovanou chorobu ?
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Řešení
Označme
• jev +: výsledek testu byl pozitivní, jev - : byl negativní
Známe ppsti
• P(+|CH) = 0.95 :
osoba, která má danou chorobu, má pozitivní výsledek testu
• P(−|CH) = 0.05 :
osoba, která má danou chorobu, má negativní výsledek testu
• P(+|CH) = 0.10 :
osoba, která nemá danou chorobu, má pozitivní výsledek testu
• P(−|CH) = 0.90 :
osoba, která nemá danou chorobu, má negativní výsledek testu
Pravděpodobnost a statistika PSE
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 •Full Screen •Quit
Podle věty o úplné ppsti platí
P(+) = 0.95 · 0.005 + 0.10 · 0.995 = 0.10425
a podle Bayesovy věty platí
P(CH|+) = P (+|CH) P (CH)
P (+)
= 0.95·0.005
0.10425
.
= 4.56%
a dále platí
P(CH|−) = P (−|CH) P (CH)
P (−)
= 0.05·0.005
1−0.10425
.
= 0.03%
P(CH|+) = P (+|CH) P (CH)
P (+)
= 0.10·0.995
0.10425
.
= 95.44%
P(CH|−) = P (−|CH) P (CH)
P (−)
= 0.90·0.995
1−0.10425
.
= 99.97