1 Kombinatorika --------------------- ##### Příklad 1.1 Kolika způsoby lze rozdělit x předmětů do y (rozlišitelných) přihrádek, jsou-li předměty a) rozlišitelné, b) nerozlišitelné? ##### Příklad 1.2 Kolika způsoby lze k nerozlišitelných předmětů umístit do n rozlišitelných přihrádek tak, aby v každé přihrádce byl aspoň jeden předmět ($k \ge n$)? ##### Příklad 1.3 Kolika způsoby lze rozdělit 7 bílých a 2 černé kuličky do 9 přihrádek? ##### Příklad 1.4 Kolika způsoby si mohou 4 děti rozdělit 10 modrých, 15 červených a 8 zelených kuliček tak, aby každé dítě mělo alespoň jednu kuličku od každé barvy? ##### Příklad 1.5 Kolik podmnožin má n-prvková množina? ##### Příklad 1.6 Hokejový zápas skončil 10:7 po třetinách 3:5, 7:6, kolik možných průběhů zápas měl? ##### Příklad 1.7 Kolik je v obrázku pravoúhelníků? Kolik z nich obsahuje šrafovaný čtvereček? (obdélník 5x7 čtverečků, vyšrafován je ten obsahující střed) ##### Příklad 1.8 Kolik řešení má rovnice $x_1 + . . . + x_k = n$ v oboru přirozených čísel? ##### Příklad 1.9 Tři muži a dvě ženy hledají místo, 3 podniky ve městě berou pouze muže, 2 pouze ženy, 2 muže i ženy, kolika způsoby je možné rozmístit uchazeče do podniků (každý z nich je schopný přijmout více uchazečů)? ##### Příklad 1.10 Kolika způsoby je možné rozdělit k předmětů do n rozlišitelných přihrádek, má-li být v předem určené přihrádce právě r předmětů a jsou-li předměty a) rozlišitelné, b) nerozlišitelné? ##### Příklad 1.11 Z 67 zaměstnanců ústavu mluví 47 anglicky, 35 německy, 20 francouzsky, 23 an- glicky a německy, 12 anglicky a francouzsky, 11 německy a francouzsky a 5 všemi třemi jazyky. Kolik zaměstnanců ústavu neovládá žádný z těchto cizích jazyků? ##### Příklad 1.12 Kolika způsoby lze k rozlišitelných předmětů umístit do n rozlišitelných přihrádek tak, aby v každé přihrádce byl aspoň jeden předmět? ##### Příklad 1.13 Do výtahu pětiposchod'ové budovy nastoupilo osm lidí, kolika různými způsoby mohou vystoupit, má-li v každém poschodí vystoupit aspoň jeden člověk? 2 Pravděpodobnost -------------------------------- ##### Příklad 2.1 Systém je tvořen dvěma bloky, pravděpodobnost poruchy prvního bloku je 0,05, pravděpodobnost poruchy druhého bloku je 0,15. Jaká je pravděpodobnost poruchy systému, jestiže bloky pracují a) v sérii, b) paralelně? ##### Příklad 2.2 Hodíme n× mincí, jaká je pravděpodobnost, že právě k× padne líc? ##### Příklad 2.3 Z balíčku 32 karet vybereme 2, jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu a) pokud karty vracíme, b) bez vracení? ##### Příklad 2.4 Z balíčku 32 karet vybereme k, jaká je pravděpodobnost, že budou mít stejnou barvu (karty vracíme)? ##### Příklad 2.5 Určete pravděpodobnost, že mezi k lidmi nemají žádní dva narozeniny ve stejný den (uvažujte nepřestupný rok). ##### Příklad 2.6 Z balíčku 32 vybereme náhodně 4 karty, jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jedno eso? ##### Příklad 2.7 Dvakrát hodíme mincí, jaká je pravděpodobnost, že padne v obou hodech stejná strana? ##### Příklad 2.8 Dva hráči střídavě házejí mincí, vyhrává ten, kterému jako prvnímu padne líc. Jaká je pravděpodobnost výhry prvního a druhého hráče? ##### Příklad 2.9 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třema kostkami padne součet a) 11 b) 12? ##### Příklad 2.10 Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu 6 kostkami padne: a) na každé kostce jiné číslo, b) samé šestky, c) právě 5 šestek, d) aspoň 4 šestky, e) všechna čísla sudá, f) všechna čísla stejná? ##### Příklad 2.11 Čtyři osoby si odložily čtyři klobouky, poté si je náhodně rozdělily, jaká je pravděpodobnost, že si aspoň jedna osoba vzala svůj klobouk? ##### Příklad 2.12 Pět osob vystupuje náhodně z výtahu v osmipatrové budově, jaká je pravděpodobnost, že vystoupí a) všichni ve stejném patře, b) všichni v šestém patře, c) každý v jiném patře? ##### Příklad 2.13 Jaká je pravděpodobnost, že a) při hodu šesti kostkami padne aspoň jedna jednička, b) při hodu dvanácti kostkami aspoň dvě jedničky? ##### Příklad 2.14 Dítě dostalo sáček s pěti žlutými a pěti červenými bonbóny, jaká je pravděpodobnost, že mezi šesti náhodně vybranými bonbóny budou právě dva červené? 3 Podmíněná pravděpodobnost -------------------------------- ##### Příklad 3.1 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, víme-li, že součet ok na obou kostkách je dělitelný pěti? ##### Příklad 3.2 V nádobě je a bílých a b černých koulí, vybereme 2 bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že druhá koule byla bílá (jev 2B) za podmínky, že první koule byla bílá (jev 1B)? ##### Příklad 3.3 V nádobě jsou vloženy lístky, na nichž jsou napsány číslice 0-9, každá právě jednou. ##### Příklad 3.4 1.dělník vyrobí za směnu 60 výrobků, z toho 10% zmetků, 2. dělník 40 výrobků, z toho 5% zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že je výrobek zmetek a pochází od 1. (2.) dělníka? Jaká je pravděpodobnost, že je-li výrobek zmetek, pochází od 1. (2.) dělníka? ##### Příklad 3.5 V urně je n bílých a n černých koulí. Postupně všechny koule vybereme ven z urny, vždy po dvou. Jaká je pravděpodobnost, že v každé dvojici je jedna koule bílá a jedna černá? ##### Příklad 3.6 Z 23 studentů MMZM/PVE je pro 8 pravděpodobnost získání zápočtu 0,9, pro 12 0,6 a pro 3 0,4. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný student získá zápočet. ##### Příklad 3.7 Expert posuzuje skupinu obrazů, mezi nimž je 8 originálů a 2 kopie. Pravděpodobnost chyby experta je 1/6. Jestliže expert označí náhodně vybraný obraz za originál, stanovte pravděpodobnost, že jde skutečně o originál. 4 Nezávislé jevy -------------------------------- ##### Příklad 4.1 V nádobě jsou čtyři lístky s čísly 000, 110, 101, 011. Označíme Ai jev, že na i-tém místě náhodně taženého čísla je číslice 1 (i {1, 2, 3}). Jsou jevy A1, A2, A3 nezávislé? ##### Příklad 4.2 Jevy A, B, C, jsou nezávislé, pro jejich pravděpodobnosti platí P(A) = 0,5, P(B) = 0,5, P(C) = 0,25. Jaká je pravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho jevu? ##### Příklad 4.3 Systém je složen ze dvou bloků, jev Ai znamená, že i-tý blok funguje. Jevy A1, A2 jsou nezávislé. Známe P(A1) = 1, P(A2) = 2. Jaká je pravděpodobnost, že systém funguje, jsou-li bloky zapojeny a) sériově, b) paralelně? ##### Příklad 4.4 Opakovaně házíme kostkou, za úspěch považujeme padnutí šestky. Pravděpodobnost úspěchu je = 1/6. Určete a) pravděpodobnost, že prvnímu úspěchu předchází x neúspěchů, b) pravděpodobnost, že k-tému úspěchu předchází x neúspěchů, c) pravděpodobnost, že z n pokusů je k úspěšných. ##### Příklad 4.5 Na mostě se vlaky potkají max. jednou denně, a to s pravděpodobností 0,2. S ja- kou pravděpodobností se vlaky během týdne potkají a) právě třikrát b) nejvýše třikrát, c) aspoň třikrát? ##### Příklad 4.6 Dvacetkrát hodíme třemi mincemi, jaká je pravděpodobnost, že aspoň jednou padnou tři líce? 5 Náhodné veličiny -------------------------------- ##### Příklad 5.1 Náhodná veličina X udává maximální počet bezprostředně sousedících stejných číslic v binárním řetězci délky 3. Stanovte pravděpodobnostní funkci této náhodné veličiny. ##### Příklad 5.2 Střelec má čtyři náboje a střílí do terče až do prvního zásahu. Náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Najděte její pravděpodobnostní funkci, je-li pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu 0,6. ##### Příklad 5.3 Může být funkce $f(x) = c(1 - \theta)^x$ pro $x \in N_0$, 0 jinak pro $\theta \in (0; 1)$ a vhodné $c$ pravděpodobnostní? A distribuční? ##### Příklad 5.4 Čtyřikrát hodíme mincí, X označuje počet líců, najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci. ##### Příklad 5.5 Diskrétní náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci $p(x) = k.0,7^x$ pro $x \in N$, 0 jinak. a) určete konstantu k, b) určete P(X > 4), c) určete P(1 < X < 4). ##### Příklad 5.6 Spojitá náhodná veličina má hustotu pravděpodobnosti $f(x) = ax$ pro $x \in (0; 1)$, 0 jinak. Určete konstantu *a* a vypočtěte P(1/3 < X < 2/3). ##### Příklad 5.7 Spojitá náhodná veličina má distribuční funkci $F(x) = (x+5)/7$ pro $x \in (2; 5)$, hodnotu 0 pod tímto intervalem a 1 nad. a) Určete hustotu pravděpodobnosti. b) Určete P(-2 < X 2) pomocí hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. ##### Příklad 5.8 Najděte konstantu c tak, aby funkce $f(x) =c x^2 (1 - x)$ pro 0 < x < 1, 0 jinak, byla hustotou pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X. Najděte její distribuční funkci a určete pravděpodobnost P(0, X < 0,8). ##### Příklad 5.9 Kolikrát padne šestka, hodíme-li 11× kostkou? Kolik hodů předchází prvnímu padnutí šestky. ##### Příklad 5.10 Zkouší se telefonní spojení v n = 10 pokusech, pravděpodobnost úspěchu v jed- nom pokusu je = 0,23, jaká je pravděpodobnost, že bude úspěšných celkem x pokusů? ##### Příklad 5.11 Odvoďte pravděpodobnostní funkci Poissonova rozdělení. ##### Příklad 5.12 V nemocnici je průměrný počet volání lékaře při směně 3, jaká je pravděpodobnost, že lékař stráví nerušenou noc za předpokladu, že jednotlivá volání jsou náhodné nezávislé jevy? ##### Příklad 5.13 Z radioaktivního zdroje vyletí za jednotku času v průměru 10 částic, jaká je pravděpodobnost, že jich vyletí 0, 2, 5, 10, 100? ##### Příklad 5.14 Radioaktivní částice se náhodně rozpadá, pravděpodobnost rozpadu za malý časový úsek délky t je t. Uvažujte částice, které existovaly v okamžiku t0 = 0. Určete a) Pravděpodobnost P(t), že se částice dožije okamžiku t b) Hustotu pravděpodobnosti rozpadu v okamžiku t. 6 Náhodné vektory, nezávislé náhodné proměnné -------------------------------- ##### Příklad 6.1 Systém je tvořen dvěma bloky. Pravděpodobnost funkčnosti i-tého bloku je i, pravděpodobnost funkčnosti obou dvou bloků současně je 12 . Zavedeme náhodné proměnné $X_i$, které budou popisovat funkčnost i-tého bloku (0 bude znamenat nefunkční, 1 funkční blok). Určete simultánní a obě marginální pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru $(X_1, X_2)$. ##### Příklad 6.2 Spojitý náhodný vektor $(X_1, X_2, X_3)$ má (simultánní) hustotu pravděpodobnosti $f(x_1, x_2, x_3) = k x_1 x_2 x_3^2$ pro $x_1 \in (0; 1)$, $x_2 \in (0; 1)$, $x_3 \in (0; 3)$, jinak 0. a) Určete normovací konstantu $k$ b) Určete $P(0 < X_1 < 1/2, 1/3 < X_2 < 2/3, 1 < X_3 < 2)$ c) Určete simultánní distribuční funkci a všechny marginální distribuční funkce jedné proměnné. ##### Příklad 6.3 Diskrétní náhodný vektor $(X_1, X_2, X_3)$ je popsán (simultánní) pravděpodobnostní funkcí $f(x_1, x_2, x_3) = k x_1 x_2 x_3^2$ pro $x_1 \in {0, 1}$, $x_2 \in {0, 1}$, $x_3 \in {0,1,2,3}$, jinak 0. a) Určete normovací konstantu k b) Najděte marginální pravděpodobnostní funkci 3 náhodné proměnné $X_3$. c) Najděte marginální pravděpodobnostní funkci 12 náhodného vektoru $(X_1, X_2)$. ##### Příklad 6.4 Spojitý náhodný vektor $(X_1, X_2)$ je popsán hustotou pravděpodobnosti $f(x_1, x_2) =24 x_1^2 (1 - x_1) x_2$, $x_1 \in (0, 1)$, $x_2 \in (0, 1)$ Najdeme obě marginální hustoty pravděpodobnosti a ověříme platnost multiplikativního vztahu $f(x_1, x_2) = f_1(x_1)f_2(x_2)$. ##### Příklad 6.5 Náhodné veličiny $T_1$, $T_2$, popisující doby života dvou částic, se řídí exponenciálním rozdělením s parametry 1 = 1 s-1, 2 = 0,5 s-1 a jsou navzájem nezávislé. Jaká je pravděpodobnost, že druhá částice přežije první? ##### Příklad 6.6 Předpokládejme, že doba čekání zákazníka u pokladny se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem *k* a že doby čekání různých zákazníků jsou navzájem nezávislé. Vybereme-li náhodně *n* zákazníků, jaká je pravděpodobnost, že a) nejdéle čekající zákazník čekal nejvýše po dobu *y* b) nejméně čekající zákazník čekal aspoň po dobu *z*