Kapitola 10
Některé základní jevy v plazmatu
10.1   Elektronové plazmové oscilace
Pro studium charakteristických plazmových oscilací elektronů použijeme model studeného plazmatu, tj. nebudeme uvažovat tepelný pohyb částic a gradienty tlaku. Dále zanedbáme pohyb iontů a uvažujeme velmi malou perturbaci v koncetrace elektronů:
kde no je konstantní hustota elektronů a \nfe\ no. Podobně uvažujeme, že vzniklé el. pole E(r, ť) a průměrná rychlost elektronů ue(r, ť) jsou perturbace prvního řádu, takže můžeme použít linearizované rovnice - linearizovanou rovnici kontinuitv a rovnici hvbnosti
V rovnice hybnosti jsme předpokládali, že změna momentu hybnosti elektronů v důsledku srážek je zanedbatelná. Za předpokladu jedenkrát ionizovaných iontů je hustota náboje
p(r, ť) = -e [no + n'e(r, ť)] + en0 = —en'e(r, í), (10.4
kde jsme předp. konstantní a homogenní hustotu iontů rovnou uq. Proto
V • E(r, t) = = --<(r, t) (10.5
Rovnice (10.2),(10.3) a (10.5) tvoří kompletní sadu, kterou je třeba vyřešit pro neznámé nfe(r,t), ue(r, í) a E(r, ť). Uděláme divergenci (10.3), abych ji mohli dosadit do (10.2"
dt2 me
Kombinujeme (10.5) a (10.6), abychom vyloučili V • E
d2n^t) en0
dt2 pe eV '
kde
2 \ 1/2
Wpe = ( — 1 (10.8
mee0
se nazývá elektronová plazmová frekvence. Rovnice (10.7) ukazuje, že n'e(r, t) se mění harmonicky v case s plazmovou frekvencí
n'e(r,t) = n'e(r) exp(—iujpet) (10.9
Všechny perturbace prvního řádu se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí ujpe. Abychom to dokázali, je vhodné začít s předpokladem, že se tyto veličiny mění harmonicky v čase jako exp(—iuot Rovnice (10.2) a (10.3) jsou pak
i
n' =--n0V • ue (10.10
OJ
le
ue =--E, (10.11
což můžeme zkombinovat jako
e 9
luzme
Nahrazením tohoto výrazu pro nfe do (10.5) dostáváme
.2
p
,2
< = -^-V-E. (10.12
1-^IV-E = 0. (10.13
Netriviální řešení této rovnice vyžaduje uo = oupe. Perturbace navíc nemění fázi v prostoru, takže se nešíří žádná vlna a oscilace jsou stacionární a podélné (rychlost ve stejném směru jako pole).
Elektronové plazmové oscilace mají také elektrostatický charakter. Uvažujme Maxwellovy rovnice rotace
VxE = 2íjB (10.14
VxB = //0(J - iuje0E) (10.15
Hustota el. proudu je
mne2
J = -en0ue = —-—E (10.16
kde jsme použili (10.11) pro ue. Proto
V x B = -iuj/i0e0erE (10.17)
kde definujeme relativní permitivitu
er = 1 - (10.18) V případě el. plazmových oscilací uj = upe, takže er = 0 a (10.17) se redukuje na
V x B = 0 (10.19)
Protože rotace gradientu je rovna nule, můžeme psát
B = Vi/j (10.20)
kde ijj je magnet, skalární potenciál. Dosazením (10.20) do (??) a divergencí obou stran dostáváme Lablaceovou rovnici
V • (Vtp) = VV = 0 (!0-21) Jediné řešení této rovnice, které není singulární a konečné v nekonečnu je ijj = konst., takže B = 0.
Elektronové plazmové (Langmuirovy) oscilace jsou tedy stacionární, podélné a elektrostatické. Pokud by se uvažovala existence gradientů tlaku a sada rovnic doplnila adiabatickou rovnicí energie, staly by se tyto oscilace šířícími se vlnami (vlny prostorového náboje nebo také Langmuirovy vlny).
10.2   Problém Debyeovského stínění
Uvažujme vliv el. pole přidané nabité částice. Testovací částice nechť má kladný náboj +Q. Zvolíme sférické souřadnice. Zajímá nás el. potenciál <f>(r). Blízko částice bude ne(r) a ni(r) mírně odlišné,
zatímco ve velkých vzdálenostech elstat. potenciál mizí ne(oo stav a konzervativní pole
E(r) = -V0(r
a platí
ne{r) = no exp
e<p{r ~kŤ
nu r) = no exp
eo r
kde předpokládáme stejnou elektronovou i iontovou teplotu T. Celková hustota náboje p(r) včetně testovacího náboje Q
p(r) = -e [ne(r) - n^r)] + Q č(r
kde 8(r) je Diracova delta funkce. Použitím (10.23) a (10.24
-eno < exp
e<p(r ~kŤ
exp
e© r
Substitucí (10.22) a (10.26) do následující Maxwell, rce
V • Efr) =
Pír
dává
eno
exp
e<p(r
exp
eo r
+ Qč(r
=--o(r
= ni(oo) = no. Protože jde o ustálený
10.22
10.23
10.24
10.25
10.26
10.27
10.28
která umožní vyjádřit elstat. potenciál cf)(r]
Abychom mohli postupovat analyticky, předpokládáme, že rušivý náboj je slabý, takže potenciální energie je mnohem menší než střední tepelná energie
eó(r) < kT
10.29
Za těchto předpokladů
exp
±-
a tedy
kde Ad je Debyeova délka
V2o\v
eo[v ~kŤ
2
~ 1±
A
e<p\r
Q
10.30
r(r) =--ó(r
(10.31
d
D       V n0e2 / ^pe V me
1/2
Protože problém má sférickou symetrii, elstat. potenciál závisí jen na velikosti r. Vztah může přepsat (pro r ^ 0) jako
10.32 10.31) se
1 d
r
2 (jr
' 2d r — 0(r
ar
2
(r) = 0
(10.33
Abychom to vyřešili, uvědomme si, že el. pole izolované částice je
E(r) = -±-%t
v 7 47re0r2
10.34
takže elstat. Coulombovskv potenciál
1 Q
'c M =--- (10.35
Aneo r
Ve velmi těsné blízkosti testovací částice má být potenciál přibližně stejný jako okolo textovací částice ve vakuu. Takže je vhodné hledat řešení v tomto tvaru.
r) = óJr) F(r) = -9-^1 f 10.36
47T€o r
kde F(r) —> 1 pokud r —>• 0. Dále se vyžaduje, aby pro r —>• oo. Substitucí předpokládaného
tvaru potenciálu (10.36) do (10.33)
á2F(r)     2 N
-ď^ = Äf(r) <10-37
Tato jednoduchá diferenciální rovnice pro F(r) má řešení
F(r) = A exp ^^^j + Bexp ^-^"j • (10-38
Podmínka, že <j)(r) vymizí pro velké hodnoty r vyžaduje A = 0. Podmínka, že F(r) se blíží jedniččce pro r jdoucí k nule vyžaduje B = 1. Řešení rovnice (10.33) je tedy
#r) = *,(r) exp = ^ exp . (10.39)
Tento výsledek je všeobecně známý jako Debyovský potenciál, protože toto řešení bylo poprvé ukázáno pány Debye a Huckel v jejich teorii o elektrolytech. Z tohoto řešení vyplývá, že <j)(r) je mnohem menší než Coulombovský potenciál, jestliže vzdálenost r překročí vzdálenost Ad, nazývanou Debyova délka.
Náboj Q je neutralizován rozložením náboje v okolí. Z (10.26) a (10.30) dostáváme hustotu náboje ve tvaru
p{r) = ^^l + QS(r). (10.40
Dosazením <j)(r) Debyovského potenciálu (10.39) dostáváme
Q (y/2
r
ŕ(r) = -^exp -~l+0<5(r)- (10'41
Celkový náboj zísáme integrací přes celý prostor
& J o   r 6XP l AD
& = / / / P(r) d3r = -^2" /   " exP I 1 4yrr2 dr + Q III ô(r) d3r (10-42
První integrál je roven —Q zatímco druhý dává +Q. Celkový náboj je tedy qt = 0. Měli bychom si uvědomit, že Debyevský potenciál se stává zancně velký pro r —> 0 a podmínka
e0(r) <C /cT již zřejmě není splněna. Abychom ověřili platnost této aproximace a tedy vztahu (10.39), poznamenejme, že za použití (10.39) pro Q = e máme
ecf) _ e2exp (-y/2r/XD) _ AD exp (-y/2r/XD)
kT 47Te0rkT 3NĽ r
kde ATd je počet částic v Debyově sféře. Protože tento počet je v plazmatu velmi velký, je zřejmě, že poměr e<j)/kT < 1 s výjimkou r < Xd/Nq. Musíme se tedy omezit na vzdálenosti od testovací
částice větší než X^/Ne,
1 Q   ( i\
r) =---exp (—ry Ad
47T<Eo r
10.2.1   Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice
V • V/e + — (V<f>
V„/e = 0
v-V/,
e
V0) • Vvfi = 0
na(r) = / fa{r1v)á3v
J v
p(r) = -e í(/e - /ť) d:iv + Qá(r) V*<t> " - /(/e " /i) d3^ = -^í(r
čO e0
/«(r, v) = Ío«(^)exp
kT
Vló--
e
exp
e<j) kŤ
f0ed3v - exp
e<j>
kT
Q*( —ó(r
eo
no=    f0a(v)á3v     a = e,i
J v
10.44
O1! č
-e-
<i3
X
CD
CD
o
<i3
o
-e-
CM >
10.2.2   Stěnová vrstva
Když je nějaký pevný povrch vnořen do plazmatu, získává automaticky záporný náboj, a tedy záporný potenciál vzhledem k plazmatu. Blízko tohoto povrchu je tzv. stěnová vrstva, v níž je rozdílná hustota elektronů a iontů. Uvnitř stěnové vrstvy roste potenciál monotónně ze záporné hodnoty u stěny až na hodnotu plazmového potenciálu. Tloušťka vrstvy, v niž není splněna kvazineutralita je řádově rovna Debyově délce.
Řešení problému silně závisí na geomterii. Ukážeme si aproximativní řešení pro nekonečnou plochu
Nabité částice, které dopadají z plazmatu na stěnu, jsou většinou ztraceny. Ionty rekombinují a vrací se do plazmatu jako neutrály. Elektrony buď rekombinují nebo vstupují do vodivostního pásu pevné látky, pokud jde o kov. Již dříve jsme odvodili, že tok částic na jednu stranu desky, je v případě izotropní rozdělovači funkce dán vztahem:
x = 0.
Fyzikální mechanismus jejího vzniku
kde (v)a]e střední
rychlost částic a. Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení jsme zjistili, že
a tok částic je tedy
Je zřejmé že, pokud je hustota elektronů a iontů stejná, tok elektronů na plochu značně převýší tok iontů protože člen ^jTe/me je mnohem vyšší než ^jTi/rrii. Pro nejméně hmotný iont, tj. iont vodíku, je me/mi = 1836. Proto stěna v kontaktu s plazmatem rychle akumuluje záporný náboj, protože na počátku na ni dopadne mnohem více elektronů. Záporný potenciál začne elektrony postupně odpuzovat až se tok elektronů a iontů vyrovná a stěna získá záporný potenciál, který se nazývá plovoucí
Záporný potenciál na stěně
Chceme odhadnout potenciál na stěně v ustáleném stavu, kdy se vytvořila stěnová vrstva. Tento potenciál pro x = 0 označíme
'0) = </>w. (10.48
Referenční potenciál v nekonečnu:
oo) = 0. (10.49
Elektrony a ionty budou v termodynamické rovnováze, mají teplotu T, a působí na ně pole konzervativních sil nabité desky. V x —> oo je plazma neporušené a jeho hustota je uq. Platí tedy
e<pir
ne(r) = n0 exp ( ) , (10.50
rii(r) = n0exp ( ~—jt^ ) • {10.51
V těchto vztazích nebereme v úvahu driftovou rychlost částic, ačkoliv nabité částice jsou na stěně ztraceny, takže musí existovat jejich ustálený tok vyrovnávající hustotu. Později, když budeme apro-
ximativně studovat vnitřní strukturu stěnové vrstvy pomocí hydrodynamických rovnic, vezmeme tuto driftovou rychlost do úvahy.
Jedna z okrajových podmínek problému je skutečnost, že v ustáleném stavu se nesmí měnit potenciál stěny, takže
Je(0) = J,(0). (10.52
Použijeme rovnice (10.47), (10.50) a (10.51
'exp   %W-exp ř-^l, (10.53
mP      \ kT       V rrii      \ kT
což přepíšeme jako
i   2e^\      jmi (
exp("^ =V^ (ia54
kTX In f ^ I . (10.55
a dále
Ačkoliv jsme udělali zanedbání driftové rychlosti, tento výsledek souhlasí s přesnějším odvozením pro případ Te = Ti.
Poznamenejme, že velikost potenciální energie blízko stěny \ecj)w\ je stejného řádu jako střední tepelná energie částic v plazmatu, neboť
\ecf)w\     1,   / rn
= -ln   —   . 10.56 kT     4    \meJ v
Např. pro vodíkový iont je tento poměr roven dvěma, zatímco pro těžší ionty se blíží třem.
Vnitřní struktura stěnové vrstvy
Abychom něco zjistili o vnitřní struktuře stěnové vrstvy vezmeme do úvahy rovnici zachování částic a hybnosti pro elektrony a ionty za ustálených podmínek a s prostorovou závislostí pouze ve směru osy x. Rovnice kontinuity zapíšeme pro a = e, i
d(naua)        dua dna
= nn—--V u„—— = 0.
, _ ,       ~. ,10.57
dx áx áx
V rovnici hybnosti zanedbáme viskózni jevy, takže aproximujeme tenzor tlaku skalárem. Použijeme ideální rovnici plynu pa = nakTai abychom zavedli teplotu, o které předpokládáme, že je konstantní. Zanedbáme srážky, protože tkoušťka stěnové vrstvy je mnohem menší než střední volná dráha částic. Za těchto předpokladů, bez magnetického pole a uvážíme-li E(r) = — V0(r), D/Dt = d/dt + uJphaV = uad/dx
du
a
kTrvdn
dcf)
áx        na áx     ^a dx Pro zjednodušení ještě uděláme dvě aproximace. Ze vztahu (10.57) máme
dna       rirv dur
10.58
dx
Pak můžeme poměr levé strany rovnice (10.58) a prvního členu její pravé strany vyjádřit jako
10.59
Tnaua dx		
		
	na dx	
kT,
10.60
Dvě aproximace, které uděláme:
• pro elektrony zanedbáme levou stranu (10.58), tj. setrvačnost elektronů:
kTeáne dej)
e— = 0 (10.61
ne dx dx
• pro ionty zanedbáme 1. člen na pravé straně (10.58), tj. jejich teplotu:
dui     dá _ mlul—1 + e-r- = 0 (10.62 dx dx
Podle poměru (10.60) jsou tyto dvě aproximace splněny pouze pokud tepelná energie elektronů je mnohem větší než jejich kinetická energie a pokud tepelná energie iontů je mnohem menší než jejich kinetická energie, tj.
meu2e     kT <^ rriiU2. (10.63
Tento předpoklad dokážeme později.
Pro elektrony integrujeme (10.61) a dostáváme
e<j)(x) = kT\nne(x) + (konst). (10.64 Za předpokladu, že ne = rii a pro 0 = 0 máme
ne(x) = n0 exp y~jT^rJ • (10-65
Tento výraz je identický k (10.50), což není překvapující, protože podmínka meu2e kT odpovídá zanedbání setrvačnosti elektronu (me = 0) a následně jeho kinetické energie.
Pro ionty nejprve integrujeme (10.57) a dostáváme
nAx)uAx) = C\. (10.66
e<l)(x) + -rriiUi(x) = C2, (10.67
Pak integrujeme (10.62) a máme
1
2
kde Ci a C2 jsou konstanty. Okrajové podmínky vyžadují, že pro že pro x —> 00 musí 0(oo) = 0, nj(oo) = no a i^(oo) = uqí. Takže
l
Q = n0uoi]      C2 = -rriiuli (10.68
a využitím těchto rovností v (10.66) a (10.67) dostáváme
rii(x)ui(x) = n0u0t, (10.69
1 1
e0(x) + -mlu^(x) = -mlult. (10.70 Tyto dvě rovnice můžeme zkombinovat, abychom eliminovali Ui{x^ a získali rii{x)\
ni{x)=nJl-2-^] \ (10.71
Tento vztah se podstatně liší od vztahu (10.51) pro rii(x), protože se projeví vliv driftové rychlosti iontů. Odtud pak vyplývá, že rii{x) ve stěnové vrstvě, kde plattí (j>{x) < 0, pomalu klesá ačkoliv vztah (10.51) předpovídal růst. Fyziálně to znamená, že záporný potenciál na stěně zvyšuje Ui(x), jak se ionty ke stěně přibližují, a protože tok iontů rii(x)ui(x) musí zůstat podle vztahu (10.69) konstantní, musí se rii(x) snižovat. Ttot chování je znázorněno na obrázku.
Abychom dostali rovnici pro potenciál <j)(x) dosadíme (10.65) a (10.71) do Poissonovy rovnice
V20 = — (ne - ni) (10.72
e
a dostáváme
d2(f)
n0e
1-1
2
dx2
exp
(10.73)
Musíme nějak určit uoí daleko od stěny. Navíc je rovnice nelineární, takže abychom ji mohli analyticky vyřešit, je nutné udělat další aproximaci. Viděli jsme, že | ecf) | nabývá hodnot od nuly (v plazmatu) do hodnot řádu kT (na stěně). Dále jsme předpokládali, že je rriiU^ větší než kT. Proto se budeme zabývat jen oblastí blízko hranice plazma-stěnová vrstva a předpokládat dále, že | ecf) | je malé ve srovnání s kT i ra^i^. Proto můžeme nahradit členy na pravé straně (10.73) pro ecf>/kT < 1 a e0/(m^Qi 1 vztahy
a diferenciální rovnice se zjednodušuje na
d2(f)
dx2
X2
kde
A je konstanta. Protože jsme předpokládali, že kT <C rajC/d, je X reálné číslo přibližně rovné Xp.
Z řešení rovnice vyplývý, že absolutní hodnota (j)(x) exponencielně klesá (protože je A záporné, (j)(x) vlastně roste), jak se pohybujeme stěnovou vrstvou směrem k plazmatu a asymptoticky se bliží k
řečeno platné jen pro hranici plazma-stěnová vrstva, ale pokud bychom jej extrapolovali až na stěnu s okrajovou podmínkou 0(0) = <j)w, platí A = <j)w.
tzv. Bohmovo kritérium.
Určit potenciál na stěně za použití hydrodynamických rovnic není triviální záležitost. Všechny přibližné metody navržené pro případ Te = T dávají řešení (??) již dříve odvozené za velmi zjednodušených předpokladů. Navíc neexistuje konzistentní způsob jak určit driftovou rychlost iontů pro x = oo, ale můžeme ji aproximovat následovně. Tok iontů musí být konstantní, takže se rovná uqUqí toku na stěnu. Odtud
nule. Protože X ~ A^, dějí se tyto variace na vzdálenostech řádově Debyovy délky. Řešení je striktně
Podobně pro elektrony
a použitím (10.53)
UQe — uqí
(10.82)
Ještě bychom měli ověřit platnost předpokladu (10.63). Tok částic na(x)ua(x) je konstantní pro všechna £ a je roven noUo. Z (10.65) vidíme, že minimální hodnota ne(x) je no exjp(e(/)w / kT), protože je záporné. Proto
a s použitím (10.81
ite = — u0e < u0eexp —— (10.83,
27rme
nebo
kT
uP<\l-- f 10.84'
kT
> 2tt (10.85'
meu2e
v souhlasu s (10.63). Podobně pro ionty
Ui = —uot > uot (10.86'
n
«i> \\ — expf-^ I (10.87;
^<2^expf^ |^0,1 (10.88;