8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZOBRAZENÍ Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 10. listopadu 2006 Abstrakt přednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by např. v R3 zahrňoval všechny přímky a roviny, tj. nejen ty procházející počátkem. Abstrakt přednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by např. v R3 zahrňoval všechny přímky a roviny, tj. nejen ty procházející počátkem. Zavedeme tedy definici pojmu afinního podprostoru nebo též lineární variety a pojmu afinního zobrazení . Abstrakt přednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by např. v R3 zahrňoval všechny přímky a roviny, tj. nejen ty procházející počátkem. Zavedeme tedy definici pojmu afinního podprostoru nebo též lineární variety a pojmu afinního zobrazení . Těžištěm kapitoly bude klasifikace vzájemné polohy lineárních variet ve vektorovém prostoru. Abstrakt přednášky II V celé kapitole K označuje pevné těleso, V označuje nějaký pevný, ale jinak libovolný, vektorový prostor nad tělesem K, m, n jsou přirozená čísla. Abstrakt přednášky II V celé kapitole K označuje pevné těleso, V označuje nějaký pevný, ale jinak libovolný, vektorový prostor nad tělesem K, m, n jsou přirozená čísla. V případě potřeby budeme mlčky předpokládat, že charakteristika našeho tělesa bude různá od 2, tj. 2 1 = 0. Obsah přednášky Afinní podprostory a afinní zobrazení Body a vektory Afinní podprostory Průnik a spojení afinních podprostorů Vzájemná poloha afinních podprostorů Afinní zobrazení Body a vektory I Na vektory se díváme jako na orientované úsečky s počátkem v bodě 0. Celý prostor chápeme jako homogenní, t. j. všechny body považujeme za rovnocenné a nevyčleňujeme v něm žádný privilegovaný bod za počátek. Body a vektory II Afinním prostorem nad tělesem K rozumíme vektorový prostor V nad tímto tělesem (prvky se z vektorů staly opět body a počátek, t. j. nulový vektor, ztratil svoje výsadní postavení ­ stal se z něho bod jako každý jiný). Body a vektory II Afinním prostorem nad tělesem K rozumíme vektorový prostor V nad tímto tělesem (prvky se z vektorů staly opět body a počátek, t. j. nulový vektor, ztratil svoje výsadní postavení ­ stal se z něho bod jako každý jiný). Přesněji: Body a vektory III Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V P daným (p, v) p + v tak, že platí: Body a vektory III Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V P daným (p, v) p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p P Body a vektory III Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V P daným (p, v) p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p P 2. p + (v + w) = (p + v) + w pro všechny vektory v, w V, p P Body a vektory III Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V P daným (p, v) p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p P 2. p + (v + w) = (p + v) + w pro všechny vektory v, w V, p P 3. pro každé dva body p, q P existuje právě jeden vektor v P takový, že p + v = q. Značíme jej pq nebo q - p. Body a vektory IV Běžně budeme užívat značení p A místo p P, tj. nebudeme rozlišovat mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Body a vektory IV Běžně budeme užívat značení p A místo p P, tj. nebudeme rozlišovat mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Uvědomme si, že mezi vektory z V a body z P existuje vzájemně jednoznačná korespondence, můžeme tedy bez újmy na obecnosti ztotožnit V s P. Afinní podprostory I Písmeny p, q, r budeme (i s indexy) značit výlučně body, u, v, w označují zase výlučně vektory, x, y, z mohou podle potřeby označovat body i vektory. Rovněž se dohodneme, že rozdíl dvou bodů budeme chápat jako vektor a součet bodu a vektoru jako bod. Afinní podprostory II Necht' p, q V, p = q. Přímkou procházející nebo též určenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q - p. Afinní podprostory II Necht' p, q V, p = q. Přímkou procházející nebo též určenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q - p. Typický bod přímky (p, q) má tedy tvar x = p + t(q - p) = (1 - t)p + tq, kde t K, Afinní podprostory II Necht' p, q V, p = q. Přímkou procházející nebo též určenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q - p. Typický bod přímky (p, q) má tedy tvar x = p + t(q - p) = (1 - t)p + tq, kde t K, tj. (p, q) = {sp + tq; s, t K & s + t = 1} V. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o přímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o přímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihned vidíme, že (p, q) = (q, p) pro libovolné p, q V. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o přímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihned vidíme, že (p, q) = (q, p) pro libovolné p, q V. Afinní podprostory IV Podmnožinu M vektorového prostoru V nazýváme jeho afinním podprostorem nebo též lineární varietou ve V, pokud M = a pre všechna p, q M platí (p, q) M. Afinní podprostory IV Podmnožinu M vektorového prostoru V nazýváme jeho afinním podprostorem nebo též lineární varietou ve V, pokud M = a pre všechna p, q M platí (p, q) M. Lineární kombinaci, t. j. výraz tvaru t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn = n i=0 tipi, kde n N, p0, . . . , pn V, t0, t1, . . . , tn K, nazýváme afinní kombinací bodů p0, p1, . . . , pn, pokud navíc platí t0 + t1 + . . . + tn = 1. Afinní podprostory V Afinní kombinací bodů budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bodů než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Afinní podprostory V Afinní kombinací bodů budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bodů než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Každá afinní kombinace je neprázdná, t. j. obsahuje alespoň jeden člen. Afinní podprostory V Afinní kombinací bodů budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bodů než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Každá afinní kombinace je neprázdná, t. j. obsahuje alespoň jeden člen. Tvrzení Pro libovolnou neprázdnou množinu M V jsou následující podmínky ekvivalentní: Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; (ii) pro libovolné p, q M, s K platí sp + (1 - s)q M; Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; (ii) pro libovolné p, q M, s K platí sp + (1 - s)q M; (iii) pro každé n N a libovolné p0, p1, . . . , pn M, t0, t1 . . . , tn K takové, že t0 + t1 + . . . + tn = 1, platí t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn M. Afinní podprostory VII Věta Necht' M V. Potom M je afinní podprostor ve V právě tehdy, když existuje bod p V a lineární podprostor S V tak, že M = p + S = {p + u; u S}. Afinní podprostory VII Věta Necht' M V. Potom M je afinní podprostor ve V právě tehdy, když existuje bod p V a lineární podprostor S V tak, že M = p + S = {p + u; u S}. V tomto případě pro všechny q, r M, u S platí q - r S, q + u M, M = q + S, Afinní podprostory VII Věta Necht' M V. Potom M je afinní podprostor ve V právě tehdy, když existuje bod p V a lineární podprostor S V tak, že M = p + S = {p + u; u S}. V tomto případě pro všechny q, r M, u S platí q - r S, q + u M, M = q + S, S = {x - q; x M} = {x - y; x, y M}. Afinní podprostory VIII Důsledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostory VIII Důsledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostor M vektorového prostoru V je jeho lineárním podprostorem právě tehdy, když 0 M. Afinní podprostory VIII Důsledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostor M vektorového prostoru V je jeho lineárním podprostorem právě tehdy, když 0 M. Zaměřením nebo též směrovým podprostorem afinního podprostoru M V nazýváme lineární podprostor DirM = {x - y; x, y M} V. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nějaké (pro každé) p M. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nějaké (pro každé) p M. Pro každé p M platí DirM = {x - p; x M}. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nějaké (pro každé) p M. Pro každé p M platí DirM = {x - p; x M}. Zejména je tedy každý afinní podprostor afinním prostorem ve smyslu odstavce 1. Afinní podprostory X Pro libovolnou uspořádanou (n + 1)-tici bodů (p0, . . . , pn), vektorového prostoru V, případně pro jeho konečnou podmnožinu {p0, . . . , pn} = , označme (p0, . . . , pn) = {t0p0 + . . . + tnpn; t0, . . . , tn K & t0 + . . . + tn = 1} množinu všech afinních kombinací bodů p0, . . . , pn. Afinní podprostory XI Z právě dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; Afinní podprostory XI Z právě dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; nazýváme ho afinní obal bodů nebo i afinní podprostor generovaný body p0, . . . , pn. Afinní podprostory XI Z právě dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; nazýváme ho afinní obal bodů nebo i afinní podprostor generovaný body p0, . . . , pn. Pro každou neprázdnou množinu X V můžeme definovat její afinní obal (X), nazývaný též afinní podprostor generovaný množinou X, jako množinu všech (konečných) afinních kombinací bodů z X. Afinní podprostory XII Opět platí, že (X) je nejmenší afinní podprostor ve V tak, že X (X). Afinní podprostory XII Opět platí, že (X) je nejmenší afinní podprostor ve V tak, že X (X). Tvrzení Necht' p0, p1, . . . , pn V. Potom (p0, p1, . . . , pn) = p0 + [p1 - p0, . . . , pn - p0 ], Dir (p0, p1, . . . , pn) = [p1 - p0, . . . , pn - p0 ]. Afinní podprostory XIII Dimenzí nebo též rozměrem afinního podprostoru M V, píšeme dimM, nazýváme dimenzi jeho zameření, tedy dimM = dimDirM. Afinní podprostory XIII Dimenzí nebo též rozměrem afinního podprostoru M V, píšeme dimM, nazýváme dimenzi jeho zameření, tedy dimM = dimDirM. Body p0, p1, . . . , pn vektorového prostoru V nazýváme afinně nezávislé, pokud vektory p1 - p0, . . . , pn - p0 jsou lineárně nezávislé. Afinní podprostory XIV Z následujícího očividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn V jsou afinně nezávislé právě tehdy, Afinní podprostory XIV Z následujícího očividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn V jsou afinně nezávislé právě tehdy, když pro nějaké (pro každé) 0 k n vektory pj - pk , kde 0 j n a j = k, jsou lineárně nezávislé. Afinní podprostory XIV Z následujícího očividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn V jsou afinně nezávislé právě tehdy, když pro nějaké (pro každé) 0 k n vektory pj - pk , kde 0 j n a j = k, jsou lineárně nezávislé. Tvrzení Body p0, p1, . . . , pn V jsou afinně nezávislé právě tehdy, když dim (p0, p1, . . . , pn) = n. Afinní podprostory XV Zřejmě 0-rozměrné afinní podprostory ve V jsou právě všechny body p V (přesněji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Afinní podprostory XV Zřejmě 0-rozměrné afinní podprostory ve V jsou právě všechny body p V (přesněji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozměrné afinní podprostory ve V nazýváme přímkami. Afinní podprostory XV Zřejmě 0-rozměrné afinní podprostory ve V jsou právě všechny body p V (přesněji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozměrné afinní podprostory ve V nazýváme přímkami. Každá přímka má skutečně tvar (p, q) pro nějaké afinně nezávislé (t. j. různé) body p, q V. Afinní podprostory XV Zřejmě 0-rozměrné afinní podprostory ve V jsou právě všechny body p V (přesněji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozměrné afinní podprostory ve V nazýváme přímkami. Každá přímka má skutečně tvar (p, q) pro nějaké afinně nezávislé (t. j. různé) body p, q V. Dvojrozměrné afinní podprostory ve V nazýváme rovinami. Afinní podprostory XVI Samotný prostor V je svým nevlastním afinním podprostorem. Pokud dimV = n, tak (n - 1)-rozměrné afinní podprostory ve V nazýváme nadrovinami. Pojmy "bod", "přímka" a "rovina" jsou absolutní v tom smyslu, že závisí jen na dimenzi příslušného afinního podprostoru. Pojem nadroviny je relativní, protože závisí na vztahu dimenzí afinního podprostoru a celého prostoru. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je přímka), tak každý bod ve V je zároveň nadrovinou. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je přímka), tak každý bod ve V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozměrném prostoru (t. j. v rovině) jsou zase všechny přímky. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je přímka), tak každý bod ve V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozměrném prostoru (t. j. v rovině) jsou zase všechny přímky. V trojrozměrném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je přímka), tak každý bod ve V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozměrném prostoru (t. j. v rovině) jsou zase všechny přímky. V trojrozměrném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. V čtyřrozměrném prostoru jsou nadrovinami trojrozměrné podprostory; atd. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je přímka), tak každý bod ve V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozměrném prostoru (t. j. v rovině) jsou zase všechny přímky. V trojrozměrném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. V čtyřrozměrném prostoru jsou nadrovinami trojrozměrné podprostory; atd. V 0-rozměrném (t. j. jednobodovém) prostoru V nejsou přímky, roviny ani nadroviny. Průnik a spojení AP I Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Průnik a spojení AP I Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom M N je afinní podprostor ve V právě tehdy, když M N = . Průnik a spojení AP I Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom M N je afinní podprostor ve V právě tehdy, když M N = . V tomto případě Dir(M N) = DirM DirN. Průnik a spojení AP I Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom M N je afinní podprostor ve V právě tehdy, když M N = . V tomto případě Dir(M N) = DirM DirN. Neprázdnost průniku M N můžeme zaručit za předpokladu, že lineární prostor DirM + DirN je dostatečně velký. Průnik a spojení AP II Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Průnik a spojení AP II Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V M N = . Průnik a spojení AP II Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V M N = . Spojením afinních podprostorů M, N V, píšeme M N, nazýváme afinní obal jejich sjednocení. Průnik a spojení AP II Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V M N = . Spojením afinních podprostorů M, N V, píšeme M N, nazýváme afinní obal jejich sjednocení. Tedy M N = (M N). Průnik a spojení AP III Zřejmě M N je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje M i N, a pro lineární podprostory S, T V platí S T = S + T. Průnik a spojení AP IV Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. Průnik a spojení AP IV Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. (a) Pokud M N = , tak Dir(M N) = DirM + DirN, M N = M + DirN = N + DirM. Průnik a spojení AP IV Tvrzení Necht' M, N V jsou afinní podprostory. (a) Pokud M N = , tak Dir(M N) = DirM + DirN, M N = M + DirN = N + DirM. (b) Pokud M N = , tak pro p M, q N platí Dir(M N) = [q - p ] + DirM + DirN, M N = M + ( [q - p ] + DirN) = N + ( [q - p ] + DirM). Průnik a spojení AP V Poznámka Obě rovnosti z (b) jsou splněné i za předpokladu M N = . Průnik a spojení AP V Poznámka Obě rovnosti z (b) jsou splněné i za předpokladu M N = . V tomto případě však pro libovolné r M N platí q - p = (r - p) + (q - r) DirM + DirN, takže vektor q - p můžeme vynechat. Průnik a spojení AP VI Důsledek Necht' M, N V jsou konečně rozměrné afinní podprostory. Průnik a spojení AP VI Důsledek Necht' M, N V jsou konečně rozměrné afinní podprostory. Potom dim(M N) = dimM + dimN - dim(M N), pro M N = , dimM + dimN - dim(DirM DirN) + 1, pro M N = . Průnik a spojení AP VII Příklad Ve vektorovém prostoru V uvažujme konečně rozměrné afinní podprostory M = p + [u1, . . . , um ], N = q + [v1, . . . , vn ]. Průnik a spojení AP VII Příklad Ve vektorovém prostoru V uvažujme konečně rozměrné afinní podprostory M = p + [u1, . . . , um ], N = q + [v1, . . . , vn ]. Potom M N = p + [u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M N = , p + [q - p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M N = , Průnik a spojení AP VIII dim(M N)= dim[u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M N = , dim[q - p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M N = . Průnik a spojení AP IX Pokud předpokládáme, že jak vektory u1, . . . , um tak vektory v1, . . . , vn jsou lineárně nezávislé, pak dim(M N) = m + n - k, pro M N = , m + n - k + 1, pro M N = , kde k = dim([u1, . . . , um] [v1, . . . , vn]). Průnik a spojení AP X Příklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, -3, 1, -1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, -2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurčené body p, q. Průnik a spojení AP X Příklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, -3, 1, -1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, -2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurčené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] jsou lineární podprostory a M = p + S, N = q + N jsou afinní podprostory v R4. Průnik a spojení AP X Příklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, -3, 1, -1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, -2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurčené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] jsou lineární podprostory a M = p + S, N = q + N jsou afinní podprostory v R4. Najdeme dimenze lineárních podprostorů S + T, S T a afinních podprostorů M N, M N v závislosti na p, q. Průnik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice Průnik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice 1 0 1 2 -3 1 3 1 0 4 -1 0 0 2 0 -2 6 0 4 2 1 3 5 1 , Průnik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice 1 0 1 2 -3 1 3 1 0 4 -1 0 0 2 0 -2 6 0 4 2 1 3 5 1 , přičemž sloupce levého bloku generují lineární podprostor S a sloupce pravého bloku lineární podprostor T. Průnik a spojení AP XII Tato matice je řádkově ekvivalentní s následující blokovou maticí Průnik a spojení AP XII Tato matice je řádkově ekvivalentní s následující blokovou maticí 1 0 1 0 1 -3 0 0 3 0 0 0 0 2 0 4 -4 0 -3 3 1 0 0 1 ve stupňovitém tvaru, jejíž řádky mají vedoucí prvky ve sloupcích 1, 2, 3 a 6. Průnik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoří bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Průnik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoří bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Doupravením pravého bloku na řádkově ekvivalentní stupňovitý tvar Průnik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoří bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Doupravením pravého bloku na řádkově ekvivalentní stupňovitý tvar 4 -4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 se můžeme přesvědčit, že i vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, tedy tvoří bázi T. Průnik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Průnik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle věty o dimenzi součtu a průniku vyplývá dim(S T) = 3 + 3 - 4 = 2. Průnik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle věty o dimenzi součtu a průniku vyplývá dim(S T) = 3 + 3 - 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M N = . Průnik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle věty o dimenzi součtu a průniku vyplývá dim(S T) = 3 + 3 - 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M N = . Proto dim(M N) = dim(S T) = 2. Průnik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle věty o dimenzi součtu a průniku vyplývá dim(S T) = 3 + 3 - 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M N = . Proto dim(M N) = dim(S T) = 2. Odtud dim(M N) = dim(S + T) = 4. Vzájemná poloha AP I Polohu netriviálních vlastních afinních podprostorů (lineárních variet) M, N V budeme klasifikovat na základě dvou kritérií: Vzájemná poloha AP II (A) Pokud platí DirM DirN DirN DirM, říkáme, že M, N jsou rovnoběžné a píšeme M N. Vzájemná poloha AP II (A) Pokud platí DirM DirN DirN DirM, říkáme, že M, N jsou rovnoběžné a píšeme M N. V opačném případě, t. j. pokud platí DirM DirN & DirN DirM, říkáme, že M, N nejsou rovnoběžné, a píšeme M N. Vzájemná poloha AP III (B) Pokud platí M N = , říkáme, že M, N se protínají. Vzájemná poloha AP III (B) Pokud platí M N = , říkáme, že M, N se protínají. V opačném případě, t. j. pokud M N = , říkáme, že M, N se neprotínají, neboli, že jsou disjunktní. Vzájemná poloha AP IV Celkově tedy dostáváme čtyři možnosti: Vzájemná poloha AP IV Celkově tedy dostáváme čtyři možnosti: (1) M N & M N = , tj. M, N jsou rovnoběžné a protínají se. Vzájemná poloha AP IV Celkově tedy dostáváme čtyři možnosti: (1) M N & M N = , tj. M, N jsou rovnoběžné a protínají se. V tomto případě platí DirM DirN M N a DirN DirM N M. Vzájemná poloha AP IV Celkově tedy dostáváme čtyři možnosti: (1) M N & M N = , tj. M, N jsou rovnoběžné a protínají se. V tomto případě platí DirM DirN M N a DirN DirM N M. Tedy M N nebo M N. Říkáme, že jedna z lineárních variet M, N je podvarietou druhé, neboli, že M, N jsou ve vztahu inkluze. Vzájemná poloha AP V (2) M N & M N = , tj. M, N jsou rovnoběžné a neprotínají se. Vzájemná poloha AP V (2) M N & M N = , tj. M, N jsou rovnoběžné a neprotínají se. Tento případ nazýváme vztahem pravé rovnoběžnosti. Vzájemná poloha AP VI (3) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a protínají se. Vzájemná poloha AP VI (3) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a protínají se. Říkáme, že M, N jsou různoběžné. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a neprotínají se. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a neprotínají se. V tomto případě ještě rozlišujeme dvě další možnosti: Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a neprotínají se. V tomto případě ještě rozlišujeme dvě další možnosti: (4a) Ak DirM DirN = {0}, říkáme, že M, N jsou mimoběžné. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M N = , tj. M, N nejsou rovnoběžné a neprotínají se. V tomto případě ještě rozlišujeme dvě další možnosti: (4a) Ak DirM DirN = {0}, říkáme, že M, N jsou mimoběžné. (4b) Pokud DirM DirN = {0}, říkáme, že M, N jsou částečně rovnoběžné. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht' M, N V jsou částečně rovnoběžné lineární variety. Potom dimM 2, dimN 2 a dimV 4. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht' M, N V jsou částečně rovnoběžné lineární variety. Potom dimM 2, dimN 2 a dimV 4. Na druhé straně v libovolném vektorovém prostoru V dimenze 4 není těžké najít příklady částečne rovnobežných lineárních variet. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht' M, N V jsou částečně rovnoběžné lineární variety. Potom dimM 2, dimN 2 a dimV 4. Na druhé straně v libovolném vektorovém prostoru V dimenze 4 není těžké najít příklady částečne rovnobežných lineárních variet. Např. M = [e1, e2], N = e4 + [e2, e3] jsou částečně rovnoběžné roviny v K4. Afinní zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tímž tělesem K. Říkáme, že f V U je afinní zobrazení, pokud pro libovolné body p, q V a skalár s V platí f(sp + (1 - s)q) = sf(p) + (1 - s)f(q). Afinní zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Afinní zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom zobrazení f V U je afinní právě tehdy, když pro každé n N, všechny body p0, . . . , pn V a skaláry t0, . . . , tn K takové, že t0 + . . . + tn = 1, platí Afinní zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom zobrazení f V U je afinní právě tehdy, když pro každé n N, všechny body p0, . . . , pn V a skaláry t0, . . . , tn K takové, že t0 + . . . + tn = 1, platí f(t0p0 + . . . + tnpn) = t0f(p0) + . . . + tnf(pn). Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u V nazýváme zobrazení V V dané předpisem x x + u. Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u V nazýváme zobrazení V V dané předpisem x x + u. Zřejmě kompozicí posunutí o vektor u V a posunutí o vektor v V je posunutí o vektor u + v. Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u V nazýváme zobrazení V V dané předpisem x x + u. Zřejmě kompozicí posunutí o vektor u V a posunutí o vektor v V je posunutí o vektor u + v. Každé posunutí je bijektivní zobrazení; inverzní zobrazení k posunutí o vektor u je posunutí o opačný vektor -u. Afinní zobrazení IV Věta Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Afinní zobrazení IV Věta Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom zobrazení f : V U je afinní právě tehdy, když existuje vektor u U a lineární zobrazení : V U takové, že pro každé x V platí Afinní zobrazení IV Věta Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom zobrazení f : V U je afinní právě tehdy, když existuje vektor u U a lineární zobrazení : V U takové, že pro každé x V platí f(x) = (x) + u. Afinní zobrazení V Důsledek Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom Afinní zobrazení V Důsledek Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; Afinní zobrazení V Důsledek Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; (b) libovolné lineární zobrazení : V U je afinní; Afinní zobrazení V Důsledek Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; (b) libovolné lineární zobrazení : V U je afinní; (c) afinní zobrazení f : V U je lineární právě tehdy, když f(0) = 0. Afinní zobrazení VI Zřejmě vektor u U a lineární zobrazení jsou podmínkou věty určené jednoznačně. Afinní zobrazení VI Zřejmě vektor u U a lineární zobrazení jsou podmínkou věty určené jednoznačně. Zobrazení = f - f(0) nazývame lineární částí a vektor u = f(0) absolutním členem afinního zobrazení f. Afinní zobrazení VI Zřejmě vektor u U a lineární zobrazení jsou podmínkou věty určené jednoznačně. Zobrazení = f - f(0) nazývame lineární částí a vektor u = f(0) absolutním členem afinního zobrazení f. Píšeme též f = + u. Afinní zobrazení VI Zřejmě vektor u U a lineární zobrazení jsou podmínkou věty určené jednoznačně. Zobrazení = f - f(0) nazývame lineární částí a vektor u = f(0) absolutním členem afinního zobrazení f. Píšeme též f = + u. Afinní zobrazení jsou zevšeobecněním funkcí f : K K tvaru f(x) = ax + b, kde a, b K, které (v případě K = R) v matematické analýze nazýváme lineárními. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a g : W V, f : V U jsou afinní zobrazení. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a g : W V, f : V U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f g : W U je afinní zobrazení. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a g : W V, f : V U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f g : W U je afinní zobrazení. (f g)(z) = ((z) + v) + u = ( )(z) + (v) + u. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a g : W V, f : V U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f g : W U je afinní zobrazení. (f g)(z) = ((z) + v) + u = ( )(z) + (v) + u. Pro lineární zobrazení : W V, : V U a vektory v V, u U platí ( + u) ( + v) = ( ) + ((v) + u). Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K, f : V U je afinní zobrazení a M V, N U jsou afinní podprostory. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K, f : V U je afinní zobrazení a M V, N U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f-1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K, f : V U je afinní zobrazení a M V, N U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f-1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Protože každé posunutí je bijekce, afinní zobrazení f = + u : V U s lineární částí je injektivní právě tehdy, když je injektivní. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K, f : V U je afinní zobrazení a M V, N U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f-1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Protože každé posunutí je bijekce, afinní zobrazení f = + u : V U s lineární částí je injektivní právě tehdy, když je injektivní. Podobně, f je surjektivní právě tehdy, když je surjektivní. Afinní zobrazení IX Věta Necht' f : V U je afinní zobrazení, přičemž V je konečně rozměrný vektorový prostor. Afinní zobrazení IX Věta Necht' f : V U je afinní zobrazení, přičemž V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom pro libovolné y Imf platí dimV = dimf-1 (y) + dimImf. Afinní zobrazení IX Věta Necht' f : V U je afinní zobrazení, přičemž V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom pro libovolné y Imf platí dimV = dimf-1 (y) + dimImf. Afinní transformací vektorového prostoru V nazýváme libovolné afinní zobrazení f : V V. Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, když je surjektivní. Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht' f : V U je afinní zobrazení s lineární částí a u = f(0). Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht' f : V U je afinní zobrazení s lineární částí a u = f(0). Potom f je bijektivní právě tehdy, když je bijektívní. Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht' f : V U je afinní zobrazení s lineární částí a u = f(0). Potom f je bijektivní právě tehdy, když je bijektívní. V tomto případě i inverzní zobrazení f-1 : U V je afinní a platí f-1 = -1 - -1(u). Afinní zobrazení X Důsledek Necht' f : V V je afinní transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht' f : V U je afinní zobrazení s lineární částí a u = f(0). Potom f je bijektivní právě tehdy, když je bijektívní. V tomto případě i inverzní zobrazení f-1 : U V je afinní a platí f-1 = -1 - -1(u). Tedy f-1 je kompozicí lineárního zobrazení -1 a posunutí o vektor --1(u). Afinní zobrazení XI Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory a , jsou báze v U resp. ve V. Afinní zobrazení XI Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory a , jsou báze v U resp. ve V. Rozšířenou maticí afinního zobrazení f : V U s lineární částí a absolutním členem u vzhledem na báze , nazýváme blokovou matici (f), = (), | (u) . Afinní zobrazení XII Pokud dimU = m, dimV = n, A = (), je matice lineárního zobrazení v bazích = (v1, . . . , vn), a a = (u) je vektor souřadnic vektoru u v bázi , Afinní zobrazení XII Pokud dimU = m, dimV = n, A = (), je matice lineárního zobrazení v bazích = (v1, . . . , vn), a a = (u) je vektor souřadnic vektoru u v bázi , tak rozšířenou maticí afinního zobrazení f v bazích , je bloková matice (f), = ((v1)), . . . , ((vn)) | (u) = (A | a). Afinní zobrazení XIII Souřadnice bodu x V v bázi a souřadnice jeho obrazu f(x) U v bázi jsou tak spojené rovností (f(x)) = (), (x) + (u) = A (x) + a. Afinní zobrazení XIII Souřadnice bodu x V v bázi a souřadnice jeho obrazu f(x) U v bázi jsou tak spojené rovností (f(x)) = (), (x) + (u) = A (x) + a. Je-li f lineární zobrazení, t. j. pokud f = a u = 0, nemá význam rozšiřovat matici (), o nulový sloupec. Afinní zobrazení XIV Tvrzení Necht' U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a , , jsou nějaké báze prostorů U, V, resp. W. Afinní zobrazení XIV Tvrzení Necht' U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a , , jsou nějaké báze prostorů U, V, resp. W. (a) Jsou-li g : W V, f : V U afinní zobrazení, které mají v příslušných bazích rozšířené matice (g), = (B | b), (f), = (A | a), tak jejich kompozice f g : W U má v bazích , rozšířenou matici (f g), = (A B | A b + a). Afinní zobrazení XV (b) Je-li f : V U afinní bijekce s rozšířenou maticí (f), = (A | a) v bazích , , tak k ní inverzní zobrazení je afinní bijekce f-1 : U V, která má v bazích , rozšířenou matici f-1 , = A-1 | - A-1 a .