Kapitola 11 Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen Odvodíme Boltzmannův srážkový člen pro binárni srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizo-^ vané plazma. Coulombovské interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen. 11.1 Boltzmannova rovnice 11.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu Srážk. člen (ófa/ót)^^ představuje změnu rozděl, fce v důsledku srážek. Jde o bilanci částic ANa uvnitř objemového elementu d3rd3v kolem (r, v) za cas dt Je výhodné separovat ANa do dvou částí ANa = AN: - AN-, (11.2) kde AAT+ označuje přírůstek částic ležících v d3r1 které mají po srážce rychlost ležící v objemu d3v a AN~ označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d3v. Vyjádříme AiV~. Uvažujme částice ležící v d3r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d3v\ kolem v]_. Uvažujme, že jde o částice j3 a jejich tok dopadající na částice a je r> = //?(r, vi,í)dV|vi - v| = f(3(r,v1,t)d3v1g. (11.3) Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu dt je Fpbdbdedt = fp(r7vl7t)d3vigb db de dt, (H-4) kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b+db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas dt je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic j3 se všemi částicemi a ležící v d3rd3v kolem (r, v) za cas dt je dán součinem /a(r, v, t)d3rd3vfp(r7 vi, ť)d3v\g b db de dt. (H-5) Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu a(r, v, ťj //?(r, vi, ť). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci => molekulární chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací Podobně vyjádříme Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní rychlostí v d3v' kolem v' sráží s částicemi j3 majícími původní rychlost z d3v[. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi /g(r, vi^d3^''bdbdedt. (11.7 Potom AN+= fa(r,vf,t)d3rd3vfdtJ2 f í Í'//?(r,vi,í)d3^'bdbde. (11.8 Víme, že g' = g = |vi — v| a z teorie Jakobiánu d3v'd3v[ = \ J\d3vd\. (11.9 V následující podkapitole ukážeme, že \J\ = 1, takže d3vfd3v[ = d3vd3vx. (11.10 Vztah (11.11) můžeme tedy zapsat jako AN+= fa(r,v',t)d3rd3vdtJ2 f í í fpir^v^^d^gbdbde. (11.11 P J v\ J b J e Nyní zkombinujeme výrazy pro AN~ a A7V+ a výraz bdbde nahradíme výrazem a(£Í)dQ,, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál ôfa\ {AN+-ANC Ót 'srazk V (Prďvdt 11.12 kde jsme použili označení o J vi J Q f'a = fjr, v', ŕ) (11.13 f'pi = M',W,t) (11.14 /„ = /„(r,v, ť) (11.15 //n = U(r,vi,t) (11.16 11.17 Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako ^ + v • V/a + a • V„/a = E / ~ fafm)> jejich rozděl, fce není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní • za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fce je homogenní a izotropní 11.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu Označíme (v, 0, 6) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v, i) na a 6 velmi malá, takže je možné rozvinout /(r, v, t) v řadu podle úhlových rychlostních souřadnic ) v 0: kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje. • První člen v (11.32) odpovídá m = 0an = 0, a protože P0°(cos^) = 1? Je roven /oo(r, v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fce odpovídající rovnovážnému stavu. oo oo /(r,v, m=0 n=0 • Člen s m = 1 a n = O se rovná nule, protože Po(cos 0) = 0 • Další vyšší člen je pro m = 0 a n = 1, přičemž Pf^cos 6) = cos 0, takže je to /oi(r, ^ ť) cos 6 Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové členy rozvoje v • vz /(r, v, ť) = /00(r, v, t) +-/0i(r, v, ť), (11.33 v kde jsme cos# nahradili výrazem (v • vz)/t; 11.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu Boltzmannův srážkový člen je dán vztahem (11.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako ^)srazk= / // (fXl-fefnJgbdbdeďvu (11.34 kde jsme a(íí)díl nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a fn je izotropní rovnovážná rozděl, fce neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy vi = vi = 0 (11.35 fnl = fnl (11-36 a rovnici (11.34) přepíšeme jako ^/e\razk= í fnlďv! í de í (fe-fe)9bdb. (11.37 St 'vl JO JO Protože hustota neutrálních částic je nn= / fmd\ (11.38 dále upravíme f«27T /sraz Sfe St Rozdělovači fce pro elektrony před srážkou je r2n roo k = nn de (fe- fe)gbdb. (11.39 Jo Jo U = fe(r, v, í) = /00(r, v, t) + ^p/oi(r, v, ť) (11.40 a po srazce /i = /e(r, v7, í) = /00(r, v\ t) + -^/oi(r, t/, ť) = (11.41 v' • vz = /oo(r, v, í) +-/oi(r, v, ť). v V posledním vztahu jsme předpokládali, že v' = t;, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutrály jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme vf — v) - v, fé-fe = --Voi(r,t>,í). (11.42 v Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu, takže V - v) • vz = (g' - g) • vz = g(cosx~ 1) = ^(cosx - 1), (11-43 kde x je rozptylový úhel (úhel mezi gag'). Dosazením (11.43) do (11.42) dostáváme f e ~ f e = "(I " cosX)joi(r,M), (11.44 takže srážkový člen můžeme zapsat jako '-^)srazk = -nngf0i(r, v,t) J dej (1 - cosx)bdb. (11.45 Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako am= / (1 -cosx)o-{tydtt = / de (1 - cos x) b db (11.46 Jn Jo Jo můžeme (11.45) psát takto (^)co// = -nngamf0i(r,v,t). (11.47 Pokud substituujeme foi(r7v7t) v (11.47) pomocí (11.41) a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v • vz)/v = (g • vz)/g = 1, pak (-fif)coll = -nn V 0~m{fe ~ feo) = ~Mv)(fe ~ /eo), (11.48) kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti vr(v) = nnvam a /0o byla nahrazena symbolem /e0, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (11.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti. 11.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek Podle definice srážkového členu Ae v transportní pohybové rovnici máme (11.49) Dosadíme (11.48) a dostáváme Ae = -me / vr(v)vfe(řv + me \ isr(v)vfe0<řv. (11.50) Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj. kde ue je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici. 11.3 Fokker-Planckova rovnice Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým deflekčním úhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým úhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a f3. mame 11.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu 1 0^ +- d^AviAVj>>9 a^dn d3yi d3y-' ij 1 3 Veličina x(v) Je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je X(v)(^)srazk d3v = jf jf J{fJ'fil - fafa)x9v(V) díl d\ d3v = (11.53 / / /Ui3i(x' - X)ff^(fi) dVd3Vl d3v ? kde x' = x(v') Je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát v' = v + Av, (11.54 kde A v je malá veličina. Protože X' = x(v') = x(v + Av), (11.55 můžeme rozvinout %' do Taylorovy řady X(v + Av) = X(v) + £ + \ £ äg^*AWj + • • • (H.56 Dosazením (11.56) do (11.53) dostáváme A/^ j3 ľ ľ ľ r n /Y^ dX kde jsme zanedbali vyšší členy rozvoje. Nyní se musíme snažit vyloučit libovolnou fci %. Integrujeme jedenkrát per partes první skupinu integrálů obsahující dx/dvi a dvakrát per partes druhou skupinu obsahující d2x/{dvidvj). Pro x-komponentu první skupiny integrálů obsahujících dx/dvi máme Í í í^j^Avxfa(v)fpi{v1)ga{n)dnd3v1d3v = (11.58 jaJ[Jv dv^dvS^ dvx(v'x - vx).fa{w)go(Q) dtt]/,^) d\. Ve členu v hranaté závorce můžeme substituovat dV = ^^dvx (11.59 ovx a U=(v'x-vx)fa{v)ga(Q)dn (11.60 a integrovat přes vx per partes, takže dostáváme dvx(v'x - vx)fa{v)ga(n) dQ = (11.61 d X(v)^[« - vx)fa(v)ga(Q) dtt] dvXl kde integrovaný člen je roven nule, protože / musí jít k nule pro ±oo. Takže integrál (11.58) je ■A^/Q(v)/^(vi)^(fi) dtt d3Vl d3v = (11.62 ^lAvJ^f^ga^dQd3- <*-'nJvi J v avx x(v)-^-[Avxfa(v)ga(Q) díí]/^) d\ d3v. Podobným způsobem integrujeme per partes ostatní integrály v (11.57) a dostaneme srážkový člen v tomto tvaru X(^)srazk dřv == - J j j X ^[^ifag