podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat Zpracování seismických dat II. Seismický signál jako vlnová funkce Josef Havíř Josef.Havir@ipe.muni.cz podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat 1. vlnová funkce - vyjádření pomocí Fourierovy řady Představme si seismický signál jako jednoduchou harmonickou vlnu. V případě, že tato vlna vyjadřuje posunutí, projevuje se v daném bodě kontinua kmitáním s frekvencí f a amplitudou A, tj. s výchylkou u0(t):  f.t.2πAsin(t)u0  podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat Fourierova řada - vlnovou funkci lze dobře popsat pomocí goniometrických funkcí - každou jakkoli složitou a nepravidelnou vlnovou funkci lze popsat jako součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus (Fourierova řada) Joseph Fourier (1768-1830)      1 0 sincos)( n nn tnbtnaatu  podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat Úhlová rychlost - v matematickém vyjádření Fourierovy řady vystupuje veličina w ... úhlová rychlost      1 0 sincos)( n nn tnbtnaatu  T f   2 2  podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat každou jakkoli složitou a nepravidelnou vlnovou funkci lze popsat jako součet mnoha křivek funkcí sinus a cosinus (Fourierova řada)       ...sincos... 2sin2cossincos)( 22110   tnbtna tbtatbtaatu nn        1 0 sincos)( n nn tnbtnaatu  podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat 2. Fourierova transformace - spektrum - v předem zvoleném časovém okně můžeme hledat, v jaké míře se v signále projevují jednotlivé sinusovky o různých frekvencích ... můžeme si tak vyjádřit signál jako funkci v závislosti nikoli na čase, ale na frekvenci - převod signálu z funkce času na funkci frekvence se nazývá Fourierova transformace )( fU )(tu podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - Funkce U(f) závislá na frekvenci se nazývá spektrum. - Spektrum je komplexní veličina. velikost udává tzv.amplitudové spektrum úhel representuje tzv. fázové spektrum dtetufU fti      2 )()( )( fU  )(arg fU podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - signál v závislosti na frekvenci představuje jeho spektrum - amplitudové spektrum ukazuje vztah mezi frekvencí a amplitudou - fázové spektrum ukazuje vztah mezi frekvencí a fází podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - Fourierovu transformaci si můžeme demonstrovat na příkladech dvou speciálních funkcí - jednoduché sinusovky a píku. podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat jednoduchá sinusoida je funkce popsaná jednou konkrétní hodnotou frekvence F a jednou konkrétní hodnotou amplitudy A. Její frekvenční popis je tedy funkce, která má nenulovou hodnotu pouze v bodě o frekvenci F, všude jinde je nulová (tzv. impuls neboli pík). podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat pík lze popsat jako součet sinusoidových křivek. V tomto případě potřebujeme sčítat nekonečně mnoho křivek (musíme použít všechny možné frekvence) a že amplituda všech jednotlivých křivek je stejná (v píku jsou obsaženy stejnou měrou všechny frekvence). podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat 3. typy signálu - posunutí, rychlost a zrychlení Seismický záznam může zachycovat kmitání částic kontinua ve smyslu: - posunutí polohy částice - rychlost posunutí polohy částice - zrychlení posunutí polohy částice podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat posunutí rychlost zrychlení  f.t.2πAsin(t)u0  t (t)u (t)v 0 0     f.t.2πf.Acos.2π(t)v0  t (t)v (t)s 0 0       f.t.2π.Asinf.2π(t)s 2 0  podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat Ze vztahů po derivaci vidíme, že amplituda signálu derivovaného podle času je tím větší, čím větší je frekvence. podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat 4. digitalizace signálu - seismometr reaguje na spojitý pohyb půdy a produkuje spojitý záznam (analogový signál) - spojitý záznam ale nelze zaznamenat ve formě počítačového souboru, pro počítačové zpracování je nutné přeměnit tento signál na nespojitý záznam (digitální signál) podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - spojitý záznam je křivka, která má nekonečně mnoho bodů - do počítačového souboru lze ale zapsat jen konečný počet údajů - jsou-li zapisovanými údaji např. hodnota amplitudy v daném čase, lze tyto údaje zapsat pouze pro vybrané diskrétní body (tzv. vzorek) podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - digitální záznam je tím detailnější, čím hustěji volíme diskrétní body - frekvence, s jakou volíme body (vzorky), nazýváme vzorkovací frekvencí digitalizovaný nespojitý záznam nese méně informací, než původní záznam spojitý - ztráta informace je nevratná! podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - je-li vzorkovací frekvence mnohem větší, než frekvence zaznamenaného signálu, pak diskrétní digitální záznam umožňuje zobrazit signál dostatečně věrně podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - spojíme-li diskrétní body lomenou čarou (modrá křivka), získáme tvar velmi podobný původnímu spojitému signálu podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - je-li vzorkovací frekvence oproti zaznamenanému signálu příliš nízká, nelze z diskrétních bodů věrně zrekonstruovat původní křivku podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - spojíme-li diskrétní body lomenou čarou (modrá křivka), získáme oproti původnímu signálu zcela odlišný tvar, se zcela jinou (podstatně vyšší) převládající frekvencí (tzv. alias-efekt). podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - protože proces digitalizace je nevratný, nelze potlačit vliv alias-efektu po digitalizaci - uměle vzniklé frekvence (vlivem alias-efektu) nelze jednoduše a jednoznačně odlišit od přirozených nižších frekvencí, které byly součástí signálu již před digitalizací a které mají reálný původ podzim 2011, Brno Zpracování seismických dat - V roce 1924 zjistil H. Nyquist, že aby mohl být signál úspěšně digitalizován, musí být zvolená vzorkovací frekvence alespoň dvojnásobná oproti nejvyšší frekvenci obsažené v signálu (polovina nejvyšší frekvence signálu = tzv. Nyqistova frekvence) Harry Nyquist (1889-1976)