Kapitola 5 Rovnovážný stav 5.1 Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu Předpokládejme • pouze jeden druh částic • Fgxí = 0 • homogenně distribuované částice • časově nezávislé řešení BKR I) -» i» / sraz Později odvodíme výraz pro rovnovážnou rozdělovači funkci pomocí Boltzmannova srážkového integrálu, ale nyní budeme jednoduše pracovat s obecným principem detailní rovnováhy tak, jak se používá ve statistické fyzice. 5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky Za rovnovážných podmínek je pravděpodobnost výskytu jakéhokoliv fyzikálního jevu rovna pravděpodobnosti jevu inverzního (kompenzace). fh<řv<řVl = f'f[£v'd\\ (5.2) a protože můžeme dokázat, že d3vd3v\ = d3v'd3v[ dostaneme /(v)/i(v!) = /'(v')/í(v'i) (5-3) Předpoklad, že rychlosti částic nejsou korelované je tzv. předpoklad molekulárního chaosu. Dobře platí pokud hustota plynu je tak malá, že střední volná dráha je větší něž charakteristický dosah sil mezi částicemi. Ačkoliv toto obecně není případ plazmatu, experiment ukazuje, že Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce je často použitelná. 5.1.2 Sumační invariant Je výhodné zavést koncept sumačního invariantu srážky: X(v) + x(vi) = X(v') + x(vi) (5.4 Ze zákona zachování hmotnosti, hybnosti a energie získáváme tyto sumační invarianty: m + mi = m + mi (5.5 mv + raiVí = mv' + miv[ (5.6 \mv2 + \m\vl = ]-m(v')2 + ]-mi(v'i)2 (5.7 Zj Zj Zj Zj (5.8 5.1.3 Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce Použijeme přirozený logaritmus na rovnici (5.3) ln / + ln f, = ln /' + ln f[ (5.9 ln / je sumační invariant srážkového procesu lineární kombinace sumačních invariantů m, mv a mv2/2: ln / = m(ao + ai • v — a2^2/2), (5.10 kde ao, ai = a\xx + a^y + a\yy a a2 jsou konstanty. In / = m[a0 + (a\x + a\y + a\z)/(2a2)] - -ma2[(vx - aix/a2)2 + (vy - aiy/a2)2 + (vz - au/a2)2 l = m[a0 + a\/(2a2)] - -ma2(v - ai/a2)2 (5.11) a definujeme konstanty lnC = m[a0 + a?/(2a2)] (5.12) v0 = ai/a2, (5.13) takže / = Cexp[-Íma2(v-v0)2], (5.14) což je Maxwell-Boltzmannovo nebo Maxwellovo rozdělení. 5.1.4 Určení konstatních koeficientů Při určení pěti neznámých konstantních koeficientů v Maxwellově rozdělení vycházíme z n = í fd3v (5.15 Jv u = < v >= - / fvd3v (5.16 -nkT = -nm < V2 >= \m [ fV2d3v. (5.17 2 2 2 v Následně dostáváme Uvědomme si, že n a T jsou konstanty nezávislé na r at. 5.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce Často sice nejsme ve stavu termodynamické rovnováhy, ale velmi blízko. Dobrou aproximací je pak zavedení lokální Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce 5.2 Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce Předpokládáme, že u = 0 nebo se pozorovatel pohybuje střední rychlostí plynu => v = V: 5.2.1 Rozdělení komponenty rychlosti g(vx)dvx = f(v)dvxdvydvz (5.21 Jvv J V 7 Jy u UZ a dosazením M.-B. rozdělovači funkce 2kT ' ~"~z' 5.22 Každý integrál je roven (2nkT/m)1^2, takže 9(vx)dvx = n 1/2 exp dvx (5.23 každá komponenta rychlosti ma Gaussovské rozdělení, které je symetrické kolem < v% >= 0 pro i = x7y7z. Ale < vf > je kladné a vyjadřuje disperzi < u2 >=- í g(vi)Vidvi = —. (5.24 n J-oo m Tento výsledek je v souladu s ekvipartičním teorémem 1 1 -mvf = -kT (5.25 2 1 2 v 5.2.2 Rozdělení rychlostí Protože M.-B. rozdělení je izotropní, můžeme definovat rozdělení rychlosti v = |v|. Přejdeme do sférických souřadnic (ŕ v = v2 sin 6d6d(f). (5.26 Rozdělovači funkce rychlostí F (v F(v)dv= / f (v) v2 sin 9d9d(f)dv (5.27 a tedy 5.2.3 Střední hodnoty související s rychlostí molekul Střední hodnota rychlosti 1 ľ 1 f°° < y >= - / /^ři3^ = - / F(v)vdv (5.29 ^ A n Jo a po výpočtu < v >= (SM1/2(kT/m)1/2. (5.30 Střední hodnota čtverce rychlosti 1 ľ ľ ľ~^°° ľ°° < v2 >= — fv2dvxdvydvz = — / vAf(v)dv (5.31 n J J J-oo n J0 a tedy < v2 >= 3/cT/ra, (5.32 což odpovídá také vztahu v2 = v2 + v2 + v2 a < v2 >=< v2 >=< v2 >. Nejpravděpodobnější rychlost vp: dFiV'- =0 (5.33 dv , / v=vp a tedy vp = {2kT/m)1/2. (5.34 5.2.4 Náhodný tok částic Tok částic Fn = n < vn >= / f v • nd?v (5.35 J v je pro náhodný pohyb částic roven nule. Jaký je tok na jednu stranu myšlené plochy? , kT \ 1/2 1 i = n - = -n < v > 5.36 27rra / 4 v 5.2.5 Kinetický tlak a tok tepla Z definice tenzoru kinetického tlaku V = pm < cc>= m / Wfcŕv (5.37 J v a vektoru toku tepla q = \pm < V2V >= l-m J V2Vfd3v (5.38 dostaneme za použití M.-B. rozdělení V = pm(< V2 > xx+ < V2 > yy+ < Vz2 > zz) = nkT(xx + yy + zz) (5.39 a q = 0, (5.40 protože integrály s lichými integrandy jsou rovny nule. Skalární tlak je tedy p = nkT. (5.41 5.3 Rovnováha za přítomnosti vnějších sil Plyn za rovnovážných podmínek vložený do pole konzervativních sil je popsán rozdělovači funkcí, která se liší od M.-B. rozdělovači funkce exponenciálním tzv. Boltzmannovým faktorem. Pole konzervativních sil popíšeme pomocí potenciální energie U (r] F(r) = -VU(r). (5.42 Protože jde pouze o funkci r, předpokládáme, že řešení BKR je ve tvaru /(r,tO = /o(t>Mr), (5.43 kde fo(v) je M.-B. rovnovážná rozděl, fce. Určíme neznámou funkci i^(r) z BKR za rovnovážných podmínek v přítomnosti konzervativních sil: v.V[/o(«Mr)] - -[VÍ7(r)].Vt,[/o(t;Mr)] = 0. (5.44 m Ze vztahu pro fo(v) můžeme ověřit kT takže rovnice (5.44) se zjednodušuje Til V V„/oW = -t^Mv), (5.45 /o(v)v.[Vifr(r) + ^(r)V!/(r)] = 0 (5.46 a odtud Protože dijj = • dr, můžeme vztah (5.47) přepsat jako di/j(r) 1 i/j(r) kT a řešení této rovnice je dU r) 5.48 ^(r) = A0exp[-^], (5.49 kde Aq určíme z / f(r7v)d3v = n(r), (5.50 J v takže n(r) = A0 exp[-^] / f0(v)ďv. (5.51 Označíme no hustotu v oblasti, kde U(r) = 0 za rovnovážných podmínek, takže no= í fo(v)d3v7 (5.52 J v kde jsme museli zvolit Aq = 1. Za rovnovážných podmínek, pro u = 0 a v přítomnosti konzervativnívh sil máme tedy rozdělovači funkci ve tvaru /(r,t;) = /o(,)exp[-—] = n0 j exp[--^—]. (5.53 Hustota částic v systému s touto rozdělovači funkcí je popsána vztahem: U(r, n(r) = n0exp[——J. (5.54 Faktor exp[—Ur/kT\, který určuje nehomogenitu /(r, v) je Boltzmannův faktor. Důležitým případem v plazmatu je přítomnost elstat. pole E = -V0(r), (5.55 kde {v) (5.56 a hustota částic s nábojem q v rovnovážném stavu q(f)(r, n(r) = n0exp[—-^J. (5.57 5.4 Stupeň ionizace za rovnovážneho stavu a Sahova rovnice Ze statistické mechaniky můžeme určit stupeň ionizace plynu v termodynam. rovnováze za teploty T bez znalosti detailů ionizačního procesu. Pouze musíme rozumět pojmu ionizační energie (potenciál), který se udává v elektronyoltech. Hodnoty 1. ionizačního potenciálu některých atomů: Element U(eV) Helium (He) 24.59 Argon (Ar) 15.76 Nitrogen (N) 14.53 Oxygen (0) 13.62 Hydrogen (H) 13.60 Mercury (Hg) 10.44 Iron (Fe) 7.87 Sodium (Na) 5.14 Potassium (K) 4.34 Cesium (Cs) 3.89 Tepelná energie kT velikosti 1 eV ~ 11600 K =>> pouze při velmi vysokých teplotách tepelná enrgie částice 3kT/2 dosáhne ionizační energie. Přesto můžeme dosáhnout značného stupně ionizace i při nižších teplotách částice z ocasu Maxwellova rozdělení u vysokých energií mají dostatečnou energii! Použijeme vztah (5.54), ale musíme uvažovat kvantově-mechanicky: na ga r {Ua-Ub) — = —exp[--——], (5.58 nb gb kí kde ga a gb jsou statistické váhy stavů s energiemi Ua a Ub, tj. degenerace těchto stavů. Pro konkrétní příklad systému majícího pouze tyto dva stavy je část a všech částic s vyšší energií Ua' a =--- = —--h 1 I (5.59 ,na + nb) nb \nb nebo z (5.58) a pro U = Ua — U\ b a = (9a/9b)exp(-U/kTy (5 gQ [9a/9b) exp(-U/kT) + 1 Při řešení problému ionizace vezmeme stav a jako stav iont-elektronového páru a stav b jako stav neutrálního atomu =>> U = Ua — Ub je ionizační energie a a je stupeň ionizace. Teplota, při níž je a = 0.5 — exp(-——) = 1, (5.61 #6 ^1/2 tj- TV2 = TT-TT^ (5-62 Procento částic v ionizovaném stavu se mění z téměř nuly na téměř jedničku v úzkém teplotním intervalu, který můžeme odhadnout. Aproximujme a(T) přímkou a hledejme interval AT, na němž a = O a a = 1: da(T dT Ti 1/2 AT 5.63 Ze vztahu (5.60) za předpokladu d(ga/g^) / dT = 0 da(T dT T- 1/2 Uoŕ T2(ga/gb) exp(-U/kT)_ U T, 1/2 4T2 5.64 1/2 takže AT = 4T1/5 4/7 5.65 k\n{ga/gh) [k\n(ga/gh)]2 odkud vidíme, že čím vyšší je ga/gb, tím menší je AT =>> (degenerace ionizovaného stavu je mnohem vyšší) téměř skoková fce kolem Ti/2. Degeneraci (váhy) ga a stavů musíme určit kvantově-mechanicky. Zde jen výsledek pro zanedbání malé interakce mezi volným elektronem a iontem a zanedbání vnitřních stupňů volnosti všech částic: qa f 27vmekT\3^2 1 . . y - 1 * '5.66 gb \ h2 ) n kde h je Planckova konstanta a je hustota iontů. Dosazením do (5.58) dostáváme Sahovu rovnici ni (27Tmek\3^2 o/o 1 . U N , Nebo vyjádřením konstatních faktorů, teploty T v eV a rii v m" -3 ^1 = 3.00 x 1027T3/2- exp(-^). (5.68 nn Tli J- Pokud je celková hustota n = rii + nn nízká, můžeme i při teplotách hodně pod ionizační energií dosáhnout značného stupně ionizace.