1
EKONOMIE NEJISTOTY
Lucie Matušková
Lenka Pešková
Vladimíra Janková
Radka Vaníčková
Pavel Nechvátal
Lenka Zouharová
2
EKONOMIE NEJISTOTY: VYBRANÁ TÉMATA A PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY*
1. Ekonomie nejistoty
1.1. Úvod a přehled
V této kapitole budeme definovat některé oblasti, ve kterých nám pravděpodobnostní analýza pomůže pochopit ekonomické jednání a vytvořit fundamentální
postupy v ekonomické teorii.
Mohli bychom pochybovat, že má nejistota rozhodující vliv na ekonomické chování. Ale téměř všechny fáze spotřeby a produkce jsou ovlivňovány
nejistotou. Většina významných nejistot je pravděpodobně dána délkou života. Také jednotlivci nemají jistotu ohledně svého důchodu a produkce
a pochybují o svých nákupech a prodejích. Ekonomičtí činitelé se totiž v reálném světě setkávají se stochastickými (náhodnými) jevy a jejich základní
ekonomické rozhodnutí je tím ovlivňováno.
Na první pohled se může zdát, že riziko nemá vliv na ekonomické chování, nemají-li lidé k němu averzi. Přesto je v mnoha situacích averze proti
riziku skutečností a je základem k pochopení ekonomického chování. Velká část ekonomického chování je totiž řízena následky nejistoty a je závislá
na averzi k riziku. Lidské jednání se přizpůsobuje nejistotě a averzi k riziku různými cestami, ekonomičtí činitelé využívají různé formy pojištění,
future obchodů, kontingenčních kurzů a akciových trhů.
Mezi další metody používané jednotlivci i firmami patří řízení zásob, preventivní kontrola a každoroční zdravotní prohlídka sloužící k zvládnutí nejistoty
a získání nezávislosti k averzi k riziku.
3
Tématem druhé části této kapitoly je ekonomie hledání práce, kde je využito mnoho pravděpodobnostních modelů. Základním problémem je určení,
kdy jedinec může přestat hledat a přijmout zaměstnání. Jak ukážeme později, je to problém optimálního zastavení a může být vyřešen použitím mar-
tingale1
argumentů.
Třetí část diskutuje o nejzajímavějším tématu ekonomie nejistoty – ekonomii pojištění. Krátce zde popíšeme subjektivní riziko a averzní selekci
a poté použijeme jednoduché dvoustavové modely ke studiu efektu zvyšování averze k riziku a riziku požadovaném pro pojištění.
Ve čtvrté části prezentujeme základní stochastický proces a popisujeme bezpečnou cenu fluktuace; tj. Brownův pohyb, jehož použití je vyzkoušené
i v jiných aplikacích.
Tématem páté a šesté části je spotřeba a produkce za nejistoty. Kapitolu 5 začínáme s jednoduchým dvoufázovým modelem a poté pokračujeme
s několika vícefázovými modely. Protože nabídka ukazuje vše v charakteristických rysech postupných rozhodnutí tvořených za nejistoty, jsou tyto
modely stejně jako ty z části 2 – 4 formulovány pomocí dynamického programování. Na rozdíl od kapitoly 2 – 4 zde hraje hlavní roli averze k riziku.
Tuto esej zakončíme částí 7, která diskutuje úzký vztah mezi ekonomií a biologií.
1.2. Míry rizika a averze k riziku
Během naší analýzy budeme předpokládat, že se ekonomický činitel (agent) setkává se stochastickým prostředím a jedná tak, aby maximalizoval
svůj předpokládaný užitek z náhodných výsledků.
1
Martingalem vzhledem k posloupnosti náhodných proměnných ܺ௡: 0 ≤ ݊ < ∞ nazýváme posloupnost náhodných proměnných ܵ௡: 0 ≤ ݊ < ∞, která pro všechna ݊ > 0 splňuje
následující dvě podmínky:
a) ‫ܵ|ܧ‬௡| < ∞
b) ‫ܵ(ܧ‬௡ାଵ| ܺ଴, ܺଵ, … , ܺ௡) = ܵ௡ (tzv. základní martingalová identita).
4
Agentova užitková funkce ‫ݑ‬ je z předpokladů neklesající a konkávní, tudíž ‫ݎ‬௨ ≥ 0, kde Arrow-Prattovo měřítko absolutní averze k riziku ࢛࢘ je
definováno jako:
‫ݎ‬௨(‫ݐ‬) = −‫ݑ‬ᇱᇱ
(‫ݐ‬)/‫ݑ‬ᇱ
(‫ݐ‬).
Samozřejmě ‫ݎ‬௨ = 0, jestliže ‫ݑ‬ je lineární.
Řekneme, že agent s užitkovou funkcí ‫ݑ‬ má větší averzi proti riziku než agent s užitkovou funkcí ‫,ݒ‬ jestliže ‫ݎ‬௨ ≥ ‫ݎ‬௩.
V některých případech můžeme také použít Arrow-Prattovo měřítko relativní averze k riziku ࡾ࢛ definované takto:
ܴ௨(‫ݐ‬) = ‫ݐ‬‫ݎ‬௨(‫ݐ‬).
Nechť ܺ a ܻ jsou dvě náhodné veličiny s rostoucími distribučními funkcemi ‫ܨ‬ a ‫.ܩ‬ Naším cílem je poskytnout kritéria, díky kterým prohlásíme, že
ܺ je lepší než ܻ. Řekneme, že náhodná proměnná ܺ je stochasticky větší než náhodná proměnná ܻ, píšeme ܺ >ଵ ܻ, jestliže
‫ݐ(ܩ‬) − ‫ݐ(ܨ‬) ≥ 0, pro všechna ‫ݐ‬. (1.1)
Jestliže ‫ܨ‬ a ‫ܩ‬ splňují (1.1), řekneme, že ܺ dominuje ܻ nebo ‫ܨ‬ dominuje ‫ܩ‬ podle kritéria prvního pravidla stochastické dominance. Protože
‫)ܺ(ܧ‬ = − ∫ ‫ݐ(ܨ‬)݀‫+ݐ‬ ∫ [1 − ‫ݐ(ܨ‬)]݀‫ݐ‬
଴
ஶ
଴
ିஶ
(1.2)
pro všechny náhodné veličiny ܺ (s podmínkou, že alespoň jeden z integrálů v (1.2) je omezený), což je zřejmé z ‫)ܺ(ܧ‬ ≥ ‫,)ܻ(ܧ‬ když ܺ >ଵ ܻ.
5
Spojení mezi prvním pravidlem stochastické dominance a očekávaným užitkem je stanoveno v následující větě.
Věta 1
Nezbytná a postačující podmínka pro ܺ stochasticky větší než ܻ je
‫ܧ‬ℎ(ܺ) ≥ ‫ܧ‬ℎ(ܻ) pro všechna ℎ ∈ ℒଵ,
kde ℒଵ je množina neklesajících funkcí.
Skutečnost zjištěná v (1.2), ܺ >ଵ ܻ a ‫ܨ‬ ≠ ‫,ܩ‬ implikuje ‫)ܺ(ܧ‬ > ‫.)ܻ(ܧ‬ Tudíž hledáme slabší podmínku, která nám umožní rozlišit mezi náhodnými
veličinami se stejnými středními hodnotami. Řekneme, že náhodná proměnná ܺ je méně riskantní než náhodná proměnná ܻ,
píšeme ܺ >ଶ ܻ, jestliže
∫ [‫)ݏ(ܩ‬ − ‫ݏ݀])ݏ(ܨ‬≥ 0
௧
ିஶ
pro všechna ‫ݐ‬. (1.4)
Jestliže ‫ܨ‬ a ‫ܩ‬ splňují (1.4), řekneme že ܺ dominuje ܻ ve smyslu druhého pravidla stochastické dominance. Opět (1.2) ukazuje, že ‫)ܺ(ܧ‬ ≥ ‫,)ܻ(ܧ‬
když ܺ >ଶ ܻ. Nicméně druhá podmínka stochastické dominance zahrnuje případ ܺ >ଶ ܻ, ‫ܨ‬ ≠ ‫ܩ‬ a ‫)ܺ(ܧ‬ = ‫.)ܻ(ܧ‬
Spojení mezi druhým pravidlem stochastické dominance a očekávaným užitkem je obsaženo v následující větě.
6
Věta 2
Nechť ℒଶ je množina neklesajících konkávních funkcí. Nezbytná a postačující podmínka pro ܺ méně riskantní než ܻ je
‫ܧ‬ℎ(ܺ) ≥ ‫ܧ‬ℎ(ܻ) pro všechna ℎ ∈ ℒଶ. (1.5)
Navíc pokud ܺ >ଶ ܻ, ‫ܨ‬ ≠ ‫ܩ‬ ܽ‫)ܺ(ܧ‬ = ‫,)ܻ(ܧ‬ pak:
‫ܧ‬ℎ(ܺ) ≥ ‫ܧ‬ℎ(ܻ) pro všechny konkávní funkce ℎ. (1.6)
2. Ekonomie hledání
2.1. Úvod
Hledání je základní vlastnost ekonomických trhů. Nejznámějším příkladem ekonomie hledání je pravděpodobně hledání na pracovních trzích. Hlavní
rozhodnutí, konfrontované hledajícími (těmi, co např. hledají práci, zaměstnance …), jsou určena příslušným rozsahem informací a efektivní metodou
přinášející informace před samotným jednáním, kde například jednání je přijetí určité pracovní nabídky hledajícím práci nebo přijetí zaměstnance
s jistými identifikovatelnými charakteristikami zaměstnavatelem. Samozřejmě hledání není omezeno na pracovní trhy a hodně důležitých přínosů
vychází i ze studií ostatních ekonomických modelů, které si kladou za cíl najít nejnižší cenu spíš než nejvyšší plat. Nicméně pro usnadnění vysvětlení
se budeme soustředit na hledání práce na pracovních trzích.
7
2.2. Základní hledací model
Začneme s nejjednodušším sekvenčním modelem hledání práce. Jedinec, označený jako hledající, hledá zaměstnání. Každý den, dokud nepřijme
práci, ji zkouší hledat a každý den zkouší právě jednu nabídku práce (bereme v úvahu, že v nějaký den nepřijme žádnou nabídku a tolerujeme některým
zaměstnavatelům nabídku nulové mzdy). Nabídky mohou být interpretovány jako diskontovaná současná hodnota celoživotního příjmu z práce.
Uvažujeme případy, kdy jsou nepřijaté nabídky okamžitě ztraceny a případ, ve kterém jsou všechny nabídky ponechány: tyto dva případy jsou uváděny
jako výběr bez odvolání a výběr s odvoláním. Pokud je nabídka přijata, hledač změní svůj stálý stav na zaměstnaný.
Jelikož jsou schopnosti jednotlivých hledajících neměnné, případní zaměstnavatelé nehodnotí nutně rovným dílem; proto různí zaměstnavatelé nabízí
různé nabídky hledajícím. Tento „rozptyl nabídek“ je začleněný v modelu za předpokladu, že to je pravděpodobnostní rozdělení mezd ‫,ܨ‬ které
určuje předložené nabídky; dodatečně předpokládáme, že je rozdělení neměnné v průběhu času. Tudíž pravděpodobnost ‫ݓ(ܨ‬), že v daný den hledající
příjme nabídku ‫ݓ‬, je nezávislá na všech minulých nabídkách a době, kdy byla nabídka učiněna. Kromě toho předpokládáme, že hledající práci
zná ‫.ܨ‬ Všichni účastníci v procesu hledání práce jsou podle předpokladu rizikově neutrální (mají lineární užitkovou funkci) a usilují o maximalizaci
svých očekávaných čistých benefitů. Záleží pouze na hledajícím, kdy přestane hledat a přijme nějakou nabídku práce.
Budeme-li přesnější, nabídka práce ܺ௜ je prezentována jako každé období, kde každé ܺ௜ je náhodná veličina s rostoucí distribuční funkcí ‫.(ܨ‬ ),
‫ܺ(ܧ‬௜) < ∞ a ܺ௜ jsou vzájemně nezávislé. Hledající práci předpokládá, že si udrží nejvyšší nabídku práce, takže výnos ze zastavení po ݊-tém pokusu
je dán
ܻ௡ = max(ܺଵ, … , ܺ௡) − ݊ܿ,
kde ܿje (peněžní) náklad za dobu hledání.
8
Cílem je najít pravidlo, kdy s hledáním přestat (nazvěme jej „zastavovacím“ pravidlem), které maximalizuje ‫ܻ(ܧ‬ே ), kde ܰ je náhodný zastavovací
čas, tj. náhodný počet nabídek práce získávaný tak dlouho, dokud jedna z nich není přijata.
Je zřejmé, že optimální množství hledání (doba nezaměstnanosti) závisí na rozdělení mezd ‫,ܨ‬ které jednotlivé služby přikazují pracovním trhům,
a na ܿ– nákladům příležitosti hledání. Jestliže jsou hledačovy schopnosti vysoce hodnocené, bude odmítat nabídky, které neuspokojují jeho očekávání
a zůstane nezaměstnaný. Na druhou stranu jestliže jsou náklady hledání vysoké, bude mít hledající tendenci své hledání omezovat. Literatura
tohoto tématu se soustřeďuje na situace, ve kterých nejvhodnější postup pro hledajícího práci je odmítnout všechny nabídky pod jediným kritickým
číslem, nazývaným rezervační mzda a přijmout všechny nabídky nad tímto číslem. Metoda s touto jednoduchou strukturou říká: mít majetek rezervační
mzdy.
Omezíme tedy naši pozornost na tuto metodu (zastavovacího pravidla) ve formě:
Přijmout nabídku pouze tehdy, je-li přinejmenším velká jako ‫,ݕ‬ (2.1)
kde ‫ݕ‬ je přesné (jediné) kritické číslo přicházející v úvahu.
V části 2.4 si ukážeme (za předpokladu, že rozptyl ܺଵ je neměnný), že existuje optimální pravidlo ve formě dané v (2.1). Prozatím předpokládáme
bez důkazu, že
(a) existuje optimální pravidlo
(b) toto pravidlo má vlastnost omezené mzdy (tj. má tvar daný v 2.1).
9
Nechť ݃௬ je očekávaný výnos z hledání, když použijeme metodu s omezenou (rezervační) mzdou ‫.ݕ‬ Dále označíme ܰ௬ jako počet nabídek potřebných
k nalezení přijatelné nabídky, z čehož plyne že ܰ௬ je geometrická náhodná veličina s parametrem ‫݌‬ = 1– ‫)ݕ(ܨ‬ ܽ‫ܰ(ܧ‬௬) = 1/‫.݌‬ Poté (pokud
1– ‫)ܻ(ܨ‬ > 0) ݃௬ splňuje
݃௬ = −ܿ/(1 − ‫))ݕ(ܨ‬ + ∫ ‫1(/)ݔ(ܨ݀ݔ‬ − ‫,))ݕ(ܨ‬
ஶ
௬
(2.2)
poněvadž ܰ௬ je počet měření potřebných k nalezení nabídky větší nebo rovné ‫ݕ‬ a druhý výraz na pravé straně rovnice (2.2) je pouze podmíněná
očekávaná hodnota nabídky daná tak, že je přinejmenším ‫.ݕ‬ Úpravou (2.2) získáme
ܿ= ∫ ൫‫ݔ‬− ݃௬൯݀‫.)ݔ(ܨ‬
ஶ
௬
(2.3)
Z (2.3) a skutečnosti, že hledáme ‫ݕ‬ maximalizující ݃௬, je na základě úvahy zřejmé, že pokud je ߦoptimální rezervační mzda, potom ݃క = ߦ, takže ߦ
splňuje
ܿ= ∫ (‫ݔ‬− ߦ)݀‫.)ݔ(ܨ‬
ஶ
క
(2.4)
Navíc ݃ je unimodální (jedno-vrcholové), jak je ukázáno v grafu 2.1.
Definujme H jako
‫ܪ‬(‫)ݔ‬ = ∫ (‫−ݐ‬ ‫ݐ(ܨ݀)ݔ‬),
ஶ
௫
(2.5)
a řekněme (viz. Graf 2.2), že H je konvexní, nezáporná, striktně klesající funkce, která se blíží k 0 a ‫ܺ(ܧ‬ଵ), pokud se ‫ݕ‬ blíží k ∞ a 0, respektive
z (2.4) vidíme, že ߦje jedinečné řešení ‫ܪ‬(‫)ݔ‬ = ܿ.
10
Řada důvodů implikuje, že ߦ je jediná mzda, při které je hledajícímu jedno, jestli mzdu ߦ přijme nebo pokračuje v hledání. Jestliže pokračuje v hledání,
je optimální zastavit v dalším pokuse, kdy mu je nabídnuta mzda přinejmenším tak velká jako je ߦ. Takže ߦby mělo splňovat
ߦ= ‫݉ܧ‬ ܽ‫,ߦ(ݔ‬ ܺଵ) − ܿ, (2.6)
na levé straně rovnice je to, co dostane na základě přijetí nabídky ߦa na pravé straně rovnice je očekávaný výnos z toho, kdyby ještě jednou hledal.
Jednoduše si ověříme, že (2.6.) je ekvivalentní s (2.4.).
Rovnice (2.4) má jednoduchou ekonomickou interpretaci: kritická hodnota ߦspojená s optimálním zastavovacím pravidlem je vybrána, tak, aby vyrovnala
ܿ, mezní náklady získání ještě jedné pracovní nabídky, s ‫ܪ‬(ߦ), tj. s očekávaným minimálním výnosem ještě jednoho hledání. Tudíž stačí,
když hledající pouze porovná svůj výnos z přijetí zaměstnání s očekávaným výnosem z ještě jednoho hledání. Tomuto říkáme, že se hledající chová
„krátkozrace“.
11
Je důležité rozlišit mezi vlastností rezervační mzdy a vlastností krátkozrakosti: první z nich nám říká, která nabídka je přijatelná, zvláště ty, které
převyšují ߦ, zatímco druhá nám poskytuje jednoduchou metodu pro kalkulaci ߦ.
V předchozí analýze jsme pouze uvažovali případ výběru s odvoláním, kde optimální metoda měla vlastnost rezervační (omezené) mzdy; nebyla zde
nikdy využita možnost volby odvolání a díky tomu je jasné, že nedojdeme k žádnému rozdílu, když odvolání nedovolíme. Pokud by ale například
mezní náklady hledání ܿ byly rostoucí v čase, nebo hledající práci měl averzi proti riziku, nebo by byl počet hledaných příležitostí konečný, tak
možnost volby odvolání může hrát svou úlohu u nabídek, které byly kdysi unáhleně nepřijaty a později by se staly přijatelnými.
12
2.3. Dopad rostoucí nejistoty
Z grafu 2.1 je zřejmé, že čím nižší jsou náklady hledání, tím vyšší jsou rezervační mzdy a delší doby hledání. Méně známý je dopad na hledačovu
optimální metodu spojenou s rostoucí nejistotou v některých aspektech jeho prostředí. Předpoklad, že je rostoucí nejistota vždy nevýhodná pro hledačovo
blaho, je neodůvodněný. K důkazu tohoto si musíme nejprve rozmyslet změnu v nabídkovém rozdělení ‫ܨ‬ a za druhé musíme říct, že počet
přijatých pracovních nabídek v období je náhodná veličina namísto konstanty 1.
Pro začátek nechť ܺ a ܼ jsou nezáporné náhodné proměnné se souhrnnými distribučními funkcemi ‫ܨ‬ a ‫,ܩ‬ respektive předpokládejme, že rozdělení
mzdové nabídky ‫ܩ‬ je riskantnější než ‫ܨ‬ ve smyslu druhého stupně stochastické dominance. Abychom zajistili srovnatelnost, předpokládáme, že
‫)ܼ(ܧ‬ = ‫,)ܺ(ܧ‬ takže průměrná předložená nabídka není závislá na faktu, zdali je rozdělení mzdové nabídky ‫ܨ‬ nebo ‫.ܩ‬
Označme ‫ܪ‬ி a ‫ܪ‬ீ jako funkci ‫ܪ‬ přidruženou ‫ܨ‬ a ‫,ܩ‬ kde ‫ܪ‬ je definováno v (2.5). Obdobně nechť ߦு a ߦீ jsou přidružené rezervační mzdy a uvažujme
konvexní rostoucí funkci ‫ݑ‬௬ definovanou jako
‫ݑ‬௬(‫)ݔ‬ = 0, ‫ݔ‬ ≤ ‫ݕ‬ (2.7)
= ‫ݔ‬– ‫ݕ‬ ‫ݔ‬ > ‫.ݕ‬
13
Aplikací (1.6) na (2.7) s připomenutím (2.5) získáme
‫ܪ‬ீ(‫)ݕ‬ = ‫ݑܧ‬௬(ܼ) ≥ ‫ݑܧ‬௬(ܺ) = ‫ܪ‬ி(‫)ݕ‬ pro všechna ‫ݕ‬ ≥ 0, (2.8)
tak, že ‫ܪ‬ீ leží nad ‫ܪ‬ி. Propojíme (2.4) a (2.8) a dostaneme
‫ܪ‬ி(ߦி) = ܿ= ‫ܪ‬ீ(ߦீ) ≥ ‫ܪ‬ி(ߦீ), (2.9)
takže klesající povahou ‫ܪ‬ி získáme
ߦி ≤ ߦீ. (2.10)
Protože se rezervační mzda rovná očekávanému výnosu z použití optimální metody, můžeme ukázat, že růst rizikovosti rozdělení mzdové nabídky je
pro hledajícího prospěšný. Vysvětlení pro toto tvrzení se zakládá na skutečnosti, že střední hodnotu zachovávající změny pouze na konci rozdělení
‫ܨ‬ – v intervalu [0, ߦ] nebo [ߦ, ∞) – nemají žádný dopad, zatímco střední hodnotu zachovávající růst pravděpodobnosti ‫ܨ‬ umístěný na konci [ߦ, ∞) je
vyloženě užitečný.
Dále předpokládáme, že počet nabídek ܰ௜ získaný ݅-tý den je nezáporná, celočíselná náhodná veličina a že ܰ௜ jsou nezáporné a se stejným rozptylem.
Pro usnadnění porovnání se standardním případem, tj. ܲ(ܰ௜ = 1) = 1, předpokládáme, že ‫ܰ(ܧ‬௜) = 1, takže (očekávané) náklady hledání za
předloženou nabídku zůstávají ܿ.
Hledajícímu je dovoleno zvážit všechny ܰ௜ nabídky než se rozhodne, jestli jednu z nich přijme. Samozřejmě, rozhodne-li se nějakou nabídku přijmout,
přijme tu nejlepší ze všech nabízených. Tudíž rozdělení ‫ܩ‬ nejlepší přijaté nabídky, kde ܰଵ jsou předložené nabídky, je dáno
‫ݐ(ܩ‬) = ∑ ‫݌‬௜[‫ݐ(ܨ‬)]௜ஶ
௜ୀ଴ , (2.11)
kde ‫݌‬௜ = ܲ(ܰଵ = ݅).
14
Jensenova nerovnost říká, že ‫)ܼ(ݑܧ‬ ≥ ‫)ܼ(ܧݑ‬ pro všechny náhodné veličiny ܼ a konvexní funkci ‫ݑ‬ (pokud je ‫)ܼ(ݑ‬ definováno). Tudíž nechť je použita
Jensenova nerovnost s ‫݅(ݑ‬) = ‫ݐ(ܨ‬)௜
, ݅≥ 0 a nechť ܼ má rozdělení ܰଵ, pak
‫ݐ(ܩ‬) ≥ ‫ݐ(ܨ‬) pro všechna ‫≥ݐ‬ 0. (2.12)
Tedy efektivní nabídkové rozdělení ‫ܩ‬ je stochasticky menší než původní nabídkové rozdělení ‫.ܨ‬ Tudíž ‫ܪ‬ீ ≤ ‫ܪ‬ி tak, že ߦீ ≤ ߦி, a proto je vhodnější
mít právě jednu nabídku denně spíše než náhodné číslo se střední hodnotou jedna za den. Intuitivní vysvětlení tohoto tvrzení je následující: ačkoli
očekávané výdaje na hledání jsou stále ܿ, skutečnost, že (a) několik přijatelných nabídek (tj. nabídek s ‫ݓ‬ > ߦ) může přijít ve stejný den a za (b) skutečnost,
že hledající může vyčerpat jenom jednu ucházející nabídku, předpokládá, že náklady na vyčerpání přijatelné nabídky jsou rostoucí.
Shrneme-li výše řečené, rostoucí rizikovost neboli změna nabídkových rozdělení (zatímco ponecháme jejich střední hodnotu neměnnou) je prospěšná,
zatímco rostoucí variace v počtu nabídek předložených během jednoho dne (zatímco ponecháme jejich střední hodnotu neměnnou) je nevýhodná.
2.4. Martingales a existence rezervační mzdy
V této části prezentujeme argumenty, které demonstrují, že (i) skutečně existuje optimální pravidlo a že (ii) je dáno předpisem (2.1). K odvození
těchto výsledků využijeme několik konceptů a výsledků z teorie martingales a optimálního zastavení. Pro začátek uvažujme libovolnou posloupnost
ܺଵ, ܺଶ, … náhodných veličin a pro každé ݊ nechť je ܻ௡ náhodná veličina, jejíž hodnota je určena prvními ݊ pozorováními ܺଵ, ܺଶ, … , ܺ௡. Posloupnost
ܻଵ, ܻଶ, … nazveme supermartingales vzhledem k posloupnosti ܺଵ, ܺଶ, …, jestliže pro všechna ݊ existuje ‫ܻ(ܧ‬௡) a (s pravděpodobností 1)
‫ܻ(ܧ‬௡ାଵ|ܺଵ, … , ܺ௡) ≤ ܻ௡. (2.13)
15
Navíc, jestliže
‫ܻ(ܧ‬ே ) ≤ ‫ܻ(ܧ‬ଵ), (2.14)
pro všechna zastavovací pravidla2
ܰ, pro která existuje ‫ܻ(ܧ‬ே ), tak supermartingales nazveme pravidelnými (regulárními). Použijeme-li náš model
hledání práce, zavedeme ܺ௜jako i-tou nabídku a ܻ௜ = max{ܺଵ, ܺଶ, … , ܺ௜} − ݅ܿ.
Naším cílem je vybrat zastavovací pravidlo ܰ, nazývané „optimální“ tak, abychom vytvořili ‫ܻ(ܧ‬ே ) tak velké, jak jen je možné. Tímto pokládáme
otázku, jestli existuje optimální zastavovací pravidlo. Nedbajíce toho, zda posloupnost ܻଵ, ܻଶ, … tvoří martingales, můžeme ukázat, že mezi třídou
zastavovacích pravidel, které skutečně zastaví s pravděpodobností 1, existuje optimální zastavovací pravidlo, jestliže platí následující dvě podmínky:
lim௡→∞ ܻ௡ = −∞ s pravděpodobností 1 (2.15)
a
‫)|ܼ|(ܧ‬ < ∞, (2.16)
kde ܼ ≡ ‫݌ݑݏ‬௡ܻ௡ .
Je užitečné uvažovat o ܼ jako o výnosu, který bychom obdrželi, pokud bychom dokázali dokonale předvídat (vzhledem k ܺ௜).
Předpokládejme, že v modelu hledání práce je ‫ܺ(ܧ‬ଵ
ଶ) < ∞, přímá aplikace Borel-Cantelliho lemmatu prokáže, že platí (2.15) a (2.16), takže pro model
hledání práce existuje optimální zastavovací pravidlo. Navíc předpoklad ‫ܺ(ܧ‬ଵ
ଶ) < ∞ aplikovaný na model hledání práce implikuje
‫ܻ(ܧ‬௡
ଶ) ≤ ‫ܯ‬ < ∞, pro všechna n, (2.17)
takže posloupnost ܻଵ, ܻଶ, … je rovnoměrně integrovatelná.3
2
Nezápornou, integrovatelnou náhodnou veličinu N nazveme „zastavovacím pravidlem“ pro posloupnost X1, X2, …, jestliže N = k závisí pouze na pozorované hodnotě X1,…, Xk a
nezávisí na (doposud nepozorované) hodnotě Xk+1, Xk+2, …Jinak řečeno, rozhodnutí zastavit není založeno na znalosti budoucnosti.
3
Posloupnost ܻଵ, ܻଶ, … náhodných proměnných je rovnoměrně integrovatelná, právě tehdy, pokud
lim௭→ஶ ∫ |‫ݕ‬௡|݀ܲ = 0(|௒೙|ஹ௭)
, rovnoměrně s ݊.
16
Výsledkem této úvahy je následující důležitý výsledek: Vezměme v úvahu zastavovací problém, ve kterém existuje optimální zastavovací pravidlo.
Předpokládáme, že pro každý soubor pozorovaných hodnot ܺଵ = ‫ݔ‬ଵ, … , ܺ௡ = ‫ݔ‬௡, který splňuje
‫ܻ(ܧ‬௡ାଵ|‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬௡) ≤ ‫ݕ‬௡ , (2.18)
je posloupnost ܻ௡ାଵ, ܻ௡ାଶ, … regulární supermartingale vzhledem k posloupnosti ܺ௡ାଵ, ܺ௡ାଶ, …. Potom existuje optimální zastavovací pravidlo, které
zastavuje, jestliže platí (2.18) a pokračuje jinak.
Jinak řečeno, jestliže platí hypotézy této věty, pak je „krátkozraké“ zastavovací pravidlo optimální. Samozřejmě „krátkozraké“ zastavovací pravidlo
je pravidlo, které zastavuje tehdy a jen tehdy, když aktuální výnos ze zastavení (např. pravá strana (2.18)) překročí očekávanou hodnotu zastavení po
přibrání přesně jednoho dalšího pozorování (levá strana (2.18)).
Aby bylo možné tuto větu aplikovat na náš model hledání práce, potřebujeme ověřit všechny hypotézy. Předpokládejme, že ‫ܺ(ܧ‬ଵ
ଶ) < ∞ pouze ukazuje,
že ܻ௡ାଵ, ܻ௡ାଶ, … je supermartingale, pokud platí (2.18). K tomuto závěru definujeme ߦ jako jediné řešení rovnice ‫ܪ‬(‫)ݕ‬ − ܿ= 0 tak, že ‫ݕ‬ ≥ ξ
implikuje ‫ܪ‬(‫)ݕ‬ − ܿ≤ 0.
Předpokládejme, že (2.18) platí pro ܺଵ = ‫ݔ‬ଵ, … , ܺ௡ = ‫ݔ‬௡, a definujme
ܼ௡ = ܻ௡ + ݊ܿ= ݉ ܽ‫ܺ{ݔ‬ଵ, ܺଶ, … , ܺ௡}.
Potom dostaneme
‫ܻ(ܧ‬௡ାଵ|ܺଵ = ‫ݔ‬ଵ, … , ܺ௡ = ‫ݔ‬௡) = −(݊ + 1)ܿ+ ∫ ݉ ܽ‫ݖ[ݔ‬௡, ‫]ݔ‬
∞
଴
݀‫)ݔ(ܨ‬
= −(݊ + 1)ܿ+ ‫ݖ‬௡ + ‫ܪ‬(‫ݖ‬௡)
= ‫ݕ‬௡ + [‫ݖ(ܪ‬௡) − ܿ], (2.19)
takže ‫ܪ‬(‫)ݕ‬ − ܿ≤ 0, jelikož (2.18) platí. Poněvadž ‫ܪ‬ je striktně klesající funkce a ܼ௡ roste s ݊, nerovnost (2.13) platí. Navíc (2.19) ukazuje, že
(2.18) platí tehdy a jen tehdy, když ‫ݖ‬௡ ≥ ξ.
17
3. Ekonomika pojištění
3.1. Úvod
Rozmach averze k riziku vedl k různým institucionálním formám umožňujícím jednotlivcům a firmám rozložit riziko mezi sebe. Toto je nejčastějším
úkolem pojišťovací politiky.
Podstatou pojišťovacích kontraktů je platba fixního poplatku za pojištění výměnou za slib pojišťovatele zaplatit určitou částku peněz za předpokladu,
že se stane dohodnutá událost.
Jednotlivci mohou diverzifikovat své portfolio akcií k dosažení akceptovatelného stupně očekávaného výnosu pro daný stupeň rizika. Tato schopnost
jednotlivců rozprostřít rizika proto povoluje firmám, aby se zabývaly projekty, které by jinak byly neakceptovatelné.
Pojištění je fenomén, který proniká ekonomickými institucemi a ekonomika pojištění je pro nás nejdůležitějším tématem ekonomie nejistoty.
V následující části se jí proto budeme zabývat podrobněji a budeme prezentovat stručné popisy třech nejvýznamnějších problémů v ekonomice pojištění,
kterými jsou morální hazard, nepříznivý výběr (adverzní selekce) a analýza rovnováhy pojistných trhů.
Častým problémem je vytvořit pojišťovací kontrakt, který sdílí riziko a zachovává motivaci. Tento motivační problém je označován jako problém
morálního hazardu. Jeho podstata vychází z neschopnosti pojišťovatele sledovat akce pojištěného bez toho, aby na to vynaložil nějaké náklady.
Morální hazard může být zmenšen požadavkem na nesení části nákladů výjimečné situace pojištěným anebo monitorováním jeho chování.
Nepříznivý výběr (adverzní selekce) je podobný morálnímu hazardu tím, že pojišťovací společnosti nemají beznákladový přístup k informacím
vlastněným klienty atd. Například někteří klienti zdravotních pojišťoven mají mnohem více informací o svém zdravotním stavu než jejich pojišťovací
společnosti. Kvůli neúplným informacím jednotlivců, kteří jsou odlišní, s nimi bude zacházeno jako s identickými, protože náklady na sledování
každého zvlášť jsou obrovské. Pojišťovací společnosti se vyrovnávají s informační asymetrií pomocí (a) zkušenostního ratingu (tj. vytrvale regulují
pojistné, aby odráželo velikost a rozsah působnosti podle individuálních požadavků pojištěného) a (b) vytváření politik ke zjištění informací potřebných
pro rozdělení klientů do odlišných kategorií.
18
Ve zbytku této sekce budeme prezentovat jednoduchou konstrukci analýzy rovnováhy pojistných trhů. Tou je dvoustavový model, kterým se budeme
zabývat v následující podkapitole.
3.2. Dvoustavový model
Pro zjednodušení předpokládejme, že přirozeně převládá jen jeden ze dvou následujících stavů. Ve stavu 1, je jednotlivec vybavený příjmem (nebo
bohatstvím) ‫ݓ‬, zatímco jeho příjem ve stavu 2, což je stav nějaké katastrofy, je ‫,ݕ‬ s tím, že ‫ݕ‬ < ‫ݓ‬. Pravděpodobnosti nastátí těchto stavů jsou 1 − ‫݌‬
a ‫.݌‬
Předtím než je znám přirozený stav, se jednotlivec může bránit proti nižšímu příjmu ve stavu 2 sjednáním pojištění. Míra změny ze stavu 1 do stavu
2 je ߨ, tj. nárůst příjmu ‫ݏ‬ve stavu 2 může být způsoben snížením πs v příjmu stavu 1. ߨ značí náklady pojištění. Všimněte si, že spravedlivá cena
pojištění podle pojistné matematiky (např. posun ze stavu 1 do stavu 2) je jednoduše ‫݌‬ (1 − ‫)݌‬⁄ , tedy šance, že nastane stav 2. Nejpraktičtější a také
nejzajímavější případ je ten, pro který ߨ > ‫1(/݌‬ − ‫.)݌‬
Jednotlivec má rostoucí a striktně konkávní funkci užitku ‫.ݑ‬ Jeho cílem je vybrat takový objem pojištění, nazveme jej optimálním, který by maximalizoval
očekávaný užitek jeho příjmu. Takže hledá optimální úroveň pojištění ‫ݏ‬∗
, kde ‫ݏ‬∗
splňuje
ܷ(‫ݏ‬∗) = max௦ஹ଴ ܷ(‫,)ݏ‬ (3.1)
a
ܷ(‫)ݏ‬ = (1 − ‫ݓ(ݑ)݌‬ − ߨ‫)ݏ‬ + ‫ݕ(ݑ݌‬+ ‫.)ݏ‬ (3.2)
Striktní konkávnost ‫ݑ‬ způsobuje, že ܷ je striktně konkávní. Následkem toho bude pojištění pořízeno (tj. ‫ݏ‬∗
> 0) jen tehdy, pokud ܷ´(0) > 0.
19
Předpokládejme příjmy (bohatství) ‫ݓ‬ a ‫,ݕ‬ pravděpodobnost nastání katastrofy ‫,݌‬ náklady pojištění π a užitkovou funkci ‫ݑ‬ splňující ܷ´(0) > 0, potom
striktní konkávnost ܷ implikuje, že ‫ݏ‬∗
je jediným řešením podmínky prvního řádu rovnosti
ߨ =
௣
ଵି௣
௨´(௬ା௦)
௨´(௪ ିగ௦)
. (3.3)
Jestliže ߨ = ‫1(/݌‬ − ‫,)݌‬ potom ‫ݕ‬+ ‫ݏ‬∗
= ‫ݓ‬ − ߨ‫ݏ‬∗
, což znamená, že je jednotlivec plně pojištěn proti riziku, a tak mu nezáleží na tom, zda nastane
stav 1 nebo 2.
Jestliže ߨ < ‫݌‬ (1 − ‫)݌‬⁄ , potom ‫ݕ‬+ ‫ݏ‬∗
> ‫ݓ‬ − ߨ‫ݏ‬∗
a jednotlivec tedy preferuje katastrofu, zatímco když nastane případ ߨ > ‫݌‬ (1 − ‫)݌‬⁄ , pak je
‫ݕ‬+ ‫ݏ‬∗
< ‫ݓ‬ − ߨ‫ݏ‬∗
a jednotlivec se katastrofě vyhýbá.
3.2.1. Efekt zvyšující se averze k riziku
Nyní můžeme odpovědět na otázku, jak se optimální objem pojištění mění v závislosti na změnách v užitkové funkci, totiž zda jednotlivci mající
vyšší averzi k riziku nakupují více pojištění. Pro rozlišení mezi optimálními stupni pojištění pro různé užitkové funkce a pro ukázání jeho závislosti
na konkrétní užitkové funkci ‫,ݒ‬ můžeme nahradit ‫ݏ‬௩ za ‫ݏ‬∗
.
Věta 1
Jestliže ‫ݎ‬௨ > ‫ݎ‬௩, potom ‫ݏ‬௨ > ‫ݏ‬௩.
Důkaz
Viz literatura.
Výsledek této věty máme ilustrovaný na Obrázku 3.1.
20
Věta 1 nám říká, že ‫ݏ‬௩ roste s ‫ݎ‬௩. Nicméně je obtížné pouze ukázat, jak rychle roste úroveň pojištění v závislosti na úrovni rizika. Navíc, není důležité,
jakou má jednotlivec averzi k riziku, neboť nebude plně pojištěn, tj. ‫ݏ‬∗
< (‫ݓ‬ − ‫)ݕ‬ (ߨ + 1), pokud ߨ > ‫݌‬ (1 − ‫)݌‬⁄⁄ . Existují ale jednotlivci, kteří
se dostanou velmi blízko k plnému pojištění? S pomocí následujícího příkladu na tuto otázku odpovíme a ukážeme si nějaký příklad jak rychle ‫ݏ‬௨
roste s ‫ݎ‬௨.
Předpokládejme, že jednotlivec má konstantní averzi k riziku ߣ > 0, v tomto případě je jeho užitková funkce ‫ݑ‬λ dána jako
‫ݑ‬λ(‫)ݔ‬ = ܽ+ ܾ݁ିλ୶
pro ܾ < 0. (3.5)
Samozřejmě ‫´ݑ‬λ(‫)ݔ‬ = |ܾ|λ݁ିλ୶
a ‫ݎ‬௨λ
(‫)ݔ‬ ≡ λ.
21
Z (3.3) a (3.5) plyne, že ‫ݏ‬λ , optimální úroveň pojištění pro jednotlivce s konstantní averzí k riziku λ, je jednoduše (předpokládáme-li ܷ´(0) > 0)
‫ݏ‬λ =
௪ ି௬
గାଵ
−
ଵ
λ(πାଵ)
ln
గ
௣ (ଵି௣)⁄
. (3.6)
Z (3.6) vidíme, že pro malé hodnoty ߣ není pořízeno žádné pojištění, ‫ݏ‬λ roste (jak předpokládá věta 1) s mírou růstu která je inverzní proporcionálně
k ߣ, a ‫ݏ‬λ konverguje k (‫ݓ‬ − ‫)ݕ‬ (ߨ + 1)⁄ , tedy k úrovni, na které je jednotlivec plně pojištěn. Tato pozorování jsou užitečná při stanovování našeho
dalšího výsledku, který vyjadřuje, že optimální množství nakoupeného pojištění roste do úrovně, ve které je jednotlivec plně pojištěn proti riziku,
pokud jednotlivcova averze k riziku roste bez omezení.
Věta 2
Nechť 〈‫ݑ‬௜〉 je posloupnost užitkových funkcí takových, že 〈‫ݎ‬௨೔
〉 neomezeně roste (rovnoměrně na intervalu [‫,ݕ‬ ‫ݓ‬]). Potom ‫ݏ‬௨೔
konverguje
k (‫ݓ‬ − ‫)ݕ‬ (ߨ + 1)⁄ .
Důkaz
Viz literatura.
3.2.2. Efekt rostoucího bohatství
Označme ‫ݏ‬௪ jako optimální množství pojištění, ‫ݓ‬ jako funkci jednotlivcova příjmu ve stavu 1, s pevnými ‫,ݑ‬ ‫,݌‬ ‫,ݕ‬ a ߨ. Pro zjednodušení můžeme
předpokládat, že ‫ݓ‬ ≥ ‫ݕ‬a ߨො≡ ߨ [‫݌‬ (1 − ‫)݌‬⁄ ] ≥ 1,⁄ takže ‫ݏ‬௪ je striktně rostoucí. Bylo naším předpokladem, že ‫ݏ‬௪ by měla být striktně konkávní
funkce.
22
obr. (3.2)
Toto však selhává, zejména pro nejběžnější funkce užitku.
Pro začátek uvažujme
݂(‫ݏ‬௪ , ‫ݓ‬) =
௨´(௬ା௦ೢ )
௨´(௪ ି௦ೢ )
− ߨො= 0. (3.7)
Aplikací věty o implicitní funkci na (3.7) dostaneme (‫ݎ‬≡ ‫ݎ‬௨)
‫´ݏ‬௪ = ቂ
௥(௬ା௦ೢ )
௥(௪ ିగ௦ೢ )
+ ߨቃ
ିଵ
> 0, (3.8)
pod podmínkou, že ‫ݏ‬௪ > 0, ze které můžeme usuzovat, že (když ‫´ݎ‬௨ ≤ 0)
‫´ݏ‬௪ ≤ 1 (1 + ߨ)⁄ . (3.9)
(Rovnosti se docílí, pokud ߨො= 1 (v případě, když ‫ݕ‬+ ‫ݏ‬௪ = ‫ݓ‬ − ߨ‫ݏ‬௪ ) nebo pokud je ‫ݎ‬konstantní na nějakém intervalu.)
Horní hranice ‫ݏ‬௪ umožňuje pomocí (3.9) ukázat, že ‫ݏ‬௪ nemůže být striktně konvexní na [‫,ݕ‬ ∞). Toto všechno, včetně poptávkové funkce odvozené
pomocí logaritmické užitečnosti, je zobrazeno na obrázku 3.2.
23
Derivací (3.8), získáme
‫݅ݏ‬݃݊
ௗమ௦ೢ
ௗ௪ మ
= ‫݅ݏ‬݃݊൜
௥´(௬ା௦ೢ )
௥´(௪ ିగ௦ೢ )
− ቂ
௥(௬ା௦ೢ )
௥(௪ ିగ௦ೢ )
ቃ
ଶ
ൠ. (3.10)
Definujme ݉ ఌ(‫ݐ‬) pro ߝ> 0 pomocí
݉ ఌ(‫ݐ‬) =
௥´(௧)
௥´(௧ାఌ)
− ቂ
௥(௧)
௥(௧ାఌ)
ቃ
ଶ
, pro všechna t, (3.11)
je zřejmé, že (3.10) dává následující charakteristiku ‫ݏ‬௪ .
Věta 3
Poptávka ‫ݏ‬௪ pro pojištění je konkávní nebo konvexní v závislosti na tom, zda
݉ ఌ ≤ 0 pro všechna ߝ> 0, nebo ݉ ఌ ≥ 0 pro všechna ߝ> 0.
Níže si uvedeme pět příkladů. V prvních třech je ‫ݏ‬௪ lineární, což platí v případech (a) konstantní absolutní averze k riziku, (b) a (c) konstantní relativní
averze k riziku. Linearita ‫ݏ‬௪ trvá, dokud je ܽ v příkladu (c) striktně kladné, takže relativní averze k riziku je klesající. Konkavity je docíleno
v příkladu (d) a konvexity (na omezeném intervalu) v příkladu (e), kde se setkávají klesající a rostoucí absolutní averze k riziku.
Příklady
(a) ‫ݐ(ݑ‬) = ݁ିఒ௧
, λ>0:‫ݐ(ݎ‬) ≡ ߣ, a ݉ ఌ ≡ 0.
(b) ‫ݐ(ݑ‬) = ln ‫ݐ‬: ‫ݐ(ݎ‬) = 1 ‫ݐ‬,‫ݐ(´ݎ‬) = −1 ‫ݐ‬ଶ⁄⁄ , ݉ ఌ ≡ 0.
(c) ‫ݐ(ݑ‬) = −(ܽ+ ‫ݐ‬)ି௤
, ܽ ≥ 0, ‫ݍ‬ > 0: ‫ݐ(ݎ‬) = (‫ݍ‬+ 1) (‫ݍ‬+ ‫ݐ‬), ‫ݐ(´ݎ‬) = − (‫ݍ‬+ 1) (ܽ+ ‫ݐ‬)ଶ⁄⁄ , a ݉ ఌ ≡ 0.
(d) ‫ݐ(ݑ‬) = −݁ିఒ௧
+ ܾ‫ݐ‬, ߣ > 0, ܾ > 0:‫ݐ(ݎ‬) = ൫ߣଶ
݁ିఒ௧
൯ ൫ߣ݁ିఒ௧
+ ܾ൯, a ݉ ఌൗ (‫ݐ‬) > 0 pro všechna ‫ݐ‬a všechna ߝ> 0.
(e) ‫ݐ(ݑ‬) = sin ‫ݐ‬, 0 ≤ ‫≤ݐ‬ ߨ/2: ‫ݐ(ݎ‬) = sin ‫ݐ‬ cos ‫ݐ‬⁄ , ‫ݐ(´ݎ‬) = 1 cosଶ
‫ݐ‬,tak ݉ ఌ⁄ (‫ݐ‬) > 0 pro ߝ> 0 a 0 ≤ ‫≤ݐ‬ ߨ 2⁄ .
24
3.2.3. Efekt rostoucího rizika
Nakonec uvažujme dopad nahrazení příjmu (bohatství) w náhodnou proměnnou W. (Stejně jako předtím, ‫ݓ‬ > ‫.)ݕ‬ ܹ interpretujeme jako mzdy
a ‫ݕ‬ jako (určité) neměnné benefity (death benefits). Na začátek analýzy, uvažujme dva jednotlivce s příslušnými dvojicemi příjmů (‫ݓ‬, ‫)ݕ‬ a (ܹ , ‫,)ݕ‬
kde ‫ܹܧ‬ = ‫ݓ‬, a označme ‫ݏ‬௪ a ‫ݏ‬ௐ jako množství pojištění, které si každý z nich pořídil.
Naivní intuicí můžeme navrhnout, že ‫ݏ‬ௐ > ‫ݏ‬௪ , pokud je (ܹ , ‫)ݕ‬ riskantnější a tedy potřebuje větší ochranu.
Rozumnější je však hypotéza, že ‫ݏ‬௪ > ‫ݏ‬ௐ , která je založena na následujícím argumentu: Protože ‫ݓ(ݑ‬) > ‫ܹ(ݑܧ‬ ), jednotlivec s příjmy (‫ݓ‬, ‫)ݕ‬ má
více toho, co musí chránit proti možnosti pohromy a je to tedy on, který potřebuje více pojištění.
Přestože to není na první pohled vidět, tento argument není správný. Zatímco ‫ݓ(ݑ‬) > ‫ܹ(ݑܧ‬ ) říká, že má jednotlivec větší bohatství k ochraně, nesleduje
už to, že větší množství pojištění ho chrání víc, než jednotlivce s (ܹ , ‫.)ݕ‬ Pojištění podle všeho chrání oba jednotlivce. Podstata problému
krouží okolo zřejmé otázky, který z nich má větší užitek z dodatečného pojištění.
Pokud je ‫ݏ‬množství pořízených pojištění (při striktní konkavitě ‫,)ݑ‬ potom
‫ݓ(ݑ‬ − ߨ‫)ݏ‬ > ‫ܹ(ݑܧ‬ − ߨ‫.)ݏ‬
– ߨ‫ݏ‬interpretujeme jako pokles bohatství u těchto dvou jednotlivců. Jestliže užitková funkce jednotlivce ukazuje klesající averzi k riziku, potom to
může intuitivně znamenat, poněvadž je druhý jednotlivec ten, který zažívá nejistotu ve stavu 1 (nejistotu, která nemůže být kontrolována), že mu
náhodná povaha ܹ − ߨ‫ݏ‬způsobí, že bude postižen více než druhý jednotlivec s jistými příjmy, pokud je efektivní úroveň bohatství ve stavu 1 sní-
žena.
25
Diskutujeme o tom, že úbytek užitků ve stavu 1 díky pořízení dodatečné jednotky pojištění splňuje
‫ܹ(ݑܧ‬ − ߨ‫)ݏ‬ − ‫ݑܧ‬൫ܹ − ߨ(‫+ݏ‬ ߝ)൯≥ ‫ݓ(ݑ‬ − ߨ‫)ݏ‬ − ‫ݑ‬൫‫ݓ‬ − ߨ(‫+ݏ‬ ߝ)൯; (3.12)
to znamená, že pojištění je pro druhého jednotlivce nákladnější. Na druhé straně, růst užitku ve stavu 2 spojený se zakoupením přípustné jednotky
pojištění je stejný pro oba jednotlivce.
Tudíž logickým výsledkem (3.12) je, že ‫ݏ‬௪ > ‫ݏ‬ௐ . Podělením – ߨߝa položením ߝblížícím se 0 dostáváme
‫ܹ(´ݑܧ‬ − ߨ‫)ݏ‬ ≥ ‫ݓ(´ݑ‬ − ߨ‫.)ݏ‬ (3.13)
Pokud ‫ݓ‬ ≻ଶ ܹ , (1.6) implikuje, že (3.13) nebo ekvivalentně (3.12), platí tehdy a jen tehdy, když ‫´ݑ‬ je konvexní. Naše další lemma vyjadřuje to, že
pokud jednotlivec vykazuje klesající absolutní averzi k riziku, potom má jeho užitková funkce skutečně konvexní derivaci. (Obráceně Lemma 1 ne-
platí.)
Lemma 1
Jestliže ‫ݎ‬௨ je nerostoucí a ‫′′′ݑ‬ existuje, pak ‫′′′ݑ‬ > 0; tj., ‫ݑ‬ má striktně konvexní derivaci.
Důkaz
Viz literatura.
Nyní formujme výše uvedený argument a zobecněme jej pro případy, kdy oba jednotlivci mají ve stavu 1 náhodné příjmy. Použitím Lemmatu 1 lze
nyní ukázat, že růst rizikovosti příjmu (bohatství) ve stavu 1, vede k nákupu menšího množství pojištění, pokud je ‫ݎ‬௨ klesající.
26
Věta 4
Nechť ‫ݏ‬ௐ a ‫ݏ‬௓ jsou optimální množství pojištění pro dva jednotlivce s příjmy (ܹ , ‫)ݕ‬ a (ܼ, ‫.)ݕ‬ Jestliže ܼ ≻ଶ ܹ , potom
‫ݏ‬௓ ≥ ‫ݏ‬ௐ , jestliže ‫ݎ‬௨ je neklesající, (3.14)
a
‫ݏ‬௓ ≤ ‫ݏ‬ௐ , jestliže ‫´ݑ‬ je konkávní a ‫)ܼ(ܧ‬ = ‫ܹ(ܧ‬ ). (3.15)
Důkaz
Viz literatura.
4. Optimální spotřeba při nejistotě
4.1. Úvod
Množství spotřebovávaných statků je každodenním rozhodnutím, které se týká všech ekonomických subjektů a které se uskutečňuje v podmínkách
nejistoty. Naším úkolem je objasnit, jak nejistota v kombinaci s problémy, které se postupně objevují, ovlivňuje alokaci spotřebitele mezi okamžitou
spotřebou a úsporami.
Přítomnost nejistoty alokační rozhodnutí pravděpodobně změní, ale povede to ke zvýšení nebo snížení okamžité spotřeby?
V následující kapitole si představíme dvoufázové modely, které v literatuře dosahují značné pozornosti. Tyto dvoufázové modely spotřeby spadají
do jedné ze dvou skupin, rozdíl mezi nimi je založen na původu nejistoty. V první skupině je nejistota způsobena náhodným pracovním příjmem
ve druhém období. V těchto modelech využívajících pracovní příjem předpokládáme, že míra výnosnosti úspor v prvním období je nenáhodná. Problém
nastává při výběru spotřeby v prvním období tak, abychom maximalizovali očekávanou užitečnost při spotřebě v obou obdobích.
27
Druhá skupina modelů se zaměřuje na náhodnost spojenou s investováním v prvním období: zde předpokládáme, že míra návratnosti kapitálu je
náhodná veličina. Otázkou pak zůstává, jak alokovat fixní množství kapitálu mezi spotřebou a investováním v prvním období tak, abychom maximalizovali
očekávaný užitek spotřeby obou období.
Jak bude dokázáno později, modely s kapitálovým rizikem jsou výrazně jednodušší pro analýzu. Na skutečné obtíže ale narazíme při rozšiřování
těchto modelů na vícefázové. Toto je ukázáno v kapitole 4.3, avšak splněno je to pouze za předpokladu, že užitkové funkce jednoho období vykazují
konstantní relativní averzi vůči riziku, nebo když je ‫′ݑ‬ konvexní v případě kapitálového a výnosového rizika. V předchozím případě, je model
s neurčitým počtem období přesně tímto dvoufázovým modelem.
V druhém případě je náš model zpracován podle Millera (1976). Ukážeme si také Levhariho a Mirmanův model (1977), ve kterém jsou pracovní
příjem a návratnost investice určité, ale délka rozhodování účastníka (tj. délka období) je náhodná.
4.2. Dvoufázové modely
Spotřebitel je na počátku vybaven prostředky ‫ݓ‬, a volí množství ܿ, které spotřebuje v období 1, jeho úspory nebo investice jsou tedy rovny ‫ݓ‬ − ܿ.
Ve druhém období spotřebuje prostředky v celém svém rozsahu, a tyto prostředky jsou součtem jeho náhodného pracovního příjmu ܻ a ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ),
což je oceněná hodnota jeho investice, kde ‫−ݎ‬ 1 je určitá úroková míra.
Cílem spotřebitele v tomto modelu čistého příjmového rizika je maximalizovat očekávanou hodnotu ܸ(‫ݓ‬) jeho užitku pro spotřební tok v obou obdobích,
který podléhá omezení 0 ≤ ܿ ≤ ‫ݓ‬. Problémem je tedy určit optimální úroveň spotřeby ܿ∗
v období 1, tj.
ܸ(‫ݓ‬) ≡ max଴ஸ௖ஸ௪ ‫ܷܧ‬൫ܿ, ܻ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)൯. (4.1)
Obvykle předpokládáme, že užitková funkce ܷ spotřebitele je konkávní a rostoucí ve všech proměnných.
28
Podmínka prvního řádu pro řešení (4.1) je (ܷ je funkce diferencovatelná podle ܿ)
‫ܷܧ‬ଵ = ‫ܷܧݎ‬ଶ. (4.2)
Jestliže ܻ = ‫,ܻܧ‬ pak je (4.2) redukována na známou podmínku
ܷଵ = ‫ܷݎ‬ଶ (4.3)
Pro zjednodušení vztahu, nechť ܿௗ je optimální úroveň spotřeby (která řeší (4.3)) pro tuto deterministickou podobu problému. Užitím (4.3), rozšířením
‫ܷܧ‬ଵa ‫ܷܧ‬ଶ do Taylorova rozvoje na intervalu 〈(ܿௗ, ‫ܻܧ‬ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿௗ)〉 a vynecháním členů výrazu ߲௞
ܷ௜/߲௞
ܿଶ‫–ܻ(ܧ‬ ‫))ܻ(ܧ‬௞
/݇!
pro ݇ > 2 (tyto členy pravděpodobně budou ‫ߪ(݋‬ଶ
), kde ߪଶ
= ‫ܻ({ܧ‬ − ‫))ܻ(ܧ‬ଶ
}), obdržíme
 2/2/ 2
2222
2
122121  UUrUUrEUEU 
2
2  222122 rUU 
=
2
2






 222
2
1
122 U
U
U
U ≡
2
2
U (4.4)
Předpokládejme vnitřní řešení, 0 < ܿௗ < ‫ݓ‬, (݀ଶ
/݀ܿଶ
)ܷ|௖೏
< 0, implikující, že
  02
2
21 
d
c
EU
dc
d
d
c
rEUEU
dc
d
, (4.5)
jelikož (݀ଶ
/݀ܿଶ
)‫|ܷܧ‬௖೏
= (݀ଶ
/݀ܿଶ
)ܷ|௖೏
+ ܱ(ߪଶ
).
29
Následně, pokud je výraz (4.4) záporný, z (4.5) vyplývá, že ܿ∗
< ܿௗ, pokud ܻ vykazuje dostatečně malé riziko.
Jak jsme ukázali výše, můžeme zajistit, aby předběžná poptávka po úsporách byla kladná (tj. ܿ∗
< ܿௗ), když je nejistota pracovního příjmu ܻ malá,
pokud je množství U záporné. Nyní, jestliže ܷ vykazuje klesající absolutní averzi k riziku, pak je ܷ௜௜௜ < 0, navíc, pokud je ܷ aditivní (separabilní),
pak jsou její křížové parciální derivace při splnění požadavkuU < 0 nulové.
Nyní se zaměříme na variantu modelu s čistým kapitálovým rizikem místo té s čistým výnosovým (pracovně-příjmovým) rizikem. Jedinec nebude
pobírat pracovní příjem, ale spíše investovat rozdíl mezi jeho počátečním bohatstvím w a spotřebou ܿv období 1. Míra návratnosti ܺ − 1 ≥ 0 jeho
investice či úspor je náhodná, takže částka, kterou má k dispozici pro spotřebu v období 2, je (‫ݓ‬ − ܿ)ܺ. Pro jednoduchost předpokládejme, že dvoufázová
užitková funkce je aditivní, takže problémem spotřebitele je nalézt optimální úroveň spotřebyܿ௑, aby
max଴ஸ௖ஸ௪ {‫)ܿ(ݑ‬ + ‫ݓ(ܺ[ݒܧ‬ − ܿ)]} (4.6)
kde ‫ݑ‬ a ߥv uvedeném pořadí označují striktně konkávní užitkové funkce pro spotřebu v období 1 a 2.
Analogicky k modelu s čistým výnosovým rizikem je podmínka prvního řádu pro řešení (4.6)
‫ݑ‬ᇱ
(ܿ) = ‫ݒܺ{ܧ‬ᇱ[ܺ(‫ݓ‬ − ܿ)]} (4.7)
Na rozdíl od tohoto modelu nám však přítomnost čistého kapitálového rizika umožňuje vymezit podmínky pro ߥtak, že vzrůstající rizikovost ܺ způsobující
ܿ௑, tedy optimální úroveň spotřeby v období 1, můžeme snížit bez jakéhokoliv omezení míry nejistoty (rizikovosti) obsažené v náhodné
proměnné ܺ. Poznamenejme si ještě, že když řekneme, že ܺ je rizikovější či více nejisté než ܼ, myslíme tím, že ܼ >ଶ ܺ [viz (1.4)].
30
Věta 1
Předpokládejme, že ܺ je rizikovější než ܼ a ‫)ܺ(ܧ‬ = ‫.)ܼ(ܧ‬ Pak ܿ௑ ≤ ܿ௓, pokud je ݂ konvexní a ܿ௑ ≥ ܿ௓, pokud je ݂ konkávní, kde
݂(‫ݐ‬) = ‫ݐ‬‫ݒ‬ᇱ(‫ݐ‬), pro ‫≥ݐ‬ 0. (4.8)
Důkaz
Viz literatura.
Z Věty 1 ihned plyne důsledek, že nejistota v míře návratnosti na rozdíl od známé míry návratnosti vede ke snížení spotřeby v období 1 – nebo
chceme-li, k růstu úspor – za předpokladu, že ݂ je konvexní.
I tady, stejně jako v modelu s čistým výnosovým rizikem, hraje kladnost třetí derivace užitkové funkce klíčovou roli. Protože ݂′′(ܿ) = 2‫)ܿ(′′ݒ‬ +
ܿߥ′′′(ܿ), je zřejmé, že nutná, nikoliv však postačující, podmínka pro konvexitu ݂ je, že třetí derivace ߥ je kladná. (Je samozřejmé, že záporná třetí
derivace je postačující, abychom zaručili konkávnost ݂.) Nyní, všechny isoelastické užitkové funkce, tj. ty s konstantní relativní averzí k riziku,
ߥ(ܿ) = ܿఊ
/ߛ, ߛ < 1a ߛ ≠ 0, mají kladné třetí derivace, ale ݂ je konvexní, když ߛ < 0 a konkávní, když ߛ > 0, protože ݂"(ܿ) = ߛ(ߛ– 1)ܿఊିଶ
. (Na
hranici (tj. ߛ = 0) položme ߥ(ܿ) = ݈݊ܿ. Zde ݂" ≡ 0, tzn. ݂ je konvexní i konkávní, tudíž ܿ௑ závisí na ܺ jen přes ‫;)ܺ(ܧ‬ ve skutečnosti ܿ௑ =
‫)ܺ(ܧ(/)ܺ(ܧݓ‬ + ߚ), když ‫ݑ‬ = ݈n a ߥ = ߚ݈݊, kde ߚ je diskontní faktor.)
Nakonec poznamenejme, že 0 < ݀ܿ௑/݀‫ݓ‬ < 1. Všimněme si, že růst ‫ݓ‬ způsobuje pokles pravé strany rovnice (4.7), zatímco levá strana zůstává nezměněna;
a růst ܿ způsobuje pokles levé strany a růst pravé strany. Proto ݀ܿ௑/݀‫ݓ‬ > 0. Pokud ݀ܿ௑/݀‫ݓ‬ ≥ 1, pak ܺ(‫ݓ‬ – ܿ௑) klesá s ‫ݓ‬, čímž roste
pravá strana rovnice (4.7), zatímco ݀ܿ௑/݀‫ݓ‬ > 0 způsobuje, že levá strana klesá s ‫ݓ‬. Toto však porušuje (4.7), proto musíme mít ݀ܿ௑/݀‫ݓ‬ < 1.
31
4.3. Vícefázové modely
Ve vícefázových modelech spotřeby je analytické tvárnosti dosaženo pouze výměnou některých omezujících předpokladů uvalených na vícefázovou
užitkovou funkci ܷ spotřebního toku ܿ= 〈ܿ௜〉௜ୀଵ
ஶ
. Ve všech případech předpokládáme, že ܷ je aditivní a je ve tvaru
ܷ(ܿ) = ∑ ߚ௜ିଵ
‫ܿ(ݑ‬௜),ஶ
௜ୀଵ (4.10)
kde ߚ je diskontní faktor, 0 < ߚ < 1 a jednofázová užitková funkce ‫ݑ‬ je jako vždy konkávní. Navíc předpokládáme, že všechny příslušné náhodné
proměnné jsou nezávislé.
Jestliže k (4.10) a nezávislosti náhodných proměnných navíc předpokládáme, že jednofázová užitková funkce vykazuje konstantní relativní averzi
k riziku, tj. ‫ݑ‬ je ve tvaru
‫)ܿ(ݑ‬ = ܿఊ
/ߛ, ߛ ≠ 0, ߛ < 1,
‫)ܿ(ݑ‬ = ݈݊ܿ, ߛ = 0. (4.11)
Pak jsou dvou- a vícefázové modely s čistým kapitálovým rizikem ekvivalentní; jako předtím, kdy rostoucí riziko způsobovalo pokles spotřeby,
když ߛ < 0 a růst spotřeby, když ߛ > 0.
Miller (1976) ve svých vícefázových modelech s čistým výnosovým rizikem uvažuje poněkud širší skupinu jednofázových užitkových funkcí, než je
popsána v (4.11). V jeho modelu je ‫ݑ‬ omezena na skupinu F , kde
F = {‫:ݑ‬ ‫ݑ‬ᇱ
> 0 a ‫′ݑ‬ je konvexní}. (4.12)
Tudíž podmínka ‫′′′ݑ‬ > 0 je nezbytná a, jak bude dále uvedeno, spotřeba klesá s rostoucím rizikem, pokud ‫ݑ‬F . Protože ‫′′′ݑ‬ > 0, pokud je ‫ݑ‬ definovaná
podle (4.11), směr změny pro optimální úroveň spotřeby nezávisí na znaménku ߛ. Tento rozdíl zobrazuje odlišnost mezi dvěma modely.
32
Nechť ܻ௝je nezáporný příjem obdržený na konci období ݆, {ܻ௝} jsou tedy nezávislé. Pro zjednodušení výkladu předpokládejme, že ܻ௝mají stejné rozdělení
a není dovoleno půjčování. Následující předpoklad vyjadřuje, že současná spotřeba ܿje omezena tím, že se nachází mezi 0 a ‫ݓ‬, což je současná
velikost bohatství. Zaručenou návratnost investice označíme ‫–ݎ‬ 1, tedy současné bohatství w společně se současnou spotřebou ܿ nám dává
velikost bohatství ܻ + ‫)ܿ-ݓ(ݎ‬ následujícího období.
Musíme přidat předpoklad ‫ݎ‬ఊ
ߚ < 1 proto, abychom zaručili, že užitek plynoucí z optimálního spotřebního toku zůstává patřičně omezen. Analýza
začíná demonstrací, že operátor A je kontrakční zobrazení4
do prostoru funkcíV , kde ‫ܣ‬ je definováno jako
‫ݓ(ݒܣ‬) = ‫݌ݑݏ‬଴ஸ௖ஸ௪ {‫)ܿ(ݑ‬ + ߚ‫ܻ[ݒܧ‬ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)]}, ‫ݓ‬ > 0, ‫ݒ‬ ∈V, (4.13)
aV je (Banachův) prostor spojitých, rostoucích a konkávních funkcí na intervalu (0, ∞), který z technických důvodů splňuje omezující podmínku
‖‫‖ݒ‬ ≡ ‫݌ݑݏ‬௪ வ଴|‫ݓ(ݒ‬)|/max (|‫ݓ(ݑ‬)|, 1) < ∞. (4.14)
Znalost toho, že ‫ܣ‬ je kontrakce, nám kromě jiného umožňuje dospět k závěru, že ‫ܣ‬ má jediný pevný bod (naV ), a tak ܸ(‫ݓ‬), což je užitek
z následného optimálního spotřebního toku, kde počáteční bohatství je ‫ݓ‬, je jediným řešením
ܸ(‫ݓ‬) = ‫݌ݑݏ‬଴ஸ௖ஸ௪ ൛‫)ܿ(ݑ‬ + ߚ‫ܸܧ‬൫ܻ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)൯ൟ, ‫ݓ‬ > 0, (4.15)
a ܿ௒(‫ݓ‬), optimální úroveň spotřeby, když ‫ݓ‬ je bohatství a ܻ je náhodný pracovní příjem, je jedinou hodnotou ܿ, která dosahuje maxima v (4.15).
Navíc, pokud je ܸ pevným bodem ‫,ܣ‬ pak je ܸ konkávní. Konkávnost ‫ݑ‬ a ܸ nám s využitím stejného principu jako na konci předešlé kapitoly umožňuje
ukázat, že ܿ௒(‫ݓ‬) a ‫ݓ‬ − ܿ௒(‫ݓ‬) jsou rostoucí funkce ‫ݓ‬, tj. že 0 < ݀ܿ௒(‫ݓ‬)/݀‫ݓ‬ < 1.
4
Operátor A je kontrakcí na prostorV , jestliže existuje číslo α < 1 takové, že
||Aν1 – Aν2|| ≤ α||ν1 – ν2||, pro všechna ν1, ν2V ,
kde ||∙|| je normou prostoru V . Zde je norma ||∙|| daná stejně jako v (4.14).
33
Konkávnost ܸ nám také dovoluje jednoduchou ukázku toho, že rizikovější výnos ܼ je požadován méně než ܻ, protože ܸ௓(‫ݓ‬) ≤ ܸ௒(‫ݓ‬) pro všechna
‫ݓ‬, přičemž jsme u ܸ a ‫ܣ‬ použili dolní indexy, abychom rozlišili výnos spojený s ܼ a ܻ. Abychom to ukázali, poznamenejme, že pro každé ܿ,
0 ≤ ܿ≤ ‫ݓ‬, skutečnost, že ܼ je rizikovější než ܻ (tj. ܻ >ଶ ܼ) vyjadřuje, že
‫)ܿ(ݑ‬ + ߚ‫ܸܧ‬௒൫ܼ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)൯≤ ‫)ܿ(ݑ‬ + ߚ‫ܸܧ‬௒൫ܻ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)൯, (4.16)
protože ܸ௒ je konkávní rostoucí funkce. Maximalizací levé strany (4.16) přes všechna ܿobdržíme
‫ܣ‬௓ܸ௒(‫ݓ‬) ≤ ‫ݑ‬൫ܿ௓(‫ݓ‬)൯+ ߚ‫ܸܧ‬௒(ܻ + ‫ݓ(ݎ‬ − ܿ௓(‫ݓ‬))) ≤ ܸ௒(‫ݓ‬),
nebo jednoduše
‫ܣ‬௓ܸ௒ ≤ ܸ௒. (4.17)
Protože ‫ܣ‬௓ je monotónní (tj. ‫ݒ‬ ≤ ‫ݒ‬ොimplikuje ‫ܣ‬௓‫ݒ‬ ≤ ‫ܣ‬௓‫ݒ‬ො), můžeme (4.17) opakovat a získáme
‫ܣ‬௓
௡ାଵ
ܸ௒ ≤ ‫ܣ‬௓
௡
ܸ௒ ≤ ⋯ ≤ ܸ௒. (4.18)
Skutečnost, že ‫ܣ‬௓ je kontrakce znamená, že metoda postupných aproximací může být použita k nalezení pevného bodu; tj.
lim௡→ஶ ‫ܣ‬௓
௡
‫ݒ‬ = ܸ௓ pro všechna ‫ݒ‬ ∈V. (4.19)
Zejména, užití (4.19) s ‫ݒ‬ = ܸ௒ve spojení s (4.18) vede k požadovanému
ܸ௓ = lim௡→ஶ ‫ܣ‬௓
௡
ܸ௒ ≤ ܸ௒.
Miller (1976) pomocí vysvětlení, že ‫ݑ‬F implikuje ܸF , ověřuje, že ܿ௓(‫ݓ‬) ≤ ܿ௒(‫ݓ‬) vždy, když je ܼ rizikovější než ܻ.
Levhari a Mirman (1977), (spíše než pokládání výnosového či kapitálového rizika za zdroj nejistoty), uvažují případ, kde nejistota vyvstává jako
důsledek spotřebitelovy neznámé délky života. Nechť ‫݌‬௜je pravděpodobnost, že žije přesně ݅let, ݅= 0,1, … , ݊, tudíž ݊ je maximální délka jeho živo-
34
ta. Předpokládáme, že rozhodnutí o velikosti spotřeby je učiněno na začátku každého období dříve, než spotřebitel zjistí, zda toto období přežije;
kromě toho nepřipisujeme žádnou hodnotu dědictví. Pro jednoduchost také předpokládejme, že nemáme žádný pracovní příjem. Zaručenou návratnost
investice označme ‫–ݎ‬ 1 a ܲ௜definujme jako pravděpodobnost, že spotřebitel žije nejméně ݅let, tedy
ܲ௜ = ∑ ‫݌‬௝
௡
௝ୀ௜ . (4.20)
Ponecháním ܸ௜(‫ݓ‬) jako maxima očekávané současné hodnoty užitečnosti spotřeby v obdobích ݅až ݊, přičemž ‫ݓ‬ je bohatství na počátku období ݅,
dostaneme
ܸ௜(‫ݓ‬) = min଴ஸ௖ஸ௪ ൛ܲ௜‫)ܿ(ݑ‬ + ߚܸ௜ାଵ൫‫ݓ(ݎ‬ − ܿ)൯ൟ, ݅= 0, 1, … , ݊ − 1, (4.21)
a
ܸ௡(‫ݓ‬) = ܲ௡‫ݓ(ݑ‬). (4.22)
Zřejmě hodnota ܿ௜(‫ݓ‬) z ܿ, která dosahuje maxima, je optimální velikostí spotřeby v období ݅, pokud bohatství na počátku období ݅je ‫ݓ‬.
Jak již bylo uvedeno dříve, omezíme naši pozornost na jednofázové užitkové funkce, které splňují (4.11). Když ߛ ≠ 1, můžeme prostřednictvím indukce
ukázat, že existují konstanty ‫ܭ‬ a ݂ takové, že
ܸ௜(‫ݓ‬) = ‫ݓ(ݑ‬)‫ܭ‬௜, (4.23)
a
ܿ௜(‫ݓ‬) = ‫ݓ‬݂௜. (4.24)
35
Optimální velikost spotřeby ݂௜v období ݅splňuje
݂௜ =
௉೔
భ/(భషം)
௉೔
భ/(భషം)
ାఈ௞೔
,
kde ߙ = (ߚ‫ݎ‬ఊ
)
భ
భషം a ݇௜ = [ܲ௜݂௜
ఊ
+ܲ௜ାଵߙଵିఊ
(1 − ݂௜)ఊ
]ଵ/(ଵିఊ)
= ‫ܭ‬௜
ଵ/(ଵିఊ)
.
Analogie (4.23) a (4.24) pro jednodušší případ ߛ = 1 je
ܸ௜(‫ݓ‬) = ∑ ܲ௜ା௝ߚ௝
݈݊‫ݓ‬ + ‫ܭ‬௜
௡ି௜
௝ୀ଴ (4.25)
a
ܿ௜(‫ݓ‬) = ‫ݓ‬
௉೔
∑ ௉೔శೕఉೕ೙ష೔
ೕసబ
. (4.26)
Nyní porovnejme dva jedince s různými náhodnými délkami života ܺ a ܻ, ܲ(ܺ = ݅) = ‫݌‬௜, ܲ(ܻ = ݅) = ‫ݍ‬௜, ܲ௜ = ∑ ‫݌‬௝
௡
௝ୀ௜ a ܳ௜ = ∑ ‫ݍ‬௝
௡
௝ୀ௜ . Srovnejme
jejich spotřebu v období 0, pokud je ܻ považováno za rizikovější.
Věta 2
Předpokládejme, že ܻ ≠ ܺ a ܻ je rizikovější než ܺ, tedy
∑ ܲ௜ ≥
௝
௜ୀ଴ ∑ ܳ௜,
௝
௜ୀ଴ ݆= 0, 1, … , ݊. (4.27)
Pak jedinec s délkou života ܻ spotřebuje v počátečním období určitě více bez ohledu na to, zda ‫)ܺ(ܧ‬ > ‫)ܻ(ܧ‬ nebo ‫)ܺ(ܧ‬ = ‫.)ܻ(ܧ‬
Důkaz: Viz literatura.
36
Ještě poukážeme na to, že kdyby byl na počátku diskontní faktor roven jedné, spotřeba by pak závisela na X pouze přes svou střední hodnotu, protože
by byla proporcionální k 1/(‫)ܺ(ܧ‬ + 1).
5. Konkurenční firma při nejistotě
5.1. Úvod
V této kapitole omezíme naši pozornost na chování konkurenčních firem v nejistém prostředí. Dále se v rámci tohoto problému zaměříme na jednofázové
modely a ukážeme, že nejistota je důležitá, i když jsou firmy rizikově neutrální.
Pro připomenutí začneme analýzou averze k riziku těch firem, které vyrábějí v konkurenčním jednofázovém prostředí. Rozhodnutí o optimálním
výstupu je porovnáváno s klasickým, rizikově neutrálním prostředím a je vidět, že pokud je rozhodnutí kombinováno s nejistotou averze k riziku, je
výstup nižší. Navíc, čím je větší averze k riziku, ve smyslu Arrowa a Pratta, tím větší je snížení výstupu. Na druhé straně však nové výsledky odhalují,
že změna ve výstupu způsobená udržovaným průměrným růstem rizika závisí na sklonu křivky nákladů, a stejně tak na znaménku třetí derivace
užitkové funkce. Na rozdíl od případu, kde figuruje jistota, efekt rostoucích fixních nákladů či přiměřené daně ze zisku má vliv na výstup, a směr
vlivu se mění nepřímo úměrně s absolutní a relativní averzí k riziku.
Pak jsou prezentovány důsledky averze k riziku na trh výrobních faktorů. Následně je vyhodnoceno "optimální" chování konkurenční firmy, když
jsou použita především kritéria bezpečnosti namísto maximalizace očekávaného užitku. Nakonec uvedeme analýzu chování konkurenčního odvětví
při nejistotě. Za účelem oddělení efektu nejistoty, předpokládejme, že jsou firmy rizikově neutrální. Hlavními výsledky jsou: očekávaný výstup každé
z firem je menší než výstup, který minimalizuje průměrné náklady odvětví, konkurenční rovnováha je efektivní a počet firem v odvětví roste
s růstem buď střední hodnoty výstupu, nebo rozptylu výstupu.
37
5. 2. Konkurenční výroba firem averzních k riziku
V této podkapitole určíme optimální výstup konkurenční firmy, která je k riziku averzní. Cena ܲ ≥ 0 je náhodná proměnná (se známou distribuční
funkcí ‫ܨ‬ a střední hodnotou ߤ), a firma ji nemůže jakkoliv ovlivnit. Proto, jelikož se jedná o konkurenční prostředí, firma prodává celý svůj výstup ‫ݍ‬
za obvyklou cenu ‫.݌‬ Hodnota ‫݌‬ z ܲ je tedy známa až poté, co se firma rozhodne o velikosti svého výstupu ‫.ݍ‬ V našem případě se jedná o jednofázový
model, což znamená, že není povoleno uskladnění zásob mezi obdobími.
Vztah mezi ziskem firmy ߨ a výstupem ‫ݍ‬je dán jako
ߨ(‫)ݍ‬ = ܲ‫–ݍ‬ ‫,)ݍ(ܥ‬ (5.1)
kde ‫,)ݍ(ܥ‬ tedy celkové náklady na výrobu ‫ݍ‬ jednotek produkce, se skládají z fixních nákladů ‫ܤ‬ a variabilních nákladů ܿ(‫.)ݍ‬ C je samozřejmě rostoucí
funkce. Protože předpokládáme neklesající mezní náklady na produkci (‫′ܥ‬ je kladná a neklesající), ߨ je konkávní funkce argumentu ‫.ݍ‬ Firma
má striktně konkávní užitkovou funkci ‫ݑ‬ a hledá takové množství ‫,ݍ‬ které bude maximalizovat očekávaný užitek ܷ ze zisku. Firma tedy hledá optimální
úroveň produkce ‫ݍ‬∗
, kde ‫ݍ‬∗
splňuje
ܷ(‫ݍ‬∗) = max௤ஹ଴ ܷ(‫,)ݍ‬ (5.2)
a
ܷ(‫)ݍ‬ = ‫ݑܧ‬൫ߨ(‫)ݍ‬൯. (5.3)
38
Během celé této kapitoly budeme využívat následujícího důsledku:
Lemma 1
Jestliže ℎ > 0 je klesající funkce a Z je nedegenerovaná náhodná proměnná, pak
‫ܼ{ܧ‬ℎ(ܼ)} < ℎ(0)‫.)ܼ(ܧ‬
Důkaz
Viz literatura.
Podmínkou prvního řádu je (konkávnost u a π zaručuje, že se to vztahuje i na U)
‫ܧ‬൛‫ݑ‬ᇱ
൫ߨ(‫)ݍ‬൯ܲൟ= ‫ܥ‬ᇱ(‫ݑܧ)ݍ‬ᇱ
൫ߨ(‫)ݍ‬൯. (5.4)
Jelikož ‫′ݑ‬ je klesající funkce a ߨ roste na ܲ, z Lemmatu 1 plyne, že ‫ܲ()ߨ(′ݑ{ܧ‬ − ߤ)} < 0. Po odečtení ߤ‫)ߨ(′ݑܧ‬ z obou stran (5.4) tato nerovnost
ukazuje, že
(‫ܥ‬ᇱ(‫)ݍ‬ − ߤ)‫ݑܧ‬ᇱ
(ߨ) = ‫ݑ{ܧ‬ᇱ(ߨ)(ܲ − ߤ)} < 0,
z čehož kladnost ‫)ߨ(′ݑܧ‬ implikuje, že
‫ܥ‬ᇱ(‫ݍ‬∗) < ߤ. (5.5)
Vzhledem k (5.5), neklesajícímu ‫′ܥ‬ a skutečnosti, že optimální výstup, ať už firmy rizikově neutrální či určené poptávkou, má mezní náklady rovny
ceně, zjistíme, že nejistota spojená s averzí k riziku vede ke snižování výstupu. (Pokud firma riziko preferuje, tj. ‫ݑ‬ je konvexní, pak stejný argument
znamená, že výstup roste.)
39
5.2.1. Vliv rostoucího rizika
Protože růst rizikovosti ܲ zachovávající střední hodnotu ponechává μ nezměněné, nebude pro nás překvapením, že taková změna má vliv na ‫ݍ‬∗
.
Ovšem směr změny je nejistý; ve skutečnosti jsou možné nárůsty i poklesy výstupu. Začněme ověřením očekávaného výsledku, že růst rizika povede
k poklesu produkce. V naší diskusi o optimálních spotřebních strategiích hraje svou roli funkce ݂definovaná jako
݂(‫ݐ‬) = ‫ݐ‬‫ݐ(′ݑ‬), ‫≥ݐ‬ 0, (5.6)
stejně jako znaménko ‫;′′′ݑ‬ mimo to zde vstupují i fixní náklady.
Věta 1
Nechť ‫ݍ‬௜ označuje optimální výstup, když cena ܲ má stejné rozdělení jako náhodná proměnná ܲ௜, ݅= 1, 2, a předpokládejme, že ܲଵ je striktně rizikovější
než ܲଶ se středními hodnotami ‫ܲ(ܧ‬ଵ) = ‫ܲ(ܧ‬ଶ). Výstup klesá (tj. ‫ݍ‬ଵ < ‫ݍ‬ଶ), když ݂je konkávní a, buď ‫′ݑ‬ je konvexní a mezní náklady převyšují
průměrné, nebo ‫′ݑ‬ je konkávní a průměrné náklady převyšují mezní. Výstup roste (tj. ‫ݍ‬ଵ > ‫ݍ‬ଶ), když ݂je konvexní a, buď ‫′ݑ‬ je konvexní a průměrné
náklady převyšují mezní, nebo ‫′ݑ‬ je konkávní a mezní náklady převyšují průměrné.
Důkaz
Viz literatura.
Nejznámější užitkové funkce splňující ݂ konkávní a ‫′ݑ‬ konvexní jsou isoelastické užitkové funkce s parametrem ߛ ≥ 0, tj. ‫)ܿ(ݑ‬ = ݈݊ܿ a ‫)ܿ(ݑ‬ =
‫ܥ‬ఊ
/ߛ, 0 < ߛ < 1; ݂ je konvexní, pokud ߛ ≤ 0. Předpoklad, že jsou mezní náklady vyšší než průměrné náklady, vyžaduje nulové fixní náklady
(tj. ‫ܤ‬ = 0), zatímco fixní náklady musí být nenulové, pokud průměrné náklady překračují mezní náklady. Větu 1 lze snadno rozšířit pro případ ܷ
křivky průměrných nákladů.
40
I když to nepřináší zvláště užitečný výsledek v této zvláštní souvislosti, Věta 1 má zajímavý důsledek pro vzájemný dopad změn v riziku. Zejména
nechť ‫,݌(ݒ‬ ‫)ݍ‬ je užitek spojený s rozhodnutím ‫ݍ‬, kdy náhodná proměnná Pr předpokládá hodnotu p. Ten, kdo se rozhoduje, usiluje o maximalizaci
ܷ௥(‫)ݍ‬ = ∫ ‫,݌(ݒ‬ ‫ܨ݀)ݍ‬௥(‫)݌‬, (5.7)
kde ‫ܨ‬௥ je rostoucí distribuční funkce náhodné veličiny ܲ௥, a zvýšení ‫ݎ‬představuje růst rizika zachovávající střední hodnotu. Označme optimální rozhodnutí
‫ݍ‬௥
∗
a předpokládejme, že v roste v ‫݌‬ a je striktně konkávní v ‫.ݍ‬ Je dokázáno, že ‫ݍ‬∗
roste (klesá) s ‫,ݎ‬ pokud je ߲‫ݍ߲/ݒ‬ přísně konvexní (konkávní)
funkcí ‫,݌‬ tedy ߲ଷ
‫݌߲ݍ߲/ݒ‬ଶ
> (<)0.
V našem konkurenčním modelu máme ‫,݌(ݒ‬ ‫)ݍ‬ = ‫ݍ݌(ݑ‬− ‫.))ݍ(ܥ‬ Nyní ‫ݒ‬ roste v ‫;݌‬ tedy ߲ଶ
‫,݌(ݒ‬ ‫ݍ߲/)ݍ‬ଶ
= (‫݌‬− ‫ܥ‬ᇱ(‫))ݍ‬ଶ
‫ݑ‬ᇱᇱ(ߨ) − ‫ܥ‬ᇱᇱ(‫ݑ)ݍ‬ᇱ(ߨ) < 0,
protože je ‫ݑ‬ striktně konkávní a ߲ଷ
‫݌߲ݍ߲/ݒ‬ଶ
< 0 za předpokladu, že
−
௨´´´(గ)
௨´´(గ)
ൣ‫ݍ‬൫‫݌‬− ‫)ݍ(´ܥ‬൯൧> 2. (5.8)
Pokud tedy ‫ݑ‬ splňuje (5.8) na příslušném rozsahu ‫݌‬ a ‫,ݍ‬ zvýšení rizika povede ke snížení výstupu.
5.2.2. Změny averze k riziku
Ukázali jsme, že pro firmy s konstantní absolutní averzí k riziku platí, že firma averzní k riziku produkuje méně než rizikově neutrální firma a ta
produkuje méně než riziko preferující firma. Bohužel se tento výsledek vztahuje pouze na omezenou třídu užitkových funkcí a navíc neumožňuje
žádné srovnání mezi firmami odmítajícími riziko. Náš další výsledek tato omezení překonává. Pro rozlišení mezi optimální hodnotou ‫ݍ‬ pro užitkové
funkce ‫ݑ‬ a ‫,ݒ‬ nahradíme ‫ݍ‬∗
‫ݍ‬௨ respektive ‫ݍ‬௩.
Věta 2
Když ‫ݎ‬௨ > ‫ݎ‬௩ , pak ‫ݍ‬௨ < ‫ݍ‬௩.
Důkaz: Viz literatura.
41
5.2.3. Vliv fixních nákladů a zisků daní
Reakce konkurenční firmy na fixní náklady se v podmínkách nejistoty a jistoty radikálně liší. Je samozřejmě pevně stanoveno, že krátkodobá rozhodnutí
o produkci fixní náklady nemění. To neplatí pro firmy vlastnící konkávní užitkové funkce a pracující v rizikovém prostředí popsaném zde:
zvýšení fixních nákladů vede k poklesu výstupu, pokud má podnik klesající absolutní averzi k riziku.
Důvod pro toto (paradoxní) chování je poměrně jasný. Bylo již prokázáno, že firmy odmítající riziko produkují méně než firmy rizikově lhostejné.
Pokud má firma klesající (rostoucí) funkci absolutní averze k riziku, pak by se měl výstup zvýšit (snížit) s bohatstvím. Ale fixní náklady jsou podobné
negativnímu bohatství, a tudíž jsou výsledky následující.
Věta 3
Pokud je ‫ݎ‬௨ klesající (rostoucí), pak ݀‫ݍ‬∗
/݀‫ܤ‬ < 0 [> 0].
Důkaz:
Viz literatura.
Dále předpokládejme, že existuje proporcionální míra zdanění ‫ݐ‬zisku tak, že zisk ߨ po zdanění je dán vztahem
ߨ (‫)ݍ‬ = (1 – ‫ݐ‬)(ܲ‫ݍ‬– ‫,))ݍ(ܥ‬ (5.11)
a stejně jako předtím se firma snaží maximalizovat ‫ݍ‬∗
ܷ (‫)ݍ‬ = ‫ݑܧ‬ (ߨ (‫.))ݍ‬ (5.12)
42
Pokud neuvažujeme nejistotu, výstup se s ‫ݐ‬nemění. V přítomnosti nejistoty je nicméně t klesající nebo rostoucí v souladu s klesající nebo rostoucí
povahou firemní relativní averze k riziku.
Věta 4
Pokud je ܴ௨ klesající (rostoucí), pak ݀‫ݍ‬∗
/ ݀‫<ݐ‬ 0 (> 0).
Důkaz
Viz literatura.
Pokud by se ceny měly zvýšit o ߝs pravděpodobností 1 a ‫ݎ‬௨ je nerostoucí, pak
ቀ
ௗ
ௗக
ቁܷᇱ(‫)ݍ‬ = ‫ܧ‬ ൛‫´ݑ‬൫ߨ(‫)ݍ‬൯+ ‫ݍ‬൫ܲ − ‫)ݍ(´ܥ‬൯‫)ߨ(´´ݑ‬ൟ
> −‫ܧ‬ {(ܲ − ‫´ܥ‬ (‫))ݍ‬ ‫´ݑ‬ (ߨ) ‫ݎ‬௨ (ߨ)} / ‫ݍ‬
> −ܷ´ (‫)ݍ‬ ‫ݎ‬௨ (‫´ܥ‬ (‫)ݍ‬ ‫ݍ‬− ‫ܥ‬ (‫))ݍ‬ / ‫.ݍ‬
Proto, ܷ݀′(‫ݍ‬∗
)/݀ߝ> 0, takže ݀‫ݍ‬∗
/݀ߝ> 0. Obráceně to zde však neplatí; rostoucí ‫ݎ‬௨ nezajišťuje ݀‫ݍ‬∗
/݀ߝ< 0.
43
5.3. Poptávka po výrobních faktorech v cenové nejistotě
Opět předpokládáme model, kdy je firma příjemcem ceny a vyrábí dříve, než jsou známy ceny výstupu. Firma zná rozdělení cen a maximalizuje
očekávaný užitek ze zisků.
Nechť ‫,ݍ‬ ‫ܭ‬ a ‫ܮ‬jsou výstup, kapitál a práce, (neklesající) produkční funkce je daná jako
‫ݍ‬ = ݂(‫,ܭ‬ ‫)ܮ‬ (5.13)
a zisk jako
ߨ = ܲ‫ݍ‬– ‫ܮݓ‬– ‫ܭݎ‬ – ‫,ܤ‬ (5.14)
kde ‫ݓ‬ je mzdová sazba, ‫ݎ‬cena kapitálu a ‫ܤ‬ fixní náklady. Firemní užitková funkce ‫ݑ‬ je striktně konkávní, a hledáme množství vstupních faktorů ‫ܭ‬∗
a ‫ܮ‬∗
tak, abychom maximalizovali očekávaný užitek ܷ zisků, kde
ܷ (‫,ܭ‬ ‫)ܮ‬ = ‫ݑܧ‬ (݂ܲ(‫,ܭ‬ ‫)ܮ‬ – ‫ܮݓ‬– ‫ܭݎ‬ – ‫.ܤ‬ (5.15)
Pro zajištění toho, že je ܷ striktně konkávní, předpokládáme, že ݂je konkávní.
Protože ݂je konkávní (tj. firma nemůže mít rostoucí výnosy z rozsahu) a náklady jsou lineární ve faktorech, celkové náklady ‫)ݍ(ܥ‬ na výrobu ‫ݍ‬ jednotek
odvozené použitím optimální úrovně vstupů výrobních faktorů ‫ܭ‬௤ a ‫ܮ‬௤, mají neklesající mezní náklady. Proto analýza předchozí části říká, že
má nejistota za následek menší výstup.
Navíc menší výkon samozřejmě vyžaduje změny v ‫ܭ‬ a ‫.ܮ‬ Zejména se bude snižovat (zvyšovat) ‫,ܭ‬ pokud ݂௄ ݂௅௅– ݂௅݂௄௅ < 0 (> 0) a odpovídajícím
způsobem bude ‫ܮ‬ klesat (růst), pokud ݂௅݂௄௄ – ݂௅݂௄௅ < 0 (> 0). Podle všeho se ݂chová správně, pokud ݂௄௅ > 0, což znamená, že nejistota způsobí
pokles vstupů obou výrobních faktorů.
44
Nejistota způsobuje také to, že (očekávané) hodnoty mezního produktu každého faktoru zvyšují jeho mezní náklady. Abychom to mohli ukázat,
ukažme si, že podmínky prvního řádu jsou:
݂௄ ‫})ߨ(´ݑܲ{ܧ‬ = ‫,)ߨ(´ݑܧݎ‬ (5.16)
a
݂௅‫})ߨ(´ݑܲ{ܧ‬ = ‫.)ߨ(´ݑܧݓ‬ (5.17)
Jak bylo ukázáno dříve, ‫ܲ({ܧ‬ − μ)‫})ߨ(′ݑ‬ < 0. Následně odečtením μ݂௄‫)ߨ(′ݑܧ‬ od (5.16) dostáváme (‫−ݎ‬ μ݂௄)‫)ߨ(′ݑܧ‬ < 0, z čehož
‫ݎ‬< μ݂௄, (5.18)
pokud ‫′ݑ‬ > 0.
Stejně tak lze tvrdit, že
‫ݓ‬ < μ ݂௅ . (5.19)
Zřejmě bychom měli interpretovat ݂௜‫)ߨ(′ݑܧ/))ߨ(′ݑܲ(ܧ‬ jako hodnotu mezního produktu faktoru ݅, ݅= ‫,ܭ‬ ‫.ܮ‬
A konečně, uvažujme monopolistickou (klesající) křivku poptávky ܺ danou jako
ܺ(‫)ݍ‬ = ‫)ݍ(ܦ‬ + ܼ௤ (5.20)
kde ܼ௤ = ܼ a ‫ܼܧ‬ = 0.
45
Potom
0 = ܷ௅ = ‫(´ݑ{ܧ‬ ߨ)(݀ߨ/݀‫})ܮ‬
= ‫(´ݑ{ܧ‬ ߨ )[−‫ݓ‬ + ݂௅(‫ݍ(ܦ‬∗) + ‫ݍ(´ܦݍ‬∗)) + ݂௅ܼ]},
z čehož dostaneme (pokud ‫ݑ‬ je lineární, ‫))ߨ(′ݑܼ(ܧ‬ = 0)
‫ݓ‬ = ݂௅‫ܯ‬ ܴ௤∗ + ݂௅ (‫))ߨ(´ݑܧ/))ߨ(´ݑܼ(ܧ‬
< ݂௅‫ܯ‬ ܴ௤∗ = ‫ܯ‬ ܴܲ௤∗ , (5.21)
kde nerovnost vyplývá z Lemma 1 kapitoly 5.2. Opět platí, že nejistota způsobuje, že mezní produkt (marginal revenue product) výrobku překročí
cenu faktoru.
5.4. Alternativy k očekávané hypotéze užitečnosti: První bezpečnostní kritérium (Safety – first criteria)
Nechť je poptávková funkce ‫ܦ‬ charakterizující firmu dána
‫,ݍ(ܦ‬ ܼ) = ݃(‫)ݍ‬ + ℎ(‫,ܼ)ݍ‬ (5.22)
kde ‫ݍ‬ je výstup, ℎ > 0, a ܼ je náhodná proměnná (která není závislá na ‫)ݍ‬ s ‫)ܼ(ܧ‬ = 1. Tato formulace zahrnuje dodatečnou (aditivní) nejistotu
(ℎ ≡ 1) a multiplikativní nejistotu (݃ ≡ 0) ve zvláštních případech. Pro zajištění toho, že zahrneme monopolní i konkurenční prostředí, předpokládejme,
že očekávaná cena μ(‫)ݍ‬ ≡ ‫,ݍ(ܦܧ‬ ܼ) je nerostoucí, tj.
μ´(‫)ݍ‬ = ݃´(‫)ݍ‬ + ℎ´(‫)ݍ‬ < 0, pro všechna ‫ݍ‬ > 0. (5.23)
46
Stejně jako předtím je zisk firmy definován jako
ߨ(‫)ݍ‬ = ‫,ݍ(ܦ‬ ܼ)‫–ݍ‬ ‫,)ݍ(ܥ‬ (5.24)
kde ‫ܥ‬ představuje celkové náklady. Konečně předpokládejme, že existuje úroveň výstupu, pro kterou je očekávaný zisk kladný, a že ‫)ݍ(ߨܧ‬ je kon-
kávní.
Vzhledem k výše uvedenému, je optimální úroveň ‫ݍ‬തv případě jistoty (tj. ܼ ≡ 1) jediným řešením rovnice
‫ܯ‬ ܴതതതതത(‫)ݍ‬ = ‫ݍ‬μ´(‫)ݍ‬ + μ(‫)ݍ‬ = ‫)ݍ(´ܥ‬ = ‫ܯ‬ ‫.)ݍ(ܥ‬ (5.25)
5.4.1. Royovo kritérium
Roy (1952) navrhl nastavení výstupu tak, aby se minimalizovala pravděpodobnost ܴ, že dojde ke ztrátě. Podle Royova kritéria hledá firma úroveň
‫ݍ‬ோ, která splňuje
ܴ(‫ݍ‬ோ) = ݉ ݅݊௤ஹ଴ ܴ(‫,)ݍ‬ (5.26)
kde
ܴ(‫)ݍ‬ = ܲ(ߨ(‫)ݍ‬ ≤ 0). (5.27)
Využitím (5.22) a (5.24), dostáváme
ܴ(‫)ݍ‬ = ܲ൛ܼ ≤ (‫–)ݍ(ܥܣ‬ ݃(‫/))ݍ‬ℎ(‫)ݍ‬ൟ,
kde ‫)ݍ(ܥܣ‬ ≡ ‫ݍ/)ݍ(ܥ‬jsou průměrné náklady.
47
Nyní se snažíme minimalizovat ‫)ݍ(ܪ‬ = (‫–)ݍ(ܥܣ‬ ݃(‫/))ݍ‬ℎ(‫.)ݍ‬ Derivací a úpravou výrazu dostaneme
‫´ܪ‬ = ൣ൫‫ܯ‬ ‫–ܥ‬ ‫ܯ‬ ܴതതതതത൯ℎ − (‫ܥܣ‬ − μ)(ℎ + ‫ݍ‬ℎ´)൧/‫ݍ‬ℎଶ
. (5.28)
Když vyhodnotíme ‫´ܪ‬ v ‫ݍ‬ோ, tak z (5.28) dostáváme
‫ܯ‬ ܴതതതതത= ‫ܯ‬ ‫ܥ‬ + (μ − ‫()ܥܣ‬ℎ + ‫ݍ‬ℎ´)/ℎ. (5.29)
S aditivní nejistotou výraz zredukujeme na
‫ܯ‬ ܴതതതതത= ‫ܯ‬ ‫ܥ‬ + μ − ‫,ܥܣ‬ (5.30)
zatímco multiplikativní nejistota má za následek (μ = ℎ)
‫ܯ‬ ܴതതതതത= ‫ܯ‬ ‫ܥ‬ + (μ − ‫ܯ)ܥܣ‬ ܴതതതതത/ℎ = ‫ܯ‬ ‫(ܥ‬μ/‫.)ܥܣ‬ (5.31)
Pokud ‫ݍ(ߨܧ‬ோ) > 0, μ‫ݍ‬ோ > ‫ݍ(ܥܣ‬ோ), tak ‫ܯ‬ ܴതതതതത(‫ݍ‬ோ) > ‫ݍ(′ܥ‬ோ) v obou případech a postupně
‫ݍ‬ோ < ‫ݍ‬ത (5.32)
při konkavitě ‫.)ݍ(ߨܧ‬ V obecném případě ℎ + ‫ݍ‬ℎ′ > 0 je dostatečné pro zajištění ‫ݍ‬ோ < ‫ݍ‬ത.
Při konkurenci je ‫∙,ݍ(ܦ‬ ) konstantní v ‫ݍ‬ pro každou hodnotu ܼ takovou, že ݃′ = ℎ′ = 0. Jak se očekávalo, důsledkem je, že se (5.29) redukuje na
‫ܯ‬ ‫ܥ‬ = ‫.ܥܣ‬
48
5.4.2. Telserovo kritérium
Podle Telsera (1955) je výstup optimální, když firma maximalizuje očekávaný zisk za podmínky, že pravděpodobnost ztráty nepřekročí určitou předem
danou úroveň ߙ, 0 ≤ ߙ < 1. Problém tak nastává v nalezení výstupu ‫ݍ‬், který maximalizuje ‫,)ݍ(ߨܧ‬ vzhledem k omezení ܲ{ܼ ≤ ‫ܪ‬(‫})ݍ‬ ≤
ߙ. Pokud ܲ{ߨ(‫ݍ‬ത) ≤ 0} ≤ ߙ, pak ‫ݍ‬் = ‫ݍ‬ത, jinak musíme mít ‫ܪ‬(‫ݍ‬்) < ‫ܪ‬(‫ݍ‬ത). Ale ‫ݍ‬ത> ‫ݍ‬ோ a ‫)ݍ(′ܪ‬ > 0 pro ‫ݍ‬ > ‫ݍ‬ோ, takže to znamená, že ‫ݍ‬் < ‫ݍ‬ത.
Kromě toho také ‫ݍ‬் > ‫ݍ‬ோ, pokud ܲ{ߨ(‫ݍ‬ோ) ≤ 0} < ߙ.
5.5. Konkurenční odvětví za nejistoty
Uvažujme odvětví, které se skládá ze s identických firem vyrábějících jediný výrobek. Průmyslová poptávka je náhodná proměnná ܳ ≥ 0 s ‫ܳܧ‬ =
μ > 0 taková, že cenová elasticita je nulová. Poté co bylo ܳ pozorováno, je poptávka rozdělena rovnoměrně mezi ‫ݏ‬firem. Jelikož zde neuvažujeme
skladování, každá firma vyrábí ܳ/‫.ݏ‬ Celkové náklady, průměrné náklady a mezní náklady spojené s firemní produkcí ‫ݍ‬ jednotek jsou označovány
jako ܶ(‫,)ݍ‬ ‫,)ݍ(ܣ‬ a ‫ܯ‬ (‫.)ݍ‬ Předpokládáme, že (1) neexistují žádné překážky vstupu na trh (2), U-křivka průměrných nákladů je spojitě diferencovatelná
a (3) mezní náklady jsou rostoucí a konvexní. Pokud je odvětví konkurenční, bude cena ‫݌‬ rovná mezním nákladům firmy.
49
Protože ‫ܣ‬ je křivka tvaru U, existuje číslo ‫ݍ‬തtak, že
‫)ݍ(´ܣ‬ < 0 ‫݋ݎ݌‬‫ݍ‬ < ‫ݍ‬ത
> 0 ‫݋ݎ݌‬‫ݍ‬ > ‫ݍ‬ത, (5.33)
a
‫ܯ‬ (‫)ݍ‬ < ‫݋ݎ݌)ݍ(ܣ‬‫ݍ‬ < ‫ݍ‬ത
> ‫)ݍ(ܣ‬ ‫݋ݎ݌‬‫ݍ‬ > ‫ݍ‬ത,
pro
‫ܯ‬ (‫)ݍ‬ = ‫)ݍ(ܣ‬ + ‫.)ݍ(´ܣݍ‬ (5.34)
Propojení (5.34) a skutečnosti, že se cena rovná mezním nákladům, vede k tomu, že ߨ(‫,)ݍ‬ tedy zisk firmy vyrábějící ‫ݍ‬jednotek, splňuje
ߨ(‫)ݍ‬ = ‫ܯݍ‬ (‫–)ݍ‬ ܶ(‫)ݍ‬ = ‫ܯ(ݍ‬ (‫)ݍ‬ − ‫))ݍ(ܣ‬ = ‫ݍ‬ଶ
‫.)ݍ(´ܣ‬ (5.35)
Prvním problémem je najít velikost odvětví ‫ݏ‬∗
, která minimalizuje očekávané náklady ‫ܥ‬ pro dané odvětví. Proto hledáme optimální velikost odvětví
‫ݏ‬∗
splňující
‫ݏ(ܥ‬∗
) = min௦வ଴ ‫,)ݏ(ܥ‬ (5.36)
‫)ݏ(ܥ‬ = ‫.})ݏ/ܳ(ܶݏ{ܧ‬ (5.37)
Průměrný (mean) výkon firmy v odvětví optimální velikosti je samozřejmě ‫ݍ‬∗
= μ/‫ݏ‬∗
. První výsledek ukazuje, že nejistota způsobuje, že výstup pro
odvětví s rizikově neutrálními firmami bude menší než výstup ‫ݍ‬ത, který minimalizuje průměrné náklady.
50
Věta 5
Pokud ‫ܳݎܽݒ‬ > 0, pak ‫ݍ‬∗< ‫ݍ‬തtak, že ‫ݍ(ܣ‬∗
) > ‫ܯ‬ (‫ݍ‬∗
).
Důkaz
Viz literatura.
Z (5.28) a skutečnosti, že zde existují volné vstupy do odvětví, je zřejmé, že počet firem, pro které je očekávaný zisk roven nule, je přesně ‫ݏ‬∗. Konkurenční
rovnováha je tak efektivní v tom, že celkové očekávané náklady jsou na svém minimu a vyznačují se nadbytečnou výrobní kapacitou, kde
‫ݍ‬∗
< ‫ݍ‬ത.
6. Brownův pohyb, martingales a jejich ekonomické aplikace
6.1. Úvod
Brownův pohyb se ukázal mimořádně užitečný pro popis chování mnoha ekonomických veličin, především cen. Brownův pohyb se v poslední době
objevil jako klíčový aktér ve fundamentálním výzkumu oceňování opcí a hrál také klíčovou roli při navrhování modelů pro optimální kontrolu (I)
zásob, (II) údržby zařízení, (III) poptávky po peněžních zůstatcích a (IV) analýzy indexu dluhopisů.
Tuto kapitolu začneme stručným popisem Brownova pohybu. Následovat bude diskuze o hypotéze efektivního trhu, ve které si ukážeme vztah mezi
Brownovým pohybem a martingales. Model náhodné procházky peněžních zůstatků, je pak předložen spolu s odvozením poptávky po peněžních
zůstatcích. Nakonec je studována poptávka po indexních dluhopisech.
51
6.2. Brownův pohyb
V této části začneme představením jednoduchého omezujícího tvrzení pro Brownův pohyb, pak stanovíme axiomy Brownova pohybu a zmíníme
některé z jeho vlastností.
6.2.1. Omezující tvrzení pro Brownův pohyb
Částice, které mohou, například, reprezentovat cenu na burze, nebo individuální pozici bohatství, se posunují vpravo či vlevo o vzdálenost ߂‫ݔ‬ se
stejnou pravděpodobností, tj. jedna polovina. K těmto pohybům dochází každých ߂‫ݐ‬jednotek času, tj. v době, ߂‫ݐ‬, 2߂‫ݐ‬, … Nechť ܻଵ, ܻଶ, … je posloupnost
nezávislých náhodných proměnných takových, že
ܲ(ܻ௜ = ߂‫)ݔ‬ = ܲ(ܻ௜ = −߂‫)ݔ‬ =
ଵ
ଶ
‫݋ݎ݌‬݅= 1, 2, … (6.1)
V čase ‫ݐ‬je celkový počet posunů jednoduše [‫ݐ‬/߂‫ݐ‬], kde [‫ݓ‬] označuje největší celé číslo menší nebo rovno ‫ݓ‬, a pozice částice (celkové bohatství)
v čase ‫ݐ‬je dána vztahem
ܺ(‫ݐ‬) = ܻଵ + ܻଶ + ⋯ + ܻ[௧/௱௧]. (6.2)
Chceme-li získat Brownův pohyb ‫ݐ(ܤ‬) jako omezující stochastický proces, ߂‫ݔ‬ a ߂‫ݐ‬se musí blížit k nule takovým způsobem, že ܺ(‫ݐ‬) → ‫ݐ(ܤ‬). Pro
začátek poznamenejme, že ‫ܧ‬൫ܺଶ(‫ݐ‬)൯= ߂‫ݔ‬ଶ
[‫ݐ‬/߂‫ݐ‬], takže
‫ܺܧ‬ଶ
(‫ݐ‬) ≅ (߂‫)ݔ‬ଶ
‫ݐ‬/߂‫ݐ‬. (6.3)
Aby byl tento rozptyl striktně kladný a menší než nekonečno, musí ߂‫ݔ‬ být řádově (߂‫ݐ‬)ଵ/ଶ. Nechť ߂‫ݔ‬ = (߂‫ݐ‬)ଵ/ଶ a ߂‫=ݐ‬ 1/݊. Potom pro všechna ݅,
se ܻ௜rovná ±(݊)ିଵ/ଶ, každé s pravděpodobností 1/2.
52
V důsledku toho má ܺ(‫ݐ‬) stejné rozložení jako
ܺ(௡)
(‫ݐ‬) =
௓భ ା ௓మ ା⋯ା௓[೙೟]
√௡
= √‫ݐ‬
௓భ ା ௓మ ା⋯ା௓[೙೟]
√௡௧
, (6.4)
kde ܼ je ± 1 s pravděpodobností 1/2. Při centrální limitní větě ܺ(௡)
(‫ݐ‬) konverguje k normálnímu rozdělení s nulovou střední hodnotou a rozptylem
‫ݐ‬, pokud ݊ → ∞.
6.2.2. Axiomy Brownova pohybu
(I) Nezávislost: Náhodná proměnná ‫+ݐ(ܤ‬ ߂‫ݐ‬) − ‫ݐ(ܤ‬) je nezávislá, generovaná na sigma algebře všemi náhodnými proměnnými až do času ‫ݐ‬, to
znamená, že změna polohy během (‫ݐ‬, ‫+ݐ‬ ߂‫ݐ‬) je nezávislá na všem, co se stalo do doby ‫ݐ‬.
(II) Stacionarita: Rozdělení náhodné proměnné ‫+ݐ(ܤ‬ ߂‫ݐ‬) − ‫ݐ(ܤ‬) je nezávislé na ‫ݐ‬.
(III) Kontinuita: Pro všechny ߜ > 0, limΔ୲→଴ ܲ(| ‫+ݐ(ܤ‬ Δt) − B(t)| ≥ ߜ)/ ߂‫=ݐ‬ 0.
Fyzikální interpretace prvního axiomu je taková, že hybnost částice vzniklé z molekulárního „bombardování“ během (‫ݐ‬, ‫+ݐ‬ ߂‫ݐ‬), je nezávislá na
všem, co se vyskytlo před ‫ݐ‬. To je rozumné, pokud posunutí částice vzhledem k její počáteční rychlosti na začátku (‫ݐ‬, ‫+ݐ‬ ߂‫ݐ‬), je zanedbatelné
vzhledem k pohybu vyvolanému molekulárním útokem během (‫ݐ‬, ‫+ݐ‬ ߂‫ݐ‬). Předpoklad stacionarity vyžaduje, aby proces (tj., pohyb částic) byl homogenní
v čase - pravděpodobnost změny v jakémkoliv časovém intervalu závisí pouze na délce intervalu, a nikoli na jeho umístění vzhledem
k počátku. Třetí axiom je přesně tím, co je potřeba zajistit, aby pohyb částice byl kontinuální, což by samozřejmě mělo být. Konkrétně by každý vý-
53
běr ‫ݐ(ܤ‬, ߱), musel být spojitou funkcí ‫ݐ‬- snad s výjimkou souboru těch ߱, které mají pravděpodobnost nula. Prokázání, že výběrové cesty Brownova
pohybu jsou spojité, je náročný úkol. Místo toho bychom měli ukázat, že (III) je téměř ekvivalentní s tím, že ‫ݐ(ܤ‬) bude spojité v ‫ݐ‬s pravděpodobností
jedna. Chceme-li tak učinit, položme ߜ > 0 a definujme
ܻ௡ = ݉ ܽ‫ݔ‬௟ழ௞ழ௡ |‫)݊/݇(ܤ‬ − ‫݇((ܤ‬− ݈)/݊)|. (6.5)
Pokud ܻ௡ → 0, pak je ‫ݐ(ܤ‬) ve skutečnosti spojité na [0,1], a to by znamenalo, že
lim௡→∞ ܲ(ܻ௡ ≥ ߜ) = 0 (6.6)
Ale nezávislost a stacionarita ‫)݊/1(ܤ‬ − ‫,)0(ܤ‬ ‫)݊/2(ܤ‬ − ‫,)݊/1(ܤ‬ … dávají
ܲ (ܻ௡ ≥ ߜ) = 1– ܲ(ܻ௡ < ߜ)
= 1– ܲ(|‫–)݊/1(ܤ‬ ‫|)0(ܤ‬ ≥ ߜ)௡
= 1– [1– ܲ ቀቚ‫ܤ‬ ቀ
ଵ
௡
ቁ– ‫)0(ܤ‬ቚ≥ ߜቁ]௡
≈ 1– ݁‫݌ݔ‬− ݊ܲ(|‫–)݊/1(ܤ‬ ‫|)0(ܤ‬ ≥ ߜ),
pokud 1 − ‫≈ݐ‬ ݁ି௧ (ve skutečnosti 1 − ‫≤ݐ‬ ݁ି௧ pro všechna ‫≥ݐ‬ 0). Tak ܲ(ܻ௡ ≥ ߜ) → 0 právě tehdy, když ݊ܲ(|‫)݊/1(ܤ‬ − ‫|)0(ܤ‬ ≥ ߜ) → 0, což je
přesně vyjádření kontinuity s axiomem ߂‫=ݐ‬ 1/݊, takže (6.6) je ekvivalentní s axiomem kontinuity.
6.2.3. Vlastnosti Brownova pohybu
Zásadní význam má skutečnost, že když ‫)0(ܤ‬ = 0, existují čísla μ a ߜ taková, že pro každé ‫ݐ‬, má ‫ݐ(ܤ‬) normální rozdělení se střední hodnotou μ‫ݐ‬
a rozptylem ߪଶ
‫ݐ‬. Když μ = 0 a ߪ = 1, nazýváme ‫ܤ‬ jako standardní Brownův pohyb. (Je tradičně předpokládáno, že ‫)0(ܤ‬ = 0.)
54
Vzhledem k diskuzi o axiomu (III), by nemělo být překvapením, že existuje verze Brownova pohybu na [0,∞) taková, že všechny výběrové cesty
jsou spojité. Nicméně, je dost pozoruhodné, že téměř žádná Brownova cesta není nikde diferencovatelná. Zkusme to ukázat.
Pro začátek, můžeme ukázat, že pro každou cestu je celková druhá mocnina odchylky standardního Brownova pohybu na [0, ‫ݐ‬] jednoduše ‫ݐ‬, tedy
lim௡→∞ ∑ ∆௡,௞
ଶ
= ‫ݐ‬,ଶ೙
௞ୀଵ
(6.7)
Kde ∆௡,௞≡ |‫ݐ݇(ܤ‬/2௡
) − ‫ܤ‬ ((݇− 1)‫ݐ‬/2௡
)|. Definujme ߜ௡ jako maximum, ߂௡,௞, 1 ≤ ݇ ≤ 2௡ a poznačme si, že ߂௡,௞ ≥ ∆௡,௞
ଶ
/ߜ௡, tudíž
∑ ∆௡,௞≥ ∑ ∆௡,௞
ଶ
/ߜ௡
ଶ೙
௞ୀଵ .ଶ೙
௞ୀଵ
(6.8)
Rovnice (6.7) tvrdí, že čitatel na pravé straně (6.8) konverguje k ‫ݐ‬, zatímco ߜ௡ konverguje k 0, protože Brownovy cesty jsou spojité a tedy stejnoměrně
spojité na intervalu [0, ‫ݐ‬]. Proto, když vezmeme limitu na ݊ v (6.8), dostaneme, že celková změna každé Brownovy cesty na [0, ‫ݐ‬] je nekonečná;
nekonečná variace, která je sama středem zájmu naznačuje, že cesty nejsou nikde diferencovatelné. Nekonečné variace na celkových konečných
intervalech můžou vést k tomu, abychom uvěřili, že lze něco říci o oscilaci Brownova pohybu. Oscilace nicméně následují pravidlo opakovaného
logaritmu:
ܲ ൜limsup௧↓଴
஻(௧)
ඥଶ௧௟௢௚ (୪୭୥ଵ/௧)
= 1ൠ= 1
(6.9)
6.2.4. Výpočet provozních charakteristik
Brownův pohyb je pravděpodobně nejpřizpůsobivější ze všech náhodných procesů. Pomocí standardních matematických metod - existuje několik
odlišných pojetí - lze vypočítat explicitní vzorce prakticky pro všechny operační vlastnosti politik, které mají formu uvedenou v sekci 6.4. Zejména
55
proto, že je problém zjednodušený, zajímají nás Laplaceovy transformace (s proměnnou α) různých časů prvního projití. Pro ilustraci budeme využívat
martingale vzorců při výpočtu dvou operačních vlastností pro jednoduchou ܵpolitiku, které nalezneme v oddílu 6.4.2.
Zaprvé chceme vypočítat pravděpodobnost ‫݌‬, že proces dosáhne ܵpředtím, než klesne na nulu, když v čase nula začíná na ‫ݓ‬ [tj. ܺ(0) = ‫ݓ‬]. Toto je
ekvivalentní s pravděpodobností, že tento proces dosáhne ܵ− ‫ݓ‬ dříve, než se dosáhne −‫ݓ‬, když ܺ(0) = 0. S ܽ = −‫ݓ‬, ܾ = ܵ− ‫ݓ‬ a časem ܶ prvního
průchodu, který je časem, kdy proces poprvé zásáhne ܽnebo ܾ; to znamená, že
ܶ = ݂݅݊{‫≥ݐ‬ 0: ܺ(‫ݐ‬) = ܾܽ݊݁‫݋‬ܺ(‫ݐ‬) = ܾ}. (6.10)
Pro jednoduchost budeme předpokládat, že μ = 0. Když ܺ(0) = 0 a μ = 0, ‫ݐ(ܺ(ܧ‬)) = 0, proto se můžeme domnívat, že ‫))ܶ(ܺ(ܧ‬ se také rovná
nule, v tomto případě máme
0 = ‫))ܶ(ܺ(ܧ‬
= ܽܲ(ܺ(ܶ) = ܽ) + ܾܲ(ܺ(ܶ) = ܾ)
= ܽ(1 − ‫)݌‬ + ܾ‫.݌‬ (6.11)
Řešením (6.11) pro ‫݌‬ dostaneme:
‫݌‬ = −ܽ/(ܾ– ܽ) = ‫ݓ‬/ܵ (6.12)
56
Nyní přikročíme k ověření, že ‫))ܶ(ܺ(ܧ‬ = 0. Abychom to mohli udělat, potřebujeme pouze ověřit, že ܶ splňuje následující verzi Věty optimálního
výběru:
Nechť {ܺ(‫ݐ‬)} je martingale a ܶ Markovův čas nebo čas zastavení.5
Je-li
ܲ(ܶ < ∞) = 1, ‫)|)ܶ(ܺ|(ܧ‬ < ∞, 

}{
0)()(
tT
dPtX  pro ‫ݐ‬® ∞ (6.13)
potom ‫))ܶ(ܺ(ܧ‬ = ‫.))0(ܺ(ܧ‬
Protože |ܺ(‫ݐ‬)| ≤ |ܽ| + ܾ pro všechna ‫≤ݐ‬ ܶ, druhá podmínka v (6.13) platí. Toto omezení nám také umožní ověřit třetí podmínku, že ܲ(ܶ > ‫ݐ‬) →
0, pokud t   . To je ale pouze ekvivalent ܲ(ܶ < ¥) = 1. Abychom ukázali, že čas zasažení ܶ ܽ nebo ܾje konečný budeme pokračovat tím, že
poznamenáme, že ܸ(‫ݐ‬) ≡ ܺଶ
(‫ݐ‬) − sଶ
‫ݐ‬je martingale, pro (‫ݒ‬ଶ
≡ ‫ݑ‬ + ߪଶ
‫ݐ‬)
‫ܺ(ܧ‬ଶ(‫+ݐ‬ ‫ܺ|)ݏ‬ଶ(‫ݐ‬) = ‫ݒ‬ଶ) = ‫+ݐ(ܺ[{ܧ‬ ‫)ݏ‬ − ܺ(‫ݐ‬) + ܺ(‫ݐ‬)]ଶ
|ܺଶ(‫ݐ‬) = ‫ݒ‬ଶ
}
= ‫+ݐ(ܺ({ܧ‬ ‫)ݏ‬ − ܺ(‫ݐ‬))ଶ|ܺଶ(‫ݐ‬) = ‫ݒ‬ଶ} ± 2‫+ݐ(ܺ{ܧݒ‬ ‫)ݏ‬ − ܺ(‫ݐ‬)} + ‫ݒ‬ଶ
= ‫ߪݏ‬ଶ
+ 0 + ‫ݒ‬ଶ
,
takže
‫+ݐ(ܸ{ܧ‬ ‫ݐ(ܸ|)ݏ‬) = ‫}ݑ‬ = ‫ߪݏ‬ଶ
+ ‫ݒ‬ଶ
− ߪଶ(‫+ݐ‬ ‫)ݏ‬ = ‫.ݑ‬
5
Náhodná proměnná T je Markovův čas (zastavení) relativně ke stochastickému procesu {Zn}, pokud nabývá hodnot nezáporných celých čísel a pokud pro každé ݊ =
0, 1, … , závisí událost {ܶ = ݊} pouze na (Z0, Z1, ..., Zn). Podobná definice platí pro nepřetržitý čas náhodných procesů. Zejména, čas zasažení nějaké uzavřené množiny (např.
{ܽ, ܾ}) je čas zastavení, pokud tento proces má spojité výběrové cesty jako Brownův pohyb.
57
Jelikož T t 6
splňuje (6.13), ‫{ܧ‬ ܸ(ܶ ∧ ‫ݐ‬) } = ‫)0(ܸܧ‬ = 0, takže
ߪଶ
‫ܶ(ܧ‬ ∧ ‫ݐ‬) = ‫ܺ{ܧ‬ଶ(ܶ ∧ ‫ݐ‬)} ≤ ܽଶ
+ ܾଶ
pro všechna ‫≥ݐ‬ 0. (6.14)
Z limity (6.14) vyplývá, že ‫)ܶ(ܧ‬ je konečná, a tedy ܲ(ܶ < ∞) = 1.
Dále, vypočítáme ‫,)ܶ(ܧ‬ tedy předpokládaný čas než dojde k převodu (z hotovosti na cenné papíry, pokud ܵje první zásah nebo z cenných papírů na
hotovost, pokud 0 je první zásah). Vzhledem k tomu, že ܸ(‫ݐ‬) je martingale, který splňuje podmínky věty optimálního výběru, získáme
0 = ‫])0(ܸ[ܧ‬ = ‫])ܶ(ܸ[ܧ‬ = ‫ܧ‬൫ܺଶ(ܶ)൯− ߪଶ
‫,)ܶ(ܧ‬ (6.15)
‫)ܶ(ܧ‬ = ‫ܺ(ܧ‬ଶ(ܶ))/ߪଶ
= [ܽଶ(1 − ‫)݌‬ + ܾଶ
‫ߪ/]݌‬ଶ
= ‫ݓ‬(ܵ− ‫ݓ‬)/ߪଶ
. (6.16)
6. 3. Hypotéza efektivního trhu
Ve studii kapitálových trhů hrají klíčovou alokační roli ceny cenných papírů. Firmy je používají jako vodítko při rozhodování o investicích. Stejně
tak je i rozdělování finančních prostředků investorů v rámci cenných papírů (výběr portfolia) založeno na těchto cenách. Ptáme se, jak informativní
jsou tyto ceny s ohledem na tato rozhodnutí. Při odpovědi na tuto otázku, rozlišujeme mezi třemi různými typy informací: (i) informace obsažené
v minulých cenách dotyčných cenných papírů F 1
; (ii) informace obsažené nejen v minulých cenách, ale také ve všech minulých událostech, které
byly veřejně oznámeny F 2
a (iii) informace obsažené ve všech minulých událostech F 3
. Zřejmě F 1
 F 2
 F 3
a otázka může být formálněji
formulována jako: po odpisu "normální" míry návratnosti je posloupnost cen martingale vzhledem k F 1
, F 2
nebo F 3
? Pokud vlastnosti martingale
platí pro F 1
, trh říká, že je "slabě efektivní", pokud to platí i pro F 2
trh je „Semi-silně efektivní" a konečně, jestliže platí vlastnost martingale
6
xy  min(x,y).
58
pro F 3
, trh je "silně efektivní". Existuje několik důvodů pro vymezení účinnosti trhu pomocí martingales. První je jednoduchý a šetrný. Definice
martingale nevyžaduje, aby posloupnost {ܺ௡} náhodných proměnných byla stejně rozdělená, nebo nezávislá. Předpoklady jsou pouze
‫ܺ|(ܧ‬௡|) < ¥ pro všechna ݊, (6.17)
a
‫ܺ(ܧ‬௡ାଵ| F n) = ܺ௡, (6.18)
kde F n je s-algebra tvořená náhodnými veličinami ܺଵ, … , ܺ௡. V tomto bodě nastal zmatek. První studie o chování bezpečnostní ceny předpokládaly,
že základní stochastický proces byl buď náhodná procházka nebo Brownův pohyb. Víme, že náhodná procházka má vlastnost martingale (a je Markovovská)
s posloupností nezávislých a stejně rozdělených náhodných proměnných. Takže každá náhodná procházka je martingale, ale ne naopak.
Podobně je to s Brownovým pohybem. Standardní Brownův pohyb ‫ݐ(ܤ‬) je normálně rozdělený se střední hodnotou 0 a rozptylem ‫ݐ‬. Standardní
Brownův pohyb má vlastnost martingale, ale zjevně ne všechny martingale jsou Brownovým pohybem. Takže stochastické chování cen akcií nemusí
být normální; ve skutečnosti existují nekonečně – rozptylová rozdělení, která splňují vlastnost martingale.
Druhým důvodem pro předpoklad martingale je jeho informační dopad na ceny. Jak je uvedeno v oddílu 6.2.4, věta optimálního výběru tvrdí, že
když má základní proces vlastnost martingale, je nemožné vytvořit systém, který je příznivý. Podle slabé formy předpokladu martingale, aktuální
ceny akcií obsahují všechny minulé informace a žádný systém nemůže, v průměru, vynést výnos přesahující „normální“ sazby.
Třetí důvod pro předpoklad martingale je, že jeho dopady mohou být empiricky testovány. Empirické studie ukázaly, že hypotéza slabé efektivnosti
nemůže být zamítnuta. Sériové korelace mezi cenami se zaostávajícími tendencemi se téměř blíží nule. Také obchodovací systémy (pravidla filtru)
nebyly nadřazeny jednoduché politice nákupu a držby. Zde bylo dokázáno, že velké denní změny cen následují velké změny, což naznačuje, že nezávislost
předpokladu modelu náhodné procházky je porušena. Nicméně, příznaky těchto velký změn jsou náhodné, a tak to není důkaz proti hypotéze
martingale. Kromě toho semi-silná forma testů předpokládá, že ceny plně odrážejí všechny veřejnosti dostupné informace, což také podporuje
hypotézu efektivních trhů.
59
6.4. Stochastické modely zásob a poptávky po peněžních zůstatcích
V této části odvodíme poptávku po hotovosti pomocí Millerova a Orrova (1966) diskrétního modelu, a poté předložíme Brownovu verzi Harrisonova
a Taylorova (1978) modelu kontinuálního času.
6.4.1. Diskrétní model poptávky po peněžních zůstatcích
Předpokládejme, že firma má dvě aktiva: peněžní zůstatky a portfolio likvidních aktiv. Výnos z portfolia je ‫ݎ‬dolarů za den a fixní náklady ߛvznikají
vždy, když se jedná o převody z jednoho účtu na další. Jakmile bylo jednou rozhodnuto o provedení převodu, dojde k němu bez prodlení. Kolísání
v peněžních zůstatcích se řídí symetrickou náhodnou procházkou; během určitého časového intervalu se peněžní zůstatky zvyšují nebo snižují o ݉
dolarů s pravděpodobností ‫݌‬ resp. 1 − ‫.݌‬ Firma si přeje minimalizovat dlouhodobé průměrné náklady na správu hotovostních zůstatků. Tato objektivní
funkce se vztahuje na následující jednoduchou politiku: Peněžní zůstatky mohou kolísat v závislosti na výše uvedené náhodné procházce za
předpokladu, že jsou větší než 0 a menší než ℎ. Když je dosažena horní hranice ℎ, částka ℎ − ‫ݖ‬v hotovosti je převedena na portfolio likvidních aktiv;
když je dosažena spodní hranice 0, ‫ݖ‬dolarů je převedeno z likvidního portfolia do peněžních zůstatků. Nazývejme to politikou (ℎ, ‫,)ݖ‬ která počítá
optimální hodnoty ℎ a ‫ݖ‬a odvozuje dlouhodobou průměrnou poptávku po penězích.
60
Rozdělení držení hotovosti ve stálém stavu je trojúhelníkové se střední hodnotou (ℎ + ‫,3/)ݖ‬ kterou ztotožníme s dlouhodobou průměrnou poptávkou
po hotovostních zůstatcích. Optimální hodnoty ℎ a ‫ݖ‬jsou
ℎ∗
= 3‫ݖ‬∗
a ‫ݖ‬∗
= ቀ
ଷఊ
ସ௥
ߪଶ
ቁ
భ
య
, (6.19)
takže poptávka po penězích je
‫ܯ‬ =
௛∗ା௭∗
ଷ
=
ସ
ଷ
ቀ
ଷఊ
ସ௥
ߪଶ
ቁ
భ
య
(6.20)
kde sଶ
(= 4݉ ଶ
‫1(݌‬ − ‫))݌‬ je rozptyl denních peněžních toků. Poptávka po penězích se mění přímoúměrně s g a sଶ
a nepřímoúměrně s náklady příležitosti
držení hotovosti ‫.ݎ‬
6.4.2. Model spojitého času poptávky po peněžních zůstatcích
Nyní uvažujme firmu vlastnící rezervu peněžních zůstatků, která je rozšiřována tržbami a snižována provozními náklady. Předpokládejme, že výše
peněžních zůstatků ܺ(‫ݐ‬) vytvořená těmito stochastickými přírůstky a úbytky je popsána Brownovým pohybem.
Především ܺ = (ܺ(‫ݐ‬), ‫≥ݐ‬ 0) je Brownův pohyb s počátečním stavem ‫ݔ‬ ≥ 0, odchylkou m a rozptylem sଶ
tak, že ‫ݐ(ܺ[ܧ‬)] = ‫ݔ‬+ m‫ݐ‬
a ‫ݐ(ܺ[ݎܽݒ‬)] = sଶ
‫ݐ‬. Výše peněžních zůstatků je ovlivňována pohybem fondů sem a tam z portfolia likvidních aktiv. K těmto transferům dochází
okamžitě za cenu ݇za dolar převedený do peněžních zůstatků a za cenu ܿza dolar převedený z peněžních zůstatků. Peníze držené ve formě peněžních
zůstatků nevydělávají nic, zatímco výnos na jednotku z portfolia likvidních aktiv je ℎ za jednotku času. Takže ℎ je nákladem příležitosti z držby
peněžních zůstatků na jednotku. Nechť ܻ(‫ݐ‬) označuje celkovou částku převedenou z likvidního portfolia aktiv do peněžních zůstatků za čas ‫ݐ‬. Stejně
tak, nechť ܼ(‫ݐ‬) je celková částka převedená z peněžních zůstatků do portfolia likvidních aktiv za čas ‫ݐ‬. Cílem je určit vstupní a výstupní kontroly ܻ
a ܼ, které mají minimalizovat očekávané diskontované náklady, s podmínkou nezápornosti peněžních zůstatků, tj.
ܹ (‫ݐ‬) = ܺ(‫ݐ‬) + ܻ(‫ݐ‬)– ܼ(‫ݐ‬) ≥ 0, pro všechna ‫≥ݐ‬ 0. (6.21)
61
Nechť a je diskontní sazbou, potom je výše uvedené ekvivalentní s nalezením přijatelné politiky (ܻ, ܼ), která minimalizuje
ℎ‫ܧ‬ ∫ ݁ିఈ௧
ܹ (‫ݐ‬)݀‫+ݐ‬ ݇൛ܻ(0) + ‫ܧ‬ ∫ ݁ିఈ௧
ܻ݀(‫ݐ‬)
ஶ
଴
ൟ
ஶ
଴
+ ܿ൛ܼ(0) + ‫ܧ‬ ∫ ݁ିఈ௧
ܼ݀(‫ݐ‬)
ஶ
଴
ൟ. (6.22)
Definujme ܴ(݃) = ∫ ݁ିఈ௧
݃(‫ݐ‬)݀‫ݐ‬
ஶ
଴
pro neklesající, integrovatelné funkce ݃, integrace po částech v (6.22) spolu s (6.21) nám umožňuje demonstrovat,
že minimalizace (6.22) je ekvivalentní s minimalizací
(ℎ/a + ݇)‫)ܻ(ܴܧ‬ + (−ℎ/a + ܿ)‫,)ܼ(ܴܧ‬ (6.23)
protože (6.22) a (6.23) se liší pouze nekontrolovatelnými náklady ‫)ܺ(ܴܧ‬ℎ/ܽ, což je termín, který nezahrnuje ani ܻ, ani ܼ. Optimální politika se vyznačuje
minimálním párem kontrol (ܻ, ܼ) takovým, že 0 ≤ ܹ (‫ݐ‬) ≤ ܵ pro všechna ‫ݐ‬³ 0, kde ܵ je jediné kladné řešení konkrétní transcendentní
rovnice. Proto by měl manažer převést peněžní zůstatky na likvidní cenné papíry tak, aby ܹ (‫ݐ‬) ≤ ܵ, a přeměnit minimální počet cenných papírů na
hotovost tak, aby ܹ (‫ݐ‬) zůstalo kladné. Řízený proces ܹ (‫ݐ‬) následuje Brownův pohyb ܺ s hranicemi na 0 a ܵ.
Pokud navíc k proporcionálnímu poplatku ݇ vzniknou vždy při přeměně likvidních aktiv na hotovost fixní náklady ‫,ܭ‬ pak je optimální politikou
zvýšení peněžních zůstatků vždy, když dosáhnou nulové hodnoty. Toho je dosaženo rozšířením ܻ o ‫ݏ‬jednotek, kde ‫ݏ‬je řešení jiné transcendentní
rovnice. Manažer snižuje peněžní zůstatky, pokud překračují ‫+ݏ‬ ܵ. Toho je dosaženo vhodným zvýšením ܼ kdykoliv je ܹ vyšší než ‫+ݏ‬ ܵ. S pevnou
cenou pro převody v obou směrech je optimální politika charakteristická třemi kritickými čísly: zvýšení ܻ(‫ݐ‬) o ‫,ݏ‬ kdykoli hotovostní zůstatek
klesne na nulu a zvýšení ܼ(‫ݐ‬) o ‫ݍ‬ kdykoli ܹ (‫ݐ‬) dosáhne horní kritické hodnoty ܵ, kde hodnoty pro ‫,ݏ‬ ‫ݍ‬ a ܵ jsou jedinečná řešení pro tři nezávislé
transcendentní rovnice.
62
6.5. Poptávka po indexových dluhopisech
Tuto část uzavíráme jednou z nedávných aplikací difúzních procesů do ekonomie. Ve své studii indexových dluhopisů Fischer (1975) předpokládá,
že individuální portfolio obsahuje tři aktiva: reálné dluhopisy, vlastní kapitál a nominální dluhopisy. Nechť ‫ݓ‬ଵ, ‫ݓ‬ଶ a ‫ݓ‬ଷ jsou podíly investované do
reálných dluhopisů, vlastního kapitálu, a nominálních dluhopisů. Výnosy z těchto aktiv jsou dány difusními procesy. Existují dva zdroje nejistoty,
oba jsou Brownovým pohybem. První vychází z difusního procesu inflace, zatímco druhý pochází z akciového trhu. Při odvozování poptávky po
indexových dluhopisech Fischer předpokládá, že domácnosti si vybírají spotřebu ‫ݓ‬ଵ, ‫ݓ‬ଶ a ‫ݓ‬ଷ tak, aby maximalizovaly očekávaný užitek.
Základní stochastický předpoklad této studie je, že míra inflace splňuje stochastické diferenciální rovnice
݀ܲ/ܲ = p݀‫ݐ‬ + s݀‫,ܤ‬ (6.24)
kde ܲ je cenová hladina, a ߨ je očekávaná míra inflace, difúzní koeficient ߪ je rozptyl procesu za jednotku času. Termín ݀‫ܤ‬ je náhodná složka této
diferenciální rovnice, kde ‫ܤ‬ je standardní Brownův pohyb. Na první pohled vypadá analýza této rovnice beznadějně, protože
(‫+ݐ(ܤ‬ D‫ݐ‬) – ‫ݐ(ܤ‬))/D‫ݐ‬
má střední hodnotu nula a odchylku 1/߂‫ݐ‬, a tudíž nemá žádnou pravděpodobnostní limitu. Jelikož ‫ݐ(ܤ‬) nemá derivace, diferenciál ݀‫ݐ(ܤ‬) je bezvýznamný.
Část tohoto problému je vyřešena interpretací (6.24) v integrované formě
ܲ(‫ݐ‬) = ܲ(‫)ݑ‬ + ∫ ߨܲ(‫ݎ݀)ݎ‬
௧
௨
+ ∫ ߪܲ(‫.)ݎ(ܤ݀)ݎ‬
௧
௨
(6.25)
63
Nyní jsou však cesty ‫ܤ‬ neomezenými variacemi, a tak musíme definovat, co je míněno stochastickým integrálem ve vztahu k Brownovu pohybu. To
je východiskem pro rozvoj náhodného počtu. Ignorujme tento problém a jednoduše interpretujme (6.24) jako stanovení, že v průběhu krátkého časového
období je poměrná změna v cenové hladině normální se střední hodnotou ߨ݀‫ݐ‬a rozptylem ߪଶ
݀‫ݐ‬. Nyní přepišme (6.24) jako
݀ܲ = ܲp݀‫ݐ‬ + ܲs݀‫,ܤ‬ (6.26)
a nechť
‫ݐ(ݕ‬) = ܲ(0)݁‫݌ݔ‬ቂ(ߨ − ߪଶ
/2)‫+ݐ‬ ߪ∫ ݀‫ܤ‬
௧
଴
ቃ. (6.27)
Hlavním výsledkem náhodného počtu je lemma, které ukazuje, že ‫ݐ(ݕ‬) je řešením (6.26). Přičemž logaritmus obou stran (6.27) dává
 ≡ ݈‫݃݋‬
௉(௧)
௉(଴)
= (ߨ − ߪଶ
/2)‫+ݐ‬ ߪ∫ ݀‫ܤ‬
௧
଴
. (6.28)
Proto je ܲ(‫ݐ‬) logaritmicko-normální s
‫ܧ‬ = (π − σଶ
/2)t a ‫ݎܽݒ‬ = σଶ
t. (6.29)
64
7. Evoluční procesy v ekonomii
7.1. Úvod
V soutěži o přežití si příroda vybírá ty organismy, které jsou nejvhodnější pro životní prostředí, špatně navržené organismy jsou eliminovány.
V podstatě v přírodě nelítostně platí zákon velkých čísel a po nesčetných pokusech přijde na "optimální" směs organismů, tj. soubor organismů,
z něhož každý má strukturu, která prošla přírodním výběrem.
Ekonomické subjekty v tomto pojetí mohou odpovídat organismům, genům, mutacím a přirozeným výběrem jsou příslušně firmy, imitace, inovace
a pozitivní zisky. Inovace mohou vyplývat ze zkažených imitací, stejně jako vědomého úsilí o zlepšení.
Čas hraje v podstatě stejnou roli v Darwinovské evoluci jako v evoluci firem; formování působí na biologické systémy po miliony let, zatímco ve
srovnání s tím je firma jen dítě. Organismy, které byly nepřijatelné, byly poklidně vyloučeny. Racionální člověk obchodující ve firmě zřejmě reaguje
méně pasivně na hrozbu vyloučení. Firmy uvažují a rozhodují se, které postupy s největší pravděpodobností povedou k přežití, tj. pozitivním ziskům.
Výsledky těchto jednání jsou vyzkoušeny, a pokud jsou shledány chybujícími, jsou rychle odstraněny. Protože se firmy mohou rychle přizpůsobit
prostřednictvím pokusů a omylů, podnikatelské prostředí by mohlo být vnímáno jako vhodné ve vztahu k Darwinovu prostředí. Navíc schopnost
přežít chyby znamená, že se efektivní firma může vyvinout rychleji než účinný organismus.
65
7.2. Farrellův evoluční spekulant
Jako aplikaci evoluční logiky na ekonomiku zvažme Farrellův (1970) spekulantní model. Na začátku procesu má spekulant jeden dolar. Pokud je
jeho první spekulace úspěšná, získá dva dolary, pokud je neúspěšná, je zruinován. Nechť ‫݌‬ je pravděpodobnost, že vyhraje a předpokládejme, že
spekulant bude nadále s každým dolarem spekulovat v nezávislých podnicích. Každý podnik má pravděpodobnost ‫݌‬ úspěchu. Použitím rozvětveného
procesu lze ukázat, že pravděpodobnost úpadku nebo zániku je nejmenší nezáporný kořen z
݃(‫)ݏ‬ = ‫,ݏ‬
kde ݃(‫)ݏ‬ je generující funkce pro spekulantův individuální hazard a je dána předpisem
݃ (‫)ݏ‬ = 1 − ‫݌‬ + ‫ݏ݌‬ଶ
.
Proto je pravděpodobnost zániku řešením rovnice
(‫−ݏ‬ 1)(‫−ݏ‬ (1 − ‫)݌/)݌‬ = 0
a rovná se (1 − ‫,݌/)݌‬ jestliže ‫݌‬ > 1/2, a jedničce, když ‫݌‬ ≤ 1/2.
Pokud na začátku existuje ݊ jedinců se schopností ‫݌‬௜ > 1/2, potom je pravděpodobnost zániku skupiny [(1 − ‫݌‬௜)/ ‫݌‬௜]௡೔ .V důsledku toho všechny
skupiny s ‫݌‬ < 1/2 zaniknou, ale velká skupina s ‫݌‬௜ = 1/2 + ߝmá velkou pravděpodobnost přežití vzhledem k jednotlivci s ‫݌‬௜blízko k jedničce.