BÁZE A DIMENZE
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
20. října 2006
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového
prostoru.
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového
prostoru.
To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice.
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového
prostoru.
To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice.
Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a
odvodíme si některé jeho základní vlastnosti.
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového
prostoru.
To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice.
Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a
odvodíme si některé jeho základní vlastnosti.
V následující kapitole si potom mimo jiné dokážeme, že
dimenze je základní strukturní invariant tzv. konečně
rozměrných vektorových prostorů.
Obsah přednášky
Báze a dimenze
Steinitzova věta a konečně rozměrné prostory
Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru
Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru
Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru
Souřadnice vektoru vzhledem na danou bázi
Souřadnice vektoru vzhledem na danou bázi
Dimenze součtu a součinu vektorových prostorů
Dimenze součtu a součinu vektorových prostorů
Steinitzova věta I
Věta (Steinitzova věta)
Nechť u1, . . . , un, v1, . . . , vm  V . Jsou-li vektory u1, . . . , un
lineárně nezávislé a všechny patří do lineárního obalu [v1, . . . , vm],
pak n  m.
Steinitzova věta II
Tvrzení
Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky
ekvivalentní:
Steinitzova věta II
Tvrzení
Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky
ekvivalentní:
(i) existuje konečná množina X  V tak, že [X] = V ;
Steinitzova věta II
Tvrzení
Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky
ekvivalentní:
(i) existuje konečná množina X  V tak, že [X] = V ;
(ii) každá lineárně nezávislá množina Y  V je konečná.
Steinitzova věta III
Říkáme, že vektorový prostor V je konečně rozměrný (konečně
dimenzionální), pokud splňuje některou (tedy nutně obě)
z ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě dokázaného tvrzení.
Steinitzova věta III
Říkáme, že vektorový prostor V je konečně rozměrný (konečně
dimenzionální), pokud splňuje některou (tedy nutně obě)
z ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě dokázaného tvrzení.
V opačném případě říkáme, že V je nekonečně rozměrný
(nekonečně dimenzionální) vektorový prostor.
Báze a dimenze I
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor.
Báze a dimenze I
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor.
Bází prostoru V nazýváme každou lineárně nezávislou uspořádanou
n-tici (u1, . . . , un) vektorů z V , která generuje celý prostor V .
Báze a dimenze I
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor.
Bází prostoru V nazýváme každou lineárně nezávislou uspořádanou
n-tici (u1, . . . , un) vektorů z V , která generuje celý prostor V .
Říkáme pak, že vektory u1, . . . , un tvoří bázi prostoru V .
Báze a dimenze II
Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4.
Tvrzení
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
Báze a dimenze II
Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4.
Tvrzení
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou k-tici (u1, . . . , uk)
vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze
(u1, . . . , uk, . . . , un) prostoru V ;
Báze a dimenze II
Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4.
Tvrzení
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou k-tici (u1, . . . , uk)
vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze
(u1, . . . , uk, . . . , un) prostoru V ;
(b) z libovolné generující uspořádané m-tice (v1, . . . , vm) vektorů
z V můžeme vybrat nějakou bázi (vi1 , . . . , vin ) prostoru V .
Báze a dimenze III
Věta
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
Báze a dimenze III
Věta
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) V má alespoň jednu bázi;
Báze a dimenze III
Věta
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) V má alespoň jednu bázi;
(b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků.
Báze a dimenze III
Věta
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) V má alespoň jednu bázi;
(b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků.
Právě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi
nebo též rozměr konečně rozměrného vektorového prostoru V jako
počet prvků jeho libovolné báze.
Báze a dimenze III
Věta
Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom
(a) V má alespoň jednu bázi;
(b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků.
Právě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi
nebo též rozměr konečně rozměrného vektorového prostoru V jako
počet prvků jeho libovolné báze.
Dimenzi vektorového prostoru V značíme dimV .
Báze a dimenze IV
Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor.
Báze a dimenze IV
Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor.
Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = .
Báze a dimenze IV
Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor.
Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = .
V případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu číselného tělesa K,
budeme používat podrobnější označení dimK V .
Báze a dimenze IV
Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor.
Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = .
V případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu číselného tělesa K,
budeme používat podrobnější označení dimK V .
Tedy V je konečně rozměrný právě tehdy, když dimV < .
Báze a dimenze V
Tvrzení
Nechť dimV = n, v1, . . . , vm  V . Potom libovolné dvě
z následujících podmínek implikují třetí:
Báze a dimenze V
Tvrzení
Nechť dimV = n, v1, . . . , vm  V . Potom libovolné dvě
z následujících podmínek implikují třetí:
(i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé;
Báze a dimenze V
Tvrzení
Nechť dimV = n, v1, . . . , vm  V . Potom libovolné dvě
z následujících podmínek implikují třetí:
(i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé;
(ii) [v1, . . . , vm] = V ;
Báze a dimenze V
Tvrzení
Nechť dimV = n, v1, . . . , vm  V . Potom libovolné dvě
z následujících podmínek implikují třetí:
(i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé;
(ii) [v1, . . . , vm] = V ;
(iii) m = n.
Báze a dimenze V
Tvrzení
Nechť dimV = n, v1, . . . , vm  V . Potom libovolné dvě
z následujících podmínek implikují třetí:
(i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé;
(ii) [v1, . . . , vm] = V ;
(iii) m = n.
To kromě jiného znamená, že na ověření, zda n vektorů v1, . . . , vn
tvoří bázi n-rozměrného vektorového prostoru V , stačí ověrit jen
jednu (a to libovolnou) z podmínek (i), (ii).
Souřadnice vektoru I
Následující věta je speciálním případem věty z předchozí kapitoly o
lineární nezávislosti.
Souřadnice vektoru I
Následující věta je speciálním případem věty z předchozí kapitoly o
lineární nezávislosti.
Věta
Vektory u1, . . . , un tvoří bázi vektorového prostoru V právě tehdy,
když každý vektor x  V můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru
lineární kombinace x = c1u1 + . . . + cnun.
Souřadnice vektoru II
Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je
ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V .
Souřadnice vektoru II
Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je
ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V .
Jednoznačnost tohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární
nezávislostí vektorů u1, . . . , un.
Souřadnice vektoru II
Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je
ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V .
Jednoznačnost tohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární
nezávislostí vektorů u1, . . . , un.
Tedy  = (u1, . . . , un) je bází V tehdy a jen tehdy, když pro každé
x  V existuje právě jedno c = (c1, . . . , cn)T  Kn tak, že
x = c1u1 + . . . + cnun =   c.
Souřadnice vektoru III
Uvědomme si, že
Souřadnice vektoru III
Uvědomme si, že
x =   c
Souřadnice vektoru III
Uvědomme si, že
x =   c = (u1, . . . , un) 



c1
...
cn


 .
Souřadnice vektoru IV
Tento jednoznačně určený sloupcový vektor c  Kn budeme
nazývat souřadnice vektoru x vzhledem na bázi 
Souřadnice vektoru IV
Tento jednoznačně určený sloupcový vektor c  Kn budeme
nazývat souřadnice vektoru x vzhledem na bázi  a označovat
c = (x).
Tedy každá báze  v n-rozměrném vektorovém prostoru V definuje
souřadnicové zobrazení x  (x) z V do sloupcového
vektorového prostoru Kn.
Souřadnice vektoru V
Tvrzení
Nechť  = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového
prostoru V .
Souřadnice vektoru V
Tvrzení
Nechť  = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového
prostoru V .
Potom příslušné souřadnicové zobrazení (-) : V  Kn je
bijektivní a zachovává lineární kombinace,
Souřadnice vektoru V
Tvrzení
Nechť  = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového
prostoru V .
Potom příslušné souřadnicové zobrazení (-) : V  Kn je
bijektivní a zachovává lineární kombinace,
t. j. pro libovolná a, b  K, x, y  V platí
(ax + by) = a(x) + b(y).
Souřadnice vektoru V
Tvrzení
Nechť  = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového
prostoru V .
Potom příslušné souřadnicové zobrazení (-) : V  Kn je
bijektivní a zachovává lineární kombinace,
t. j. pro libovolná a, b  K, x, y  V platí
(ax + by) = a(x) + b(y).
K němu inverzní zobrazení (-)-1
 : Kn  V je dané předpisem
c    c.
Souřadnice vektoru VI
Zejména tedy pro libovolné x  V , c  Kn platí
x =   (x), (  c) = c.
Souřadnice vektoru VI
Zejména tedy pro libovolné x  V , c  Kn platí
x =   (x), (  c) = c.
První rovnost ukazuje, jak je možno vektor x zrekonstruovat z dané
báze  a jeho souřadnic (x) v této bázi;
Souřadnice vektoru VI
Zejména tedy pro libovolné x  V , c  Kn platí
x =   (x), (  c) = c.
První rovnost ukazuje, jak je možno vektor x zrekonstruovat z dané
báze  a jeho souřadnic (x) v této bázi;
druhá, že souřadnice lineární kombinace n
i=1 ci ui =   c v bázi
 = (u1, . . . , un) tvoří právě vektor (c1, . . . , cn)T .
Souřadnice vektoru VII
Takto zavedené souřadnice můžeme nazvat sloupcovými
souřadnicemi vzhledem k dané bázi.
Souřadnice vektoru VII
Takto zavedené souřadnice můžeme nazvat sloupcovými
souřadnicemi vzhledem k dané bázi.
Podobným způsobem můžeme zavést i řádkové souřadnice a
dokázat pro ně analogická tvrzení jako pro sloupcové.
Souřadnice vektoru VIII
Příklad
Označme e
(n)
i = si (In)  Kn sloupcový vektor skládající ze samých
nul, mimo i-té složky, která je 1.
Souřadnice vektoru VIII
Příklad
Označme e
(n)
i = si (In)  Kn sloupcový vektor skládající ze samých
nul, mimo i-té složky, která je 1.
Potom (n) = e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n je báze sloupcového vektorového
prostoru Kn.
Souřadnice vektoru VIII
Příklad
Označme e
(n)
i = si (In)  Kn sloupcový vektor skládající ze samých
nul, mimo i-té složky, která je 1.
Potom (n) = e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n je báze sloupcového vektorového
prostoru Kn.
Nazýváme ji kanonickou bází tohoto prostoru. Můžeme ji
ztotožnit s jednotkovou maticí In.
Souřadnice vektoru IX
Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi
označovat stručně  = (e1, . . . , en).
Souřadnice vektoru IX
Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi
označovat stručně  = (e1, . . . , en).
Pro libovolný vektor x = (x1, . . . , xn)T  Kn platí
x = x1e1 + . . . + xnen,
proto (x) = x,
Souřadnice vektoru IX
Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi
označovat stručně  = (e1, . . . , en).
Pro libovolný vektor x = (x1, . . . , xn)T  Kn platí
x = x1e1 + . . . + xnen,
proto (x) = x,
t. j. každý vektor x  Kn splýva se svými vlastními souřadnicemi
v kanonické bázi.
Souřadnice vektoru X
Kanonická báze řádkového vektorového prostoru Kn je tvořená
řádky jednotkové matice In a značíme ji stejně jako v předcházejícím
případě (n) = e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n
T
nebo stručně  = (e1, . . . , en)T ,
s tím rozdílem, že (n) =  je sloupec vektorů a každé ei je řádek
skládající se ze samých nul, mimo i-té pozice, na které je 1.
Souřadnice vektoru X
Kanonická báze řádkového vektorového prostoru Kn je tvořená
řádky jednotkové matice In a značíme ji stejně jako v předcházejícím
případě (n) = e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n
T
nebo stručně  = (e1, . . . , en)T ,
s tím rozdílem, že (n) =  je sloupec vektorů a každé ei je řádek
skládající se ze samých nul, mimo i-té pozice, na které je 1.
Věta
Pro libovolné n  N platí dim Kn = n.
Souřadnice vektoru XI
Příklad
Sloupce matice 



1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0




tvoří bázi  sloupcového vektorového prostoru K4.
Souřadnice vektoru XII
Souřadnice vektoru x = (x1, x2, x3, x4)T  Kn v bázi  jsou dané
vztahem
(x) = (x4, x3 - x4, x2 - x3, x1 - x2)T
.
Souřadnice vektoru XII
Souřadnice vektoru x = (x1, x2, x3, x4)T  Kn v bázi  jsou dané
vztahem
(x) = (x4, x3 - x4, x2 - x3, x1 - x2)T
.
Platí totiž




x1
x2
x3
x4



 = x4




1
1
1
1



 + (x3 - x4)




1
1
1
0



 +
(x2 - x3)




1
1
0
0



 + (x1 - x2)




1
0
0
0



 .
Souřadnice vektoru XIII
Příklad
Nechť m, n  N. Pro libovolné 1  k  m, 1  l  n označme
E
(m,n)
kl = Ekl = (ikjl )m×n matici typu m × n nad tělesem K, která
sestává ze samých nul, kromě pozice (k, l), na které je 1.
Souřadnice vektoru XIII
Příklad
Nechť m, n  N. Pro libovolné 1  k  m, 1  l  n označme
E
(m,n)
kl = Ekl = (ikjl )m×n matici typu m × n nad tělesem K, která
sestává ze samých nul, kromě pozice (k, l), na které je 1.
Zřejmě každou matici A = (akl )  Km×n lze jednoznačně vyjádřit
ve tvaru
A =
m
k=1
n
l=1
akl Ekl .
Souřadnice vektoru XIV
Z toho vyplývá, že matice E
(m,n)
kl , 1  k  m, 1  l  n, tvoří bázi
vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K.
Souřadnice vektoru XIV
Z toho vyplývá, že matice E
(m,n)
kl , 1  k  m, 1  l  n, tvoří bázi
vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K.
Speciálním případem je kanonická báze (n) v prostoru Kn.
Souřadnice vektoru XIV
Z toho vyplývá, že matice E
(m,n)
kl , 1  k  m, 1  l  n, tvoří bázi
vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K.
Speciálním případem je kanonická báze (n) v prostoru Kn.
Dostávame tak vztah:
dim Km×n
= mn.
Dimenze součtu a součinu I
Věta
Nechť S, T  V jsou konečně rozměrné lineární podprostory
vektorového prostoru V .
Dimenze součtu a součinu I
Věta
Nechť S, T  V jsou konečně rozměrné lineární podprostory
vektorového prostoru V .
Potom
dim(S + T) = dimS + dimT - dim(S  T).
Dimenze součtu a součinu II
Důsledek
Nechť S, T jsou konečně rozměrné lineární podprostory
vektorového prostoru V .
Dimenze součtu a součinu II
Důsledek
Nechť S, T jsou konečně rozměrné lineární podprostory
vektorového prostoru V .
Potom S  T = {0}, t. j. součet S + T je direktní právě tehdy, když
dim(S + T) = dimS + dimT.
Dimenze součtu a součinu III
Tvrzení
Nech`t V , W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad K.
Dimenze součtu a součinu III
Tvrzení
Nech`t V , W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad K.
Potom pro dimenzi jejich přímého součinu platí
dim(V × W ) = dimV + dimW .