9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY
LINEÁRNÍCH ROVNIC
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
30. listopadu 2006
Abstrakt přednášky
V této kapitole se budeme opět věnovat soustavám lineárních
rovnic.
Abstrakt přednášky
V této kapitole se budeme opět věnovat soustavám lineárních
rovnic.
Dokážeme, že množina řešení každé lineární (homogenní)
soustavy tvoří afinní (lineární) podprostor vhodného
sloupcového prostoru Kn
Abstrakt přednášky
V této kapitole se budeme opět věnovat soustavám lineárních
rovnic.
Dokážeme, že množina řešení každé lineární (homogenní)
soustavy tvoří afinní (lineární) podprostor vhodného
sloupcového prostoru Kn
a obráceně, každý takový afinní (lineární) podprostor lze popsat
jakožto množinu řešení vhodné lineární (homogenní) soustavy.
Abstrakt přednášky
V této kapitole se budeme opět věnovat soustavám lineárních
rovnic.
Dokážeme, že množina řešení každé lineární (homogenní)
soustavy tvoří afinní (lineární) podprostor vhodného
sloupcového prostoru Kn
a obráceně, každý takový afinní (lineární) podprostor lze popsat
jakožto množinu řešení vhodné lineární (homogenní) soustavy.
V celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n jsou přirozená
čísla.
Obsah přednášky
Afinní podprostory a soustavy lineárních rovnic
Podprostor řešení homogenní soustavy a jeho báze
Frobeniova věta a řešení nehomogenní soustavy
Parametrické a všeobecné rovnice afinních podprostorů
Rovnice průniku a spojení afinních podprostorů
Podprostor řešení I
Necht' A  Km×n, b  Km. Uvažujme homogenní soustavu
lineárních rovnic s maticí A
A  x = 0.
Podprostor řešení II
Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou
stranou b
A  x = b.
Podprostor řešení II
Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou
stranou b
A  x = b.
Množiny jejich řešení označíme
R(A) = {x  Kn
: A  x = 0},
Podprostor řešení II
Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou
stranou b
A  x = b.
Množiny jejich řešení označíme
R(A) = {x  Kn
: A  x = 0},
resp.
R(A | b) = {x  Kn
: A  x = b}.
Podprostor řešení III
Předpisem (x) = A  x je definované lineární zobrazení
 : Kn  Km, přičemž R(A) = Ker.
Podprostor řešení III
Předpisem (x) = A  x je definované lineární zobrazení
 : Kn  Km, přičemž R(A) = Ker.
Z toho okamžitě vyplývá
Tvrzení
Pro libovolnou matici A  Km×n množina R(A) řešení
homogenní soustavy A  x = 0 tvoří lineární podprostor
vektorového prostoru Kn.
Podprostor řešení IV
Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním
systémem řešení soustavy A  x = 0.
Podprostor řešení IV
Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním
systémem řešení soustavy A  x = 0.
Potom každé řešení příslušné homogenní soustavy můžeme
jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů
z fundamentálního systému řešení,
Podprostor řešení IV
Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním
systémem řešení soustavy A  x = 0.
Potom každé řešení příslušné homogenní soustavy můžeme
jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů
z fundamentálního systému řešení,
a naopak, každá lineární kombinace vektorů fundamentálního
systému je řešením příslušné soustavy.
Podprostor řešení IV
Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním
systémem řešení soustavy A  x = 0.
Potom každé řešení příslušné homogenní soustavy můžeme
jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů
z fundamentálního systému řešení,
a naopak, každá lineární kombinace vektorů fundamentálního
systému je řešením příslušné soustavy.
Fundamentální systém řešení najdeme následujícím postupem:
Podprostor řešení V
Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar
B  Km×n.
Podprostor řešení V
Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar
B  Km×n.
Množinu {1, . . . , n} rozdělíme na dvě podmnožiny J a J , podle
toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází
vedoucí prvek nějakého jejího řádku.
Podprostor řešení V
Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar
B  Km×n.
Množinu {1, . . . , n} rozdělíme na dvě podmnožiny J a J , podle
toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází
vedoucí prvek nějakého jejího řádku.
Označme k počet prvků množiny J a zapišme ji ve tvaru
J = {j1 < j2 < . . . < jk }.
Podprostor řešení VI
Pro každý index jl  J sestrojíme vektor
vl = (v1l, . . . , vnl)T  Kn takto:
Podprostor řešení VI
Pro každý index jl  J sestrojíme vektor
vl = (v1l, . . . , vnl)T  Kn takto:
Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l.
Podprostor řešení VI
Pro každý index jl  J sestrojíme vektor
vl = (v1l, . . . , vnl)T  Kn takto:
Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l.
Pro j  J vypočítáme hodnoty vjl k uvedeným hodnotám
parametrů vj1l, . . . , vjk l tak, aby celý vektor vl vyhovoval
podmínce B  vl = 0.
Podprostor řešení VI
Pro každý index jl  J sestrojíme vektor
vl = (v1l, . . . , vnl)T  Kn takto:
Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l.
Pro j  J vypočítáme hodnoty vjl k uvedeným hodnotám
parametrů vj1l, . . . , vjk l tak, aby celý vektor vl vyhovoval
podmínce B  vl = 0.
Potom vektory v1, v2, . . . , vk tvoří bázi podprostoru řešení
R(A). Přitom zřejmě platí k = n - h(A).
Podprostor řešení VII
Příklad
Předpokládejme, že jsme matici A pomocí ERO už upravili na
redukovaný stupňovitý tvar
B =




1 2 0 0 -1/3
0 0 1 0 1/2
0 0 0 1 -2
0 0 0 0 0



 .
Vedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích 1, 3 a 4.
Podprostor řešení VIII
Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1,
x3 a x4 si vyjádříme s jejich pomocí.
Podprostor řešení VIII
Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1,
x3 a x4 si vyjádříme s jejich pomocí.
Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor
v1 = (-2, 1, 0, 0, 0)T .
Podprostor řešení VIII
Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1,
x3 a x4 si vyjádříme s jejich pomocí.
Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor
v1 = (-2, 1, 0, 0, 0)T .
Druhá volba parametrů je x2 = 0, x5 = 1. Tomu odpovídá vektor
v2 = (1/3, 0, -1/2, 2, 1)T .
Podprostor řešení VIII
Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1,
x3 a x4 si vyjádříme s jejich pomocí.
Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor
v1 = (-2, 1, 0, 0, 0)T .
Druhá volba parametrů je x2 = 0, x5 = 1. Tomu odpovídá vektor
v2 = (1/3, 0, -1/2, 2, 1)T .
Potom vektory v1, v2 tvoří bázi podprostoru (fundamentální
systém) řešení R(A) = R(B)  R5.
Podprostor řešení IX
Tvrzení
Pro libovolnou matici A  Km×n platí
dimR(A) = n - h(A).
Podprostor řešení NS I
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
Podprostor řešení NS I
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
(a) Pokud y, z  R(A | )

, pak y - z  R(A).
Podprostor řešení NS I
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
(a) Pokud y, z  R(A | )

, pak y - z  R(A).
(b) Pokud z  R(A | b), x  R(A), pak z + x  R(A | b).
Podprostor řešení NS I
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
(a) Pokud y, z  R(A | )

, pak y - z  R(A).
(b) Pokud z  R(A | b), x  R(A), pak z + x  R(A | b).
R(A | b) = z + R(A) = {z + x; x  R(A)}
= z + [v1, . . . , vn]
= {z + c1v1 + . . . + ck vk ; c1, . . . , ck  K}.
Podprostor řešení NS II
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
Podprostor řešení NS II
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
Pokud soustava A  x = b má aspoň jedno řešení, tak R(A | b)
je afinní podprostor v Kn se zaměřením R(A).
Podprostor řešení NS II
Tvrzení
Necht' A  Km×n, b  Km.
Pokud soustava A  x = b má aspoň jedno řešení, tak R(A | b)
je afinní podprostor v Kn se zaměřením R(A).
To znamená, že
DirR(A | b) = R(A)
a
dimR(A | b) = dimR(A) = n - h(A).
Frobeniova věta I
Věta
(Frobenius) Necht' A  Km×n, b  Km.
Potom nehomogenní soustava A  x = b má řešení právě tehdy,
když h(A | b) = h(A).
Frobeniova věta II
Soustava A  x = b má alespoň jedno řešení z  Kn právě
tehdy, když b  Im (kde (x) = A  x). Pak
R(A | b) = z + R(A).
Frobeniova věta II
Soustava A  x = b má alespoň jedno řešení z  Kn právě
tehdy, když b  Im (kde (x) = A  x). Pak
R(A | b) = z + R(A).
Frobeniova věta říká: nehomogenní soustava A  x = b nemá
řešení právě tehdy, když se při úpravě její rozšířené matice
(A | b) na redukovaný stupňovitý tvar objeví nějaký řádek tvaru
(0, . . . , 0 | d)  Kn+1, kde 0 = d  K. Takovýto řádek totiž
zodpovídá rovnici 0 = d.
Frobeniova věta III
Pokud upravíme pomocí ERO rozšířenou matici (A | b) na
redukovaný stupňovitý tvar (B | c), kde B  Km×n a c  Km, tak
B je též v redukovaném stupňovitém tvaru.
Frobeniova věta III
Pokud upravíme pomocí ERO rozšířenou matici (A | b) na
redukovaný stupňovitý tvar (B | c), kde B  Km×n a c  Km, tak
B je též v redukovaném stupňovitém tvaru.
Potom R(A | b) = R(B | c) =  právě tehdy, když se žádný
vedoucí prvek nějakého řádku matice (B | c) nenachází
v posledním, t. j. n + 1-ním sloupci.
Frobeniova věta IV
Bázi prostoru řešení R(A) = R(B) najdeme postupem
popsaným v paragrafu 9.1.
Frobeniova věta IV
Bázi prostoru řešení R(A) = R(B) najdeme postupem
popsaným v paragrafu 9.1.
Nech J, J a k mají dříve uvedený význam.
Frobeniova věta IV
Bázi prostoru řešení R(A) = R(B) najdeme postupem
popsaným v paragrafu 9.1.
Nech J, J a k mají dříve uvedený význam.
Jedno řešení z = (z1, . . . , zn)T nehomogenní soustavy
dostaneme volbou parametrů zj1
= . . . = zjk
= 0 pro jl  J .
Frobeniova věta IV
Bázi prostoru řešení R(A) = R(B) najdeme postupem
popsaným v paragrafu 9.1.
Nech J, J a k mají dříve uvedený význam.
Jedno řešení z = (z1, . . . , zn)T nehomogenní soustavy
dostaneme volbou parametrů zj1
= . . . = zjk
= 0 pro jl  J .
Zbývající hodnoty zj potom vypočítáme tak, aby z vyhovovalo
podmínce B  z = c, t. j. zj = cj pro j  J.
Frobeniova věta V
Příklad
Předpokládejme, že jsme matici (A | b) pomocí ERO už upravili
na redukovaný stupňovitý tvar
(B | c) =




1 0 0 3 1/4 0
0 1 0 4 2 -1
0 0 1 1 -5 6
0 0 0 0 0 0
2
-1
-2/7
0



 .
Frobeniova věta VI
Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = .
Frobeniova věta VI
Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = .
Vedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3.
Frobeniova věta VI
Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = .
Vedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3.
Tedy neznámé x4, x5 a x6 si zvolíme za parametry a neznámé
x1, x2 a x3 si vyjádříme pomocí nich.
Frobeniova věta VI
Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = .
Vedoucí prvky řádků se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3.
Tedy neznámé x4, x5 a x6 si zvolíme za parametry a neznámé
x1, x2 a x3 si vyjádříme pomocí nich.
První volbě x4 = 1, x5 = x6 = 0 odpovídá vektor
v1 = (-3, -4, -1, 1, 0, 0)T .
Frobeniova věta VII
Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor
v2 = (-1/4, -2, 5, 0, 1, 0)T .
Frobeniova věta VII
Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor
v2 = (-1/4, -2, 5, 0, 1, 0)T .
Třetí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor
v3 = (0, 1, -6, 0, 0, 1)T .
Frobeniova věta VII
Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor
v2 = (-1/4, -2, 5, 0, 1, 0)T .
Třetí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor
v3 = (0, 1, -6, 0, 0, 1)T .
Potom vektory v1, v2, v3 tvoří bázi podprostoru řešení
R(A) = R(B)  R6 příslušní homogenní soustavy.
Frobeniova věta VII
Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor
v2 = (-1/4, -2, 5, 0, 1, 0)T .
Třetí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor
v3 = (0, 1, -6, 0, 0, 1)T .
Potom vektory v1, v2, v3 tvoří bázi podprostoru řešení
R(A) = R(B)  R6 příslušní homogenní soustavy.
Konečně volbou parametrů x4 = x5 = x6 = 0 získáme jedno
řešení z = (2, -1, -2/7, 0, 0, 0)T nehomogenní soustavy.
Frobeniova věta VIII
Výsledek můžeme zapsat do tabulky:
v1 v2 v3 z
x1 -3 -1/4 0 2
x2 -4 -2 1 -1
x3 -1 5 -6 -2/7
x4 1 0 0 0
x5 0 1 0 0
x6 0 0 1 0
Parametrické a všeobecné rovnice I
Každý afinní podprostor M  Kn má tvar
M = p + [u1, . . . , uk ] = p + []
pro nějaký bod p = (p1, . . . , pn)T  M a vhodnou uspořádanou
k-tici  = (u1, . . . , uk ) vektorů z Kn, kde uj = (u1j, . . . , unj)T .
Parametrické a všeobecné rovnice II
To znamená, že pro libovolné x  Kn platí x  M právě tehdy,
když existuje t = (t1, . . . , tk )T  Kk tak, že
x = p +   t,
kde jsme uspořádanou k-tici  jako obyčejně ztotožnili s maticí
(uij)  Kn×k se sloupci u1, . . . , uk .
Parametrické a všeobecné rovnice III
Rovnost x = p +   t je maticovým zápisem parametrických
rovnic afinního podprostoru M  Kn.
Parametrické a všeobecné rovnice III
Rovnost x = p +   t je maticovým zápisem parametrických
rovnic afinního podprostoru M  Kn.
Vektor t  Kn nazýváme vektorem parametrů a jeho složky
t1, . . . , tk  K parametry.
Parametrické a všeobecné rovnice IV
Po rozepsání do složek
x1 = p1 + u11t1 + u12t2 + . . . + u1k tk
x2 = p2 + u21t1 + u22t2 + . . . + u2k tk
xn = pn + un1t1 + un2tn + . . . + unk tk
dostaneme obvyklejší tvar, se kterým jsme sa v dimenzi n = 2
resp. n = 3 už potkali v středoškolské analytické geometrii.
Parametrické a všeobecné rovnice V
Jsou-li navíc vektory u1, . . . , uk lineárně nezávislé, což
můžeme vždy dosáhnout vynecháním "nadbytečných vektorů",
pak parametrické rovnice podprostoru M nám přímo ukáží jeho
dimenzi: dimM = k.
Parametrické a všeobecné rovnice VI
Zápis afinního podprostoru M  Kn ve tvaru M = p + [], kde
p  M a  je nejaká uspořádaná k-tice, která generuje jeho
zaměření DirM (můžeme si dovolit předpokládat, že  je
dokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým
vyjádřením.
Parametrické a všeobecné rovnice VI
Zápis afinního podprostoru M  Kn ve tvaru M = p + [], kde
p  M a  je nejaká uspořádaná k-tice, která generuje jeho
zaměření DirM (můžeme si dovolit předpokládat, že  je
dokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým
vyjádřením.
Parametrické vyjádření M = p + [] afinního podprostoru
můžeme přímo přepsat do jeho parametrických rovnic
x = p +   t, (t  Kk ). Naopak, z jeho parametrických rovnic
můžeme okamžitě získat jeho parametrické vyjádření.
Parametrické a všeobecné rovnice VII
Každá soustava lineárních rovnic A  x = b s rozšířenou maticí
(A | b)  Km×(n+1) (pokud má řešení), popisuje afinní
podprostor R(A | b)  Kn.
Parametrické a všeobecné rovnice VII
Každá soustava lineárních rovnic A  x = b s rozšířenou maticí
(A | b)  Km×(n+1) (pokud má řešení), popisuje afinní
podprostor R(A | b)  Kn.
Vyřešit soustavu lineárních rovnic A  x = b znamená vlastne
najít nějaké pěkné parametrické rovnice afinního podprostoru
R(A | b).
Parametrické a všeobecné rovnice VIII
Necht' tedy M = p + [] je afinní podprostor v Kn, daný bodom
p  Kn a uspořádanou k-ticí  = (u1, . . . , uk ) vektorů z Kn,
kterou ztotožníme s maticí  = (uij)  Kn×k se sloupci uj.
Parametrické a všeobecné rovnice IX
Parametrické rovnice x = p +   t podprostoru M, kde
x = (x1, . . . , xn)T  Kn je vektor neznámých a
t = (t1, . . . , tk )T  Kk je vektor parametrů, můžeme přepsat do
tvaru
In  x =   t + p,
který lze reprezentovat pomocí blokové matice
(In |  | p).
Parametrické a všeobecné rovnice X
Naše metoda bude založená na eliminaci parametrů t1, . . . , tk
úpravou této matice pomocí ERO.
Parametrické a všeobecné rovnice X
Naše metoda bude založená na eliminaci parametrů t1, . . . , tk
úpravou této matice pomocí ERO.
Matici (In |  | p) budeme upravovat na řádkově ekvivalentní
matici tak, aby prostřední blok vo výsledné matici byl
ve stupňovitém tvaru. Mohou pak nastat dvě možnosti
Parametrické a všeobecné rovnice XI
(1) h() = n, což poznáme podle toho, že všechny řádky
prostředního bloku výsledné matice jsou nenulové.
Parametrické a všeobecné rovnice XI
(1) h() = n, což poznáme podle toho, že všechny řádky
prostředního bloku výsledné matice jsou nenulové.
V tomto případě M = V a všeobecné rovnice tohoto
podprostoru tvoří prázdná soustava (t. j. soustava, která
neobsahuje žádnou rovnici).
Parametrické a všeobecné rovnice XII
(2) h() < n. Pak můžeme prostřední blok výsledné matice
rozdělit do dvou pod sebou umístěných bloků D
0
, kde
horní blok D je stupňovitá matice typu h() × k, která má
všechny řádky nenulové, tedy dolní nulový blok má rozměr
(n - h()) × k.
Parametrické a všeobecné rovnice XIII
Toto rozdělení prostředního bloku indukuje rozdělení celé
výsledné matice do bloků
Parametrické a všeobecné rovnice XIII
Toto rozdělení prostředního bloku indukuje rozdělení celé
výsledné matice do bloků
A D b
A 0 b
.
Parametrické a všeobecné rovnice XIII
Toto rozdělení prostředního bloku indukuje rozdělení celé
výsledné matice do bloků
A D b
A 0 b
.
Potom A  x = b jsou všeobecné rovnice afinního
podprostoru M, t. j. platí M = p + [] = R(A | b).
Parametrické a všeobecné rovnice XIV
Popsaný algoritmus můžeme stručně shrnout do následujícího
schématu
(In |  | p)
ERO
-
A D b
A 0 b
,
Parametrické a všeobecné rovnice XIV
Popsaný algoritmus můžeme stručně shrnout do následujícího
schématu
(In |  | p)
ERO
-
A D b
A 0 b
,
kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky (jejichž
počet je tedy nutně h(D) = h()).
Parametrické a všeobecné rovnice XV
Z k-tice  můžeme vybrat bázi zaměření DirM = []: je
tvořená vektory uj1
, . . . , ujl
, kde 1  j1 < . . . < jl  k jsou indexy
těch sloupců matice D, ve kterých se nacházejí vedoucí prvky
jejich řádků.
Parametrické a všeobecné rovnice XVI
Tvrzení
Necht' B  Kn×m, C  Kn×k a p  Kn.
Parametrické a všeobecné rovnice XVI
Tvrzení
Necht' B  Kn×m, C  Kn×k a p  Kn.
Pokud bloková matice (B | C | p) je řádkově ekvivalentní
s blokovou maticí
A D b
A 0 b
.
Parametrické a všeobecné rovnice XVI
Tvrzení
Necht' B  Kn×m, C  Kn×k a p  Kn.
Pokud bloková matice (B | C | p) je řádkově ekvivalentní
s blokovou maticí
A D b
A 0 b
.
kde D je matice v stupňovitém tvaru s nenulovými řádky, tak
R(A | b) = x  Km
; ( t  Kk
)(B  x = C  t + p) .
Rovnice průniku a spojení afinních podprostorů
Uvažujme tři možnosti zadání původních podprostorů:
(1) Oba podprostory jsou zadané všeobecnými rovnicemi.
(2) Oba podprostory jsou zadané parametricky.
(3) Jeden podprostor je zadaný pomocí všeobecných rovnic a
druhý parametricky.
(1) Necht' afinní podprostory M, N  Kn mají všeobecné
rovnice A  x = b resp. B  x = c, kde A  Km×n, b  Km,
B  Kl×n, c  Kl. Potom všeobecnými rovnicemi průniku M  N
je soustava
A  x = b
B  x = c
s rozšířenou maticí
A b
B c
.
Parametrické vyjádření průniku M  N můžeme získat
vyřešením této soustavy.
Parametrické vyjádření průniku M  N můžeme získat
vyřešením této soustavy.
Parametrické vyjádření podprostoru M N můžeme získat tak,
že nejprve najdeme parametrická vyjádření podprostorů M a N
a použijeme úvahy z předchozí kapitoly. Následně pak můžeme
odvodit všeobecné rovnice podprostoru M N.
Příklad
Afinní podprostory M, N vektorového prostoru Q4
jsou dané
soustavami
x1 + x2 - x3 + x4 = 9
x1 - x2 + x3 - x4 = -3
resp.
x1 + 3x2 + 2x3 - x4 = 0
x1 - 3x2 - 2x3 + x4 = 6
.
Upravme rozšířené matice původních soustav:
1 1 -1 1 9
1 -1 1 -1 -3

1 0 0 0 3
0 1 -1 1 6
,
1 3 2 -1 0
1 -3 -2 1 6

1 0 0 0 3
0 1 2/3 -1/3 -1
.
Z upravených matic okamžitě dostáváme parametrické
vyjádření původních podprostorů (matice v hranatých
závorkách označuje lineární podprostor generovaný jejími
sloupci)
M =




3
6
0
0



 +




0 0
1 -1
1 0
0 1



 , N =




3
-1
0
0



 +




0 0
-2 1
3 0
0 3



 .
Pokud napíšeme obě upravené rozšírené matice všeobecných
rovnic podprostorů M a N do bloků pod sebe, dostaneme
rozšířenou matici všeobecných rovníc podprostoru M  N.
Pokud napíšeme obě upravené rozšírené matice všeobecných
rovnic podprostorů M a N do bloků pod sebe, dostaneme
rozšířenou matici všeobecných rovníc podprostoru M  N.
Její úpravou na redukovaný stupňovitý tvar vyjde




1 0 0 0 3
0 1 0 1/5 9/5
0 0 1 -4/5 -21/5
0 0 0 0 0



 .
Odtud už přímo vyplývá parametrické vyjádření
M  N =




3
9/5
-21/5
0



 +




0
-1
4
5



 .
Odtud už přímo vyplývá parametrické vyjádření
M  N =




3
9/5
-21/5
0



 +




0
-1
4
5



 .
Zjistili jsme, že dvojrozměrné afinní podprostory M, N mají
jednorozměrný průnik, tedy jsou různoběžné. Preto též
dim(M N) = 2 + 2 - 1 = 3.
Dáme-li vedle sebe generátory směrových podprostorů DirM a
DirN, úpravou příslušné matice zjistíme, že první tři jsou
lineárně nezávislé a poslední z nich je lineární kombinací
předcházejících.
Dáme-li vedle sebe generátory směrových podprostorů DirM a
DirN, úpravou příslušné matice zjistíme, že první tři jsou
lineárně nezávislé a poslední z nich je lineární kombinací
předcházejících.
Tedy sloupce matice
 =




0 0 0
1 -1 -2
1 0 3
0 1 0




tvoří bázi zaměření afinního podprostoru M N.
Jeho parametrické vyjádření je
M N = p + [],
kde p = (3, 9/5, -21/5, 0)T .
Jeho parametrické vyjádření je
M N = p + [],
kde p = (3, 9/5, -21/5, 0)T .
Úpravou blokové matice (I4 |  | p) podle našeho algoritmu,
výměnou prvého a posledního řádku dostaneme všeobecné
rovnice podprostoru M N:
x1 = 3 .
(2) Necht' M = p + [], N = q + [] jsou parametrické vyjádření
dvou afinních podprostorů v Kn.
(2) Necht' M = p + [], N = q + [] jsou parametrické vyjádření
dvou afinních podprostorů v Kn.
Potom M N = p + [q - p, , ] a vynecháním vhodných
sloupců z blokové matice (q - p, , ) můžeme dostat bázi
zaměření Dir(M N).
(2) Necht' M = p + [], N = q + [] jsou parametrické vyjádření
dvou afinních podprostorů v Kn.
Potom M N = p + [q - p, , ] a vynecháním vhodných
sloupců z blokové matice (q - p, , ) můžeme dostat bázi
zaměření Dir(M N).
Všeobecné rovnice podprostoru M N dostaneme úpravou
blokové matice (In | q - p, ,  | p), případně matice, v které je
prostřední blok nahrazený bází zaměření Dir(M N) podle
našeho algoritmu.
Všeobecné rovnice průniku M  N, získáme tak, že
parametrické rovnice každého z podprostorů M, N převedeme
na všeobecné rovnice a ty pak spojíme dohromady.
Všeobecné rovnice průniku M  N, získáme tak, že
parametrické rovnice každého z podprostorů M, N převedeme
na všeobecné rovnice a ty pak spojíme dohromady.
Parametrické vyjádření průniku M  N dostaneme vyřešením
jeho všeobecných rovnic.
Jiná cesta k parametrickým rovnicím průniku M  N: lze při ní
jako vedlejší produkt získat báze zaměření DirM, DirN,
Dir(M N), tedy i parametrické rovnice spojení M N.
Jiná cesta k parametrickým rovnicím průniku M  N: lze při ní
jako vedlejší produkt získat báze zaměření DirM, DirN,
Dir(M N), tedy i parametrické rovnice spojení M N.
Metoda: blokovou matici ( |  | q - p) upravujeme pomocí
ERO na stupňovitý tvar
A B c
0 B c
,
kde matice A má všechny řádky nenulové (tedy lineárně
nezávislé a jejich počet je h(A ) = h() = dimM).
Průnik M  N je tvořený všemi x = q +   t  N, které patří
zároveň do M, t. j. existuje vektor parametrů s tak, že
x = p +   s. Hledáme tedy všechny vektory parametrů t, ke
kterým existuje nějaký vektor parametrů s tak, že platí
  s =   t + (q - p).
K danému t existuje takovéto s právě tehdy, když B  t = c.
K danému t existuje takovéto s právě tehdy, když B  t = c.
Vyřešením této soustavy dostaneme parametrické vyjádření
t = r +   z,
které dosadíme do parametrických rovnic podprostoru N.
K danému t existuje takovéto s právě tehdy, když B  t = c.
Vyřešením této soustavy dostaneme parametrické vyjádření
t = r +   z,
které dosadíme do parametrických rovnic podprostoru N.
Dostaneme tak parametrické rovnice
x = q +   (r +   z) = (q +   r) + (  )  z
podprostoru M  N.
Příklad
Necht'
M =




1 1
1 4
1 1
2 5



 , N1 =




0
2
2
3



 +




1 2 3
2 2 8
5 0 9
3 4 11



 ,
N2 =




1
1
2
2



 +




1 2 3
2 2 8
5 0 9
3 4 11




jsou afinní podprostory v R4
.
Zřejmě DirN1 = DirN2; označme tento lineární podprostor D.
Obě úlohy o dvojicích podprostorů M, N1 i M, N2 budeme řešit
současně.
Zřejmě DirN1 = DirN2; označme tento lineární podprostor D.
Obě úlohy o dvojicích podprostorů M, N1 i M, N2 budeme řešit
současně.
Platí




1 1 1 2 3 0 1
1 4 2 2 8 2 1
1 1 5 0 9 2 2
2 5 3 4 11 3 2



 




1 1 1 2 3 0 1
0 3 1 0 5 2 0
0 0 4 -2 6 2 1
0 0 0 0 0 1 0



 .
Pokud si z matice na pravé straně odmyslíme krajní pravý blok,
po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu
4t1 - 2t2 + 6t3 = 0.
Pokud si z matice na pravé straně odmyslíme krajní pravý blok,
po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu
4t1 - 2t2 + 6t3 = 0.
Lineární podprostor DirM  D je tvořený právě všemi lineárními
kombinacemi   t, kde  je matice generátorů D (a jeho báze)
a t vyhovuje uvedené homogenní rovnici.
Pokud si z matice na pravé straně odmyslíme krajní pravý blok,
po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu
4t1 - 2t2 + 6t3 = 0.
Lineární podprostor DirM  D je tvořený právě všemi lineárními
kombinacemi   t, kde  je matice generátorů D (a jeho báze)
a t vyhovuje uvedené homogenní rovnici.
Tedy dim(DirM  D) = dimDirM = 2. Proto DirM  D a platí
M N1 a M N2.
Soustava
4t1 - 2t2 + 6t3 = 2
0 = 1,
které musí vyhovovat vektor parametrů t = (t1, t2, t3)T , aby jím
určený bod z N1 patřil i do M, nemá řešení.
Soustava
4t1 - 2t2 + 6t3 = 2
0 = 1,
které musí vyhovovat vektor parametrů t = (t1, t2, t3)T , aby jím
určený bod z N1 patřil i do M, nemá řešení.
Proto M  N1 =  a M, N1 jsou pravé rovnobežky.
Naopak, analogická soustava pro dvojici M, N2 vede
na jedinou, očividně řešitelnou rovnici
4t1 - 2t2 + 6t3 = 1.
Naopak, analogická soustava pro dvojici M, N2 vede
na jedinou, očividně řešitelnou rovnici
4t1 - 2t2 + 6t3 = 1.
Tedy M  N2.
(3) Necht' afinní podprostor M  Kn je daný všeobecnými
rovnicemi A  x = b a afinní podprostor N = q + []  Kn je
daný parametricky.
(3) Necht' afinní podprostor M  Kn je daný všeobecnými
rovnicemi A  x = b a afinní podprostor N = q + []  Kn je
daný parametricky.
Pokud hledáme všeobecné rovnice průniku M  N, stačí najít
všeobecné rovnice podprostoru N a přidat je k soustavě
A  x = b.
(3) Necht' afinní podprostor M  Kn je daný všeobecnými
rovnicemi A  x = b a afinní podprostor N = q + []  Kn je
daný parametricky.
Pokud hledáme všeobecné rovnice průniku M  N, stačí najít
všeobecné rovnice podprostoru N a přidat je k soustavě
A  x = b.
Jejich vyřešením potom můžeme obdržet i parametrické
vyjádření M  N.
Pokud hledáme popis spojení M N, nejvýhodnější je vyřešit
všeobecné rovnice podprostoru M a z parametrických vyjádření
obou podprostorů M, N sestavit parametrické vyjádření M N.
Pokud hledáme popis spojení M N, nejvýhodnější je vyřešit
všeobecné rovnice podprostoru M a z parametrických vyjádření
obou podprostorů M, N sestavit parametrické vyjádření M N.
Eliminací parametrů dostaneme všeobecné rovnice
podpriestoru M N.
Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádření průniku M  N
spočívá v dosazení parametrického vyjádření podprostoru N do
všeobecných rovnic podprostoru M.
Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádření průniku M  N
spočívá v dosazení parametrického vyjádření podprostoru N do
všeobecných rovnic podprostoru M.
Tím dostaneme soustavu
A  (q +   t) = b,
Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádření průniku M  N
spočívá v dosazení parametrického vyjádření podprostoru N do
všeobecných rovnic podprostoru M.
Tím dostaneme soustavu
A  (q +   t) = b,
nebo po úpravě s ní ekvivalentní soustavu
(A  )  t = b - A  q,
které musí vyhovovat vektor parametrů t, aby jím určený bod
x = q +   t  N patřil i do podprostoru M, tedy do průniku
M  N.
Uvedenou soustavu vyřešíme úpravou její rozšířené matice
(A   | b - A  q).
Uvedenou soustavu vyřešíme úpravou její rozšířené matice
(A   | b - A  q).
Podobně jako v případě (2) řešení dostaneme v parametrickém
tvaru
t = r +   z
a dosadíme ho do parametrických rovnic podprostoru N.
Uvedenou soustavu vyřešíme úpravou její rozšířené matice
(A   | b - A  q).
Podobně jako v případě (2) řešení dostaneme v parametrickém
tvaru
t = r +   z
a dosadíme ho do parametrických rovnic podprostoru N.
Tak získáme parametrické rovnice
x = q +   (r +   z) = (q +   r) + (  )  z
podprostoru M  N.
Příklad
Afinní podprostor M  R4
má všeobecné rovnice
x1 - x2 + x3 - x4 = 1
x1 + x2 - x3 + x4 = 3.
Příklad
Afinní podprostor M  R4
má všeobecné rovnice
x1 - x2 + x3 - x4 = 1
x1 + x2 - x3 + x4 = 3.
Afinní podprostor N  R4
je určený jako afinní obal
N = (p, q, r, s) bodů p = (3, 0, 1, 1)T , q = (4, -1, 2, 2)T ,
r = (4, 1, 2, 0)T a s = (7, 3, 4, 5)T .
Příklad
Afinní podprostor M  R4
má všeobecné rovnice
x1 - x2 + x3 - x4 = 1
x1 + x2 - x3 + x4 = 3.
Afinní podprostor N  R4
je určený jako afinní obal
N = (p, q, r, s) bodů p = (3, 0, 1, 1)T , q = (4, -1, 2, 2)T ,
r = (4, 1, 2, 0)T a s = (7, 3, 4, 5)T .
Jeho parametrické vyjádření potom je
N = p + [q - p, r - p, s - p]
=




3
0
1
1



 +




1 1 4
-1 1 3
1 1 3
1 -1 4



 .
Protože
1 -1 1 -1
1 1 -1 1





1 1 4
-1 1 3
1 1 3
1 -1 4



 =
2 2 3
0 0 8
,
1
3
-
1 -1 1 -1
1 1 -1 1





3
0
1
1



 =
-2
0
,
Protože
1 -1 1 -1
1 1 -1 1





1 1 4
-1 1 3
1 1 3
1 -1 4



 =
2 2 3
0 0 8
,
1
3
-
1 -1 1 -1
1 1 -1 1





3
0
1
1



 =
-2
0
,
bod tvaru p + t1(q - p) + t2(r - p) + t3(s - p)  N patří do
průniku M  N právě tehdy, když příslušný vektor parametrů
t = (t1, t2, t3)T vyhovuje soustavě s rozšířenou maticí
2 2 3 -2
0 0 8 0

1 1 0 -1
0 0 1 0
.
Podprostor řešení této soustavy má parametrické vyjádření


-1
0
0

 +


-1
1
0

 .
Podprostor řešení této soustavy má parametrické vyjádření


-1
0
0

 +


-1
1
0

 .
Dosazením do parametrického vyjádření N dostaneme
M  N =




3
0
1
1



 +




1 1 4
-1 1 3
1 1 3
1 -1 4



 


-1
0
0

 +
+








1 1 4
-1 1 3
1 1 3
1 -1 4



 


-1
1
0






Tedy
M  N =




2
1
0
2



 +




0
2
0
-2




Tedy
M  N =




2
1
0
2



 +




0
2
0
-2




a dim(M  N) = 1.
Hodnost matice soustavy podprostoru M je 2, proto
dimM = 4 - 2 = 2, a dimN = 3.
Tedy
M  N =




2
1
0
2



 +




0
2
0
-2




a dim(M  N) = 1.
Hodnost matice soustavy podprostoru M je 2, proto
dimM = 4 - 2 = 2, a dimN = 3.
Z tohoto důvodu M  N je vlastní podprostor jak v M tak v N, tj.
M, N jsou různoběžné.