Úprava výrazů, řešení rovnic a soustav rovnic. Funkce, graf funkce. Polynomiální, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce.
Matematický výraz obsahuje čísla, proměnné (písmenné symboly zastupující číslo nebo složitější výraz), operace (sčítání, ...) a funkce. Stejný výraz lze zapsat mnoha způsoby, zpravidla hledáme co nejjednodušší:
• Zlomky krátíme na základní tvar.
• Součet zlomků převádíme na společného jmenovatele (vyžaduje naopak rozšiřování zlomků).
• Odmocniny převádíme do čitatele (využíváme a2 — b2 — (a + b)(a — b)).
• Využíváme a2 ± 2ab + b2 — (a±b)2.
Rovnice vyjadřuje rovnost dvou výrazů. Obsahuje neznámou, kterou je možné vyřešením rovnice určit. Rovnice se řeší sledem úprav (ekvivalentních=zachovávajících množinu řešení nebo důsledkových=přidávajících konečný počet řešení), na jejichž konci je na jedné straně rovnice neznámá a na druhé známý výraz. K ekvivalentním úpravám patří přičtení výrazu k oběma stranám rovnice, násobení obou stran nenulovým výrazem atd. K důsledkovým úpravám patří například umocňování.
Soustavy rovnic: Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do všech ostatních rovnic. Tím snížíme počet rovnic i neznámých o jednu. Příklady:
Zjednodušte výrazy ^hS, (f - ±) ■ j^^,
Pomocí úprav řešte rovnici x2 — 4x+ 3 — 0. Návod: přičtěte 1 k oběma stranám rovnice. Výraz na levé straně upravte pomocí a2 + 2ab + b2 — (a + b)2. Odmocněte. Řešte rovnici
7 — x        13 + x ^ 3 + x      V 7 — x
Využijte vhodnou substituci.
Jaká množství 20 % roztoku a 50 % roztoku musíme smíchat, abychom dostali 31 30 % roztoku?
Pro volný pád předmětu platí v — gt, h — gt2/2, kde g — 9,81 m.s~2, t je doba pádu, h je hloubka a f je rychlost při dopadu. Jak dlouho budete padat do Macochy (h — 137 m) a jakou rychlostí dopadnete?
Jak se změní tlak a teplota plynu, stlačíme-li jej adiabaticky na poloviční objem? Platí stavová rovnice
PiVi _ P2V2 Ti   " T2
a rovnice adiabatického děje
PiVf =p2V2K.
Nejprve identifikujte známé a neznámé.
Funkce: zobrazení / z množiny D (definiční obor funkce) do množiny M. Každému prvku D přísluší právě jeden prvek M. Prvky M, jimž přísluší prvek z D, se nazývají obor hodnot funkce. x G D je nezávislá proměnná, y G M je závislá proměnná. Funkční předpis y — f (x). Graf funkce je množina všech bodů které jsou prvky funkce. Funkce je spojitá, lze-li její graf nakreslit
jedním tahem.
Jak kreslit graf funkce - najít definiční obor a obor hodnot, průsečíky s osami, do tabulky vynést několik hodnot a odhadnout chování funkce na hranicích intervalu.
Polynomiální funkce: definiční obor R, obor hodnot je pro polynomy sudého stupně z jedné strany omezený.
Exponenciální funkce, logaritmická funkce (inverzní k exponenciální).
Goniometrické funkce sinx, cosx, tanx, cotx - definice na pravoúhlém trojúhelníku a na jednotkové kružnici, periodicita, průběhy. Příklady:
1
Nakreslete graf funkce y — x2 — 4.
Nakreslete graf funkcí y = í/x2 a y = 2-a: na intervalu (1,4). Nakreslete graf funkce y — log2 x.
Nakreslete grafy funkcí y = sinx, y = sin2x, y = sin(x + tt/2), y = 2sinx.
Na intervalu (O, 2tt) řešte rovnice 5 sin x = 2 tan x, 3 cos2 x+cosx = 1 -sin2 x, cos x+sin 2x = 0.
2