10. DETERMINANTY Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 8. prosince 2006 Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru n × n nad pevným tělesem K, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich aplikace. Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru n × n nad pevným tělesem K, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich aplikace. V celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n jsou přirozená čísla. Obsah přednášky Determinanty Permutace Orientovaný objem a multilineární alternující funkce Definice a základní vlastnosti determinantu Charakterizace determinantu a regulárních matic Laplaceův rozvoj determinantu Výpočet determinantu Inverzní matice a Cramerovo pravidlo Permutace I Necht' X je libovolná množina. Permutací množiny X rozumíme libovolné bijektivní zobrazení : X X. Množinu všech permutací množiny X značíme S(X). Permutace II Je-li X konečná množina, tak počet prvků množiny S(X) je daný známým vztahem # S(X) = (# X)! , kde n! = 1 2 . . . n je faktoriál přirozeného čísla n (přitom 0! = 1! = 1). Permutace III Transformace f : X X konečné množiny X je injektivní právě tehdy, když je surjektivní. Permutace III Transformace f : X X konečné množiny X je injektivní právě tehdy, když je surjektivní. Protože složení dvou permutací , S(X) dává opět permutaci množiny X, kompozice je asociativní binární operace na množině S(X) a idX je její neutrální prvek. Permutace III Transformace f : X X konečné množiny X je injektivní právě tehdy, když je surjektivní. Protože složení dvou permutací , S(X) dává opět permutaci množiny X, kompozice je asociativní binární operace na množině S(X) a idX je její neutrální prvek. Snadno se můžeme přesvědčit, že ­ mimo případ, když # X 2, ­ tato operace není komutativní. Permutace IV Pro X = {1, 2, . . . , n} místo S(X) píšeme Sn. Permutace IV Pro X = {1, 2, . . . , n} místo S(X) píšeme Sn. Permutaci Sn obvykle zapisujeme ve tvaru = 1 2 . . . n (1) (2) . . . (n) . Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si můžeme představit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy označenými čísly 1, 2, 3. Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si můžeme představit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy označenými čísly 1, 2, 3. Označme si identickou permutaci této množiny jako , Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si můžeme představit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy označenými čísly 1, 2, 3. Označme si identickou permutaci této množiny jako , otočení kolem těžiště trojúhelníka proti směru resp. ve směru hodinových ručiček o uhel /3 jako resp. -1, Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si můžeme představit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy označenými čísly 1, 2, 3. Označme si identickou permutaci této množiny jako , otočení kolem těžiště trojúhelníka proti směru resp. ve směru hodinových ručiček o uhel /3 jako resp. -1, a osovou souměrnost podle osy procházející i-tým vrcholem a středem protilehlé strany jako i, pro i = 1, 2, 3. Permutace VI Množina permutací S3 se bude skládat z permutací = 1 2 3 1 2 3 , = 1 2 3 2 3 1 , -1 = 1 2 3 3 1 2 , 1 = 1 2 3 1 3 2 , 2 = 1 2 3 3 2 1 , 3 = 1 2 3 2 1 3 . Permutace VII Permutace VIII Multiplikativní tabulka binární operace na množině S3 má následující tvar: -1 1 2 3 -1 1 2 3 -1 3 1 2 -1 -1 2 3 1 1 1 2 3 -1 2 2 3 1 -1 3 3 1 2 -1 Permutace IX Permutaci S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y X tak, že x = y, (x) = y, (y) = x a (z) = z pro každé z X {x, y}. Permutace IX Permutaci S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y X tak, že x = y, (x) = y, (y) = x a (z) = z pro každé z X {x, y}. Jinak řečeno, transpozice je výměna dvou prvků množiny X. Permutace IX Permutaci S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y X tak, že x = y, (x) = y, (y) = x a (z) = z pro každé z X {x, y}. Jinak řečeno, transpozice je výměna dvou prvků množiny X. Zřejmě 1, 2, 3 S3 jsou transpozice. Permutace IX Permutaci S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y X tak, že x = y, (x) = y, (y) = x a (z) = z pro každé z X {x, y}. Jinak řečeno, transpozice je výměna dvou prvků množiny X. Zřejmě 1, 2, 3 S3 jsou transpozice. Z názoru je zřejmé, že každou permutaci konečné množiny X můžeme obdržet postupnými výměnami dvojic prvků, je tedy každá takováto permutace je kompozicí transpozic. Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznačný: Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznačný: např. S3 můžeme vyjádřit jako , t. j. kompozici 0 transpozic, a rovněž jakožto Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznačný: např. S3 můžeme vyjádřit jako , t. j. kompozici 0 transpozic, a rovněž jakožto = 1 1 = 2 2 = 3 3, t. j. alespoň třemi dalšími možnostmi jakožto kompozici dvou transpozic. Permutace XI Délkou permutace konečné množiny X nazveme nejmenší počet transpozic, na jejichž kompozici můžeme rozložit, a označíme ji ||. Permutace XI Délkou permutace konečné množiny X nazveme nejmenší počet transpozic, na jejichž kompozici můžeme rozložit, a označíme ji ||. Samotná délka || není ve skutečnosti důležitá, význam má pouze parita tohoto čísla, t. j. vlastně výraz sgn = (-1)||, který nazýváme znaménkem permutace . Permutace XII Permutace konečné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li číslo || sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. -1. Permutace XII Permutace konečné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li číslo || sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. -1. Z následující věty vyplývá, že při určování znaménka permutace můžeme použít její libovolný rozklad na transpozice = 1 . . . k a nemusíme sa starat o to, zda tento rozklad je skutečně nejkratší Permutace XII Permutace konečné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li číslo || sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. -1. Z následující věty vyplývá, že při určování znaménka permutace můžeme použít její libovolný rozklad na transpozice = 1 . . . k a nemusíme sa starat o to, zda tento rozklad je skutečně nejkratší ­ pro libovolný takovýto rozklad totiž platí (-1)|| = (-1)k . Permutace XIII Věta Necht' X je konečná množina. Potom pro libovolné , S(X) platí (-1)|| = (-1)|| (-1)|| . Permutace XIII Věta Necht' X je konečná množina. Potom pro libovolné , S(X) platí (-1)|| = (-1)|| (-1)|| . Člen (j) - (i) je záporný právě tehdy, když i < j a (i) > (j), ­ každou takovouto dvojici (i, j) nazýváme inverzí permutace . Orientovaný objem a MAF I Orientovaný objem a multilineární alternující funkce Otázka: Jak vypadají vzorce pro plošný obsah rovnoběžníku v rovině v R2, jehož dvě sousední strany tvoří vektory u = (u1, u2)T , v = (v1, v2)T ? Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnoběžnostěnu v prostoru R3, jehož tři sousední hrany tvoří vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnoběžnostěnu v prostoru R3, jehož tři sousední hrany tvoří vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Ujasníme si vlastností takovýchto vzorců. Uvidíme, že tyto vlastnosti už jednoznačně (až na volbu jednotkového obsahu či objemu) určují hledané vzorce nejen v rovině či v třírozměrném prostoru. Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnoběžnostěnu v prostoru R3, jehož tři sousední hrany tvoří vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Ujasníme si vlastností takovýchto vzorců. Uvidíme, že tyto vlastnosti už jednoznačně (až na volbu jednotkového obsahu či objemu) určují hledané vzorce nejen v rovině či v třírozměrném prostoru. Zobecníme je na n-rozměrné vektorové prostory Kn nad libovolným tělesem K. Orientovaný objem a MAF III Označme P(X) obsah rovinného útvaru X. Orientovaný objem a MAF III Označme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zřejmě P(X) je vždy nezáporné reálné číslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Orientovaný objem a MAF III Označme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zřejmě P(X) je vždy nezáporné reálné číslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Obsah je navíc aditivní funkce, t. j. pro útvary X, Y takové, že P(X Y) = 0, platí P(X Y) = P(X) + P(Y). Orientovaný objem a MAF III Označme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zřejmě P(X) je vždy nezáporné reálné číslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Obsah je navíc aditivní funkce, t. j. pro útvary X, Y takové, že P(X Y) = 0, platí P(X Y) = P(X) + P(Y). Konečně, P(X) = 0 pro libovolnou úsečku X. Orientovaný objem a MAF IV Obsah rovnoběžníka {au + bv; a, b 0, 1 } určeného vektory u, v R2 budeme značit P(u, v). Orientovaný objem a MAF IV Obsah rovnoběžníka {au + bv; a, b 0, 1 } určeného vektory u, v R2 budeme značit P(u, v). Platí pak rovnosti P(u, v) = P(v, u), P(cu, v) = |c|P(u, v) pro libovolné u, v R2, c Z. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázorněná na následujícím obrázku. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázorněná na následujícím obrázku. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázorněná na následujícím obrázku. Platnost druhé rovnosti pro všechna c Q plyne z platnosti pro všechna n N a m Z. Platnost pre všechna c R plyne ze spojitosti obsahu. Orientovaný objem a MAF VI Uvažme následující dva obrázky. Orientovaný objem a MAF VI Uvažme následující dva obrázky. Orientovaný objem a MAF VII V prvním případě určují vektory x + y, v rov- noběžník OABC, vektory y, v rovnoběžník ODEC a rovnoběžník vektorů x, v je shodný s rovnoběžníkem DABE. Orientovaný objem a MAF VII V prvním případě určují vektory x + y, v rov- noběžník OABC, vektory y, v rovnoběžník ODEC a rovnoběžník vektorů x, v je shodný s rovnoběžníkem DABE. Ze shodnosti trojúhelníků OAD, CBE potom na základě uvedených vlastností obsahu vyplývá rovnost P(x + y, v) = P(x, v) + P(y, v) Orientovaný objem a MAF VIII V druhém případě určují vektory x, v rovno- běžník OABC, vektory x + y, v rovnoběžník ODEC a rovnoběžník vektorů y, v je shodný s rovnoběžníkem DABE. Orientovaný objem a MAF VIII V druhém případě určují vektory x, v rovno- běžník OABC, vektory x + y, v rovnoběžník ODEC a rovnoběžník vektorů y, v je shodný s rovnoběžníkem DABE. Ze shodnosti trojúhelníků ODA, CEB vyplývá P(x, v) = P(x + y, v) + P(y, v), tedy P(x + y, v) = P(x, v) - P(y, v), což je nepříjemné překvapení, určitě bychome dali přednost stejnému vzorci. Orientovaný objem a MAF IX Všimněme si však, že kratší otočení vektoru y do vektoru v je orientované proti kratším otočením vektorů x i x + y do vektoru v. Orientovaný objem a MAF IX Všimněme si však, že kratší otočení vektoru y do vektoru v je orientované proti kratším otočením vektorů x i x + y do vektoru v. V druhém případě by sa nám proto hodilo, aby obsah rovnoběžníka určeného vektory y, v měl z tohoto důvodu opačné znaménko než obsahy rovnoběžníků příslušejících vektorům x, v resp. x + y, v. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl můžeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnoběžníků budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mění znaménko záměnou pořadí dvou vektorů, tedy může nabývat i záporné hodnoty. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl můžeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnoběžníků budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mění znaménko záměnou pořadí dvou vektorů, tedy může nabývat i záporné hodnoty. Původní nezáporný plošný obsah potom dostaneme jako absolutní hodnotu orientovaného obsahu. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl můžeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnoběžníků budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mění znaménko záměnou pořadí dvou vektorů, tedy může nabývat i záporné hodnoty. Původní nezáporný plošný obsah potom dostaneme jako absolutní hodnotu orientovaného obsahu. Tento přístup nám navíc umožní zbavit se absolutní hodnoty v rovnosti P(cu, v) = |c|P(u, v). Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná čísla libovolným tělesem K, provedené úvahy nás přivádí k následujícím definicím. Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná čísla libovolným tělesem K, provedené úvahy nás přivádí k následujícím definicím. Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K a 1 n N. Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná čísla libovolným tělesem K, provedené úvahy nás přivádí k následujícím definicím. Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K a 1 n N. Říkáme, že zobrazení F : Vn K je (a) n-lineární nebo též multilineární, Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná čísla libovolným tělesem K, provedené úvahy nás přivádí k následujícím definicím. Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K a 1 n N. Říkáme, že zobrazení F : Vn K je (a) n-lineární nebo též multilineární, pokud pro každé 1 j n a libovolné vektory u1, . . . , uj-1, uj+1, . . . , un V přiřazení x F(u1, . . . , uj-1, x, uj+1, . . . , un) Orientovaný objem a MAF XII definuje lineární zobrazení V K, t. j. pro všechna x, y V, a, b K platí F(u1, . . . , uj-1, ax + by, uj+1, . . . , un) = aF(u1, . . . , uj-1, x, uj+1, . . . , un) + bF(u1, . . . , uj-1, y, uj+1, . . . , un); Orientovaný objem a MAF XIII (b) antisymetrické, pokud pro všechna 1 i < j n a všechny vektory u1, . . . , un V platí F(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un) = -F(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , un). Orientovaný objem a MAF XIV (c) alternující, pokud pro všechna 1 i < j n a všechny vektory u1, . . . , un V z podmínky ui = uj vyplývá F(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un) = 0. Orientovaný objem a MAF XV Lemma Necht' F : Vn K je libovolné zobrazení, K těleso, V vektorový prostor nad K. (a) Je-li charK = 2 a F je antisymetrické, tak F je alternující. (b) Je-li F je multilineární a alternující, je F je antisymetrické. Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht' F : Vn K je funkce, K těleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un V a je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht' F : Vn K je funkce, K těleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un V a je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. (a) Je-li permutace a F je antisymetrické, tak F(u(1), . . . , u(n)) = (-1)||F(u1, . . . , un); Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht' F : Vn K je funkce, K těleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un V a je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. (a) Je-li permutace a F je antisymetrické, tak F(u(1), . . . , u(n)) = (-1)||F(u1, . . . , un); (b) Pokud není permutace a F je alternující, tak F(u(1), . . . , u(n)) = 0. Orientovaný objem a MAF XVII Lemma Necht' F : Vn K je multilineární alternující funkce. Potom pro libovolné v1, . . . , vn V platí: Orientovaný objem a MAF XVII Lemma Necht' F : Vn K je multilineární alternující funkce. Potom pro libovolné v1, . . . , vn V platí: (a) Připočtením skalárního násobku nějakého z vektorů k jinému vektoru se hodnota F(v1, . . . , vn) nezmění, t. j. pro libovolné c K a i, j n platí F(v1, . . . , vi,. . . , vj + cvi, . . . , vn) = F(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn). Orientovaný objem a MAF XVII (b) Pokud jsou vektory v1, . . . , vn lineárně závislé, tak F(v1, . . . , vn) = 0. Orientovaný objem a MAF XVII (b) Pokud jsou vektory v1, . . . , vn lineárně závislé, tak F(v1, . . . , vn) = 0. Jak vypadají všechny bilineární (t. j. 2-lineární) alternující funkce F : K2 × K2 K2 nad tělesem K? Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Pokud dvakrát po sobě využijeme bilinearitu a na závěr alternaci a antisymetrii F, postupně dostaneme Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Pokud dvakrát po sobě využijeme bilinearitu a na závěr alternaci a antisymetrii F, postupně dostaneme F(u, v)=F(u1e1 + u2e2, v) = u1F(e1, v) + u2F(e2, v) =u1F(e1, v1e1 + v2e2) + u2F(e2, v1e1 + v2e2) =u1v1F(e1, e1) + u1v2F(e1, e2) +u2v1F(e2, e1) + u2v2F(e2, e2) =F(e1, e2) (u1v2 - u2v1) = F(e1, e2) u1 v1 u2 v2 , Orientovaný objem a MAF XIX kde výraz u1 v1 u2 v2 je determinant matice (u, v) = u1 v1 u2 v2 K2×2 . Orientovaný objem a MAF XX Podobným způsobem můžeme odvodit tvar libovolné n-lineární alternující funkce F : Kn×n K. Orientovaný objem a MAF XX Podobným způsobem můžeme odvodit tvar libovolné n-lineární alternující funkce F : Kn×n K. Necht' A = (aij) Kn×n je matice se sloupci sj(A) = a1je1 + . . . + anjen = n i=1 aijei. Orientovaný objem a MAF XXI S využitím n-linearity F pro každý z n sloupců matice A můžeme výraz F(A) postupně roznásobit, čímž dostaneme součet nn členů tvaru a(1) 1 . . . a(n) nF(e(1), . . . , e(n)), z kterých každý odpovídá právě jednomu zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. Orientovaný objem a MAF XXII Podle předchozího lemmatu o nulové hodnotě alternující funkce sčítance příslušející zobrazením / Sn jsou všechny rovné 0 Orientovaný objem a MAF XXII Podle předchozího lemmatu o nulové hodnotě alternující funkce sčítance příslušející zobrazením / Sn jsou všechny rovné 0 a pro Sn platí F(e(1), . . . , e(n)) = (-1)|| F(e1, . . . , en). Orientovaný objem a MAF XXII Podle předchozího lemmatu o nulové hodnotě alternující funkce sčítance příslušející zobrazením / Sn jsou všechny rovné 0 a pro Sn platí F(e(1), . . . , e(n)) = (-1)|| F(e1, . . . , en). Na závěr tak dostáváme F(A)= F(e1, . . . , en) Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n = F(In) Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n, kde příslušná suma obsahuje n! sčítanců, jeden pro každou permutaci Sn. Základní vlastnosti determinantu I Determinantem čtvercové matice A = (aij) Kn×n nazýváme výraz det A = a11 . . . a1n ... ... ... an1 . . . ann = Sn (-1)|| a(1) 1 . . . a(n) n. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí záměna s absolutní hodnotou, používame též označení |A|. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí záměna s absolutní hodnotou, používame též označení |A|. Determinant čtvercové matice řádu n budeme nazývat determinant řádu n. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí záměna s absolutní hodnotou, používame též označení |A|. Determinant čtvercové matice řádu n budeme nazývat determinant řádu n. Pro matici (aij) K3×3 dostáváme vzorec a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a31a22a13 - a21a12a33 - a11a32a23, známý jako Sarrusovo pravidlo. Základní vlastnosti determinantu III Tvrzení Determinant transponované matice sa rovná determinantu původní matice, t. j. det AT = det A pro libovolnou matici A Kn×n. Základní vlastnosti determinantu III Tvrzení Determinant transponované matice sa rovná determinantu původní matice, t. j. det AT = det A pro libovolnou matici A Kn×n. Všechny výsledky o determinantech matic si zachovají svou platnost, pokud v nich každý výskyt slova "sloupec" nahradíme slovem "řádek" a naopak. Základní vlastnosti determinantu IV Tvrzení Necht' 1 m < n a A Kn×n je bloková matice tvaru A = B C 0 D , kde B Km×m, C Km×(n-m) a D K(n-m)×(n-m). Potom det A = det B det D. Základní vlastnosti determinantu V (1) Pokud A1, . . . , Ak jsou čtvercové matice, tak det diag(A1, . . . , Ak ) = det A1 . . . det Ak . (2) Matice A Kn×n se nazývá horní (dolní) trojúhelníková matice, pokud aij = 0 pro i < j (resp. pre i > j). Pro horní i dolní trojúhelníkové matice (tedy i diagonální) platí det A = a11 . . . ann, t. j. determinant takové matice je součinem jejích diagonálních prvků. Charakterizace determinantu I Věta Determinant řádu n je n-lineární alternující funkce Kn×n K sloupců matice. Navíc, pro každý skalár c K existuje jediné multilineární alternující zobrazení F : Kn×n K sloupců matice tak, že F(In) = c. Toto F je dané předpisem F(A) = c det A. Charakterizace determinantu II Determinant det : Kn×n K je jednoznačně určený jako n-lineární alternující funkce sloupců matice tak, že det In = det(e1, . . . , en) = 1. Charakterizace determinantu II Determinant det : Kn×n K je jednoznačně určený jako n-lineární alternující funkce sloupců matice tak, že det In = det(e1, . . . , en) = 1. Tato rovnost koresponduje s přirozenou volbou jednotky orientovaného n-rozměrného objemu v Kn ­ je jí orientovaný objem rovnoběžnostěnu určeného vektory e1, . . . , en (v tomto pořadí). Charakterizace determinantu III Věta (Cauchyho věta o determinantu součinu matic) Pro libovolné matice A, B Kn×n platí det(A B) = det A det B; Charakterizace determinantu III Věta (Cauchyho věta o determinantu součinu matic) Pro libovolné matice A, B Kn×n platí det(A B) = det A det B; t. j. determinant součinu matic se rovná součinu jejich determinantů. Charakterizace determinantu IV Věta Čtvercová matice A Kn×n je regulární právě tehdy, když det A = 0. V tomto Charakterizace determinantu IV Věta Čtvercová matice A Kn×n je regulární právě tehdy, když det A = 0. V tomto případě det A-1 = (det A)-1 . Laplaceův rozvoj determinantu I Pro n = 0, 1 není co dokazovat. Budeme v dalším předpokládat, že n 2. Důkaz věty o charakterizaci determinantu Nejprve dokážeme, že determinant je alternující funkce. Necht' A Kn×n je taková matice, že si(A) = sj(A)) pro nějaké i < j. Laplaceův rozvoj determinantu II Označme Sn transpozici, která zamění prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místě). Laplaceův rozvoj determinantu II Označme Sn transpozici, která zamění prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místě). Pro všechna k, l n platí akl = a(k)l. Laplaceův rozvoj determinantu II Označme Sn transpozici, která zamění prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místě). Pro všechna k, l n platí akl = a(k)l. Množinu všech sudých permutací množiny {1, . . . , n} budeme označovat jako An. Laplaceův rozvoj determinantu II Označme Sn transpozici, která zamění prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místě). Pro všechna k, l n platí akl = a(k)l. Množinu všech sudých permutací množiny {1, . . . , n} budeme označovat jako An. Zřejmě přiřazením je daná bijekce An Sn. Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - Sn-An a(1) 1 . . . a(n) n Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - Sn-An a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - An a()(1) 1 . . . a()(n) n Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - Sn-An a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - An a()(1) 1 . . . a()(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - a()(1) 1 . . . a()(n) n Laplaceův rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = Sn (-1)||a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - Sn-An a(1) 1 . . . a(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - An a()(1) 1 . . . a()(n) n = An a(1) 1 . . . a(n) n - a()(1) 1 . . . a()(n) n = 0. Laplaceův rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Laplaceův rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Pro i n označme Sn(i, j) = { Sn; i = (j)} a položme ~aij = Sn(i,j)(-1)||a(1) 1 . . . a(j-1) j-1a(j+1) j+1 . . . a(n) n. Laplaceův rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Pro i n označme Sn(i, j) = { Sn; i = (j)} a položme ~aij = Sn(i,j)(-1)||a(1) 1 . . . a(j-1) j-1a(j+1) j+1 . . . a(n) n. Potom zřejmě det A= n i=1 ~aijaij = (~a1j, . . . , ~anj) (a1j, . . . , anj)T , což dokazuje linearitu. Laplaceův rozvoj determinantu V Determinant je rovněž multilineární alternující funkce řádků matice a (protože Sn(i, j) -1 Sn(j, i)) pro i-tý řádek (ai1, . . . , ain) matice A její determinant má rozvoj Laplaceův rozvoj determinantu V Determinant je rovněž multilineární alternující funkce řádků matice a (protože Sn(i, j) -1 Sn(j, i)) pro i-tý řádek (ai1, . . . , ain) matice A její determinant má rozvoj det A= n j=1 aij ~aij = (ai1, . . . , ain) (~ai1, . . . , ~ain)T . se stejně definovanými koeficienty ~aij. Laplaceův rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ~aij nazývame algebraickým doplňkem prvku aij v matici A. Laplaceův rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ~aij nazývame algebraickým doplňkem prvku aij v matici A. Matici A = (~aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplňků k matici A. Laplaceův rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ~aij nazývame algebraickým doplňkem prvku aij v matici A. Matici A = (~aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplňků k matici A. Tvrzení Necht' Aij označuje matici řádu n - 1, která vznikne z matice A Kn×n vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Laplaceův rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ~aij nazývame algebraickým doplňkem prvku aij v matici A. Matici A = (~aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplňků k matici A. Tvrzení Necht' Aij označuje matici řádu n - 1, která vznikne z matice A Kn×n vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Potom ~aij = (-1)i+j |Aij|. Laplaceův rozvoj determinantu VII Determinanty matic, které vzniknou vynecháním některých řádků a stejného počtu sloupců z matice A Kn×n, nazýváme jejími minory, případně subdeterminanty determinantu |A|. Laplaceův rozvoj determinantu VIII Věta (Laplaceova věta o rozvoji determinantu) Necht' A Kn×n, 1 k, l n. Potom |A|= n j=1(-1)k+jakj |Akj| = n i=1(-1)i+l|Ail| ail. Laplaceův rozvoj determinantu VIII Věta (Laplaceova věta o rozvoji determinantu) Necht' A Kn×n, 1 k, l n. Potom |A|= n j=1(-1)k+jakj |Akj| = n i=1(-1)i+l|Ail| ail. Uvedené součty nazýváme Laplaceovými rozvoji determinantu |A| ­ první podle k-tého řádku, druhý podle l-tého sloupce. Výpočet determinantu I Každý determinant je multilineární alternující funkcí jak řádků tak i sloupců matice. Pravidla (0) Determinant trojúhelníkové matice se rovná součinu jejích diagonálních prvků. Výpočet determinantu II (1) Výměnou pořadí dvou řádků nebo sloupců matice se hodnota jejího determinantu změní na opačnou. Výpočet determinantu II (1) Výměnou pořadí dvou řádků nebo sloupců matice se hodnota jejího determinantu změní na opačnou. (2) Vynásobením nějakého řádku nebo sloupce matice nenulovým skalárem c K sa její determinant změní na c-násobek původní hodnoty. Výpočet determinantu II (1) Výměnou pořadí dvou řádků nebo sloupců matice se hodnota jejího determinantu změní na opačnou. (2) Vynásobením nějakého řádku nebo sloupce matice nenulovým skalárem c K sa její determinant změní na c-násobek původní hodnoty. (3) Pripočtením skalárního násobku nějakého řádku matice k jejímu jinému řádku, resp. násobku nějakého jejího sloupce k jinému sloupci se hodnota jejího determinantu nezmění. Výpočet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový řádek nebo sloupec, případně dva stejné řádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. Výpočet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový řádek nebo sloupec, případně dva stejné řádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. (5) Necht' všechny prvky i-tého řádku případně j-tého sloupce matice A s výjimkou prvku aij jsou rovné 0. Potom |A| = (-1)i+j aij |Aij|. Výpočet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový řádek nebo sloupec, případně dva stejné řádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. (5) Necht' všechny prvky i-tého řádku případně j-tého sloupce matice A s výjimkou prvku aij jsou rovné 0. Potom |A| = (-1)i+j aij |Aij|. (6) a11 a12 a21 a22 = a11a22 - a21a12. Výpočet determinantu IV Vypočítáme tzv. Vandermondův determinant řádu n VDn(x1, x2, . . . , xn) = 1 x1 x2 1 . . . xn-1 1 1 x2 x2 2 . . . xn-1 2 ... ... ... ... 1 xn x2 n . . . xn-1 n . Výpočet determinantu V Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn)= 1 x1 x2 1 . . . xn-1 1 0 x2 - x1 x2 2 - x2 1 . . . xn-1 2 - xn-1 1 ... ... ... ... 0 xn - x1 x2 n - x2 1 . . . xn-1 n - xn-1 1 . Výpočet determinantu VI Následným rozvojem podle prvního sloupce dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 - x1 x2 2 - x2 1 . . . xn-1 2 - xn-1 1 ... ... ... xn - x1 x2 n - x2 1 . . . xn-1 n - xn-1 1 . Výpočet determinantu VI Následným rozvojem podle prvního sloupce dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 - x1 x2 2 - x2 1 . . . xn-1 2 - xn-1 1 ... ... ... xn - x1 x2 n - x2 1 . . . xn-1 n - xn-1 1 . Odečtěme nyní od každého sloupce počínaje druhým x1-násobek předcházejícího sloupce. Výpočet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místě (i, k), kde 1 i n - 1, 1 k n - 1, prvek (xk i+1 - xk 1 ) - x1(xk-1 i+1 - xk-1 1 ) = xk-1 i+1 (xi+1 - x1). Výpočet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místě (i, k), kde 1 i n - 1, 1 k n - 1, prvek (xk i+1 - xk 1 ) - x1(xk-1 i+1 - xk-1 1 ) = xk-1 i+1 (xi+1 - x1). Pokud vytkneme z i-tého řádku činitel xi+1 - x1, postupně nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 - x1 x2(x2 - x1) . . . xn-2 2 (x2 - x1) Výpočet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místě (i, k), kde 1 i n - 1, 1 k n - 1, prvek (xk i+1 - xk 1 ) - x1(xk-1 i+1 - xk-1 1 ) = xk-1 i+1 (xi+1 - x1). Pokud vytkneme z i-tého řádku činitel xi+1 - x1, postupně nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 - x1 x2(x2 - x1) . . . xn-2 2 (x2 - x1) ... ... ... Výpočet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místě (i, k), kde 1 i n - 1, 1 k n - 1, prvek (xk i+1 - xk 1 ) - x1(xk-1 i+1 - xk-1 1 ) = xk-1 i+1 (xi+1 - x1). Pokud vytkneme z i-tého řádku činitel xi+1 - x1, postupně nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 - x1 x2(x2 - x1) . . . xn-2 2 (x2 - x1) ... ... ... xn - x1 xn(xn - x1) . . . xn-2 n (xn - x1) , Výpočet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) . . . (xn - x1) 1 x2 . . . xn-2 2 Výpočet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) . . . (xn - x1) 1 x2 . . . xn-2 2 ... ... ... Výpočet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) . . . (xn - x1) 1 x2 . . . xn-2 2 ... ... ... 1 xn . . . xn-2 n Výpočet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) . . . (xn - x1) 1 x2 . . . xn-2 2 ... ... ... 1 xn . . . xn-2 n = (x2 - x1) . . . (xn - x1) VDn-1(x2, . . . , xn). Podobně VDn-1(x2, . . . , xn) = (x3 - x2) . . . (xn - x2) VDn-2(x3, . . . , xn), atd. Výpočet determinantu IX Protože zejména VD1(xn) = 1, dostaneme výsledek VDn(x1, x2, . . . , xn) = 1i