Geometrie 2. — příklady
(kolmost, vzdálenost, odchylka)
Příklady z učebnice: 118-126, 130-136, 152-163, příklady typu "udejte příklad" Další příklady:
1. Uřčete parametrické vyjadrení příčky mimobeZek p, q, kteří je řovnobeZna š rovinami a, P.
p = X = [-5, 2, 2]+ t (2, 0,1) q = z - 2 = 0 A 5x - 8y + 9z + 100 = 0 a = X = [3, 0, 0] + r (3, 2, 0) + s (1, 0, 2) P = x - 4y - 3z + 12 = 0
2. Je dán kvadř ABCDA'B'C'D' o řozmeřech |AB| = 4, |BC| = 3, |AA'| = 6. Metodou analyticke geometřie uřčete vzdalenošt bodu A' od řoviny AB'D' a odchylku přímky BC od řoviny AB'D'.
3. Je dína řovina p a body A, B, P. Uřcete mnoZinu všech bodu X, přo kteře platí: |AX| = |BX| A VR G p : (X; R, P) = 2.
4. V řovine a = 71x - 18y + 5z = 252 jšou díny body A = [1, -2, ?] , B = [4, -1, ?] , C = [2, -5, ?]. Uřcete obšah třojíhelníka A'B'C', kteřy vznikne kolmím přumetem třojíhel-níka ABC do řoviny P = X = [0,1, 5] + r (0,3,1) + s (2, -3,0). (navíc: jsou trojúhelníky podobné (veta "uu"))
5. Pokud (A; B, C) = 3, cemu še řovna (C; A, B)?
6. V euklidovškem přoštořu E3 je dín bod M = [1,1, 3] a mimobeZky p a q, kde p = X = [3, -4, 2]+ t (-1,1, 0)
q = 4x + y - z - 3 = 0 A y + z - 5 = 0 Uřcete:
• obecnou řovnici řoviny p, přo niZ platí p||p, p||q, M G p
• pařametřickou řovnici ošy o mimobeZek p, q
• vZdílenošt přímek p, q
• odchylku přímky p od řoviny <r, jeZ je uřcena podmínkou M G a _L q
• bod X na přímce p mající štejnou vZdílenošt od bodu M a od přímky q
7. Vypoctete kařteZške šouřadnice vrcholu třojíhelníku ABC, Znate-li štřed K [1, 2] štřany BC a víte-li, Ze štřana AC leZí na přímce b :4x + y - 11 = 0aZe víška z vřcholu C leZí na přímce v : 3x - 2y - 11 = 0.
8. Je dína křychle ABCDEFGH š hřanou delky a. Oznacme K štřed hřany AE a L štřed hřany CG. Křychli vhodne umíštete do kařtezške šouřadnicove šouštavy přoštořu E3 a analyticky uřcete
• odchylku rovin BDK a LFH
• vzdálenost rovnoběžných rovin ACF a DEG
• odchylku prímky H B od roviny ACG
• vzdálenost prímek KG a FC
• obsah rovinněho rezu zadaně krychle rovinou BDK
K vyjadrení presných odpovedí uzijte odmocnin nebo cyklometrických funkcí, priblizne numericke hodnoty neuvadejte.
Udejte príklad:
1. Trí nenulových vektoru, aby jejich vektorový soucin byl nulovy vektor.
2. Trí vzájemne kolmých prímek.
3. Dvou kolmych podprostoru, ktere nejsou totalne kolme.
4. Dvou prímek, jejichz odchylka je 30°.
5. Trí nadrovin patrících do jednoho svazku prvního druhu.
6. Dvou kolmych nadrovin.
7. Rovnobeznostenu, jehoz objem ma velikost 3 (vA4).
2