3. Měření Fyzikální veličiny Fyzikální jednotky Soustava SI Jiné soustavy Měření - chyby - zpracování výsledků měření - graf Pozorování – obvykle kvalitativní charakter, popis stavu, popis změn, dlouhodobá zkušenost např. popis duhy, střídání dne a noci, koloběh vody…. Měření – kvantitativní pozorování - co měříme? definice veličiny (délka, čas, hmotnost…… - jednotky, standardy, definice……. - zpracování měření, chyby, statistika……. Historie – do 18 století převládá empirie, žádné obecné definice, dohody, zásadní změny v období Velké francouzské revoluce - 1790 Francouzská akademie – zásadní ovlivnění systematiky měření - 1875 Mezinárodní metrická konvence, zavedení desetinné soustavy, první definice (metr…), (18 států, včetně Rakouska Uherska (součást české země) ČSR od roku 1922) - Mezinárodní ústav pro míry a váhy v Sévres u Paříže Soustava SI – obecně závazná, mezinárodně uznaná (nevylučují se drobné odchylky), závazná pro učebnice, výuku……. Fyzikální veličiny, fyzikální jednotky, soustava SI Veličina jednotka značka přesnost Délka metr m 10^-10 Hmotnost kilogram kg 10^-7 Čas sekunda s 10^-14 Elektrický proud ampér A 10^-5 Teplota kelvin K 10^-4 Svítivost kandela cd 5.10^-3 Látkové množství mol mol 10^-6 násobky základních jednotek činitel předpona značka 10^24 yotta Y 10^21 zetta Z 10^18 exa E 10^15 peta P 10^12 tera T 10^9 giga G 10^6 mega M 10^3 kilo k 10^2 hekto h 10^-1 deci d 10^-2 centi c 10^-3 mili m 10^-6 mikro μ 10^-9 nano n 10^-12 piko p 10^-15 femto f 10^-18 atto a 10^-21 zepto (dříve banto) z (dříve b) 10^-24 yokto y Pro základní jednotky převažuje zadání definicí, tendence zpřesnění a realizace kdekoliv, na ústupu je určení pomocí normálu (např. kg…. Image:Platinum-Iridium meter bar.jpg Image:CGKilogram.jpg Historická poznámka – délka, metr 1790 – délka kyvadla s dobou kyvu 1 sec, závislost g na místě na zeměkouli 1791 – 10^-7 část kvadrantu poledníku Země 1799 – Pt metr 1889 – etalon (platina, iridium, Sévres, vzdálenost rysek – až do roku 1960 1960 – 1 650 763.73 vlnových délek definovaného přechodu kryptonu 1983 – délka dráhy, kterou urazí světlo za 1/299792458 sec (důsledek přesnosti určení času) Historická poznámka – čas, sekunda - rotace Země, 1/86400 délky středního slunečního dne - 1/31556925,9477 délky tropického roku (10^-9) - atomové hodiny, 10^-10 – 10^-13 - 9 192 631 770 period záření mezi dvěma energiovými hladinami cézia 133 Jiné soustavy Přirozené soustavy jednotek – tendence volby základních fyzikálních konstant Např. 1901 Max Planck : c – rychlost světla, h – Planckova konstanta, G – gravitační konstanta, k – Boltzannova konstanta důsledek: l[0]=(Gh/c^3)^1/2 =4.10^-35 m Planckova délka m[0]=(hc/G)^1/2 =5.10^-8 kg Planckova hmotnost t[0]=(Gh/c5)^1/2 =4.10^-43 s Planckův čas Např.: Hartree 1926: a[0] – Bohrův poloměr, m[0] – klidová hmotnost elektronu, e – elementární náboj elektronu, h – Planckova konstanta Relativistická kvantová mechanika: c, h, k, m[0] Poznámka : další fyzikální veličiny – jednotky jsou kombinací základních např.. rychlost v=délka/ čas….m/s….m.s^-1 a=….m.s^-2 Kontrola rovnic stanovením rozměru: např. l=l[0]+v.t+1/2.g.t^2…….[m]=[m]+[m.s^-1.s]+[m.s^-2.s^2] Měření Fyzika – snaha po přesnosti, realistický postup Cíl – stanovení hodnoty dobře definované fyzikální veličiny s vysokou a definovanou přesností (chybou) Možnosti – přímé měření (srovnání objektu s měřidlem…. např. měření délky skládacím metrem - pomocí přístroje (měření a převod na číslo… měření proudu a čtení výchylky na stupnici ampérmetru, měření teploty z roztažnosti rtuti…. Vzájemné ovlivňování objektu měření a přístroje - oprava el. napětí na konečný odpor voltmetru - ochlazení lázně teploměrem - principiální – vztah neurčitosti (h…. Metody měření – dobře definovaný postup přímé – proud, napětí odpor z definice R=V/J nepřímé – optická absorpce….koncentrace roztoku absolutní – v absolutních jednotkách ….energie, vzdálenost relativní – relativní jednotky…odrazivost, index lomu statické – měření ustálené veličiny …. teplota v rovnováze dynamické – měření teploty v závislosti na čase Chyby Δx=x- x^* Δx –absolutní chyba, x- naměřená hodnota, x^* - „správná hodnota“ Δr= Δx/x^* Δr – relativní chyba, ( někdy v procentech) Druhy chyb: - systematické – jsou součástí metody, nedokonalých přístrojů….. možnost odstranění, kalibrace, atd…. - náhodné – náhodné vlivy, možnost statistického zpracování - hrubé – omyly….. nutno vypustit Obrázek “http://solidstate.physics.sunysb.edu/teach/phy132/lab_instructions/bullseye.gif” nelze zobrazit, protože obsahuje chyby. Zdroje chyb Např.: měřený objekt (jeho stabilita….), prostředí (atmosférické vlivy…..), metoda (čtení na stupnici, paralaxa….), přístroj (šum, rušení….),pozorovatel (subjektivní vlastnosti….), metodika zpracování (metoda, zaokrouhlování….)…. Náhodné chyby Předpoklady – skutečně náhodné, větší množství měření…. Rozdělovací funkce a hustota pravděpodobnosti Měříme veličinu x, jednotlivá měření x[n], N celkový počet měření, rozdělíme osu x na intervaly Δx[n], na osu y vyneseme počet měření Q v příslušném intervalu, respektive četnost měření q=Q/N, dostaneme tzv. histogram Pro velká N dostaneme rozdělovací funkci f(x), respektive hustotu pravděpodobnosti , kde P je pravděpodobnost, že x padne do Δx. Pravděpodobnost, že měření padne do intervalu (a,b) je pro celý interval musí platit Distribuční funkce F(x) (někdy nahrazuje rozdělovací funkci) je pravděpodobnost, že měření padne do intervalu (-∞, x) Pro střední hodnotu měřené veličiny x platí Normální rozdělení Pro velké množství měření s náhodnými chybami platí tzv. Gaussovo rozdělení kde parametr σ souvisí se šířkou křivky a parametr μ se blíží „správné hodnotě“. Image:Normal Distribution PDF.svg Cumulative distribution function for the normal distribution Některé vlastnosti Gaussova rozdělení: 1. Platí 2. Maximum funkce f je pro x=μ, vypočítá se z podmínky max. hodnota funkce je 3.funkce f je sudá, platí 4.Poloha maxima je rovna střední hodnotě 5. Předpokládáme, že platí protože pravděpodobnost ze strany + a – je stejná. 6. parametr σ určuje šířku křivky – viz obr. Často se používá rovněž FWHM (full with of half maximum) nebo HWHM(half …) tedy dále, pro dostaneme 7. Dále v tomto bodě je inflexní bod 8. σ je tzv. směrodatná odchylka, respektive chyby měření. Pravděpodobnost, že hledaná hodnota je v intervalu: 9. atd. Image:Standard deviation diagram.svg Zpracování výsledků měření Předpokládáme, že máme velký soubor měření hodnot x[i], celkový počet je N. Lze ukázat, že střední hodnota měření, nejblíže správnému výsledku je aritmetický průměr všech hodnot a střední kvadratická odchylka hodnota jednoho měření a střední kvadratická odchylka aritmetického průměru Tak zvaný interval spolehlivosti je kde pro k=1,2,3 platí P=0.68 , 0.954, 0.997. Pro malý počet měření (velmi častý případ) je třeba postup modifikovat. Pak interval spolehlivosti je Parametr t[N ] je tzv. Studentův koeficient a pro k=1 (68%) platí N 2 3 10 30 ∞ t[N] 1.839 1.322 1.053 1.018 1.000 Praktický postup Máme soubor měření x[i], - vyloučíme hrubé chyby - pokusíme se odstranit systematickou chybu - vypočítáme aritmetický průměr - střední kvadratickou odchylku aritmetického průměru – viz - zvolíme úroveň spolehlivosti (k) - případně najdeme příslušný Studentův koeficient, pak chyba je V případě neodstranitelnosti systematické chyby m je celková chyba V případě více proměnných je výsledek a chyba (resp. střední kvadratická odchylka….) tzv. zákon šíření chyb. Podobně se postupuje jako dříve v případě systematických chyb, volby Studentových koeficientů, volby úrovně spolehlivosti. Funkční závislosti – y=f(x) Interpolace a extrapolace (extrapolaci je třeba se vyhnout) lineární interpolace : pak podobně kvadratická interpolace a dále. Metoda nejmenších čtverců - máme naměřené dvojice bodů (x[i] ,y[i]). Zvolíme funkci y=f(x) zadanou vzorcem s parametry (a,b,c…) tak, aby suma čtverců byla minimální požadujeme Např.: y=ax Např.: y=ax+b Grafy Grafické vyjádření funkce y=f(x), vždy vyjádření fyz. veličin, rozměry, měřítko, případně exp. body s chybou atd…. Grafika, velké množství možností, 2dm, 3dm,……