MATEMATICKÁ EKONÓMIA
Seminárna práca
DYNAMICKÉ SYSTÉMY
Vypracovali:
Bc. Vratislav Patrík
Bc. Juraj Horák
2
OBSAH
1 Základné pojmy..............................................................................................................3
1.1 Dynamické systémy v Rn
........................................................................................3
1.2 Dynamické systémy na varietách.............................................................................4
2 Základné nástroje............................................................................................................5
2.1 Existencia, jedinečnosť a spojitosť riešení...............................................................6
2.2 Existencia rovnováh................................................................................................7
2.3 Jedinečnosť rovnováh .............................................................................................8
2.4 Lokálna stabilita rovnováh ......................................................................................9
2.5 Globálna stabilita rovnováh...................................................................................10
2.6 Existencia cyklov..................................................................................................12
3 Niektoré špeciálne druhy dynamických systémov .........................................................13
3.1 Gradientové systémy.............................................................................................13
3.2 Hamiltonovské systémy ........................................................................................16
4 Niektoré novšie techniky ..............................................................................................16
4.1 Štrukturálna stabilita .............................................................................................17
4.2 Teória katastrofy...................................................................................................18
5 Použitá literatúra...........................................................................................................19
3
Dynamické systémy a ich aplikácia v ekonómii
Táto kapitola poskytuje prehľad o základných matematických výsledkoch, týkajúcich sa
dynamických systémov, ktoré sa ukázali ako užitočné v ekonómii. Zameriava sa hlavne na
opísanie základných foriem hlavných matematických nástrojov, ktoré sú použiteľné
v ekonomických aplikáciách.
1 Základné pojmy
1.1 Dynamické systémy v Rn
Stav systému pozostáva z definovania všetkého, čo potrebujeme vedieť za účelom popísania
toho, ako sa systém bude meniť. Vo väčšine ekonomických aplikácií stav systému môžeme
opísať nejakou n-ticou reálnych čísel. Stavový priestor nejakého systému pozostáva zo
všetkých uskutočniteľných, alebo relevantných stavov. V takmer všetkých ekonomických
aplikáciách, za stavový priestor možno považovať nejakú podmnožinu Rn
. V mnohých týchto
aplikáciách môžeme stavový priestor považovať za topologicky ekvivalentný k jednotkovému
disku,
Dn
= { x  Rn
: x  1}.
Príklad 1
Uvažujme štandardný model všeobecnej rovnováhy, kde k-rozmerný vektor previsu dopytu,
z(p), je homogénna funkcia k nezáporných cien. Potom môžeme považovať za stavový
priestor množinu všetkých nezáporných cien, k
R . Vhodnejší stavový priestor môžeme dostať
tým, že si uvedomíme, že ceny môžu byť normalizované vzťahom  2
ip = 1. Teda stavový
priestor bude v prvom ortante jednotkovej sféry,
1

k
S = { x  Dk
: x = 1, x  0}.
1

k
S je topologicky ekvivalentné k jednotkovému disku dimenzie k – 1.
Nech X určuje stavový priestor nejakého systému. Potom stavová prechodová funkcia, T, je
funkcia z X × R do X. Reálna os interpretuje čas a T(x, t) udáva stav systému v čase t, za
predpokladu, že systém bol v stave x v čase 0. Vo väčšine aplikácií sa stavová prechodová
funkcia nezadáva explicitne, ale implicitne systémom diferenciálnych rovníc,
ix (t) = d ix (t) / d t = if ( 1x (t), . . . , xn(t)),
4
ix (0) = ix0 ,
vektorovo zapisujeme
x (t) = f (x(t)),
x (0) = 0x .
Nech x: R X je riešenie tohto systému diferenciálnych rovníc s podmienkou x (0) = 0x .
Potom x(t) určuje stavovú prechodovú funkciu nasledovne:
T( 0x , t)  x(t).
Niekedy chceme zdôrazniť závislosť stavu v čase t od počiatočného x. V tomto prípade
budeme definovať tok diferenciálnej rovnice
t = T(x, t).
Dynamický systém je stavový priestor so stavovou prechodovou funkciou.
Tieto pojmy sa dajú jednoducho predstaviť pomocou vektorového poľa. Tu uvažujeme
priradenie vektora f(x) každému bodu x v stavovom priestore. Krivky riešenia (trajektórie,
dráhy) systému diferenciálnych rovníc x = f(x) sú grafy funkcie t (x), kde t sa pohybuje na
celej množine R a x na množine S. Je ľahko vidieť, že ak x je bod na nejakej krivke riešenia
)(t , tak f(x) je vektor dotyčnice krivky v bode x. Pre ilustráciu viď Obrázok 1.1.
Obrázok 1.1: Vektorové pole a krivky riešenia.
1.2 Dynamické systémy na varietách
Pre niektoré aplikácie v ekonómii chceme stavový priestor, ktorý je všeobecnejší ako Rn
,
alebo Dn
. Budeme ho volať varieta. V tejto podkapitole načrtneme stručný úvod do teórie
dynamických systémov na varietách.
5
Najprv zadefinujeme uzavretý polpriestor Hm
= {( 1x , . . . , xm)  Rm
: xm  0}. Ďalej
difeomorfizmus: f: X  Y je difeomorfizmus, ak f je homeomorfizmus1
a f aj f-1
sú
diferencovateľné. Môžeme teda definovať varietu.
Definícia
Množina X  Rk
je hladká m-varieta, ak každé x  X má okolie U  X difeomorfické na
otvorenej podmnožine V  Hm
množiny Hm
.
Nech x je bod z m-variety X. Nech g je konkrétny difeomorfizmus medzi U  X a V  Hm
.
Potom g budeme označovať ako parametrizácia U  X.
Pokiaľ g je zobrazenie medzi Rk
a Rm
, jej derivácie môžeme reprezentovať ako maticu typu k
× m Df(x). Dotyčný priestor množiny X v bode x je obraz priestoru Rm
v rámci lineárnej mapy
Dg-1
(y), kde y = f(x).
Geometricky povedané, varieta je zovšeobecnenie myšlienky m-rozmerného povrchu
a dotyčný priestor je zovšeobecnenie myšlienky dotyčnej nadroviny.
Vektorové pole na variete X je mapa f: X  Rm
taká, že f(x) je dotyčný priestor množiny X
v bode x. Budeme uvažovať, že f definuje štandardný systém diferenciálnych rovníc na
podmnožine Rk
. Môžeme nájsť riešenie x: R  Rk
tohto systému diferenciálnych rovníc.
Pokiaľ dotyčný vektor k x(t) v bode x je vždy dotyčnica povrchu X, krivky riešenia systému
diferenciálnych rovníc musia ležať vo variete X. Teda vektorové pole f definuje dynamický
systém na X.
2 Základné nástroje
V systéme diferenciálnych rovníc a v stavovom priestore X vznikajú rôzne otázky. Napríklad:
 Existencia riešení. Keď máme x = f (x), x (0) = 0x , existuje vždy riešenie x(t)? Aké
má vlastnosti x(t)?
 Existencia rovnováh. Existujú body x*
 X také, že f(x*
) = 0?
 Počet rovnováh. Koľko rôznych rovnováh existuje?
 Lokálna stabilita rovnováh. Keď sa mierne odchýlime z rovnováhy, vráti sa systém
späť?
1
Homeomorfizmus alebo topologický izomorfizmus je v topológii spojité bijektívne zobrazenie medzi
dvoma topologickými priestormi, ktoré má spojité inverzné zobrazenie.
6
 Globálna stabilita rovnováhy. Ak začneme na ľubovoľnom bode x, dostaneme sa
k rovnováhe?
 Existencia cyklov. Ak začneme v bode x, môžeme sa dostať naspäť do bodu x?
V nasledujúcich kapitolách budeme popisovať niektoré matematické nástroje, ktoré
použijeme na zodpovedanie vyššie uvedených otázok a načrtneme niektoré príklady, ako sa
tieto problémy vyskytujú v aplikáciách v ekonómii.
2.1 Existencia, jedinečnosť a spojitosť riešení
Nech f: X  Rn
a nech x = f (x) definuje systém diferenciálnych rovníc s počiatočnou
podmienkou x (0) = 0x . Riešenie tohto systému je diferencovateľná funkcia x: I  X, kde I je
interval z X taký, že dx(t) / dt = f(x(t)) a x (0) = 0x .
Základný výsledok existencie jedinečných riešení je:
Veta
Nech X je otvorená podmnožina množiny Rn
a nech 0x  X. Nech f: X  Rn
je spojitá
diferencovateľná funkcia. Potom existuje a > 0 a jedinečné riešenie x: (-a,a)  X
diferenciálnej rovnice x = f (x), ktoré spĺňa počiatočnú podmienku x (0) = 0x .
Dôkaz
Viď Hirsch and Smale (1974, str. 163)
Ak sa zaujímame o existenciu riešenia, stačí nám predpokladať, že f je spojitá funkcia. Avšak
jedinečnosť riešenia hovorí, že krivky riešenia sa nemôžu pretínať.
Často chceme vedieť ako sa krivky riešenia budú správať, ak budeme meniť počiatočnú
podmienku. Ukáže sa, že sa menia spojito, teda, že ak 0x a 0y sú dostatočne blízko, tak aj
t ( 0x ) a t ( 0y ) sú blízko.
Veta
Nech f je taká, ako je vyššie spomenuté a nech y: [t0;t1]  X je riešenie, ktoré obsahuje y(t0)
= y0. Potom existuje okolie U bodu y0 také, že pre všetky x0 z U je riešenie x: [t0;t1]  X
obsahujúce x(t0) = x0 a konštanta K taká, že
7
))((exp)()( 000 ttKxyKtxty  , pre všetky t z intervalu [t0;t1].
Dôkaz
Viď Hirsch and Smale (1974, str. 173).
Táto veta hovorí, že tok diferenciálnej rovnice XXt : je spojitý ako funkcia premennej
x.
2.2 Existencia rovnováh
Rovnováha dynamického systému x = f (x) je bod x*
 X taký, že f(x*
) = 0. Ak je dynamický
systém v stave rovnováhy, zostáva v ňom navždy. Otázka znie: Kedy sú dynamické systémy v
stave rovnováhy?
Veta
Nech f: Dn
 Rn
je spojité vektorové pole na jednotkovom disku, ktorý sa zobrazí na hranicu
Dn
, teda, že x f(x) < 0 pre každé x také, že x = 1. Potom existuje x*
 Dn
také, že f(x*
) = 0.
Dôkaz
Viď Spanier (1966, str. 197)
Príklad 2
Uvažujme Walrasov model z Príkladu 1, kde z(p) je funkcia na 1

k
S . Budeme predpokladať
nasledovné:
 Spojitosť: z: 1

k
S  Rk
je spojitá.
 Walrasovo pravidlo: pz(p) = 0 pre p 1

k
S .
 Vhodnosť: zi(p) > 0 pre pi = 0, i = 1,…, k.
Potom existuje p*
 1

k
S také, že z(p*
) = 0. Aby sme toto uvideli, pripomeňme, že
Walrasovo pravidlo hovorí, že z(p) musí ležať v dotyčnom priestore množiny 1

k
S a potom
vhodnosť hovorí, že z(p) leží na hranici 1

k
S . Výsledok teda vyplýva z predchádzajúcej vety.
8
2.3 Jedinečnosť rovnováh
Predpokladajme, že máme hladký dynamický systém na disku, ktorý leží na hranici tohto
disku. Vieme, že sa tu nachádza aspoň jeden bod rovnováhy x*
. Za akých podmienok bude
existovať práve jeden bod rovnováhy?
Základný nástroj na zodpovedanie tejto otázky je Poincarov index vektorového poľa.
Uvažujme najprv jednorozmerný prípad, aby sme mohli dostať základnú predstavu. Nech x =
f (x) definuje hladké vektorové pole na jednotkovom intervale, ktorého body ležia na hranici,
teda napríklad také, že f(0) > 0, f(1) < 0. Potom bude platiť:
 S výnimkou „degenerovaných“ prípadov existuje konečný počet rovnováh
 Vo všeobecnosti je toto číslo nepárne
 Ak f’(x*
) má vždy rovnaké znamienko, tak existuje iba jediná rovnováha. (Obrázok
2.1.)
Obrázok 2.1: Jedinečnosť rovnováh.
Ukazuje sa, že tieto poznámky sa dajú zovšeobecniť na viacrozmerné prípady. V tom prípade,
nech f: Dn
Rn
je hladké vektorové pole na jednotkovom disku, Dn
, ktoré sa zobrazí na
hranicu Dn
. Nech x*
je rovnováha. Index rovnováhy x*
, I(x*
), je definovaný ako
+1 pre det( - Df(x*
)) > 0,
- 1 pre det( - Df(x*
)) < 0,
celé číslo závislé na topologických úvahách pre det( - Df(x*
)) = 0.
Teraz nasleduje základná veta diferenciálnej topológie:
Veta (Poincaré – Hopf)
9
Nech f: Dn
Rn
má konečný počet izolovaných rovnováh ( ix ), i=1,...,k, a nech sa f zobrazí na
hranicu Dn
. Potom


k
i
ixI
1
1)( .
Príklad 3
Aplikujeme túto vetu na problém jedinečnosti Walrasovej rovnováhy. Máme vektorové pole
dané z: kk
RS 

1
. Na výpočet indexu každej rovnováhy potrebujeme vybrať lokálnu
parametrizáciu g: 11 
  kk
RS . Geometricky je zrejmé, že projekcia na 1k
R môže slúžiť ako
vhodná parametrizácia. Algebraicky to znamená, že napíšeme kk  Jacobiho maticu pre
)( *
pDz a vynechám posledný riadok a posledný stĺpec. Index rovnováhy *
p je determinant
takto vzniknutej )1()1(  kk matice s opačným znamienkom. S použitím Milnorovho
tvrdenia, môžeme usúdiť, že ak 0))(det( *
 pDz pre všetky rovnovážne hodnoty *
p , tak
môže existovať len konečný počet rovnováh.
Z toho vyplýva jednoznačné riešenie nasledovne: ak 0))(det( *
 pDz pre všetky
rovnováhy, tak existuje len jedna. Ak existuje len jedna rovnováha, tak 0))(det( *
 pDz .
2.4 Lokálna stabilita rovnováh
Nech *
x je rovnováha dynamického systému n
RXf : . Približne povedané, táto
rovnováha je lokálne stabilná ak sa systém vráti do *
x po jeho vychýlení do blízkych stavov.
Ak má byť rovnováha ekonomicky relevantná v tom zmysle, že systém v nej zostáva
rovnovážny nejakú dobu, zdá sa, že musí byť lokálne stabilná. Formulujeme presnú definíciu
a vyšetríme kritériá stability:
Definícia
Rovnováha je lokálne asymptoticky stabilná ak existuje nejaké 0e také, že exx  *
0 tak,
že platí )( 0xt konverguje k *
x pre t idúce do nekonečna.
Veta
10
Nech *
x je rovnováha systému n
RXf : a nech )( *
xDf má všetky vlastné čísla záporné.
Potom *
x je lokálne asymptoticky stabilná.
Dôkaz
Pozri Hirsch a Smale (1974).
Príklad 4
Uvažujme vyššie popísaný model Walrasovej rovnováhy. Je vhodné vybrať mierne odlišnú
normalizáciu ceny. Nastavme k-tu cenu rovnú 1 a všetky ostatné ceny od nej odvodzujme.
Nech z značí zobrazenie, ktoré zobrazuje týchto k-1 normalizovaných cien na k-1 previsov
dopytu. Podľa Walrasovho zákona platí, ak 0*
p a )(),...,( *
1
*
1 pzpz k sú nulové, tak aj
)( *
pzk je nula. Teda rovnováhy systému )( pzp  sú práve Walrasove rovnováhy *
p , ktoré
budú lokálne stabilné ak )( *
pDz bude mať všetky vlastné čísla záporné. Aká je ekonomická
interpretácia tejto situácie?
Podľa Slutskyho rovnice môžeme )( *
pDz rozpísať ako
  

n
i
n
i
ii pYpSpYpSpDz
1 1
*****
)()()()()( ,
kde )( *
pSi je substitučná matica i-teho spotrebiteľa (o ktorej vieme, že je negatívne
definitná) a )( *
pYi je „dôchodkový efekt“ pre i-teho spotrebiteľa. Matica )( *
pS je negatívne
definitná a preto má všetky vlastné čísla záporné. Teda ak „agregované dôchodkové efekty“
)( *
pY nie sú veľmi veľké, tak systém )( pzp  bude lokálne stabilný na *
p .
2.5 Globálna stabilita rovnováh
Nech *
x je rovnováha dynamického systému. Potom *
x je globálne stabilná ak sa )(tx blíži
k *
x pre t blížiace sa do nekonečna, pre všetky počiatočné podmienky 0x . To znamená, že
*
x je globálne stabilné ak *
)(lim xxtt   pre každé x. Zrejme globálna stabilita zahŕňa
lokálnánu stabilitu. Globálna stabilita je však oveľa silnejšia podmienka. Ako vieme povedať
kedy je dynamický systém globálne stabilný? Hlavným nástrojom bude Liaponovova funkcia.
Definícia
11
Nech )(xfx  je dynamický systém na X s rovnováhou *
x . Predpokladajme, že vieme nájsť
diferencovatelnú funkciu RXV : takú, že
,0)( *
xV 0)( xV pre *
xx  ,
0/))(( dttxdV pre *
xx  .
Potom V sa nazýva Liaponovova funkcia.
Veta
Nech n
RXf : je dynamický systém, s rovnováhou *
x , kde X je kompaktná množina.
Predpokladáme, že vieme nájsť Liaponovovu funkciu pre tento systém. Potom rovnováha *
x je
globálne stabilná.
Dôkaz
Pozri Hirsch a Smale (1974, str. 193)
Bohužiaľ všeobecne neexistuje jednoduchá cesta, ako nájsť Liaponovovu funkciu. Napriek
tomu sú Liaponovove funkcie celkom prirodzene využiteľné v ekonomických aplikáciách.
Príklad 5
Nech *
p je rovnováha Walrasovho systému )( pzp  . Predpokladáme, že )(pz sa riadi
„slabým zákonom odhalených preferencií“, takže 0)(*
 pzp pre každé *
pp  . Potom *
p
je globálne stabilná rovnováha. Aby sme toto mohli dokázať. Musíme ukázať, že stavový
priestor môže byť zvolený ako kompaktný, a že systém pripúšťa Liaponovove funkcie.
Vynecháme prvú časť dôkazu a jednoducho ukážeme, že )( pV môže byť zvolené ako


k
i ii pppppV 1
2*2*
)()( .
Stačí nám derivovať ))(( tpV ,


k
i
iii tpptp
dt
tpdV
1
*
)())((2
))((
 .
Teraz využijeme fakt, že ))(()( tpztp ii  ,
0))((2))(()())(()(2
))(( *
1 1
*






   
tpzptpztptpztp
dt
tpdV k
i
k
i
iiiii
12
Kde posledný krok vychádza z Walrasovho zákona a zo slabého zákona teórie odhalených
preferencií.
2.6 Existencia cyklov
Nech )(,: xfxRXf n
  je hladký dynamický systém. Bod x sa nachádza v uzavretej
dráhe ak x nie je rovnováha, ale platí xxt )( pre nejaké 0t . To znamená, že stav je
v uzavretej dráhe ak sa systém nakoniec vráti do tohto stavu. Uzavreté dráhy sú bežne
označované ako cykly. Užitočným kritériom pre existenciu uzavretých dráh je Poincré –
Bendixonova veta. Pred uvedením tejto vety potrebujeme niektoré definície.
Bod y v X je  -limitným bodom bodu x ak existuje postupnosť nt taká, že
yxntn  )(lim  .  -limitná množina bodov y, )(yL je množina všetkých  -limitných
bodov y.
Ak 
x je bod rovnováhy, potom )( 
xL pozostáva iba z 
x . Ak 
x je globálne stabilná
rovnováha, potom )(xL = { 
x } pre ľubovoľné x z X. Ak x leží na nejakej uzavretej dráhe C,
potom )(xL = C. Vo vyšších dimenziách, limitné množiny môžu mať veľmi komplikovanú
štruktúru. Avšak v dvojdimenzionálnych systémoch ich štruktúra je jednoduchá:
Veta (Poincaré – Bendixson)
Neprázdna kompaktná limitná množina spojito diferencovateľného systému v R2
, ktorá
neobsahuje bod rovnováhy, je uzavretá dráha.
Dôkaz
Viď Hirsch and Smale (1974, str. 248).
Príklad 6
Uvažujme Walrasov systém s troma tovarmi tak, aby )( pzp  definovalo dynamický systém
na 2
S . Predpokladáme, že tento systém smeruje na hranicu 2
S , a budeme uvažovať, že tento
systém je dynamický na D2
. Vieme, že musí existovať aspoň jeden bod rovnováhy 
p taký,
že 0)( 
pz . Predpokladajme, že všetky body rovnováhy sú úplne nestabilné v zmysle, že
13
vlastné čísla matice D )( 
pz sú kladné. Potom tu musí existovať uzavretá dráha – „obchodný
cyklus“.
Dôkaz je priama aplikácia Poincaré – Bendixsonovej vety. Najprv musíme zobrať na
vedomie, že s indexom argumentu môže existovať len jeden bod rovnováhy 
p . Vyberieme
ďalší bod p z D2
a uvažujeme jeho limitnú množinu )( pL . Je to neprázdna, uzavretá a teda
kompaktná podmnožina D2
. Ďalej neobsahuje bod rovnováhy, pretože 
p je jediný bod
rovnováhy a je nestabilný. Preto )( pL musí byť uzavretá dráha.
3 Niektoré špeciálne druhy dynamických systémov
Až do teraz sme sa zaoberali všeobecnými dynamickými systémami. V tejto časti uvažujeme
dva špeciálne druhy dynamických systémov, ktoré sa často vyskytujú v ekonómii.
3.1 Gradientové systémy2
Dynamický systém na X, x = f (x) je gradientový systém ak existuje nejaká funkcia V: X R
taká, že f(x) -DV(x). Funkcia V(x) je často označovaná ako potenciálová funkcia systému,
f(x) je gradient V na x.
Obrázok 3.1: Gradientové systémy.
2
Gradientové systémy vznikajú prirodzene v ekonómii, vždy pri použití algoritmov pre maximalizáciu alebo
minimalizáciu nejakej funkcie. Pozri napríklad, Arrow-Hurwitz-Uzvawa (1958)
14
Veľmi dôležitá je geometrická interpretácia gradientových systémov. Na obrázku 3.1 je
nakreslený graf potenciálovej funkcie V: R2
R a niektoré úrovňové množiny tejto funkcie v
R2
.
Smerová derivácia V(x) v smere h=(h1,..., hn), h =1, je definovaná ako DV(x)∙h. Smerová
derivácia meria, ako rýchlo rastie V v smere h. Z definície vyplýva, že je to vlastne projekcia
DV(x) na vektor h. Je preto zrejmé, že táto projekcia bude maximalizovaná ak DV(x) samotné
bude ukazovať v smere h. Máme teda peknú geometrickú predstavu o gradiente: Ukazuje
smer v ktorom V rastie najrýchlejšie.
Ďalej je ľahko vidieť, že DV(x) musí byť kolmé na úrovňovú množinu funkcie V v x. Pre
úrovňovú množinu funkcie V na x, platí, že je to množina bodov, kde hodnota funkcie
V ostáva konštantná. Preto smerová derivácia funkcie V v smere dotyčnice k úrovňovej
množine V na x musí byť rovná nule. Ale toto nám hovorí, že DV(x) je kolmé na každý taký
dotyčnicový vektor a preto je kolmé na celú úrovňovú množinu.
Tieto pozorovania nám zjednodušujú konštrukciu trajektórií x =- DV(x) pre známu funkciu
V. Typický príklad ukazuje obrázok 3.1. Niektoré ďalšie špeciálne vlastnosti gradientových
systémov popisuje nasledujúca veta:
Veta
Nech f: XRn
definovaný x =f(x)=-DV(x), kde V: XR je nejaká hladká funkcia. Potom:
1) Ak x*
je izolované minimum funkcie V, x*
je asymptoticky stabilná rovnováha systému
x =-DV(x),
2) Každý ω-limitný bod trajektórie je rovnováha,
3) Vlasté čísla Df(x) sú reálne na celom x.
Dôkaz
Pozri Hirsch and Smale (1974, str. 199-209)
Bod 3) platí pretože Df(x) je vlastne D2
V(x) a teda musí byť reálna symetrická matica. Je tiež
užitočné vedieť, že platí opačné tvrdenie: Ak máme dynamický systém na X, x =f(x), taký že
DV(x) je všade reálna symetrická matica, potom existuje nejaká potenciálová funkcia V:
XR taká, že f(x)=-DV(x). (Presné znenie Frobeniovej vety pozri Hartman(1969, kap. 6.))
Príklad 7
15
Uvažujme skoro štylizovaný Walrasov model, kde všetci spotrebitelia majú úžitkové funkcie
lineárne v peniazoch. Problém maximalizácie úžitku pre spotrebiteľa i je
max ui(xi) + mi za podmienky p∙ xi + mi =wi
kde
xi= dopyt i-teho spotrebiteľa po tovare ( xx
k
ii
,...,
1
),
mi= dopyt i-teho spotrebiteľa po peniazoch,
wi= počiatočné držané peniaze i-teho spotrebiteľa,
p= cenový vektor (p1,...,pk).
Dopytová funkcia xi (p) i-teho agenta musí spĺňať podmienky prvého rádu:
∂ui(xi(p))/ ∂ j
ix =pj , j=1,...,k,
Alebo vo vektorovom zápise,
Dui(xi(p))=p.
Derivovaním tejto rovnosti podľa p dostávame
D2
ui(xi(p))∙D xi(p)=I,
alebo
D xi(p)= [D2
ui(xi(p))]-1
.
Teda Jakobián dopytovej funkcie každého agenta je práve inverzia Hessiána úžitkovej
funkcie.
Nech teraz ω je nejaká agregovaná ponuka k tovarov a definujeme agregovaný previs
dopytovej funkcie z(p)=

n
i
i px
1
.)(  Uvažujme dynamický systém )( pzp  . Podľa vyššie
uvedeného výpočtu je Dz(p) reálna symetrická matica, takže máme gradientový systém. Nie
je ťažké, nájsť potenciálovú funkciu pre tento systém. Nech ))(()( pxupv iii  je nepriama
úžitková funkcia i-teho agenta. Potom potenciálová funkcia pre systém )( pzp  je daná
V(p)=

n
i
i ppv
1
)( ∙ω.
16
Z toho plynú nasledujúce vlastnosti. Ak predpokladáme, že )( ii xu je striktne konkávna
funkcia, tak D2
ui(x) bude negatívne definitná matica. Tá má potom negatívne všetky vlastné
čísla. Aplikovaním predchádzajúcich výsledkov vidíme, že systém má jedinú stabilnú
rovnováhu p*
, ktorá vlastne minimalizuje súčet nepriamych úžitkových funkcií.
3.2 Hamiltonovské systémy
Nech ),( yxfx  , ),( yxgy  je dynamický systém pre x a y na YX  obsiahnutý v nn
RR  .
Takýto systém sa nazýva Hamiltonovský systém, ak existuje nejaká funkcia
RYXH : (Hamiltonovská funkcia) taká, že
).,(),(
),,(),(
yxHDyxgy
yxHDyxfx
x
y




Hamiltonovské systémy vznikli celkom prirodzene v klasickej mechanike a slúžia
k zjednoteniu štúdií mnohých javov v tejto oblasti. Ekonómovia si nedávno uvedomili mnohé
ich aplikácie v ekonómii.
Primárnou vlastnosťou Hamiltonovských systémov v ekonomických aplikáciách je, že
majú určité žiaduce vlastnosti stability. V klasickej teórii Hamioltonovskej mechaniky, H
bolo kvadratické, a teda Hamiltonovský systém bol lineárny systém diferenciálnych rovníc.
V tomto prípade klasická Poincarého veta hovorí, že ak je  vlastné číslo lineárneho systému
na ),( **
yx , tak aj  je vlastné číslo. Takže rovnováhou Hamiltonovského systému sú
symetrické sedlové body. Vo všeobecnom prípade, keď Hamiltonovský systém nie je
lineárny, nastáva rovnaký druh vlastnosti sedlových bodov, keď je funkcia konkávna v x
a konvexná v y.
4 Niektoré novšie techniky
V tejto kapitole budeme skúmať dve novšie oblasti štúdia dynamických systémov
a preberieme aj ich možné využitia v ekonómii.
17
4.1 Štrukturálna stabilita
Nech n
RXf : definuje vektorové pole na nejakom stavovom priestore X. Potom,
približne povedané, je tento systém štrukturálne stabilný ak malé odchýlky vo funkcii f,
nemenia topologickú štruktúru vektorového pola )(xfx  . Uvažujme napríklad prípad, keď
2
RX  a Axxf )( kde A je regulárna matica typu 22 . Potom vieme, že počiatok je
jediná rovnováha systému a topologický charakter toku okolo počiatku je určený charakterom
vlastných čísel matice A.
Pre „väčšinu“ volieb matice A bude systém daný Axx  štrukturálne stabilný, pokiaľ
malé odchýlky v A nezmenia znamienka vlastných čísel. Jedinou výnimkou je, ak obidve
vlastné čísla majú nulovú reálu časť. V tom prípade sa tok systému skladá z uzavretých dráh
okolo počiatku. Avšak každá malá odchýlka matice A, ktorá dáva vlastnému číslu nenulovú
reálnu časť, sa ukáže ako tok bez uzavretých dráh. Topologická štruktúra systému ukazuje
drastickú zmenu – máme prípad štrukturálnej nestability.
Vráťme sa teraz k základnému nastaveniu vektorového pola )(xfx  . Nech je stavový
priestor tohto systému n
D . Nech je priestor všetkých spojite diferencovatelných funkcií z
n
D do n
R , a vybavme  štandardnou 1
C normou, tj. Dve funkcie sú blízko ak ich hodnoty
sú blízko a aj ich derivácie sú blízko. Potom môžeme brať odchýlku funkcie f ako voľbu
ľubovoľnej funkcie v nejakom  -okolí funkcie f.
Chceme aby topologická štruktúra )(xfx  bola invariantná (nemenná) vzhľadom na
malé odchýlky f. Čo to znamená? Ako popíšeme myšlinku, že dve vektorové polia majú
rovnaké kvalitatívne vlastnosti?
Dôležitým pojmom je topologická rovnosť. Približne povedané, toky dvoch dynamických
systémov na n
D sú topologicky rovné ak existuje homeomorfizmus nn
DDh : , ktorý
nanesie dráhy jedného toku na dráhy druhého toku. Tento homeomorfizmus môžeme
považovať za nejakú spojitú zmenu súradníc, takú že topologická rovnosť dvoch tokov
znamená, že môžeme nájsť spojitú zmenu súradníc tak, že jeden tok vyzerá ako druhý.
Nakoniec definujeme pojem štrukturálna stabilita. Dynamický systém )(xfx  na n
D je
štrukturálne stabilný ak existuje okolie funkcie f také, že pre každú funkciu g v tomto okolí,
tok indukovaný )(xgx  je topologicky rovný toku funkcie f. Voľne povedané, dynamický
systém je štrukturálne stabilný ak malé odchýlky v základnej funkcie f nezmenia kvalitatívnu
povahu toku.
18
4.2 Teória katastrofy
Nech máme nejaký dynamický systém daný funkciou ),(,: axfxRAXf n
  . Tu je
systém myslený ako parametrizovaný nejakými parametrami ),...,( 1 raaa  . Predpokladajme,
že parametre a považujeme za pomaly sa meniace v čase. Väčšinu času malé zmeny
v a nebudú mať za následok veľké zmeny v kvalitatívnej povahe dynamického systému.
Niekedy však dostaneme reálnu štrukturálnu zmenu.
Napríklad uvažujme systém v 1
R daný
axx  2
 .
Ak a je kladné, tak neexistuje rovnováha systému. Ak a je nulové, tak existuje jediná
rovnováha 0*
x a ak je a záporné, tak existujú dve rovnováhy v 2/1*
2
2/1*
1 , axax  .
Topologická povaha systému podstupuje radikálnu zmenu ako a prechádza cez nulu.
Hovoríme, že nula je bod katastrofy pre systém axx  2
 .
Cieľom teórie katastrofy je klasifikovať všetky cesty v ktorých môže systém podstupovať
štrukturálne zmeny. Bohužiaľ, k dosiahnutiu tohto cieľa je ešte ďaleko. Súčasný stav teórie je
dobre vyvinutý len na študovanie lokálnych katastrof gradientových systémov.
Nech RRRV rn
: je potenciálová funkcia pre gradientový systém. n
R je chápané
ako stavový priestor systému a r
R je chápané ako priestor parametrov. Potom rovnováhy
systému
),,( axVDx x
sú práve singularity funkcie ),( axV , tj. *
x je rovnováha práve vtedy keď ),( axVDx zmizne
(neexistuje). Teda študovanie toho ako sa mení povaha systému ),( axVDx x s meniacim sa
a , môžeme zredukavať na študovanie singularít ),( axV .
Predchádzajúci príklad axx  2
 sedí na túto konštrukciu pokiaľ je to gradientový
systém s axxaxV  3/),( 3
.
Pozoruhodné je že pre 4r , existuje len sedem rôznych druhov „stabilných“ singularít.
To je sedem základných katastrof Thomovej klasifikačnej vety. Približne povedané, každá
„nedegenerovaná“ singularita ),( axV môže byť klasifikovaná ako jedna z týchto siedmych
základných typov. Predchádzajúci príklad kde axxaxV  3/),( 3
je príkladom tzv. fold
katastrofy, najjednoduchšej z elementárnych katastrof.
19
5 Použitá literatúra
ARROW J., INTRILIGATOR M. Handbook Of Mathematical Economics, volume 1, ISBN
978-0-444-86126-9