Příklady na třetí cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2010 Definice absorpčního stavu a absorpčního řetězce: Stav Jj∈ je absorpční stav, jestliže pjj = 1. Homogenní markovský řetězec s konečnou množinou stavů se nazývá absorpční, jestliže každý jeho trvalý stav je absorpční. Definice fundamentální matice absorpčního řetězce: Matice ( ) 1− −= QIM , kde I je jednotková matice řádu s a Q je matice řádu s obsahující pravděpodobnosti přechodu mezi neabsorpčními stavy, se nazývá fundamentální matice absorpčního řetězce. Věta o součtu prvků v řádcích fundamentální matice: Střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčních stavech, když vychází z neabsorpčního stavu i a skončí v absorpčním stavu, vypočítáme jako součet prvků v i-tém řádku fundamentální matice M. Maticový zápis: t = Me, kde e je sloupcový vektor typu s x 1 ze samých jedniček. Definice matice přechodu do absorpčních stavů: Matice B = MR, kde M je fundamentální matice a R je matice typu r x s obsahující pravděpodobnosti přechodu z neabsorpčních do absorpčních stavů, se nazývá matice přechodu do absorpčních stavů. Upozornění: Následující příklady lze řešit s využitím funkce absorb.m Příklad 1.: (Soustruh v kovoobráběčské firmě) Jistá malá kovoobráběčská firma vlastní soustruh. Soustruh se může nacházet v následujících stavech, které jsou sledovány s časovým krokem jeden týden: stav 1 – bude v provozu, stav 2 – bude v opravě, stav 3 – dá se k prodeji, stav 4 – dá se do šrotu. Situace je vyjádřena pomocí homogenního markovského řetězce { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů { }4,3,2,1J = , přičemž ,jXn = je–li soustruh v n-tém týdnu ve stavu j. Máme dánu matici přechodu:               = 1000 0100 05,005,02,07,0 005,01,085,0 P a) Nakreslete přechodový diagram. Řešení: b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu. Řešení: Trvalé stavy jsou 3 a 4, oba jsou absorpční, řetězec je tedy absorpční. Stavy 1 a 2 jsou neabsorpční. Kanonický tvar matice přechodu: 3 4 1 2               = 2,07,005,005,0 1,085,0005,0 0010 0001 2 1 4 3 P c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky. Řešení: 1 2 ( )       =−= − 314 216 2 1 QIM 1 . Interpretace prvků matice M: je-li v daném týdnu soustruh v provozu, pak můžeme očekávat, že než se prodá nebo dá do šrotu, bude v průměru 16 týdnů v provozu a 2 týdny v opravě. Jeli soustruh v daném týdnu v opravě, pak můžeme očekávat, že než se prodá nebo dá do šrotu, bude v průměru 14 týdnů v provozu a 3 týdny v opravě. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky. Řešení: 3 4       == 15,085,0 1,09,0 2 1 MRB Interpretace prvků matice B: je-li soustruh v daném týdnu v provozu, pak s pravděpodobností 0,9 půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,1 půjde do šrotu. Je-li soustruh v daném týdnu v opravě, pak s pravděpodobností 0,85 půjde do prodeje a s pravděpodobností 0,15 půjde do šrotu. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. Řešení:       =            == 17 18 2 1 1 1 314 216 2 1 Met Znamená to, že když je soustruh v daném týdnu v provozu resp. v opravě, tak bude v průměru trvat 18 resp. 17 týdnů, než půjde do prodeje nebo do šrotu. Příklad 2.: (Pracovníci ve firmě) Jistá firma provedla dlouhodobý prùzkum pohybu pracovníkù v jednom odboru společnosti. V průzkumu byly specifikovány 4 stavy, a to stav 1 - propuštění ze zaměstnání, stav 2 odchod z osobních důvodů, stav 3 - práce ve funkci referenta a stav 4 - práce v řídici funkci. Jednotkovým časovým obdobím bylo jedno čtvrtletí. Známe matici přechodu:               = 88,003,001,008,0 1,08,007,003,0 0010 0001 P Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1. Částečné výsledky:       = 52,943,1 76,471,5 M Interpretace 2. řádku matice M: pracovník, který nastoupil do vedoucí funkce společnosti, bude pro společnost pracovat asi 2 roky a 9 měsíců, z toho 2 roky a 4,5 měsíce v řídicí funkci a 4,5 měsíce jako referent.       = 2,08,0 45,055,0 B Interpretace 2. řádku matice B: pracovník, který pracuje ve vedoucí funkci společnosti, s pravděpodobností 0,8 bude propuštěn a s pravděpodobností 0,2 odejde sám. Příklad 3.: Myš je vložena do bludiště tvaru: V každém okamžiku si myš vybere náhodně jedny z dveří přihrádky, v níž se právě nachází a přejde do příslušné přihrádky. Předpokládáme, že v přihrádce 3 je potrava a myš tuto přihrádku neopustí, jakmile do ní jednou vstoupí. Pohyb myši v bludišti lze modelovat pomocí HMŘ { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů stavů J = {0,1, 2, 3}, přičemž Xn = j, když v okamžiku n je myš v j-té přihrádce. Matice přechodu: P =               1000 2/102/10 3/13/103/1 0010 Řešte tytéž úkoly jako v příkladu 1. Částečné výsledky:           = 33,1133,0 67,0267,0 67,0267,1 M Interpretace 1. řádku matice M: Myš, která vychází z přihrádky 0, stráví v průměru 1,67 kroku v přihrádce 0 resp. 2 kroky v přihrádce 1 resp. 0,67 kroku v přihrádce 2 než dospěje k potravě.           = 1 1 1 B Znamená to, že když myš vychází z kterékoli přihrádky, tak s pravděpodobností 1 dospěje k potravě. Příklad 4.: Jistá firma třídí svoje pohledávky po termínu splatnosti do třicetidenních intervalů. Pohledávky, které jsou nad 90 dnů po době splatnosti, jsou považovány za nedobytné. K popisu situace zavedeme homogenní markovský řetězec s množinou stavů J = {1, 2, 3, 4, 5}, kde stav 1 znamená pohledávky 0 – 30 dní po době splatnosti, stav 2 pohledávky 31 – 60 dní po době splatnosti, stav 3 pohledávky 61 – 90 dní po době splatnosti, stav 4 splacené pohledávky a stav 5 nedobytné pohledávky. Dlouhodobou analýzou doby splatnosti jednotlivých pohledávek bylo zjištěno, že pravděpodobnosti přechodu jsou: p12 = 0,77, p14 = 0,23, p23 = 0,34, p24 = 0,66, p34 = 0,73 a p35 = 0,27. a) Sestavte matici přechodu. b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu. c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. f) Předpokládejme, že objem pohledávek po termínu splatnosti v jednotlivých třicetidenních intervalech je (4 030 000 Kč, 9 097 000 Kč, 3 377 000 Kč). Jaká je průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek? Řešení: ad a)                 = 10000 01000 27,073,0000 066,034,000 023,0077,00 P ad b) Řetězec má tři přechodné stavy, a to 1, 2, 3 a dva trvalé stavy, a to 4 a 5. Oba jsou absorpční, tedy řetězec je absorpční.                 = 00027,073,0 34,000066,0 077,00023,0 00010 00001 P ,           = 27,073,0 066,0 023,0 R ,           = 000 34,000 077,00 Q . ad c) ( )           =−= − 100 34,010 26,077,01 QIM 1 Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 v něm v průměru stráví 1 x 30 = 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,77 x 30 = 23,1 dne ve stavu 2 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,26 x 30 = 7,8 dne ve stavu 3 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad d)           == 27,073,0 0918,09082,0 0707,09293,0 MRB . Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 bude s pravděpodobností 0,9293 splacena a s pravděpodobností 0,0707 se stane nedobytnou. ad e)           == 1 34,1 03,2 Met Interpretace: 2,03 x 30 = 60,9 – pohledávce zařazené do stavu 1 bude v průměru trvat 60,9 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1,34 x 30 = 40,2 – pohledávce zařazené do stavu 2 bude v průměru trvat 40,2 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1 x 30 = 30 – pohledávce zařazené do stavu 3 bude v průměru trvat 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad f) Průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek: ( ) ( )203181614472184 27,073,0 0918,09082,0 0707,09293,0 337700090970004030000 =           Průměrná hodnota splacených pohledávek je tedy 14 472 184 Kč a nedobytných pohledávek je 2 031 816 Kč.