LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 27. října 2006 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole prozkoumáme pojem lineárního zobrazení , které nám umožní porovnávat struktury různých vektorových prostorů nad tímž tělesem. Obsah přednášky Lineární zobrazení Lineární zobrazení Jádro a obraz lineárního zobrazení Lineární izomorfismy Matice lineárního zobrazení Prostory lineárních zobrazení Lineární zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Lineární zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že : V U je lineární zobrazení, pokud zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, Lineární zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že : V U je lineární zobrazení, pokud zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, t. j. pokud pro libovolné x, y V, c K platí (x + y) = (x) + (y), Lineární zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že : V U je lineární zobrazení, pokud zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, t. j. pokud pro libovolné x, y V, c K platí (x + y) = (x) + (y), (cx) = c(x). Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, t. j. pro lineární zobrazení : V U a x V platí (0) = 0, (-x) = -(x). Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, t. j. pro lineární zobrazení : V U a x V platí (0) = 0, (-x) = -(x). Pro každý vektorový prostor V je identické zobrazení idV : V V, x x lineární. Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, t. j. pro lineární zobrazení : V U a x V platí (0) = 0, (-x) = -(x). Pro každý vektorový prostor V je identické zobrazení idV : V V, x x lineární. Pro libovolné vektorové prostory U, V nad tělesem K zobrazení 0 : V U, které každému vektoru x V přiřadí nulový vektor 0 U, je lineární. Lineární zobrazení III Komutativita operace součinu v tělese a jeho distributivita vzhledem na sčítaní znamená, že pro libovolný pevný skalár a K je přiřazením x ax definované lineární zobrazení K K. Lineární zobrazení III Komutativita operace součinu v tělese a jeho distributivita vzhledem na sčítaní znamená, že pro libovolný pevný skalár a K je přiřazením x ax definované lineární zobrazení K K. Lineární zobrazení můžeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tělesem), které zachovávají lineární kombinace. Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je libovolné zobrazení. Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) je lineární zobrazení; Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) je lineární zobrazení; (ii) pre všechna x, y V, a, b K platí (ax + by) = a(x) + b(y); Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) je lineární zobrazení; (ii) pre všechna x, y V, a, b K platí (ax + by) = a(x) + b(y); (iii) pro libovolné n N a všechna x1, . . . , xn V, c1, . . . , cn K platí (c1x1 + . . . + cnxn) = c1(x1) + . . . + cn(xn). Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a : W V, : V U jsou lineární zobrazení. Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a : W V, : V U jsou lineární zobrazení. Potom i jejich složení : W U je lineární zobrazení. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je lineární zobrazení. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineární podprostor prostoru V, tak i (S) je lineární podprostor prostoru U. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a : V U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineární podprostor prostoru V, tak i (S) je lineární podprostor prostoru U. (b) Je-li T lineární podprostor prostoru U, tak -1(T) je lineární podprostor prostoru V. Lineární zobrazení VII Příklad Necht' K je těleso. Lineární zobrazení VII Příklad Necht' K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, Lineární zobrazení VII Příklad Necht' K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m, n, p N a libovolnou matici A Km×n je přiřazením X A X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Kn×p Km×p. Lineární zobrazení VII Příklad Necht' K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m, n, p N a libovolnou matici A Km×n je přiřazením X A X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Kn×p Km×p. Podobně je přiřazením Y Y A definované lineární zobrazení Kp×m Kp×n. Lineární zobrazení VIII Speciálně pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x A x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn Km, resp. lineární zobrazení y y A mezi řádkovými vektorovými prostory Km Kn. Lineární zobrazení VIII Speciálně pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x A x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn Km, resp. lineární zobrazení y y A mezi řádkovými vektorovými prostory Km Kn. Každé lineární zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad K má v podstatě takovýto tvar. Lineární zobrazení IX Příklad Necht' K je těleso. Lineární zobrazení IX Příklad Necht' K je těleso. Pro m, n N a pevné 1 i m, 1 j n jsou předpisy Lineární zobrazení IX Příklad Necht' K je těleso. Pro m, n N a pevné 1 i m, 1 j n jsou předpisy A ri(A), A sj(A) definovaná lineární zobrazení Km×n K1×n resp. Km×n Km×1. Lineární zobrazení IX Příklad Necht' K je těleso. Pro m, n N a pevné 1 i m, 1 j n jsou předpisy A ri(A), A sj(A) definovaná lineární zobrazení Km×n K1×n resp. Km×n Km×1. Rovněž A AT je lineární zobrazení Km×n Kn×m. Lineární zobrazení X Příklad Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x X je pevně zvolený prvek. Lineární zobrazení X Příklad Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x X je pevně zvolený prvek. Připomeňme, že VX je vektorový prostor všech funkcí f : X V. Dosazení prvku x do funkce f, t. j. přiřazení f f(x), je lineární zobrazení VX V. Lineární zobrazení X Příklad Necht' V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x X je pevně zvolený prvek. Připomeňme, že VX je vektorový prostor všech funkcí f : X V. Dosazení prvku x do funkce f, t. j. přiřazení f f(x), je lineární zobrazení VX V. Podobně, pro libovolnou podmnožinu Y X je zúžení f f Y lineární zobrazení VX VY . Lineární zobrazení XI Příklad Označme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných čísel. Lineární zobrazení XI Příklad Označme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných čísel. Zřejmě V je lineární podprostor vektorového prostoru RN všech posloupností reálných čísel. Lineární zobrazení XI Příklad Označme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných čísel. Zřejmě V je lineární podprostor vektorového prostoru RN všech posloupností reálných čísel. Pak zobrazení V R, které posloupnosti a = (an) n=0 V přiřadí její limitu limn an, je lineární. Lineární zobrazení XII Příklad Uvažujme projekci : R3 R2 x y z x y . Lineární zobrazení XII Příklad Uvažujme projekci : R3 R2 x y z x y . Lineární zobrazení XII Příklad Uvažujme projekci : R3 R2 x y z x y . Tato projekce je lineární zobrazení, které není prosté a je surjektivní. Lineární zobrazení XII Příklad Uvažujme projekci : R3 R2 x y z x y . Tato projekce je lineární zobrazení, které není prosté a je surjektivní. Totiž vzor nějakého vektoru v R2 je vertikální přímka vektorů z R3. Lineární zobrazení XIII Příklad Následující lineární zobrazení h : R2 R1 dané předpisem Lineární zobrazení XIII Příklad Následující lineární zobrazení h : R2 R1 dané předpisem x y h x + y není rovněž prosté. Lineární zobrazení XIII Příklad Následující lineární zobrazení h : R2 R1 dané předpisem x y h x + y není rovněž prosté. Pro pevné w R1 je totiž jeho vzor h-1(w) množina všech vektorů v rovině, jejichž souřadnice po sečtení dávají právě w. Lineární zobrazení XIV Příklad Vzory mohou samozřejmě být jiné struktury než výše použité přímky. Lineární zobrazení XIV Příklad Vzory mohou samozřejmě být jiné struktury než výše použité přímky. Pro lineární zobrazení h : R3 R2 definované předpisem x y z x x , Lineární zobrazení XIV Příklad Vzory mohou samozřejmě být jiné struktury než výše použité přímky. Pro lineární zobrazení h : R3 R2 definované předpisem x y z x x , jsou příslušné vzory roviny x = 0, x = 1, atd., kolmé k ose x. Jádro a obraz I Necht' : V U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jádro a obraz I Necht' : V U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Ker = -1 (0) = {x V; (x) = 0}. Jádro a obraz I Necht' : V U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Ker = -1 (0) = {x V; (x) = 0}. Obrazem lineárního zobrazení nazývame množinu Im = (V) = {(x); x V}. Jádro a obraz II Výše zavedené označení pochází z anglických slov kernel a image. Jádro a obraz II Výše zavedené označení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Jádro a obraz II Výše zavedené označení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení Necht' : V U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jádro a obraz II Výše zavedené označení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení Necht' : V U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker je lineární podprostor prostoru V a Im je lineární podprostor prostoru U. Jádro a obraz III Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Jádro a obraz III Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta Necht' : V U je lineární zobrazení. Potom Jádro a obraz III Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta Necht' : V U je lineární zobrazení. Potom (a) je injektivní právě tehdy, když Ker = {0}; Jádro a obraz III Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta Necht' : V U je lineární zobrazení. Potom (a) je injektivní právě tehdy, když Ker = {0}; (b) je surjektivní právě tehdy, když Im = U. Jádro a obraz IV Věta Necht' : V U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Jádro a obraz IV Věta Necht' : V U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Potom i Ker a Im jsou konečně rozměrné prostory a platí Jádro a obraz IV Věta Necht' : V U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Potom i Ker a Im jsou konečně rozměrné prostory a platí dim V = dim Ker + dim Im. Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Im nazýváme hodností lineárního zobrazení a značíme ji Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Im nazýváme hodností lineárního zobrazení a značíme ji h() = dim Im. Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Im nazýváme hodností lineárního zobrazení a značíme ji h() = dim Im. Lineární zobrazení : V V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Im nazýváme hodností lineárního zobrazení a značíme ji h() = dim Im. Lineární zobrazení : V V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací. Jádro a obraz VI Důsledek Necht' : V V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Jádro a obraz VI Důsledek Necht' : V V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom je injektivní právě tehdy, když je surjektivní. Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení : V U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení : V U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení : V U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, pokud existuje nějaký lineární izomorfismus : V U. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idV : V V je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idV : V V je lineární izomorfismus. (b) Je-li : V U lineární izomorfismus, pak i -1 : U V je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht' U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idV : V V je lineární izomorfismus. (b) Je-li : V U lineární izomorfismus, pak i -1 : U V je lineární izomorfismus. (c) Jsou-li : W V, : V U lineární izomorfismy, pak i : W U je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy III Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Lineární izomorfismy III Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: Lineární izomorfismy III Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: (a) V = V; Lineární izomorfismy III Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: (a) V = V; (b) V = U U = V; Lineární izomorfismy III Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: (a) V = V; (b) V = U U = V; (c) W = V & V = U W = U. Lineární izomorfismy IV Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, Lineární izomorfismy IV Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Lineární izomorfismy IV Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním můžeme pracovat podobně jako se vztahem rovnosti =. Lineární izomorfismy IV Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním můžeme pracovat podobně jako se vztahem rovnosti =. Příklad Necht' V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a = (v1, . . . , vn) je nějaká jeho báze. Lineární izomorfismy IV Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním můžeme pracovat podobně jako se vztahem rovnosti =. Příklad Necht' V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a = (v1, . . . , vn) je nějaká jeho báze. Potom souřadnicové zobrazení x (x) je lineární izomorfizmus V Kn. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Věta Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Věta Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K. Potom V = U dim V = dim U. Lineární izomorfismy VI Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem Kn právě tehdy, když n = dimV. Lineární izomorfismy VI Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem Kn právě tehdy, když n = dimV. Přitom každá báze prostoru V určuje jeden takovýto izomorfismus V Kn ­ Lineární izomorfismy VI Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem Kn právě tehdy, když n = dimV. Přitom každá báze prostoru V určuje jeden takovýto izomorfismus V Kn ­ je jím souřadnicové zobrazení x (x). Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení : Kn Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi (n) = (e1, . . . , en). Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení : Kn Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi (n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy (ej) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení : Kn Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi (n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy (ej) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = ((e1), . . . , (en)) Km×n , Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení : Kn Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi (n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy (ej) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = ((e1), . . . , (en)) Km×n , jejímiž sloupci jsou právě tyto vektory, Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení : Kn Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi (n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy (ej) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = ((e1), . . . , (en)) Km×n , jejímiž sloupci jsou právě tyto vektory, t. j. platí sj(A) = (ej) pro 1 j n. Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x1e1 + + xnen, a počítejme Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x1e1 + + xnen, a počítejme (x) = (x1e1 + . . . + xnen) Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x1e1 + + xnen, a počítejme (x) = (x1e1 + . . . + xnen) = x1(e1) + . . . + xn(en) Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x1e1 + + xnen, a počítejme (x) = (x1e1 + . . . + xnen) = x1(e1) + . . . + xn(en) = (s1(A), . . . , sn(A)) (x1, . . . , xn)T Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak můžeme obraz (x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x1e1 + + xnen, a počítejme (x) = (x1e1 + . . . + xnen) = x1(e1) + . . . + xn(en) = (s1(A), . . . , sn(A)) (x1, . . . , xn)T = A x Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení : Kn Km má tvar (x) = A x pro vhodnou matici A Km×n. Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení : Kn Km má tvar (x) = A x pro vhodnou matici A Km×n. Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení : Kn Km má tvar (x) = A x pro vhodnou matici A Km×n. Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení : V U zakódovat pomocí vhodné matice A. Matice lineárního zobrazení IV Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim V = n a = (u1, . . . , um), = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Matice lineárního zobrazení IV Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim V = n a = (u1, . . . , um), = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení : V U vzhledem k bazím , nazývame matici A = ((v1)), . . . , ((vn)) Km×n , Matice lineárního zobrazení IV Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim V = n a = (u1, . . . , um), = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení : V U vzhledem k bazím , nazývame matici A = ((v1)), . . . , ((vn)) Km×n , jejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů (vj) vektorů báze vzhledem k bázi , Matice lineárního zobrazení IV Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim V = n a = (u1, . . . , um), = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení : V U vzhledem k bazím , nazývame matici A = ((v1)), . . . , ((vn)) Km×n , jejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů (vj) vektorů báze vzhledem k bázi , t. j. platí sj(A) = ((vj)) pro 1 j n. Matice lineárního zobrazení V Tuto matici značíme též A = (),. Matice lineárního zobrazení V Tuto matici značíme též A = (),. (Všimněme si obrácené pořadí znaků bazí vůči pořadí vektorových prostorů v označení zobrazení : V U.) Matice lineárního zobrazení V Tuto matici značíme též A = (),. (Všimněme si obrácené pořadí znaků bazí vůči pořadí vektorových prostorů v označení zobrazení : V U.) Matici A ze začátku tohoto paragrafu můžeme nazvat maticí lineárního zobrazení : Kn Km vzhledem na kanonickou bázi (n), (m). Matice lineárního zobrazení VI Pokud neřekneme jinak, budeme pod maticí lineárního zobrazení : Kn Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumět matici ()(m),(n) zobrazení vzhledem ke kanonickým bazím. Matice lineárního zobrazení VI Pokud neřekneme jinak, budeme pod maticí lineárního zobrazení : Kn Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumět matici ()(m),(n) zobrazení vzhledem ke kanonickým bazím. Maticí lineární transformace : V V vzhledem k bázi prostoru V tedy rozumíme matici (),. Matice lineárního zobrazení VII Přitom platí (vj) = e (n) j pro libovolný vektor vj báze = (v1, . . . , vn) prostoru V. Matice lineárního zobrazení VII Přitom platí (vj) = e (n) j pro libovolný vektor vj báze = (v1, . . . , vn) prostoru V. Z toho je zřejmé, že pro každou bázi n-rozměrného vektorového prostoru V platí Matice lineárního zobrazení VII Přitom platí (vj) = e (n) j pro libovolný vektor vj báze = (v1, . . . , vn) prostoru V. Z toho je zřejmé, že pro každou bázi n-rozměrného vektorového prostoru V platí (idV ), = (e (n) j )n j=1 = In. Matice lineárního zobrazení VIII Věta Necht' : V U je lineární zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad číselným tělesem K, dimV = n, dimU = m a , jsou báze prostorů U resp. V. Matice lineárního zobrazení VIII Věta Necht' : V U je lineární zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad číselným tělesem K, dimV = n, dimU = m a , jsou báze prostorů U resp. V. Potom pro všechna x V platí ((x)) = (), (x) Matice lineárního zobrazení VIII Věta Necht' : V U je lineární zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad číselným tělesem K, dimV = n, dimU = m a , jsou báze prostorů U resp. V. Potom pro všechna x V platí ((x)) = (), (x) a A = (), je jediná matice touto vlastností. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Věta Necht' U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, je báze U, je báze V a je báze W. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Věta Necht' U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, je báze U, je báze V a je báze W. Potom pro libovolné lineární zobrazení : W V, : V U platí Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Věta Necht' U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, je báze U, je báze V a je báze W. Potom pro libovolné lineární zobrazení : W V, : V U platí ( ), = (), (),. Matice lineárního zobrazení X Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel R je lineární zobrazení R : R2 R2. Matice lineárního zobrazení X Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel R je lineární zobrazení R : R2 R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi budeme značit' rovněž R, Matice lineárního zobrazení X Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel R je lineární zobrazení R : R2 R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi budeme značit' rovněž R, tedy pro x R2 budeme psát R(x) = R x. Matice lineárního zobrazení X Příklad Otočení roviny okolo počátku o úhel R je lineární zobrazení R : R2 R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi budeme značit' rovněž R, tedy pro x R2 budeme psát R(x) = R x. Její sloupce získáme otočením vektorů e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T o úhel . Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame R e1 = cos sin , Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame R e1 = cos sin , R e2 = cos 2 + sin 2 + Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame R e1 = cos sin , R e2 = cos 2 + sin 2 + = - sin cos . Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že R = cos - sin sin cos Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že R = cos - sin sin cos a obrazem libovolného vektoru (x, y)T R2 v otočení R je vektor Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že R = cos - sin sin cos a obrazem libovolného vektoru (x, y)T R2 v otočení R je vektor R x y = x cos - y sin x sin + y cos . Matice lineárního zobrazení XIII Matice R/6 = cos(/6) - sin(/6) sin(/6) cos(/6) Matice lineárního zobrazení XIII Matice R/6 = cos(/6) - sin(/6) sin(/6) cos(/6) = 3/2 -1/2 1/2 3/2 Matice lineárního zobrazení XIII Matice R/6 = cos(/6) - sin(/6) sin(/6) cos(/6) = 3/2 -1/2 1/2 3/2 reprezentuje vzhledem ke standardní bázi transformaci R/6 : R2 R2, která otočí vektory o /6 radiánů proti směru hodinových ručiček. Matice lineárního zobrazení XIII Matice R/6 = cos(/6) - sin(/6) sin(/6) cos(/6) = 3/2 -1/2 1/2 3/2 reprezentuje vzhledem ke standardní bázi transformaci R/6 : R2 R2, která otočí vektory o /6 radiánů proti směru hodinových ručiček. Matice lineárního zobrazení XIV Příklad Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazení S : R2 R2, kde R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Matice lineárního zobrazení XIV Příklad Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazení S : R2 R2, kde R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i S je lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení XIV Příklad Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazení S : R2 R2, kde R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i S je lineární zobrazení. Jeho matici vzhledem ke kanonické bázi budeme značit stejně tj. S. Matice lineárního zobrazení XV Zřejmě matice souměrnosti podle osy x je S0 = 1 0 0 -1 Matice lineárního zobrazení XV Zřejmě matice souměrnosti podle osy x je S0 = 1 0 0 -1 a osovou souměrnost § můžeme obdržet jako složení otočení R-, osové souměrnosti S0 a otočení R, Matice lineárního zobrazení XV Zřejmě matice souměrnosti podle osy x je S0 = 1 0 0 -1 a osovou souměrnost § můžeme obdržet jako složení otočení R-, osové souměrnosti S0 a otočení R, t. j. S = R S0 R-. Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme S = cos 2 sin 2 sin 2 - cos 2 . Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme S = cos 2 sin 2 sin 2 - cos 2 . Tedy osová souměrnost S zobrazí vektor (x, y)T R2 na vektor Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme S = cos 2 sin 2 sin 2 - cos 2 . Tedy osová souměrnost S zobrazí vektor (x, y)T R2 na vektor S x y = x cos 2 + y sin 2 x sin 2 - y cos 2 . Matice lineárního zobrazení XVI Příklad Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 = c R je opět lineární zobrazení R2 R2 s maticí cI2 = diag(c, c). Matice lineárního zobrazení XVI Příklad Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 = c R je opět lineární zobrazení R2 R2 s maticí cI2 = diag(c, c). Tento příklad můžeme evidentním způsobem zevšeobecnit na libovolnou dimenzi n. Matice lineárního zobrazení XVII Příklad Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Matice lineárního zobrazení XVII Příklad Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Matice lineárního zobrazení XVII Příklad Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve směru x s parametrem a K se používá transformační matice určená předpisem: Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve směru x s parametrem a K se používá transformační matice určená předpisem: ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 x y . Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve směru x s parametrem a K se používá transformační matice určená předpisem: ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 x y . Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x, y); y = s}, s K, o vektor ase1. Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve směru x s parametrem a K se používá transformační matice určená předpisem: ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 x y . Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x, y); y = s}, s K, o vektor ase1. Analogické lineární transformace fungují i ve vícerozměrných prostorech Kn. Prostory lineárních zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Prostory lineárních zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Uvažme vektorový prostor UV všech zobrazení f : V U s operacemi součtu a skalárního násobku definovanými po složkách. Prostory lineárních zobrazení I Necht' U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Uvažme vektorový prostor UV všech zobrazení f : V U s operacemi součtu a skalárního násobku definovanými po složkách. Pak pro množinu L(V, U) všech lineárních zobrazení : V U platí L(V, U) UV . Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Potom L(V, U) = Km×n , Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht' U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht' U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Potom L(V, U) = Km×n , tedy dimL(V, U) = mn. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi v prostoru U a v prostoru V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi v prostoru U a v prostoru V. Na matici (), se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí , . Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi v prostoru U a v prostoru V. Na matici (), se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí , . Lineární zobrazení : V K z vektorového prostoru V do tělesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi v prostoru U a v prostoru V. Na matici (), se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí , . Lineární zobrazení : V K z vektorového prostoru V do tělesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor L(V, K) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce duál vektorového prostoru V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi v prostoru U a v prostoru V. Na matici (), se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí , . Lineární zobrazení : V K z vektorového prostoru V do tělesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor L(V, K) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce duál vektorového prostoru V. Budeme používat označení L(V, K) = V. Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 K, Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 K, libovolná báze v konečně rozměrném prostoru V určuje lineární izomorfismus V V daný předpisem ()1,. Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 K, libovolná báze v konečně rozměrném prostoru V určuje lineární izomorfismus V V daný předpisem ()1,. Platí tedy Tvrzení Pro libovolný konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K platí V = V. Prostory lineárních zobrazení V Matice ()1, lineárního funkcionálu : V K je řádkový vektor z prostoru K1×n. Prostory lineárních zobrazení V Matice ()1, lineárního funkcionálu : V K je řádkový vektor z prostoru K1×n. Při volbě kanonické báze v sloupcovém prostoru Kn×1 můžeme řádkový prostor K1×n ztotožnit s duálem Kn×1 sloupcového prostoru Kn×1. Prostory lineárních zobrazení V Matice ()1, lineárního funkcionálu : V K je řádkový vektor z prostoru K1×n. Při volbě kanonické báze v sloupcovém prostoru Kn×1 můžeme řádkový prostor K1×n ztotožnit s duálem Kn×1 sloupcového prostoru Kn×1. Izomorfismus konečně rozměrného prostoru V a jeho duálu V závisí od výběru báze ve V. Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V můžeme definovat kanonické, Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V můžeme definovat kanonické, t. j. od výběru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V můžeme definovat kanonické, t. j. od výběru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V dané předpisem x x, kde Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V můžeme definovat kanonické, t. j. od výběru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V dané předpisem x x, kde x() = (x) pro x V, V. Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Potom (a) x x je injektivní lineární zobrazení V V; Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Potom (a) x x je injektivní lineární zobrazení V V; (b) pokud je V konečně rozměrný, pak x x je lineární izomorfismus V V. Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V. Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V. Konečně rozměrný vektorový prostor V můžeme přiřazením x x přirozeně ztotožnit s duálem prostoru V.