Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující tíhový účinek koule podle vzorce pro vertikální složku. cvGvys01b hloubka středu koule h = 500 m poloměr koule R = 150 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Pro gravitační zrychlení g obecně platí: Vzdálenost je ale: cvGvys01b Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Gravitační zrychlení tedy je dáno: Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení gz: cvGvys01c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Gravitační zrychlení tedy je dáno: Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení gz: Současně ale vidíme, že sina si můžeme vyjádřit jako: cvGvys01c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Tedy: cvGvys01c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Hmotnost M je v našem případě nutno chápat nikoli jako celou hmotnost koule, ale jako diferenční hmotnost (oč je hmotnost odlišná od hmotnosti okolního prostředí o stejném objemu). M tedy závisí na objemu a na diferenční hustotě s: cvGvys01c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Hmotnost M je v našem případě tedy: Vertikální složka g je po dosazení: cvGvys01c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot vertikální složky gravitačního zrychlení v jednotlivých bodech profilu: x [m] Vz [m/s2] x [m] Vz [m/s2] -2500 1,42252 . 10-8 200 1,50949 . 10-6 -2250 1,92522 . 10-8 400 8,97951 . 10-7 -2000 2,69057 . 10-8 600 4,94804 . 10-7 -1750 3,91016 . 10-8 800 2,80765 . 10-7 -1500 5,96373 . 10-8 1000 1,6868 . 10-7 -1250 9,66076 . 10-8 1250 9,66076 . 10-8 -1000 1,6868 . 10-7 1500 5,96373 . 10-8 -800 2,80765 . 10-7 1750 3,91016 . 10-8 -600 4,94804 . 10-7 2000 2,69057 . 10-8 -400 8,97951 . 10-7 2250 1,92522 . 10-8 -200 1,50949 . 10-6 2500 1,42252 . 10-8 0 1,8859 . 10-6 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vypočtené hodnoty pak vyneseme do grafu: cvGvys01d Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m diferenční hustota s = 500 kg/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Dosadíme do vzorce pro hmotnost M: Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr. Opět dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi poloměrem a tíhovým účinkem: Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Poloměr se zvětšil dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zvětšil osmkrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m poloměr R = 180 m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-7 m/s2. Opět hledáme hmotnost M: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní známe hmotnost i poloměr, hledáme diferenční hustotu. Opět dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi diferenční hustotou a tíhovým účinkem: Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti – hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Diferenční hustota se zvětšila dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zvětšil dvakrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 0m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-6 m/s2. diferenční hustota s = 500 kg/m3 poloměr R = 180 m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 0m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10-6 m/s2. Všimněme si, že pro x=0 (tj. pro místo přímo nad středem tělesa) se vzorec pro tíhový účinek výrazně zjednoduší: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Snadno si ze zjednodušeného vzorce vyjádříme h: Potřebujeme znát také hmotnost M: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní snadno dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cvGvys01d Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi hloubkou a tíhovým účinkem: Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Vyjdeme ze zjednodušeného vzorce pro x=0: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.6: Kolikrát se zmenší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Tíhový účinek je nepřímo úměrný hloubce. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 1.6: Kolikrát se zmenší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Hloubka se zvětšila dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zmenšil čtyřikrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Řešení úloh: verze 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 verze 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1 164 m 8krát 82 kg/m3 2krát 591 m 4krát 11 228 m 8krát 220 kg/m3 2krát 427 m 4krát 2 206 m 8krát 163 kg/m3 2krát 430 m 4krát 12 292 m 8krát 461 kg/m3 2krát 295 m 4krát 3 218 m 8krát 193 kg/m3 2krát 396 m 4krát 13 309 m 8krát 545 kg/m3 2krát 272 m 4krát 4 254 m 8krát 304 kg/m3 2krát 315 m 4krát 14 359 m 8krát 859 kg/m3 2krát 216 m 4krát 5 264 m 8krát 341 kg/m3 2krát 298 m 4krát 15 373 m 8krát 964 kg/m3 2krát 204 m 4krát 6 167 m 8krát 87 kg/m3 2krát 557 m 4krát 16 241 m 8krát 260 kg/m3 2krát 382 m 4krát 7 214 m 8krát 182 kg/m3 2krát 385 m 4krát 17 309 m 8krát 546 kg/m3 2krát 264 m 4krát 8 227 m 8krát 215 kg/m3 2krát 354 m 4krát 18 327 m 8krát 645 kg/m3 2krát 243 m 4krát 9 264 m 8krát 340 kg/m3 2krát 282 m 4krát 19 380 m 8krát 1017 kg/m3 2krát 193 m 4krát 10 274 m 8krát 381 kg/m3 2krát 266 m 4krát 20 395 m 8krát 1141 kg/m3 2krát 183 m 4krát Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující magnetický účinek DT v severojižním směru způsobenou tenkou svislou deskou, na základě vztahu: susceptibilita k = 0.006 indukce normálního mag. pole T0 = 50000 nT inklinace normálního mag. pole In = 50° hloubka horního okraje desky h = 2 m mocnost desky 2b = 0.5 m cvGvys02c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Po dosazení známých hodnot získáme: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot magnetického účinku tenké svislé desky DT v jednotlivých bodech profilu: x [m] DT [nT] x [m] DT [nT] -20 1,184 1 -3,043 -15 1,576 2 -4,841 -10 2,340 3 -4,787 -8 2,888 4 -4,288 -7 3,262 5 -3,768 -6 3,734 6 -3,319 -5 4,339 7 -2,949 -4 5,117 8 -2,644 -3 6,063 10 -2,181 -2 6,914 15 -1,504 -1 6,360 20 -1,143 0 2,027 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vypočtené hodnoty pak vyneseme do grafu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Všimněme si na našem výchozím vztahu blíže goniometrických funkcí. Obě funkce jsou aplikovány na dvojnásobek inklinace normálního magnetického pole – pokud je tedy In=45°, mají obě funkce triviální řešení (sin2.In=1; cos2.In=0) a náš vzorec se podstatně zjednoduší: cvGvys02c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Graf fukce DT je pro tento zjedodušený případ (In=0) středově symetrický: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vraťme se ale k naší obecnější úloze a k asymetrickému grafu funkce DT. Graf se vyznačuje jedním maximem a jedním minimem hodnot DT. maximum minimum Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vraťme se k našemu původnímu zadání a zkusme vykreslit další grafy funkce magnetického účinku svislé tenké desky pro různé hloubky (ostatní parametry zůstanou nezměněny): susceptibilita k = 0.006 indukce normálního mag. pole T0 = 50000 nT inklinace normálního mag. pole In = 50° hloubka horního okraje desky h = 2-5 m mocnost desky 2b = 0.5 m cvGvys02c Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Zjišťujeme, že se s rostoucí hloubkou jednak zmenšuje absolutní hodnota DT v minimu a maximu funkce DT, a jednak že se od sebe vzdalují x-ové souřadnice maxima minima. maxima minima Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vzdálenost x-ových souřadnic minima a maxima funkce DT závisí na hloubce. Lze ukázat, že platí vztah: maximum minimum xmax xmin Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 2.1: Urči hloubku tenké svislé desky, jejíž magnetický účinek DT je znázorněn na daném grafu. Hodnota inklinace In je 51°. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.1: Urči hloubku tenké svislé desky, jejíž magnetický účinek DT je znázorněn na daném grafu. Hodnota inklinace In je 51°. Protože máme k dispozici graf, můžeme vyjít ze vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nalezneme v grafu minimum a maximum funkce DT a odečteme x-ové souřadnice v těchto bodech: maximum minimum xmax xmin Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní můžeme dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.2: Vypočti mocnost tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je DT=4,5421nT, jestliže je známo, že hloubka horního okraje desky je 3m, její suseptibilita je 0,006 jednotek SI, inklinace normálního magnetického pole In=50° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT. Výjdeme ze vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vyjádříme si mocnost 2b: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Všechny hodnoty ve vzorci jsou známé, můžeme tedy dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi mocností tenké desky a jejím magnetickým účinkem: Úloha 2.3: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se mocnost tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.3: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se mocnost tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Mocnost tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.3: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se mocnost tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Mocnost tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.3: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se mocnost tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Mocnost tenké svislé desky se zvětšila dvakrát: Tj.: Hodnota magnetické anomálie DT se zvětšila dvakrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.4: Vypočti susceptibilitu materiálu tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je DT=4,5421nT, jestliže je známo, že hloubka horního okraje desky je 3m, její mocnost 2b=1m, inklinace normálního magnetického pole In=50° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT. Výjdeme ze vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vyjádříme si susceptibilitu k: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Všechny hodnoty ve vzorci jsou známé, můžeme tedy dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi susceptibilitou tenké desky a jejím magnetickým účinkem: Úloha 2.5: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se susceptibilita tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.5: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se susceptibilita tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Susceptibilita tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.5: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se susceptibilita tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Susceptibilita tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.5: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie DT, zvětší-li se susceptibilita tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát? Susceptibilita tenké svislé desky se zvětšila dvakrát: Tj.: Hodnota magnetické anomálie DT se zvětšila dvakrát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.6: Vypočti hloubku horního okraje tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je DT=4,3804nT, jestliže je známo, že mocnost desky je 2b=1m, její suseptibilita je 0,006 jednotek SI, inklinace normálního magnetického pole In=45° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT. Výjdeme ze vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Dosadíme nejprve za inklinaci In=45°: Vidíme, že goniometrické funkce nabývají v tomto případě triviálních hodnot a náš vzorec se silně zjednodušší. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Výjdeme ze zjedodušeného vzorce a vyjádříme si hloubku h: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Všechny hodnoty ve vzorci jsou známé, můžeme tedy dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi hloubkou horního okraje tenké desky a jejím magnetickým účinkem: Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie DT v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek? Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie DT v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek? Při inklinaci In=45°, jak jsme ukázali v předešlé úloze, nabívají goniometrické funkce ve vzorci triviálních hodnot a vzorec přechází do jednodušší formy: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie DT v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek? Hloubka horního okraje tenké svislé desky se ve zjednodušeném vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie DT v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek? Hloubka horního okraje tenké svislé desky se ve zjednodušeném vzorci oběvuje na jediném místě: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie DT v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek? Známe honotu x (x=-10m), i hloubku h1 (h1=2m) a h2 (h2=2*h1=4m). Můžeme tedy dosadit do vzorce: Hodnota magnetické anomálie DT se zvětšila 1.115 krát. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 2. Úlohy z magnetometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Řešení úloh: verze 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 1 1m 1m 3krát 0,005 3krát 2m 1,066krát 2 2m 2m 3krát 0,005 3krát 2m 1,066krát 3 2m 2m 3krát 0,005 3krát 4m 1,066krát 4 3m 1m 3krát 0,005 3krát 4m 1,066krát 5 2m 1m 3krát 0,005 3krát 5m 1,066krát 6 1m 1m 3krát 0,008 3krát 5m 1,414krát 7 2m 1m 3krát 0,008 3krát 5m 1,414krát 8 2m 1,5m 3krát 0,008 3krát 3m 1,414krát 9 3m 1,5m 3krát 0,008 3krát 3m 1,414krát 10 2m 1m 3krát 0,008 3krát 2m 1,414krát Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úvodní problém – nakreslete hodochronu přímé a lomené vlny. Předpokládáme, že zdrojem vln byl odpal na povrchu a lomená vlna vzniká na vodorovném rozhraní v hloubce 10m. Rychlost vlny v první vrstvě v0=600 ms-1 Rychlost vlny v druhé vrstvě v1=2000 ms-1 cv200403-1 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Hodochrona je křivka popisující závislost mezi časem detekce a vzdáleností od bodu odpalu. V homogenním prostředí je tato závislost přímková. Budeme ji sledovat na horizontálním profilu. t … čas detekce d … dráha v … rychlost seismika01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Předpokládáme homogenní dvouvrstevné prostředí dané dvěma rychlostmi: Rychlost vlny v první vrstvě v0=600 ms-1 Rychlost vlny v druhé vrstvě v1=2000 ms-1 seismika01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 seismika01 Nyní záleží na dráze. Sestrojme nejprve hodochronu vlny přímé. Přímá vlna se pohybuje pouze 1.vrstvou a to po nejkratší dráze. cv200403-1 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Dráha d tedy odpovídá vzdálenosti od místo odpalu do místa záznamu. Rychlost je konstantní a odpovídá v0=600 ms-1. kde x … vzdálenost bodu záznamu od bodu odpalu na vodorovném profilu, na kterém sledujeme čas detekce t. cv200403-1 seismika01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Dráha d tedy odpovídá vzdálenosti od místo odpalu do místa záznamu. Rychlost je konstantní a odpovídá v0=600 ms-1. kde x … vzdálenost bodu záznamu od bodu odpalu na vodorovném profilu, na kterém sledujeme čas detekce t. cv200403-1 seismika02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Přímá vlna může být detekována již v bodě odpalu a hodochrona přímé vlny prochází počátkem souřadné soustavy. seismika02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 seismika01 Dále sestrojíme hodochronu vlny lomené. Její dráha je komplikovanější. cv200403-1 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 seismika01 Lomená vlna se šíří 1.vrstvou rychlostí v0, na rozhraní 1. a 2. vrstvy se láme podél rozhraní, kudy se šíří rychlostí v1, a pak se opět vraci k povrchu 1.vrstvou rychlostí v0. cv200403-1 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Aby se vlna lámala podél rozhraní, musí na něj dopadat pod kritickým úhlem i, který odvodíme ze Snellova zákona. cv200403-5 Snell_01_ Willebrord van Roijen Snell (1580-1626) Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Kritický úhel odvodíme ze Snellova vztahu: cv200403-1 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Rychlosti známe, tj. můžeme dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Dráhu d i vzdálenost bodu záznamu od bodu odpalu x si můžeme rozdělit na tři úseky: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Pro úsek d1 platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Totéž platí pro úsek d3: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Pro úsek d2 platí: Protože platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Pro úsek x1 platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Tedy, pro úsek d2 platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Přitom drahami d1 a d3 se signál šíří rychlostí v0, dráhou d2 se signál šíří rychlostí v1. Pro čas detekce t tedy platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Tedy: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Tedy: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní již můžeme dosadit do vzorce hodnoty všech proměnných: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní již můžeme dosadit do vzorce hodnoty všech proměnných: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní můžeme dosazovat různá x a vypočítat odpovídající časy t, které pak můžeme vynést do grafu. seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Je zřejmé, že lomená vlna nemůže být detekována již v bodě odpalu, ale že může dosáhnou povrchu nejdříve ve vzdálenosti x1+x3=2.x1 seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Lomená vlna nemůže být detekována již v bodě odpalu a hodochrona lomené vlny neprochází počátkem souřadné soustavy. seismika03 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní máme sestrojeny hodochrony přímé i lomené vlny. seismika04 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 3.1: Urči úhel, pod kterým se signál bude lámat do druhé vrstvy, jestliže na rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou dopadl pod úhlem 20°, rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1. seismika04 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úloha 3.1: Urči úhel, pod kterým se signál bude lámat do druhé vrstvy, jestliže na rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou dopadl pod úhlem 20°, rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1. Výjdeme ze Snellova zákona: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Snadno si vyjádříme úhel lomu a1: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní snadno dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 3.2: Urči kritický úhel, pod kterým dopadá lomená vlna na rozhraní, jestliže rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1. seismika04 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úloha 3.2: Urči kritický úhel, pod kterým dopadá lomená vlna na rozhraní, jestliže rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1. Pro kritický úhel i platí toto pravidlo odvozené ze Snellova zákona: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Tj. Nyní snadno dosadíme do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 3.3: Urči z hodochrony přímé vlny její rychlost. seismika04 seismika05 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úloha 3.3: Urči z hodochrony přímé vlny její rychlost. Hodochrona znázorňuje vzdálenost času detekce (šíření) vlny na vzdálenosti. Přímo z grafu tedy můžeme odečist příslušný úsek dráhu a času. seismika06 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Podíl příslušných úseků dráhy a času odpovídá rychlosti: seismika06 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 3.4: Urči z hodochrony lomené vlny její rychlost. seismika04 seismika07 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úloha 3.4: Urči z hodochrony lomené vlny její rychlost. Hodochrona znázorňuje vzdálenost času detekce (šíření) vlny na vzdálenosti. Také u lomené vlny můžeme přímo z grafu odečist příslušný úsek dráhu a času. seismika08 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Podíl příslušných úseků dráhy a času odpovídá rychlosti: seismika08 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 3.5: Urči nejmenší vzdálenost od bodu odpalu, ve které může být zaznamenána lomená vlna, jestliže rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou se nachází v hloubce 10m, rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1.. seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Úloha 3.5: Urči nejmenší vzdálenost od bodu odpalu, ve které může být zaznamenána lomená vlna, jestliže rozhraní mezi 1. a 2. vrstvou se nachází v hloubce 10m, rychlost v0 v 1.vrstvě je 800ms-1 a rychlost v1 ve 2. vrstvě je 1800ms-1. Je zřejmé, že lomená vlna nemůže být detekována již v bodě odpalu, ale že může dosáhnou povrchu nejdříve ve vzdálenosti x1+x3=2.x1 seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Pro úsek x1 platí: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Tj. pro 2x1 platí: Ze Snellova zákona plyne, že: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Snadno si můžeme tedy vypočítat hodnotu sin(i): seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nebo můžeme využít vztahů mezi goniometrickými funkcemi: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Pro výpočet vzdálenost 2x1 ale potřebujeme znát tg(i). Můžeme si buď odvodit přímo velikost kritického úhlu i a aplikovat funkci tg: Nebo můžeme využít vztahů mezi goniometrickými funkcemi: Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Nyní můžeme snadno dosadit do vzorce pro 2x1: seismika-nacrt02 Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 3. Úlohy ze seismiky Základy Geofyziky: cvičení, Brno, podzim 2007 Řešení úloh: verze 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 verze 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 1 58,8° 23,6° 600 m/s 2000 m/s 10,7m 11 71,3° 21,2° 600 m/s 2000 m/s 12,7m 2 49,5° 26,7° 500 m/s 1900 m/s 12,5m 12 61,6° 22,9° 500 m/s 1900 m/s 15,2m 3 77,7° 20,5° 400 m/s 1750 m/s 11,5m 13 55,2° 24,6° 400 m/s 1750 m/s 20,8m 4 65,8° 22,0° 700 m/s 2200 m/s 9,8m 14 46,4° 28,2° 700 m/s 2200 m/s 19,3m 5 53,6° 25,2° 800 m/s 2500 m/s 13,5m 15 43,2° 30,0° 800 m/s 2500 m/s 11,9m 6 54,3° 24,9° 600 m/s 2000 m/s 11,5m 16 46,6° 28,1° 600 m/s 2000 m/s 13,9m 7 46,2° 28,3° 500 m/s 1900 m/s 8,7m 17 56,2° 24,3° 500 m/s 1900 m/s 16,1m 8 68,2° 21,6° 400 m/s 1750 m/s 9,2m 18 50,8° 26,2° 400 m/s 1750 m/s 13,1m 9 60,0° 23,2° 700 m/s 2200 m/s 10,7m 19 43,2° 30,0° 700 m/s 2200 m/s 11,2m 10 49,9° 26,6° 800 m/s 2500 m/s 17,3m 20 40,2° 32,0° 800 m/s 2500 m/s 15,1m Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úvodní problém – sestrojte graf vyjadřující závislost úbytku uranu Nt/N0 na čase t. N0 … počer atomů uranu v čase t=0 Nt … počet atomů uranu v čase t Uran se rozpadá na thorium s poločasem rozpadu T=7.108 let. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Mezi počátečním počtem atomů uranu N0 a počtem zbývajících atomů Nt v čase t platí vztah: kde l je rozpadová konstanta prvku, která souvisí s poločasem rozpadu T podle vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Rozpadovou konstantu l si tedy můžeme vyjádřit jako: Pak dosadíme do vztahu (čas můžeme dosadit v jednotkách „rok“ za předpokladu, že budeme i v dalším postupu pracovat důsledně s touto jednotkou času): Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Máme sestrojit graf vyjadřující úbytek atomů uranu v čase (tj. graf Nt/N0 ku času t), vyjádříme si tedy vztah pro poměr Nt/N0: Pro vyjádření poměru Nt/N0 nemusíme nutně znát počáteční počet atomů N0. Je zřejmé, že počet atomů rozpadajícího se prvku v čase klesá, na počátku je tedy počet atomů nejvyšší. Můžeme si pak tento počet obecně vyjádřit jako 100%. Nt pak představuje procento dosud nerozpadlých atomů. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Vypočteme hodnoty poměru Nt/N0 pro vhodně zvolené časy t tak, abychom mohli sestrojit požadovaný graf (krok na časové ose tedy volíme s ohledem na velikost poločasu rozpadu – pro ilustrativnost grafu je vhodné, aby délka časové osy byla alespoň pětinásobek poločasu rozpadu). Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 cv200406-01 Pak sestrojíme graf: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 4.1: Určete dobu, za kterou se rozpadne 75% atomu uranu , jestliže víme, že jeho poločas rozpadu je T=7.108 let. cv200406-01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 4.1: Určete dobu, za kterou se rozpadne 75% atomu uranu , jestliže víme, že jeho poločas rozpadu je T=7.108 let. Máme vypočítat dobu, za kterou se rozpadne 75% atomů uranu – tj. máme vypočítat dobu, za kterou v systému zůstane zachováno 25% původních atomů uranu. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Poměr Nt/N0 vyjadřuje poměrné zastoupení atomů, které zbyly: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní si vyjádříme čas t: Abychom mohli dosadit do vzorce, potřebujeme ještě znát rozpadovou konstanu l. Známe poločas rozpadu T. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Rozpadovou konstantu l si tedy můžeme vyjádřit jako: Pak dosadíme do vztahu (čas můžeme dosadit v jednotkách „rok“ za předpokladu, že budeme i v dalším postupu pracovat důsledně s touto jednotkou času): Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní již můžeme dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 4.2: Určete jaké procento atomů uranu se rozpadne za 5.108let, jestliže víme, že jeho poločas rozpadu je T=7.108 let. cv200406-01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 4.2: Určete jaké procento atomů uranu se rozpadne za 5.108let, jestliže víme, že jeho poločas rozpadu je T=7.108 let. Opět výjdeme ze základního vztahu. Nyní se ptáme přímo na poměr Nt/N0. Abychom ale mohli dosadit do vzorce, potřebujeme ještě znát rozpadovou konstanu l. Známe poločas rozpadu T. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Rozpadovou konstantu l si tedy můžeme vyjádřit jako: Pak dosadíme do vztahu (čas můžeme dosadit v jednotkách „rok“ za předpokladu, že budeme i v dalším postupu pracovat důsledně s touto jednotkou času): Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Pak již můžeme dosadit do vzorce: Chceme-li znát procentuální zastoupení prvků, které se nerozpadly, dosadíme za N0=100%. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha se ale neptala no množství nerozpadlých atomů, ale na množství atomů rozpadlých, což je doplněk do 100%. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 4.3: Určete poločas rozpadu radioaktivního prvku, jestliže víme, že za čas t=9,25.108 let se rozpadne 60% atomů. cv200406-01 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha 4.3: Určete poločas rozpadu radioaktivního prvku, jestliže víme, že za čas t=9,25.108 let se rozpadne 60% atomů. Víme, že za danou se rozpadne 60% atomů uranu – tj. za tuto dobu zůstane v systému zachováno 40% původních atomů uranu. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Poměr Nt/N0 vyjadřuje poměrné zastoupení atomů, které zbyly: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Nyní si vyjádříme rozpadovou konstantu l: A protože čas známe, můžeme jej dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Úloha se ale ptá na poločas rozpadu T: Rozpadovou konstantu ovšem již známe a můžeme tedy dosadit do vzorce: Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 4. Úlohy z radiometrie Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 Řešení úloh: verze 4.1 4.2 4.3 verze 4.1 4.2 4.3 1 7,6 dne 66,5% 3,8 dne 7 12,6 dne 42,1% 3,8 dne 2 3244 let 57,5% 1622 let 8 5388 let 34,8% 1622 let 3 9,0.109 let 60,3% 4,5*109 let 9 1,49.1010 let 46,0% 4,5*109 let 4 5,02 dne 51,8% 3,8 dne 10 4,38 dne 72,1% 3,8 dne 5 2144 let 47,3% 1622 let 11 1868,5 let 72,3% 1622 let 6 5,95.109 let 53,7% 4,5*109 let 12 5,18.109 let 78,6% 4,5*109 let