Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Průběh výuky • 13 přednášek doplněných o praktické cvičení v SW • Obsahem předmětu je přehled a úvod do praktické aplikace vícerozměrných statistických metod: – Shluková analýza – Ordinační metody – Základy vícerozměrné diskriminace • Předpoklady ukončení – Účast na cvičení (první 3 termíny pouze přednášky, následně buď cvičení nebo kombinace přednášky a cvičení) – 3 průběžné testy (požadováno dosažení alespoň 50% bodů) – Písemná závěrečná zkouška (požadováno dosažení alespoň 50% bodů) 2 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Plán přednášek 1. Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod 2. Vícerozměrné statistické rozdělení a testy, operace s vektory a maticemi 3. Podobnosti a vzdálenosti ve vícerozměrném prostoru, asociační matice I 4. Podobnosti a vzdálenosti ve vícerozměrném prostoru, asociační matice II 5. Shluková analýza - hierarchická 6. Shluková analýza - nehierarchická 7. Identifikace optimálního počtu shluků 8. Ordinační analýzy – principy redukce dimenzionality - PCA 9. Ordinační analýzy – FA 10. Ordinační analýzy – CA, DCA 11. Ordinační analýzy – MDS 12. Ordinační analýza – vztah ordinačních prostorů (RDA, CCA, co-inertia, pouze přehled) 13. Diskriminační analýza 3 Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Cíle vícerozměrné analýzy dat • Každý objekt reálného světa můžeme popsat jeho pozicí v mnohorozměrném prostoru, v extrémním případě jde až o desetitisíce dimenzí • Více než 3D prostor je pro nás vizuálně neuchopitelný a hledání vztahů ve více než 3 dimenzích je problematické • Vícerozměrná analýza se tento problém snaží řešit různými přístupy: – Redukce dimenzionality dat „sloučením“ korelovaných proměnných do menšího počtu „faktorových“ proměnných – Identifikace shluků objektů ve vícerozměrném prostoru a následná redukce vícedimenzionálního problému kategorizací objektů do zjištěných shluků 5 Zjednodušení Interpretace Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Příklad vícerozměrného popisu objektů 6 Dimenze 1 Dimenze 2 Dimenze 3 Dimenze 4 ID objektu SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID SETOSA 5.0 3.3 1.4 0.2 VIRGINIC 6.4 2.8 5.6 2.2 VERSICOL 6.5 2.8 4.6 1.5 VIRGINIC 6.7 3.1 5.6 2.4 VIRGINIC 6.3 2.8 5.1 1.5 SETOSA 4.6 3.4 1.4 0.3 VIRGINIC 6.9 3.1 5.1 2.3 VERSICOL 6.2 2.2 4.5 1.5 VERSICOL 5.9 3.2 4.8 1.8 SETOSA 4.6 3.6 1.0 0.2 … … … … SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrná analýza dat = pohled ze správného úhlu • Vícerozměrná analýza nám pomáhá nalézt v x-dimenzionálním prostoru nejvhodnější pohled na data poskytující maximum informací o analyzovaných objektech 7 Všechny obrázky ukazují stejný objekt z různých úhlů v 3D prostoru. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Obecný princip redukce dimenzionality dat • V převážné většině případů existují mezi dimenzemi korelační vztahy, tedy dimenze se navzájem vysvětlují a pro popis kompletní informace v datech není třeba všech dimenzí vstupního souboru • Všechny tzv. ordinační metody využívají principu identifikace korelovaných dimenzí a jejich sloučení do souhrnných nových dimenzí zastupujících několik dimenzí vstupního souboru • Pokud mezi dimenzemi vstupního souboru neexistují korelace, nemá smysl hledat zjednodušení vícerozměrné struktury takovéhoto souboru !!! 8 Jednoznačný vztah dimenzí x a y umožňuje jejich nahrazení jedinou novou dimenzí z x y z x y ? ? ? ? ?? ? ? V případě neexistence vztahu mezi x a y nemá smysl definovat nové dimenze – nepřináší žádnou novou informaci oproti x a y Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Obecný princip hledání shluků v datech • Vzájemnou pozici objektů ve vícerozměrném prostoru lze popsat jejich vzdáleností • Dle vzdálenosti objektů je můžeme slučovat do shluků a přiřazení objektů ke shlukům ve vícerozměrném prostoru následně využít pro zjednodušení jejich xdimenzionálního popisu • Smysluplnost výsledků shlukování závisí jednak na objektivní existenci shluků v datech, jednak na arbitrárně nastavených kritériích definice shluků 9 Jednoznačné odlišení existujících shluků v datech (obdoba multimodálního rozložení) Shluková analýza je možná i v tomto případě, nicméně hranice shluků jsou dány pouze naším rozhodnutím. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Omezení vícerozměrné analýzy dat • Vícerozměrná analýza může přinést zjednodušení dimenzionality dat pouze v případě, kdy data skrývají nějakou identifikovatelnou vícerozměrnou strukturu – Mezi dimenzemi existují vztahy (korelace) umožňující nahrazení korelovaných dimenzí zástupnou souhrnnou dimenzí – Objekty vytváří v x-dimenzionálním prostoru shluky nebo jiné nenáhodné struktury • Pro náhodně rozmístěné objekty bez korelací mezi dimenzemi jejich x-dimenzionálního prostoru nepřináší vícerozměrná analýza žádné nové informace oproti původním dimenzím • Důležitý je poměr počtu objektů (řádky tabulky) a dimenzí (sloupce tabulky). Čím je tento poměr menší tím větší je šance, že výsledky analýzy jsou ovlivněny náhodnými procesy. Za minimální poměr pro získání validních výsledků je považováno 10 objektů na 1 dimenzi. • Pro vícerozměrné analýzy platí obdobné předpoklady jako pro jednorozměrnou statistickou analýzu; vzhledem k jejich možnému porušení na úrovni kombinace několika dimenzí je tyto předpoklady třeba kontrolovat ještě pečlivěji než u jednorozměrné analýzy • Kromě klasických statistických předpokladů je při vícerozměrných analýzách třeba věnovat pozornost výběru metrik vzdáleností mezi objekty (klíčové ovlivnění interpretace výsledků) a jejich předpokladům • Pokud výsledky vícerozměrné analýzy nejsou interpretovatelné je třeba zvážit, zda použití vícerozměrné analýzy přináší oproti sadě jednorozměrných analýz nějakou přidanou hodnotou • Využitelná vícerozměrná analýza by měla být: – Vybrána vhodná metoda pro řešení daného problému – korektně spočítána za dodržení všech předpokladů – Interpretovatelná a přinášející novou informaci oproti analýze původních dimenzí 10 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Korelace jako princip výpočtu vícerozměrných analýz • Kovariance a Pearsonova korelace je základem analýzy hlavních komponent, faktorové analýzy jakož i dalších vícerozměrných analýz pracujících s lineární závislostí proměnných • Předpokladem výpočtu kovariance a Pearsonovy korelace je: – Normalita dat v obou dimenzích – Linearita vztahu proměnných • Pro vícerozměrné analýzy je nejzávažnějším problémem přítomnost odlehlých hodnot 11 x y x y x y Lineární vztah – bezproblémové použití Personovy korelace Korelace je dána dvěma skupinami hodnot – vede k identifikaci skupin objektů v datech Korelace je dána odlehlou hodnotu – analýza popisuje pouze vliv odlehlé hodnoty Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Analýza kontingenčních tabule jako princip výpočtu vícerozměrných analýz • Abundance taxonů (nebo počet jakýchkoliv objektů) na lokalitách lze brát jako kontingenční tabulku a mírou vztahu mezi řádky (lokality) a sloupci (taxony) je velikost chi-kvadrátu 12 χ 2 )1( pozorovaná četnost očekávaná četnost očekávaná četnost= 2 Počítáno pro každou buňku tabulky   A 10 0 B 0 10 Pozorovaná tabulka   A 5 5 B 5 5 Očekávaná tabulka Hodnota chi-kvadrátu definuje míru odchylky dané buňky (v našem kontextu vztahu taxon-lokalita) od situace, kdy mezi řádky a sloupci (taxon-lokalita) není žádný vztah Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Euklidovská vzdálenost jako princip výpočtu vícerozměrných analýz • Nejsnáze představitelným měřítkem vztahu dvou objektů ve vícerozměrném prostoru je jejich vzdálenost • Nejjednodušším typem této vzdálenosti (bohužel s omezeným použitím na data společenstev) je Euklidovská vzdálenost vycházející z Pythagorovy věty 13 a b c y11 y12 y21 y22 2 211211 )(),( jj p j yyxxD −∑= = X1 X2 • vytváření shluků objektů na základě jejich podobnosti • identifikace typů objektů • zjednodušení vícerozměrného problému do menšího počtu rozměrů • principem je tvorba nových rozměrů, které lépe vyčerpávají variabilitu dat SHLUKOVÁ ANALÝZA ORDINAČNÍ METODY Základní typy vícerozměrných analýz Typy vícerozměrných analýz SHLUKOVÁ ANALÝZA ORDINAČNÍ METODY x y Faktorové osy y x podobnost Vícerozměrné statistické metody Jednorozměrná statistická analýza jako předpoklad vícerozměrné analýzy dat Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Význam statistické analýzy dat • Výzkum na základě sběru dat je naším způsobem porozumění realitě • Ale jak přesné a pravdivé je naše porozumění? 17 Statistika je jedním z nástrojů vnášejících do našich výsledků určitou spolehlivost. Statistiku můžeme považovat za ekvivalent k mikroskopu či jinému laboratornímu nástroji Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Variabilita jako základní pojem ve statistice • Naše realita je variabilní a statistika je vědou zabývající se variabilitou • Korektní analýza variabilita a její pochopení přináší užitečné informace o naší realitě • V případě deterministického světa by statistická analýza nebyla potřebná 18 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Práce s variabilitou v analýze dat • V analýze dat existují dva hlavní přístupy k práci s variabilitou 19 Variabilita dat Popisná analýza: charakterizace variability Testování hypotéz: vysvětlení variability ? Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Co může statistika říci o naší realitě? • Statistika není schopna činit závěry o jevech neobsažených v našem vzorku. • Statistika je nasazena v procesu získání informací z vzorkovaných dat a je podporou v získání naší znalosti a pochopení problému. • Statistika není náhradou naší inteligence !!! 20 Možnosti Realita Vzorek Data Informace Znalost Pochopení Statistika Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Statistika a zobecnění výsledků • Cílem analýzy není pouhý popis a analýza vzorku, ale zobecnění výsledků ze vzorku na jeho cílovou populaci • Pokud vzorek nereprezentuje cílovou populaci, vede zobecnění k chybným závěrům 21 Neznámá cílová populace Vzorek Analýza Díky zobecnění výsledků známe vlastnosti cílové populace Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Vzorkování a jeho význam ve statistice • Statistika hovoří o realitě prostřednictvím vzorku!!! • Statistické předpoklady korektního vzorkování je nutné dodržet • Náhodný výběr z cílové populace • Representativnost: struktura vzorku musí maximálně reflektovat realitu • Nezávislost: několikanásobné vzorkování téhož objektu nepřináší ze statistického hlediska žádnou novou informaci 22 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Velikost vzorku a přesnost statistických výstupů • Existuje skutečné rozložení a skutečný průměr měřené proměnné • Z jednoho měření nezjistíme nic • Vzorek určité velikosti poskytuje odhad reálné hodnoty s definovanou spolehlivostí • Vzorkování všech existujících objektů poskytne skutečnou hodnotu dané popisné statistiky, nicméně tento přístup je ve většině případech nereálný. 23 ??? Odhad průměru atd. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Předpoklady statistické analýzy • WWW.WIKIPEDIA.ORG: – Statistika je matematickou vědou zabývající se shromážděním, analýzou, interpretací, vysvětlením a prezentací dat. Může být aplikována v širokém spektru vědeckých disciplín od přírodních až po sociální vědy. Statistika je využívána i jako podklad pro rozhodování, kdy nicméně může být záměrně i nevědomky zneužita. • Statistika využívá matematické modely reality k zobecnění výsledků experimentů a vzorkování. • Statistika funguje korektně pouze pokud jsou splněny předpoklady jejích metod a modelů. 24 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Normální rozložení jako předpoklad statistické analýzy dat • Normální rozložení (Gaussova křivka) je jedním z hlavních modelů ve statistické analýze dat • Řada metod popisné statistiky je založena na modelu normálního rozložení – Průměr, směrodatná odchylka atd. • Řada metod testování hypotéz je založena na modelu normálního rozložení – T-test, ANOVA, korelace, regrese • Použití modelu je možné pouze pokud reálná data odpovídají danému modelovému rozložení 25 Průměr a směrodatná odchylka dobře popisují realitu Průměr a směrodatná odchylka nepopisují realitu Reálná data Model normálního rozložení Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Obecné schéma aplikace statistické analýzy 26 Vzorkování Experimentální design Jak velký vzorek je nezbytný pro statisticky relevantní výsledky? Klíčová stratifikační kritéria cílové populace. Vzorkovací plán zabezpečující náhodnost a reprezentativnost vzorku. Uložení a management dat Uložení dat ve vhodné formě a jejich vyčištění předcházející vlastní analýze je klíčovým krokem statistické analýzy. Vizualizace dat Grafická inspekce dat je nezbytným krokem analýzy vzhledem ke schopnosti lidského mozku primárně akceptovat obrazová data. Poskytne vhled do dat, představu o jejich rozložení, vazbách proměnných apod. Popisná analýza Popisná analýza umožňuje vyhodnotit srovnáním s existující literaturou realističnost naměřených rozsahů dat. Testování hypotéz Testování vazeb mezi různými proměnnými s cílem navzájem vysvětlit jejich variabilitu a tím přispět k pochopení řešeného problému. Modelování Možným vyvrcholením analýzy je využití získaných znalostí a pochopení problému k vytvoření prediktivních modelů. Vícerozměrné statistické metody Popisná statistika a její spolehlivost Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Typy proměnných a jejich popisné statistiky • Kvalitativní/kategorická – binární - ano/ne – nominální - A,B,C … několik kategorií – ordinální - 1<2<3 …několik kategorií a můžeme se ptát, která je větší – Popis procentuálním zastoupením kategorií • Kvantitativní – nespojitá – čísla, která však nemohou nabývat všech hodnot (např. počet porodů) – spojitá – teoreticky jsou možné všechny hodnoty (např. krevní tlak) – Popis celou řadou deskriptivních statistik (průměr, medián, percentily, směrodatná odchylka, rozsah hodnot apod.) 28 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Řada dat a její vlastnosti 29 Kategorie Četnost B 5 C 8 D 1 Kvalitativní data Tabulka s četností jednotlivých kategorií. Kvantitativní data Četnost hodnot rozložení v jednotlivých intervalech. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Populace a vzorek • Populace představuje veškeré možné objekty vzorkování, např. veškeré obyvatelstvo ČR při sledování na úrovni ČR, z populace získáme reálné parametry rozložení • Z populace je prováděno vzorkování za účelem získání reprezentativního vzorku (sample) populace, toto vzorkování by mělo být náhodné, důležitá je také velikost vzorku, ze vzorku získáme odhady parametrů rozložení 30 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Popisná statistika: odhad reality • Při výpočtu popisné statistiky počítáme popisnou statistiku vzorku, která je zároveň odhadem pro celou cílovou populaci • Skutečnou hodnotu statistiky v cílové populaci nemůžeme poznat bez vzorkování celé cílové populace 31 O populaci nevíme nic Odhadujeme popisné statistiky populace Známe skutečnou hodnotu statistiky v populaci Nesmyslné Obvykle nerealizovatelné Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Koncept intervalu spolehlivosti a jeho interpretace • Při výpočtu odhadu popisné statistiky nás zajímá nejenom její vlastní hodnota (bodový odhad) ale také její rozsah spolehlivosti • Interval spolehlivosti závisí na: – Velikosti vzorku – Variabilitě dat – Požadované spolehlivosti • Interval spolehlivosti lze spočítat pro jakoukoliv statistiku (průměr, směrodatná odchylka, korelace, procentuální zastoupení apod.) • Interval spolehlivosti poskytuje vodítko jak „spolehlivé“ jsou naše výsledky a s jakou pravděpodobností jich je možné opakovaně dosáhnout • 95% interval spolehlivosti je rozsah hodnot do nějž se při opakování studie trefíme s 95% pravděpodobností • Tvrzení, že v rozsahu 95% intervalu spolehlivosti leží s 95% pravděpodobností skutečný průměr populace není pravdivé, skutečný průměr populace neznáme !!! 32 Rozložení odhadu pro N=10 Rozložení odhadu pro N=100 Rozložení parametru v populaci Průměr (odhadovaný parametr) Vícerozměrné statistické metody Testování hypotéz Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Testování hypotéz: základní principy • Formulace hypotézy • Výběr cílové populace a z ní reprezentativního vzorku • Měření sledovaných parametrů • Použití odpovídajícího testu závěr testu • Interpretace výsledků 34 Cílová populace Vzorek Reprezentativnost ? Závěr ? Interpretace Měření parametrů Testy hypotéz ? Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Statistické testování – základní pojmy 35 Nulová hypotéza HO Alternativní hypotéza HA Testová statistika Kritický obor testové statistiky 0 T Pozorovaná hodnota – Očekávaná hodnota Variabilita dat Testová statistika = HO: sledovaný efekt je nulový HA: sledovaný efekt je různý mezi skupinami * Velikost vzorku Statistické testování odpovídá na otázku zda je pozorovaný rozdíl náhodný či nikoliv. K odpovědi na otázku je využit statistický model – testová statistika. Statistická významnost (p) – odvozena z testové statistiky a znamená pravděpodobnost, že pozorovaný rozdíl je výsledkem pouhé náhody Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Co znamená pravděpodobnost, že pozorovaný rozdíl je výsledkem pouhé náhody ? 36 Je tu rozdíl? Jak by vypadal rozdíl, kdyby byl náhodný? Nasimulujme si ho !!!  Léčba Placebo X2 X1 X2 X1 Rozdíl? Rozdíl X2 X1 Rozdíl …. Mnoho- krát Rozdíl ? Rozložení možných náhodných rozdílů Kde leží skutečný rozdíl? Jak moc je pravděpodobné, že je náhodný? 0 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Možné chyby při testování hypotéz 37 Závěr testu Hypotézu nezamítáme Hypotézu zamítáme β 1- β 1- α α Skutečnost H0 Platí H0 Neplatí • I přes dostatečnou velikost vzorku a kvalitní design experimentu se můžeme při rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí nulové hypotézy dopustit chyby. Správné rozhodnutí Správné rozhodnutí Chyba II. druhu Chyba I. druhu Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Klinická a statistická významnost • Samotná statistická významnost nemá žádný reálný význam, je pouze měřítkem náhodnosti hodnoceného jevu • Pro vyhodnocení reálné významnosti je nezbytné znát i reálně významné hodnoty 38 Statistická významnost Praktická významnost ANO NE ANO OK, praktická i statistická významnost je ve shodě, jednoznačný závěr Významný výsledek je statistický artefakt velkého vzorku, prakticky nevyužitelné NE Výsledek může být pouhá náhoda, neprůkazný výsledek OK, praktická i statistická významnost je ve shodě, jednoznačný závěr Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Statistická vs. klinická významnost 39 Bodový odhad efektu + IS Možnost Statistická významnost Klinická významnost a) ne možná b) ne možná c) ano možná d) ano ano e) ne ne f) ano ne a) b) c) d) e) f) Střední hodnota v populaci Klinicky významná odchylka Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Parametrické vs. neparametrické testy 40 Parametrické testy Neparametrické testy • Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení) • Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické • Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla testu prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný • Nemají předpoklady o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení • Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat, kdy neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody One-sample vs. two sample testy 41 One – sample testy Two – sample testy • Srovnávají jeden vzorek (one sample, jednovýběrové testy) s referenční hodnotou (popřípadě se statistickým parametrem cílové populace) • V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem (referenční hodnota, hodnota cílové populace) • Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek • Srovnávají navzájem dva vzorky (two sample, dvouvýběrové vzorky) • V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot • Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek • Kromě testů pro dvě skupiny hodnot existují samozřejmě i testy pro více skupin dat Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody One-tailed vs. Two-tailed testy 42 One – tailed testy Two – tailed testy • Hypotéza testu je postavena asymetricky, tedy ptáme se na větší než/ menší než • Test může mít pouze dvojí výstup – jedna z hodnot je větší (menší) než druhá a všechny ostatní případy • Hypotéza testu se ptá na otázku rovná se/nerovná se • Test může mít trojí výstup – menší - rovná se – větší než • Situace nerovná se je tedy souhrnem dvou možných výstupů testu (menší+větší) Kritický obor Kritický obor Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Nepárový vs. párový design 43 Nepárový design Párový design • Skupiny srovnávaných dat jsou na sobě zcela nezávislé (též nezávislý, independent design), např. lidé z různých zemí, nezávislé skupiny pacientů s odlišnou léčbou atd. • Při výpočtu je nezbytné brát v úvahu charakteristiky obou skupin dat • Mezi objekty v srovnávaných skupinách existuje vazba, daná např. člověkem před a po operaci, reakce stejného kmene krys atd. • Vazba může být buď přímo dána nebo pouze předpokládána (v tom případě je nutné ji ověřit) • Test je v podstatě prováděn na diferencích skupin, nikoliv na jejich původních datech Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Statistické testy a normalita dat 44 • Normalita dat je jedním z předpokladů tzv. parametrických testů (testů založených na předpokladu nějakého rozložení) – např. t-testy • Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro výpočet (t-rozložení) a test tak může lhát • Řešením je tedy: – Transformace dat za účelem dosažení normality jejich rozložení – Neparametrické testy – tyto testy nemají žádné předpoklady o rozložení dat Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test 2 skupiny dat nepárově: Nepárový t-test Mann Whitney test 2 skupiny dat párově: Párový t-test Wilcoxon test, sign test Více skupin nepárově: ANOVA Kruskal- Wallis test Korelace: Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient Vícerozměrné statistické metody Základní statistické testy Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody One sample t-test 46 H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti t t > t t t < t t |t| > t Průměr – cílová vs. výběrová populace n s μx t − = (n-1) 1-α (n-1) α (n-1) 1-α/2 µ≤x µ≥x µ=x µ≠x µx V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Dvouvýběrové testy: párové a nepárové 47 • Při použití two sample testů srovnáváme spolu dvě rozložení. Jejich základním dělením je podle designu experimentu na testy párové a nepárové.  Základním testem pro srovnání dvou nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový two-sample t-test  Základním testem pro srovnání dvou závislých rozložení spojitých čísel je párový two-sample t-test Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Dvouvýběrové testy: párové a nepárové 48 Data Nezávislé uspořádání Párové uspořádání ………. ………. ………. X1 X2 X1- X2 = D ………. ………. X1 X2 Design uspořádání zásadně ovlivňuje interpretaci parametrů 2 Ds D n 0D:H0 = (n = n2 = n1) 210 μμ:H = 2 1 2 1 s x n 2 2 2 2 s x n Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Dvouvýběrové testy: párové a nepárové 49 ………. ………. X1 X2 X1 X2 X1 X2 r = 0,954 (p < 0,001) r = 0,218 (p < 0,812) Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Předpoklady nepárového dvouvýběrového t-testu 50 • Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací • Nezávislost obou srovnávaných vzorků • Přibližně normální rozložení proměnné ve vzorcích, drobné odchylky od normality ovšem nejsou kritické, test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu, normalita může být testována testy normality • Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný (homoscedastic). Tento předpoklad je testován několika možnými testy – Levenův test nebo F-test. • Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické srovnání a ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické testy, ale poskytne prvotní představu. 0 ϕ(x) μ | | | • • | | • • X Varianta 1 Varianta 2 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet I 51 1. nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné, alternativní hypotéza je, že nejsou shodné, two tailed test 2. prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro zjištění odchylek od normality a nehomogenita rozptylu, provést F –test F-test pro srovnání dvou výběrových rozptylů •Používá se pro srovnání rozptylu dvou skupin hodnot, často za účelem ověření homogenity rozptylu těchto skupin dat. • V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů (two tailed); v případě shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t-testu, v opačném případě není vhodné test počítat. H0 HA Testová statistika 2 2 2 1 σσ ≤ 2 2 2 1 σσ ≥ 2 2 2 1 σσ < 2 2 2 1 σσ > 2 2 2 1 σσ = 2 2 2 1 σσ ≠ 2 2 2 1 s s F = 2 1 2 2 s s F = ( ) ( )2 2 2 1 2 2 2 1 ;min ;max ss ss F = Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet II 52 3. Výpočet testové statistiky (stupně volnosti jsou): 4. výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a α (obvykle α=0,05) 5. Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%), počet stupňů volnosti a s2 odpovídají předchozím vzorcům ( ) ( ) 2 11 21 2 22 2 112 −+ −+− = nn snsn s 221 −+= nnυ vážený odhad rozptylu 2 1 2 0,975 1 2 1 2 0,975 1 2 1 1 ( ) ( ) ( )x x t SE x x x x t s n n   − ± − = − ± +          + − == 21 2 21 11)( _ nn s xx ěrůrozdílprůoSE průrůměRozdíl t Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Dvouvýběrový t-test - příklad 53 Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou zvýšenou dávkou potravy. Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy pak 24 ovcí. • Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme 54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně staré atd.), které náhodně rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů do pokusných skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky nazývaného randomizace). Poté co experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t-testu. Pro obě proměnné jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na kterých můžeme posoudit normalitu a homogenitu rozptylu, kromě okometrického pohledu můžeme pro ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity rozptylu pak F-test • Pokud platí všechny předpoklady Two sample nepárového t-testu, můžeme spočítat testovou charakteristiku, výsledné t je 2,43 s 52 stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01, tedy t> t0,975 (52)= a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost je pak 0,018. Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny s lepší výživou. • Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% konfidenční intervaly jako 1,59±2.01*(0,655) kg, což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 kg. To, že konfidenční interval nezahrnuje 0 je dalším potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování významnosti rozdílů mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké hodnotě zamítáme v případě, kdy 95% konfidenční interval rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto případě 0). ( ) ( ) 2 11 21 2 22 2 112 −+ −+− = nn snsn s 221 −+= nnυ 2 1 2 0,975 1 2 1 2 0,975 1 2 1 1 ( ) ( ) ( )x x t SE x x x x t s n n   − ± − = − ± +          + − == 21 2 21 11)( _ nn s xx ěrůrozdílprůoSE průrůměRozdíl t Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Test dobré shody - základní teorie 54 Binomické jevy (1/0) χ 2 )1( pozorovaná četnost očekávaná četnost očekávaná četnost = + 2 pozorovaná četnost očekávaná četnost očekávaná četnost I. jev 1 II. jev 2 - 2- 0 1 Příklad 10 000 lidí hází mincí rub: 4 000 případů (R) líc: 6 000 případů (L) Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný (nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1 ? Rozdíl je vysoce statisticky významný (p << 0,001] ( ) ( ) 400 5000 50006000 5000 50004000 22 2 )1( = − + − =χ Tabulková hodnota: )195,0(84,3)1( 2 )95,0( ανχ −=== Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Kontingenční tabulky - 0 :Nezávislost dvou jevů A a B 55 Kontingenční tabulka 2 x 2 N = a + b + c + d ( ) ( ) N ba BP + =+ ( ) ( ) N dc BP + =− + - Podíl (+) + a b - c d Podíl (+) B A ( )ca a + ( )db b + ( )ba a + ( )dc c + p1 p2 Očekávané četnosti: ( )( ) N caba F A ++ =)( ( )( ) N dbba F B ++ =)( ( )( ) N cdca FC ++ =)( ( )( ) N dcdb F D ++ =)( ( ) ∑= = − = 4 1 2 2 1 i i ii F Ff νχ )1(*)1(1 −−== crν ( ) ( )BA PP ; ( ) ∑∑ −− = ij ijij c F Ff 2 2 5,0 χ Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Kontingenční tabulky: příklad 56 FA = 102 * 30 / 166 = 18,43 FB = 102 * 136 / 166 = 83,57 FC = 11,57 FD = 52,43 ( ) ( ) ( ) ( ) 423,0 43,52 43,5254 57,11 57,1110 57,83 57,8382 43,18 43,1820 2222 2 )1( = − + − + − + − =χ 84,3423,0 )1(2 95,0 =< χ Ano Ne Σ Ano 20 82 102 Ne 10 54 64 Σ 30 136 166 gen  Kontingenční tabulka v obrázku c: 49% d: 33% a: 12% b: 6% Gen: ANO Gen: NE Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody ANOVA – základní výpočet 57 • Základním principem ANOVY je porovnání rozptylu připadajícího na: – Rozdělení dat do skupin (tzv. effect, variance between groups) – Variabilitu objektů uvnitř skupin (tzv. error, variance within groups), předpokládá se, že jde o náhodnou variabilitu (=error) 1. Variabilita mezi skupinami Rozptyl je počítán pro celkový průměr (tzv. grand mean) a průměry v jednotlivých skupinách dat Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu skupin (= počet skupin -1) 2. Variabilita uvnitř skupin Rozptyl je počítán pro průměry jednotlivých skupin a objekty uvnitř příslušných, celková variabilita je pak sečtena pro všechny skupiny Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu hodnot (= počet hodnot - počet skupin) 11 −= kν kn −=2ν groupswithin groupsbetween F _ _ = Výsledný poměr (F) porovnáme s tabulkami F rozložení pro v1 a v2 stupňů volnosti SS=sum of squares Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Jednoduchý ANOVA design 58 Nejjednodušším případem ANOVA designu je rozdělení na skupiny podle jednoho parametru. Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Nested ANOVA 59 • Rozdělení skupin na náhodné podskupiny (např. opakování experimentu) • Cílem je zjistit, zda data v jedné skupině nejsou pouhou náhodou • Nejprve je testována shoda podskupin v hlavních skupinách, • pokud jsou shodné, je vše v pořádku • pokud nejsou, stále lze zjišťovat, zda se variabilita uvnitř hlavních skupin liší od celkové variability Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Two way ANOVA 60 Pro rozdělení do kategorií je zde více parametrů Na rozdíl od nested ANOVY nejde o náhodná opakování experimentu, ale o řízené zásahy (např.vliv pH a koncentrace O2) Kromě vlivu hlavních faktorů se uplatňuje i jejich interakce Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Modely analýzy rozptylu - základní výstup 61 Základním výstupem analýzy rozptylu je Tabulka ANOVA - frakcionace komponent rozptylu Zdroj rozptylu Pok. zásah (mezi skupinami) Uvnitř skupin Celkem SSB/SST MSB/MST St. v. a -1 SSB SSB/(a -1) MSB/MSE N - a SSE SSE/(N - a) N -1 SST SS MS F Kvantifikovaný podíl rozdílu mezi pokusnými zásahy na celkovém rozptylu Statistická významnost rozdílu Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Základy korelační analýzy I 62 Korelace - vztah (závislost) dvou znaků (parametrů) Y2 X1 Y2 X1 Y2 X1 ANO NE ANO a b NE c d X1 X2 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Základy korelační analýzy II 63 Parametrické míry korelace Kovariance Pearsonův koeficient korelace)).((),( yyxxEyxCov ii −−= 0 0 0 -- x -- y Y2 X1 r = 1 r = -1 Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Základy korelační analýzy III 64 PI (zem) 10 14 15 32 40 20 16 50 PI (rostl.) 19 22 26 41 35 32 25 40 6;8;,.....,1 === vnnI ( ) ( ) 7176,0 11 1 . ),( 2222 =     −    − − == ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ iiii iiii yx y n yx n x yx n yx SS yxCov r I. 05,0::0 == αφρH ( ) 7076,06 ==vr:tab II. φρ =:0H 2 1 2 −⋅      − = n r r t 2−= nv 0,05P ≤     = =⋅= − 447,2 524,26 6965,0 7176,0 )2( 975,0 n t t :tab Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Základy regresní analýzy 65 Regrese - funkční vztah dvou nebo více proměnných Jednorozměrná y = f(x) Vícerozměrná y = f(x1, x2, x3, ……xp) Vztah x, y Deterministický Regresní, stochastický Y X Y X Y X Pro každé x existuje pravděpodobnostní rozložení y Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody Regresní analýza přímky: lineární regrese 66 εβα +⋅+≈+⋅+= XexbaY y xbyaa ⋅−=≈ :)(interceptα slope)(sklon;xbX ⋅≈⋅β ( ) ( )xNe ye 22 ;0;0 σσε =Ν≈ :složkanáhodná- }Komponenty tvořící y se sčítají ε - náhodná složka modelu přímky = rezidua přímky ( ) reziduírozptyl⇒⋅ 22 xye σσ