Rovnováha v podmínkách nejistoty
1   Arrow-Debreuův model
K nejvýznamnějším pracím v oblasti ekonomické teorie v posledních zhruba 20-ti letech patří práce pánů Arrowa a Debreua, která se stala základem pro teorii všeobecné rovnováhy. Tento Arrow-Debreuův model (dále jen A-D model) je jedním z nejobecnějších modelů dokonale konkurenční ekonomiky. Původně byl zaměřen pouze na rovnováhu ekonomiky v podmínkách jistoty, ale později byl dále rozpracován, což umožnilo jeho uplatnění i na případy nejistoty, konkrétně nejistoty týkající se prostředí.
Základní myšlenkou modelu je rozlišování komodit nejen podle fyzikálních vlastností, času a místa jejich dostupnosti či užití, ale navíc také podle stavu prostředí. To znamená, že např. zmrzlina prodávaná při teplém počasí je jinou komoditou, než zmrzlina prodávaná za chladného počasí ve stejném čase a na stejném místě. Nejistota je tedy koncipována pomocí různých stavů prostředí, které mohou nastat.
"Svět" je rozdělen na dvě množiny proměnných :
1. proměnné rozhodování, které jsou kontrolovány agenty,
2. proměnné prostředí, které žádný z agentů nemůže kontrolovat.
Všechny ostatní proměnné jsou určeny předešlými dvěma typy.
Stav prostředí je po celou dobu trvání daného ekonomického systému zcela určen proměnnými prostředí. Soubor stavů budeme nazývat událostí.
Příklad
Uvažujeme-li událost "1. července 1970 bylo v New Yorku teplé počasí", pak je tato událost souborem všech možných minulých stavů, kdy teplota v New Yorku během 1. července 1970 dosahovala alespoň (např.) 24 °C.
Připustíme-li, že nemůžeme s jistotou znát budoucnost, pak zde v jakoukoliv danou dobu bude skupina elementárních pozorovatelných událostí, které lze reprezentovat pomocí rozdělení množiny všech možných stavů na skupiny vzájemně disjunktních podmnožin.
Uvažujme nyní "trh", který je zorganizovaný před začátkem fyzického průběhu ekonomického systému. Základní kontrakt na tomto trhu se skládá z nákupu (nebo prodeje) daného počtu jednotek dané komodity, jež se mají doručit na dané
1
místo a v danou dobu právě tehdy, když nastane určitá elementární událost. Platba za nákup se provede nyní, v zúčtovacích jednotkách a pro cenu stanovenou pro danou kombinaci komodita-čas-místo-událost. Aby byla dodána komodita při více než jedné elementární události, zkombinují vhodné elementární kontrakty.
Příklad
Pokud dodání 1 litru zmrzliny v teplém počasí (ve stanovený čas a na stanovené místo) stojí nyní 1,50 USD a dodání 1 litru zmrzliny v jiném počasí (ve stanovený čas a na stanovené místo) stojí nyní 1,10 USD, pak dodání 1 litru zmrzliny nezávisle na počasí bude stát 1,50 USD + 1,10 USD = 2,60 USD.
V modelu budeme rozlišovat dva druhy ekonomických agentů - výrobce a spotřebitele. Výrobce si zvolí strategii - produkční plán - která určí množství každé vstupní a výstupní komodity v každou dobu a při každé elementární události. Současná hodnota výrobního plánu je součtem hodnot vstupů zmenšeným o součet hodnot výstupů. Každý výrobce je tedy charakterizován množinou všech svých realizovatelných produkčních plánů - množinou výrobních možností.
Také spotřebitel si volí svou strategii - plán spotřeby - který určí jeho spotřebu každé komodity v každou dobu a při každé elementární události. Spotřebitel je charakterizován množinou všech svých realizovatelných plánů spotřeby - množinou spotřebních možností, preferencemi, zdroji a podíly v podnicích. Současné čisté jmění spotřebitele je součtem celkové hodnoty jeho zdrojů a celkové hodnoty jeho podílů.
Rovnováha je množinou cen, spolu s plány výrobců a spotřebitelů, taková,
že :
1. každý spotřebitel maximalizuje své preference v množině spotřebních možností s ohledem na své majetkové omezení (náklady nesmí převýšit současné čisté jmění),
2. každý výrobce maximalizuje zisk uvnitř své množiny výrobních možností,
3. celková poptávka je rovna celkové nabídce v každou dobu a při každé elementární události.
Povšimněme si předpokladu, že výrobci i spotřebitelé jsou příjemci ceny. Dále si povšimněme, že přesvědčení týkající se pravděpodobnosti stavů a postoj k riziku nemá vliv na chování výrobce, neboť pro dané ceny neexistuje nejistota u hodnoty výrobního plánu. Naproti tomu přesvědčení a postoj k riziku ovlivňuje chování spotřebitelů, i když pro dané ceny neexistuje nejistota u hodnoty čistého jmění.
Popsaný model se nazývá Arrow-Debreuův model a lze dokázat, že při klasických podmínkách (konvexita a spojitost spotřebních a výrobních množin,
aj.):
2
1. existuje rovnováha,
2. rovnováha je Pareto-optimální,
3. každá Pareto-optimální volba spotřebního a výrobního plánu je rovnováhou vztahující se k nějakému systému cen.
V takovéto ekonomice jsou všechny kontrakty sjednány na počátku a veškeré následující jednání je dáno již vybranými plány. Protože jsou všechny účty vypořádány na začátku a neexistuje potřeba změnit jakoukoliv strategii a jsou od začátku jisté současné hodnoty u výrobců i spotřebitelů, neexistuje zde potřeba peněz, likvidity ani nejsou podněty pro obchod s podíly.
1.1   Rozšíření A-D modelu
V dosud představeném A-D modelu mají sice všichni agenti neúplnou informaci o stavu prostředí (v jakoukoliv dobu), nicméně všichni mají stejnou informaci. Tento předpoklad však není kvůli vlivu nejistoty v ekonomice udržitelný. Rozšíříme tedy model tak, aby umožňoval rozdíly v informacích mezi ekonomickými agenty.
V každou dobu může být informace, kterou má daný agent k dispozici, charakterizována pomocí rozkladu množiny stavů prostředí. Předpokládejme, že každý rozklad musí být alespoň tak jemný, jako je rozklad popisující elementární události v tuto dobu.
Příklad
Každá množina v rozkladu událostí v danou dobu může stanovit teplotu, zatímco každá množina v informačním rozkladu daného agenta může jen specifikovat, zda byla teplota v danou dobu vyšší či nižší než (např.) 24°C.
Informace agenta omezuje jeho množinu realizovatelných plánů a to následovně. Předpokládejme, že v danou dobu agent ví, že stav prostředí leží v množině A (jedna z množin z jeho informačního rozkladu v danou dobu) a předpokládejme, že množina A obsahuje několik elementárních událostí. Pak jakékoliv opatření, jenž agent v tuto dobu přijme, musí být stejné pro všechny elementární události v množině A.
Příklad
Je-li agent spotřebitel, pak jeho spotřeba jakékoliv komodity v danou dobu musí být stejná pro všechny elementární události v informační množině A.
Posloupnost informačních rozkladů daného agenta se nazývá informační strukturu. Tato struktura je pevná, pokud je stanovena nezávisle na akcích jakéhokoliv agenta. Řekneme, že daný plán je kompatibilní s touto strukturou, jestliže splňuje podmínky uvedené v předešlém odstavci.
3
Předpokládejme, že množiny spotřebních a výrobních možností charakterizují takové plány, které by byly realizovatelné, pokud by měl agent "úplnou informaci" (tj. jeho informační rozklad by v každou dobu splýval s rozkladem u elmentárních událostí). Množinu realizovatelných plánů pro jakéhokoliv agenta s pevnou informační strukturou můžeme získat, pokud mu zakážeme takové plány z množiny možností při úplné informaci, které jsou kompatibilní také s jeho danou informační strukturou.
Tímto jsme získali teorii existence a optimality rovnováhy v dokonale konkurenčním prostředí, která je vztažená k pevné informační struktuře.
1.1.1 Volba informací
Zpravidla vyžaduje získání a užití informací ohledně prostředí výdaje na zboží a služby, tj. na komodity. Pokud jeden z výrobních plánů vyžaduje více informací pro svou implementaci než ostatní plány (tj. potřebuje jemnější informační dělení v jednom či více časech), pak by seznam vstupů měl odrážet zvýšené vstupy pro informace. Tímto způsobem může množina realizovatelných výrobních plánů odrážet možnost volby mezi alternativními informačními strukturami.
Naneštěstí získání informací vyžaduje přípravné náklady, tj. zdroje potřebné k získání informací mohou být nezávislé na rozsahu výrobního procesu, při kterém jsou ty informace použity. Tyto přípravné náklady budou vnášet do množiny výrobních možností nekonvexnost a tedy jedna ze základních podmínek v teorii A-D ekonomiky by nebyla splněna.
1.1.2 Kritika rozšířeného A-D modelu
Pokud je A-D model interpretován přesně, pak od ekonomických agentů vyžaduje schopnosti, které daleko přesahují realitu. S tím souvisí i to, že teorie vyžaduje např. v zásadě kompletní systém pojistných trhů, což se ukázalo být až příliš komplexním a detailním, navíc bez praktického významu.
Dále je kritizováno, že teorie nebere v úvahu alespoň tři důležité základní rysy moderní kapitalistické ekonomie:
1. peníze,
2. akciové trhy,
3. trhy aktivní v každou dobu.
Obě linie kritiky však zároveň uvádějí doporučení, jak by se A-D teorie mohla poopravit, aby uvedené skutečnosti zohlednila.
1.2   Posloupnost trhů
Nyní budeme v našem modelu namísto rozsáhlého jednotného trhu uvažovat posloupnost trhů v po sobě jdoucích časech a předpokládejme, že žádný z těchto trhů není kompletní, tj. v každou dobu a pro každou komoditu existují nějaké
4
časy a události v budoucnu, pro které nebude možné uzavřít smlouvy o budoucím doručení podmíněném těmito událostmi. V tomto modelu bude hned několik typů koncepcí rovnováhy.
Jednou z možností je uvažovat posloupnost chvilkových rovnováh, při které je aktuální trh zúčtován v každém čase. Ceny, při kterých bude zúčtován, jsou závislé na očekáváních agentů. Tyto očekávání lze vyjádřit pomocí funkcí - ukážou nám, jaké budou ceny ve stanovenou dobu při každé elementární události. Při postupném vývoji posloupnosti chvilkových rovnováh se budou očekávání jednotlivých agentů postupně korigovat a to z důvodu nových informací o prostředí a aktuálních cenách. Za určitých podmínek bude posloupnost rovnováh konvergovat ke stacionárnímu stavu. Tento stav pak bude tvořit druhý koncept.
Další z konceptů rovnováhy vyplyne ze zkoumání konzistence mezi očekáváními a plány agentů. Plány agentů budou konzistentní, pokud se pro každou komoditu, čas a událost plánovaná nabídka rovná plánované poptávce a pro akciové trhy platí odpovídající podmínka. Pak je rovnováha plánů, cen a cenových očekávání množinou cen na aktuálních trzích, množinou cenových očekávání a konzistentní množinou individuálních plánů takovou, že při daných aktuálních cenách a cenových očekáváních je pro každého agenta jeho plán optimální. Pokud agenti využívají rovnovážné ceny k posouzení prostředí, pak má rovnováha speciální formu tzv. rovnováhy racionálních očekávání.
5
2   Události, komodity, závazky a ceny
Uvažujeme ekonomiku s množinou času ŕ a s množinou alternativních stavů S. Možné stavy prostředí jsou reprezentovány posloupnostmi s = (sŕ), kde st je stav prostředí v čase t & s jako kompletní historie prostředí. Pro každé t bude množina alternativních stavů st označen a Sr.
Ekonomické veličiny (spotřeba, ceny, ...), které mohou být pozorovány v čase t mohou záviset na minulých a současných stavech prostředí, ale ne na budoucích. Elementární události v čase t jsou tedy částečné posloupnosti et = (..., st_i, st)
tt
t
Množina St je pro každý čas t konečná. Pokud je historie prostředí konečná (do minulosti), potom pro každý čas je pouze konečný počet událostí v tomto čase. Na druhou stranu, pokud se historie prostředí rozprostírá nekonečně daleko do minulosti, potom pro každý čas je nekonečně mnoho (resp. nespočetně mnoho) elementárních událostí v čase. V takovém případě se obvykle nepovažuje za "pozorovatelnou" (měřitelnou) každá množina elementárních událostí, ale pouze sigma-algebra takových množin (značená Ft); Ft je bráno jako sigma-algebra generovaná všemi válci1 (cyiinders), např. kartézskými součiny xu^rAu, takovými, že Au = Su pro všechny časy u (pro jejich konečný počet). V obou případech bude Ft množina (pozorovatelných) udál ostí v čase t.
Pro každý čas existuje konečná množina "komodit" číslovaných 1,H. Jednoduchý závazek v čase t v (elementární) události ej udává počet jednotek komodity h, kterou obchodník dodá "na trh" v čase u t) v nějaké události F G Fu. Pro u = t máme "spotový (současný)" závazek, zatímco pro u > t máme "forwardový (budoucí)" závazek. Množina komodit v každém čase může záviset na čase a na události, která se v tomto čase objeví. My budeme předpokládat, že množina komodit je stejná v každé dvojici čas-událost.
V každém čase a v každé elementární události v tomto čase budeme mít trh v závazcích, s možností budoucího doručení podmíněného výskytem nějaké události v budoucnu. Množina trhů bude proto indexována množinou M možných dvojic čas-událost. Formálně: nechť M je množina všech dvojic (t, e) takových, že t je e t M
pro m = (t, e) a n = (u, f) z M řekneme, že m < n pokud t < u a f je zjem-
ee f. To znamená, že m < n, pokud by dvojice čas-událost n mohla vyplývat z mm
Na reálných trzích nejsou všechny možné závazky obchodovány. Množina ob-chodovatelných závazků je dána zvnějšku v jakékoli specifické dvojici čas-událost. Pro každou dvojici čas-událost m = (t, e) G M, každý čas u < ta každou komoditu h, nechť Mjmu je množina (ne nutně elementárních) událostí v čase u, která je dána exogénne a má následující vlastnosti:
1 Válec je událost závisející na stavech prostředí pouze v konečně mnoha časech.
6
(a) je buď prázdná nebo je podpolem F„;
(b) Mrmt = Ft, pokud m = (t, e) tj. všechny spotové závazky jsou povolené;
(c) je konečná pokud m = (t, e) a t < u (2.1) Množiny můžeme nazvat tržní soustava (pole).
m
pro doručení v čase v (podmíněný událostí F), potom můžeme v pozdější dvojici čas-událost n > m udělat to stejné. Formálně
pokud m = (t, e), n = (u, f), m < n, v > u a F je v
potom F je v M£v. (2.2)
m=
(t, e) pro doručení v čase následujícím po čase u (podmíněným výskytem události F v čase u), pokud daná událost e, čas t a událost F v čase u nejsou možné.
Nakonec předpokládejme, že existuje horní hranice L přípustných závazků (L je kladné číslo). Hranice je přirozená - například závazek doručit množství mnohem větší, než je celková nabídka komodity, nebude věrohodná pro středně dobře informovaného obchodníka.
Jednoduchý závazek ve dvojici čas-událost m = (t, e) na doručení nějakého množství komodity h v čase u, podmíněném výskytem události F v čase u, je přípustný pokud
m je v M a u ^ t,
F náleží do Mmu, a
množství zavázaného nepřekročí L. (2.3)
Přípustné závazky lze reprezentovat pomocí měřitelných funkcí. Nechť M je událost v čase u a uvažujme jednoduchý závazek na doručení r jednotek ko-h u F
u
rF
múže být reálná funkce z definovaná na množině elementárních událostí v čase u, kterou lze interpretovat tak, že množství z (e) bude doručeno, pokud nastane e M u
u
M
M
M
r
rM
definici: pokud F je sigma-algebra událostí v čase u a z je reálná funkce na
u       z F F-měřitelná) pokud, pro každé reálné číslo r množina elementárních událostí e takových, že z (e) < r, je v F.
7
Nyní zobecníme definici přípustných závazků: přípustný závazek ve dvojici čas-událost m = (t, e) pro doručení komodity h v čase u > t je reálná funkce na množině elementárních událostí v čase u, která je měřitelná s ohledem na Mrmu
Měřitelné funkce poskytují způsob reprezentace cen. Uvažujme částečné dvojice čas-událost m, podposloupnost času u, komoditu h a odpovídající přípustný závazek z Pokud p je reálná funkce na množině elementárních událostí v u měřitelná v a interpretujeme p (e) jeko cenu (v m) komodity h doručené
ue z je skalární součin
zajišťující, že je zde pouze konečně mnoho událostí v čase u.
Pro každou dvojici čas-událost m = (t, e) G M, nechť Zm značí vektorový prostor se všemi závazky přípustnými v m, tj. vektorový prostor všech polí (soustav)       takových, že
u ^ t; h = 1,H,
je měřitelné s ohledem na (2.6)
Pokud si dva obchodníci vymění závazky, říkáme, že uzavřeli smlouvu. Podmínky smlouvy určují relativní ceny zahrnutých komodit. Smlouva uzavřená
m
tujeme vektorem zm G Zm. Stejným způsobem ceny n a trhu v m reprezentujeme vektorem pm G Zm, který nazveme systém cen v m. Čistý příjem obchodníka v m je skalárním součinem těchto dvou vektorů (p
a omezená (ohraničená) L.
(2.4)
(2.5)
e
8
3   Tržní rovnováha
3.1   Dočasná rovnováha na trhu
Uvažme určitý okamžik čas-událost, m. Budeme se nyní zabývat, jak můžeme determinovat rovnovažnou cenu a množství na určitem trhu v čase m. System cen v čase m ožnačíme pm, zm bude ožnačovat celkový prébytek tržní nabídky, tj. žavažky občhodníku ž minulosti, současne dostupne ždroje, žkusenosti s minulymi čenami, očekavaní budoučíčh čen, dostupnost ždroju, preferenče současne a budoučí spotreby. Zjednodusene mužeme ríči, že trh je v rov-novíaže je-li p revis tr žníí nabíídky nulovíy.
Teorie rovnovahy ríka, že každí občhodník ma jedinečny vektor previsu nabídky. Proto čelkovy vektor previsu nabídky trhu bude vytvorén jako množina vektoru previsu trhu vsečh občhodníku, čož je žobražení vektoru čen na vektory previsu nabídky.
Jakmile žaučtujeme čeny, je prirožene predpokladat, že dva umerne če-nove vektory, by mely žvetsit množinu vektoru prebytku. Držba majetku muže bít reprežentovana kontrakty, ve kteryčh je současny prevod žmenení jako príslib budoučího prevodu, v tomto prípade musí byt majetek žahrnut na sežnamu komodit. Budeme predpoklídat, že čeny musí bít nežíporne.
určuje jednotku simplexu Zm, tj. množina vsečh nežípornyčh vektoru v Zm, souhrn tečh, jejičhž souradniče jsou jednotne. Cenoví vektor v m je omeženy na vektor v Pm. Celkoví previs vyhovujíčí nabídky, am je žobražení ž Pm do podmnožiny Zm.
Jakmile požadujeme nežapornost čen, mužeme predpoklídat, že v rov-novaže bude previs nabídky komodit požitivní, ale použe tehdy, je-li od-povídajíčí čena nulovía.
Nyní definujeme krátkodobou rovnovahu trhu v m. Predpokladejme, že cm vyjadruje žnalosti občhodníku o minulíčh čeníčh a udílostečh. Kratkodobou rovnovahu na trhu v m definujeme jako dvojiči (zm,pm) tak, že
• zmje v Zma pmje v pm
• zmje v ^m(pm)
• zm > o
• pro libovolne priražení zm, které je ostré positivní, odpovídajíčí priražení pm je nulove
9
Než přejdme k alternativním teoriím chování nabídky, předpokládejme, že může existovat převis nabídky a take žaruCme existenci krátkodobe rovnováhy. Máme Walrasův žíkon
pz = 0 pro každe p v Pm a z v a(p)
Zakon plyne ž dílCích rožpoCtovích omežení nebo jako pravidlo, ktere ríka, že vsechny ůžavrene kontrakty v m žohlednůjí stejny cenoví system.
Požadavek, že priražení vektorů previsů nabídek obchodníkům bude možne, implikuje, že existůje horní hranice celkoveho previsů rovna IL, kde I je pocet obchodníků a L je hranice ž (2.4.) Tato horní hranice a podmínka c ž (2.1), implikůjí možnoů rovnovahů. Existůje tedy ohranicení podmnožina v Zm, ke kteremů můžeme omežit celkoví previs vyhovůjící nabídky aniž bychom žmenili množinů hranice L.
Nasledůjící veta dava postacůjící podmínky existence kratkodobe rov-novíahy.
Věta 3.1. Necht am je celkový převis vyhovující nabídky pro dany trh M. Na trhu existuje krátkodobá tržní rovnováha v m, jestliže am má následující vlastnosti:
• existuje uzavřena ohraničena podmnožina Zm C Zm taková, že sigmam je horní hemicontinuous corespondence že Pm do Zm
• pro každe p ž Pm , je am(p) nepmždny a konvexní
• pro každe p ž Pm a Z že am(p),pz = 0
3.2   Arrow-Děbrěu model
Arrow-Debreů model pro presůn komodit na ůplnem trhů, můžeme brat jako specialní prípad naseho modelů pro rovnovíhů na trhů v ůrcití okamžik. Predpokladejme, že cas beží od 0 do T — 1 a žacneme v t = 0. Dale predpoklídejme, že neexistůje nejistota okolí v pocatecní den. Podle predpokladů ž predchoží kapitoly je každí trh Mmuh je konecní a každí vektoroví prostor Zm je konecne dimenže. Abychom popsali podmínky, že v pocatecní okamžik 0 neexistůje nejistota, predpokladejme, že množina So mí jediny prvek, existůje tedy jedina vhodna dvojice v okamžiků 0. Tůto vhodnoů dvojici ožnaďme symbolem 0.
10
Předpoklad, Ze trh je úplný, formálně popíšeme vztahem
MU = Fu, pro kaZde u > 0 (1)
Předpoklad úplnosti trhú 1 a 2.2. říkají, Ze trhy jšoú ýplne v kaZde dvojici data-okamZikú, tj.
MOU = Fu pro kaZde m a kaZde datúm u našledújící po m.
Necht' v (zQnaštíva kratkodobý rovnovaha pro 0, jak bylo uvedeno v kapitole 2. Dale úvaZme našledújící par datúm-caš, m. KaZdý ZavaZek dprípúštny v m je take prípúštní v 0. Necht' p*m je omeZení cenoveho šyštemú pQ ve vektorovem proštorú Zm, vhodne normaliZovaneho. OtíZkoú je, Zda-li agent v m, búde chtít úZavrít nove ZavaZky, ktere neúZavrel v 0. Odpoved' Zní ne. Jednak všechny ZavaZky, ktere jšoú doštúpne v m, byly take doštúpne v 0. Dale roZpoctove omeZení agenta v m by požadovalo, aby všechny nove ZavaZky v m mely núlovoú cištoú hodnotú pri ceních p^, ale štejne tak pri cenach pQ. Z toho dúvodú jakekoliv nove ZívaZky, ktere jšoú doštúpne a fi-nancne víhodne v m, byly take vyhodne a doštúpne v caše 0, pri cenach pQ. Z toho plyne, Ze Za daních predpokladu nebúde po caše 0 dúvod trhy Znovú otev ríít, v 0 naštane kríatkodobía rovnovíaha, p ri kteríe agenti provaídíí švíe obchody po celoú dobú exištence dane ekonomiky. Trh v caše núla je formalne šhodny š trhem š jištotoú. Shodnošt je štanovena tím, Ze jšme oZnacili štatky dorú ceníe v jinyí píar caš-údaílošt jako jiníe štatky.
3.3   Informace a očekávání
P ripomenme, Ze jšme štanovili Zvlía štníí dvojici caš-údíalošt, daíle, Ze p reviš vhodne nabídky pro dvojici caš-údalošt reflektuje obchodníkovi informace o minúlích cenach a o vyvojí šitúace v šoúvišlošti š daním okamZikem. Ještli Ze p reviš vhodníe nabíídky daníeho obchodnííka je generovían úšpoko-jeníím pot reb, potom odpovíídajíícíí pot reby búdoú podmíín eny doštúpnyími informacemi. JeštliZe obchodníkovi preference múZeme merit podle úZitkú, šúbjektivní pravdepodobnošti a vyhovújí-li HypoteZím ocekavaneho úZitkú, potom daníe pravd epodobnošti jšoú podmíín eny doštúpníymi informacemi. Tyto podmíín eníe pravd epodobnošti vyjad rújíí obchodnííkova o cekíavíaníí bú-doúcnošti. Pro na še re šeníí problíemú nútn e nepot rebújeme, aby obchodnííkovi preference šplnovali hypotíeZy o cekíavaníeho ú Zitkú, ale v níašledújíícíím textú od nich neúpúštííme.
Obchodník ocekaví jak búdoúcí ceny, tak i vyvoj šitúací v okolí. V ocekavaní vívoje šitúace není Zadní konceptúalní problem. Podle HypoteZy ocekavaneho
11
užitku je každý obchodník charakterizován subjektivní pravděpodobností měřenou na množině Úplních historií v okolí. Vívoj okolí tedý chapeme jako exogenní veličinu a obchodníkova subjektivní pravdepodobnost budoucích udílostí dava informaci o case a je dobre definovana.
Není vsak tak zrejme jak pohlížet na obchodníkovo ocekavaní budoucích cen. Ukažeme dva možne prístupý k tomuto problemu. První oznacíme dokonalá předpověď(perfect forseight approach. Predpokladejme pro sled udalostí s na trhu, nm každí obchodník svuj jedinecní vektor cen 0t(et). Jestliže každý žna žíkoný rížení ekonomickeho sýstemu, potom každí obchodník dokíže spocítat nasledující posloupnost funkce fä. V tomto prípade pro libovolnou dvojici cas-udalost jsou obchodníkova ocekavíní budoucích cen dobre definovaný ž hlediska funkce cpi a jeho podmínene subjektivní pravdepodobnosti, merene podle historie udalostí, dane jeho soucasními informacemi. Obchodníci se nepotrebují shodnout na pravdepodobnosti budoucích udílostí a tedý ani na roždelení budoucích cen. Potrebují se vsak shodnout, jaka cena pripada k jake udílosti. Tento týp nažvemeočekáváni společné cenove funkce.
Prístup dokonale predpovedi implikuje, že v rovnovíže obchodníci ocekavají spolecnou cenovou funkci. Cenova funkce ocekívaní nam ríka, jaka cena nastane v rovnovaže pro danou dvojici cas-udalost. Na žaklade techto uvah, jsou obchodníkovi strategie takove, že pokud je v rovnovaže provede, trh bude výcisten pro danou dvojici cas-udalost. Otažka existence cenove rov-novíahý je podrobn eji žmíín ena v níasledujíícíích kapitolíach.
Tento model, tak jak býl popsan v sekci 2, muže bít cisten tak, že predstavuje pravdepodobnost, že ružní obchodníci mají ružne informace o okolní situaci. Napríklad, každemu obchodníkovi v case t priradíme pod-pole Ft, ktere reprežentuje udalosti jake mohl daní obchodník v case t vý-sledovat. Zvlaste mužeme výslovit hýpotežu, že obchodníci nemohou sledovat individualní preference a pocatecní bohatství ostatních. Popíseme-li pro každeho obchodníka alternativní hýpotežu pravidel ekonomickeho sýstemu, funkce ocekavíní spolecne cený žtratí na svem výžnamu.
Situace, ve ktere obchodníci vstupují na trh s odlisními necenovými infomacemi, daví agentum možnost dožvedet se o vívoji situace ž cen, ponevadž tržní cený toto reflektují. Vežmeme extremní prípad. Vnitrní informace mohou vest obchodníka k nastavení cený o mnoho výssí, než bý bežne býla. V tomto prípade chýtrí požorovatel trhu muže ž cený rožpožnat, že nekdo žjis-til prížnive informace. Obecneji, agenti, kterí spravne rožumí trhu, mohou ž cen odvodit žaver o informacích obdržených od jiních žakažníku.
12
Ze vžtahu meži nečenovymi informačemi žískaními íčastí na trhu a če-nami trhu v individualníčh modelečh mužeme odvodit tyto žavery. Na druhou stranu skutečna važba je určena individualním čhovaním agentu a odtud jejičh individualní modely. Dale agenti mají možnost žmenit jejičh in-dividualní modely na žaklade žískanyčh požorovaní a žverejneníčh dat. Zde je opet žpetna važba od vžtahu k individualnímu modelu. Rovnovaha tohoto systíemu, ve kteríem jsou individuíalní modely identičkíe s opravdovíym nažveme rovnováha racionálních očekáváni.
Tento končept rovnovahy je jemnejsí než bežny končept rovnovahy nabídky a poptavky. V rovnovíže račionalníčh očekavíní nejsou čeny určeny použe jako prusečík nabídky a poptavky, ale jednotliví agenti spravne vnímají skutečne važby meži nečenovymi informačemi žískaními ž trhu a odpovídajíčími rovnovažnymi tržními čenami. Tento končept se podstatne lisí od modelu, ve kterém se agenti reagují na čeny, ale nepokousí se ž ničh odvodit nečenove informače ostatníčh agentu.
Pružkum rovnovahy račionalníčh očekavíní je pomerne čerstvy, subjekty žatím nebyly plne prožkoumany. Ničmene nekolik podstatnyčh vysledku je v nasleduj íčím textu kapitoly 4.
Poslední prístup nažveme omezeny racionálna přístup. Tento prístup je mnohem mene definovaní, ale vyjadruje mnoho ružníčh ístupku ž hypotéžy plne račionalního čhovaní občhodníku. Predpoklídame, že občhodníči planují na omeženou dobu nebo, že jejičh očekavaní plynou, že spečialníčh pravidel. Príklad je popsan v podkapitole (3.6).
3.4   Rozšířená Arrow-Debrau model
Pripomenme, že v Arrow-Debreuho modelu jsme predpoklídali, že vsičhni občhodníči mají na danem trhu v danem čase stejne informače. Informače žískane v čase t jsme ožnačili Ft. V žobečnenem Arrow-Debreu modelu predpoklídíme, že občhodníči mohou mít ružne informače, tj. informače občhodník i v čase t ožnačíme Fit, žavisí jak na i, tak na t. Jak vidíme Arrow-Debreu model potrebuje požmenit a žahrnout predpoklad, že informače jsou exogenní.
Než žískame podmínky pro existenči optimalní rovnovahy, uvedeme formalní model preferenčí a spotreby občhodníku. Mejme občhodníka i, dale et ožnačuje udílost v čase t. Nečht' xit(et) je H-rožmerní vektor počtu statku 1... H spotrebovanyčh občhodníkem i v okamžiku et v čase t. Funkče xit žobražuje
13
ůdílosti v case t do RH. Pole xi = (xit) nažveme plan spotreby obchodníka i.
Necht' Xi ůdaví množinů vhodne spotreby obchodníka i. Tato množina spotreby reflektůje růžna omežení obchodníka-biologicka, psychologicka, so-ciologicka. Xi presne odpovída bežnemů konceptů spotreby v Arrow-Debreů modelů. Navíc Xi reflektůje informace dostůpne pro obchodníka i. Abychom vyjídrili myslenků, že obchodník může planovat soůcasnoů spotrebů na žaklade informací, ktere se dožví v bůdoůcnů, požadůjeme meritelnost xit s ohledem na Fit. Tento požadavek pojmenůjeme jako podmínka informacníproveditelnosti. (information feasibility)
Je vhodne žmínit, že pro dane Fit informacní proveditelnost predstavůje množinů lineírních omežení fůnkce xit. Nejsnadneji je to videt na prípade konecneho poctů ůdalostí v case t. V tomto prípade je fůnkce xit vektorem dimenže odpovídající soůcinů poctů komodit a poctů elementarních ůdalostí. Jestliže množina F je prvkem roždelení žískanym ž Fit, potom obchodníkovy i-te informace se nelisí od dvoů ůdalostí v F, obchodníkova i-ta spotreba můsí byt v techto dvoů okamžicích shodna. Soůbor rovnovažnych rovnic je shodny s podmínkami, že xit je meritelne podle Fit. Soůbor fůnkcí informacní proveditelnosti xit je lineírním podprostorem množiny fůnkcí ž elementarních ůdílosti v RH. Tato poslední vlastnost žobecňůje prípad, ve kterem množina elementarních ůdílostí v case t není konecna. Z toho plyne, že obchodníkova i-ta spotreba, Xi, leží v linearním podprostorů plínů spotreby xi, tak že pro každe t je xit meritelne podle Fit.
Pňredpoklíadíame, ňže kaňždyí obchodníík i mía preference ůspoňríadaníe na svíe množine spotreby. Tyto preference ožnaďme <i. Necht' je míra pravdepodobnosti množiny ůplne historie S. Tato míra pravdepodobnosti vyjadrůje domnenky obchodníků tykající se relativní pravdepodobnosti růžnych bůdoůcích historií, nebo může vyjadrovat vlastní informace obchodníka v case 0, ci obojí. Pro danoů historii s, necht' xi(s) ůdaívía realižovanoů spotňrebů obchodníka, je to vektor ž prostorů dimenže HT, kde T je císlo dne.
Obchodníkova ůžitkoví fůnkce je fůnkce realne hodnoty, ui na RHT a ocekavany ůžitek ž planovane spotreby xi je ocekívana hodnota ui[xi(s)]. Obchodník preferůje plían prodůkce s vyňsňsím oňcekíavaníym ůňžitkem, jestliňže je oňcekíavaníy ůňžitek shodníy, meži plíany nerožliňsůje. V níasledůjícím textů nebů-deme potňrebovat, aby obchodníkovy preference byly konžistentní s oňcekíavaníym ůžitkem, ale pri žapojení růžních predpokladů na planovanoů spotrebů se to bůde hodit.
14
Necht' pro každého obchodníka i, wit(et) udává vybavenost statky v case t obchodníka i pri udalosti et. Je přirozené předpokládat, že funkce wjt je méritelna podle Fjt, stejne tak jako, že obchodníci sami mohou realizovat prodeje, když nastane vhodny okamžik. Necht' wj udává sled wjt, což pojmenujeme i-te počateční bohatství.
Necht' pro každy cas t je Ft nejmensí sigma algebra ž množiny elementárních událostí v case t, ktere pro každe i obsahuje Fjt. Necht' Zt je množina Ft-meritelnych funkcí žobražující elementární události v t do RH. Sigma algebra Ft predstavuje vsechny informace dostupne obchodníkum v case t. Podle definice sigma algebra Ft, pocátecní bohatství obchodníka jsou body v Z a spotreba obchodnáku je podmnožina v Z.
Omežme nyná situaci na pnpad konecneho poctu dná a konecneho poctu udalostá. V tomto pnpade bude množina Z konecne dimenže. V rožsáj^enem Arrow-Debreu modelu, tak jak byl predstaven, budeme predpokladat, že trhy jsou uplne. Bež ujmy nsa obecnosti mužeme vžát použe jeden trh v case 0 a cenovy system jako prvek Z. Podle planu spotreby xj obchodníka i, je plan obchodu z definován jako z = wj — Xj.
I-tice      planu spotreby (jeden pro každeho obchodníka) nažveme dosažitelnám, jestliže plán spotreby každeho obchodnáka je v jeho množine spotreby a cel-kova spotreba neprekrocá pocátecná bohatstvá, což odpováda
5> <Y1 Wj (2)
i i
Jakmile mame jeden trh, každá obchodnák i ma vlastná rožpoctove ome-žená,
pxj < pwj (3)
kde p je cenovy system.
Nyná je rožsái^ená Arrow-Debreu model formálne ekvivalentná s Arrow-Debreu modelem s jistotou. Teorie rovnováhy v takovemto modelu je dobre žnama, ale abychom priblážžili nektere žakladná hypotežy teto teorie v kontextu nejistoty, pripomeneme soubor podmánek nutnách pro existenci rovnovahy a udelame nejake požnámky k optimalnám vlastnostem v rovnovaže. K definici vhodne poptávky i-teho obchodnáka pro každá cenová system p, necht' ój (p) je množina vektoru nejpreferovanejsi' spotreby v Xj, která vyhovuje rožpoctovemu omežená (3.6). Rovnováha je dvojice {p, (x*)}, kde p je
15
nenulový nezáporný systém cen, (xj) je dostupná I-tice plánu spotřeby a
x** jev ^í(p),      i = 1,.../ (4) pj](wi - x*) > 0 (5)
i
Předchozí podmínka a (2) spolu s nezáporným cenovým systemem p říkají, Ze pro každou komoditu h, v každý den t při kazde události et v case t, dávají, ze převis nabídky
i
je nenulovy nebo odpovídající cena ph(et) je nenulova.
Věta 3.2. Rovnováha existuje pro každého obchodníka i, pokud jsou splněny následující podmínky
• Xi je uzavřené konvexní, existuje vektor xi, takový že xi > xi pro každé Xj v Xi
• ke ka zdéemu vhodnéemu pléanu spot reby, existuje dal séí, takée vhodnyé, kteréy obchodník i striktně preferuje před prvním
• obchodníkova i-ta predobjednana preference je spojita a konvexní
• wi je v Xi
• existuje xi v Xi takove, že xi < wi
• Si(wi - Xi) > 0
Konvexnost přefeřencí muzeme inteřpřetovat jako absenci řiskovaní (aveřze k řiziku, ci neutřalita k řiziku). Řekneme, ze předobjednana přefeřence je konvexní na podmnozine X ze Z, jestlize přo kazdy bod x a y v X takoví, ze x je střiktne přefeřovano před y, potom libovolna konvexní kombinace x a y odlisna od y je opet přefeřovana před y. Předpokladejme, ze x a x' jsou plany spotřeby, takove ze F je mnozina histořie okolí, ze F' je doplnkem F a
Ir,   přo s v F,   ' Ir',   přo s v F,
x(s) = < ' ' x (s) = < '
r   přo s v F , r    přo s v F ,
Předpokladejme, ze obchodník neřozlisuje mezi x a x', coz muzeme inteřpřetovat tak, ze obchodník veří, ze udalosti F a F' jsou ekvivalentní. Nyní předpokladejme, ze plan spotřeby x'', definovaní
1 1
■yi _ -y I _
• X - _ • X. _ • X.
2 2
16
Požnamenejme, že
x"(s) = r   r pro každé s
Spojitost a konvexita obchodníkovích preferencí implikuje, že x" je pro nej alespon tak dobre jako x' nebo x. Tedý obchodník je averžní nebo ne-utríalní k rižiku.
Pripomenme, že dostupna I-tice planu spotrebý je Paretovský optimalní, jestliže neexistuje žadna dalsí dostupní I-tice planu spotrebý, kterou si nejakí obchodník nepohorsí a alespoň jeden nepolepsí. Dostupnost je definovana vžhledem k množiním spotrebý Xl ...Xj, což odríží dostupne informace nekolika obchodníku. Paretovský optimalní je žde tedý vžtaženo k dostupným informacím.
Uvažme jaký efekt bude mít žvísení množství dostupních informací pro obchodníký. Zvýsení informací se promítne ve žjemnení sigma algeber Fit. To žpusobí žvetsení množiný vhodních plínu spotrebý Xj a žvetsení I-tic planu spotrebý. Nemužeme vsak ríct, že nova rovnovaha bude Paretovský nadňražena staríe.
3.5   Soukromé informace, morální hazard, vlastní výběr a podnety pro znovu otevrení trhu
Je neobvýklíe, abý obchodníci užavňreli kontrakt použe na žaíkladňe informací, kteríe mohou sami žjistit, napňríklad soukromíých informací. Týto týpý kontraktu jsou výjmutý ž rovnovahý v rožsírenem Arrow-Debreu modelu. Toto omežení a pňredpoklad, ňže použe ňcistíe exogenní udaílosti mohou býít pouňžitý jako nepredvídane skutecnosti pro dorucení, omeží množinu kontraktu v rov-novíaže.
Jako lepsí se ukažuje definovat informace jako nesoukrome. Nejprve uvedeme speciaílní pňrípad. Pňredpoklíadejme, ňže vňsechný informace v ekonomice míame žníažornňený jako sežnam promňennýích, pojmenovanýích informaňcní signíalý. Informace jakehokoliv obchodníka se skladají ž podmnožin informacních signílu Signíal je soukromýí, jestliňže je požorovanýí použe jedním obchodníkem. Veňrejnýí signíal je požorovían vňsemi obchodníký.
Uvaňžme rovnovíahu rožňsíňreníeho Arrow-Debreu modelu, kdýňž je pňrevis nabídký nulovíý. V tomto pňrípadňe je jednoduchíe ovňeňrit, ňže nenulovíe ňcistíe žíavažký kaňždíeho obchodníka s kladnou cenou musí býít kaňždýí den mňeňritelníe
17
podle nesoukromých informací. Tím spíše jsou jakékoliv závazky k doručení na základe verejných informací v rovnováze dostupne pro kazdeho obchodníka.
Jestliže obchodníci uzavírají kontrakty vzajemne se sebou ne s abstraktním trhem, dorucení bude podmínene informacemi mezi temito dvema obchodníky, coz vytvírí dalsí omezení. Jestlize je kontrakt vynucený zakonem, spolecne informace musí byt obvykle overitelne ex-post tretí osobou podle pravidel.
Pripomenme, ze v rozsírenem Arrow-Debreu modelu predpokladame, ze informace jsou zpusobeny exogenními udalostmi. Celkovy efekt vsech techto omezení je, ze trhy, na kterích budeme realizovat rovnovahu rozsíreneho Arrow-Debreu modelu, by mely byt mensí nez skupina trhu prednostne prístupnych.
Na druhou stranu na skutecních trzích muzeme videt mnoho typu kontraktu, ktere by nebyly prijaty v Arrow-Debreu modelu, protoze obchazí restrikce. U mnoho kontraktu se urcuje víkonnost nahodile na zaklade endogenních udalostí a dokonce udílostí, jejichz vznik muze zíviset na rozhodnutí stran kontraktu. Tento typ kontraktu oznacujeme jako moralní hazard a casto obsahují opatrení, ktere omezují obchodovatelne mnozství, nebo vclenují jine formy nelinearního oceňovaní.
Rozdíly v soukromych informacích predstavují jednu formu rozdílu v preferencích, prodejci takíe mohou pouňzívat nelineíarní ceny, aby líakali po-tencialní nakupující s ruznymi soukromími informacemi. Avsak nakupující mohou odkríyt soukromíe informace podle volby kontraktu nebo podle probňehnutí pňredchozího kontraktu. Tyto uívahy vedou k zajímavíym teoretickyím otíazkíam sledující existenci a optimalitu rovnovíahy.
V den, kdy obchodníci získají nove soukrome informace, se mohou rozhodnout realizovat novíe kontrakty s nahodilíym doruňcovaíním, kteríe nebyly v rozňsíňreníem Arrow-Debreu modelu moňzníe. Coňz nasvňedňcuje tomu, ňze rozňsíňrení o soukrome informace je dulezite. Rozsírení Arrow-Debreu model není adekvatní pro trňzní rovnovaíhu s nejistotou, vhodnňejňsí model by zahrnoval posloupnost trhu, na nej se zameríme ve zbytku kapitoly.
3.6   Příklad omezeného racionálního přístupu: Grand-montuv model doCasné rovnováhy
Abychom vysvňetlili, co je myňsleno pňrístupem omezeníe racionality, pňredstavíme Grandmontuv model. V tomto modelu omezení racionality znamena, ze kazdy
18
obchodník plánuje pouze na jedno období dopředu. Nejistota budoucích cen není jednoznačne vztažena k nejistote v okolí.
Uvažme dny 1 a 2 (obecneji t a t + 1). Předpokladejme, že v každý den máme N fyzických komodit (zboží, služby) a jednu fořmu penez. Necht' peníze představují komoditu císlo H, H = N +1. Než podrobne popíšeme model, v krátkosti popíseme situaci, ve kteře je model fořmulovan. Obchodníci mají nezapořne vybavení fyzickými komoditami a penezmi každý den. Jsou dovoleny pouze spotove obchody s fyzickými komoditami, ale v case 1 obchodníci mohou uzavířat zavazky na dodaní penez v case 2. Avsak žávažky na dodaní penez v case 2, nesmí byt nahodne zavisle na udalosti v case 2. Obchodníci nespotřebovívají peníze behem žadneho dne, peníze mohou přesouvat mezi temito dvemi obdobími. Celkoví penežní bilance musí bít nežípořna. V case 1 si obchodníci nejsou jistí cenami v case 2, třebaže puvodci nejistoty nejsou uřceny explicitne. Rozdelení subjektivní přavdepodobnosti obchodníku o cenach v case 2 je ovlivneno cenami v case 1. Tedy ceny v case 1 ovlivnují obchodníkovu poptavku v case 1, nejen kvuli řozpoctovemu omezení v case 1, ale take kvuli obchodníkovím ocekívaním cen v case 2.
Přimařní cíl modelu je popsat, pomocí vety o existenci řovnovahy, kladnou cenu penez vztaženou k fyzickím komoditam.
Přo každeho obchodníka i a komoditu h v case t(= 1, 2), necht' xht a wWht je odpovídající spotřeba a vybavenost zdřoji obchodníka i.Vybavenost zdřoji nam dava nezapořna císla a spotřeba každe komodity v každí den musí bít nezapořní. Spotřebitele nespotřebovívají peníze. Necht' xit díví vektoř s přvky x}t,...,xNt a necht' wit díva vektoř s prvky w]t,..., wN. Každemu wit je přidelen bod v      a každí xit je omezen, aby byl bodem v .
Každí obchodník i je nejistí ohledne spotřeby v case 2. Jeho přefeřence odpovídají Hypoteze ocekavaneho užitku.
V case 1 jsou povoleny pouze spotove obchody s fyzickymi komoditami, obchodníci take mohou vytvařet zavazky o jistem dodíní penez v case 2. Necht' bi udíví množství penez, kteře obchodník i získí v case 2, jako nasledek z obchodu v case 1, jinymi slovy bi je negativní množství penez, kteře se i zavazal dořucit v case 2. Gřandmont stanovuje přenos penez do dalsího období jako nezapořne. Abychom vyjadřili myslenku, že bilance penez není duležita, Gřandmont omezuje cenu penez v case 1 dořucenou do casu 2 jako stejnou spotovou cenu penez v case 1. Necht' pi a p2 jsou vektořy spotovích cen při okamžitem dodaní v case 1 a 2, postupne.
19
V caše 1 ši obchodník i vybere vektor špotreby xn a peneZní bilanci bi podle roZpoctoveho omeZení
Pi(xíi ,bi)= PiWii (6)
Pri volbe tohoto roZhodnútí obchodník predpokladal, Ze v caše 2 ši vybere vektor špotreby xi2, aby maximaliZoval úZitek ui(xi1, xi2) š ohledem na roZpo ctovíe omeZeníí
P2(Xí2, 0) = P2Wi2 + bi
Všimneme ši, Ze v caše 1 obchodník netúšil, Ze v caše 2 ši búde moci vypújcit na období 3. Pro kaZdí cenoví vektor p1, necht' Yi(pi) je mnoZina optimalní volby v caše 1.
JeštliZe ši i vybere dvojici (xi1, b1), potom previš nabídky ZboZí a peneZ je wi1 — (xi1,bi) = zi1, ai(p1) jšoú vektory previšú nabídky zi1. Celkový previš vyhovújící nabídky a je definovan vZtahem
a(p1) =      ai (pi)
i
Necht' P údíví mnoZinú ^Zípo^^ích vektorú v RH. Docašna rovnovaha v caše 1 je cenovy vektor p1 špolú š mnoZinoú vyberú (x*1 ,b*), jeden pro kaZdeho obchodníka i takovy, Ze
• p1 je v P,
• pro kaZde i, (x*1, b*) je v 71^1),
• Ei— (x*1,b*)] > 0
^ p^i[wn — (x**1,b*)] = 0
Nyní popíšeme mnoZinú predpokladú vhodních pro Zarúcení exištence docašne rovnovahy. Grandmont še Zajímí o rovnovahú, ve ktere jšoú peníZe a ceny oštre poZitivní a úrcúje podmínky exištence rovnovíhy pri všech oštre poZitivních ceníach.
V Grandmont modelú nejšoú okolní šitúace explicitne definovíny jako promenna. Avšak v caše 1 ši kaZdy obchodník není jišty š cenami p2 v caše 2. Túto nejištotú vyjad rúje mííra pravd epodobnošti na mno Zin e mo Znyích ce-novích vektorú p2. RoZdelení pravdepodobnošti ovlivnúje mnoho minúlích údaloští, mimojine vektor cenp1 v caše 1. Necht'       p1) je míra pravdepodobnošti,
20
ktería vyjad ruje nejistotu i-tíeho občhodnííka v čase 1 ohledn e čen v čase 2, pri danem vektoru čen p! v čase 1. Pro každe pi v P, pi) je míra pravd epodobnosti na P.
Jakmile se p2 vyskytuje v rožpočtovem omežení v čase 2, občhodník žačíní bíyt nejistyí ohledn e spot reby, kterou si žvolíí v čase 2. Nečht' spot reba ob-čhodníka i v čase 2 je £í2(p2; xi1; 6»). V čase 1 s daním čenovím vektorem p1, se predpoklídí, že občhodník i si vybere (xí1)bi) nežaporne, aby maxi-maližoval očekavaní užitek Eui[xi1 , £í2(p2; xi1; 6»)] s ohledem na rožpočtove omeženíí (6).
Občhodníka i nažveme regulárn ímjestliže splnuje nasledujíčí podmínky:
• Jeho počateční bohatství fyžičkíčh komodit je ostre požitivní, wht > 0 pro h = 1,..., N a t = 1, 2.
• Jeho užitkova funkče uí je spojití, konkavní a ostre rostoučí v každem bode, navíč preferenče spotreby ve dvou obdobíčh jsou nežavisle.
• Pro každy ostre požitivní čenoví vektor p1 je míre pravdepodobnosti
p1) priražena 1 k množine ostre požitivníčh čenovyčh vektoru p2.
• Uvažme žobražení ž P++ do množiny pravdepodobnostní míry na P++, 0» je slabe spojite.
Nyní ukížeme podmínku, ktera vyjadruje myslenku, že očekavaní občhodníka o čenačh nejsou prílis čitlive na současne čeny.
Veta 3.3. Jestliže všichni obchodníci jsou regulární á pro álespon jednoho obchodnáká i
• 0» je rovnomerne tesne á
• wff > 0 (i má kládne zdroje penřz v řáse 1)
potom existuje dořásná rovnováhá v řáse 1 se ostre pozitivním cenovým vektorem p1.
Uvažme, že každy občhodník očekava kladnou čenu penež v čase 2, trebaže nepredvída poptavku penež v čase 2. Samožrejme, jestliže vsičhni občhodníči budou predvídat, že žadní občhodník nebude v čase 2 poptavat peníže, potom bude pro občhodníka račionalní predpokladat požitivní čenu penež v čase 2, a ž toho duvodu spotova čena penež v čase 1 bude nulova. Tento častečny rožpor muže byt vyresen dvema žpusoby. Nejprve si mužeme predstavit,
21
ze každý obchodník si uvědomí, ze chce přenést peníze dopředu z období 2 do období 3, ale od tohoto upustí, abý si to zjednodušil. Za dřuhe si představme, ze kazdý obchodník je na třhu pouze dve období a předpokiada, ze v čase 2 přijdou noví obchodníci poptavající peníze. Drahá inteřpřetace s překřývajícími se geneřacemi do modelu moc nezapada, přotoze předpokiada, ze obchodníci v case 2 a 1 jsou stejní. Nicmene obe inteřpřetace jsou v duchu omezeníeho řacioníalníího p říístupu, ve smýslu toho, ze o cekíavíaníí budoucíích cen není explicitne navízane na předpovedi budoucích udalostí nebo indi-viduíalníí chovaíníí na třhu.
Nasledující příklad podle Gřandmont ukazuje, ze podmínka řovnomeřne tesnosti ocekavíní je potřeba. V tomto příklade kazdý spotřebitel nm bodoví ocekavíní s jednotkovou elasticitou ocekavaní, fořmalne přo kazdeho obchodníka i a kazde p v
<M{p};p) = 1
Necht' míme jen jednu fyzickou komoditu (N = 1) a necht' pocítecní bohatsví na tuto komoditu jsou kazdí den Qí(> 0). Dale necht' zdřoje penez v case 1 jsou 6j > 0 a předpokladejme, ze jeho zdřoje penez v case 2 jsou nulove. Tedý
Wii = (gi, bi); Wi2 = (gi, 0) Oznacme qt cenu fýzicke komoditý v case t a cenu penez rt. Tedý
pt = (qt,rt)
Přo pi = (q, r) kazdý obchodník ocekaví se subjektivní jistotou, ze p2 se bude opet řovnat (q, r). Jestlize xit udíví spotřebu fýzicke komoditý obchodníka i v case t a bi cenovou bilanci, kteřou přenese z casu 1 do 2, potom jeho řozpo ctovíe omezeníí přo daníe cený q a r v danýích casech bude
qxii + rbi < qgi + rbi (7) qxi2 < qgi + rbi
Nakonec předpoklídejme, ze jeho uzitkova funkce je Cobb-Douglasova týpu
ui(xii,xi2) — xii Xi2 (8)
kde ai je dane císlo 0 < ai < 1.
Jakmile ocekavaní kazdeho obchodníka je dřzeno s uřcitou jistotou přo daníe q a r, p řeje si výbřat spot řebu bilanci pen ez bi, v se je
nezapořne, abý maximalizoval (8) podle řozpoctoveho omezení (7). Toto maximum nastane p ři pozitivníí spot řeb e v obou obdobíích a p ři řovnostíí v
22
rozpočtových omezeních. Jestliže je > |, potom se obchodník i pokusí mít spotřebu v case 2 alespon tak velkou, jako ji mel v case 1, jestlize r > 0, potom to implikuje bi < (h/2). Proto, jestliže je olí > |, pro každé i a r > 0, potom převis nabídky penez v case 1 bude alespon ibi/2), nemuze tedy nastat zadna řovnovaha v case 1 s kladnou cenou penez.
Jakmile oCekavání budoucích cen nejsou explicitne navazany na budoucí cinnost třhu, potom v tomto modelu není zídna přiřozena cesta k analyze fenomenu racionálních ocekavaní. Tedy zobřazení 0i jsou exogenní. Modely s endogenním ocekavaním jsou popsany v nasledující kapitole.
23
4   Rovnováha plánů a očekávání
4.1   Rovnováha v posloupnosti trhů s běžnými informacemi
V předchozí kapitole byla popsána dokonalá předpověď (perfect foresight approach), ke které se nyní vrátíme. Budeme zkoumat rovnováhu posloupnosti trhů za předpokladu, že v každém čase mají obchodníci stejné informace.
Preference obchodníka o současných a budoucích cenách můžeme vyjádřit funkcí očekávané ceny, která nám dává cenový systém v každé dvojici čas-událost. Předpokládejme, že každý obchodník plánuje svou spotřebu a obchodní závazky pro každou dvojici čas-událost. Plány obchodníků jsou konzistentní, pokud celková plánovaná nadbytečná nabídka každého obchodního závazku je nulová ve dvojici čas-událost. Zhruba řečeno rovnováha plánů a očekávané ceny je funkce běžného očekávání ceny a konzistentní množiny plánů (jedné pro každého obchodníka) tak, že pro danou funkci běžného očekávání ceny je plán každého obchodníka pro něj optimální, podřízený rozpočtovému omezení.
Pro konečnou množinou dat t = 1, ...,T si definujme:
Spotřební plán obchodníka je vektor x = (xm),kde m je z množiny M všech elementárních dvojic čas-událost a kde pro každé m je xm vektor z RH, který interpretujeme jako vektor množství komodit spotřebované obchodníkem ve dvojici
m
Obchodní plán je vektor z = (zm), kde pro každé m G M je zm vektor závazků m
Plán (spotřební-obchodní) obchodníka je pak dvojice (x, z).
Nechť Z = xmZm a X = RM'H. Potom spotřební plán je bod v X, obchodní plán a funkce očekávané ceny jsou body v Z. Pokud je množina času MZ
rozměrná.
Vektor cen v m omezíme na množinu Pm nezáporných vektorú v Zm a P bude označovat kartézský součin množin Pm pro m G M.
Obchodník i je charakterizován následujícími vlastnostmi:
1. spotřební množina Xj je podmnožina X;
2. preferenční před-uspořádání <í na X; a
3. vektor wj=(wim) zdroj bohatství, kde pro každou elementární dvojici čas-událost m G M je wim G RH.
Přípustný závazek byl uveden dříve; obchodní plán nazveme přípustný, pokud každý jeho člen je přípustný závazek. Kromě toho požadujeme, aby obchodník
24
nedělal závazky, kterým nebude moci dostát.Vezměme dvě dvojice čas-událost m = (t, e) a n = (u, f) z M pro které platí m S n; pro obchodní plán z píšeme
*t =   E  ztfcu (f); žn = (žít^ (4.1)
(t,e)án
Číslo žl je celková čistá dodávka komodity h ve dvojici čas-událost n, ke které
n
Spotřební-obchodní plán (xí, zí) je přijatelný pro i, je-li daný cenový systém p a pokud:
(a) ... xí je v Xí;
(b) ... zí je přípustný;
(c) ... Zín S wín — xín, pro každé n v M,
(d) ... pmzím = 0, pro každé m v M. (4.2)
Množina plánů přijatelných pro i a dané p bude označována rí (p).
Chování obchodníka je shrnuté v jeho korespondenci chování označované yí, která je definovaná jako:
Pro každý cenový systém p je yí (p) množina planú (x, z) g rí (p), které jsou optimální s ohledem na obchodníkovi preference. (4.3)
Poznamenejme, že yí (p) může být pro nějaké p prázdná.
i
• Xí je uzavřená a konvexní, a existuje vektor xí takový, že x ^ xí pro
všechna x g X^ (4.4)
• pro kaž dé x g Xí a každ é m g M, existuje x' g Xí různé o d x pouze na m, takové, že xí >í (4.5)
• existuje xí g Xí tak, že xí <C (4.6)
• a jeho před-uspořádání je spojité a konvexní. (4.7)
(4. 5)
jektivní pravděpodobnost pro každou událost.
Rovnováha plánů a cenových očekávání je soustava [(xí,zí) ,p] plánů a funkce cenového očekávání taková, že:
(a) ... p g P;
(b) ... (xí, zí) je v yí (p), pro každé i; a
(c) ... Eí Zím ^ 0 a p^J2í Zím = 0, pro každé m g M. (4.8)
(4.4) (4.7)
má rovnováhu plánů a cenových očekávání.
25
Pro každého obchodníka i definujeme jeho korespondenci nadměrné nabídky (tj. převis nabídky):
*i (p) = {z | (x, z) G 7» (p), pro nějaké x} (4.9)
a definujeme úplnou korespondenci nadměrné nabídky:
* (p) = E*i (p) (4.10)
i
Pro každé m existuje kompaktní podmnožina Zm taková, že lze úplnou korespondenci nabídky omezit hodnotami ze Z = xmZm. Nechť a značí odpovídající omezení a. Pro každé z G Z definujme ^ (z) jako množinu p = (pm) G P, která minimalizuje pmzm v P. Poznamenejme, že p* = (pt) je v ^ (z) právě tehdy, když p*m minimalizuje pmzm v Pm pro každé m.
Dále dostáváme:
pmz_m ^ p'tnz'm, Pro každé m a každé pm. (4.11)
Z (4.2d) součtem přes všechny obchodníky i, dostáváme Walrasúv zákon v
m
p'tnz'm = 0 pro všechny m v M. (4.12)
Ve standardním Arrow-Debreuově modelu je rovnováha optimální za poměrně všeobecných podmínek.
4.2   Rovnováha racionálního očekávání na trhu s odlišujícími informacemi
Uvažujme nyní rozšíření na model posloupnosti trhů dovolující informační rozdíly mezi obchodníky.
V sekvenční ekonomice budou rovnovážné ceny v různých časech statisticky závislé a někteří obchodníci tak budou schopní zlepšit svou předpověď budoucích cen pomocí této závislosti, tj. určují svou předpověď na základě současných a minulých cen stejně jako na základě jejich vlastních (exogenních) necenových informačních signálů. Dnešní hodnota aktiv závisí na očekávaném pravděpodobnostmi rozdělení jejich budoucích cen, které mohou být korelované se současnými rovnovážnými cenami. Například aktiva jejichž některé kvality jsou částečně (im-perfektně) známy některým obchodníkům, ale v budoucnosti se stanou veřejnou informací.
Příklad:
Je-li celková nabídka některých výběrových vín koupená soukromými osobami hned poté, co jsou stočená a dříve než jsou vypitá (ochutnaná), pak kupující platí, aniž by znali kvalitu vína. Někteří kupující ale budou mít lepší informace než jiní. Za těchto okolností budou kupující s horšími necenovými informacemi "usuzovat kvalitu podle cen". Tito kupující vyvozují z (rovnovážné) ceny něco o informacích dostupných lépe informovaným kupujícím. Jejich závěry budou
26
mít zpětnou vazbu na rovnovážnou cenu, a proto bude vztah mezi informacemi obchodníků a rovnovážnou cenou ovlivněný.
To vede k "rovnováhám racionálních očekávání". V této podkapitole představíme model aktiv, u kterých existuje racionální rovnováha očekávání, která ukazuje každému obchodníkovi počáteční bohatství všech ostatních obchodníků dohromady.
V tomto modelu je konečně mnoho stavů počátečních informací a vyžadujeme, aby každý obchodník znal vztah mezi počátečními informacemi a rovnovážnou cenou. Dimenze prostoru počátečních informací by měla být menší než dimenze prostoru cen.
4.2.1   Přímá směna při nejistotě
Uvažujme nejprve tradiční model čistě směnné ekonomiky s nejistotou. Rozhodovacím problémem i-tého obchodníka je vybrat vektor aktiv - portfolio. Užitek pro i z jeho portfolia je nejistý v čase, kdy za něj platí, a závisí jak na jeho portfoliu tak na vnějším prostředí. Každý obchodník má subjektivní pravděpodobnostní rozdělení na množině alternativních prostředí a kritériem pro výběr mezi alternativními portfolii je jeho předpokládaný užitek.
Je dané počáteční vlastnictví aktiv a vektor cen aktiv. Obchodník bude poptávat portfolio maximalizující předpokládaný užitek s ohledem na rozpočtové omezení tak, že náklady na portfolio nepřekročí hodnotu jeho počátečního bohatství. Budeme předpokládat pouze nezáporná portfolia (tj. není povolen seli short). Jeho nadměrná nabídka je vektor rozdílů mezi jeho počátečním bohatstvím a aktivy, která poptává.
Nechťp představuje vektor cen aktiv a n značí systém subjektivních pravděpodobnostních rozdělení prostředí a nechť Z (p, n) značí odpovídající celkovou nadměrnou nabídku, tj. součet nadměrných nabídek jednotlivých obchodníků (vektor). Rovnováha je cenový vektor, pro který je celková nadměrná nabídka nulová, tj. p je řešení soustavy rovnic
Dvojici pravděpodobnostních polí (ni, n2) nazveme zaměnitelné, pokud existuje řešení (pi,p2) systému rovnic
Jinak řečeno pro zaměnitelnou dvojici pravděpodobnostních polí existuje jediný cenový vektor, který je rovnováhou pro každý z nich. Opačně: Je-li dvojice pravděpodobnostních polí nezaměnitelná, potom každý odpovídající cenový vektor bude rozdílný.
Pokud má systém rovnic (4.14) více rovnic než neznámých, zdálo by se možné, že rovnice "všeobecné polohy" nebudou mít řešení. Předpokládejme tedy, že
Z (p,n)=0.
(4.13)
Z (pi, ni) = 0; Z (p2, 7T2) = 0; Pi = P2-
(4.14)
27
množina E alternativních stavů prostředí je konečná; potom pravděpodobnostní rozdělení na E může být reprezentováno jako bod ve vektorovém prostoru dimenze (E — 1, kde (E značí počet stavů v E. Pravděpodobnostní systém (pole) může být reprezentován jako bod v prostoru dimenze 1 ((E — 1), kd e 1 je počet obchodníků, a množina no dvojic pravděpodobnostních polí leží v prostoru dimenze 21 ((E — 1). Systém rovnic (4.14) je tudíž parametrizovaný body z IIo.
Vzhledem k tomu, že ceny jsou relativní, budeme je brát normalizované, tak aby jejich součet dával jedničku. Z toho důvodu, pokud existuje n aktiv a (n — 1) nezávislých cen, pak (4.14) má 2 (n — 1) neznámých a 3n rovnic. Nicméně pokud je užitková funkce taková, že je každý rozpočet vyčerpán, potom hodnota nadměrné poptávky bude vždy nulová, dokonce i mimo rovnováhu (Walrasúv zákon). Kromě toho existuje pouze (n — 1) nezávislých cen tak, že podmínka p1 = p2 reprezentuje pouze (n — 1) nezávislých rovnic. Z tohoto důvodu máme v (4.14) 3 (n — 1)
Množina zaměnitelných dvojic pravděpodobnostních polí je zanedbatelná, pokud její uzávěr má Lebesgueovu míru nula. Nechť C0 je množina zaměnitelných dvojic v IIo a nech ť d je uzávěr Co. Pokud parametrický b od je v C0 (tj.
(4. 14)
řešení. Naopak pokud parametrický bod není v C0 (tj. není zaměnitelný), potom existuje nějaké okolí takové, že pro všechny body v tomto okolí nemá systém (4.14) řešení. (Dodejme, že zde mohou existovat body z C0, které nejsou zaměnitelné, tj. nejsou v C0.)
Jinak řečeno, pokud je vlastnost platná s výjimkou zanedbatelné množiny, řekneme, že platí všeobecně. Výsledkem je, že obecně různá pravděpodobnostní pole dávají různé rovnovážné ceny.
4.2.2   Rovnováha úplné komunikace a prozrazující (odhalující) ceny
Uvažujme čistě směnnou situaci s tím, že než začne tržní aktivita, je všem obchodníkům zpřístupněna vnější informace o prostředí. Tato informace může být nedokonalá (nekompletní) nebo rušivá: nechť / značí informační signál a předpokládejme, že každý obchodník má subjektivní pravděpodobnostní rozdělení spojené s tímto signálem / a prostředím e Pro daný informační signál / budou preference každého obchodníka pro různá portfolia ovlivněna jeho podmíněným očekávaným užitkem (s využitím podmíněného pravděpodobnostního rozdělení e určeného /). Toto podmíněné pravděpodobnostní rozdělení označíme (vektorem) n f i, a pro kaž dé / označíme systém tohoto rozdělení n f. Ke každému signálu / je vektor rovnovážných cen p f řešením systému rovnic
Z (pf ,nf ) = 0. (4.15)
Rovnováha úplné komunikace (FCE = full communication equilibrium) je zobrazení </> z informačních signálů do cenového vektoru tak, že pro každý signál / Je </>(/) rovnováhou pro /, tj. řešením pf systému (4.15). Řekneme, že FCE
28
je odhalující, pokud zobrazuje různé signály na odlišné (normalizované) cenové vektory. Tudíž pokud jsou tržní ceny určené obnovujícím FCE, lze odvodit základní skrytý signál z pozorování tržních cen.
Předpokládejme, že množina F alternativních informačních signálů je konečná, a nechť n značí (konečný) systém pravděpodobnostních polí n f Množin a n systémů n má dimenzi (|jF) I (§E — 1). Pokud je F konečné, potom funkce </> je konečně dimenzionální vektor s (#F) n souřadnicemi (kde n je počet aktiv); z důvodu normalizace cen leží </> v množině dimenze (#F) (n — 1). Tudíž bod n G n je vektor parametrů následujícího systému rovnic
Z $(f) ,7f =0, pro každé f G S; (4.16) což je systém konečně mnoha rovnic s konečným počtem neznámých.
Podotkněme, že pro jakýkoli bod n, každé FCE je odhalující právě tehdy, když pro každou dvojici (f, f') různých signálů, není dvojice (nf ,nf>) zaměnitelná. Nechť C je množina bodů n G n takových, že pro různé f a f' je dvoji ce (nf , nf >)
F
f f'
C
n
odhalující.
4.2.3   Odlišující informace a rovnováha racionálního očekávání
V posledním stupni analýzy uvažujme situaci, ve které různí obchodníci přicházejí na trh s odlišným vnějším informačním signálem. Nechť fj značí vnější informační signál dostupný pro obchodníka i a nechť f = (fi, ) značí celkové vnější informace dostupné na trhu.Tudíž každý obchodník má dostupnou pouze část z celkové informace. Každý obchodník i má subjektivní pravděpodobnostní rozdělení f a e
Podle daného informačního signálu fi si každý obchodník vybírá mezi portfoliy podle svého podmíněného očekávaného užitku (podmíněné pravděpodobností rozdělení e při daném fj). Tak dostaneme funkci nadměrné nabídky pro každého obchodníka i (pro dané fj) a odtud i celkovou funkci nadměrné nabídky pro
f
< (f) f
poptávky) nulová. Předpokládejme, že každý obchodních se chová tak, že </> (f) je v podstatě tržní cena, pokud je f realizována a každý obchodník i zná f i-
Představme si, že po nějakém počtu nezávislých realizací této situace, se konkrétní Z-tý obchodník stane "sofistikovaným" (rafinovaným) a uvědomí si, že existuje vztah mezi celkovým informačním signálem a tržní cenou popsanou zobrazením </>. Obchodník Z bude tedy z pozorování tržní ceny </> (f) schopný dovozovat něco o celkovém informačním signálu (pokud ovšem není tržní cena stejná pro f
29
ovlivní jeho rozpočtové omezení a poskytne doplňkový (dodatečný) signál (k jeho vnějšímu signálu f i) upravující jeho očekávaný užitek. Bude-li ale jeho nadměrná poptávka podstatnou částí celkové, potom takové "sofistikované" chování ovlivní funkci celkové nadměrné poptávky, čímž se změní vztah </>! Pokud se tedy všichni obchodníci stanou sofistikovanými, potom původní cenový vektor vnější rovnováhy </> (f) nebude dále ozřejmovat trh s daným celkovým vnějším infor-f
<
<
informačním signálem f cenový vektor </> (f). Máme-li předpovídací funkci </>, každý obchodník i vybírá mezi portfoliy v závislosti na jeho podmíněném očekávaném užitku daném (rozšířenou) informací [fi, </> (f)].
Toto chování bude generovat (pro každý celkový signál a každého obchodníka) nadměrnou nabídku, kterou nazveme sofistikovaná nadměrná nabídka. Tato
<f a (f, </>). Rovnováha racionálního očekávání (REE = rational expectation equilibrium) je taková předpovídací funkce, že odpovídající sofistikovaná nadměrná
<
a (f, </>) = 0, pro všech na f G F. (4.17)
<
f (4 17)
<
Uvažujme FCE (částečnou předpovídací funkci) </> založené na úplných informačních signálech a předpokládejme, že FCE je odhalující, potom pro každého
f
nostní rozdělení e určené </> (f) stejné jako pravděpodobnostní rozdělení e určené f. Sofistikovaná nabídka i-tého obchodníka je tedy určená fi a </> (f) bude rovno jeho běžné nabídce určené f. Z vlastností rovnováhy </> je běžná celková nadměrná nabídka (kde každý obchodník zná f a cenový vektor je </> (f)) je nulová. FCE </> je tedy predpovední funkce splňující (4.17) a odhalující rovnováha úplné komunikace je rovnováhou racionálního očekávání.
4.2.4   Preciznější model
Uvažujme čistě směnné hospodářství s I obchodníky. Z vnějšku ovlivněné charak-
e
množině E. Před uzavřením jakéhokoli obchodu má každý agent i dostupnou ně-
fi i množině Fi. Pro každého obchodníka i, mají proměnné e, fi,...,f/ společné (sdružené) pravděpodobnostní rozdělení Qi (obecně různé pro různé obchodníky). Nechť F je kartézský součin množin signálů F^, potom Qi je pravděpodobnostní míra na kartézském součinu E x F. Bod f G F reprezentuje všechny vnější informace dostupné společně všem obchodníkům.
30
Rozhodovací problém i-tého obchodníka je vybrat si vektor "aktiv " xj. Předpokládejme, že máme H aktiv, a že xj je nezáporné. Počáteční bohatství i-tého obchodníka je wj. Pokud p značí cenový vektor aktiv, potom rozpočtové omezení i-tého bude
pxj Sí pu>j. (4-18)
Hodnota (užitek) xj pro i záleží na prostředí e; značíme uj (xj,e). Kritériem
i
očekávaný užitek určený jemu dostupnými informacemi obsahujícími (vnější) signál f a tržní cenu.
Rovnováha tržních cen je funkcí proměnné f. Nechť P značí množinu všech normalizovaných nezáporných cenových vektorů. Funkci z F do P nazveme předpovídající funkcí </>. Mějme </>, f a cenový vektor p, potom poptávka i-tého xj
{Uj (xj,e) | fj,^ (f )= p} (4.19)
(4-18) i
xj
J2 (Wj - xj).
j
f
niku f j a nepřímo skrz cenový vektor p = </> (f). Celkovou nadměrnou poptávku značíme a (f, </>). Rovnováha racionálního očekávání (REE) je předpovídající funkce 4>* taková, že
a (f, </>*)= 0, pro každé f G F (4.20)
Obchodovaná aktiva mohou být prodaná (nebo oceněná) v pozdějším čase. Předpokládejme, že vektor xj má tvar (cj,yj), kde
cj ... finanční náklady i-tého obchodníka na současnou spotřebu, a
yj ... portfolio i-tého obchodníka s K různými aktivy.
Tudíž cj je nezáporné reálné číslo a yj je nezáporný K-rozměrný vektor. Hodnota jedné jednotky aktiva k v dalším časovém období bude vk (obchodníci v současnosti neznají přesně vektor budoucích hodnot aktiv v = (vfc)). Vektor v může nabívat konečně mnoha hodnot ve, e G E e je prostředí s relevantím výnosem. Pokud i-tý obchodní zvolí (cj, yj) a prostředí e se nemění, potom budoucí hodnota jeho portfolia bude skalární součin y; předpokládejme, že užitek takového výsledku bude
uj (xj, e) = Uoj (cj) + Uj (veyj) (4.21)
Uj (Y) je nepřímý (vedlejší) užitek začínající v následující časové periodě s bohatstvím Y.
Vektor cen aktiv značíme q a ceny normalizujeme, aby cena současné spotřeby byla 1.
31
Připomeňme, že wí značí vektor počátečního bohatství i-tého obchodníka. První člen wí můžeme interpretovat jako b ohatství i-t ého obchodníka v "hotovosti". Pokud jsou členy wí očíslovány 0, ...,K a Wí = (w1, . . . , wf) (bohatství aktiv i-tého obchodníka), potom rozpočtové omezení i-tého obchodníka je
Cj + q'yj ^ w0 + q'Wj. (4.22)
K
ných. Předpovídající funkce tedy jsou z F do Rf. Při dané m </>, q a fí je poptávka
i (C, y)
{Uío + Uj «y) | fj,f e 4>-1 (a)}, (4.23)
podřízený rozpočtovému omezení (4.22). Nechť ^í/i (q, </>) značí poptávku i-tého obchodníka po aktivech; celková nadměrná poptávka po aktivech je
a f (q,<£) = E[pWj - Zifi (q, <<>)], (4.24)
í
Rovnováha racionálního očekávání (REE = rational expectations equilibrium) je předpovídající funkce 4>* taková, že
a f [</>* (f) ,4>*] = 0, pro každé f e F (4.25)
Za vhodných podmínek regularity (stejnoměrnosti) lze dokázat (viz Radner 1979), že:
1. množina zaměnitelných dvojic (n, n2) je zanedbatelná v Ho,
2. s výjimkou zanedbatelné podmnožiny n pro každé pravděpodobnostní pole v n jsou všechny odpovídající rovnováhy úplné komunikace odhalující,
3. s výjimkou zanedbatelné podmnožiny n pro každé pravděpodobnostní pole v n existuje odpovídající rovnána racionálního očekávání, které je odhalující.
4.3   Příklad neexistence rovnováhy racionálního očekávání
Pokud množina prostředí a informačních signálů není konečná a dimenze cenového prostoru nepřevyšuje dimenzi prostoru signálů, potom existence rovnováhy racionálního očekávání nemusí být všeobecná (viz následující příklad).
Předpokládejme dva obchodníky (i = 1,2) a dvě "aktiva". Portfolio i-tého obchodníka značíme xj = a předpokládáme, že jeho preference mají tvar ("Cobb-Douglasova" forma):
Ui (xj, e) = aj (e)logy + [1 - aj (e)] log Zj, pro 0 < a (e) < 1. (4.26)
kde e G E značí stav prostředí s relevantím výnosem (e G R e G (0,1) a tedy E je jednotkový interval). Předpokládejme, že
ai (e) = ±±2; a2 (e) = (4.27)
32
Obchodník 1 zná e, ale obchodník 2 ne, tj. informační signál prvního obchodníka je e, zatímco informační signál druhého onchodníka je konstatní. Nechť obchode
Počáteční bohatství každého obchodníka je (1,1).
Normalizujeme ceny, aby cenový vektor byl p = (q, 1 — q^^e q G (0,1). Předpovídající funkce je tedy měřitelná funkce z E (jednotkového vektoru) do množiny možných cen prvního "aktiva" (také jednotkový vektor).
(1, 1)
obchodníka je q + (1 — q) = 1 nezávislý na ceně. Nechť </> je předpovídající funkce. Pokud cena aktiva 1 je q = </> (e), pak poptávka prvního obchodníka je:
yl q 3q '
1 i-q 3(1-q) v I
< (e) = q
Nechť
a2 = E [a2 (e) | ^ (e) = q],
e2 = E [e2 | ^ (e) = q]; (4.29)
< (e) = q
z2 = ^ = 3ií%- (4.30)
Nadměrná nabídka je rovna nule, pokud
yi + í/2 =2 zi + Z2 = 2. (4.31) Dáme-li dohromady (4.28) — (4.31) a řešíme pro q, dostáváme q = (6) (3 + e — e2).
<
^ (e) = (6)(3 + e — E [e2 | ^ (e)]). (4.32)
(4.32)
(4. 32)
e = 6^ (e) + E [e2 | </> (e)] — 3. (4.33)
Pokud tedy ^ (e) = </> (e'), pak e = e'. Jinak řečeno pokud ^ je REE, pak je
< E e2 | < (e) = e2
(4.32)
^ (e) = (6)(3 + e — e2), (4.34)
která není jedno-na-jedno. Z (4.34) máme </> (e) = <<> (2 — e)- Neexistuje tedy < (4.32)
33
Nyní uvažujme skupinu ekonomik, které dostáváme z předcházejícího příkladu změnou užitkových funkcí obchodníků.
Nechť U je množina všech užitkových funkcí u s argumenty y, z a e (kde y a z jsou kladná reálná čísla a e je jednotkový interval) taková, že
u
e    u ( y, z, e) y
z
(iii) ... pro každý stav e se indiferenční křivky nedotknou os y a z.
Uvažujme množinu A (U x U) ekonomik získanou specifikací užitkové funkce ui pro obchodníka 1 a užitkové fuknce U2 pro obchodníka 2 (u1, u2 G U). Předcházející příklad je speciální ekonomikou v A. Existuje otevřená množina A° G A tak, že pro každou ekonomiku v A° neexistuje REE.
4.4   Rovnováhy racionálního očekávání v stacionárním lineárním modelu
Uvažujme speciální případ, ve kterém máme trh s jednou komoditou, rovnice nadměrné nabídky jsou lineární a základní události s relevantím výnosem a informační signály jsou stacionární Gaussovy procesy.
Uvažujme nekonečnou posloupnost dat ŕ a označíme pt cenu komodity v čase t. Každý obchodník má (náhodné) nezáporné množství komodity v každém čase;
ei t i
informační signál /it (náhodný vektor).
Nechť etj jsou nezávislé náhodné ve ličiny a etj ~ N (0,1), kde j = 1,..., J a —oo < t < oo. Nechť et značí J-rozměrný vektor se členy £tj-. Nechť H je soustava všech náhodných proměnných tvaru
E«t • £t, (4.35)
t
kde (at) je nekonečná polsoupnost J-rozměrných vektorů, jejichž délky jsou square-summable (tj. posloupnost jejíž řada čtverců konverguje ke konečnému
součtu). Taková náhodná proměnná je N ^0, Eat • a^j ■
Pro náhodnou proměnnou h G H, viz (4.35), definujme posun h značený Th jako
Th = Y,at • £t-i- (4.36)
t
(ht) H tuje takové h G ht = Tth ^ro räechna t. Posloupnost náhodných vektorů
H
H
34
Uvažujme stacionární posloupnosti (et) a (/it). Pro každého obchodníka i nechť Fit značí sigma-algebru generovanou náhodným vektorem {/im : m t} a nechť Ft značí sigma algebru získanou shromážděním sigma algeber Fit, i = 1, Potom předpokládáme, že každý obchodník zná své počáteční bohatství a každé t, et je měřitelné s ohled em na Ft. Nech ť Pt značí sigma algebru generovanou současnými a minulými cenami, tj. {pm : m < t}.
Podmíněné očekávání i-tého obchodníka pt+1 určené jeho informacemi v čase t (zahrnující jeho současné a minulé informační signály a současné i minulé ceny) je
kde a > I je parametr. Rovnováha (stacionárních) racionálních očekávání je stacionární cenová posloupnost taková, že nadměrná poptávka v každém čase je (téměř jistě) rovna nule.
Můžeme opět definovat rovnováhu úplné komunikace (FCE = full communication equilibrium), ve které každý obchodník v každém čase shromáždil informace F t- V tomto modelu existuje jediné FCE značené p = (pŕ). FCE nazveme informativní, pokud pro každé i a t
Pokud p* = (p*) je rovnováha racionálního očekávání, nazveme p* symetrickou, pokud pro každé i, j a t budou obchodníci i a j (téměř jistě) dělat stejné podmíněné předpovědi p*+1; tj. p*t = p*t.
Věta 4.2: Symetrická rovnováha racionálního očekávání (REE) existuje právě tehdy, když odpovídající rovnováha úplné komunikace (FCE) je informativní; v tomoto případě jsou tyto dvě rovnováhy stejné.
Podmínka (4.39) je dobře definovaná pro jakékoli cenové posloupnosti, ale je REE informativní? Podle definice je informativní REE symetrické; odtud podle Věty 4.2: REE je informativní právě tehdy, když je FCE. Informativní rovnováha nemusí být odhalující, ale každému obchodníkovi umožňuje dělat dobré podmíněné předpovědi cen v následující časové periodě, jelikož má shromážděné informace od všech obchodníků.
Prostor H náhodných proměnných může být určen prostorem square-summable posloupností (at) a proto je Hilbertovým prostorem. Navíc každá stacionární
H
HH
určen sigma algebrou generovanou nějakým souborem náhodných proměnných H
pit = E {Pt+1 | Fit, Pí}-
Předpokládejme, že celková nadměrná nabídka v čase t je
(4.37)
(4.38)
E jpt+i | Fit, Pt} = E jpt+i | Ft}.
(4.39)
35
Věta 4.3: Množina modelů bez REE a množina modelů s pouze symetrickými REE mají neprázdný vnitřek.
Věta 4.3 ukazuje, že dokonce i ve speciálním případu lineárního modelu s normálně rozdělenými náhodnými proměnnými je situace, ve které je prostor prostředí a informací nekonečný, docela jiná než situace, ve které je konečný. Zejména už není případem, kdy je existence REE všeobecná.
36
5 Výroba
Produkční plán výrobce určuje jeho čistý výstup pro každou dvojici čas-událost. Protože jsou trhy pro podmíněné dodávky kompletní, je současná hodnota výrobního plánu pro jakýkoliv stanovený cenový systém určena, takže je přesně stanoveno uspořádání produkčních plánů podle současných hodnot. Přestože jsou tyto současné hodnoty mezi spotřebiteli známy, neexistuje rozdíl v názoru na hodnoty akcií a proto zde není prostor pro triviální trh s akciemi. Tyto poznatky můžeme využít i pro náš rozšířený model.
5.1   Výroba v Arrow-Debreuově modelu
Na abstraktní úrovni může být výroba zavedena do Arrow-Debreuova modelu velmi jednoduše. Pro výrobce j označme yjt náhodný vektor čistých výstupů v čase t a nechť y j označuje posloupnost vektorů (yjt) . Náhodný vektor yjt musí být měřitelný vzhledem k sigma-algebře Ft ; ta představuje informace, které mají agenti v čase t k dispozici. Posloupnost y j se nazývá výrobní plán výrobce j, který má k dispozici množinu realizovatelných výrobních plánů Yj -výrobní množinu.
Připomeňme, že cenový systém v Arrow-Debreuově modelu je posloupnost vektorů (pt) = p takových, že pt je měřitelný vzhledem k Ft. Současná hodnota produkčního plánu y vzhledem k cenovému systému p je součet skalárních součinů,
py = 53 ptyt = $3 pt(e)yt(e)-
t (t,e)
Každý spotřebitel i je vybaven vektorem komodit wi a vektorem podílů f i = (fj), kde jsou složky vektoru zlomky a suma podílů jakékoliv firmy je rovna jedné. Pro daný cenový systém p a produkční plány y j (jeden pro každou firmu) je jmění spotřebitele i v zúčtovacích jednotkách dáno jako
pWi +        fj Pyj •
j
Každý spotřebitel si vybere svůj nejvíce preferovaný plán spotřeby ze své množiny spotřeby s ohledem na omezení, že náklady jeho plánu nesmí převýšit jeho jmění.
Tímto způsobem bude model ekonomiky v podmínkách nejistoty formálně zredukován na model v podmínkách jistoty. Nyní si stručně vysvětlíme, proč je model výrobní množiny, který vyjadřuje volbu mezi informačními strukturami, nekonvexní. Zřejmě je zde hned několik zdrojů možné nekonvexnosti. Za prvé získání informací může vyžadovat výdaje zdrojů, které jsou nezávislé na rozsahu výroby. Jinak řečeno tyto výdaje za informace mohou být fixní což zpravidla narušuje konvexnost výrobní množiny.
Za druhé předpokládejme, že výrobce má k dispozici skupinu alternativních informačních struktur, každé z nich odpovídá výrobní množina. Celková výrobní množina výrobce je tedy sjednocením jednotlivých množin. Dokonce i kdyby
37
byly jednotlivé množiny konvexní, jejich sjednocení obecně konvexní nebude. Bylo by jen v případě, že by byl počet alternativních informačních struktur konečný, což je nepravděpodobné.
5.2   Akciové trhy a optimální alokace v dvoudobém modelu s fixními výrobními plány
Pro teoretickou analýzu akciových trhů v podmínkách nejistoty použijeme velmi jednoduchý dvoudobý model, který zdůrazňuje jejich alokační roli pro spotřebitele. V tomto modelu jsou plány výrobních jednotek dané, výstupy v čase 2 nejisté a spotřebitelé v čase 1 obchodují s komoditami kvůli aktuální spotřebě a s podíly na fyzických výstupech firem v čase 2. Ukážeme si, že takovýto trh může podporovat vynucenou Pareto-optimální alokaci komodit, které jsou v obou časech dostupné pro spotřebu. Povaha vynucení je taková, že míra výstupu každé výrobní jednotky v čase 2 alokovaná k jakémukoliv spotřebiteli se nesmí stav od stavu prostředí lišit. Tento teorém optimality nebyl rozšířen pro obecné modely sekvenčních trhů s výrobou, ale přesto naznačuje zajímavý pohled na užitečnost akciových trhů jakožto institucí pro alokaci v podmínkách nejistoty.
Uvažujme nyní model se dvěma časy, H komoditami v každém čase, m spotřebiteli a n výrobními jednotkami. Plán každé výrobní jednotky je daný. Nechť wh je celkové dostupné množství komodity h pro alokaci ke spotřebitelům a nechť w = (wh). Existuje zde nejistota týkající se výstupů několika výrobních jednotek v čase 2. To můžeme zformulovat do předpokladu, že existuje konečná množina alternativních stavů prostředí S a že vektor výstupů jednotky j v čase 2 závisí na stavu s, který skutečně nastane. Tento vektor označíme yj(s). Celkové dostupné množství komodity h pro spotřebu v čase 2 ve stavu s je
Obyčejně by se uvažovaly všechny možné alokace vektoru y(s) v čase 2 ve stavu s. Avšak my budeme uvažovat omezenou množinu alokací ve tvaru
kde fj je zlomek výstupu jednotky j alokovaný spotřebiteli i a tento zlomek je stejný pro všechny stavy s.
Nechť |S| značí počet stavů v S. Plán spotřeby spotřebitele i je dvojice (xji,xj2), kde xn je vektor v RH a představuje spotřebu spotřebitele i v čase 1, xj2 = (xj2(s)) je vektor v RH'S' a reprezentuje spotřebu i v čase 2 v každém stavu s z S. Nechť X označuje množinu realizovatelných plánů spotřeby spotřebitele i. Xj je podmnožinou RH(1+ISD . Předpokládejme, že i má preferenční předuspořádání <j na Xj.
Nechť F je množina vektorů f = (fj) v RH taková, že pro každé j je 0 < fj < 1. Alokace ke spotřebiteli i je dvojice (xj1,fj) taková, že xj1 je z RH
(5.1)
j
(5.2)
j
38
a f j je z F. Alokace určuje plán spotřeby pro i podle vztahu (5.2). Nechť Aj označuje množinu alokací ke spotřebiteli i, které odpovídají plánům spotřeby v Xj. Preferenční předuspořádání na Xj obsahuje odpovídající preferenční pře-duspořádání na Aj, které budeme značit stejně, tj. jako <j.
Alokace je m-tice alokací k několika spotřebitelům.  Alokace ((xj1,fj)) je dosažitelná, jestliže:
1. pro každé i je (xj1, fj) z Aj ,
2. pro každé j je   j fjj = 1 ,
3. j xj1 = w.
Množinu dosažitelných alokací označíme A. Dosažitelná alokace a* je Pareto-optimální, pokud neexistuje jiná dosažitelná a' taková, že ji jakýkoliv spotřebitel preferuje před a* a alespoň jeden ostře preferuje a* před a'.
Nyní se budeme zajímat o charakterizování Pareto-optimálních alokací jakožto rovnováh vztažených k nějakému cenovému systému.   Abychom byli přesní, použijeme koncept rovnováhy ocenění.  Nechť p označuje vektor komoditních cen v čase 1 a nechť v označuje vektor cen akcií, tj. vj je cena 100 % výstupu výrobní jednotky j v čase 2. Rovnováha ocenění je (m+2)-tice (((x*1? fj*)),p, v),
kde
(a) ((x*1, fj*)) je dosažitelná alokace,
(b) pokud je pro každé i (xj1, fj) z Aj a (xj1, fj) >j (x|1; fj*), pak
pxj1 + vfj > px*1 + vfj*. (5.3)
Podmínka (5.3) nám říká, že při daných komoditních a akciových cenách jakákoliv alokace k i, kterou chce stejně jako (x*1? fj*) také stejně stojí.
S takto formulovaným modelem lze přímo uplatnit standardní teorii vztahu mezi Pareto-optimálními alokacemi a rovnováhou ocenění. Alokace aj = (xj1,fj) z A nazveme nasycenou alokací pro i, pokud neexistuje žádná jiná alokace v A taková, že je ostře preferována spotřebitelem i před a . Nechť a = ( a ) označuje dosažitelnou alokaci. Řekneme, že rovnováha ocenění (a, v,p) je nad minimálními náklady, pokud jsou pro každé i náklady na aj (při daném p a v) ostře větší než minimální náklady alokací v A .
Věta 5.1
Předpokládejme, že pro každé i je množina spotřeby Xj konvexní a preferenční předuspořádání <j je spojité a konvexní. Pokud je (a, v,p) rovnováha ocenění, která je nad minimálními náklady a taková, že žádné a není nasycenou alokací pro i pak a je Pareto-optimální. Naopak pokud a je Pareto-optimální alokace taková, že pro nějaké i a není nasycenou alokací, pak existuje cenový systém ( p, v) takový, že (a, v, p) je rovnováhou ocenění.
Věta 5.1 nám však neposkytuje žádné přímé informace o účinnosti akciových trhů při volbě výrobních plánů.
39
5.3   Rovnováha plánů a cenových očekávání s trhy výroby a akciovými trhy
Jednoduchý dvoudobý model, jenž byl výše popsán, není vhodný pro analýzu problému posloupnosti trhů.
Nyní si načrtneme model rovnováhy plánů a cenových očekávání (viz kapitola 4), avšak rozšířený o výrobní rozhodnutí a akciové trhy. Poznáme, že existence rovnováhy v tomto modelu je nejistá.
Znovu uvažujme model z části 2, ale nyní jsou obchodníky výrobci a spotřebitelé. Výrobce je charakterizován pomocí množiny technologicky realizovatelných výrobních plánů, které specifikují čistý výstup každé komodity za každé dvojice čas-událost. Každý výrobce si vybere výrobní a obchodní plán. Tyto dva plány musí být konzistentní - v každou dvojici čas-událost se musí celkový počet minulých a současných smluv na aktuální dodávky rovnat aktuálnímu čistému výstupu. Při daném cenovém systému p = (pm), určuje jednotlivý obchodní plán Zj = (zjm) pro výrobce j vektor čistých příjmů r j = (rjm), kde
rjm      pmzjm • (5.4)
Každý výrobce má na množině všech možných vektorů příjmů preferenční předuspořádání, což je klíčovým předpokladem o chování výrobce. Toto preferenční předuspořádání vyjadřuje výrobcova přesvědčení pokud jde o relativní pravděpodobnosti událostí stejně jako o jeho postoj k riziku. Při daném systému komoditních cen se u každého výrobce předpokládá, že si vybere výrobně-obchodní plán, který maximalizuje jeho preference u odpovídajících vektorů příjmů.
V každou dvojici čas-událost m, je každý čistý příjem výrobce rjm rozdělen mezi akcionáře podle počtu akcií držených v bezprostředně předcházející dvojici čas-událost. Tyto akcie jsou obchodovány na akciovém trhu v každou dvojici čas-událost a akcionáři si ponechají své akcie mezi dvěma časy, pokud je neprodali. Pokud jsou ponechané zisky interpretovány jako vstupy do aktuální výroby, pak rjm může být interpretován jako celková dividenda výrobce j v každou dvojici čas-událost m.
Každý spotřebitel si zvolí plán spotřeby, obchodní plán a plán portfolia. Obchodní a spotřební plán byl popsán v předešlé kapitole. V každou dvojici čas-událost m = (t, e) je 'portfolio spotřebitele i vektor fim = (fjm), kde fjm je podíl spotřebitele i na čistém příjmu výrobce j v čase (t +1), tj. při každé elementární události v čase (t+1). Portfolio je tedy v každou dvojici čas-událost reprezentováno vektorem z F, což je množina takových vektorů (fj) v i?n, že pro každé j je 0 < fj < 1. Plán portfolia spotřebitele i je takový vektor f i = (fim), že pro každé m je fim z F. Nechť víai označuje cenu 100 % podílů výrobce j v každou dvojici čas-událost m, pak vm = (vj) je vektor cen akcií v m a v = (vm) je systém cen akcií. Při daném vm je tržní hodnota portfolia spotřebitele i fim v m skalárním součinem vmfim.
Každý spotřebitel čelí v každé dvojici čas-událost, m = (t, e), rozpočtovému omezení. Na straně aktiv v m jsou tři položky:
40
1. tržní hodnota jeho portfolia převedená z předchozího času t-1 a vypočítaná v aktuálních cenách akcií vm,
2. jeho podíl na dividendách v m, jak je určen portfoliem,
3. tržní hodnota kladných složek zim vypočítaných na základě komoditních cen pm.
Na straně pasiv jsou položky dvě:
1. náklady na nové portfolio v m,
2. tržní hodnota záporných složek zim.
V žádném m nesmí jeho pasiva převýšit jeho aktiva. Spotřebitel je charakterizován množinou spotřeby, preferenčním předuspořádáním a vybaveností zdroji a navíc oproti kapitole 4 má počáteční vybavení akciemi v čase 1. Při daném systému komoditních cen a akciových cen se u každého spotřebitele předpokládá, že si vybere spotřebně-obchodně-portfoliový plán, který maximalizuje jeho preference s ohledem na rozpočtová omezení v každém m.
Rovnováha plánů a cenových očekávání je takové pole plánů (jeden pro každého spotřebitele a výrobce) a systému (p, v) komoditních a akciových cen, že při daném p a v je plán každého agenta optimální a že v každém m je převis nabídky každé komodity a akcie roven nule. Připomeňme, že p = (pm) a v = (vm) mohou být interpretovány jako funkce obecných cenových očekávání.
Blízce příbuzný s pojmem rovnováha je pojem pseudorovnováhy. Ta je definována stejně jako rovnováha s výjimkou podmínky zúčtování trhů, která byla nahrazena následující podmínkou: v každém m je hodnota celkového převisu nabídky menší při pseudorovnovážných cenách než při jakýchkoliv jiných.
Věta 5.2
Pokud
(a) každý spotřebitel splňuje podmínky 4.4 - 4.7 z kapitoly 4 a navíc na počátku drží kladný počet všech akcií,
(b) celková počáteční nabídka akcií je zcela držena spotřebiteli,
(c) produkční množina každého výrobce je uzavřená a konvexní a splňuje podmínku bezplatného použití,
(d) celková množina produkčních možností splňuje podmínku nevratnosti výroby,
(e) preference každého výrobce u čistého příjmu mohou být reprezentovány pomocí spojité a ostře konkávní užitkové funkce,
pak existuje pseudorovnováha. Navíc pseudorovnováha, při které jsou veškeré ceny akcií kladné a akciový trh je zúčtován na počátku, je rovnováhou.
41
5.4   Komentáře k předpokladům a alternativním formulacím
V současném modelu mají držitelé akcií neomezenou odpovědnost, a proto mají spíše postavení partnerů než akcionářů. Jedním ze způsobů, jak odpovědnost akcionářů omezit, je uvalení omezení na výrobce - jejich čisté příjmy nesmí být v žádném m nezáporné. Tímto však vzniká problém analogický tomu, kdy je pro daný cenový systém spotřebitel nucen být na hranici své množiny spotřeby.
V jeho případě však lze tuto situaci vyloučit (např. podmínkami 4.7). V případě výrobce není považováno za neobvyklé, že maximální dosažitelný zisk v daném cenovém systému může být nulový.
Bylo by zajímavé mít podmínky na výrobce i spotřebitele, které by přímo garantovaly existenci rovnováhy, ne jen pseudorovnováhy. Jinak řečeno, za jakých podmínek by byl akciové trhy v každém m zúčtovány? Povšimněme si, že pokud je převis nabídky akcií daného výrobce j v (t, e), pak v čase t+1 bude rozdělena jen část čistého příjmu výrobce. Očekávali bychom, že tato situace vznikne pouze tehdy, pokud při alespoň jedné události v čase t+1 bude jeho příjem záporný. Takovýto výrobce by v tuto chvíli zkrachoval.
Jedním z postupů by mohlo být eliminování všech výrobců z pseudorovnováhy, jejichž převis nabídky akcií je nenulový v nějakém m, a poté hledat rovnováhu s touto zmenšenou množinou výrobců. Následovaly by další a další redukce této množiny, dokud by rovnováha nebyla nalezena. Tento postup má triviální důsledky - rovnováha vždy existuje, protože existuje pro přímou směnu, kdy je množina výrobců prázdná.
Přestože současný model nepovoluje odchod výrobců (s výjimkou minulého odstavce), dovoluje však vstup a sice následovně : výrobce může mít nulovou výrobu až do nějakého data, po němž už však plánuje vyrábět.
Předpoklady v části 5.3 popisovaly model chování výrobce, který není ovlivněn akcionáři či přímo cenami akcií. Obecná alternativní hypotéza říká, že se výrobce snaží maximalizovat aktuální tržní hodnotu své firmy. Zdá se však, že zde existují alespoň dvě překážky. Za prvé v různá m jsou různé tržní hodnoty, takže není jasné, jak je maximalizovat souběžně. Za druhé je tržní hodnota podniku v jakémkoliv m cenou, u které se předpokládá, že je stejně jako ostatní ceny určena rovnováhou nabídky a poptávky. Zdá se tedy, že hypotéza o maximalizování tržní hodnoty vyžaduje, aby výrobci předpovídali vliv změny v jejich plánu na rovnovážnou cenu. V tomto případě by výrobci již nadále nebyli příjemci ceny a bylo by zapotřebí nějaké teorie obecné rovnováhy v podmínkách monopolu.
42
6   Přizpůsobování, stabilita a stacionární nerovnováha
6.1 Úvod
Dosud jsme se omezili na případy, ve kterých je trh každý den alespoň v krátkodobé rovnováze. Pokud je časový interval mezi obdobími vzhledem k rychlosti přizpůsobování cen krátký, pak se ekonomika bude nacházet v dalším období a prostředí bude změněno dříve, než se ceny stihnou přizpůsobit krátkodobé rovnováze. Můžeme pak pozorovat proces opakovaného nedokončeného přizpůsobování se stochastickými změnami v prostředí a ekonomika bude v rovnováze v tom smyslu, že trhy se nikdy (nebo zřídka) vyčistí. Nicméně, i v tomto případě opakované nerovnováhy můžeme odlišit situace, ve kterých ceny a množství kolísají rovnoměrným způsobem kolem dlouhodobých průměrů, od situací, ve kterých množství, ceny nebo obojí kolísají s větším rozptylem, nebo rostou bez omezení. K popisu první situace můžeme použít pojem stacionární stochastický proces, který je zobecněním případu nejistoty v pojmu deterministické rovnováhy. Nicméně, je důležité zdůraznit, že stacionarita stochastického procesu nevylučuje kolísání měnící se fáze a amplitudy.
Budou nás rovněž zajímat podmínky, za nichž je stochastický proces přizpůsobování "stabilní" v tom smyslu, že konverguje ke stacionárnímu procesu. Budeme zde hovořit o třech případech takové stability. V prvním případě (6.2) je každé opakování následované změnou v prostředí a po sobě jdoucí prostředí jsou nezávislá a identicky rozložená. Toto můžeme interpretovat jako model posloupnosti spo-tových trhů, na kterých nejsou cenné papíry přenášeny z jednoho dne na druhý. Cena závisí v každém období na ceně a převisu poptávky z předešlého období a převis nabídky v každém období závisí na aktuální ceně a stavu prostředí. Výsledná posloupnost je Markovúv proces. Tento příklad má tu vlastnost, že v "rovnováze", tj. když je proces stacionární, očekávaný (nebo dlouhodobě průměrný) převis nabídky nemusí být nula.
Ve druhém případě (6.3) jsou možné zásoby komodit a přebytek zásob v libovolném období je přidán k zásobám na skladě. S předpoklady, které jsou podobné podmínkám "diagonální dominance", lze dokázat silnou fromu stability v Mar kovově případě a slabší formu stability v nemar kovském případě. V důsledku převodu přebytečných zásob je očekávaný převis nabídky v rovnováze nula.
Třetí případ (6.4) se týká změn vedoucích k racionálnímu očekávání rovnováhy ve speciálním lineárně-Gaussově modelu.
6.2 Stochastické přizpůsobování bez zásob
V této části bude popsán příklad stochastického přizpůsobování bez zásob. Předpokládejme posloupnost trhů, na kterých, pro každé období t, pt je vektor cen, zt je vektor převisu nabídky a st je vnější stav prostředí. Po sobě jdoucí stavy prostředí jsou považovány za nezávislé a shodně rozložené. Po sobě jdoucí ceny a převisy nabídek jsou určeny
43
zt = C (Pt, st); pt+i = a (pt, zt)
(6.1)
Ca ového vyrovnání (regulace cen, price adjustment function). Rovnice (6.1) můžou být spojeny do jednoho vztahu, který určuje další cenový vektor jako funkci aktuálního cenového vektoru a stavu prostředí:
Vzhledem k tomu, že po sobě jdoucí stavy prostředí jsou nezávislé a shodně rozložené, po sobě jdoucí cenové vektory tvoří Markovský proces. (Marginální) rozdělení pravděpodobnosti, označme nt, pt bude obecně záviset na t a na počátečním rozdělení n0. Nech ť Po označuje soubor normalizovaných vektorů cen v jakémkoli období. Míra pravděpodobnosti n na P0 je nazývána invariantní (stálá), jestliže n0 = n implikuje, že nt = n pro všechna t. Můžeme pak nazývat invariantní míru pravděpodobnosti rovnovážnou cenou distribuce (equilibrium price distribution). Tato terminologie je v souladu s terminologií z části 6.1 ve smyslu, že pokud n0 je rovnovážná cena distribuce, pak posloupnost cenových vektorů tvoří stacionární proces.
Nicméně, je důležité zdůraznit, že cenový proces může být stacionární, a přesto dlouhodobý průměr převisu nabídky nemusí být nulal
Nyní ukážeme soubor předpokladů na převis nabídky a přizpůsobení cenové funkce, které zabezpečí existenci rovnovážného rozdělení. Připomeňme si, že každá St je opi s S0 a že jsme pro jednoduchost předp okládali, že S0 je konečné.
(a) Z (•, s) je spojité na P0 pro každé s z S0.
(b) Jestliže pn — p v P0, a p není ostře kladné, pak délka Z (pn, s) roste bez omezení, protože roste n , pro každé s z S0.
(c) Pro každou komoditu h je ôh > 0 takové, že pro každý cenový vektor p, ph S ôh znamená, že Zh (p, s) > 0, pro každé s z S0.
(d) a je spojitá na P0 x Z0.
(e) Existuje e > 0, menší než každé ôh v (c) takové, že pro každou komoditu h, každé p z P0, a každé z ze Z0 platí
|ah (p, z) — ph| < e.
(f) — [ah (p, x) — ph] je označení pro zob razení zh. Věta 6.1
Podle předpokladů (a) - (f) existuje rovnovážná cena distribuce. Věta 6.2
Přidáme-li předpoklad, že pro každé s z S0, je /3 (•, s) zmenšení zobrazení na P0, pak pro jakoukoliv počáteční cenu distribuce n0, posloupnost nt bude konver-
pt+i = P (pt,st)
a [pt,C (pt,st)]-
(6.2)
44
govat k rovnovážné ceně distribuce, která je nezávislá na no, tj. cenový proces je stabilní.
Důkazy těchto vět viz Green a Majumdar (1975).
6.3   Stochastické přizpůsobování se zásobami
Ve velkém počtu trhů, zásoby a back-orders slouží jako pojistka proti náhodným změnám v nabídce a poptávce. Budem používat pojem zásoby (stock) k označení stavu zásob (kladné zásoby) nebo back-orders (záporné zásoby). Úrovně a pohyby zásob poskytují důležité signály o minulém a současném stavu poptávky, a tyto signály zase ovlivňují pohyby cen. Na druhou stranu, ceny jsou ovlivňovány jinými signály než zásoby a samy slouží jako signály, které ovlivňují nabídky a poptávky a tím také zásoby.
Zde vytvořené předpoklady přizpůsobování cen a zásob jsou svým významem podobné předpokladům Diagonální Dominance používané Lionelem McKenzie ke studiu stability přizpůsobovacího procesu v deterministickém procesu. [Viz McKenzie, (1960); viz též Arrow, Block, a Hurwicz (1959).] Tyto předpoklady nejsou přímo srovnatelné s Diagonální Dominancí kvůli odlišnosti v modelu. Předpoklady o přizpůsobování můžeme popsat tímto způsobem: pro každou komoditu, když její zásoby jsou dostatečně vysoké (nízké) její cena v průměru klesne (vzroste), a když je její cena dostatečně vysoká (nízká), jeho zásoba v průměru vzroste (klesne).
Využijeme rovněž dalších dvou předpokladů: (B) přírůstek cen a zásob za jeden časový úsek je shodně omezený a (M) stochastický proces cen a zásob je Markovúv, se stabilními změnami pravděpodobností a diskrétním stavem prostoru. S těmito předpoklady můžeme ukázat, že Markovúv proces konverguje ke stacionárnímu procesu, který, jak jsem uvedl, je stochastický model "rovnováhy". Předpoklady nevylučují několikanásobnost rovnováhy, ale zabezpečují, že je jich jen konečně mnoho. Obecně platí, že z jakéhokoliv počátečního stavu bude rozdělení pravděpodobnosti na množině konečné rovnováhy, tj. na množině alternativních stacionárních procesů, ke kterým proces může konvergovat.
V tomto modelu, převis nabídky není uveden jednoznačně. Pokud je převis nabídky (pozitivní nebo negativní) v každém období přidán do aktuální zásoby a není zde vyčerpání zásob, pak stacionarita zásob znamená, že dlouhodobý průměr převisu nabídky bude nula. Bude tomu tak i v případě, že vyčerpání je vhodně symetrické.
I bez Markovova předpokladu (M) můžeme dokázat stabilitu - jako důsledek: existuje ohraničená množina D taková, že z každého počátečního stavu, každé trajektorie (téměř jistě) vstupuje D, a očekávaný čas prvního vstupu je konečný.
Uvažujeme posloupnost trhů; v každém období t stav trhu je charakterizován vektorem cen pt, a vektorem zásob vt. Ceny jsou nezáporné. Zásoby mohou být kladné nebo záporné; negativní zásoby jsou interpretovány jako přijaté, ale neuskutečněné objednávky. Pro účely pouze této části, stav ekonomiky v období t je označen st = (pt,vt). (Všimněte si, že toto vychází z jiného označení v této kapitole, protože st není výhradně exogénni.)
45
Vytvoříme čtyři předpoklady o posloupnosti (st), které jsou uvedeny níže. První (S) je, že (st) je stochastický proces. V druhé části věty posílíme tento předpoklad předpokladem, že stochastický proces st je Markovův se stacionárními změnami pravděpodobností a diskrétním stavem prostoru. Druhý předpoklad, (B), je formální, ale podstatný; vyžaduje, aby přírůstky proměnných ph, vh byly totožně omezené. Třetí a čtvrtý předpoklad f(PA) a (SA)] se týká přizpůsobování cen a zásob, v tomto pořadí. Tyto poslední dva předpoklady mohou být interpretovány následovně: pro každou komoditu, když její zásoby (stock) jsou dostatečně vysoké (nízké), její cena v průměru klesne (vzroste), a když je její cena dostatečně vysoká (nízká) její zásoba (stock) v průměru vzroste (klesne).
Přesné formulace těchto čtyř předpokladů jsou:
(S) Proces (pt,vt) je stochastický proces definovaný na nějakém pravděpodobnostním prostoru (íí, F, <J>). Nechť Ftoznačuje sub-sigma-pole F tvořené částečnou historií procesu během období ŕ, tj. Ft je nejmenší sub-sigma-pole F, takové že náhodné proměnné s,... ,st jsou měřitelné.
(B) Souřadnice bodů pt a vt mají totožně omezené přírůstky. Tato hranice bude označena 7, tj. pro každé h a t,        — ph| < 7 a |vh+1 — vh| < 7.
(PA) Pro každou komoditu h existují čísla v*h > 0, a*h > 0, vh < 0 a ah > 0 takové, že:
(1) E (ph+1 | Ft) < max {0,ph — a*h} on {vh > v*h};
(2) E (ph+i | Ft) > ph — oíon {vh < vh}.
(SA) Pro každou komoditu h existují kladná čísla p*h, /3*h, ^h s pht_ < p*h takové, že:
(1) E (vh+i | Ft) > vh + /*hon {ph > p*h};
(2) E (vh+i | Ft) < max (0, vh — /h) on {ph < ph}.
Věta 6.3.
Předpoklad (S), (B), (PA), a (SA) vyjadřují, že existuje ohraničená množina D c RH x RH stavů stochastického procesu (pt, vt) taková, že každá trajektorie protíná D a očekávaný čas prvního protnutí je konečný, tj.
E (T) < 00, kde T (w) = inf {t | (pt (w), vt (w)) G D}.
( pt , vt)
nami pravděpodobností a diskrétním stavem prostoru, pak je rozdělení stavového prostoru do konečně mnoho kladných opakujících se tříd a množina přechodných stavů taková, že není podmnožinou žádné uzavřené množiny.
46
První část věty může být posílena. Můžeme ukázat, že množina D je pozitivně stálá (positive reurrent) v tom smyslu, že každá trajektorie stráví kladnou část období D, tj. existuje nějaké číslo c > 0 takové, že
t-i
liminf1 J2 1d (sk) > c, | a.s.,
t k=0
kde symbol 1D označuje ukazatel funkce pro množinu D. [Pro důkaz tohoto silnějšího tvrzení, viz. Fôllmer (1977).]
6.4   Přizpůsobení vedoucí k rovnováze racionálních očekávní
Teorie rovnováhy racionálních očekávání (4.2) předpokládá chování, které dává silné požadavky na racionalitu ekonomických subjektů, natolik, že vyžaduje, aby nejenom dělali obvyklý výpočet očekávaného užitku ve standartním modelu trhu s nejistotou, ale také aby měli správný model simultánního rozložení rovnováhy cen, jejich vlastní počáteční informace, a možné hodnoty pohledávek, se kterými obchodují - jejich "tržní modely". Jaké jsou odpovídající předpoklady o racionalitě obchodníků během procesu "učení" v teorii přizpůsobení vedoucích k rovnováze racionálních očekávání (REE)? I když obchodníci opraví jejich model trhu, odpovídající model trhu se změní způsobem, který v podstatě závisí na opravě pravidel všech obchodníků. Tedy, teorie využívající racionalitu směřuje k pojetí učení a procesu přizpůsobení jako postupná hra s neúplnou a nedokonalou informací.
Podle názoru autora by tento přístup byl nereálný a v rozporu se smyslem procesu přizpůsobování a učení. Realističtější alternativou by bylo předpokládat nějakou formu omezené racionality v procesu přizpůsobování, která, jakožto stabilní, by se blížila k úplné racionální rovnováze. Budou zde uvedeny dva úzce související procesy tohoto typu, v rámci lineárního modelu podobného jako v části 4.4, ale jednoduššího.
Uvažujme opět I účastníků trhu v obdobích t=í, 2,..., atd. Na rozdíl od modelu z části 4.4, výsledná "hodnota" jednotky zboží koupeného v období t nebude jeho cena na budoucím promptním trhu, ale spíše nějaká exogénni náhodná proměnná rt. Nechť fit označuje obchodníkovu i-tý exogénni informační signál v t, a pt cenu zboží v t; jako v 4.4, Fit bude označovat sigma-algebru tvořenou aktuální a minulou informací signálu, {fim : m Sí t}, a Pt budou označovat sigma-algebru tvořenou aktuálními a minulými cenami, {pm : m S t}. Definované rit které má být i-tým odhadem rt, daného Fit a Pt, a předpokládáme, že i-tý převis poptávky v t je lineární funkcí
6řit - ô'pt,kde 6, ô' > 0. (6.3)
(Pro jednoduchost jsme předpokládali, že parametry ô a ô' v poptávkové funkci jsou stejné pro všechny účastníky trhu.)
Představte si, že kromě jakéhokoliv možného záporného převisu poptávky ze strany obchodníků, který je popsaný výše, je zde i exogénni nabídka et, která
47
je náhodnou proměnnou. Celkový převis nabídky v období t je proto
apt - SYjit + eŕ, kde a = IS'. (6.4)
i
Předpokládejme dále, že pro každé i a t,
fit = r i + Vit, (6.5)
a že náhodné veličiny et, rt, y1t,..., y/t, jsou všechny Gaussovy a vzájemně nezávislé (mezi sebou a skrz čas), a že po sobě jdoucí (I + 2)-tice (et, rt, y1t,y1t) jsou identicky rozdělené. (Můžeme interpretovat fit jako "míru" z rt založenou
Vit
a bez zásadní ztráty na obecnosti (s předpoklady uvedenými dále v textu), předpokládejme, že všechny náhodné proměnné mají průměr nula; definujme jako
e = Ee2; p = Er2; m = Ey2u. (6.6)
V důsledku předpokladu časové nezávislosti, v REE odhadu by rit záviselo
fit Vt
rit = a\ + blipit + clJit. (6.7) Poslední věta spolu s předpokladem, že převis nabídky je nula, znamená, že
a - SEbl) Vt - SEclfit + et - E< = 0. (6.8)
i i i
Rovnice (6.8) udává "rovnovážné" aspekty REE; aspekty "racionálních očekávání" jsou vyjádřeny
E {rt | fit,Vt} = al + blpt + cl fu, i = 1,...,I. (6.9) Je snadné ověřit, že (6.8) a (6.9) znamená, že Ept = 0 al =0, i = 1,...,I
(6.10)
Rovnice (6.7)-(6.10) můžou teď být shrnuty
áIľcž fit-et
pt = ;_,5E6| ' (6-n)
E {rt | fit,Vt} = blpt + cl fit, (6.12)
kterékoliv z těchto řešení je definováno jako REE. I přes zdánlivou jednoduchost modelu, kompletní rozbor řešení (6.11) a (6.12) není dostud známý. Nicméně, můžeme dokázat, že řešení existuje.
48
Rovnice (6.11) a (6.12) naznačují základní přizpůsobovací proces, což je nereálne, ale bude sloužit ke zjednodušení některých problémů. Předpokládejme, že pro některý počet období, obchodník i používá předpovídací funkci,
it = bipt + Oifit, i = 1, I,
(6.13)
takovou, že koeficienty (bi, ci) nemusí bezpodmínečně tvořit REE, tj. nejsou řešení (6.11) a (6.12). V každém období, ve kterém jsou předpovídací funkce (6.13) užívány, tržní zúčtovací cena bude
(6.14)
toto nazýváme krátkodobým očekáváním rovnováhy (temporary expectations equilibrium - TEE). Předpokládejme nyní, že obchodníci používají jejich indii
efektivně učí spojité (Gaussovo) rozdělení (fit,pt, rt). (Přesněji řečeno, je nutné nekonečné množství dat!) Můžeme dokázat, že pro toto rozdělení, podmíněné
rt        pt fit
E {rt I pt, fjt} = bjpt + cj fjt,
kde
(6.15)
bj =
pS
I2 S2 I
(s - sb) SpVj [č - c-t],
+ (P + Vj)
Aj = S2
čpvj
b = 7Eb^ č= tEbi; m
		22
		
i2	+ S	i2
I2 •
(6.16)
Všimněte si, že cj je poměr kvadratické funkce všech koeficientů ci -a bj je funkcí obou množin koeficientů. Definujeme-li přizpůsobovací proces pomocí diferenční rovnice
Cj (n + 1) = cj (n); bj (n + 1) = bj (n), j = 1,        n = 1, 2,atd,
(6.17)
pak jakákoliv limita posloupnosti je REE. Můžeme dokázat, že soustava (6.17) může být lokálně stabilní nebo nestabilní, v závislosti na parametrech. Přibližně, soustava může být nestabilní, jestliže v REE jsou koeficienty b* aktuální ceny "příliš velké" ve srovnání s koeficienty c* současné necenové informace. Tato situace může nastat, například, jestliže rozptyl e exogénni nabídky je dostatečně malý.
49
Diferenční rovnice (6.17) přibližně znázorňuje situaci, ve které obchodníci občas opravují jejich odhady koeficientů, ale pouze na základě zkušeností od poslední opravy. Následující diferenční rovnice představuje situaci, ve které, v každé opravě, obchodník počítá průměr přes všechny jeho předchozí zkušenosti:
oj (n + 1) = [n+i] (cj (n) + oj (n) + • • • + Cj (1)), (6.18)
analogicky pro bj (n + 1). Můžeme dokázat, že alespoň v některých jistých speciálních případech je (6.18) stabilní, když (6.17) stabilní není.
Další postačující teorie přizpůsobení by měla přihlížet ke skutečnosti, že obchodníci musí opravovat jejich předpovídací funkce pouze po konečný počet period, takže posloupnost jejich koeficientů tvoří stochastický proces, spíše než deterministický proces jako v (6.17) nebo (6.18). Například, uvažujte proces, ve kterém po každém období, každý obchodník i používá obyčejné nejmenší čtverce pro odhad nových předpovědí (regrese) koeficientů ze všech předchozích pozorování (fit,pt,rt). Pro účely této části budu tento proces nazývat OLS procesem. Bohužel, OLS proces vede k vysoce nelineárním stochastickým diferenčním rovnicím, jejichž asymptotické chování dosud nebylo analyzované dokonce ani v nízkých stupních obecnosti tohoto modelu. Nicméně, Bray (1980) prokázal stabilitu OLS procesu v jednodušším příkladu. Předpokládejme, že existují dvě množiny obchodníků, "informovaní", označme je N a "neinformovaní", označme je U. Všichni informovaní obchodníci mají stejné necenové informace.
fit = rt + yt = ft, i in N, (6.19)
kdežto neinformovaní obchodníci nemají necenové informace,
fit =constant, i in U. (6.20)
Předpokládejme, že náhodné proměnné rt, yt a et jsou nezávislé a Gaussovské a že po sobě jdoucí trojice (rt, yt, et) jsou rovnoměrně rozložené, se střední hodnotou nula a příslušnými rozptyly p r a e- Předpokládejme, že struktura informace je obecně známá.
Důsledek posledního předpokladu je, že informovaný obchodník může odvodit, že v TEE, cena pt může záviset pouze na současných a minulých necenových ft
rt ft nemůže udělat lépe, než použít předpovídací funkci
rit = E {rt | ft} = (pf^) ft, i in N (6.21)
Předpovídací funkce neinformovaného účastníka trhu musí záviset nanejvýš na cenách a v REE bude záviset na aktuální ceně. Tedy předpokládáme, že předpovídací funkce neinformovaných obchodníků jsou
rit = bitpt, i in U. (6.22)
50
Je jednoduché ověřit, že rovnice pro TEE odpovídající (6.14) je
SN( -Ě- )ft-et
pt    cx-sy; bit '
(6.23)
kde N = #N je počet informovaných obchodníků. Vzhledem k TEE (6.23), odpovídající regrese rr na pt je
E (n | pr) = b'tpt, kde
(6.24)
bt = k
(1-v)5 E bit
v = N/I,
_ v(1-v)52p2
k=
v252p2+n(p+n)'
(6.25)
v
tion) informovaného obchodníka.
Z (6.23) vidíme, že koeficienty bit v REE budou stejné pro všechny informované obchodníky, řekněme b*, kde b* je jediné řešení z
b* = k nebo
b* =
5'
(l-v)S
k5'
(1+k)(1-v)5-
(6.26)
V tomto příkladu, OLS proces je definován takto. Výchozí koeficienty (bi1) pro neinformované obchodníky jsou stanovena prioritně. V každém období t + 1 ^ 1 cena je dána TEE rovnicí (6.23) a v každém období t > 1 je koeficient bi,t+1 odhadem obyčejných nejmenších čtverců b v rovnici r = bp, vhodných informačních bodů(p1, r1),(pt,rt), tj.
J2 rnPn
bi,t+1 = ~t-j t > 1.
(6.27)
t > 1
bit
Věta 6.4   Pro OLS proces definovaný (6.23) a (6.27) platí
lim bit = b* a.s.
51
ft
et jsou negativně korelovány. V tomto případě parametry odpovídající k můžou být záporné. REE existuje pouze tehdy, jestliže k = -1, a konvergence OLS procesu byla dokázána pouze pro k > -1. Je doměnkou, ale dosud nedokázanou, že OLS proces je nestabilní pro k < -1.
Je zajímavé srovnat asymptotické vlastnosti OLS procesu v tomto příkladu (k > 0) s deterministickým procesem odpovídajícím (6.17). Zde je vidět z (6.25),
k<1
k>0
smyslu, OLS proces je stochastická obdoba tohoto druhého deterministického procesu.
Předpoklad, že struktura informace je veřejně známá, hraje důležitou roli při dosažení jednoduchosti modelu Braya. Bez těchto znalostí by nebyl infor-
rt ft
aktuální ceny, alespoň pokud trh není v REE. Efektem zrušení tohoto předpokladu by bylo, aby byl OLS proces spíše vícerozměrný než jednorozměrný.
rt et
jme, že připouštíme, aby se tyto průměry lišily od nuly. Bez újmy na obecnosti,
Efit = Ert fit E {rt | fit}
pokládejme, že v období t obchodník i používá předpovídací funkci
rit = a,it + bitpt + c,itfit- (6.28)
r it rt odhad), pak z (6.28),
tak, že předpokládaná cena nezávisí na jednotlivých koeficientech v obchodníkově předpovídací funkci, za předpokladu, že jsou bezpodmínečně nestranné,
bit cit
zvolit ait tak, že (6.29) je splněna za předpokladu, že všichni ostatní obchodníci dělají totéž. Tento požadavek je samozřejmě mnohem méně informačně náročný než předpoklad REE. Jakmile je (6.29) splněna, všechny náhodné proměnné
pt
obecnosti v předpokladu, že tyto střední hodnoty jsou nula.
Uzavřeme tuto část některýma poznámkama k rozdílu mezi formulací REE používanou zde a používanou v části 4.2. Jedním ze způsobů interpretace rozdílu mezi REE1 a REE2 je, že v REE2 se musí necenová informace obchodníků odrazit v ceně prostřednictvím poptávkové funkce, zatímco v REE1 není žádné takové omezení. Každá obchodníkova poptávka je nezávislá na jeho necenové
Ert = ait + bitEpt + cuErt.
(6.29)
Je jednoduché ukázat, že pro TEE [použité (6.14)], (6.29) vyjadřuje
(6.30)
52
informaci (vzhledem k ceně), a proto rovnovážná cena nemůže odrážet žádnou necenovou informaci.
53