jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Při výkladu základů seismologie se nelze zcela vyhnout
některým matematickým odvozením, a to i komplikovanějším
částem. Některé z nich vyžadují práci se složitějšími
matematickými nástroji, jejichž úplné objasnění jde výrazně
nad rámec záměru kurzu „Zpracování seismických dat“.
Proto tyto části chápejte jako nepovinný doplněk, jehož cílem
je doplnit výklad tak, aby ti, kteří chtějí, mohli danou
problematiku sledovat v celé její šíři.
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Zpracování seismických dat
II. Seismický signál jako vlnová funkce
Josef Havíř
Josef.Havir@ipe.muni.cz
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Fourierova řada
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Každou jakkoli složitou a nepravidelnou vlnovou funkci lze
popsat jako součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus
(Fourierova řada)
   
  ...sincos...
2sin2cossincos)( 22110


tnbtna
tbtatbtaatu
nn 

 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
Úhlová rychlost
- v matematickém vyjádření Fourierovy řady vystupuje
veličina  ... úhlová rychlost
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
T
f


2
2 
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Funkci popisující vlnění v závislosti na čase si tedy můžeme
představit jako součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus,
tyto jednotlivé křivky se vzájemně liší amplitudou a
frekvencí. Koeficienty bn a an popisují právě amplitudy
příslušející funkci sinus a kosinus o určité frekvenci.
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Fourierovy koeficienty
- konstanty a0, an a bn si můžeme obecně vyjádřit
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Rozložme vlnovou funkci pro periodu T (předpokládejme
periodickou funkci) do součtu sinusovek a konstanty a0.
Vidíme, že plocha A vymezená jednotlivými sinusovkami, je
nulová. Plocha vymezená křivkou a0 je rovna součinu a0.T.
Tj. také velikost plochy vymezené vlnovou funkcí u(t)
odpovídá součinu a0.T.
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Velikost plochy vymezené vlnovou
funkcí u(t) odpovídá součinu a0.T.
Tadttu
T
.)( 0
0

dttu
T
a
T

0
0 )(
1
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Dále vynásobme vlnovou funkci u(t) výrazem cos(t) a
podívejme se, jakou plochu nyní budou vymezovat jednotlivé
křivky Fourierovy řady.
Křivka a1cost.cost vymezuje plochu a1.(T/2)
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Plochy vymezené všemi ostatními křivkami jednotlivých členů
Fourierovy řady jsou nulové
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Velikost plochy vymezené vlnovou funkcí
u(t).cost odpovídá součinu a1.(T/2).
Analogicky lze ukázat, že platí:
 
2
.cos)( 1
0
T
adtttu
T
 
 dtttu
T
a
T
cos)(
2
0
1 
 
2
.cos)(
0
T
adttntu n
T
 
 dttntu
T
a
T
n cos)(
2
0
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Stejně bychom mohli odvodit, že velikost
plochy vymezené vlnovou funkcí u(t).sint
odpovídá součinu b1.(T/2).
Analogicky lze ukázat, že platí:
 
2
.sin)( 1
0
T
bdtttu
T
 
 dtttu
T
b
T
sin)(
2
0
1 
 
2
.sin)(
0
T
bdttntu n
T
 
 dttntu
T
b
T
n sin)(
2
0
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Pro Fourierovy koeficienty tedy platí:
 dttntu
T
b
T
n sin)(
2
0
dttu
T
a
T

0
0 )(
1
 dttntu
T
a
T
n cos)(
2
0
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Fourierova expanze - komplexní tvar
- převod Fourierovy řady na komplexní tvar využívá Eulerova
vzorce, který popisuje vztah mezi goniometrickými funkcemi
a exponenciální funkcí
Leonhard Paul Euler
(1707-1783)
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
vyjdeme z eulerova vzorce:
provedeme substituci:
získáme vztahy:
vhodným součtem těchto vztahů si vyjádříme goniometrické
funkce:

sin.cos iei

tn 
tnitne
tnitne
tin
tin




sin.cos
sin.cos



 
 tintin
tintin
ee
i
tn
eetn








2
1
sin
2
1
cos
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Do rovnice Fourierovy řady můžeme dosadit komplexní
členy:
 
 tintin
tintin
ee
i
tn
eetn








2
1
sin
2
1
cos
 



1
0 sincos)(
n
nn tnbtnaatu 
   










1
0
22
)(
n
tintinntintinn
ee
i
b
ee
a
atu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Rovnici můžeme upravit a zjednodušit:
   










1
0
22
)(
n
tintinntintinn
ee
i
b
ee
a
atu 
   








1
0
2
1
2
1
)(
n
tin
nn
tin
nn eibaeibaatu 
 
  


 
T
tin
nnn
T
tin
nnn
dtetu
T
ibaB
dtetu
T
ibaA
0
0
)(
1
2
1
)(
1
2
1


 




1
0)(
n
tin
n
tin
n eBeAatu 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vyjdeme-li ze vztahu:
Lze ukázat, že rozšíříme-li n na všechna celá čísla (tj.i na
hodnotu 0 a na záporná čísla,pak platí:



T
tin
n dtetu
T
A
0
)(
1 
n
T
tin
T
tni
n
TT
ti
Bdtetu
T
dtetu
T
A
adttu
T
dtetu
T
A







00
)(
0
00
0
0
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1


podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
V komplexním tvaru si tedy můžeme všechny koeficienty (a0,
An, Bn) vyjádřit jediným koeficientem, rozšíříme-li n na
všechna celá čísla, a Fourierovu řadu můžeme zjednodušit
na tvar:
Kde:




n
tin
neCtu 
)(



T
tin
n dtetu
T
C
0
)(
1 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Fourierova transformace
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vezmeme-li v úvahu určitý časový úsek, můžeme v tomto
časovém úseku určit amplitudy příslušející jednotlivým
frekvencím (koeficienty bn a an) a můžeme tak číselně
vyjádřit, v jaké míře se jednotlivé konkrétní frekvence
podílejí na popisu celkového signálu. Můžeme tedy sestrojit
funkci, která popisuje amplitudu signálu v závislosti nikoli na
čase, ale na frekvenci, tj. frekvenční spektrum.
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Matematická operace, která popisuje převod časové funkce
signálu (seismogram) na funkci závislou na frekvenci
(Fourierovo spektrum), se nazývá Fourierova
transformace.
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Nejsnáze si matematicky představíme princip Fourierovy
transformace, když vyjdeme z komplexního tvaru Fourierovy
řady:
A z vyjádření koeficientu Cn:




n
tin
neCtu 
)(



T
tin
n dtetu
T
C
0
)(
1 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Dosaďme do vztahu Fourierovy řady komplexní výraz pro
koeficient Cn:




n
tin
neCtu 
)(




2
2
)(
1
T
T
tin
n dtetu
T
C 
 















n
tin
T
T
tin
edtetu
T
tu 
2
2
)(
1
)(
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Položíme-li, že T jde k nekonečnu, můžeme vztah přepsat:
 















n
tin
T
T
tin
edtetu
T
tu 
2
2
)(
1
)(
dfedtetutu
edtetuftu
ftifti
n
tfin
T
T
tfin
T
nn
 
 






























22
2
2
2
2
)()(
)()( lim
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Výraz v hranaté závorce je pouze funkcí frekvence, protože
integrujeme-li pro čas t od - do , je čas fixován. Můžeme
jej nazvat U(f):
dfefUtu
dfedtetutu
fti
ftifti

 

















2
22
)()(
)()(
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Výsledný vztah je vztahem Fourierovy transformace
dfefUtu
dtetufU
fti
fti











2
2
)()(
)()(
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Funkce U(f) závislá na frekvenci se nazývá spektrum.
-Spektrum je komplexní veličina.
velikost udává tzv. amplitudové spektrum
úhel representuje tzv. fázové spektrum
dtetufU fti




 2
)()(
)( fU
 )(arg fU
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Zpracování seismických dat
IV. Dráha seismického paprsku
Josef Havíř
Josef.Havir@ipe.muni.cz
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Rovnice odražené vlny
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
V případě vodorovného rozhraní je délka dráhy do místa odrazu stejná,
jako délka dráhy z místa odrazu. Z pravoúhlého trojúhelníka snadno
odvodíme:
kde d je dráha paprsku odražené
vlny a a je úhel dopadu 
d
2h
2
d
h
αcos 







podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Z obecného vztahu:
Získáme:
 αcos
2h
d 
1v
d
t 
  1v
1
αcos
2h
t 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Úhel dopadu a ale závisí na epicentrální vzdálenosti. Z pravoúhlého
trojúhelníka můžeme rovněž odvodit.
 
d
x
2
d
2
x
αsin 













podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Z Pythagorovy věty plyne:
222
bac 
Pythagoras ze Samu
(kolem 570 př.n.l.-po 510 př.n.l.)
22
2
2
2
2
2
x4hd
2
x
h2d
2
x
h
2
d



















podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Tj.
Pro goniometrické funkce platí:
Přičemž:
  22
x4h
x
d
x
αsin


   aaaa 222
sin1cos1cos)(sin 
 
  2222
2
22
222
22
2
22
x4h
2h
x4h
4h
x4h
xx4h
cos
x4h
x
1cos
x4h
x
)sin(












a
aa
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Takže vztah pro odraženou vlnu:
můžeme přepsat jako:
  1v
1
αcos
2h
t 
1
22
1
22
v
x4h
v
1
x4h
2h
2h
t




  22
x4h
2h
cos

a
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vztah pro odraženou vlnu není rovnicí přímky!
Hodochrona odražené vlny má tvar hyperboly s minimální hodnotou času
ve staničení x=0.
1
22
v
x4h
t


0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
-400 -200 0 200 400
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Rovnice lomené vlny
(dvouvrstevný model)
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
lomená vlna
  12 v
1
icos
2h
v
r
t 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Tj.
  
 
 
    12
12
v
1
icos
2h
cos
sin2h
X
v
1
v
1
icos
2h
i2.h.tgX
v
1
t








i
i
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Ze Snellova pravidla plyne.
Willebrord van Roijen Snell
(1580-1626)
2
2
1
1
v
sin
v
sin aa
  
2
1
v
v
isin 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Dosaďme:
 
   
    12
1
2
12
v
1
icos
2h
i.cosv
2h.v
X
v
1
v
1
icos
2h
icos
i2hsin
X
v
1
t














podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
A upravme:
   
  2
2
2
1
1
12
1
2
v
X
v
v
v
1
icos
2h
v
1
icos
2h
i.cosv
2h.v
X
v
1
t














podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Zavedeme parametr p (paprskový parametr).
 
  













2
1
1
2
2
2
1
1
.pv
v
1
icos
1
2hX.p
v
X
v
v
v
1
icos
2h
t
2v
1
p 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Víme, že:
Aplikujeme Snellův zákon:
   isin1icos 2

  .pv
v
v
isin 1
2
1

    22
1
2
.pv1isin1icos 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Dosaďme:
 
1
22
1
1
22
1
22
1
2
1
1
v
.pv1
2hX.p
v
.pv1
.
.pv1
1
2hX.p
.pv
v
1
icos
1
2hX.pt












  22
1 .pv1icos 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Zavedeme parametr h1.
  1
2
1
1
2h.ηX.p.pv
v
1
icos
1
2hX.pt 






1
22
1
1
v
.pv-1
η 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vztah pro lomenou vlnu je rovnicí přímky!
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
12h.ηX.pt 
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Rovnice lomené vlny
(vícevrstevný model)
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vztah pro vlnu lomenou podél prvního rozhraní má tvar:
Zavedeme parametr h1.
12h.ηX.pt  1
22
1
1
v
.pv-1
η 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vlna lomená podél druhého rozhraní. Vyjdeme z právě odvozeného
vztahu pro lomenou vlnu, budeme předpokládat, že první rozhraní je
povrchem:
22.η2hY.pt'  2
22
2
2
v
.pv-1
η 
3v
1
p 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Nyní přidáme první vrstvu - dráha se protáhne o délku D, epicentrální
vzdálenost se zvětší o dvojnásobek X a čas průchodu seismické vlny
bude delší o dvojnásobek t.
22.η2hY.pt'  t't2t 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vidíme, že     
       
11
1
22
1
v
jcos
jDcos
v
jsin
jDsin
v
jcosjsinD
v
D
t




podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Snadno odvodíme, že:  jDsinX 
   
123 v
jsin
v
isin
v
1
p 
 jDcosh1 
 
11
22
1
1
v
jcos
v
.pv-1
η 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
A dosadíme:
             
1111 v
jcos
jDcos
v
jsin
X
v
jcos
jDcos
v
jsin
jDsint 
 jDsinX 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
A dosadíme:
         
1
1
111 v
jcos
h
v
jsin
X
v
jcos
jDcos
v
jsin
Xt 
 jDcosh1 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
A dosadíme:
     
1
1
1
1
1 v
jcos
hX.p
v
jcos
h
v
jsin
Xt 
 
1v
jsin
p 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
A dosadíme:
 
11
1
1 ηhΔX.p
v
jcos
hΔX.pΔt 
 
1
1
v
jcos
η 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Tj.: 11ηh2ΔX.p2t2  22.η2hY.pt' 
2211 η2hY.pη2hX.p2t't2t 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Protože: X2YX 
2211
2211
η2hη2hX.p
η2hY.pη2hX.p2t


podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Můžeme psát:


2
1i
iiηh2X.pt
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vlna lomená podél n-tého rozhraní.
Lze ukázat, že před chvílí odvozený vztah můžeme zobecnit:


n
1i
iiηh2X.pt
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Vzdálenost, ve které přímá a
lomená vlna přichází ve
stejný čas
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
V malých epicentrálních vzdálenostech bude nejdříve detekována vlna
přímá, ve větších epicentrálních vzdálenostech pak vlna lomena.
Nazvěme mezní vzdálenost Xc. V této vzdálenosti budou vlna přímá a
lomená detekovány ve stejný čas.
1v
X
t  12h.ηX.pt 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Tedy:
1
c
v
X
t  1
2
c
1c 2h.η
v
X
2h.η.pXt 
1
12
21
c1
2
c
1c
1
c
η
vv
.vv
2hX2h.η
v
X
2h.η.pX
v
X


podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
Protože:
12
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
12
21
1
12
21
c
vv
v
v
1v
2h
v
v
v
1
vv
.vv
2hη
vv
.vv
2hX








1
22
1
1
v
.pv-1
η 
podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
  
 2
12
1212
12
2
1
2
2
12
2
2
2
1
2
c
vv
vvvv
2h
vv
vv
2h
vv
v
v
1v
2hX









podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat
jaro 2010 Seismologie a seismotektonika - 2
  
  12
12
2
12
1212
c
vv
vv
h2
vv
vvvv
2hX






podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat