logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. KONVOLUCE & VZORKOVACÍ TEORÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE Důkaz: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Distributivní zákon: Asociativní zákon: KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Zákon o posunu v čase: KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz convolution_barking KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Konvoluce kauzálních signálů: Pro kauzální signály platí s(t) = 0 pro t < 0 KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE KONVOLUCE_SPOJ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz konv_2obd.bmp KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þsignálu s jednotkovým þimpulsem þdefinice: þ þ þ þkonvoluce: KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE þspojité signály þ þ þ þdiskrétní signály levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz dig_konvoluce.jpg DISKRÉTNÍ KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þn=0 x0y0 þn=1 x0y1 + x1y0 þn=2 x0y2 + x1y1 + x2y0 þn=3 x0y3 + x1y2 + x2y1 + x3y0 þn=4 x0y4 + x1y3 + x2y2 + x3y1 + x4y0 þn=5 x0y5 + x1y4 + x2y3 + x3y2 + x4y1 + x5y0 þ : DISKRÉTNÍ KONVOLUCE {x0, x1, x2, x3} * {y0, y1, y2} = = (x0 y0) (x0 y1) (x0 y2) (x1 y0) (x1 y1) (x1 y2) (x2 y0) (x2 y1) (x2 y2) (x3 y0) (x3 y1) (x3 y2) ------------------------------------------------ následuje sečtení pod sebou levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD þobecně: þ þ{x0, x1, x2, x3} * {y0, y1, y2} = þ = (x0 y0) (x0 y1) (x0 y2) þ (x1 y0) (x1 y1) (x1 y2) þ (x2 y0) (x2 y1) (x2 y2) þ (x3 y0) (x3 y1) (x3 y2) þ------------------------------------------------ þnásleduje sečtení pod sebou konkrétní čísla: {1, 2, -2, -1} * {1, -1, 2} = = 1 -1 2 2 -2 4 -2 2 -4 -1 1 -2 ------------------------------------ (1, 1,-2, 5,-3,-2) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE A JEŠTĚ JEDEN PŘÍKLAD {1, 2, 1} * {0,0,1} = = 0 0 1 0 0 2 0 0 1 ------------------------------------ (0, 0, 1, 2, 1) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRUM DIRACOVA IMPULZU obdelnik Fw1obd t → 0 A → ¥ A.t = 1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz spektr_obdelnik t → 0 A → ¥ A.t = 1 SPEKTRUM DIRACOVA IMPULZU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz spektr_obdelnik t → 0 A → ¥ A.t = 1 SPEKTRUM DIRACOVA IMPULZU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz t → 0 A → ¥ A.t = 1 SPEKTRUM DIRACOVA IMPULZU spektr_obdelnik levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz t → 0 A → ¥ A.t = 1 SPEKTRUM DIRACOVA IMPULZU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRUM PULZU DIRACOVÝCH IMPULZŮ Fwobdelniku levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRUM PULZU DIRACOVÝCH IMPULZŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL - VZORKOVÁNÍ vzorkovani s(nT) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM s(t) → s(T1), s(T2), s(T3), …, s(Tn), … s(t) → s(T), s(2T), s(3T), …, s(nT), … levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM SAMPLING Vzorkovací frekvence: fs ≥ 2B = fN, kde B je maximální kmitočet ve vzorkovaném signálu fN – Nyquistův, (Shannonův, Kotelnikovův) kmitočet TN = 1/fN = 1/2B Nyquistův interval (perioda), vzorkovací interval (perioda) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Reálné vzorkování samplingfb fsr = (4÷5).fN levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZORKOVACÍ TEORÉM Aliasing – překrývání spekter levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JEDNORÁZOVÉ DISKRÉTNÍ SIGNÁLY 1skokD þjednotkový skok DiracD þjednotkový impuls levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODICKÉ DISKRÉTNÍ SIGNÁLY þdiskrétní signál x(kT) je periodický s periodou NT, když platí þ x[(k+N)T] = x(kT), pro k = 0, ±1, ±2, … þpříklady èx(kT) = A.cos(2pk/N) èx(kT) = A.sin(2pk/N) èx(kT) = A.exp(j2pk/N) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÝ DISKRÉTNÍ SIGNÁL harmD1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz HARMONICKÝ DISKRÉTNÍ SIGNÁL harmD2 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříprava nových učebních materiálů þpro obor Matematická biologie þje podporována projektem ESF þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“ INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU