LINEÁRNÍ PODPROSTORY a LINEÁRNÍ
NEZÁVISLOST
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
2. října 2006
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se vrátíme ke studiu abstraktních vektorových
prostorů nad obecným tělesem. K tedy bude v celé kapitole
označovat nějaké pevné, jinak libovolné těleso a V bude pevně
zvolený vektorový prostor nad K.
Obsah přednášky
Lineární prostory
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Lineární obal v prostorech Km
Obsah přednášky
Lineární prostory
Lineární podprostory
Lineární obal množiny vektorů
Průnik a součet lineárních podprostorů
Lineární nezávislost
Lineární obal v prostorech Km
Lineárně nezávislé posloupnosti
Lineární podprostory I
Množina S  V se nazýva lineární (vektorový) podprostor
vektorového prostoru V , pokud S =  a pro všechny skaláry a  K
a vektory x, y  S platí ax  S a x + y  S.
Lineární podprostory II
Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S  V je lineární podprostor
právě tehdy, když je uzavřená na operace skalárního násobku a
součtu vektorů.
Lineární podprostory II
Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S  V je lineární podprostor
právě tehdy, když je uzavřená na operace skalárního násobku a
součtu vektorů.
Tvrzení
Nechť S je lineární podprostor vektorového prostoru V . Pak 0  S
a S s operacemi součtu vektorů a skalárního násobku zúženými z V
na S tvoří vektorový prostor nad (číselným) tělesem K.
Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory
(v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde
o dva různé podprostory) ­
Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory
(v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde
o dva různé podprostory) ­ {0} nazývame triviální nebo též
nulový a V nevlastní alebo též plný lineární podprostor.
Lineární podprostory III
V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory
(v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde
o dva různé podprostory) ­ {0} nazývame triviální nebo též
nulový a V nevlastní alebo též plný lineární podprostor.
Tedy pro vlastní netriviální lineární podprostor S  V platí
{0} = S = V .
Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory
jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0.
Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory
jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0.
To si můžeme graficky vyjádřit pomocí následujícího obrázku, který
samozřejmě ukáže pouze několik z nekonečně mnoha lineárních
podprostorů.
Lineární podprostory IV
Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory
jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0.
To si můžeme graficky vyjádřit pomocí následujícího obrázku, který
samozřejmě ukáže pouze několik z nekonečně mnoha lineárních
podprostorů.
Lineární podprostory jsou popsány pomocí minimálního počtu
generátorů.
Lineární podprostory V
8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
$$$$$$$$$$8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;

8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
 
 
8
><
>:
x
0
B
@
1
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A
9
>=
>;
e
e8
><
>:
y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;
r
rrr8
><
>:
y
0
B
@
2
1
0
1
C
A
9
>=
>;
  8
><
>:
y
0
B
@
1
1
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


rrr
rr
d
d8
><
>:
0
B
@
0
0
0
1
C
A
9
>=
>;
Lineární podprostory V
8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
$$$$$$$$$$8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;

8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
 
 
8
><
>:
x
0
B
@
1
1
0
1
C
A + z
0
B
@
0
0
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


8
><
>:
x
0
B
@
1
0
0
1
C
A
9
>=
>;
e
e8
><
>:
y
0
B
@
0
1
0
1
C
A
9
>=
>;
r
rrr8
><
>:
y
0
B
@
2
1
0
1
C
A
9
>=
>;
  8
><
>:
y
0
B
@
1
1
1
1
C
A
9
>=
>;
. . .


rrr
rr
d
d8
><
>:
0
B
@
0
0
0
1
C
A
9
>=
>;
Následující tvrzení charakterizuje lineární podprostory jako množiny
uzavřené na lineární kombinace.
Lineární podprostory VI
Tvrzení
Pro libovolnou podmnožinu S vektorového prostoru V jsou
následující podmínky ekvivalentní:
(i) S je lineární podprostor ve V ;
(ii) S =  a pro všechny skaláry a, b  K a vektory x, y  S platí
ax + by  S;
(iii) pro každé n  N a pro všechny skaláry a1, . . . , an  K a
vektory x1, . . . , xn  S platí
a1x1 + . . . + anxn  S.
Lineární podprostory VII
Příklad
(a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X  K takových, že
množina {x  X; f (x) = 0} je konečná.
Lineární podprostory VII
Příklad
(a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X  K takových, že
množina {x  X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární
kombinaci funkcí f , g  K(X) platí
{x  X; af (x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f (x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Lineární podprostory VII
Příklad
(a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X  K takových, že
množina {x  X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární
kombinaci funkcí f , g  K(X) platí
{x  X; af (x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f (x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Z toho vyplývá, že K(X) je lineární podprostor vektorového prostoru
KX .
Lineární podprostory VII
Příklad
(a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X  K takových, že
množina {x  X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární
kombinaci funkcí f , g  K(X) platí
{x  X; af (x) + bg(x) = 0} 
{x  X; f (x) = 0}  {x  X; g(x) = 0}.
Z toho vyplývá, že K(X) je lineární podprostor vektorového prostoru
KX .Je-li X je konečná, tak K(X) = KX , je-li X je nekonečná, tak
K(X) je netrivální vlastní podprostor v KX .
Lineární podprostory VIII
(b)Nechť X  R je libovolná množina reálných čísel. Potom
C(X, R), nebo jen stručně C(X) označuje množinu všech
spojitých funkcí f : X  R.
Lineární podprostory VIII
(b)Nechť X  R je libovolná množina reálných čísel. Potom
C(X, R), nebo jen stručně C(X) označuje množinu všech
spojitých funkcí f : X  R.
Protože lineární kombinace spojitých funkcií je zřejmě opět spojitá
funkce, C(X) je lineární podprostor v RX .
Lineární obal I
Množinu všech lineárních kombinací vektorů z podmnožiny X
vektorového prostoru V nazýváme lineárním obalem množiny X a
označujeme ji [X].
Lineární obal I
Množinu všech lineárních kombinací vektorů z podmnožiny X
vektorového prostoru V nazýváme lineárním obalem množiny X a
označujeme ji [X].
Tedy
[X] = { a1x1 + . . . + anxn; n  N
& a1, . . . , an  K & x1, . . . , xn  X}.
Lineární obal II
Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak místo [{x1, . . . , xn}]
píšeme jen [x1, . . . , xn].
Lineární obal II
Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak místo [{x1, . . . , xn}]
píšeme jen [x1, . . . , xn].
Zřejmě tento zápis má smysl i pro libovolou uspořádanou n-tici (ne
nutně různých) vektorů (x1, . . . , xn), a platí
[x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an  K}.
Lineární obal III
Tvrzení
Nechť X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineární
obal [X] množiny X je nejmenší lineární podprostor vektorového
prostoru V takový, že X  [X].
Lineární obal III
Tvrzení
Nechť X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineární
obal [X] množiny X je nejmenší lineární podprostor vektorového
prostoru V takový, že X  [X].
Dokázané tvrzení nás opravňuje nazývat lineární obal [X] množiny
X  V též lineárním podprostorem generovaným množinou X.
Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S,
případně, že X je generující množina nebo též množina
generátorů lineárního podprostoru S  V .
Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S,
případně, že X je generující množina nebo též množina
generátorů lineárního podprostoru S  V .
Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme o generující množině.
Používá se též název vytvářející či vytvořující množina.
Lineární obal IV
Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S,
případně, že X je generující množina nebo též množina
generátorů lineárního podprostoru S  V .
Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme o generující množině.
Používá se též název vytvářející či vytvořující množina.
Kvůli přehlednosti ještě shrneme základní vlastnosti operace
lineárního obalu X  [X].
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X];
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X];
(e) [[X]] = [X];
Lineární obal V
Tvrzení
Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v  V
platí:
(a) [] = [0] = {0}; (b) X  [X];
(c) X  Y  [X]  [Y ];
(d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X];
(e) [[X]] = [X];
(f) v  [X]  [X  {v}] = [X].
Součet I
Nechť X, Y jsou libovolné podmnožiny vektorového prostoru V .
Součet I
Nechť X, Y jsou libovolné podmnožiny vektorového prostoru V .
Potom množinu
X + Y = {x + y; x  X & y  Y }
nazýváme součtem množin X, Y .
Součet II
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Potom i S  T a S + T jsou lineární podprostory ve V . Navíc platí
S + T = [S  T],
t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V , který obsahuje S i
T.
Součet II
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Potom i S  T a S + T jsou lineární podprostory ve V . Navíc platí
S + T = [S  T],
t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V , který obsahuje S i
T.
Sjednocení dvou lineárních podprostorů S, T vektorového
prostoru V nemusí být lineárním podprostorem.
Součet III
Přesněji, S  T je lineární podprostor ve V právě tehdy, když
S  T nebo T  S.
Součet III
Přesněji, S  T je lineární podprostor ve V právě tehdy, když
S  T nebo T  S.
Součet lineárních podprostorů S, T vektorového prostoru V
nazýváme přímý nebo též direktní součet, pokud S  T = {0};
píšeme pak S  T.
Součet IV
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Následující podmínky jsou ekvivalentní:
Součet IV
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) S  T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní;
Součet IV
Tvrzení
Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V .
Následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) S  T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní;
(ii) každý vektor z  S + T má jednoznačné vyjádření ve tvaru
z = x + y, kde x  S, y  T.
Závislost I
Nechť u1, . . . , un  V .
Závislost I
Nechť u1, . . . , un  V .
Říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně
závislá, pokud existují skaláry c1, . . . , cn  K tak, že
(c1, . . . , cn) = 0 a c1u1 + . . . + cnun = 0.
Závislost I
Nechť u1, . . . , un  V .
Říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně
závislá, pokud existují skaláry c1, . . . , cn  K tak, že
(c1, . . . , cn) = 0 a c1u1 + . . . + cnun = 0.
V opačném případě říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů
(u1, . . . , un) je lineárně nezávislá.
Závislost II
Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že uspořádanou 0-tici (t. j.
prázdnou posloupnost) vektorů považujeme za lineárně
nezávislou.
Závislost II
Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že uspořádanou 0-tici (t. j.
prázdnou posloupnost) vektorů považujeme za lineárně
nezávislou.
Místo o "lineárně (ne)závislé uspořádané n-tici vektorů
(u1, . . . , un)" budeme často mluvit jen o lineárně (ne)závislých
vektorech u1, . . . , un.
Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně
nezávislé právě tehdy, když
Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně
nezávislé právě tehdy, když
( c1, . . . , cn  K)
(c1u1 + . . . + cnun = 0  c1 = . . . = cn = 0).
Závislost III
Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně
nezávislé právě tehdy, když
( c1, . . . , cn  K)
(c1u1 + . . . + cnun = 0  c1 = . . . = cn = 0).
Pro n-tici skalárů (c1, . . . , cn) = 0 platí
c1u1 + . . . + cnun = 0
pro libovolnou n-tici vektorů (u1, . . . , un), bez ohledu na to, zda
je lineárně závislá nebo nezávislá.
Závislost IV
Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme jako výsledek
lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné
n-tice skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) ­ takovéto
uspořádané n-tice (u1, . . . , un) nazýváme lineárně závislé.
Závislost IV
Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme jako výsledek
lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné
n-tice skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) ­ takovéto
uspořádané n-tice (u1, . . . , un) nazýváme lineárně závislé.
Pro některé uspořádané n-tice vektorů (u1, . . . , un) je volba
(c1, . . . , cn) = 0 jediná možnost jak pomocí lineární kombinace
c1u1 + . . . + cnun získáme výsledek 0 ­ takovéto n-tice nazýváme
lineárně nezávislé.
Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0;
Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden
z nich je násobkem druhého;
Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden
z nich je násobkem druhého;
(c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak jsou tyto
vektory lineárně závislé;
Závislost V
Platí čtyři jednoduchá pozorování:
(a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0;
(b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden
z nich je násobkem druhého;
(c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak jsou tyto
vektory lineárně závislé;
(d) pokud se některé dva z vektorů u1, . . . , un rovnají, pak jsou
tyto vektory lineárně závislé.
Závislost VI
Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice nenulových a navzájem
různých vektorů, z kterých žádný není násobkem druhého, může
(ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá.
Závislost VI
Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice nenulových a navzájem
různých vektorů, z kterých žádný není násobkem druhého, může
(ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá.
Následující tabulka shrnuje vztah lineární závislosti vzhledem k
relaci inkluze.
S1  S S1  S
S nezávislá S1 bude nezávislá S1 může být oboje
S závislá S1 může být oboje S1 bude závislá
Závislost VII
Tvrzení
Pre libovolné n  N a u1, . . . , un  V jsou následující podmínky
ekvivalentní:
(i) vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé;
(ii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinací
předcházejících;
(ii') některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinací
nasledujících;
(iii) některý z vektorů uk, k  n, je lineární kombinace ostatních.
Závislost VIII
Každý vektor x z lineárního obalu [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit
ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun
pro nějakou n-tici skalárů (c1, . . . , cn).
Tvrzení
Vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když každý
vektor x  [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit ve tvaru
x = c1u1 + . . . + cnun pro jedinou uspořádanou n-tici
(c1, . . . , cn)  Kn.
Závislost IX
Nasledující tvrzení dává do souvislosti lineární (ne)závislost
s lineárním obalom.
Tvrzení
Nechť u1, . . . , un, v  V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou lineárně
nezávislé. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) v  [u1, . . . , un];
(ii) vektory u1, . . . , un, v jsou lineárně závislé;
(iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un].
Závislost X
Věta
Nechť u1, . . . , un, v1, . . . , vm  V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou
lineárně nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} můžeme vybrat
indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik
jsou
lineárně nezávislé a generují stejný podprostor jako vektory
u1, . . . , un, v1, . . . , vm.
Lineární obal v Km
I
Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO na (redukovaný)
stupňovitý tvar na řešení následujících tří otázek:
Lineární obal v Km
I
Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO na (redukovaný)
stupňovitý tvar na řešení následujících tří otázek:
(1) rozhodnout pre dané vektory x1, . . . , xn, y  Km zda y patří
nebo nepatří do lineárního obalu [x1, . . . , xn];
Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km zda jsou
lineárně závislé nebo nezávislé;
Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km zda jsou
lineárně závislé nebo nezávislé;
(3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn  Km lineárně nezávislé vektory
xj1 , . . . , xjk
(j1 < . . . < jk) tak, aby vektory xj1 , . . . , xjk
generovaly ve V stejný lineární podprostor jako vektory
x1, . . . , xn.
Lineární obal v Km
II
(2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn  Km zda jsou
lineárně závislé nebo nezávislé;
(3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn  Km lineárně nezávislé vektory
xj1 , . . . , xjk
(j1 < . . . < jk) tak, aby vektory xj1 , . . . , xjk
generovaly ve V stejný lineární podprostor jako vektory
x1, . . . , xn.
Zavedeme dále označení, kterého sa budeme držet v celém odstavci.
Lineární obal v Km
III
Nechť x1, . . . , xn, y  Km jsou sloupcové vektory, přičemž
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
Lineární obal v Km
III
Nechť x1, . . . , xn, y  Km jsou sloupcové vektory, přičemž
xj =



x1j
...
xmj


 , y =



y1
...
ym


 .
Označme X = (xij )  Km×n matici se sloupci x1, . . . , xn, a
(X | y)  Km×(n+1) blokovou matici složenou z matice X a vektoru
y.
Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T  Kn platí:
Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T  Kn platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T  Kn platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0  X  c = 0.
Lineární obal v Km
IV
Potom pro c = (c1, . . . , cn)T  Kn platí:
(1) c1x1 + . . . + cnxn = y  X  c = y;
(2) c1x1 + . . . + cnxn = 0  X  c = 0.
Jinak řečeno:
(1) y  [x1, . . . , xn] právě tehdy, když soustava X  c = y
s rozšírenou maticí (X | y) má alespoň jedno řešení;
Lineární obal v Km
V
(2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když
homogenní soustava X  c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud
tato soustava má i nějaké nenulové řešení, tak vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Lineární obal v Km
V
(2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když
homogenní soustava X  c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud
tato soustava má i nějaké nenulové řešení, tak vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Otázku (1) umíme řešit. Stačí pomocí ERO upravit matici (X | y)
na stupňovitý tvar. Pokud výsledná matice obsahuje řádek tvaru
(0, . . . , 0 | z), kde z = 0, tak soustava X  c = y nemá řešení a
y / [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit
matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží
vedoucí prvek nějakého řádku.
Lineární obal v Km
VI
Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava
má alespoň jedno řešení a y  [x1, . . . , xn].
Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit
matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží
vedoucí prvek nějakého řádku.
Pokud tento případ nastane, nemáme možnost zvolit parametry, c =
0 je jediným řešením soustavy X  c = 0 a vektory x1, . . . , xn jsou
lineárně nezávislé.
Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho
parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho
parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je právě
v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z.
Lineární obal v Km
VII
V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho
parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory
x1, . . . , xn jsou lineárně závislé.
Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je právě
v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z.
Tedy matice v stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní
s (X | y) neobsahuje takový řádek právě tehdy, když v jejím
posledním sloupci neleží vedoucí prvek žádného řádku.
Lineární obal v Km
VIII
Příklad
Uvažme sloupcové vektory x1 = (1, 1, -1, -1)T , x2 = (0, 1, 0, 1)T ,
x3 = (3, 1, -3, -5)T , x4 = (0, 0, 1, 2)T , y = (3, 5, -2, 1)T ,
z = (1, 1, 1, 1)T v prostoru R4.
Máme rozhodnout, zda vektory y, z leží v lineárním obalu
[x1, x2, x3, x4].
Lineární obal v Km
IX
Označme si následující matice
(X | y) =




1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
3
5
-2
1



 ,
Lineární obal v Km
IX
Označme si následující matice
(X | y) =




1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
3
5
-2
1



 ,
(X | z) =




1 0 3 0
1 1 1 0
-1 0 -3 1
-1 1 -5 2
1
1
1
1



 .
Lineární obal v Km
X
Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní s maticemi




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0



 resp.




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
-2



 .
Lineární obal v Km
X
Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní s maticemi




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
2
1
0



 resp.




1 0 3 0
0 1 -2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1
0
2
-2



 .
Okamžitě vidíme, že platí y  [x1, x2, x3, x4]
a z / [x1, x2, x3, x4].
Lineární obal v Km
XI
Příklad
Zjistíme, zda sloupce reálné matice
X =




2 0 1 3
2 1 2 3
0 2 3 1
1 2 4 2




jsou lineárně závislé nebo nezávislé.
Lineární obal v Km
XII
Tato matice je řádkově ekvivalentní s maticí




1 2 4 2
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 2



 .
Vidíme, že slouce matice X jsou lineárně nezávislé.
Lineární obal v Km
XIII
Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5 je řádkově
ekvivalentní s maticí




1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0



 .
Lineární obal v Km
XIII
Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5 je řádkově
ekvivalentní s maticí




1 2 4 2
0 1 3 4
0 0 2 3
0 0 0 0



 .
Tedy sloupce matice X, chápané jakožto vektory z vektorového
prostoru Z4
5, jsou lineárně závislé.
Lineární obal v Km
XIV
Tvrzení
Nechť X, Y  Km×n jsou řádkově ekvivalentní matice, přičemž
matice Y je ve stupňovitém tvaru. Pro 1  j  n označme
xj = sj (X) j-tý sloupec matice X. Nechť j1 < . . . < jk jsou indexy
všech sloupců matice Y, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom platí:
Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1 , . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1 , . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
(b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží vedoucí prvek žádného
jejího řádku (t. j. 1  j  n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je
lineární kombinací vektorů xj1 , . . . , xjl
, kde l  k je největší
index, pro který platí jl < j;
Lineární obal v Km
XV
(a) vektory xj1 , . . . , xjk
jsou lineárně nezávislé;
(b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží vedoucí prvek žádného
jejího řádku (t. j. 1  j  n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je
lineární kombinací vektorů xj1 , . . . , xjl
, kde l  k je největší
index, pro který platí jl < j;
(c) [xj1 , . . . , xjk
] = [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
XVI
Výše uvedené tvrzení nám dáva přímý návod na řešení otázky (3).
Stačí pomocí ERO upravit matici X = (x1, . . . , xn) na matici Y
v stupňovitém tvaru a zjistit v ní indexy j1 < . . . < jk všech
sloupců, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků.
Potom xj1 , . . . , xjk
jsou hledané lineární nezávislé vektory, které
generují lineární podprostor [x1, . . . , xn].
Lineární obal v Km
XVII
Příklad
Ze sloupců reálné matice
X =




1 1 3 -1 1
2 0 2 1 3
1 1 3 2 4
2 0 2 0 2




je třeba vybrat lineární nezávislé sloupce, které generují lineární obal
všech sloupců matice X.
Lineární obal v Km
XVIII
Matice X je řádkově ekvivalentní s maticí
Y =




1 1 3 -1 1
0 1 2 2 -3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0




ve stupňovitém tvaru. Vedoucí prvky řádků matice Y se nachází
ve sloupcích 1, 2 a 4.
Lineární obal v Km
XIX
Hledané vektory jsou tedy sloupce 1, 2 a 4 matice X. Zapsané vedle
sebe pak tvoří matici




1 1 -1
2 0 1
1 1 2
2 0 0



 .
Lineární obal v Km
XX
Poznámka. Výše uvedený postup řešení otázek (1), (2) a (3) pro
prostory sloupcových vektorů Km lze modifikovat na prostory
řádkových vektorů Km ­ např. transponováním příslušných matic
řádkových vektorů nebo nahrazením elementárních řádkových
operací sloupcovými.
Lineárně nezávislé posloupnosti I
Nekonečnou posloupnost (uk)
k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . )
vektorů z prostoru V nazýváme lineárně nezávislou, pokud každá
její konečná podposloupnost (uk1
, . . . , ukn ), kde 0  k1 < . . . < kn,
je lineárně nezávislá.
Lineárně nezávislé posloupnosti II
Tvrzení
Nekonečná posloupnost (uk)
k=0 vektorů z V je lineárně nezávislá
právě tehdy, když pro každé n  N je její počáteční úsek
(u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý.
Lineárně nezávislé posloupnosti II
Tvrzení
Nekonečná posloupnost (uk)
k=0 vektorů z V je lineárně nezávislá
právě tehdy, když pro každé n  N je její počáteční úsek
(u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý.
Například posloupnost (1, x, x2, . . . , xk, . . . ) všech mocnin x je
lineárně nezávislá posloupnost ve vektorovém prostoru K[x] všech
polynomů v proměnné x nad tělesem K.
Polynom f (x) = a0 +a1x +. . .+anxn je (definitoricky) nulový právě
tehdy, když a0 = a1 = . . . = an = 0.
Lineárně nezávislé posloupnosti III
Množina X  V sa nazývá lineárně nezávislá, pokud pro
libovolné n  N každá uspořádaná n-tice navzájem různých
vektorů (u1, . . . , un) z množiny X je lineárně nezávislá.
Lineárně nezávislé posloupnosti III
Množina X  V sa nazývá lineárně nezávislá, pokud pro
libovolné n  N každá uspořádaná n-tice navzájem různých
vektorů (u1, . . . , un) z množiny X je lineárně nezávislá.
Kdyby totiž u1, . . . , un nebyly navzájem různé vektory, nemohly by
být lineárně nezávislé.
Lineární závislost či nezávislost uspořádané n-tice vektorů nezávisí
na jejich pořadí.
Lineárně nezávislé posloupnosti IV
Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá právě
tehdy, když je lineárně nezávislá uspořádaná n-tice
(u(1), . . . , u(n)), kde  je libovolná permutace množiny
{1, . . . , n}.
Lineárně nezávislé posloupnosti IV
Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá právě
tehdy, když je lineárně nezávislá uspořádaná n-tice
(u(1), . . . , u(n)), kde  je libovolná permutace množiny
{1, . . . , n}.
Tedy, lineární (ne)závislost uspořádané n-tice (u1, . . . , un) navzájem
různých vektorů je vlastností množiny {u1, . . . , un}.
Lineárně nezávislé posloupnosti V
Tvrzení
Uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) navzájem různých vektorů z V je
lineárně nezávislá právě tehdy, když množina {u1, . . . , un}  V je
lineárně nezávislá.
Lineárně nezávislé posloupnosti VI
Tvrzení
Nechť X  V je lineárně nezávislá množina a v  V . Potom
následující podmínky jsou ekvivalentní:
(i) v  [X];
(ii) množina X  {v} je lineárně závislá;
(iii) [X  {v}] = [X].