1   Označení rozdělovačích funkcí
Rozdělovači funkci rychlosti částic budu označovat g(v), přičemž platí
oo
71 =   // / 9{v)dv1dv2dv3.
kde n je koncentrace těchto částic. Pokud rozdělovači funkce není symetrická, tj. závisí na směru vektoru v, je možné její tvar hledat ve tvaru nekonečné řady obsahující Legendrovy polynomy kosinu 9, např.
9 (v) = 9o(v) + cos(6)g1(v) + ....
kde 9 je úhel mezi rychlostí částice a nějakým význačným směrem, nebo v obecnějším případě rozvojem do sférických funkcí. Pokud ale rozdělovači funkce symetrická je, pak lze lehce spočítat rozdělovači funkci velikosti rychlosti částic gv{v) a rozdělovači funkci energie částic f{E):
gv{v)   = Airv2g(v)
f(E)
9 ■ l2E
V2mE
Často se místo vlastní rozdělovači funkce uvádí funkce
E
v případě elektronů označovaná EEPF {electron energy probability function).
Homogenní izotropní soubor částic, na které nepůsobí vnější síly a které se nesrazí s jinými částicemi, by byl v rovnováze popsán Maxwellovou rozdělovači funkcí
, , /   m   \f       / mv2\
f{E)  = "^(Iť)375^MP(-^)
V plazmatu se nejčastěji zabýváme rozdělovači funkcí energie elektronů. Když je frekvence vzájemných srážek mezi elektrony vysoká, pak jejich rozdělovači funkce bývá blízká Maxwellově. Pružné srážky s neutrálními částicemi naopak způsobují odklon od Maxwellova rozdělení např. k Druyvesteynovu rozdělení
r~      ( E^ f(E) ccnvE exp I — —
kde K je konstanta související se střední energií elektronů. Radu rozdělovačích funkcí je možné psát ve tvaru nazývaném standardní rozdělovači funkce
1
0.8
0 1 2 3 4 5
E/(E>
Obrázek 1: Maxwellovo (M) a Druyvesteynovo (D) rozdělení energií.
0 1 2 3 4 5
E/(E>
Obrázek 2: Maxwellovo, (M) a Druyvesteynovo, (D) EEPF.
{Ep je nejpravděpodobnější energie). Pro re = 1 přejde standardní rozdělení na Maxwellovo, pro re = 2 na Druyvesteynovo. Ukázka Maxwellova a Druyvesteynova rozdělení energií je nakreslená na obr. 1, na obr. 2 jsou odpovídající f p (EEPF). Mnohem výrazněji se ale neutrály projevují ve vysokoenergetické části rozdělovači funkce díky nepružným srážkám, které snižují koncentraci rychlých elektronů. Naopak vyrážení elektronů z elektrod s následující ionizací ve stěnové vrstvě (sheath) nebo stochastický ohřev v silném elektrickém poli na okrajích plazmatu můžou vést ke vzniku skupiny extrémně rychlých elektronů. Skutečný tvar rozdělovači funkce tak může být komplikovaný a může nést mnoho informací o plazmatu.
2   Langmuirova sonda
Langmuirovou sondou se nazývá vodič vložený do plazmatu, z jehož V-A charakteristiky je možné určit některé parametry plazmatu, zejména koncentraci a střední energii elektronů, elektrický potenciál plazmatu a rozdělovači funkci energie elektronů. Když sonda není na potenciálu plazmatu, vznikne v jejím okolí vrstva prostorového náboje ovlivňující dráhy nabitých částic. Ne-dochází-li v této vrstvě ke srážkám a předpokládáme-li, že za hranicí stěnové vrstvy není plazma sondou ovlivněno, lze relativně jednoduše spočítat, které částice na sondu dopadnou, a zjistit tak proud tekoucí na sondu. V této kapitolce zatím uvedu jen základní vzorce pro výpočet elektrického proudu tekoucího na Langmuirovu sondu. Sondy mívají různé tvary, nejčastější bývá sonda válcová. Zde budou uvedeny vztahy pro rovinnou, válcovou a kulovou sondu.
2.1    Tok částic odpuzovaných od sondy
Částice s nenulovou kinetickou energií můžou pronikat i na sondu, která je elektrostaticky odpuzuje, tj. q{<j)a — <t>pi) > 0, pokud mají rychlost větší než mezní hodnota
2 > 2g(0q ~ 4>Pl) m
kde q je náboj částice, <j)a potenciál sondy a (f)pi potenciál plazmatu. Dalším omezením je maximální rychlost V2 (viz obr. 3), při které částice nemine sondu. Ze zákonů zachování energie
2
Obrázek 3: Schéma dráhy částice ve stěnové vrstvě okolo sondy.
a momentu hybnosti vyplývá podmínka pro dopad částice na sondu
2q((f)a - <j>pl)
1
< v
in
kde ra je poloměr sondy a rs poloměr stěnové vrstvy (sheathu) okolo sondy, takže ani úhel a mezi počáteční rychlostí částice a její radiální složkou v\ nesmí překročit jistou mezní hodnotu. Celkový proud částic na sondu pro bezsrážkovou stěnovou vrstvu lze počítat integrálem
qSs
>      2ir am
dv jdip Jdct v2 sin a g(v) v cos a. o o
kde S, označuje plochu vnějšího povrchu stěnové vrstvy, Vrrďn
= y/2q(<f>a — (f)pi)/m a am je maximální úhel a, pod kterým může částice dopadnout na okraj stěnové vrstvy aby ještě dopadla na sondu, v2 siná je Jacobián transformace do sférických souřadnic a q g (v) v cos a vyjadřuje hustotu elektrického proudu částic ve směru složky rychlosti v\. Uvedený postup vede k výsledku
Sq-K
v3g(v)
2qU
mu'
dv
>2qU
qS
1
2V2m
E-qU
E
f{E)dE,
qU
kde napětí mezi plazmatem a sondou <j)a — (f)pi bylo označeno U a S je plocha povrchu sondy. Tento výsledek platí pro rovinnou, válcovou i kulovou sondu. Pokud mají částice Maxwellovu rozdělovači funkci odpovídající teplotě T, vychází pro proud
q S -nv exp
qU kT
(2)
8kT
(v je střední velikost rychlosti částic).
3
Výhodou je, že libovolné rozdělení energií elektronů můžeme zjistit z druhé derivace elektronového proudu pomocí známé Druyvesteynovy formule
f(qu)
2^2m\U\ d2I
q5/2S d\U\2 2.2   Tok částic přitahovaných k sondě
(3)
V případě částic sondou přitahovaných {qU < 0) se už vztahy pro proud tekoucí na rovinnou, kulovou a válcovou sondu liší. Zde jsou uvedeny vztahy platící v případě Maxwellova rozdělení:
Ir h
Sqnv Sqnv
Sqnv
erf
-qU
r2 — r„ kT
exp
+
r2a qU
rs ~ ra
kde
erf x
'erf
e-tzát
-qU
r2 — r„ kT
exp
qU kT
(4)
(5)
,(6)
Nevýhodou je skutečnost, že vztahy závisejí na poloměru rs, který při měření není známý. Užitečná je limita pro rs 3> ra, tzv. OML {orbital motion limited) teorie, ve které vychází pro kulovou sondu
qU"
K ~ -Sqnv ( 1
4  y     V kT
a pro válcovou
L oc \ /1
qU kT
4