Kapitola 8
Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
8.1   Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu
Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny. Hustota hmotnosti:
Pm      ^ ^ Pma      ^ ^
hustota náboje: střední rychlost kapaliny u:
a a
(11
a
Pm^-      ^ ^ Pma^-Qí-
Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu difúzni rychlost wc
1
wa — Ua      U — \la Pmaua
Pm
a
Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok
a hustota el. proudu neboli tok náboje
J = ^2 naqaua = pu + ^2 naqawa (8.6
a a
Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako
Va = pma(VaVa), (8.7
kde Va = v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost Vao pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u
Va0 = v - u. (8.8)
Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticého tlaku V je tedy
V = J2p™(V*oVao). (8.9
Platí
Va0 = Va + wa (8.10
a tedy
V = J2 Pma{(ya + W«)(Va + Wa)), (8.11)
a
což roznásobíme jako
V = 5>ma((VQVa) + (vQwQ> + (waVa) + (wQwQ». (8.12)
a
Z definice wa vidíme, že (wa) = wQ, a proto
V = + y^PmaWgWa- (8-13)
a a
Celkový skalární kinetický tlak p je
i i      a a
Pomocí (8.13)
P=^Va + 1^2pmaWÍ (8-15)
a a
Definujeme vektor celkového toku tepla q
q = jE^tóV«») (8-16)
a hustotu tepelné energie
a
Ze vztahu (8.18), (8.7) a pa = pma{V^)/S přepíšeme předchozí vztah jako
3 1
8.2   Rovnice kontinuity
Rovnici kontinuity pro jednotlivé částice sumujeme
dt
a a a
Je užitečné najít vztah mezi
a q. Takže pomocí Vao = Va + wa dostaneme
q = \Y.A"Äv°> + wa<Va) + 2{(wa • Va)Va) + (8.19
a
+ (Va)Wa + ^aWa + 2((V«) * Wa)wa],
přičemž (Va) = 0, takže
<1 = \J2 P™\.(V%Va) + 2wa • (VQ) VQ> + (V*)wa + w2awa] (8.20
_ 3 y
q = £(qa + wa • Ta + -pawa + -pmaW>a). (8.21
Pro izotropní případ
_^        5 y
q = E(qa + 2^«w« + 2^«^^)- (8-22
E %^+E v • 0") = E s«> (8-23
což dává
+ V • (pmu) = 0, (8.24
ot
neboť suma Sa je nula díky zachování celkové hmostnosti v systému. Rovnici můžeme také přepsat pomocí D/Dt = d/dt + u • V jako
Dt
8.3   Pohybová rovnice
+ pmV • u = 0 (8.25
a a
Clen obsahující Sa můžeme eliminovat pomocí rovnice kontinuity. Zapíšeme rovnost
dt
Podobně postupuje i v případě rovnice z.z. hybnosti:
y^Pmal-^- + (ua • V)uJ = ^2naqaE + ^2naqa(ua x B) + (8.26
a a a
a a a a
Protože celk. hybnost všech částic se zachovává je srážk. člen nula.
J^^-^T + (Ua * V)uJ =PE + J><B + Pmg-V-P+ (8.27
UaSa = ^2 U«[~^ + V * (PmaUa)], (8-28
což kombinujeme se členy na levé straně rovnice (8.27) a členem J2a ucA na JeJí Prayé straně. Dostáváme výraz
Yf[pm^a> + V • (pmauQuQ)], (8.29
kde využijeme vztah pro celkovou střední rychlost (8.3), druhý člen expandujeme nahrazením ua = wa + u. Vidíme, že
^ pmaWa = ^ Pma^a ~ u) = pmW ~ pmU = 0.
a a
a
E, \ rC^W. , _ x      -, pTíí _ / \ "1
V • (pmawQ.wa) = pm{— + (u • V)u] + u[— + V • (pmu)J +
Du
+ ^ V • {pmaWaWa) = PmJTT + ^2 V ' (AnaWaWa;,
kde jsme využili rci kontinuity. Potom pohybová rovnice je
8.30
Vztah (8.29) upravíme tedy jako
Erd(pmaua)   ,   t-t    / \i       $(Pmu) , ,
[-^-ôt—- + V • (pmQuQ,ua)] = + V • (pmuu) + (8.31
= pE + J x B + pmg - V • V. (8.32
8.4   Rovnice energie
Opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic:
d 1 1 e Q-t(^{v2)a) + Y,V • (gA-^M*) - 5ľ "«(F • v)a = 0, (8.33
a a a
kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v = Vao + u a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme
|íe^»<V-VM =1
9^ma((v;2o> +^ + 2wa-U
a
8.34
= í (e ^-<^o) j+1 (e ^-u2j
9 /3p\ 9 /l 2 di\~) +di\2PmU
kde jsme použili vztah (8.17) a fakt, že      /)mftwa = 0 Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že
(^2v)« = ((K2o + ^2 + 2Va0-u)(Va0 + u)) (8.35 = (K2ov«o) + ^2wa + 2(Va0 ® Va0) • u + (l/20)u + w2u + 2{wa • u)u, protože Va0 = Va + wa a (Va) = 0. Proto
iU™*(*>2v)a) =
2
1
8.36
= v * (Ž2 ô a™(v;2oVqo)) + v • (J2 a™(v«o ® va0) • u) +
2'
1 1
Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku můžeme toto dále upravit jako
V * (J2 lpma(v2v)a) = V • q + V • (V - u) +
8 37
a
— ,3p ,    _ ,1 o
+V.(yU) + \/.{-pmaU U
Pro třetí člen máme
^2na(F • v)a = ^2na[qa(E • v)a + ^a((v x B) • v)a + ma(g • v)J, (8.38
a a
kde jsme uvažovali elmag sílu a sílu gravitační. Protože (v)a = ua a pro lib. vektor v platí v x B) • v = 0, máme
^na(F-v)a = J-E + Jm.g, (8.39
a
kde E a g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme
|(f) + V • (f u) + lt{\Pmu2) + V • (ip^u) + (8.40 V • q + V • (V ■ u) - J • E - Jm • g = 0.
Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako
d , 1        Os _               , 1         2\       ^~   2 r ^ P?n _              /        \ i /      -^-^ ^ \                      / o
T^Pm^ ) + V • (-pmW U) = -W [— + V • (pmu)J + U • (Pm-^J, (8.41
což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice:
pu • e + u • (j x b) + jm • g - u • (V • V). (8.42 Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar
D 'r?r) +        - u + V- q+(P-V)-u = j- e- u.(j x b) — pu • e. (8.43
DV 2 7 2
• 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u
• 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic
• 3. člen - tok tepla
• 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými)
• členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tyto členy mohou být dále zkombinovány (viz níže).
Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí
j = ^2 n«**u«=  n"^w"+n«**u =j/+pu> (8-44
a a a
kde pu je hustota el. proudu konvekčm, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a Jf je hustota el. proudu vodivostm, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát
u • í J x B) = - J • íu x B) = —J' • (u x B). (8.45
Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme
D '*R\ +        • u + V • q + (V • V) • u = J' • E', (8.46
Dť2' 2
kde Er = E + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J' • Er představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskému ohřevu.
8.5   Elektro dynamické rovnice pro vodivou kapalinu
Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu netvoří uzavřený systém (podobně jako u transportních rovnic pro jednotlivé typy částic). Navíc obsahují elektrodynamické veličiny E, B, J a p =>> kromě hydrodynamických transportních rovnic potřebujeme elektrodynamické rovnice.
8.5.1 Maxwellovské rovnice rotace
V x E = -—- (8.47
dt v
<9E
V xB = /i0(J + 60-) (8.48
8.5.2 Zákon zachování el. náboje
získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem qa/ma a sumací přes všechny částice:
—(V" naqa) + V • (V" naqaua) = V7—)Sa, (8.49
dt ma
a                              a a
z čehož
dp + V • J = 0 (8.50
dt
Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce (8.47) a z Maxwell, rovnice pro divergenci E
V • E = —. (8.51
čo
Vezmeme divergenci (8.48
V • J + e0^(V • E) = O, (8.52 ot
zkombinujeme s (8.51) a dostáváme (8.50). =>> rovnice (8.51) tedy není nezávislá na rovnici (8.50). Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (8.47), dostaneme
d
—(V • B) = 0 (8.53
neboli
V B = konst. (8.54
Takže Maxwellova rovnice
V • B = 0 (8.55 je vlastně počáteční podmínkou rovnice (8.47).
8.5.3   Zobecněný Ohmův zákon
Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qa/ma a sumujeme přes všechny částice:
a a a
V . [V(^)PJ + V(^)Aa - T(—)uaSa (8.57
f   *  rn f   *  rn <   * m
a a a
Úprava druhého členu na pravé straně rovnice (8.56): Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku      pro částice a
ve = {*L)Va = naqa(VaVa) (8.58 a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky
a-
a q
Tedy
V . [Y (S°Ľ)Va] = - V • TE + V • (V na9awawa) (8.60
a a
Úprava čtvrtého členu na pravé stranč rovnice (8.56): Použijeme rovnici kontinuity a ua = wa + u
_ ^2^_^_^UaSa = Wa^-(naqa) - ^ wa[V • {naqawa)} - (8.6ť
a a a
w«[V • (nQgQu)] -       - u(V • J) (8.62;
a
Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (8.56) upravíme jako:
naqa—^ + ^2{naqawa • V)wa + ^2(naqau • V) • wa + p— + (J.V)u (8.63)
a a a
Zjednodušení celé rovnice (8.56) Použijeme následující vztah pro dva vektory:
V • (ab) = b(V • a) + (a • V)b, (8.64) využijeme vyjádření hustoty el. proudu (8.44) a předchozí zjednodušené výrazy:
U + V • (uJ' + Ju) + V • VE = Vna(^){F)a + V(^)Aa. (8.65;
a a
Rovnice (8.47), (8.48), (8.50) a (8.65) tvoří soustavu deseti rovnic, které doplňují rovnici zachování hmotnosti, hybnosi a energie pro vodivou kapalinu.
Rovnice (8.65) je ale stále v obecném, pro praxi nepoužitelném tvaru. Jednoduchý a používaný tvar této rovnice můžeme získat pro plně ionizované plazma s jedním druhem iontů: Vyjádříme hustotu el. proudu a náboje jako
J = ^2naqaua = e(n,Ui - neue
a
p = ^2naqa = e(n% ~
a
Globální střední rychlost je
Pm
.66
8.67
8.68
.69
8.70
kde pm = pme + pmi. Zkombinováním této rovnice s (8.66) dává
fi   pmu J Ui = -(--h -
Pmi    Tfle C
fl    pmU J
Ue = -(-- +
Pme &
kde p = memi/(memi) označuje redukovanou hmotnost.
Dále předpokládáme, že střední rychlosti elektronů a iontů vztažené ke globální střední rychlosti u, tj. difuzní rychlosti we awj, jsou malé ve srovnání s tepelnými. Pak zjednodušíme vztah (8.59) takto
ve = ve   ve = e{Zi _ II) (8.71
1       '       mi me
Silový člen v rovnici (8.65) nahradíme elekromagnetickým polem
V M-^-(F)Q = e na(—)[qa(E + ua x B)] = (8.72
a a
2 , Tli       T^e \t-\  ,    2 ŕ ^e
= e^ + —)E + e^P-Ui + — ue x B.
rrii    rrie Tni rrie
V něm nahradíme ue a    ze vztahů (8.70) a (8.69) a zjednodušíme
rBa(^)(F)„ = e\^- + ^)E + e2(^ + —)u x B + e(— - —)J x B. (8.73 ^-^     ma rrii    me me    rrij rrii me
a
Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (rrii ^ wie? ne = rii = n
1		1	1
rrii		me	m,
n,		ne	n
	+		
rrii		me	
n%		ne	n
	+		- 5
		m%	
takže máme VE = —(e/me)Ve a z (8.73
a
.74 .75 .76
V na(^)(F)a = —(E + u x B) - — J x B (8.77
Srážkový člen v (8.65) napíšeme ve dříve uvedeném tvaru
A = -pmevet(ue - uí) (8.78
Ai   =   -Pm^e(Ui - Ue), (8.79
přičemž platí pmi^ie = Pme^ei, takže
—)Aa = epmez/eí(ue - uí)(— + — ma ml me
q y y
E(—)Aa = epmeuei{ue - uí)(--1--) = -z/eíJ, (8.80 m mm
a
kde jsem použili (8.66) pro J, ne = rii = n a aproximaci rrii ^> me.
Nyní můžeme použít výsledky z (8.71), (8.77) a (8.80) a dosadit je do (8.65
^ + V • (uJr + JU) - —V • V =
9
Tie 6
E + uxB)--J x B — z/P?J.
me me
Protože jsme předpokládali ne = rii, musí p = 0 a J = J'. V určitých situacích se dá předpokládat, že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení
9
Tie
(Jo =-, (8.82
meuei
což představuje podélnou el. vodivost. Pak dostáváme z (8.81'
medJ     1_„     „ „     1,„ 1
V-?f = E + uxB--J x B--J. 8.83
ne2 dt    ne ne o~o
Tato rovnice se nazývá zobecněný Ohmův zákon. V magnetohydrodynamice se obvykle členy na levé straně zanedbávají, což ovšem není vždy dost dobře zdůvodnitelné.
Pokud se J nemění v čase, tj. za ustálených podmínek, máme dJ/dt = 0. Pokud dále předpokládáme, že jsou zanedbatelné prostorové změny tlaku, tj. V • Ve = 0, pak dostáváme zjednodušení
J = ťJ0(E + u x B) - — J x B. (8.84
ne
Poslední člen v této rovnici vyjadřuje Hallův jev. Tento člen je malý pokud cr0|B|     ne. Pak
J = (70(E + uxB) (8.85
a bez přítomnosti mg. pole
J = ťJ0E, (8.86
což je obecně známý Ohmův zákon.
8.6   Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice
Rovnice kontinuity, zjednodušená pohybová rovnice, adiabatická rovnice energie, Maxwellovy rovnice pro el. intenzitu a mg. indukci (zde zenadbáváme čas. změnu el. intenzity) a zjednodušený Ohmův zákon:
^ + V • (pmu) = 0 (8.87 at
J)u    T    _ _
Pm~Ďt =   X ~~
dp = V^dpm ___ <9B
VXE=-^ V x B = p0J
J = ťJ0(E + u x B) - —J x B
ne
8.89
8.90
8.91
8.92