Na pisemku si prosim doneste kalkulacku, neco na psani a nejaky papir Pisemka bude trvat hodinu,
bude obsahovat 4 priklady z kazde casti co uvadim. Pokud se podivate na vzorove priklady, nemel by mit
nikdo z vas problem. Priklady budou stejneho typu nebo dokonce totozne. Priposilam i vzorove reseni vzdy
jednoho prikladu z oddilu, abych vam pomohla s jejich resenim.
Obsah pisemky:
ˆ derivace: naucte se zakladni vzorce pro derivovani tzn. f(x)=const., sin x, cos x, tan x, cot x, ln x,
ex, ax (kdyby nekdo vahal tak, zkratky postupne znamenaji derivace konstanty, derivaci funkce sinus,
cosinus, tangens, cotangens, prirozeny logaritmus, e na x, a na x, kde e je Eulerovo cislo a a je obecne
nejaka libovolna konstanta). Dale musite ovladat vzorec pro derivaci soucinu a podilu funkci. Zkuste
si doma cvicne priklady:
1. Urcete derivaci funkce y, pokud y = sin x cos x,
2. urcete zrychleni, pokud vite, ze polohovy vektor je tvaru:
r(t) = t5et + 1
t ,
3. urcete rychlost, pokud vite, ze polohovy vektor je tvaru:
r(t) = cos t
et ,
4. urcete zrychleni, pokud vite, ze polohovy vektor je tvaru:
r(t) = 64
2t25
5. urcete rychlost, pokud vite, ze polohovy vektor je tvaru:
r(t) = ex tan x + 131
ln x + 2x
248
ˆ Rovnomerny pohyb a rovnomerne zrychleny pohyb: doporucuji se podivat na nasledujici
priklady (myslim, ze jsme vetsinu resili v seminari):
1. Vysadkar klesa na padaku stalou rychlosti 6 m/s. Ve vysce 20 m nad zemskym povrchem mu
spadne rukavice. Za jakou dobu po dopadu rukavice pristane vysadkar na zemi, pokud rukavice
padala rovnomerne zrychlene?
2. Kamen byl vrzen volnym padem do studny s pocatecni rychlosti 5 m/s. Splouchnuti bylo slyset
za 2 s. Urcete hloubku studny. Dale pokud vite, ze rychlost zvuku je 1225 km/h, zvazte, jestli
je nutna casova korekce (tzn. prevedte rychlost zvuku na m/s a urcete, jak dlouho se nesl zvuk
z vodni hladiny k povrchu Zeme, potom reknete, jestli tato doba je srovnatelna s dobou letu
kamene k vodni hladine).
3. Tramvaj se rozjizdi se zrychlenim 0.3 m/s2. Za jakou dobu prejede prvni metr sve drahy? Za
jakou dobu prejede desaty metr sve drahy? Jakou ma rychlost na konci desateho metru?
4. V rece siroke 200 m se pohybuje lod z jednoho brehu na druhy. Rychlost proudu reky je 3 m/s,
rychlost lode vzhledem ke brehu je 5 m/s. Po jakym uhlem musi ke sve draze musi vyrazit, aby
se pohybovala kolmo na druhy breh. Jaky cas potrebuje lod na to, aby se na druhy breh takto
dostala.
5. Za bezvetri padajici destova kapka dopadne na okno vlaku jedouci rychlosti 90 km/h. Jaky uhel se
svislici bude na okne svirat stopa kapky, kdyz predpokladame, ze se po skle pohybuje rovnomerne
a vznikla ve vysce 400 m nad hornim okrajem okna? Odpor vzduchu zanedbejte.
ˆ Sikme vrhy: odkazuji se na cviceni, do pisemky zaradim jen priklady, ktere jsme pocitali na seminari.
ˆ Dynamika: Oblibene priklady na naklonenou rovinu a ruzne kostky na vodorovne rovine, ktere se
vlivem treni brzdi.
1. Teleso klouze po irovine sklonene pod uhlem 45◦, se zrychlenm 4.4 m · s−2. Pod jakym uhlem by
musela byt sklonena tataz rovina, aby se teleso pohybovalo bez zrychleni (rovnomerne)?
Napoveda: Z roviny, kde se teleso pohybuje se zrychlenem se pokuste urcit treci koeficient. Teleso
se pohybuje primocare a bez zrychleni=vyslednice pusobicich sil je nulova.
1
2. Jaka sila mimo tihove pusobi na padajici teleso o hmotnosti 2 kg, pokud se jeho rychlost zvysila
2 m/s na 20 m/s za cas 1.5 s? Odpor prostredi zanedbejte.
3. Jaky je soucinitel smykoveho treni mezi telesem a vodorovnou rovinou, pokud se teleso o hmotnosti
225 kg, ktere se pohybovalo pocatecni rychlosti 42 km/h, zastavilo pusobenim treci sily na
draze na draze 48 m?
4. Na naklonene rovine s uhlem sklonu α (vzhledem k vodorovne rovine) klouze teleso, soucinitel
smykoveho treni mezi telesem a podlozkou je f, urcete zrychleni telesa.
POZN: Timto se mysli odvozeni pro zrychleni z obrazku a napsani rovnic pro jednotlive osyrozlozeni
sil do slozek...delali jsme na seminari.
ˆ Zakony zachovani: Rozhodla jsem se, zakony zachovani zahrnout az do dalsi pisemky...jinak by jsme
ji uz nemeli skoro na co psat. Jsme pomerne napred.
Reseni nekterych prikladu s vysvetlenim:
ˆ derivace: priklad c.1: K vypoctu derivace musite znat zakladni vzorce a vzorec pro derivaci soucinu
funkci: (f · g) = f · g + f · g , potom je vysledek prvniho prikladu jednoduchy: y = cos x cos x +
sin x(− sin x) = cos2 x−sin2
x. K dalsim prikladum je potreba znat i vzorec na podil: (f
g ) = f ·g−f·g
g2 ,
dale musite vedet, rychlost je prvni derivace polohoveho vektoru a zrychleni je druha derivace polohoveho
vektoru (tzn. prvni derivace rychlosti).
ˆ rovnomerny a rovnomerne zrychleny pohyb: priklad c.1: V tomto pripade je dulezite si uvedomit
kdo se jak pohybuje. V zadani je jednoznacne receno, ze rukavice se pohybuje rovnomerne zrychlene.
Vysadkar se pohybuje rovnomerne (ma padak, ktery mu zabranuje ve volnem padu...). Nejdrive
vypocitame, jak dlouho bude vysadkari trvat nez doletne na Zem. V jeho pripade uzijeme vztahu
x = v0t, z cehoz dostaneme cas 3.3 s.
K vypoctu letu rukavice uzijeme vztah pro drahu rovnomerne zrychleneho pohybu. Nesmime zapomenout
na to, ze rukavice vypadne z ruky vysadkari, ktery jiz ma nejakou rychlost, proto pocitame s
pocatecni rzchlosti, ktera je shodna s rychlosti vysadkare: x = vot+1/2gt2. Neznama, kterou hledame
je cas, musime tedy vyresit kvadratickou rovnici: 0 = 1/2gt2 + vot − x. Resenim kvadraticke rovnice
jsou dva koreny. V nasem pripade vyjde jeden zaporny, coz je fyzikalne nezajimave reseni a druhe
kladne. Kladne reseni kvadraticke rovnice je tedy cas letu rukavice na Zem a vyjde priblizne 1.5 s.
Rukavice tedy doletne o 1.8 s drive nez vysadkar
ˆ dynamika: priklad c.1: Jak je napsano v napovede, nejdrive se zamerime na rovinou naklonenou tak,
ze se teleso pohybuje zrychlene. Ve cviceni jsme si odvodili, ze vztah pro zrychleni vypada nasledovne:
a = g(sin α − f cos α). Z tohoto vztahu urcime koeficient treni jako:
f =
g sin α − a
g cos α
(1)
Ted se zamyslime, co znamena, ze se teleso pohybuje rovnomerne. Vyslednice pusobicich sil je nulova,
pohybujeme se tedy bez zrychleni: a = 0 m/s−2. Pouzijeme vztahu z prvni casti, jen za zrychleni
dosadime nulu a misto α do vzorce oznacime uhel jinak, napriklad β, potom se z tohoto vztahu
budeme snazit urcit uhel β. Dostaneme tedy
0 = g(sin β − f cos β)a (2)
za koeficient treni dosadime vysledek, ktery jsme vypocitali v prvni casti (rovnice 1- tady muzete bud
dosadit obecny vztah nebo koeficient vyjadrit ciselne). Potom dostaneme,
sin β
cos β
= f = tan β (3)
2