7. HODNOST MATICE, INVERZNÍ MATICE A ZMĚNA BÁZE Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 2. listopadu 2006 Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se naučíme počítat inverzní matice a matice přechodu z jedné souřadné báze do druhé. Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se naučíme počítat inverzní matice a matice přechodu z jedné souřadné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv změny báze na matici lineárního zobrazení. Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se naučíme počítat inverzní matice a matice přechodu z jedné souřadné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv změny báze na matici lineárního zobrazení. Přednáška začne pojmem hodnosti matice, který nám umožní rozhodnout o existenci inverzní matice. Abstrakt přednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se naučíme počítat inverzní matice a matice přechodu z jedné souřadné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv změny báze na matici lineárního zobrazení. Přednáška začne pojmem hodnosti matice, který nám umožní rozhodnout o existenci inverzní matice. V celé kapitole K označuje pevné těleso, m, n, p jsou kladná celá čísla. Obsah přednášky Hodnost matice, inverzní matice a změna báze Hodnost matice Inverzní matice a inverzní lineární zobrazení Realizace ERO a ESO pomocí násobení matic Výpočet inverzní matice Matice přechodu Matice lineárního zobrazení vzhledem na různé báze Hodnost matice I V této části je potřebné rozlišovat mezi vektorovými prostory řádkových resp. sloupcových vektorů. Prostor řádkových vektorů budeme značit K"1xn a prostor sloupcových vektorů Knx\ Hodnost matice II r,(A) g K^xn označuje /-tý řádek a sy(A) g K"mx1 y-tý sloupec matice A = (a,y)mxn. Hodnost matice II r,(A) g K^xn označuje /-tý řádek a sy(A) g K"mx1 y-tý sloupec matice A = (a,y)mxn. Tuto matici můžeme zapsat blokově jako / ri(A) \ r2(A) V rm(A) J (Sl(A),s2(A),...,sn(A)). Hodnost matice III Řádkovou hodností hr(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K"1xn generovaného řádky matice A. Hodnost matice III Řádkovou hodností hr(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K"1xn generovaného řádky matice A. Podobně, sloupcovou hodností hs(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K"mx1 generovaného sloupci matice A. Hodnost matice III Řádkovou hodností hr(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K"1xn generovaného řádky matice A. Podobně, sloupcovou hodností hs(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K"mx1 generovaného sloupci matice A. Tedy hr(A) = dim^ (A), r2(A),..., rm(A)], hs(A) =dim[s1(A),s2(A),...,sn(A)]. Hodnost matice IV Označme

-%.„. Inverzní matice III Říkáme, že čtvercová matice A e Knxn je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A-1; v opačném případě A je singulární. Inverzní matice III Říkáme, že čtvercová matice A g Knxn je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A-1; v opačném případě A je singulární. Věta Matice A g Knxn je regulární právě tehdy když h(A) = n. Inverzní matice III Říkáme, že čtvercová matice A g Knxn je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A-1; v opačném prípade A je singulární. Věta Matice A g Knxn je regulární právě tehdy když h(A) = n. Věta Pro libovolné A, B g Knxn platí A • B = l„ právě tehdy když Inverzní matice IV Tvrzení Nechť A, B e Knxn jsou regulární matice. Inverzní matice IV Tvrzení Nechť A, B e Knxn jsou regulární matice. Potom i matice A1, A B a Ar jsou regulární a platí: Inverzní matice IV Tvrzení Nechť A, B e Knxn jsou regulární matice. Potom i matice A1, A B a Ar jsou regulární a platí: (A-1)-1=A, Inverzní matice IV Tvrzení Nechť A, B e Knxn jsou regulární matice. Potom i matice A~1, A • B a Ar jsou regulární a platí: íA-1r1 (AB)"1 = B Inverzní matice IV Tvrzení Nechť A, B e Knxn jsou regulární matice. Potom i matice A1, A B a Ar jsou regulární a platí: (A-1)-1=A, (AB)"1 =B"1 A"1, (Ar)-1 = (A-1)7. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Nechť AgK"1 Realizace ERO a ESO I Tvrzení Nechť A g Kmxn. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Nechť A g Kmxn. (a) Nechť B e Kmxn vznikne z A provedením jedné ERO. Označme E matici, která vznikne z matice \m provedením stejné ERO. Potom B = E A. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Nechť A g Kmxn. (a) Nechť B e Kmxn vznikne z A provedením jedné ERO. Označme E matici, která vznikne z matice \m provedením stejné ERO. Potom B = E A. (b) Nechť C e Kmxn vznikne z A provedením jedné ESO. Označme F matici, která vznikne z matice l„ provedením stejné ESO. Potom C = A • F. Realizace ERO a ESO II Čtvercové matice E e Knxn, které vzniknou z jednotkové matice l„ provedením jediné ERO nebo ESO, nazýváme elementární matice. Realizace ERO a ESO II Čtvercové matice E e Knxn, které vzniknou z jednotkové matice l„ provedením jediné ERO nebo ESO, nazýváme elementární matice. Libovolnou ERO (ESO) na matici A můžeme realizovat vynásobením matice A vhodnou elementární maticí E (F) zleva (zprava). Výpočet inverzní matice I Návod na výpočet inverzní matice k dané čtvercové matici A g Knxn: (A|ln)E-^9(ln|A-1). Výpočet inverzní matice I Návod na výpočet inverzní matice k dané čtvercové matici A g Knxn: (A|ln)E-^9(ln|A-1). Tvrzení Nechť A eKnxn aEhE2,...,EkeKnxn jsou elementární matice tak, že Ek ■... ■ E2 • E-\ • A = l„. Výpočet inverzní matice I Návod na výpočet inverzní matice k dané čtvercové matici A g Knxn: (A|ln)E-^9(ln|A-1). Tvrzení Nechť A eKnxn aEhE2,...,EkeKnxn jsou elementární matice tak, že Ek ■... ■ E2 • E-\ • A = l„. Potom A-1 =Ek- ...-E2-Ei. Výpočet inverzní matice II K stejnému cíli vede též postup reprezentovaný schématem: A\ ESO í \n \ Výpočet inverzní matice II K stejnému cíli vede též postup reprezentovaný schématem: 'A^ ESO f \r Tvrzení Matice A e Knxnje regulární právě tehdy, když ji můžeme rozložit na součin A = E-\ ■... -Ek konečného počtu elementárních maticE-\,.. .,Ek e Knxn. Výpočet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B e Kmxn platí: Výpočet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B e Kmxn platí: (a) A je řádkově ekvivalentní s B právě tehdy když existuje regulární matice P e Kmxm tak, že A = P • B; Výpočet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B g Kmxn platí: (a) A je řádkově ekvivalentní s B právě tehdy, když existuje regulární matice P e Kmxm tak, že A = P • B; (b) A je sloupcově ekvivalentní s B právě tehdy, když existuje regulární matice Q e Knxn tak, že A = B Q. Výpočet inverzní matice IV Tvrzení Nechť A g Kmxn, P e Kmxm, Q e Knxn, přičemž P, Q jsou regulární matice. Výpočet inverzní matice IV Tvrzení Nechť A g Kmxn, P e Kmxm, Q e Knxn, přičemž P, Q jsou regulární matice. Potom /j(A) = h(P ■ A) = /j(A • Q) = h(P ■ A • Q). Výpočet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozměru maticí A 1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Výpočet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozměru maticí A 1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Buď A g Knxn regulární a B g Knxm, C g Kmxn libovolné. Výpočet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozměru maticí A 1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Buď A g Knxn regulární a B g Knxm, C g Kmxn libovolné. Pak (A|B)^0(ln|A-1-B) Výpočet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozměru maticí A 1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Buď A g Knxn regulární a B g Knxm, C g Kmxn libovolné. Pak (A|B)^0(ln|A-1-B) Výpočet inverzní matice VI Řešení soustavy lineárních rovnic Výpočet inverzní matice VI Řešení soustavy lineárních rovnic (A I b) E-^ (B I c), Výpočet inverzní matice VI Řešení soustavy lineárních rovnic (A I b) E-^ (B I c), které má pro regulární A e Knxn tvar (A|b)^9(l„|A-1-b). Výpočet inverzní matice VII Tvrzení Nechť A. g Knxn, b e Kn. Je-//A regulární, tak soustava A • x = b má jediné řešení x = A1 b. Matice přechodu I Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K a a. = (ui,..., un), ß = (v-\,..., v„) jsou jeho dvě báze. Maticí přechodu z báze ß do báze a. nazýváme matici identického zobrazení idy : V —► V vzhledem na bázi ß, a., kterou značíme Pa,ß- Tedy Paß = (Ídv)c*,/3- Matice prechodu II Sloupce matice prechodu Pa>/3 jsou tvořeny souřadnicemi vektoru báze ß vzhledem na bázi cx, Matice přechodu II Sloupce matice přechodu Pa>/3 jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze ß vzhledem na bázi cx, t. j. Sj{Pa>ß) = (vy)a pro 1 /3 jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze ß vzhledem na bázi cx, t. j. Sj{Pa>ß) = (vy)a pro 1 /3 jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze ß vzhledem na bázi cx, t. j. Sj{Pa>ß) = (vy)a pro 1 Matice prechodu V Tvrzení Nechť ex, ß, 7 jsou báze konečně rozměrného vektorového prostoru V nad tělesem K. Potom p — i ' ot,ot — 'n> P/3,c* = Pc*,/3~ > ' cx,ß ' 'ß,~f = 'a,~y- Matice přechodu V Tvrzení Nechť ex, ß, 7 jsou báze konečně rozměrného vektorového prostoru V nad tělesem K. Potom p — i ' ot,ot — 'n> P/3,c* = Pc*,/3~ > ' cx,ß ' 'ß,~f = 'a,~y- Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice přechodu Pa>ß je vždy regulární. Matice přechodu V Tvrzení Nechť ex, ß, 7 jsou báze konečně rozměrného vektorového prostoru V nad tělesem K. Potom p — i ' ot,ot — 'n> P/3,c* = Pc*,/3~ > ' cx,ß ' 'ß,~f = 'a,~y- Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice přechodu Pa>ß je vždy regulární. Naopak, každá regulární matice P g Knxn je maticí přechodu mezi vhodnou dvojicí baží. Matice prechodu VI Tvrzení Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad K a P e Knxn je libovolná regulární matice. Matice přechodu VI Tvrzení Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad K a P e Knxn je libovolná regulární matice. Nechť a. = (ui,..., u„) je nějaká báze ve V. Položme Mj = öl Sy(P), wy = öl Sy(P"1) pro 1