Kapitola 6 Interakce částic v plazmatu 6.1 Úvod Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na • elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic. • neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit => excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace. V plazmatu musí především rozlišovat • interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =>> dalekodosa-hové interakce => mnohonásobné interakce • interakce mezi nabitou částicí a neutrálem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu => krátkodosáhové interakce => neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz =>> především binární srážky Mnoha-částicové Coloumbovské interakce můžeme popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabě ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektávně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole. 6.2 Binární srážky Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti ra a m\ o rychlostech v a vi před srážkou a v' a v[ po srážce. V následujícím textu budou veličiny s čárkou označovat veličiny po srážce. Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice ra je v klidu a částice ui\ se přibližuje relativní rychlostí g = vi-v. (6.1 Po srážce je relativní rychlost vi - v . (6.2 Záměrná vzáálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je x a úhel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e. Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je iv H m + mi rav + raivi c0 =-■- (6.3 a po srazce , rav' + míVi ra + rai Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí Cq a g c0 =-:-^ (6.4 v = c0--g (6.5 ra 11 Vi = c0 + —g, kde fi označuje redukovanou hmotnost /i Podobně obdržíme i rychlosti po srážce m + mi v = co--g m Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky mv + raiVi = mv' + mív^ nebo ze vztahů (6.3) a (6.4) takže m + mjco = (m + rai)c0, co = c0 Ze zákona zachováni energie během pružné srážky máme ]-{mv2 + miv\) = \\jn{v')2 + mi(v[)2] a přímou úpravou vztahů (6.5), (6.6), (6.8) a (6.9 1 11 -(mv2 + miv\) = -{m + mj^ + -/xg2 (6.14 2 2 2 ^[m(^)2 + mi K)2] = ^(m + m^cg2 + ^/V2. (6-15 Protože c0 = Cq dostáváme P = 9', (6-16 tedy velikost, ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách. Uhel x mezi g a g' Je rozptylu nebo také deflekční úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory gag', zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy 9x = gy = 0 (6.17 9z = g = gf (6.18 > moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L =>> pohyb leží v rovině. Použijeme polární souřadnice (r, 0) a uvědomíme si, že jednotkové vektory r a 6 závisí na 0: dr dr A dr dr A drd6 , — = —r + r— = —r + r——. (6.25 dt dt dt dt dU dt Protože dř/dO = 0 dr dr„ d6 * — = —r + r—0 (6.26 dt dt dt nebo jinak zapsáno r = řř + rŠ0. (6.27 Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočásticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je Ek = ^(iŕ.ŕ = ^[i{ŕ2 + r262). (6.28 Ze ZZE -fi{ř2 + r262) + U(r) = -\ig2. (6.29 Aj Aj Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán L = r x (//ŕ) = fir29(r x 6). Původní hodnota momentu hybnosti je bfíg, a tedy r26 = bg. Pomocí předchozích vztahů získáme diferenciální rovnici pro dráhu r(6). Napíšeme dr dr dO dt dO dt' použijeme (6.31) a (6.29) k eliminaci d6/dt a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie: dr \ 2 r 4 což přeskupíme takto dO d6 = ±— b2 \ b2 2U(r 1 —~--V " b2 2U(r 1 ——--V -1/2 dr. 6.30 6.31 6.32 6.33 Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro záporné pro 0 < 0m, kde 0m je úhel v bodě nej většího přiblížení (vertexa trajektorie vektor v tomto bodě označíme rm. 6.34 6 > 6>m, Polohový Vzdálenost nej většího přiblížení rm dostaneme z (6.33), když si uvědomíme dr/d6 = 0 a r = r b2 2U(r, 1 = 0 r m 6.35 tedy m = b 2U(r m -1/2 6.36 Abychom určili uhel rozptylu x, uvědomme si, že x = 7T - 26m 6.37 a integrujme vztah (6.34) od 0m po jiný úhel 0: 0 — 0m = ± / — ' 62 2ř7(a; /xg2 -1/2 stejná konvence znamének). Pro r —> oo máme #(_) —> 0, zatímco #(+) —> 2#m, takže a — l _ b2 2U(r 1----^_ r2 fíg2 1-1/2 dr 6.38 6.39 a úhel rozptylu je f°° b X{b,g) = n-2 - J T-rn. " 62 2U(r 1----L_ -1/2 dr. 6.40 Abychom mohli vypočítat % musíme znát záměrnou vzdálenost 6, počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii intergajících částic U(r] 6.4 Vyjádření úhlu rozptylu Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (6.40) k určení úhlu rozptylu x pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g. 6.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru R\ a R2. Potenciální energie je dána Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > R\ + R2 a tedy zjednodušíme vztah 00 pro r < Ri + i?2- (6.40) jako dr. Použijeme substituci y = b/r: což dává Pro b > R\ + R2 nedochází k žádné interakci =>> rm = b. Pro b < R\ + R2 se koule sráží rm = Ri + i?2- 6 X = 7T — 2 arcsin R\ + i?2 = 0 pro 6 > i?i + R2 pro b6 = 0 • x = tt/2 b = bo • X = 0=>6^oo • znaménko náboje částic stejné =>> 60 a x jsou kladné • znaménko náboje částic různé =>> 60 a x jsou záporné 6.5 Účinný průřez Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč =>> mějme svazek částic o hmotnosti m\ rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g = vi — v na částici m. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + d>X- Počet částic rozptýlených za ls do (%, x + dx) závisí na toku částic T. 6.5.1 Diferenciální účinný průřez Počet částic rozptýlených za jednotku času do prostorového úhlu dľt vyjádřeného pomocí úhlů x a e dN dt = a(x,e)rdQ, 6.53 kde cr(x, é) je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (6, b + db) a (e, e + de): dt = Tbdbde. A tedy Protože = sinxdxŕfe: a dále cr(x, e)řiQ = b db de. o-(x^) sinxřix = 6d6 d6 smx dx 6.54 6.55 6.56 6.57 Absolutní hodnota je použita, protože b klesá, když x stoupá ALE dif. účinný průřez vyjadřuje kladnou veličinu - počet rozptýlených částic. Veličinu db/dx vyjádříme ze vztahu (6.40), jestliže budeme znát U(r). o~(Xi£) ma rozměr plochy. 6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu crt je definován jako počet částic rozptýlený za jednotku času a jednotku toku částic do všech směrů od rozptylového centra: >2tt p pZn p tv 0t= / g{l ~ cos xMx) sin xdx (6-82 °t Jo {fig(l - cos x)) = (6-83 což zjednodušíme za použití výrazů pro účinné průřezy (6.81) a (6.79 (^(l-cosx)> = M (6-84 6.8 Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál 6.8.1 Diferenciální účinný průřez Derivací vztahu (6.52' 6.85 takže diferenc. účinný průřez je máme bc Rozptyl pro úhly (7r/2,7r), tj. (0, 60) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme Ot,velke = nb0 5 (V2 < X < 7r), (6-95) kde 60 = qqi/(Aneofig2). Víme, že v případě nabitých částic v plazmatu dojde k jejich stínění oblakem částic s opačným znaménkem. Míra efektivnosti tohoto stínění je Debyeova délka: cokT Koule o poloměru je Debyeova koule. Vezmeme-li do úvahy toto stínění \d = (^)2- (6-96 U(r) = exp(--^) (6.97 47re0 r FV XDJ tedy pro r < Ad jde o potenciální energii velmi blízkou Coulombovské, zatímco pro r ^ je to téměř nula. Výpočet <7t za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: vezmeme Coulombovský potenciál pro r < A^ a nula pro r > Xp => bc = Xp-Obecně platí XD > 60. (6.98) Rozptyl pro 6q < b < Xd vedoucí k x < 7r/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je <7t,male = ^ í " b db = 7t(\2d - b2) ; (X < 7t/2). (6.99 JbQ Porovnáme-li ll^ĚL = A| _ i ~ *j>. (6.100 0~t, velké #0 6q =>- důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly, nemůžeme je zanedbat a z integrace pro bc = Ad at = tt\2d (6.101) Zavedeme max. hodnotu bc = A^ i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.92) máme protože Použijeme označení přičemž A ^> 1, takže A2 am = 27r62ln(l + -|), (6.102 sin(lXc) = (l + |)-1/2. (6.103 A = ^, (6.104 bo am = 47r&oln A (6.105 Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je ln A = 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně: T/n2 103 106 109 1012 1015 1018 1021 102 12.8 9.43 5.97 103 16.3 12.8 9.43 5.97 104 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 105 23.2 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 106 26.3 22.8 19.3 15.9 12.4 8.96 5.54 107 28.5 25.1 21.6 18.1 14.7 11.2 7.85 108 30.9 27.4 24.0 20.5 17.0 13.6 10.1 • q = -e, qi = e • no hustota elektronů a iontů • T teplota obou • Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftová rychlost K Jv JVí n0 Jv mt a tedy 2 2 ez ez On = 4:7T€ofl(g2) 127T€okT tj. A = ^——^——Xd = 12™0\3D = 9ND. kde Njj je počet částic v Debyově kouli. Hodnoty parametru A pro teploty T v K a ne v cm-3: