8.1.png
Příklad 5.5: Uvažujme model tvaru:

kde X[1], X[2], X[3] jsou všechny náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti na
intervalu (−π, π). Proveďme globální analýzu citlivosti.


8.2.png
Řešení: Nejprve určíme střední hodnotu a rozptyl řešení Y. To provedeme výpočtem pomocí systému
Maple, viz zdrojový kód Maple na konci. Obdržíme tak:

Ilustr04.png
Pravděpodobnostní rozdělení veličiny Y můžeme odhadnout vygenerováním realizací pro X[1], X[2],
X[3], následným vyhodnocením a zobrazením histogramu (v Maple příkazem Histogram). Histogram
získaný v systému Maple pro M = 10^5^ vyhodnocení modelové rovnice je uveden na obrázku 5.1.

                 Obr. 5.1 Histogram vygenerovaných řešení pro model příkladu 5.5.

10
Podle vztahu (5.8)

vypočítáme hodnoty vlivů prvního řádu jednotlivých parametrů X[i] na řešení Y (pro i = 1, 2, 3):

9.1.png,10
Následně určíme podle vztahu (5.9)


9.2.png
indexy globální citlivosti pro parametry X[1], X[2], X[3]:

V tomto jednoduchém příkladu bylo možné získat indexy globální citlivosti analyticky zavedenými
vztahy. Pro názornost vypočítejme nyní indexy globální citlivosti pomocí Soboľovy metody.

9.3.png
Nejprve musíme vygenerovat dvě skupiny realizací parametrů X[1], X[2], X[3]. Nechť každá skupina
obsahuje M = 10^5 realizací pro každý z parametrů. Zvolíme jednu ze skupin, spočteme M vyhodnocení
modelu Y (pro jednotlivé realizace parametrů X[1], X[2, ]X[3]) a určíme jejich průměr (tj. střední
hodnotu) a rozptyl. Obdržíme[1]:

12

Nyní přistoupíme k výpočtu odhadů vlivů jednotlivých parametrů definovaných vztahem (5.16) až
(5.18).


9.4.png
Pro výpočet vlivu V[1] parametru X[1] vypočteme dalších M vyhodnocení modelu Y, a to tak, že budeme
brát realizace parametru X[1] z první skupiny (té dříve zvolené) a realizace parametrů X[2], X[3] z
druhé skupiny na začátku vygenerovaných realizací. Zcela analogicky vypočteme jiných M vyhodnocení
modelu Y jak pro určení vlivu V[2] parametru X[2], tak pro určení vlivu V[3] parametru X[3].
Získáme níže uvedené hodnoty:

9.5.png
Po výpočtu vlivů V[1], V[2], V[3] můžeme přistoupit k výpočtu indexů globální citlivosti prvního
řádu podle vztahu (5.9):

10.1.png

13
Jestliže aplikujeme korekční člen (5.21),

jehož hodnota je přibližně −0,0571. Homma a Saltelli (viz [24]) doporučují korekční člen (5.21)
aplikovat bez absolutní hodnoty[2]^ na jednotlivé rozptyly 13  (pro i[1],…,i[s] ∈ {1,2,3},
i[1 ]< … < i[s]) tak, že od rozptylů prvního řádu (V[i]) se korekční člen odečte.  Pak obdržíme:

9.4.png


Základní zdrojový kód pro výpočet výše uvedených hodnot v Maple:


Výpočet indexů globální citlivosti pomocí systému Maple

M := 10^5:

with(Statistics):

X[1] := RandomVariable(Uniform(-Pi, Pi)):

X[2] := RandomVariable(Uniform(-Pi, Pi)):

X[3] := RandomVariable(Uniform(-Pi, Pi)):


X1s := Sample(X[1], M):  # M realizaci veliciny X[1]

X2s := Sample(X[2], M):  # M realizaci veliciny X[2]

X3s := Sample(X[3], M):  # M realizaci veliciny X[3]


Ys := sin~(X1s) + 7*(sin~(X2s))^~2 + ((1/10)*X3s^~4)*(sin~(X1s)):


f[0] := Mean(Ys):      # odhad stredni hodnoty

V[0] := Variance(Ys):  # odhad rozptylu


X1s2 := Sample(X[1], M):  # "druha skupina" M realizaci veliciny X[1]

X2s2 := Sample(X[2], M):  # "druha skupina" M realizaci veliciny X[2]

X3s2 := Sample(X[3], M):  # "druha skupina" M realizaci veliciny X[3]

Ys2 := Vector(M):


# citlivost parametru X[1]

Ys2 := sin~(X1s) + 7*(sin~(X2s2))^~2 + ((1/10)*X3s2^~4)*~(sin~(X1s)):

V[1] := Mean(Ys*~Ys2)-f[0]^2;

S[1] = V[1]/V[0];


# citlivost parametru X[2]

Ys3 := sin~(X1s2) + 7*(sin~(X2s))^~2 + ((1/10)*X3s2^~4)*~(sin~(X1s2)):

V[2] := Mean(Ys*~Ys3)-f[0]^2;

S[2] = V[2]/V[0];


# citlivost parametru X[3]

Ys4 := sin~(X1s2) + 7*(sin~(X2s2))^~2 + ((1/10)*X3s^~4)*~(sin~(X1s2)):

V[3] := Mean(Ys*~Ys4)-f[0]^2;

S[3] = V[3]/V[0];


# korekcni clen

Ysk := sin~(X1s2) + 7*(sin~(X2s2))^~2 + ((1/10)*X3s2^~4)*~(sin~(X1s2)):

V[k] := Mean(Ys*~Ysk)-f[0]^2;

________________________________

[1] V závorce je uvedená pro porovnání zaokrouhlená hodnota přesné hodnoty V(Y).

[2] Absolutní hodnota byla přidána, aby příslušná věta měla správný matematický význam. Znaménko
členu v absolutní hodnotě je však podstatné!