Úvod do fyziky, seminář - příklady
P. Klang, R. Štoudek, Ústav fyziky kondenzovaných látek, PřF MU Brno
Kinematika
1. Ze dvou míst vzdálených od sebe 48 km vyjeli proti sobě současně auto a motorka. Auto se pohybovalo rychlostí 70kmh_1 a motorka rychlostí 50kmh_1. Kdy a kde se potkají?
(24 min; 28 km od A)
2. Auto má počáteční rychlost 6 ms"1 a za prvních 5 s ujede dráhu 40 m. Jak velké má zrychlení, pokud se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem? (0,8 ms-2)
3. Kámen padá volným pádem z výšky 100 m. Určete za jak dlouho a jakou rychlostí dopadne na zem. (4,47s; 44,7ms_1)
4. Při vjezdu do nádraží snížil rychlík svoji rychlost rovnoměrně z 90kmh_1 na 36kmh_1 na dráze 300 m. Určete jeho zpomalení a dobu brzdění. (0,875ms-2; 17,1 s)
5. Těleso bylo vrženo svisle nahoru počáteční rychlostí 20 ms-1. Současně z výšky, kterou toto těleso maximálně dosáhne, začne padat svisle dolů druhé těleso se stejnou počáteční rychlostí. Určete čas, vzdálenost od povrchu Země a rychlosti obou těles v bodě jejich střetu.
(0,5 s; 8,75 m; 15 ms-1; 25 ms-1)
6. Rychlost pohybu dešťových kapek střední velikosti za úplného bezvětří je 8ms_1. Určete rychlost větru, když směr pohybu kapek svírá se svislým směrem úhel 40°.       (6,71 ms-1)
7. V řece široké 200 m se pohybuje loď z jednoho břehu na druhý. Pod jakým úhlem ke své dráze musí vyrazit, aby se pohybovala kolmo na druhý břeh? Rychlost proudu řeky vzhledem k břehu je 3ms_1, rychlost lodě vzhledem k vodě je 5ms_1. Jaký čas potřebuje loď k tomu, aby se dostala na druhý břeh řeky? (36,9°; 50 s)
8. Určete maximální výšku a délku letu střely, která byla vystřelena počáteční rychlostí 600 ms-1 pod elevačním úhlem 40°. (7440m; 35,5km)
9. Jakou počáteční rychlost musí mít signální raketa vystřelená z pistole pod úhlem 45 ° vzhledem k vodorovné rovině, aby vzplanula v nejvyšším bodě své dráhy? Zápalná šňůra hoří 6 s a odpor vzduchu zanedbejte. (84,9 ms-1)
10. Z děla byla vystřelena pod úhlem 45 ° koule, která dopadla za 12 s do místa vzdáleného 1 km. Jakou rychlostí byla koule vystřelena? Určete nejvyšší polohu trajektorie koule a dobu, za kterou se do tohoto místa dostala. (118 ms-1; 347 m; 8,33 s)
11. Dokažte, že umístíme-li dělo na skalní útes ve výšce h nad vodorovnou rovinou, vzroste jeho dostřel při elevačním úhlu a o hodnotu
2
Vn sin a
kde do je dostřel děla při temže elevačním úhlu, když se dělo nachází na vodorovné rovině.
1
12. Kotoučová pila se otáčí rychlostí 20 otáček za sekundu a její průměr je 100 cm. Určete periodu, úhlovou rychlost a řeznou rychlost pily. Řezná rychlost pily se rovná rychlosti bodů na obvodě. (0,05s; 130rads_1; 62,8ms_1)
13. Vypočtěte obvodovou a úhlovou rychlost kola automobilu, který jede rychlostí 108 kmh-1. Kolik otáček vykonají kola automobilu za 1 s, jestliže při jednom otočení kola ujede automobil vzdálenost 2m? (SOms"1; 94,2rads"1; 15)
14. Letadlo letí rychlostí 50 kmh-1. Vrtule při jedné otáčce vykoná posuvný pohyb po dráze 4,8 m. Vypočtěte úhlovou rychlost vrtule. (18,2 radš-1)
15. Kolo traktoru má průměr 120 cm. Jeho úhlová rychlost je 8,5 radš-1. Určete jakou rychlostí vzhledem k zemi se pohybuje nejvyšší a nejnižší bod obvodu kola a jeho střed.
(10,2ms"1; Oms"1; ô^ms"1)
16. Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru r = 0,1 m tak, že jeho úhlová souřadnice (v radiánech) je dána vztahem
ip(t) = 2 + 4Í3,
kde t je čas měřený v sekundách.
(a) Jaké je dostředivé zrychlení an tohoto bodu v čase t = 2 s? (230 ms~2)
(b) Jaké je jeho tangenciální zrychlení at v temže čase? (4,8 ms-2)
(c) Při jaké hodnotě <p bude jeho celkové zrychlení svírat s průvodičem úhel 45 °? (| rad)
17. Pohyb hmotného bodu je popsán polohovým vektorem
r(t) = (3cos(5í); 3sin(5í); 2í),
kde r je v metrech a t v sekundách. Určete okamžitou rychlost a zrychlení v libovolném čase t a načrtněte zmíněný pohyb.
18. Hmotný bod koná pohyb po kružnici s poloměrem R = 20 cm se stálým úhlovým zrychlením e = 2radš-2. Vyjádřete závislost polohy bodu a velikosti obvodové rychlosti na čase. Vypočítejte tečné a normálové (tj. dostředivé) zrychlení a polohu bodu na konci 4. sekundy, když na počátku byl hmotný bod v klidu v bodě popsaném úhlovou výchylkou <p = ^rad.
(0,4ms"2; 12,8 ms"2)
19. Vypočítejte dráhu, kterou urazí hmotný bod konající rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici o poloměru R za čas t, znáte-li jeho úhlové zrychlení e a počáteční úhlovou rychlost
UJ0.
2
Dynamika
1. Vlečka traktoru o hmotnosti 21 se má posunout po vodorovné dráze. Jakého zrychlení dosáhne, když ji posunují 4 dělníci a každý z nich na ni působí silou 500 N? (1 ms-2)
2. Těleso, na které působí síla 0,02 N a které je na začátku v klidu, urazí za 4 s dráhu dlouhou 3,2 m. Určete hmotnost tělesa, rychlost (po 5s) a dráhu, kterou urazí za 5s.
(0,05 kg; 2ms"1; 5m)
3. Jaká síla mimo tíhovou musí působit na padající těleso o hmotnosti 2 kg, aby se jeho rychlost zvýšila ze 2ms_1 na 20 ms-1 za čas 1,5 s? Odpor prostředí zanedbejte. (4N)
4. Na nakloněné rovině s úhlem sklonu a (vzhledem k horizontální rovině) klouže těleso. Součinitel smykového tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou je /i. Stanovte zrychlení tělesa.
5. Těleso na konci nakloněné roviny s úhlem sklonu 30 ° získalo jen poloviční rychlost, než kdyby se pohybovalo po nakloněné rovině bez tření. Určete součinitel smykového tření. (0,433)
6. Jaký je součinitel smykového tření mezi tělesem a vodorovnou rovinou, pokud se těleso o hmotnosti 225 kg, které se pohybovalo počáteční rychlostí 42kmh_1, zastavilo působením tření na dráze 48 m? (0,145)
7. Těleso klouže dolů po rovině skloněné pod úhlem a = 45° se zrychlením 2,4 ms-2. Pod jakým úhlem P musí být nakloněna tatáž rovina, aby těleso na ní klouzalo konstantní rychlostí?
(33,2°)
8. Dráha tělesa o hmotnosti 2 kg, které se pohybuje po ose x, je dána vztahem
x(t) = 10í3 - 5í,
kde x je měřeno v metrech aív sekundách. Najděte sílu působící na těleso, která má za následek tento pohyb.
3
Kmity a vlny
1. Určete amplitudu a fázovou konstantu netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu po přímce, jestliže v čase ío = 0 s se hmotný bod vyznačuje výchylkou Xq = 5 cm a rychlostí vq = 20cms_1. Frekvence pohybu je / = 1 Hz. (5,93 cm; 1,00 rad)
2. Těleso kmitá harmonicky s amplitudou A = 0,12m a frekvencí / = 4Hz. Určete:
(a) maximálni hodnotu rychlosti a zrychlení, (3,02 ms"1; 75,8 ms-2)
(b) rychlost a zrychlení při výchylce y = 0,06m, (2,61 ms-1;-37,9ms-2)
(c) směr síly v bodě y = 0,06 m,
(d) čas t potřebný k tomu, aby se těleso dostalo z rovnovážné polohy do bodu o souřadnici y = 0,06 m. (20,8 ms)
3. Bylo pozorováno, že hmotný bod konající harmonický pohyb měl při výchylce 0,04 m rychlost 0,03 ms-1 a při výchylce 0,03 m rychlost 0,04 ms-1. Najděte amplitudu a úhlovou frekvenci pohybu. (0,05 m; 1 radš-1)
4. Těleso visí na pružině a kmitá s periodou T = 0,5 s. O kolik se pružina zkrátí, když těleso odstraníme? (6,33 cm)
5. Matematické kyvadlo se skládá z hmotného bodu a nehmotného závěsu. Délka závěsu je L = 30 m. Je-li hmotnému bodu udělena v rovnovážné poloze rychlost v0 = 0, 75 ms-1, jak velká bude úhlová amplituda kyvadla? Za kolik sekund urazí hmotný bod prvních 0,75 m?
(2,48°; 1,07 s)
6. Dva stejnosměrné harmonické pohyby o stejné frekvenci a amplitudách 5 cm a 6 cm se skládají v jeden harmonický pohyb o amplitudě 8 cm. Určete fázový posuv <j> skládaných kmitů.
(87,1°)
7. Určete rovnici Lissajousovy křivky vzniklé složením kmitů:
x(t) = Asm(ujt),      y(t) = 2Asm(2ujt).
8. Hmotný bod koná lineární harmonický pohyb s frekvencí 500 Hz a amplitudou výchylky 0,02 cm. Stanovte střední hodnotu rychlosti a zrychlení při pohybu z krajní do rovnovážné polohy. Určete rovněž hodnotu maximální rychlosti a maximálního zrychlení.
(-40CII1S-1; -126000cms"2; 62,8cms"1; 197000cms"2)
9. Určete amplitudu, vlnovou délku a rychlost postupné vlny:
(a) y(x,t) = 2sin(10ř- 5a;), (2m; 1,26m; 2ms"1)
(b) y(x,t) =0,4sin27r(8í-a;), (0,4m; 1 m; Sms"1)
(c) y(x,t) = 5sin0,257r(í-a;/6), (5m; 48m; ôrns"1)
kde x a y je v metrech a t v sekundách.
10. Určete frekvenci vlnění na vodní hladině, je-li délka vlny 2 cm a vlnění se šíří rychlostí 23cms"1. (11,5 Hz)
11. Vypočtěte vlnovou délku zvukového vlnění o kmitočtu 1 kHz, které se šíří ve vzduchu rychlostí 340 ms-1, ve vodě rychlostí 1440 ms-1 a v hliníku rychlostí 5100 ms-1, v těchto prostředích.
(0,34 m; 1,44 m; 5,1 m)
12. Zapište rovnici vlnění, které má frekvenci 1 kHz, amplitudu výchylky 0,3 mm a postupuje rychlostí 340 ms-1. Vektor rychlosti šíření vlnění je orientován nesouhlasně se směrem osy x.
4
13. Stanovte fázový rozdíl mezi dvěma body ležícími na přímce rovnoběžné se směrem šíření vlnění, je-li jejich vzájemná vzdálenost x^— X\ = 1, 7m. Rychlost šíření vlnění je c = 340ms_1 a perioda T = 0,002 s. (15,7rad)
14. Interferencí postupného a odraženého rovinného vlnění se vytvořilo ve skleněné trubici naplněné vzduchem stojaté vlnění. Vzdálenost dvou sousedních uzlů je 7 cm, rychlost šíření vlnění je c = 340ms_1. Určete frekvenci vlnění. (2430 Hz)
15. Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr kmitočtu blížícího se vozidla a kmitočtu vzdalujícího se vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4 (velká tercie)? Rychlost zvuku je c = 340ms_1. (136kmh_1)
5
Zákony zachování
1. Signalizační raketa o hmotnosti 60 g vystřelí 6 g plynu v jednom směru a získá tím rychlost 35 ms-1. Jaká je rychlost vystřelených plynů? (315ms_1)
2. Vozík s pískem o hmotnosti 10 kg se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí 1 ms-1. Proti němu je vržena koule o hmotnosti 2 kg rychlostí 7 ms"1. Koule uvízne v písku. Jakou rychlostí a jakým směrem se bude pohybovat vozík společně s uvízlou koulí? (| ms-1)
3. Neutron se čelně srazí s jádrem uhlíku g2C, které bylo původně v klidu. Srážka je ideálně pružná a neutron se odrazí od jádra v přesně opačném směru, než byl původní směr jeho rychlosti. Jak se změní jeho kinetická energie po srážce? Určete poměrem energie neutronu po srážce ku energii neutronu před srážkou. (lf§)
4. Pohybující se částice o hmotnosti m se srazila s částicí o hmotnosti M, která byla původně v klidu. Částice m se po srážce odchýlila o 90 ° a částice M o 30 ° od původního směru pohybu částice m. Jak se změnila kinetická energie soustavy po srážce A^kin , jestliže — = 5?
(-0,4)
5. Střela o hmotnosti 5 g byla vystřelena vodorovně do kostky dřeva o hmotnosti 3 kg, která ležela na vodorovné rovině. Střela v kostce uvázla a posunula ji po dráze 0,25 m. Určete původní rychlost střely, když součinitel smykového tření mezi kostkou a rovinou byl 0,2.
(601ms"1)
6. Střela o hmotnosti 20 g zasáhne rychlostí Vq = 400 ms-1 strom. Do jaké hloubky pronikne, jestliže průměrný odpor dřeva je roven F = 10 kN? (16 cm)
7. Těleso o hmotnosti 0,8 kg je vymrštěno svisle vzhůru. Ve výšce h = 10 m má kinetickou energii Ef-in = 200 J. Jaké maximální výšky dosáhne? (35 m)
8. Jaký je největší možný pracovní výkon vodního mlýnu poháněného vodou, která padá z výšky h = 10 m, když za jednu sekundu na něj dopadne 1501 vody? (15 kW)
9. Jaká je hmotnost automobilu, který se pohybuje po vodorovné cestě rychlostí v = 50kmh_1 při výkonu motoru P = 7kW? Koeficient tření je /i = 0,07. (720 kg)
6