Dynamika cyklů Josef Zeman
STUDIUM A MODELOVÁNÍ DYNAMIKY CYKLŮ
NA PŘÍKLADU JEDNODUCHÉHO CYKLU VODY
JOSEF ZEMAN
2007
Obsah
1. VYMEZENÍ SYSTÉMU 2U
2. VYMEZENÍ HLAVNÍCH REZERVOÁRŮ A TOKŮ MEZI NIMI 2
3. STANOVENÍ KVANTITATIVNÍCH PARAMETRŮ MODELU 3
4. VYHODNOCENÍ TOKŮ A URČENÍ RYCHLOSTNÍCH KONSTANT 5
5. URČENÍ STACIONÁRNÍHO STAVU 7U
6. DOBA ZDRŽENÍ 10
7. MODELOVÁNÍ DYNAMIKY SYSTÉMU 11U
7.1. ANALYTICKÉ VYJÁDŘENÍ VÝVOJE SYSTÉMU 12
7.2. NUMERICKÁ SIMULACE VÝVOJE SYSTÉMU 13
7.3. VÝSLEDKY SIMULACE DYNAMIKY SYSTÉMU A JEJICH INTERPRETACE 15
7.3.1. JINÉ VÝCHOZÍ PODMÍNKY 17
7.3.2. VODA JE DO SYSTÉMU PŘINESENA Z OKOLÍ 18
7.3.3. NÁHLÁ BODOVÁ UDÁLOST – PŘÍVALOVÉ SRÁŽKY 19
7.3.4. VLIV „VYPRÁZDNĚNÍ“ REZERVOÁRŮ 20
7.3.5. VLIV DLOUHODOBÝCH ZMĚN V SYSTÉMU 21U
8. OBECNÉ ZÁVĚRY 23
8.1. LINEÁRNÍ SYSTÉMY 23
8.2. NELINEÁRNÍ SYSTÉMY 23
8.3. INTERPRETACE NAMĚŘENÝCH DAT V DYNAMICKÝCH SYSTÉMECH 24
1
Dynamika cyklů Josef Zeman
Model není nikdy schopen úplně simulovat chování reálného přírodního systému, protože
v něm je obsaženo nespočetné množství vzájemných interakcí. Kdybychom je všechny zahrnuly,
stal by se příliš složitý. Navíc u některých interakcí nejsme schopni odhadnout jejich
číselné hodnoty a o některých interakcích vůbec nevíme. Úlohou modelu je simulovat námi
vybrané jevy a principiální odezvu na určitý typ výchylek. Model není cílem studia, ale je
nástrojem pro pochopení chování reálných systémů.
Základní principy sestavení modelu studovaného systému, jeho numerické simulace a základní
vlastnosti modelu, který simuluje určité typy chování, je možné demonstrovat na modelovém
příkladu dynamiky výměny vody v rámci ostrova.
1. VYMEZENÍ SYSTÉMU
Nejprve je třeba definovat systém, který studujeme a látku, jejímuž chování chceme porozumět.
V našem případě je to ostrov v oceánu a studovanou látkou je voda (obr. 1).
Obr. 1 Pro ukázku postupu vymezení systému a studium jeho dynamiky byl vybrán systém tvořený
ostrovem v oceánu, studovanou látkou je voda. V obrázku jsou vyznačeny i některé toky.
2. VYMEZENÍ HLAVNÍCH REZERVOÁRŮ A TOKŮ MEZI NIMI
Z hlediska obsahu vody a jejích toků můžeme v prvním přiblížení rozdělit celý systém na čtyři
hlavní rezervoáry:
– atmosféra
– biota, půda a horniny (krajina)
– jezera a toky
– oceán
a definovat mezi nimi hlavní toky vody.
Jednotlivé rezervoáry byly pro názornost z obrázku „vyříznuty“ a uspořádány tak, aby bylo
možné je přehledně propojit jednotlivými roky (obr. 2). Uvedený model vymezuje základní
rezervoáry a základní toky. Na první pohled byla zanedbána například voda, která naprší do
jezera a řek, stejně jako voda, která se dostane z jezer a řek do krajiny. V detailnějším pohledu
bychom mohli i uvnitř jednotlivých rezervoárů vydělit další rezervoáry a další toky mezi ni-
2
Dynamika cyklů Josef Zeman
mi. Při konstrukci je však důležité udržet model přehledný. Teprve po ověření toho, že model
odráží základní rysy procesů studovaného systému má smysl jej „zahušťovat“.
Obr. 2 Vymezení základních rezervoárů a základních toků vody v modelovém systému ostrova
v oceánu.
Ze schématického nákresu na obr. 2 je pak možné sestrojit tzv. „box“ model systému (krabičkový
model – obr. 3). V tomto modelu jsou rezervoáry představovány obdélníky s příslušnou
identifikací. Ty jsou pak propojeny šipkami, které představují toky vody mezi nimi.
Obr. 3 „Box“ model (krabičkový model) systému ostrova v oceánu. Hlavní rezervoáry vody jsou představovány
obdélníky, toky vody mezi nimi jsou znázorněny šipkami.
3. STANOVENÍ KVANTITATIVNÍCH PARAMETRŮ MODELU
Pro další postup je nutné stanovit obsahy jednotlivých rezervoárů a velikost toků mezi nimi.
V některých případech můžeme uvedené veličiny přímo změřit (odtok vody z jezer do oceánu,
obsah vodní páry v atmosféře, velikost srážek …), v jiných případech jsme odkázáni na
lepší nebo horší odhad (velikost evapotranspirace, obsah vody v krajině …). Prakticky nikdy
nebudeme mít k dispozici přesná, úplná a spolehlivá data. To je třeba mít na paměti při interpretaci
výsledků modelování.
3
Dynamika cyklů Josef Zeman
Při označování jednotlivých veličin bychom je mohli úplně vypisovat, v matematických výrazech
by nám to však postupně činilo stále větší potíže. Proto je vhodnější jednotlivé veličiny
označit symboly. Je možné použít jakékoliv značení, je však výhodné zavést jednoduché a
intuitivní značení, abychom nemuseli složitě pátrat po tom, co vlastně jednotlivá písmena
znamenají. Rezervoáry v našem modelu označíme velkými písmeny:
A – atmosféra
K – krajina
J – jezera
O – oceán
Hmotný obsah jednotlivých rezervoárů označíme malým m s příslušným indexem
mA – obsah vody v atmosféře
mK – obsah vody v krajině
mJ – obsah vody v jezerech
mO – obsah vody v oceánu
Jednotlivé toky označíme písmenem j (písmeno t, které se samo nabízí, se obvykle používá
pro čas) a pro směr toku použijeme indexy s označením rezervoárů vždy v pořadí z-do:
jAK – tok vody z atmosféry do krajiny
jKA – evapotranspirace a odpařování
jKJ – odtok vody z krajiny do jezer a povrchových toků
jJA – odpařování vody z jezer
jJO – odtok vody z jezer do oceánu
jOA – odpařování vody z oceánu do atmosféry
Obsahy rezervoárů a jednotlivé toky je třeba uvádět ve stejných jednotkách. V našem případě
použijeme tuny pro obsahy a tuny za den pro toky – tok (nebo také rychlost přenosu) je množství
přenesené za jednotku času. Zjistíme jej tak, že změříme přenesené množství ∆m za určitý
čas ∆t a odtud pak jXY = ∆mXY/∆t.
XY
XY
m
j
t
Δ
=
Δ
(1)
V uvedeném značení jXY znamená tok z rezervoáru X do rezervoáru Y, ∆mXY znamená změřený
nebo odhadnutý tok vody z rezervoáru X do rezervoáru Y a ∆t je čas, za který toto
množství vody z rezervoáru X do rezervoáru Y přeteklo. V našem modelovém systému jsme
změřili nebo odhadli obsahy jednotlivých rezervoárů a jednotlivé toky. Rezervoáry, jejich
značení, toky mezi nimi a jejich značení jsou uvedeny v tab. 1 (rezervoáry) a tab. 2 (toky).
Tab. 1 Označení a obsahy rezervoárů v modelovém systému.
rezervoár označení obsah
tuny
atmosféra A 5
krajina K 6
jezera J 0,2
oceán O 30000
4
Dynamika cyklů Josef Zeman
Tab. 2 Toky mezi rezervoáry a jejich hodnoty pro modelový systém.
tok odkud-kam označení hodnota
tuny/den
déšť atmosféra-krajina jAK 0,50
evapotranspirace krajina-atmosféra jKA 0,60
odtok do jezer krajina-jezera jKJ 0,30
odpařování z jezer jezera-atmosféra jJA 0,05
odtok z jezer do oceánu jezera-oceán jJO 0,10
odpařování z oceánu do atmosféry oceán-atmosféra jOA 0,50
Pro přehled a snadnou další orientaci je možné uvést zjištěné hodnoty přímo do hodnoty do
krabičkového modelu našeho systému (obr. 4).
Obr. 4 Krabičkový model cyklu vody ve studovaném systému s vyznačením obsahu jednotlivých
rezervoárů v tunách a toků mezi nimi v tunách za den.
4. VYHODNOCENÍ TOKŮ A URČENÍ RYCHLOSTNÍCH KONSTANT
Na první pohled je patrné, že v době, kdy jsme měřili obsahy rezervoárů a jednotlivé toky
mezi rezervoáry, nebyl v systému ustálený stav. Pokud sestavíme denní bilanci toků do a
z jednotlivých rezervoárů, zjistíme, že se bude voda mezi jednotlivými rezervoáry přesouvat.
Z atmosféry vyprší v daný den 0,5 tuny, ale zároveň do ní evapotranspirací z krajiny a odpařením
z jezer a oceánu přibude 0,6, 0,05 a 0,5 tuny denně. Přehledně můžeme toto množství
označit jako ∆mA a bilanci vypočítat jako
∆mA = jKA + jJA + jOA – jAK = 0,6 + 0,05 + 0,5 – 0,5 = 0,65 t/den (2)
Toky směrem do rezervoáru mají kladné znaménko, protože obsah rezervoáru zvyšují. Toky
směrem z rezervoáru mají záporné znaménko, protože obsah rezervoáru snižují. Podobně můžeme
vyčíslit látkovou bilanci i pro ostatní rezervoáry
∆mK = jAK – jKA – jKJ = 0,5 – 0,6 – 0,3 = – 0,40 t/den (3)
5
Dynamika cyklů Josef Zeman
∆mJ = jKJ – jJO – jJA = 0,3 – 0,1 – 0,05 = 0,15 t/den (4)
∆mO = jJO – jOA = 0,1 – 0,5 = – 0,40 t/den (5)
Vypočítané přesuny vody mezi rezervoáry se týkají jednoho dne. Jako kontrolu správnosti
můžeme použít celkový součet toků, který musí být nulový
∑∆mi = ∆mA + ∆mK +∆mJ +∆mO = 0,65 – 0,40 + 0,15 – 0,40 = 0,00 t/den (6)
Jinak by voda někde v modelovém systému vznikala z ničeho nebo záhadně mizela.
Pokud by náš systém skutečně dlouhodobě fungoval podle toho, co jsme zjistili v okamžiku
měření, pak by každý den přibylo v atmosféře 0,65 a v jezerech a řekách 0,15 tuny vody a
naopak z krajiny by ubylo každý den 0,40 a z oceánu to stejné množství vody. Tak by došlo
k tomu, že by krajina i oceán úplně vyschly a všechna voda by se přesunula do atmosféry a
jezer.
To zřejmě neodpovídá reálné situaci. V čem je tedy problém? Zapomněli jsme na jednu důležitou
věc – čím více bude vody v atmosféře, tím více jí vyprší, čím více vody bude v jezerech
(čím bude vyšší hladina vody v jezeře), tím více jí odteče. Naopak, čím méně vody bude
v krajině, tím méně se jí odpaří. Existuje tedy určitý vztah mezi obsahem rezervoárů a toky,
které z nich vedou. Nejjednodušším vztahem tohoto typu je přímá úměra – čím větší je obsah
rezervoáru, tím větší z něj bude tok. To můžeme vyjádřit matematicky v podobě vztahu
jXY = kXY × mX (7)
což znamená, že tok z rezervoáru X do rezervoáru Y je přímo úměrný obsahu rezervoáru X a
konstantou úměrnosti je konstanta kXY. Tato konstanta se v případě toků označuje jako rychlostní
konstanta. Čím větší bude obsah rezervoáru, tím větší z něj bude tok a naopak. Uvedený
předpoklad bude určitě platit pro toky z atmosféry (čím větší je obsah vody v atmosféře, tím
více bude pršet), z krajiny (čím více vody bude v krajině, tím více se jí odpaří a tím více jí
odteče do jezer) a z jezer (čím více bude vody v jezerech, tím více jí odteče). Přímá úměra
toků hmotnému obsahu rezervoárů však nebude platit pro odpařování vody z jezer a oceánu.
Velikost odparu z jezer a oceánu bude především závislá na ploše vodních hladin, které se se
změnou množství vody v jezerech a oceánu budou měnit jen málo. Proto můžeme plochu hladin
a tím i velikost příslušných toků v prvním přiblížení považovat za konstantní (pokud se
nebude jednat o velmi mělká jezera a velmi mělký oceán, kde se bude velikost hladiny významně
měnit s obsahem vody).
Pro modelový systém pak dostáváme následující systém rovnic, který popisuje jednotlivé toky
jAK = kAK × mA (8a)
jKA = kKA × mK (8b)
jKJ = kKJ × mK (8c)
jJO = kJO × mJ (8d)
Vazba toků na hmotný obsah rezervoárů bude platit za jakéhokoliv stavu systému, tedy i pro
situaci, za které jsme prováděli svá měření a odhady. Jestliže platí vztahy podle rovnice (7)
6
Dynamika cyklů Josef Zeman
jXY = kXY × mX (7)
pak při znalosti toků a hmotného obsahu rezervoárů snadno vypočítáme příslušné rychlostní
konstanty
XY
XY
X
j
k
m
= (9)
Pro modelový systém jsou s využitím údajů, uvedených v tab. 1 a tab. 2 vyčísleny rychlostní
konstanty v tab. 3.
Tab. 3 Rychlostní konstanty pro toky vody v modelovém systému. Toky jezera-atmosféra a
oceán-atmosféra jsou konstantní, mají pořád stejnou hodnotu nezávislou na obsahu
vody v jezerech a oceánu a proto nejsou vyčísleny rychlostní konstanty.
rezervoár hmotný
obsah (t)
tok velikost
(t/den)
rychlostní konstanta
(1/den)
atmosféra – mA 5 atmosféra-krajina jAK 0,50 0,10
krajina – mK 6 krajina-atmosféra jKA 0,60 0,10
krajina – mK 6 krajina-jezera jKJ 0,30 0,05
jezera – mJ 0,2 jezera-atmosféra jJA 0,05 –
jezera – mJ 0,2 jezera-oceán jJO 0,10 0,50
oceán – mO 30 000 oceán-atmosféra jOA 0,50 –
Tím jsou určeny všechny parametry systému, které jsou potřebné pro modelování a analýzu
dynamiky modelového systému.
5. URČENÍ STACIONÁRNÍHO STAVU
Viděli jsme, že v době, kdy jsme měřili nebo odhadovali obsahy rezervoárů a toků, byl systém
nevyrovnaný a docházelo k přesunům vody mezi rezervoáry. Systém bude směřovat k určitému
stavu, kdy budou toky pro každý rezervoár vyrovnané (co do každého rezervoáru přiteče,
to z něj zase odteče). Tento stav se označuje jako stacionární, toky v systému jsou vyrovnané
a v systému se zdánlivě nic neděje. Jak uvidíme dále, je tento stav pro systém významný tím,
že k němu systém z jakéhokoliv stavu přímo či nepřímo směřuje, snaží se ho dosáhnout a pokud
je z tohoto stavu vychýlen, snaží se jej znovu obnovit.
Z parametrů, které máme k dispozici, jsme schopni tento stav určit. Vyjdeme z látkové bilance
pro jednotlivé rezervoáry, které jsme odvodili již dříve
∆mA = jKA + jJA + jOA – jAK (2)
∆mK = jAK – jKA – jKJ (3)
∆mJ = jKJ – jJO – jJA (4)
∆mO = jJO – jOA (5)
Za jednotlivé toky, které jsou závislé na hmotnostním obsahu rezervoárů, dosadíme příslušné
závislosti
7
Dynamika cyklů Josef Zeman
∆mA = kKA × mK + jJA + jOA – kAK × mA (10)
∆mK = kAK × mA – kKA × mK – kKJ × mK (11)
∆mJ = kKJ × mK – kJO × mJ – jJA (12)
∆mO = kJO × mJ – jOA (13)
Za stacionárního stavu musí být toky v rezervoárech vyrovnané, musí tedy platit
∆mA = 0, ∆mK = 0, ∆mJ = 0 a ∆mO = 0 (14)
Dosazením do předchozích rovnic
0 = kKA × mKs + jJA + jOA – kAK × mAs (15)
0 = kAK × mAs – kKA × mKs – kKJ × mKs (16)
0 = kKJ × mKs – kJO × mJs – jJA (17)
0 = kJO × mJs – jOA (18)
kde další indexy s u hmotného obsahu rezervoárů znamenají, že jsou to konkrétní hodnoty
platné pouze pro stacionární stav. Následnou úpravou a postupnou eliminací jednotlivých
proměnných dostáváme:
z rovnice (18) vyčíslíme mJs
OA
Js
JO
0,50
1 t
0,50
j
m
k
= = = (19)
Tuto hodnotu dosadíme do rovnice (17) a vyčíslíme mKs
JO Js OA
Ks
KJ
0,50 1 0,05 0,55
11 t
0,05 0,05
k m j
m
k
+ × +
= = = = (20)
a dosazením za mKs do rovnice (15) dostáváme
( ) ( )KA KJ Ks
As
AK
0,10 0,05 11 1,65
16,5 t
0,1 0,1
k k m
m
k
+ + ×
= = = = (21)
Uvedený systém bilančních rovnic, které jsme dokázali pro systém sestavit, neumožňuje určit
stacionární stav pro obsah vody v oceánu. Ten však dokážeme určit jiným způsobem. Vzhledem
k tomu, že je množství vody v celém systému včetně oceánu konstantní, musí být výsledná
změna obsahu vody v ostatních rezervoárech (součet změn) rovna změně obsahu vody
v oceánu. Celková změna obsahu vody ve všech rezervoárech s výjimkou oceánu je (tab. 4)
∆mrez = ∆mAs + ∆mKs +∆mJs = 11,5 + 5,0 +0,8 = 17,3 t (22)
8
Dynamika cyklů Josef Zeman
Celkové množství vody v rezervoárech narostlo o 17,3 t. Odtud pak pro stacionární stav vody
v oceánu platí (o co se zvýšil obsah ostatních rezervoárů, o to se musí snížit obsah oceánu)
mOs = mO – ∆mrez = 30 000 – 17,3 = 29 982,7 (23)
Okamžité hodnoty, které jsme naměřili při studiu systému, jsou při porovnání s hodnotami
stacionárního stavu výrazně nižší – systém je značně „vyschlý“ nebo „dehydratovaný“. Pokud
byly naše odhady správné, pak můžeme očekávat, že se bude postupně zvyšovat obsah vody
v atmosféře, krajině a jezerech na úkor obsahu vody v oceánech až bude dosaženo stacionárního
stavu. Porovnání přináší následující tabulka.
Tab. 4 Porovnání obsahu vody v jednotlivých rezervoárech v době měření a po
dosažení stacionárního stavu v modelovém systému.
rezervoár okamžitý stav (t) stacionární stav (t) rozdíl (t)
atmosféra 5 16,5 11,5
krajina 6 11 5,0
jezera 0,2 1 0,8
oceán 30 000 29 982,7 – 17,3
Úměrně tomu se také budou zvyšovat toky mezi jednotlivými rezervoáry, které pro je možné
pro stacionární stav vypočítat podle rovnic (6a–d), kde však za hmotný obsah rezervoárů musíme
dosadit hodnoty platné pro stacionární stav
jAK = kAK × mAs = 0,10 × 16,5 = 1,65 (24a)
jKA = kKA × mKs = 0,10 × 11 = 1,10 (24b)
jKJ = kKJ × mKs = 0,05 × 11 = 0,55 (24c)
jJO = kJO × mJs = 0,50 × 1 = 0,50 (24d)
Porovnání okamžitých hodnot toků a jejich velikost za stacionárního stavu přináší následující
tabulka.
Tab. 5 Porovnání toků vody mezi rezervoáry v modelovém systému v době měření a po dosažení
stacionárního stavu.
Tok okamžitá velikost
(t/den)
za stacionárního stavu
(t/den)
rozdíl (t/den)
atmosféra-krajina jAK 0,50 1,65 – 1,15
krajina-atmosféra jKA 0,60 1,10 – 0,50
krajina-jezera jKJ 0,30 0,55 – 0,25
jezera-atmosféra jJA 0,05 0,05 0,00
jezera-oceán jJO 0,10 0,50 – 0,40
oceán-atmosféra jOA 0,50 0,50 0,00
Po dosažení stacionárního stavu bude ve srovnání se stavem systému v době měření více pršet
(srážky se více než ztrojnásobí), bude vlhčí vzduch (evapotranspirace se zvedne na téměř
dvojnásobek) a výrazně se zvýší průtok řek (bude pětinásobný).
Všimněme si, že zvyšování obsahu vody v některých rezervoárech a zvýšení toků mezi nimi
neznamená pro celý systém žádnou katastrofu. V době, kdy jsme měřili jednotlivého hodnoty,
9
Dynamika cyklů Josef Zeman
byl z nějakého důvodu vychýlen a jen se vrací ke svému normálnímu stavu, který je určen
jeho dynamikou.
6. DOBA ZDRŽENÍ
Dalším zajímavým údajem je doba zdržení sledované látky (v našem případě vody) v jednotlivých
rezervoárech. Ta udává čas, za který je celý obsah příslušného rezervoáru toky, kterými
komunikuje s ostatními rezervoáry, vyměněn. Obvykle se značí řeckým písmenem τ a je
definován jako
X
X
X do X z
i i
m mX
j j
τ = =
∑ ∑
(25)
Doba zdržení se tedy vypočítá jako hmotný obsah rezervoáru, dělený součtem všech toků
dovnitř rezervoáru (index do) nebo součtem všech toků ven z rezervoáru (index z). Je zřejmé,
že má smysl počítat reprezentativní dobu zdržení jen pro stacionární stav. Pokud se nejedná
o ustálený stav, pak se voda v rezervoáru kumuluje nebo se naopak rezervoár vyprazdňuje,
hodnoty spočítané oběma způsoby se budou lišit a údaj může být výrazně zkreslený.
Pro náš systém obdržíme následující doby zdržení vody v jednotlivých rezervoárech. Pro porovnání
jsou v tabulce vypočítané také hodnoty doby zdržení v okamžiku našeho měření, kdy
byl systém vychýlen ze stacionárního stavu.
Tab. 6 Porovnání dob zdržení v rezervoárech modelového systému v době měření a po dosažení
stacionárního stavu. Zjištěné hodnoty se v obou stavech významně liší.
Na počátku:
rezervoár obsah (t) toky z rezervoáru
(t/den)
toky do rezervoáru
(t/den)
τ z toků z
(dny)
τ z toků
do (dny)
atmosféra 5 0,50 1,15 10 4,3
krajina 6 0,90 0,50 6,7 12
jezera 0,2 0,15 0,30 21,3 0,7
oceán 30 000 0,50 0,10 60 000 300 000
Za stacionárního stavu:
rezervoár stacionární
stav (t)
stac. toky (z i do
rez.) (t/den)
τ (dny)
atmosféra 16,5 1,65 10
krajina 11 0,55 20
jezera 1 0,50 2
oceán 29 982,7 0,50 59 965,4
Zatímco přes jezera bude voda proudit rychle a v průměru se za dva dny úplně vymění, zdrží
se v atmosféře kolem deseti dnů a v krajině kolem dvaceti dnů. V oceánu díky jeho velkému
obsahu a relativně malým tokům se každá molekula v průměru zdrží téměř 60 tisíc let.
Doba zdržení ukazuje na dynamiku výměny sledované látky v rezervoárech a je z ní možné
usuzovat na to:
10
Dynamika cyklů Josef Zeman
– jak rychle bude jakékoliv vychýlení rezervoáru ze stacionárního stavu utlumeno
– jak rychle se daný rezervoár i za stacionárního stavu „zbaví“ polutantu, který byl vodou
do rezervoáru přinesen nebo do něj byl uvolněn z jiného zdroje.
Jako dodatečný čas pro utlumení výchylky nebo odstranění polutantu a návrat k původnímu
stavu se považuje troj- až pětinásobek doby zdržení.
7. MODELOVÁNÍ DYNAMIKY SYSTÉMU
Předchozím postupem jsme získali celou řadu zajímavých údajů o námi studovaném systému.
Jsme schopni předvídat jeho dlouhodobé chování: (a) zda je systém v době měření
v ustáleném stavu, (b) pokud není, jsme schopni určit, kam bude směřovat a (c) zároveň také
kvalitativně ocenit, jak rychle do ustáleného stavu dostane. Kromě toho jsme schopni principiálně
předvídat, jak bude systém reagovat na jednorázové vychýlení.
Mnohem zajímavější by však bylo, pokud bychom byli schopni udělat úplnou časovou simulaci
vývoje a sledovat, jak jsou změny provázány mezi jednotlivými rezervoáry. Ve velmi
jednoduchých případech zná matematika postup, jak zjistit časový vývoj určité proměnné
v čase, pokud jsme schopni vyjádřit její změnu za časovou jednotku.
Přestavme si, že máme pouze atmosféru, která obsahuje určité množství vodní páry. Tato pára
se postupně sráží a v podobě deště opouští atmosféru. Přitom je množství deště přímo úměrné
okamžitému obsahu vodní páry v atmosféře. Pak můžeme rychlost, s jakou vodní pára opouští
atmosféru v podobě srážek (tok) vyjádřit v podobě (odvození jsme podrobně vysvětlili výše)
jA = ∆mA = – kA × mA (26)
kde mA je množství vodní páry v atmosféře, kA je konstanta úměrnosti (rychlostní konstanta) a
∆mA je množství vody, které atmosféru opouští. Znaménko mínus před rychlostní konstantou
znamená, že voda z atmosféry ubývá. Zapomněli jsme na jednu důležitou věc, kterou mlčky
předpokládáme. Toto množství je určeno za časovou jednotku, která odpovídá rychlostní konstantě
– pokud má rychlostní konstanta rozměr 1/den, pak ∆mA je množství vody, které atmosféru
opustí za jeden den. Pokud máme jiný než jednotkový časový interval, měli bychom
správně psát
A
A
m
A Aj k m
t
Δ
= =− ×
Δ
(27)
Díky dešti se v každém okamžiku množství vodní páry v atmosféře mA snižuje a tím klesá
i rychlost jA, s jakou voda atmosféru opouští. Je zřejmé, že můžeme rovnici (27) upravit na
výraz
(28)A A Am k mΔ =− × ×Δt
kde ∆t je určitý časový interval, za který změnu počítáme. Změnu v obsahu rezervoáru A
(∆mA) pak připočteme k původnímu obsahu mA
mA1 = mA0 + ∆mA0 (29)
11
Dynamika cyklů Josef Zeman
kde mA0 je obsah rezervoáru v čase t = 0, ∆mA0 = kA × mA0 × ∆t. Čas se zvýší o ∆t a můžeme
pokračovat dalším časovým krokem s novým obsahem rezervoáru A. Celý postup je možné
popsat následujícím předpisem
t0 = 0 mA = mA0 ∆mA0 = kA × mA0 × ∆t (30)
t1 = t0 + ∆t mA1 = mA0 + ∆mA0 ∆mA1 = kA × mA1 × ∆t
t2 = t1 + ∆t mA2 = mA1 + ∆mA1 ∆mA2 = kA × mA2 × ∆t
… … …
tn = tn–1 + ∆t mAn = mAn–1 + ∆mAn–1
kde tn je požadovaný čas, ve kterém chceme znát obsah rezervoáru A (mAn).
7.1. Analytické vyjádření vývoje systému
Na první pohled je patrné, že uvedený postup má určitý problém v tom, že postupujeme
v čase po určitých krocích, v jejichž průběhu se již obsah rezervoáru A mění a tím se mění
i tok jA z rezervoáru. Ideální by bylo postupovat po nekonečně malých krocích a sčítat nekonečně
malé změny v obsahu rezervoáru A. Ačkoliv se zdá na první pohled nemožné sčítat
nekonečně malé změny v nekonečně malých časových krocích, matematika takový postup již
více než tři sta let zná a označuje jej jako integraci. Integrální počet je soubor pravidel, jak je
možné sčítat nekonečně malé změny určité proměnné v závislosti na nekonečně malých změnách
jiné proměnné (integrační vzorce). Tyto nekonečně malé změny se značí malým písmenem
d.
V našem případě můžeme vztah (27) přepsat do tvaru
A
A
d
d
m
k m
t
=− × A (31)
Rovnice (31) se označuje jako diferenciální vyjádření rychlosti. Vztahy tohoto typu dokážeme
pro reálné systémy relativně snadno odvozovat, protože ukazují, jak se mění určitá veličina
s časem – výraz dmA/dt je tečna k závislosti mA na čase v určitém čase t a její směrnice je rovna
kA. Závislost určité proměnné na čase je právě to, co v laboratoři nebo přímo v přírodním
systému měříme. Odtud pak dokážeme určit i rychlostní konstantu.
Proto, abychom mohli použít integračních vzorců, musíme nejprve převést jednotlivé proměnné
na opačné strany rovnice (separace proměnných)
A
A
A
d
d
m
k
m
=− × t (32)
Součet nekonečně malých změn se pak označuje symbolem integrálu
A
A0
A
A
0
A
d
d
m t
m t
m
k
m =
= − ×∫ ∫ t (33)
kde indexy u symbolu integrálu označují počáteční a konečné hodnoty (integrační meze). Na
počátku je čas roven nule a obsah rezervoáru je roven hodnotě mA0. Po čase t dosáhne obsah
rezervoáru A hodnoty mA. To je ta hodnota, která nás zajímá. Podle pravidel integrace platí
12
Dynamika cyklů Josef Zeman
(34)
A
A0
A A
0
dln d
m
m t
m k
=
=−∫
t
t∫
t
t
t
)
(35)[ ] [ ]A
A0
A A 0
ln
m
m
m k =
=−
V hranatých závorkách je uveden výsledek integrace, který po dosazení integračních mezí
přechází na tvar
(36)(A A0 Aln ln 0m m k t− =− × −
Další úpravou pak
A
A
A0
ln
m
k t
m
=− (37)
AA
A0
e k tm
m
−
= (38)
(39)A
A A0 e k t
m m −
=
Tím jsme získali výraz, který umožňuje přímo a snadno vypočítat, jaká bude hodnota veličiny
mA v čase t, pokud je její hodnota na počátku mA0, rychlostní konstanta je rovna kA a její změnu
v čase vyjadřuje rovnice (31). V našem případě bude obsah páry v atmosféře exponenciálně
klesat a dosáhne nulové hodnoty v nekonečném čase.
Výraz (39) se označuje jako analytické vyjádření rychlosti procesu a umožňuje přímo vypočítat
hodnotu proměnné v libovolném čase. Bohužel, ve složitějších systémech, mezi které přírodní
systémy prakticky bezvýhradně patří, jsou rovnice diferenciálního vyjádření rychlosti
tak složité, že je nedokážeme integrovat nebo je integrační postup tak složitý, že by vyžadoval
dlouhodobou práci špičkového matematika.
7.2. Numerická simulace vývoje systému
Naštěstí jsme schopni požadovaného výsledku dosáhnout postupem, který se zdá na první
pohled nepřesný a u složitějších systémů nepoužitelný. Bouřlivý rozvoj počítačů vedl v posledních
desetiletích k enormnímu nárůstu výpočetního výkonu stolních počítačů. Samotné
počítače nic nevymyslí, jsou však vysoce výkonné a přesné v opakování jednoduchých aritmetických
operací. Například počítač, jehož procesor pracuje na frekvenci 3 GHz je
v principu schopen provést 3 miliardy jednoduchých aritmetických operací za vteřinu.
Vraťme se k výrazu, který je vyjádřen rovnicí (27). Ten se označuje jako diferenční vyjádření
rychlosti – změna času a dalších proměnných není nekonečně malá, má sice malou, ale určitou
hodnotu. Pak můžeme pro výpočet časového vývoje systému použít předpis přiřazení
(30). Vývoj programového vybavení osobních počítačů umožňuje realizovat celý postup
v jakémkoliv tabulkovém kalkulátoru bez znalosti programování. Do jednotlivých buněk tabulkového
kalkulátoru vložíme daný předpis a můžeme sledovat časový vývoj proměnné.
13
Dynamika cyklů Josef Zeman
Podmínkou ovšem je, že zvolíme dostatečně malý časový krok ∆t. Tento postup se označuje
jako numerická simulace vývoje proměnné.
Nevýhodou tohoto postupu je, že pokud chceme znát hodnotu určité proměnné v čase t, musíme
nejprve vypočítat hodnoty ve všech předchozích časových krocích, což může u složitých
systémů, kde je třeba postupovat s malým přírůstkem t, představovat desetitisíce kroků. Výhodou
je, že nemusíme provádět integraci složitých diferenciálních rovnic. U mnoha systémů,
kde jsou diferenciální rovnice neintegrovatelné, ani žádnou další možnost nemáme. Kromě
toho existuje celá řada speciálních programů, které se dokáží i s těmito úskalími vyrovnat a
výpočet automaticky optimalizovat.
Pro náš systém pak bude numerická simulace dynamiky v tabulkovém kalkulátoru vypadat
následovně. Do proměnných mA0, mK0, mJ0 a mO0 dosadíme počáteční hodnoty, které jsme
naměřili nebo odhadli. Pro výpočet změny obsahu rezervoárů využijeme rovnic (10)–(13)
∆mA = kKA × mK + jJA + jOA – kAK × mA (10)
∆mK = kAK × mA – kKA × mK – kKJ × mK (11)
∆mJ = kKJ × mK – kJO × mJ – jJA (12)
∆mO = kJO × mJ – jOA (13)
které udávají změnu obsahu rezervoárů za jeden den (rychlostní konstanty mají rozměr 1/den
a konstantní toky jXY mají rozměr t/den). Abychom mohli časový interval numerické simulace
měnit, použijeme obecnější formulace, která udává změnu obsahu rezervoárů za jednotku
času v podobě
A
KA K JA OA AK A
m
k m j j k m
t
Δ
= × + + − ×
Δ
(40)
K
AK A KA K KJ K
m
k m k m k m
t
Δ
= × − × − ×
Δ
(41)
J
KJ K JO J JA
m
k m k m j
t
Δ
= × − × −
Δ
(42)
O
JO J JO
m
k m j
t
Δ
= × −
Δ
(43)
kde ∆m je změna obsahu rezervoáru za časový interval ∆t. Podíl ∆m/∆t udává změnu obsahu
rezervoáru za časovou jednotku, v našem případě den, a tedy udává rychlost. Odtud pak už
snadno získáme změnu pro libovolný časový interval
∆mA = (kKA × mK + jJA + jOA – kAK × mA) × ∆t (44)
∆mK = (kAK × mA – kKA × mK – kKJ × mK) × ∆t (45)
∆mJ = (kKJ × mK – kJO × mJ – jJA) × ∆t (46)
14
Dynamika cyklů Josef Zeman
∆mO = (kJO × mJ – jOA) × ∆t (47)
kde ∆mX je změna obsahu rezervoáru X za námi zvolenou časovou jednotku ∆t. Takto vypočítanou
změnu v obsahu jednotlivých rezervoárů přičteme k původní hodnotě, postoupíme
v čase o ∆t, a výpočet opakujeme v těchto krocích až do dosažení požadovaného časového
intervalu. Zdá se, že se bude jednat o opakované vkládání složitých vzorců. Tabulkový kalkulátor
však umožňuje kopírování vzorců a tak stačí vložit jednotlivé výrazy jednou a do dalších
buněk už vzorce jen tažením překopírovat. Uspořádání v tabulkovém kalkulátoru může vypadat
například tak, jak je uvedeno v tab. 7 (vstupní hodnoty a konstanty jsou uloženy v buňkách
tabulkového kalkulátoru, které nejsou zobrazeny)
Tab. 7 Postup a výsledky simulace dynamického vývoje modelového systému z podmínek,
které byly v systému v době měření obsahu rezervoárů a toků mezi nimi. Jako časový
krok byla zvolena ½ dne. Podrobnější vysvětlení viz text.
A B C D E F G H I
1 t mA ∆mA mK ∆mK mJ ∆mJ mO ∆mO
2 dny t t t t t t t t
3 0,0 5,000 0,325 6,000 –0,200 0,200 0,075 30000,000 –0,200
4 0,5 5,325 0,299 5,800 –0,169 0,275 0,051 29999,800 –0,181
5 1,0 5,624 0,275 5,631 –0,141 0,326 0,034 29999,619 –0,168
6 1,5 5,899 0,255 5,490 –0,117 0,360 0,022 29999,450 –0,160
… … … … … … … … … …
… … … … … … … … … …
405 199,5 16,382 0,001 10,908 0,001 0,990 0,000 29982,919 –0,002
406 200,0 16,384 10,909 0,990 29982,917
Například v buňce B3 je uvedena výchozí hodnota pro obsah vody v atmosféře, v buňce C3 je
podle rovnice (44) je vypočítána změna obsahu vody v atmosféře pro zvolený časový interval
0,5 dne a v buňce B4 je uveden nový obsah vody v atmosféře po 0,5 dni jako součet původní
hodnoty a vypočítané změny. V buňce C4 je proveden výpočet změny obsahu vody
v atmosféře pro její nový obsah a v buňce B5 dostáváme obsah vody v atmosféře jako součet
předchozího obsahu a jeho změny.
Protože jsou obsahy a toky mezi jednotlivými rezervoáry vzájemně provázány, je nutné provádět
výpočet pro všechny rezervoáry současně v jednom řádku a pro výpočet změn vždy
používat aktuální hodnoty obsahu příslušných rezervoárů. Například pro výpočet změny obsahu
vody v atmosféře po 0,5 dni v buňce jsou použity obsahy vody v krajině v buňce D4 a
obsahu vody v atmosféře v buňce B4 a tedy nikoliv původní výchozí hodnoty.
7.3. Výsledky simulace dynamiky systému a jejich interpretace
Výsledek numerické simulace dynamiky modelového systému pro původní výchozí podmínky
jsou graficky zobrazeny na obr. 5. Obsah oceánu je uváděn na vedlejší ose y s jiným měřítkem
tak, aby byl dobře patrný vývoj hodnot jeho obsahu.
15
Dynamika cyklů Josef Zeman
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29900
29920
29940
29960
29980
30000
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 5 Grafické znázornění výsledku simulace časového vývoje modelového systému z podmínek,
za kterých byly zjištěny obsahy rezervoárů a toků mezi nimi. Výchozí obsahy rezervoárů:
mA0 = 5 t, mK0 = 6 t, mJ0 = 0,2 t a mO0 = 30 000 t. Čárkovanými liniemi jsou znázorněny vypočítané
stacionární stavy. Už po dvě stě dnech je dosaženo hodnot, které se od vypočítaných
stacionárních stavů liší jen velmi málo (viz tab. 7, poslední řádek).
Na první pohled je patrné, že modelový systém skutečně směřuje do stacionárních stavů, které
jsme určili v předchozích kapitolách. Díky nevyrovnanosti toků se začne voda přesouvat
z oceánu do ostatních rezervoárů, obsahy všech rezervoárů se zvyšují a pro námi určené parametry
(toky a z nich rychlostní konstanty) je už po dvě stě dnech prakticky dosaženo stacionárního
stavu (v grafu jsou vyneseny stacionární stavy přerušovanými liniemi). Dosažení
hodnot, které se velmi blíží stacionárnímu stavu, je také patrné z posledních dvou řádků tab.
7, které odpovídají uvedené simulaci. Změny, ke kterým bude dále docházet v obsahu rezervoárů,
už jsou zanedbatelné, stacionárního stavu bude ideálně dosaženo až v nekonečném
čase – systém se k němu bud blížit limitně. To je způsobeno tím, že čím blíže je systém ke
stacionárnímu stavu, tím menší jsou rozdíly toků, které jej k němu vedou. Obsah vody
v atmosféře a v jezerech se mění podle očekávání, bude stoupat směrem ke stacionárnímu
stavu. U obsahu vody v krajině však dochází proti očekávání v prvních dnech k poklesu a
trend se obrátí až po několika dnech. Je to způsobeno vzájemným poměrem a provázaností
jednotlivých toků. Tento vývoj nejsme schopni bez numerické simulace předpokládat a ani
odhadnout.
Po sestavení modelu a prověření jeho správné funkce pro dané výchozí podmínky je možné
jej použít i pro studium chování systému za jiných podmínek. To je neocenitelnou výhodou
využití modelování jako nástroje pro studium chování reálných systémů. Abychom zjistili, jak
se bude reálný systém chovat za odlišných podmínek, nemusíme čekat, až takové podmínky
skutečně nastanou nebo v horším případě se snažit takové podmínky v přírodním systému
16
Dynamika cyklů Josef Zeman
navodit, ale můžeme testovat tyto situace modelem. Dále je uvedeno jen několik z nepřeberného
množství případů.
7.3.1. Jiné výchozí podmínky
Předpokládáme situaci, kdy v důsledku časově omezeného teplejšího počasí došlo k tomu, že
se voda z oceánu odpařovala rychleji a více pršelo. Náš modelový ostrov je příliš „zavodněn“
a v atmosféře je v daném okamžiku 25 t vody, v krajině 13 t vody, což odpovídá přesunu 27 t
z oceánu do atmosféry a krajiny proti předchozímu stavu. Při numerické simulaci této situace
nesmíme zapomenout příslušně upravit množství vody v oceánech (v tomto případě na 29 973
t), abychom měli v systému celkově pořád stejné množství vody a mohli porovnat simulaci
s původním stavem. Výsledky simulace jsou uvedeny na obr. 6.
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29900
29920
29940
29960
29980
30000
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 6 Grafické znázornění výsledku simulace časového vývoje modelového systému za nových
výchozích podmínek, kdy byly v systému následující obsahy rezervoárů: mA0 = 25 t, mK0 = 13
t, mJ0 = 0,2 t a mO0 = 29 973 t. Čárkovanými liniemi jsou znázorněny vypočítané stacionární
stavy. Po dvě stě dnech je opět dosaženo hodnot, které se blíží stacionárnímu stavu modelového
systému.
Po odeznění teplejšího počasí na našem ostrově dochází v některých rezervoárech skutečně
k tomu, co jsme očekávali. Obsah vody v atmosféře se snižuje a směřuje přímo ke stacionárnímu
stavu. V krajině bylo také více vody, než odpovídá stacionárnímu stavu a v „přímočaré“
interpretaci bychom očekávali, že se její množství začne také od počátku snižovat. Skutečný
vývoj však bude opačný, množství vody v krajině bude dále stoupat a teprve po zhruba deseti
dnech se trend obrátí a bude směřovat ke stacionárnímu stavu. Voda v jezerech sice bude
stoupat, nejprve však „překmitne“ do hodnot vyšších, než odpovídá stacionárnímu stavu pro
tento rezervoár a teprve potom se k němu začne vracet.
17
Dynamika cyklů Josef Zeman
Na počátku je v atmosféře o 8,5 t a v krajině o 2 t vody více proti stacionárnímu stavu. Díky
dynamice systému a jeho provázanosti se původních 8,5 t vody navíc v atmosféře přesouvá
tak, že v krajině je maximální zvýšení jen o 1,6 t a v jezerech jen o něco více než 1 t. Je patrné,
že dynamický systém má „snahu“ tlumit změny a rozložit je do delšího časového interva-
lu.
7.3.2. Voda je do systému přinesena z okolí
V tomto případě předpokládáme oproti předchozí situaci, že byla voda do systému přinesena
z oblasti vně systému. Rozdíl je v tom, že o zvýšené množství vody v atmosféře a krajině je
navýšen celkový obsah modelového systému. Numerická simulace ukazuje, že chování systému
je velmi podobné předchozímu případu. Důležité je, že se nakonec 27 t vody, o které byl
navýšen obsah vody v atmosféře a krajině, nakonec přesunul do oceánu, tedy do rezervoáru,
který je největší, má nejdelší dobu zdržení a navýšení jeho hmotného obsahu představuje jeho
zanedbatelnou část (0,09 %). Systém na modelovém ostrově se vrátí ke svému původnímu
stacionárnímu stavu a změnu bychom nakonec ani nezaznamenali.
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29960
29980
30000
30020
30040
30060
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 7 Grafické znázornění výsledku simulace časového vývoje modelového systému při tom, kdy
bylo do systému přineseno 27 t vody z okolí (20 t do atmosféry a 7 t do krajiny). Výchozí obsahy
rezervoárů v systému byly následující: mA0 = 25 t, mK0 = 13 t, mJ0 = 0,2 t a mO0 = 30 000
t. Čárkovanými liniemi jsou znázorněny vypočítané stacionární stavy. Po dvě stě dnech je
v rezervoárech na ostrově dosaženo hodnot, které se blíží stacionárnímu stavu modelového
systému. Voda, která byla do systému přenesena z okolí, se nakonec všechna přesunula do
oceánu a tím se zvýšila hodnota jeho stacionárního stavu.
18
Dynamika cyklů Josef Zeman
7.3.3. Náhlá bodová událost – přívalové srážky
Tento příklad simuluje situaci, kdy je náhle do jednoho nebo více rezervoárů náhle (okamžitě)
přineseno značné množství vody. Simulaci zahájíme z původního stavu a po padesáti dnech
náhle přidáme 10 t vody do atmosféry. V tabulkovém kalkulátoru toho dosáhneme tak, že
k hodnotám vypočítaným pro tento den uvedené množství přičteme. To simuluje přinesení
velkého množství vody do atmosféry z vnějšku systému. Výsledek simulace je na obr. 8.
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29960
29980
30000
30020
30040
30060
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 8 Výsledky simulace náhlé události v modelovém systému v podobě přívalových srážek. Systém
se z původního výchozího stavu posouvá směrem ke stacionárnímu stavu. Po padesáti
dnech je náhle do krajiny přidáno 10 t vody (přívalové srážky). Výrazné bodové vychýlení
systému je rychle utlumeno a výsledek je totožný se situací na obr. 7.
Přestože bylo do krajiny náhle přineseno 10 t vody v podobě přívalových srážek, v atmosféře
se nakonec vychýlí množství vody jen o 4 t a v jezerech a povrchových tocích dokonce jen o
necelé 0,5 t. Přitom je vychýlení velmi rychle utlumeno. Pokud budeme hodnotit odchylky od
stacionárního stavu po trojnásobku doby zdržení, je patrné, že se po těchto dobách obsahy
rezervoárů velmi blíží charakteristickým stacionárním stavům.
Simulaci náhlých událostí je možné opakovat. Jako příklad je uvedena simluace situace, kdy
po přívalových srážkách v padesátém dni dochází po sto dnech k přinesení velkého množství
atmosférické vlhkosti.
19
Dynamika cyklů Josef Zeman
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29960
29980
30000
30020
30040
30060
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 9 Simulace opakovaných náhlých událostí. Po padesáti dnech dojde k přívalovým srážkám a
manožství vody v krajině se náhle zvýší o 10 t. Po sto dnech se náhle zvýší množství vody
v atmosféře o 5 t. Obě situace byly simulovány přinesením vody z oblasti mimo modelový
systém a nakonec se přesune do oceánu.
Obě změny jsou opět rychle utlumeny a voda opět skončí v oceánu, tedy opět v rezervoáru
s nejvyšším obsahem, nejdelší dobou zdržení (nejnižší dynamikou). Systém se vrací
k původním podmínkám stacionárního stavu.
7.3.4. Vliv „vyprázdnění“ rezervoárů
V tomto případě předpokládáme, že náš modelový ostrov „vyschnul“ a všechna voda se
v důsledku vnějších vlivů přesunula do oceánu. Simulaci provedeme tak, že výchozí obsahy
rezervoárů nastavíme na nulový obsah vody s výjimkou oceánu, kam se všechna voda přesunula.
Výsledek simulace je na obr. 10.
20
Dynamika cyklů Josef Zeman
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29900
29920
29940
29960
29980
30000
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 10 Simulace ukazuje, jak se bude situace v modelovém systému vyvíjet, pokud bude obsah
všech rezervoárů v důsledku anomální události přenesen do oceánu (ostrov vyschne). I za této
situace je rychle obnoven stabilní stacionární stav modelového systému.
Přestože jsme prakticky „degradovali“ systém a na první pohled se zdá, že už nic nemůže
obnovit původní stav, vidíme, že modelový systém má naopak velkou „vůli“ obnovit pro něj
typický stacionární stav, kterého dosáhne už po dvě stě dnech. Můžeme pozorovat, že se do
suchého vzduchu rychle odpařuje voda z oceánu, přináši srážky a tím i vodu do krajiny a následně
do povrchových toků a nádrží.
Toto chování je charakteristické pro všechny přírodní systémy, podmínkou ovšem je, aby
nebyly destruovány základní vztahy mezi rezervoáry.
7.3.5. Vliv dlouhodobých změn v systému
I v tak jednoduchém modelu, jaký jsme vytvořili pro studium některých charakteristických
vlastností dynamických systémů, je možné studovat principiální vliv zásahů, s jakými se reálně
setkáváme. Například vliv meliorací či jiného způsobu „odvodnění“ krajiny je možné studovat
tak, že se zvýší rychlost odvodnění krajiny. V modelu můžeme simulovat tuto situaci
tím, že zvýšíme původní rychlostní konstantu toku krajina-jezera z původní hodnoty 0,05
1/den na 0,10 1/den (voda bude z krajiny odtékat dvojnásobnou rychlostí). Výsledek je patrný
z obr. 11.
21
Dynamika cyklů Josef Zeman
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
čas (dny)
ObsahA,K,J(t)
29900
29920
29940
29960
29980
30000
ObsahO(t)
mA mK mJ mO
Obr. 11 Simulace vývoje modelového systému při tom, kdy se rychlost odtoku z krajiny zvýšila na
dvojnásobek (simulace odvodnění krajiny – meliorace, asfaltové silnice, zpevněné plochy).
Tato změna rychlosti jediného toku z krajiny vede k výrazné změně stacionárních stavů
i v dalších rezervoárech.
Základní typ chování zůstane stejný, změna však ovlivní nejen krajinu, ale i další rezervoáry.
Stacionární stav pro obsah vody v krajině klesne na polovinu z 11 na 5,5 t. To je zásah, který
jsme původně zamýšleli a chtěli mít krajinu sušší například pro zemědělství.
Nezamýšleným důsledkem pak bude, že zároveň poklesne obsah vodní páry v atmosféře ze
16,5 t na 11 t, tj. zhruba na třetinu, vzduch bude sušší a bude méně pršet. To bude mít další
nepříznivé důsledky – pokud jsme odvodňovali krajinu kvůli zemědělské produkci, bude
pravděpodobně nutné začít zavlažovat. Zároveň vzroste obsah vody v oceánu o 11 t, což je
relativně malá změna, ale povede ke zvýšení hladiny oceánu, kde i centimetry mohou hrát za
určitých okolností roli. To, co bychom intuitivně očekávali, totiž zvýšení obsahu v jezerech a
povrchových tocích, do kterých je krajina odvodňována, naopak nenastane. Stacionární obsah
vody v jezerech zůstane stejný.
Pro reálný systém pak budou následovat i další nepřímé důsledky. Tepelnou stabilitu prostředí
zajišťuje především voda v krajině a rezervoárech a vodní pára v atmosféře díky vlastní vysoké
tepelné kapacitě H2O a vysokému výparnému teplu. Pokud bude mít atmosféra o třetinu a
krajina o polovinu méně H2O, pak bude mnohem více náchylná k teplotním výkyvům a lze
očekávat větší teplotní rozdíly mezi dnem a nocí a stejně tak mezi létem a zimou.
Uvedený model je možné rozšiřovat a tak postupně studovat další vlastnosti, které mohou
simulovat určité rysy reálného systému – například zařadit další rezervoár, který bude simulo-
22
Dynamika cyklů Josef Zeman
vat člověkem vytvořené nádrže s jiným režimem vody, rezervoár krajiny rozdělit na tři rezervoáry
– biotu, půdu a podzemní vodu – s doplněním příslušných toků atd.
8. OBECNÉ ZÁVĚRY
Uvedený model je velmi jednoduchý a může sloužit pro pochopení základních vlastností
komplexních (složitých) systémů. Znovu je třeba zdůraznit, že model nikdy nemůže věrně
simulovat chování přírodních systémů a že není vlastním cílem. Může však být velice užitečným
nástrojem pro pochopení určitých rysů reálných systémů.
8.1. Lineární systémy
Pro přírodní systémy je charakteristické, že obsahují zpětné vazby, které zabraňují tomu, aby
veličiny systému rostly nebo klesaly do nekonečna. V našem případě jsou to vazby velikosti
toků na obsahy rezervoárů. Oprávněně předpokládáme, že pokud je v atmosféře málo vody,
tak budou také nízké srážky, pokud je v krajině málo vody, pak se jí také málo odpaří atd.
V našem modelu jsme použili výhradně lineární vazby – toky jsou přímo úměrné obsahu rezervoárů.
U lineárních systémů existuje pouze jeden stacionární stav, ke kterému systém vždy
směřuje.
Modelovaný systém v principu ukázal následující vlastnosti:
1. I s velmi neúplnými a odhadnutými údaji jsme schopni sestavit základní „krabičkový“
model systému, který ukazuje některé typické rysy jeho chování. Ty pomáhají
v pochopení toho, co se v systému vlastně děje.
2. Ať se systém nachází v jakémkoliv výchozím stavu, vykazuje jednoznačnou tendenci
rychle se vracet do stacionárního stavu, který je pro něj typický.
3. Jakékoliv okamžité vychýlení systému ze stacionárního stavu „násilným“ přesunem
určitého obsahu rezervoárů do jiných částí systému je rychle a silně utlumeno a systém
se opět vrací do typického stacionárního stavu.
4. Vychýlení systému ze stacionárního stavu přínosem sledované látky z oblasti vně systému
vede opět k rychlému utlumení výchylky s tím, že se přinesená látka přesune do
největšího rezervoáru s nejmenší dynamikou (nejdelší dobou zdržení). Tak si systém
„zajistil“, že se vnější vliv projeví co nejméně.
5. Jakýkoliv zásah do rychlosti byť jen jediného toku v systému může vést ke změně stacionárního
stavu všech rezervoárů v systému a není ji možné odhadnout jen tak, že se
projeví v rezervoáru bezprostředně navazujícího na změněný tok.
8.2. Nelineární systémy
U lineárních systémů je pro systém typický vždy jen jeden stacionární stav. V reálných systémech
jsou často tyto vazby nelineární. Skutečné toky jsou úměrné druhé a vyšší mocnině
obsahu rezervoárů. Z toho pak vyplývá, že u nelineárních systémů může být stacionárních
stavů několik, mohou být velmi odlišné a systém mezi nimi může v závislosti na podmínkách
přecházet.
V principu je pro nelineární systémy typické, že není přímá vazba mezi velikostí vychýlení
systému ze stacionárního stavu a velikostí odezvy v jednotlivých rezervoárech systému. Velké
vychýlení může způsobit značnou odchylku, ale také zanedbatelně malou a naopak, malá
změna může mít rozsáhlé důsledky. Pro přechod z jednoho do druhého stacionárního stavu
nemusí někdy stačit ani velká výchylka, zatímco za jiných okolností stačí k tomuto přechodu
23
Dynamika cyklů Josef Zeman
zanedbatelná změna. Bez detailní znalosti chování systému není možné určit, kdy bude výchylka
utlumena a kdy bude mít naopak rozsáhlé důsledky a systém přejde bez „varování“ a
náhle do jiného stavu.
Nelineární vazby toků na obsahy rezervoárů typově chování systémů rozhojňují, umožňují
přírodním systémům různorodě reagovat, účinněji tlumit výchylky ze stacionárního stavu a
rychleji se k některému ze stacionárních stavů vracet. Navíc mohou být některé ze stacionárních
stavů stabilní (systém má tendenci se k nim vracet), některé nestabilní (pokud je systém
z tohoto stavu vychýlen, už se k němu nevrátí) a některé mohou dokonce vykazovat periodické
chování (i při stálých tocích dochází v systému k periodickým změnám v obsahu rezervoá-
ru).
8.3. Interpretace naměřených dat v dynamických systémech
Kromě předchozích závěrů vyplývají ze simulací důležité poznatky i pro pozorování reálných
systémů. Obvykle máme k dispozici jen omezený časový úsek pozorování a sadu určitých
veličin, které jsme měřením v systému získali. Jako příklad použijeme výsledky úvodní simulace
uvedené na obr. 5. Předpokládejme, že jsme náš modelový systém mohli sledovat jen po
dobu dvou dnů. Pro snadnější orientaci je z předchozího obrázku zvětšena oblast prvních dvaceti
dnů a sledovaný časový úsek je vyznačen obdélníkem (obr. 12). Pouze z tohoto úseku
máme k dispozici data. Při klasickém vyhodnocení dat a jejich interpretaci je možné naměřená
data proložit lineárními závislostmi. Pak můžeme dojít k následujícím závěrům:
– s rostoucím množstvím vody v atmosféře zároveň klesá obsah vody v krajině (při „silnější“
interpretaci bychom také mohli tvrdit, že rostoucí obsah vody v atmosféře způsobuje
pokles vody v krajině)
– s klesajícím množstvím vody v oceánech zároveň klesá obsah vody v krajině (při „silnější“
interpretaci bychom mohli tvrdit, že klesající množství vody v oceánech způsobuje
klesající množství vody v krajině)
– s klesajícím množstvím vody v krajině zároveň roste množství vody v jezerech (při
silnější interpretaci bychom mohli tvrdit, že se z krajiny přesouvá do jezer)
– pokud budeme závislosti extrapolovat za časový úsek měření a předpokládat jejich lineární
vývoj, mohli bychom tvrdit, že už po osmnácti dnech přijde krajina o všechnu
vodu a přitom bude v atmosféře více vody, než jí tam bylo kdykoliv před tím.
Na základě toho, co víme z předchozích částí o skutečném chování našeho modelového systému
je zřejmé, že jsou tyto vývody a závěry zcela chybné a nemají se skutečných chováním a
vývojem našeho modelového systému nic společného. Zároveň se ukazuje, že jakýkoliv zásah
do našeho systému, který by se pokoušel na základě těchto údajů a závěrů „napravit“ situaci a
vrátit systém do typického stacionárního stavu, který je pro něj typický, nemůže vést
k požadovanému výsledku. V lepším případě našemu systému příliš neuškodí a systém se s
naším zásahem vyrovná. V horším případě povede ke změně stacionárního stavu a nevratným
změnám v celém systému, ke změnám, které jsme ani nechtěli a ani nepředvídali.
24
Dynamika cyklů Josef Zeman
Obr. 12 Příklad vyhodnocení dat, naměřených v modelovém systému v průběhu prvních dvou dnů
(modrá oblast). Naměřené hodnoty lze proložit přímkami a předpokládat, že se jedná o lineární
závislosti. Z těchto závislostí je pak možné vyvodit celou řadu chybných závěrů. Skutečné
chování modelového systému se od extrapolovaných
Přes zřejmou chybnost takového postupu jsme svědky toho, že v reálném světě se politikové a
i mnozí badatelé k takovému postupu uchylují. Jako extrémní a v posledním desetiletí hojně
diskutovaný a medializovaný případ je možné uvést růst obsahu oxidu uhličitého v atmosféře
a zvyšování globální teploty. Předně není vůbec jisté, zda globální teplota planety dlouhodobě
stoupá. Úsek několika desetiletí či staletí sledování vývoje atmosféry na naší planetě představuje
z hlediska vývoje našeho modelového systému několik vteřin či minut. Pokud však přijmeme
fakt, že obě dvě veličiny stoupají, pak vůbec není zřejmé, zda spolu bezprostředně
souvisí a která z nich by mohla být příčinou a která důsledkem.
Hlavním problémem však je, že vzhledem ke složitosti globálního cyklu uhlíku (z hlediska
planety uzavřený) a globálnímu cyklu energie (z hlediska planety otevřený) za předpokladu,
že spolu obě hodnoty nějak souvisí, bude jejich vzájemné ovlivnění mnohem komplikovanější
a za současných znalostí jej nejsme schopni vůbec předvídat.
Závěr můžeme udělat jediný – nejlepší bude pokud možno do prostředí co nejméně zasahovat
(snižovat emise CO2 do atmosféry) a tím co nejméně ovlivňovat globální cyklus uhlíku. To je
dobrý důvod. Zcela chybné je slibovat, že je možné tímto způsobem snížit „růst“ globální
teploty. Předně je to velmi nepravděpodobné a dále, pokud by teplota skutečně rostla, vůbec
není jasné, jak jsou ovlivněny další toky a procesy – bude atmosféra vlhčí nebo sušší, bude
srážek méně nebo více atd.
25
Dynamika cyklů Josef Zeman
K nejdůležitějším poznatkům a závěrům studia dynamiky přírodních systémů a v širších souvislostech
závěrům geochemie a environmentální geologie by měly patřit následující po-
znatky:
– chování celého přírodního systému nedá odvodit ze studia některých jeho částí
– celkové změny v jednotlivých systémech nejsou důsledkem pouhého součtu jednotlivých
vlivů
– změny v lokálních a globálních systémech jsou těsně provázány, přírodní systémy na
ně dynamicky reagují
– naměřená data není možné extrapolovat za hranice úseků, ve kterých byla naměřena
– vzájemná pozitivní nebo negativní korelace jednotlivých naměřených hodnot a datových
řad neznamená, že spolu nutně tyto veličiny přímo souvisí.
26