Kapitola 7 Trojný integral
Podobně jako jsme v předcházející kapitole integrovali funkci dvou proměnných, budeme se nyní zabávat integralem funkce tří promenných - trojným integrálem.
Fýzikaine muzeme definovat trojná integrál takto: hmotnost telesa je rovna soucinu jeho hustoty a objemu. Máme-li teleso V C R3 a jeho hustota je v bode (x, y, z) rovna f (x, y, z), pak hmotnost tohoto telesa je dána trojným integralem
jjj f (x,y,z) dx dy dz
V
Geometricky muzeme definovat trojná integral funkce f (x,y, z) = 1 na mnozine (telese) V jako máru teto množiny (tj. objem telesa)
///dx dy dz = m(V).
V
K vápoctu slouzá opet Fubiniova veta, která prevadá trojná integrál na trojnásobný, a transformace integralu, nejcasteji do válcovách nebo sferických souradnic.
7.1   Fubiniova věta pro trojný integrál
Základní metodou pro výpočet trojného integrálu je Fubiniova věta, která je podobná jako pro dvojný integral.
Věta 7.1 (Fubini). Necht funkce f (x, y, z) je spojitá na kvádru (trojrozměrném intervalu) J = [a, b] x [c, d] x [e, g]. Pak trojný integrál je
jjj f (x,y,z)dx dy dz = j' jjí (^je f (x,y,z)dz^ d^ dx-j
Poznámka 7.2. a) Jednoduche integraly na prave strane jsou dobre definovane (tj. funkce jsou integrovatelne). Podrobneji, označíme-li Ji = [c, d] x [e, f], pak platí:
l
7.1 Fubiniova věta pro trojný integrál
Trojný integrál
1) Funkce h(x) = J J g (x, y, z) dydz je integrovatelná na intervalu [a, b] a
Ji
fjf s(x,„,z) dxdydz = ^ h(x) dx = /* ŕ//g(x.y.z) dydz I dx
J Ji
2) Podobne, funkce k(y, z) =    g(x, y, z) dx je integrovatelná na dvojrozmernem intervalu J1 a
j j j g (x, y, z) dxdydz = jj k(y,z)dydz = jj ^ y g(x, y,z dx)^ dydz.
J Ji Ji
b) Kdyz jsme počítali dvojná integrál pres obdelník u nezáleželo na poradí v jakem integrujeme, podobne ani u trojneho integrálu nezáleží pri integraci na poradí, pokud integrujeme pres kvadr.
Příklad 7.3. Vypočtete trojný integrál
lf(x +y)dx dy
V
kde množina V je krychle, pro kterou platí 0 < x < 1,1 < y < 2 a 0 < z < 1.
Rešeni. Použijeme vetu 7.1, pricemž meze trojnasobneho integralu jsou zrejme ze zadání.
j (x + y) dx dy dz = j |^ (^j (x + y) dz^ dy| dx = j i^j^ [xz + yz]0 dy^ dx =
V
i
xy + tt
dx
i
/(2x + 2-x-I)dx =
3 , i
=   i    i Ľ.r, -+- z — x--i f 1.7: =i    i X H--dx
2 1
x2    3 n1
--1—x
2 2
= 2.
o
'o   \ 2/ Jo
▲
Věta 7.4 (Fubini). Necht je dána množina v rovine
M = {[x, y] G R2: a < x < b, p(x) < y < ^(x)},
kde </?(x), ^(x) jsou spojité funkce na intervalu [a, b] a t/?(x) < ^(x), a množina v prostoru
V = {[x, y, z] G R3: [x, y] G M, $(x,y) < z < tf(x,y)}.
kde $(x,y), ^(x,y) jsou spojité funkce na množině M a $(x,y) < ^(x,y). Je-li funkce f (x, y, z) spojitá na množině V v prostoru, pak platí
r r r r b í  r i>(x) / r- *(x,y) \ \
f (x,y,z)dx dy dz =       { / f (x,y,z)dz    dy > dx.
'V J Ja    \J<p(x)    \J^(x,y) J J
2
Trojný integrál
7.1 Fubiniova věta pro trojný integrál
Jinými slovy, trojný integrál převedeme na trojnásobný integrál „od bodu k bodu", „od funkce k funkci" a „od plochy k plose". Postupne integrujeme podle z, pak podle y a nakonec podle x.
Příklad 7.5. Vypoctete trojný integrál
J J xz dx dy dz,
V
kde pro množinu V platí 0<x<2, 0<|/<iaO<z< yjx + y.
Rešeni. Mužeme rovnou použít Fubiniovu vetu 7.4 a daný integrál prepsat jako trojnasobný
V
V
xz dx dy dz
rl  r-x  r^x+y -y     r-l r-x -
/ / / xz dz dy dx = - j [xz2~\ x v dy dx Jo Jo Jo 2 J o J0
í í (x2 + xy) dy dx = - í x2y Jo Jo 2 J o L
'0 ^0
[ (x3 + —^ dx = - [ x3 dx Jo  V        2 ; 4i0
+
3
4
x T
dx = = 3.
Příklad 7.6. Vypoctete
zdxdydz,
V
kde množina V je ohranicena rovinami x + y + z =1, z = 0, y = 0a x = 0.
2
o
Řešeni. Pri výpoctu trojneho integralu, kdy dana množina není dana nerovnostmi, je vyhodne si nakreslit dva obrázky, jeden pro danou množinu V a jeden pro její projekci na nekterou ze souradných rovin (napr. rovinu xy). V tomto prípade mužeme videt, že spodní hranicí našeho
3
7.2 Válcové souřadnice
Trojný integrál
telesa je rovina z = 0 a horní hranicí je rovina x + y + z = 1, resp. z = 1 — x — y. Obě tyto roviny se protínají v prímce x + y = 1 (y =1 — x), ktere leží v rovine xy. Projekce do roviny xy je proto trojúhelník a mame tak popis dane množiny
V = {(x,y,z)|0 < x < 1, 0 < y < 1 — x, 0 < z < 1 — x — y} ,
což nam úmožní vypočítat daný integrál pomocí Fúbiniovy vety
•1 p 1-x p 1-x-y ľ 1 ľ 1-x r ~21
z dz dy dx =
Jo Jo
1
z dx dy dz
V
0 J0 J0
1 ľ i f 1-x
2
1
z dz dy dx = (1 — x — y)2 dy dx
z ~2
dy dx
00 i
(1 -x)3dx = \ 6 ./o 6
4
1
4
1 — x — y
ix
dx
1
24
7.2   Válcové souřadnice
Integrújeme-li pres valec V nebo jeho cást, pak místo kartežskych soúradnic x, y, z je vyhodne používat valcove soúradnice ^, ^ a z.
Necht' bod v prostora mí kartežske soúradnice [x,y,z]. Pak vílcove soúradnice jsoú: z (beže žmeny) a místo kartežskích soúradnic x, y jsoú poMrní soúradnice prúmetú tohoto bodú do roviny xy. Odtúd plynoú rovnice transformace pro prevod kartežskych soúradnic do víalcovíych:
x = Q COS í/?
y = q sin z = z.
Příklad 7.7. Zapiste v kartežskych a v polírních soúradnicích nasledújící množiny:
a) valec s osoú v ose z, polomerem r = 10 a vísce v = 100;
b) cast koúle se stredem v pocítkú, polomerem r = 2 ležící v prvním oktantú (tj. x > 0,
y > 0, z > 0,).
Řešeni. a) Prúmetem valce do roviny xy je krúh o polomerú 10. Vžhledem k tomú, že popis v teto rovine provadíme pomocí polarních soúradnic a víska valce je 100, músí vsechny body valce splňovat nerovnosti
0 < p < 2n,      0 < q < 10,      0 < z < 100.
4
Trojný integrál
7.3 Transformace trojnáho integrálu
b) Průmětem části koule do roviny xy je čtvrtkruh, který můžeme v polárních souřadnicích popsat nerovnostmi
0 < p <
7t
2;
0 < q < 2.
Rovnice koule o poloměru 2 a středu v počátku je v kartézských souřadnicích x2 + y2 + z2 = 4. Rovnici v polárních souřadnicích dostaneme tak, Ze za x a ý dosadíme transformacní rovnice, tj.
x = q cos p, y = q sin t/?,
máame tak
V/437-
Celkem tak dostáváme popis naší množiny ve tvaru
0 < p <
0 < Q<2,      0 < z < ^4 - Q2.
▲
Jakobian zobrazení F pro prevod kartezských souradnic do válcových je determinant
J
XQ       Vq ZQ
xip yp zip
xz    yz zz
cos p      sin p 0
— q sin p  q cos p 0 n
0 0 1
Vidíme, ze tento jakobián je stejná jako pro polarní souradnice.
z
2
7.3   Transformace trojného integrálu
Protože valcove souradnice jsou polární souradnice v rovine, postupujeme pri transformaci trojneho integrálu do valcových souradnic podobne jako pri transformaci dvojneho integrálu.
Véta 7.8. Necht funkce f (x,y, z) je spojitá na množině V C R3 a necht je tato množina určena ve valcových souřadnicích nerovnostmi
pi < p < f 2,    Qi(p) < q < Q2(p) p) < z < p)
kde funkce Qi, q2, $(q, p), ^(q, p) jsou spojité. Pak platí
// f (x, y,z)dx dydz = /    < /       I /        f (q cos p, q sin p, z) q dz J dQ > dp.
U J(pi    [Jgi((p)    \J$(e,(p) J J
Príklad 7.9. Výpoctete trojný integral
///(x2 +y2) dx dy dz'
V
kde pro mnozinu V platá x2 + y2 < 2z a z < 2.
5
7.3 Transformace trojného integrálu
Trojný integrál
	
	1 >■ 2 x
(a) Průmět do roviny xz (b) Průmět do roviny xy (c) Graf funkce z = x2 + y2
Obrázek 7.2: Množina V z příkladu 7.9
Rešeni. Množina V představuje část rotačního paraboloidu z
x2+y2
která je shora seříznut
rovinou z = 2, ktera je rovnobežna s rovinou Oxy. Integrál transformujeme do válcovích sou-radnic. Rez rovinou z = 2 získame dosazením do rovnice paraboloidu, máme tak 4 = x2 + y2. Vidíme, ze rezem je kruznice se stredem v pocatku a polomerem 2, do stejne kruznice v rovine xy se promáta i dane teleso. Pro mnozinu V tak dostáváme ve válcovách souradnicích popis
r 2
< z < 2,      0 < p < 2n,
0 < r < 2.
Pro daná integrál tak dostavame
f f f f2   p2iľ   i>2 i>2 í-2tt
/// (x2 + y2) dxdydz = / / / r3 dz dt/? dr = / / r3 [z v 0   0     2 0 0
0 dr
r-2   r-2n /
Jo Jo \
2nf(2
dt/? dr
dr = 2n
li (2r3
r6 12
16vr ~3~"
M 0n dr
Příklad 7.10. Vypoctete
J \Jx2 + y2 dxdy dz,
V
kde V je mnozina omezena nerovnostmi x2 + y2 < 1, z < 1 — y a z > 0.
2
2
2
Rešeni. Mnozina V je válec, která je seríznut rovinou rovnobeznou s osou x. Prevodem do valcových souradnic dostaneme 0 < r < 1,0 < t/? < 2n a dosazením transformacních rovnic
6
Trojný integrál
7.3 Transformace trojného integrálu
2
-41 z
(a) Průmět do roviny xz (b) Průmět do roviny xy
Obrázek 7.3: Popis množiny V z příkladu 7.10
do rovnice roviny 0 < z < 1 — sin </?. Máme tak
j / V'x2 + y2 dx dy dz = /    /   / r2 dz dr dip
'J Jo   Jo Jo
V
Příklad 7.11. Vypočtete
Jo   J 0
ľ 2n
00
r2 [z]1 sin v dr d/
sin t/) dr d/
00
»2n
1
30
/•2n
/ HO(1 — sin /)d/
0
0
(1 — sin </?)d</?
[t/ + cos t/]
2n
2n
7/
z dx dy dz,
V
kde pro množinu V platí x2 + y2 > z, x2 + y2 < 1, z > 0.
3
3
7
7.4 Aplikace trojného integrálu
Trojný integrál
Rešeni. Množina V je válec, ze kterého je „vyříznut" kousek rotačního paraboloidu. Opet pomocí transformace do valcovych souřadnic dostaneme t/ = [0, 2n], r = [0,1] (cele teleso je uvnitř daneho valce), ve smeru osy z je teleso omezene rovinou xy a danám paraboloidem, tedy z = [0, x2 + y2] neboli z = [0, r2] po dosazení válcovách souradnic. Dostáváme tak
Trojný integrál lze transformovat take do jinách souradnic. Dalsám typickým pnkladem transformace jsou sférické souřadnice q, t/ a 9 jsou definovány takto: Necht' bod v prostoru nm kartezske souradnice [x,y,z]. Pak souradnice q je vzdálenost bodu od pocátku (pruvodic), 9 je uhel, která svára pruvodic s kladnám smerem osy z, a t/ uhel, která svárá prumet pruvodice do roviny xy, tj. hodnota q sin 9, s kladnym smerem osy x.
Znamená to, ze v rovine xy máme másto kartezskych souradnic x, y polárná souradnice s pruvodicem q sin 9 a áhlem </?. Odtud plynou rovnice transformace pro prevod kartezskách souradnic do sferickych:
x = q sin 9 cos t/ y = q sin 9 sin t/ z = q cos 9.
Jakobian tohoto zobrazení je J = —q2 sin 9.
Příklad 7.12. Zapiste v kartezskách, válcovách a sferickych souradnicích kouli se stredem v pocátku a polomerem r = 4.
Poznámka 7.13. Podobne jako u dvojneho integrálu bychom mohli formulovat vetu o obecne transformaci trojneho integrálu, opet je nutne integrovanou funkci pri prechodu k nová souradnicám nasobit jakobianem teto transformace.
7.4   Aplikace trojneho integrálu
Příklad 7.14. Vypocátejte máru mnoziny V, ktera je ohranicená nerovnostmi
x2 + y2 + z2 — 2z < 0,      x2 + y2 — z2 < 0.
8
Trojnéý integréál
Cvičené
Řešeni. Pro urcení míry mnoziny V, potrebujeme spocítat JJJ dx dy dz. První nerovnost
V
muzeme upravit do tvaru
x2 + y2 + (z — 1)2 < 1,
jedná se proto o kouli se stredem v bode [0, 0,1] a polomerem 1. Druha nerovnost predstavuje cast kuzele s vrcholem v pocatku. Dosadáme-li do obou rovnic sfericke souradnice dostaneme
q2 sin2 9 + 2q2 cos2 9 — 2q cos 9 = 0       q = 2r cos 9
q2 sin2 9 — q2 cos2 9 = 0      cos 29 = 0 9 Dostavame tak integracná meze
7t
0 < t < 2 ,  0 < 9 <
7t
4;
0 < q < 2r cos 9
a vypocet daneho integralu je podle predchozá poznamky
J
dx dy dz
V
JTJ
Jo Jo Jo
2?r
2 cos e
q2 sin 9 dQ dt/ d9
r-
J
oo
«2tt
;Q3
2 cos e
sin 9 dt d9
8 n
3
ľS
oo
cos 9 sin 9 d9
o -w 1,^
cos3 9 sin 9 dt/ d9
16 f2*
—7t / cos3 9 sin 9 á9 3 Jo
t
V2
4 2
16 ! 3 J
t3 dt = 3.
V2 2
▲
4
1
CviCení
1. Vypoctete nasledujácá integrály
a) xy2z dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
V
b) JJJ(7x + 2z) dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < x < 1, x2 < y < x, 0 < z <
V
c) x2 dx dy dz, kde V je omezena rovinami x = 0, y = 0, z = 0 a x + y + z = 1.
V
d) xy2z dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi 0 < x < 1, 0 < y < x, 0 < z < xy.
V
e) JJJ'(x — y + 2z) dx dy dz, kde V je omezena nerovnostmi 1 < x < 2, x < y < 2x,
V
VxV+V y < z < 2x + 3y.
f) JJJ 2z dx dy dz, kde V je mnozina v prvnám oktantu (x, y, z > 0) omezena plochami
V
x2 + y2 — z2 + 1 = 0a x + y =1.
2. Vypoctete objem kuzele pomocá dvojneho a trojneho integralu.
9
Cvičení
Trojný integrál
3. Vypočtěte objem množiny V určené nerovnicemi
a) x2 + y2 < 1,0 < z < 3 - x2 - y2.
b) x2 + y2 + z2 < 9, x2 + y2 < 4.
4. Pomocí transformace do valcových souřadnic vypočtete následující integrály
a) III dx dy dz, kde pro množinu V platí x2 + y2 < 4, z > 0, z + y < 2.
V
b) IIf x2y dx dy dz, kde pro množinu V platí 1 < x2 + y2 < 4, y > 0, |z| < 2.
V
c) III yz dx dy dz, kde pro množinu V platí x2 + y2 < 4,0 < z < y.
v
d) Hl xz\Jx2 + y2 dx dy dz, kde pro množinu V platí 1 < x2 + y2 < 4, 0 < z < 3, x < 0,
V
y > 0.
Výsledky:
1   oU   M -59-   pU   f]\ ±   p^l 1035   r\ 2 ^ a) 2'    / 270'    / 60'    / 90'    /    8   '   > 3"
2. a) ^tt, b) |tt(9 - 5^5).
3. a)87r,b)^,c)ff,d)-^.
10