Příklady na první cvičení v počítačové učebně, SM I
Věta o vlastnostech homogenního markovského řetězce: Nechť
 0n Nn;X 
je markovský
řetězec s vektorem počátečních pravděpodobností p(0) a maticí přechodu P. Pak pro
1m,Nm,n 0 
platí:
a) P(n,n+m) = P(m) = Pm.
b) p(n,n+m) = p(m) = p(0)Pm.
Příklad 1.: Je dán homogenní markovský řetězec
 0n Nn;X 
s množinou stavů J = {0,1,2},
vektorem počátečních pravděpodobností p(0) =






3
1
,
3
1
,
3
1
a maticí přechodu















0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
P
.
Určete vektor absolutních pravděpodobností po jednom až po čtyřech krocích.
Řešení:




























3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()1( Ppp



















































3
1
,
3
1
,
3
1
2
1
4
1
4
1
0
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()2(
2
2
Ppp



















































3
1
,
3
1
,
3
1
4
1
8
3
8
3
2
1
4
1
4
1
4
1
8
3
8
3
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()3(
3
3
Ppp



















































3
1
,
3
1
,
3
1
16
6
16
5
16
5
8
2
8
3
8
3
16
6
16
5
16
5
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()4( 4
Ppp
4
Návod na řešení v MATLABu:
P=[0.5 0.5 0;0 0 1;0.5 0.5 0];
p0=[1/3 1/3 1/3];
p1=p0*P
p2= p0*P^2
p3= p0*P^3
p4= p0*P^4
Nebo:
p2=p1*P
p3=p2*P
p4=p3*P
Příklad 2.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání do tří
tříd: vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo, že 80%
synů vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10% kvalifikovanými a 10%
nekvalifikovanými pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60% bude kvalifikovanými
pracovníky, 20% vědeckými a 20% nekvalifikovanými pracovníky. Konečně v případě
nekvalifikovaných pracovníků 50% synů bude nekvalifikovanými pracovníky, 25%
kvalifikovanými a 25% vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že každý muž má syna. Jaká je
pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?
Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec
 0n Nn;X 
s množinou stavů J = {0,1,2},
kde stav 0 znamená „vědecký pracovník“, stav 1 - „kvalifikovaný pracovník“, stav 2 „nekvalifikovaný
pracovník“. Náhodná veličina Xn nabývá hodnoty j, když muž v n-té generaci má
zaměstnání typu j. Nejprve sestavíme matici přechodu:











5,025,025,0
2,06,02,0
1,01,08,0
P
. Zajímá nás pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se
stane vědeckým pracovníkem. Hledáme tedy prvek p20(2) matice P2.
p20(2) = p20p00 + p21p10 + p22p020 = 0,25.0,8 + 0,25.0,2 + 0,5.0,25 = 0,375.
Návod na řešení v MATLABu:
P=[0.8 0.1 0.1;0.2 0.6 0.2; 0.25 0.25 0.5];
P^2
Dostaneme
0.6850 0.1650 0.1500
0.3300 0.4300 0.2400
0.3750 0.3000 0.3250
Hledaná pravděpodobnost je tedy 0,375.
Příklad 3.: V příkladu 2 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8.
Zaveďte nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy - první tři jsou stejné jako v předešlé
úloze a čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je pravděpodobnost, že
vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?
Řešení: Matice přechodu bude nyní řádu 4.















1000
2,04,02,02,0
2,016,048,016,0
2,008,008,064,0
P
.
Opět nás zajímá prvek p20(2) = 0,2.0,64 + 0,2.0,16 + 0,4.0,2 + 0,2.0 = 0,24
Příklad 4.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat
roky podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném
roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2.
Pravděpodobnost, že po průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je
postupně 0,2; 0,6; 0,2. Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný,
průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor
absolutních pravděpodobností pro rok 1967.
Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec
 0n Nn;X 
s množinou stavů J = {0,1,2},
kde stav 0 znamená úrodný rok, stav 1 průměrný rok a stav 2 neúrodný rok. Náhodná veličina Xn
nabývá hodnoty j, když n-tý rok odpovídá stavu j. Sestavíme matici přechodu











4,04,02,0
2,06,02,0
2,04,04,0
P
. Vektor počátečních pravděpodobností je p(0) = (1, 0, 0). Hledáme vektor
p(2) = p(0)P2 = (0,28, 0,48, 0,24).
Příklad 5.: V příkladu 4 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je ¼,
průměrný ½ a neúrodný ¼. Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?
Řešení: Vektor počátečních pravděpodobností nyní bude p(0) =






4
1
,
2
1
,
4
1
. Vypočteme vektor
absolutních pravděpodobností p(1) = p(0)P =






4
1
,
2
1
,
4
1
.
Příklad 6.: Homogenní markovský řetězec
 0n Nn;X 
má množinu stavů  3,2,1,0J  a matici
přechodu















512,0384,0096,0008,0
064,032,004,0
008,02,0
0001
P
.
Je-li vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0,0,0,1), najděte vektor absolutních
pravděpodobností po třech krocích.
Řešení: Vektor absolutních pravděpodobností po třech krocích:
p(3) = p(0)P3 = (0,1162 0,3658 0,3838 0,1342)