Kapitola 7 Makroskopické transportní rovnice 7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice Pokud známe rozdělovači fci =>> makroskopické veličiny jako hustota, střední rychlost, teplota apod. V termodynamické rovnováze =>> Maxwell-Boltzmannova rozd. fce. V jiném případě musíme řešit komplikovanější BKR. ALE rovnice pro časové a prostorové změny makroskopických proměnných mohou být odvozeny z BKR bez jejího řešení => makroskopické transportní rovnice Makroskopické veličiny souvisí s momenty rozdělovači fce a trasportní rovnice pro tyto proměnné získáme z momentů Boltzmannovy rovnice. První tři momenty: vynásobením rovnice výrazy raa, mav a mav2/2 a integrací přes rychlostní prostor =>> zákon zach. hmotnosti, hybnosti a energie. Vždy se nám ale objeví nějaká neznámá makrskop. veličina navíc, takže abychom mohli soustavu vyřešit, musíme udělat nějaké vhodné předpoklady o nej vyšším momentu rozděl, fce. Pro každý typ částic vlastní transportní rovnice. Existuje mnoho možností vytvoření soustavy transportních rovnic podle zjednodušujících předpokladů, např. model studeného nebo teplého plazmatu. 7.2 Obecná transportní rovnice Uvažujme fyzikální vlastnost částic v plazmatu x(v) a vezměme obecnou BKR: Každý člen BKR vynásobíme x(v) a z analogie výpočtu střední hodnoty x(v) uděláme totéž s celou BKR V+ Xa^vfad3 v V = L X Dále upravíme každý člen rovnice zvlášť. První člen: Poslední člen je nula a z definice střední hodnoty: Druhý člen: ' xv • Vfad?v = V • ( í vXfad3v) - í fav\7Xd3v - í faXV • vd3v (7.5 Jv Jv Jv Clen V • v a V x jsou nula: /XV • Vvacřv = V • (na(xv)a) (7.6 J V Iren cien: / xa • Vvfa(řv = j Vv- &xfad3v - / faa • Vvxd3v - I faX^v • aťřv (7.7 Jt; Jt; Jt; Jt; Poslední integrál vymizí pokud 1 Vw • a = —Vv • F = 0, (7.8 složka vektoru sily Fi nezávisí na příslušné složce rychlosti kde i = x1 y z. Toto omezení nevylučuje mg. silu Fa = qav x B: Fx = qa(vyBz - vzBy) (7.9 První integrál na pravé straně rovnice (??) je součtem tří trojných integrálů: /Vv • (&xfa)d3v = ^2 í í í S^{cLiXfa)dvxdvydvz. (7.10 Pro každý z těchto tří integrálů (i = x, y1 z) máme 4+00 d ŕ ŕ r+00 q ŕ r+oo / / / Q^~(axXfa)dvxdvydvz = dvydvz(axxfc = o a\-oo) u' 7.11 -00 ^ ax protože /a(r, v, ť) —> 0 pro ^ —> ±00. Protože první a poslední integrál vztahu (7.7) je roven nule, máme / xa • Vvfad3v = -na{& • Vvx)a (7.12 J v Kombinací předchozích výsledků dostáváme obecnou transportní rovnici d a 7.13 J sraz kde člen na pravé straně označuje rychlost změny veličiny x na jednotku objemu v důsledku srážek: ^ / / \ J ľ (&Íol Jt(na(x) = I X sraz ^ v 5t dóv 7.14 sraz 7.3 Zákon zachování hmotnosti 7.3.1 Odvození rovnice kontinuity z BKR Rovnici (7.13) zde využijeme pro % = ma. Vyjádříme (X)a = m (xv)a = ma(v)a = mau, VvX = Vwma = 0 a a 7.15 a dostaneme rovnici kontinuity dp ma dt kde pma = nama a srážkový člen + V • (pmaua) = Sa, (7.16 ry ľ^fa\ f $ P™a\ Sa = ma / (—-)srazrf v = I ——— j (7.17 J v \ / sraz vyjadřuje rychlost produkce nebo ztráty částic a na jednotku objemu v důsledku interakcí. Pokud k nim nedochází %i + V • (pmQuQ.) = 0 (7.18 ot neboli ° a+V.(naua) = 0 (7.19 dt Rovnici zákona zachování náboje odtud dostaneme násobením nábojem qa: ^ + V • Ja = 0, (7.20 ot kde pa = naqa je hustota náboje a Ja = paua je hustota el. proudu. 7.3.2 Odvození pomocí dynamiky tekutin Uvažujme objem tekutiny V uzavřený plochou S s elementem plochy dS = ňdS. Střední počet částic opouštějící objem V skrz dS za jednotku času je naua • dS (7.21 počet částic opouštějící celý objem: dS. (7.22 'V Pokud nedochází k produkci nebo ztrátě částic v objemu, musí platit a za použití Gaussova teorému divergence 'S JV dostaneme 's Celkový počet částic v objemu nn(řr. (7.23 d naua • dS = -— I nad3r (7.24 naua • dS = I V(naua)d3r (7.25 d3r = 0, (7.26 + V • (naua 'V L ^ což musí platit pro libovolný objem V", takže dostáváme rovnici kontinuity (7.19 7.3.3 Srážkový člen Procesy spojené se změnou počtu částic =>> obvykle nepružné srážky (ionizace, rekombinace, zachycení náboje). Jak je můžeme reprezentovat v rci kontinuity: • efekt ionizace - rychlostní koeficient pro ionizaci KYl tj. počet párů elektron/iont produkovaných za jednotku času je K[neng, kde ng je hustota neutrálního plynu. Ve slabě ionizovaném plazmatu je možné považovat ng za konstantní a počet vzniklých párů zapsat pomocí srážkové frekvence • efekt rekombinace - rychlostní koeficient pro rekombinaci KXl tj. úbytek párů elektron/iont za jednotku casu, za předpokl. jednoho druhu iontů (ri\ = ne) je Kľnl • efekt záchytu záporného náboje - rychlost úbytku elektronů Kaneng neboli podobně jako pro ionizaci z/ane Aa = ma I v(^)sraz d3v = St ót 7.4 Zákon zachování hybnosti 7.4.1 Odvození pohybové rovnice Nahradíme x(v) výrazem mav v (7.13). Vezmeme-li v úvahu, že v = Va + ua a (Va) = 0, můžeme členy transportní rovnice upravit takto: d / / \ \ dua dpma , W;{Pma{v)a) = Pma^T + Ua^— (7-28 Ol Ol Ol V • (pma(vv)a) = V • [pma(uaua + ua(Va) + (Va)ua + (7.29 + (VaVa))] = V • (pmauaua + pma(VaVa}) o o o -na(F • V„v)a = -na((Fx— + Fy— + )v)Q = (7.30 OVx OVy ovz -na(Fxx + Fyy + Fzz)a = -na(F)a A dosadíme-li do (7.13), dostaneme rovnici zachování hybnosti 0Ua 0 pmo. Pma^r + ua^7T- + V • (pmauaua) + V • {pma(V a~V a)) - na(F)a = Aa, (7.31 kde Aa označuje srážkový člen 7.32 J sraz ^ ' (Pma^a^a) ^JyPma^ax^a) H~~ ^ (Pma^ay^a) H~~ ^ {Praa^az^f^a} (7.34 Výraz pma(VaVa) je tenzor kinetického tlaku Va- V-(pma(VaVa)) = V-Va (7.33 Třetí člen na levé straně rovnice (7.31) můžeme rozepsat takto d d d Ox ^ma^ax^°^ ~Q^{Pma^/ay'^-a} H~~ 7^ _ / d\la d\la d\la r^(Pma^fti) d(Pma'U'ay) ^i^Pma^az Pmay^Qx—- r Uay~^. r Uaz—r h Ua\ ~ I ~ I ~ ox oy oz ox oy oz Pma{Ua ' V)ua + Ua[V • (pmaU Dosazením (7.33) a (7.34) do (7.31) a za použití rovnice kontinuity (7.16) dostáváme Pma[-^- + (ua • V)uJ + V • Va - na(F)a = Aa - uaSa. (7.35 Clen v hranaté závorce můžeme zapsat pomocí totálního diferenciálu: ° = 4 + uQ • V, (7.36 Dt dt což odpovídá časové změně pozorované ze souřadného systému pohybujícího se střední rychlostí ua. Jestliže uvažujeme elektromg. Lorentzovu sílu a gravitační sílu, je poslední člen rce (7.35) -na(F)a = -naqa(E + ua x B) - namag, (7.37 kde pole E a B představují vyhlazené makroskopické pole. Pohybová rovnice je tedy Pma^j^- = naqa(E + ua x B) + pmag - V -Va + Aa - uaSa (7.38 Fyzikální význam: časová změna hybnosti v každém elementu kapaliny je způsobena externími silami, třením (viskozitou) a tlakovými silami samotné kapaliny a dále vnitřními silami, které odpovídají interakcím =>> z.z. hybnosti Často můžeme viskozitu zanedbat, tj. neuvažujeme nediagonální členy Va. Pokud je navíc rozdělovači funkce izotropní, jsou diagonální členy Va stejné a rovné skalárnímu kinetickému tlaku pa. Zanedbáme-li dále člen vedoucí k tvorbě nebo zániku částic, máme (E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa (7.39) 7.4.2 Srážkový člen Clen Aa označuje rychlost změny střední hodnoty hybnosti na jednotku objemu způsobenou srážkami. Důsledek zachování celkové hybnosti při elastických srážkách stejných částic =>> Aa = 0. ALE pro kapalinu složenou z různých částic Aa ^ 0. Často používaný vztah pro přenos hybnosti srážkami (nemusí platit vždy, předp. Maxwell, r. fce a relatině malý rozdíl středních rychlostí částic): Aa = -pma ^2 ^(u« ~ u/?)5 (7-40 kde konstanta úměrnosti vap je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a (3. Protože během srážky se musí zachovávat celková hybnost (7.41) Pma^aß = Pmß^ßa (7.42' 7.5 Zákon zachování energie 7.5.1 Odvození rovnice pro transport energie Nahradíme x(v) výrazem mav2/2 v (7.13). Platí Cleny na levé straně obecné transportní rovnice (7.13) jsou tedy 0t[ a[X)a) 2 dt dt[2Pma a) 1 V • (na(xv)a) = V • [-pma((v • v)v) J -na((F/ma) • Vwx)a = -na(F • v)a Součtem těchto členů získáme rovnici zachování energie 3 dpQ> d , l Os _ rl , , \\1 / T~l \ kde Ma je rychlost změny hustoty energie v důsledku srážek '-a c^"°a I u \ ci J sraz " " ' 2 jv St St J sraz Alternativně se může rovnice také zapsat jinak, viz dále. Vezměme nejprve část třetího členu (7.48 a v = Va + ua: IK + VQ) • K + VQ)](iia + VQ)> = (7.50 = ((u2a + 2ua • Va + V2)(ua + VQ)> = = u2aua + (k2K + 2(vava) • ua + (v;2vQ>. Clen pma(VaVa) představuje tenzor kinetického tlaku Va a |pm«(V^Va) je vektor toku tepla qa. Ukázali jsme, že \pma{V2) = 3pa/2. Proto 1 11 v • [^AnaUv * v)v) J = V * [^Pmaul^a + -(3pa)ua + Pa • ua + qj = (7.51 11 1 = V • (-pmau2aua) + -(3pa)(V • ua) + -(uQ • V)(3pa) + V • (Pa • ua) + V • qa Dosazením do (7.48) a za použití označení D/Dt pro úplný diferenciál, máme E.(^L) + (^)V • Ua + ^(I^mQW2) + V • (i^uj + (7.52 V • (PQ • ua) + V • qa - na(F • v)a = Ma Třetí a čtvrtý člen na levé straně můžeme psát jako dl 1 -^{-PmaUa ' Ua) + V • [(-pma(ua • Ua)ua] = (7.53 1 o 9pfjiQi d\\.Q> 1 o _ / r / _7\ -i ňUa^r~ + P™«U« * ~~ňT~ + ňUaV ' [PmaUa + Pma^a ' (U« * VjUa = 2 Ot Ot 2 Za použití rovnice kontinuity (7.16) a pohybové rovnice (7.38) můžeme poslední vztah přepsat jako ^u2aSa + naua • (F)Q - uQ • (V • Va) + ua • Aa - u2aSa. (7.54 Dosazením zpět do (7.52 Dť 2 ' 2 na(F • v)a + naua • (F)a + V • qa = l = MQ. - ua • Aa. + -u2aSa. Třetí a čtvrtý člen můžeme kombinovat jako V • {Va • uQ) - ua • (V • Va) = {Va • V) • ua (7.56 a podobně pátý a šestý: -na(F • v>Q + naua ■ {F)a = -na(F • VQ>, (7.57 protože • v>„ = = (F)„ • uQ. + (F • Va). (7.58 V případě síly nezávislé na rychlosti je výraz (7.57) roven nule: = (7.60 = qa(ua x B) • (Va) + qa{(Va x B) • Va) = 0, kde oba členy jsou rovny nule, protože (VQ) = 0 a (Va x B) je kolmé na Va. Dostáváme tedy tu alternativní formu rovnice zachováni energie 7.5.2 Fyzikální interpretace • První člen levé strany rce (7.61) - celková změna hustoty tepelné energie v objemovém elementu pohybujícím se driftovou rychlostí uQ: 3pa/2 = pma(V2)/2. • Druhý člen LS - změna hustoty tep. energie díky vstupu částic o střední rychlosti ua do objemového elementu. • Třetí člen LS - práce vykonaná na jednotkovém objemu díky tenzoru tlaku, který působí na povrch tohoto objemu • Čtvrtý člen LS - změna hustoty tepelné energie díky toku tepla • Pravá strana - změna hustoty tepelné energie díky srážkám (pro pouze jeden druh částic je člen První dva členy můžeme ještě zkombinovat pomocí rce kontinuity (7.16), kde rozepíšeme člen Ma - ua • AQ. + -u2aSl a roven nule) takže V • ua = -—- Sa). (7.63 P ma D t Dosazením (7.63) do (7.61) a použitím rovností pma = nama, pa = nakTai dostaneme další alternativní tvar rovnice energie vyjádřené pomocí teploty Ta 3 DT 1 3 kT ^nak—-^ + (Pa • V) • ua + V • qa = Ma - ua.Aa + {-u2a - -—)Sa (7.64 2 Dt 2 2ma 7.5.3 Zjednodušující předpoklady Podle okolností můžeme uplatnit různé zjednodušující předpoklady • srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; driftová rychlost ua je nula; vezmeme vektoru toku tepla qa = -KVTa (7.65 => rce (7.64) se redukuje na difuzní rovnici pro Ta 3 DT -nak—^ = V • (KVTa\ (7.66 2 Dt v 1 v kde K je koeficient tepelné vodivosti (souvisí s koeficientem viskozity) • srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; neviskózní kapalina, tj. tenzor tlaku se redukuje na skalární tlak; neuvažujeme tepelnou vodivost (qa = 0); vztah (7.61) => D ,3pa, + 3^ _ + _ = a z?r 2 Dosazením (7.63) za V • ua pro Sa = 0 dává D 3pa bpa Dp Dť 2 7 2pma Dt tedy ma = 0 (7.68 Dpa 5 L>p ma Pa 3 p 7.69 ma a po integraci kde po a pmo jsou konstanty, takže Pa ŕPma^ ^ ^ PO PmO PaPma3 = konst. (7.71 Toto je adiabatická rovnice energie pro plyn, v němž je poměr specifických tepel při konst. tlaku a konst. objemu 7 = 5/3. Parametr 7 fcí počtu stupňů volnosti TV 1=(2 + N)/N. (7.72) Pro částice, které nemají vnitřní stupně volnosti (jednoatomový plyn), je N = 3. Adiabatická rovnice energie používaná v termodynamice je obecně ve tvaru PPm1 = konst. (7.73 Derivováním Pm'dp — 1PPm1+1^ dpm = 0 (7.74 nebo dp = (—) dp Pm m V j dp (7.75) kde jsme definovali vs = (w/pmy/2 (>ykT/m)1/2 (7.76) což je adiabatická rychlost zvuku v kapalině. ideální plyn; konstantní teplota kapalin => izotermální rovnice energie. Vezmeme stavovou rovnici pro ideální plyn p = nkT a pro T = konst 4 Model studeného plazmatu 1. moment BKR => rce kontinuity => hustota částic na (nebo hustota hmotnosti pa) ve vztahu s driftovou rychlostí ua =>• 2 makroskopické veličiny =>• potřebujeme 2 makroskopické transportní rce 2. moment BKR =>• pohybová rce (rce zachování hybnosti) =>• driftová rychlost ua ve vztahu s hustotou částic na a tenzorem kinetického tlaku Va => 3 makroskopické veličiny =>• potřebujeme 3 makroskopické transportní rce 3. moment BKR => rce energie => neznámé veličiny na, ua, Va a vektoru toku tepla qa kde izotermální rychlost zvuku je > Žádný konečný systém transportních rovnic nemůže tvořit uzavřený systém, takže musíme zavést nějaké aproximace. Nej jednodušší model je model studeného plazmatu. Model používá pouze rovnici kontinuity a hybnosti. Tenzor tlaku se položí roven nule, tj. zanedbává se vliv tepelného pohybu částic a síla způsobená změnou tlaku. Máme tedy dvě transportní rce: Pokud můžeme navíc zanedbat vznik a ztrátu částic a =>> Sa = 0. Vztah používaný pro srážkový člen pro přenos hybnosti Aa je dán vztahem (7.40). Model vlastně předpokládá, že teplota plazmatu je nulová, takže rozdělovači fce je Diracova delta fce /«(r, v,í) = S\v- u(r,í)|. 7.5.5 Model teplého plazmatu Zde se uvažují tři transportní rovnice a ve třetí rci se zanedbává člen s vektorem toku tepla V • qa = 0. Tato aproximace se nazývá adiabatická aproximace. Protože tepelná vodivost je nula, není plazma viskózni a nediagonální členy tenzoru tlaku jsou nula. Dále s předpokládá, že diagonální členy jsou stejné, a tedy V • Va = V • pa. V modelu teplého plazmatu tedy máme tyto tři transportní rce Pma-j^- = naqa{E + uQ. x B) + pmag - VpQ. + AQ. - uaSa (7 Pokud navíc předpokládáme, že změna energie v důsledku srážek je zanedbatelná, redukuj rovnice (7.83) na adiabatickou rovnici PaPml = konst. (7