11. EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 22. prosince 2006 Abstrakt přednášky V této kapitole se pokusíme o naplnění lineární algebry geometrickým obsahem ve vektorových prostorech nad číselným tělesem R. Abstrakt přednášky V této kapitole se pokusíme o naplnění lineární algebry geometrickým obsahem ve vektorových prostorech nad číselným tělesem R. Při našich dosavadních úvahách o vektorových prostorech jsme pomocí operací sčítání vektorů a násobení čísla s vektorem vyšetřovali pojmy jako byla lineární závislost a nezávislost vektorů, generovatelnost, souřadnice vektoru, atd. Abstrakt přednášky V této kapitole se pokusíme o naplnění lineární algebry geometrickým obsahem ve vektorových prostorech nad číselným tělesem R. Při našich dosavadních úvahách o vektorových prostorech jsme pomocí operací sčítání vektorů a násobení čísla s vektorem vyšetřovali pojmy jako byla lineární závislost a nezávislost vektorů, generovatelnost, souřadnice vektoru, atd. Prozatím jsme však neměli možnost ve vektorových prostorech "měřit", tzn. zjišt'ovat a porovnávat délky vektorů, resp. odchylky (tj. velikosti úhlů), což jsou pojmy, které hrají podstatnou roli např. v geometrii. Abstrakt přednášky V této kapitole se pokusíme o naplnění lineární algebry geometrickým obsahem ve vektorových prostorech nad číselným tělesem R. Při našich dosavadních úvahách o vektorových prostorech jsme pomocí operací sčítání vektorů a násobení čísla s vektorem vyšetřovali pojmy jako byla lineární závislost a nezávislost vektorů, generovatelnost, souřadnice vektoru, atd. Prozatím jsme však neměli možnost ve vektorových prostorech "měřit", tzn. zjišt'ovat a porovnávat délky vektorů, resp. odchylky (tj. velikosti úhlů), což jsou pojmy, které hrají podstatnou roli např. v geometrii. Ukazuje se, že celou základní geometrickou strukturu, včetně délek a úhlů, můžeme odvodit z pojmu skalárního součinu. Skalární součin I Skalární součin Skalární nebo též vnitřním součinem na reálném vektorovém prostoru V rozumíme binární operaci V × V R, která každé dvojici (x, y) vektorů z V přiřadí reálné číslo x, y , takové, že pro všechny x, y, x1, x2 V a libovolné c R platí: x1 + x2, y = x1, y + x2, y (aditivita), cx, y = c x, y (homogenita), x, y = y, x (symetrie), x = 0 x, x > 0 (kladná definitnost). Skalární součin II Spojení aditivity a homogenity skalárního součinu nám dává jeho linearitu jako funkci první proměnné (při pevné druhé proměnné). Skalární součin II Spojení aditivity a homogenity skalárního součinu nám dává jeho linearitu jako funkci první proměnné (při pevné druhé proměnné). Ze symetrie plyne i linearita skalárního součinu jako funkce druhé proměnné (při pevné první proměnné), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy =c x, y , pro všechna x, y1, y2 V a c R. Skalární součin II Spojení aditivity a homogenity skalárního součinu nám dává jeho linearitu jako funkci první proměnné (při pevné druhé proměnné). Ze symetrie plyne i linearita skalárního součinu jako funkce druhé proměnné (při pevné první proměnné), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy =c x, y , pro všechna x, y1, y2 V a c R. Z (bi)linearity plyne podmínka kladné definitnosti x, x 0 & x, x = 0 x = 0 pro každé x V. Skalární součin III První část této podmínky nám umožňuje definovat normu neboli délku vektoru x rovností x = x, x . Skalární součin III První část této podmínky nám umožňuje definovat normu neboli délku vektoru x rovností x = x, x . Euklidovským prostorem nazýváme libovolný konečně rozměrný reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Skalární součin IV Příklad Ze střední školy v rámci analytické geometrie, případně v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovině R2 a se skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Skalární součin IV Příklad Ze střední školy v rámci analytické geometrie, případně v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovině R2 a se skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se můžeme přesvědčit, že stejný vzoreček funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je předpisem x, y = xT y = n i=1 xiyi Skalární součin IV Příklad Ze střední školy v rámci analytické geometrie, případně v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovině R2 a se skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se můžeme přesvědčit, že stejný vzoreček funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je předpisem x, y = xT y = n i=1 xiyi definovaný skalární součin na sloupcovém vektorovém prostoru Rn. Skalární součin IV Příklad Ze střední školy v rámci analytické geometrie, případně v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovině R2 a se skalárním součinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se můžeme přesvědčit, že stejný vzoreček funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je předpisem x, y = xT y = n i=1 xiyi definovaný skalární součin na sloupcovém vektorovém prostoru Rn. V případě řádkového prostoru Rn máme x, y = x yT = n i=1 xiyi Skalární součin V Takovýto skalární součin budeme nazývat standardní skalární součin na Rn. Skalární součin V Takovýto skalární součin budeme nazývat standardní skalární součin na Rn. Standardní skalární součin vektorů x, y Rn (at' už jde o řádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle značí x y. Skalární součin V Takovýto skalární součin budeme nazývat standardní skalární součin na Rn. Standardní skalární součin vektorů x, y Rn (at' už jde o řádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle značí x y. Délka vektoru x vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu je x = x x = n i=1 x2 i 1/2 . Skalární součin V Takovýto skalární součin budeme nazývat standardní skalární součin na Rn. Standardní skalární součin vektorů x, y Rn (at' už jde o řádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle značí x y. Délka vektoru x vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu je x = x x = n i=1 x2 i 1/2 . V rámci analytické geometrie se pro nenulové vektory x, y dokazuje známý vztah x y = x y cos , který spojuje standardní skalární součin v R2 či v R3 s délkou příslušných vektorů a jimi sevřeným úhlem . Skalární součin VI Příklad Položíme-li u, v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2, pak jsou opět splněny axiomy skalárního součinu, tzn. R2 s tímto skalárním součinem je euklidovským prostorem. Skalární součin VI Příklad Položíme-li u, v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2, pak jsou opět splněny axiomy skalárního součinu, tzn. R2 s tímto skalárním součinem je euklidovským prostorem. Srovnáme-li výše uvedený skalární součin se standardním skalárním součinem, je vidět, že i když se v obou případech jedná o tentýž vektorový prostor R2, jsou definované skalární součiny různé, a tedy různé jsou pak i pomocí nich získané euklidovské prostory. Skalární součin VII Každý podprostor vektorového prostoru V nad T je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li specielně V euklidovským prostorem, tzn. je reálný s definovaným skalárním součinem, pak zřejmě axiomy skalárního součinu budou jistě splněny i v jeho libovolném (vektorovém) podprostoru. Skalární součin VII Každý podprostor vektorového prostoru V nad T je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li specielně V euklidovským prostorem, tzn. je reálný s definovaným skalárním součinem, pak zřejmě axiomy skalárního součinu budou jistě splněny i v jeho libovolném (vektorovém) podprostoru. To znamená, že každý (vektorový) podprostor euklidovského prostoru V je sám euklidovským prostorem. Budeme jej stručně nazývat podprostor euklidovského prostoru. Skalární součin VIII Příklad Necht' V = Rn[x] a necht' f = f(x), g = g(x) Rn[x] jsou libovolné vektory ­ polynomy. Položíme-li f, g = 1 0 f(x) g(x) dx, pak rozepsáním (užitím základních vět o integrování známých z analýzy) se ověří platnost axiomů skalárního součinu. Skalární součin VIII Příklad Necht' V = Rn[x] a necht' f = f(x), g = g(x) Rn[x] jsou libovolné vektory ­ polynomy. Položíme-li f, g = 1 0 f(x) g(x) dx, pak rozepsáním (užitím základních vět o integrování známých z analýzy) se ověří platnost axiomů skalárního součinu. Tedy Rn[x] s tímto skalárním součinem je euklidovský prostor. Skalární součin IX Věta V každém reálném vektorovém prostoru V lze definovat skalární součin. Skalární součin IX Věta V každém reálném vektorovém prostoru V lze definovat skalární součin. Můžeme tedy prohlásit, že z každého reálného vektorového prostoru lze utvořit euklidovský prostor, obecně však nikoliv jediným způsobem. Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r v = r u, v , Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r v = r u, v , 3. m i=1 pi ui , n j=1 rj vj = m i=1 n j=1 pirj ui, vj , Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r v = r u, v , 3. m i=1 pi ui , n j=1 rj vj = m i=1 n j=1 pirj ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r v = r u, v , 3. m i=1 pi ui , n j=1 rj vj = m i=1 n j=1 pirj ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, 5. u, u = 0 u = 0 Skalární součin IX Věta Necht' V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r v = r u, v , 3. m i=1 pi ui , n j=1 rj vj = m i=1 n j=1 pirj ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, 5. u, u = 0 u = 0 pro u, v, w, ui, vj V, r, pi, rj R libovolná. Skalární součin X Definice Necht' V je euklidovský prostor, u V. Pak nezáporné reálné číslo: u = u, u se nazývá délka nebo též velikost či norma vektoru u. Skalární součin X Definice Necht' V je euklidovský prostor, u V. Pak nezáporné reálné číslo: u = u, u se nazývá délka nebo též velikost či norma vektoru u. Je-li u = 1, pak říkáme, že vektor u je normovaný. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost I Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost Necht' = (u1, . . . , uk ) je libovolná uspořádaná k-tice vektorů ve vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Téměř všechny podstatné informace o těchto vektorech jsou ukryté v tzv. Gramově matici G() = G(u1, . . . , uk ) = ui, uj k×k vektorů u1, . . . , uk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost II Determinant Gramovy matice det G() = |G(u1, . . . , uk )| = u1, u1 . . . u1, uk ... ... ... uk , u1 . . . uk , uk se nazývá Gramovým determinantem vektorů u1, . . . , uk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. III Tvrzení Necht' u1, . . . , uk jsou libovolné vektory ve vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Potom (a) G(u1, . . . , uk ) je symetrická matice tak, že c G cT 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk ; Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. III Tvrzení Necht' u1, . . . , uk jsou libovolné vektory ve vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Potom (a) G(u1, . . . , uk ) je symetrická matice tak, že c G cT 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk ; (b) vektory u1, . . . , uk jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když G(u1, . . . , uk ) je c G cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV Důkaz. Označme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je přímým důsledkem symetrie skalárního součinu. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV Důkaz. Označme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je přímým důsledkem symetrie skalárního součinu. Zbývá dokázat, že pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk platí c G cT 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Potom z bilinearity a kladné definitnosti skalárního součinu vyplývá c G cT = k i=1 k j=1 cicj ui, uj Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV Důkaz. Označme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je přímým důsledkem symetrie skalárního součinu. Zbývá dokázat, že pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk platí c G cT 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Potom z bilinearity a kladné definitnosti skalárního součinu vyplývá c G cT = k i=1 k j=1 cicj ui, uj = k i=1 ciui, k j=1 cjuj = v, v 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht' u1, . . . , uk jsou lineárně nezávislé a předpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk tak, že c G cT = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht' u1, . . . , uk jsou lineárně nezávislé a předpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk tak, že c G cT = 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Pak k i=1 k j=1 cicj ui, uj = v, v = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht' u1, . . . , uk jsou lineárně nezávislé a předpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk tak, že c G cT = 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Pak k i=1 k j=1 cicj ui, uj = v, v = 0. Protože -, - je skalární součin, je nutně v = 0 tj. z lineární nezávislosti vektorů u1, . . . , uk máme, že c = (c1, . . . , ck ) = 0. Spor. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht' G(u1, . . . , uk ) je c G cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht' G(u1, . . . , uk ) je c G cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk . Jsou-li u1, . . . , uk lineárně závislé, tak v Rn existuje vektor c = (c1, . . . , ck ) = 0 takový, že v = c1u1 + . . . + ck uk = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht' G(u1, . . . , uk ) je c G cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk . Jsou-li u1, . . . , uk lineárně závislé, tak v Rn existuje vektor c = (c1, . . . , ck ) = 0 takový, že v = c1u1 + . . . + ck uk = 0. Potom podle (a) c G cT = v, v = 0, 0 = 0, spor. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII Důsledek Pro libovolné u1, . . . , uk V platí |G(u1, . . . , uk )| 0. Přitom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právě tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII Důsledek Pro libovolné u1, . . . , uk V platí |G(u1, . . . , uk )| 0. Přitom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právě tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé. Důkaz. Každá symetrická matice lze zapsat ve tvaru PT D P, kde P je regulární matice a D je diagonální matice. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII Důsledek Pro libovolné u1, . . . , uk V platí |G(u1, . . . , uk )| 0. Přitom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právě tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé. Důkaz. Každá symetrická matice lze zapsat ve tvaru PT D P, kde P je regulární matice a D je diagonální matice. Protože c G cT 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) Rk , má matice D na diagonále nezáporné prvky. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně závislé, jsou nutně i lineárně závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně závislé, jsou nutně i lineárně závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obráceně, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutně lineárně závislé sloupce Gramovy matice. Necht' například i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně závislé, jsou nutně i lineárně závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obráceně, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutně lineárně závislé sloupce Gramovy matice. Necht' například i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G()) = j=i cjsj(G()) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = -1. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně závislé, jsou nutně i lineárně závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obráceně, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutně lineárně závislé sloupce Gramovy matice. Necht' například i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G()) = j=i cjsj(G()) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = -1. Odtud 0 = j cjsj(G()) = (s1(G()), . . . , sk (G())) (c1, . . . , ck )T . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně závislé, jsou nutně i lineárně závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obráceně, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutně lineárně závislé sloupce Gramovy matice. Necht' například i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G()) = j=i cjsj(G()) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = -1. Odtud 0 = j cjsj(G()) = (s1(G()), . . . , sk (G())) (c1, . . . , ck )T . Celkem 0 = (c1, . . . , ck ) (s1(G()), . . . , sk (G())) (c1, . . . , ck )T , tj. vektory u1, . . . , uk jsou lineárně závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálně pro libovolné dva vektory u, v V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálně pro libovolné dva vektory u, v V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v - u, v v, u Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálně pro libovolné dva vektory u, v V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v - u, v v, u = u 2 v 2 - u, v 2 0, Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálně pro libovolné dva vektory u, v V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v - u, v v, u = u 2 v 2 - u, v 2 0, přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory u, v jsou lineárně závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. X Tím je dokázaná tzv. Cauchyho-Schwarzova nerovnost: Tvrzení Pro libovolné vektory u, v V v prostoru V se skalárním součinem platí | u, v | u v , přičemž rovnost nastane právě tehdy, když vektory u, v jsou lineárně závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. XI Cauchyho-Schwarzovu nerovnost často zapisujeme v ekvivalentním tvaru: ( u, v )2 u 2 v 2 . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. XI Cauchyho-Schwarzovu nerovnost často zapisujeme v ekvivalentním tvaru: ( u, v )2 u 2 v 2 . Poznamenejme ještě, že pro tuto nerovnost se v literatuře používá též pojmenování "Cauchyho nerovnost", resp. "Cauchyho-Bunjakovského nerovnost", event. "Schwarzova nerovnost". Délka vektoru a úhel dvou vektorů I Délka vektoru a úhel dvou vektorů Normou na reálném vektorovém prostoru V rozumíme libovolné zobrazení - : V R, které vektoru x V přiřadí reálné číslo x , nazývané normou nebo též délkou vektoru x, takové, že pro všechny x, y V a libovolné c R platí x + y x + y (trojúhelníková nerovnost), cx = |c| x (pozitivní homogenita), x = 0 x = 0 (oddělitelnost). Délka vektoru a úhel dvou vektorů II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x 0 pro každé x V. Délka vektoru a úhel dvou vektorů II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x 0 pro každé x V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a -x = x , Délka vektoru a úhel dvou vektorů II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x 0 pro každé x V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a -x = x , s použitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme x = 1 2 x + -x 1 2 x - x = 1 2 0 = 0. Délka vektoru a úhel dvou vektorů II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x 0 pro každé x V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a -x = x , s použitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme x = 1 2 x + -x 1 2 x - x = 1 2 0 = 0. Z oddělitelnosti máme x > 0 pro každé 0 = x V. Délka vektoru a úhel dvou vektorů III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Délka vektoru a úhel dvou vektorů III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivně sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém můžeme měřit délky vektorů. Délka vektoru a úhel dvou vektorů III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivně sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém můžeme měřit délky vektorů. Tři definující podmínky pro normu zaručují, že takovéto měření délek, t. j. přiřazení x x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek očekáváme. Délka vektoru a úhel dvou vektorů III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivně sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém můžeme měřit délky vektorů. Tři definující podmínky pro normu zaručují, že takovéto měření délek, t. j. přiřazení x x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek očekáváme. Vzdáleností bodů x, y ve vektorovém prostoru V s normou nazýváme délku vektoru x - y, t. j. číslo x - y . Délka vektoru a úhel dvou vektorů III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivně sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém můžeme měřit délky vektorů. Tři definující podmínky pro normu zaručují, že takovéto měření délek, t. j. přiřazení x x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek očekáváme. Vzdáleností bodů x, y ve vektorovém prostoru V s normou nazýváme délku vektoru x - y, t. j. číslo x - y . Pomocí vzdálenosti bodů můžeme trojúhelníkovou nerovnost vyjádřit jiným, ekvivalentním způsobem: x - y + y - z x - z pre všechny x, y, z V. Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V. Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = x + y 2 . Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Tvrzení Necht' V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Důkaz. Zvolme x, y V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního součinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = x + y 2 . To dokazuje trojúhelníkovou nerovnost. Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním součinem platí -1 x, y x y 1. Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním součinem platí -1 x, y x y 1. Proto existuje jediné reálné číslo takové, že 0 a cos = x, y x y . Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním součinem platí -1 x, y x y 1. Proto existuje jediné reálné číslo takové, že 0 a cos = x, y x y . Číslo nazýváme úhlem nebo též odchylkou vektorů x, y a značíme ho = (x, y). Délka vektoru a úhel dvou vektorů IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním součinem platí -1 x, y x y 1. Proto existuje jediné reálné číslo takové, že 0 a cos = x, y x y . Číslo nazýváme úhlem nebo též odchylkou vektorů x, y a značíme ho = (x, y). Ze symetrie skalárního součinu vyplývá (x, y) = (y, x), to znamená, že se jedná o neorientovaný úhel. Délka vektoru a úhel dvou vektorů V Při této definici úhlu dvou nenulových vektorů zůstáva vztah x, y = x y cos (x, y), platný pro standardní skalární součin v R2 a R3 , zachovaný v libovolném prostoru se skalárním součinem. Délka vektoru a úhel dvou vektorů V Při této definici úhlu dvou nenulových vektorů zůstáva vztah x, y = x y cos (x, y), platný pro standardní skalární součin v R2 a R3 , zachovaný v libovolném prostoru se skalárním součinem. Říkáme, že vektory x, y V jsou (navzájem) kolmé nebo též ortogonální, píšeme x y, pokud x, y = 0. Délka vektoru a úhel dvou vektorů VI Tvrzení Necht' V je vektorový prostor se skalárním součinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y V platí: Délka vektoru a úhel dvou vektorů VI Tvrzení Necht' V je vektorový prostor se skalárním součinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y V platí: (a) (kosinová věta) x + y 2= x 2 + y 2 + 2 x y cos (x, y), x - y 2= x 2 + y 2 - 2 x y cos (x, y); Délka vektoru a úhel dvou vektorů VI Tvrzení Necht' V je vektorový prostor se skalárním součinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y V platí: (a) (kosinová věta) x + y 2= x 2 + y 2 + 2 x y cos (x, y), x - y 2= x 2 + y 2 - 2 x y cos (x, y); (b) (Pythagorova věta) x y x + y 2= x - y 2 = x 2 + y 2; Délka vektoru a úhel dvou vektorů VII (c) (pravidlo rovnoběžníka) x + y 2 + x - y 2 = 2 x 2 + y 2 ; Délka vektoru a úhel dvou vektorů VII (c) (pravidlo rovnoběžníka) x + y 2 + x - y 2 = 2 x 2 + y 2 ; (d) (úhlopříčky kosoštvorce jsou na sebe kolmé) x = y x + y x - y. Ortogonální podprostory I Ortogonálnost Definice Necht' V je euklidovský prostor a necht': u1, . . . , uk (1) je konečná posloupnost vektorů z V. Řekneme, že: posloupnost (1) je ortogonální (nebo stručně, že vektory u1, . . . , uk jsou ortogonální), jestliže je: ui, uj = 0 pro každé i, j = 1, . . . , k i = j, Ortogonální podprostory II posloupnost (1) je ortonormální (nebo stručně, že vektory u1, . . . , uk jsou ortonormální), je-li ortogonální a každý její vektor je normovaný, Ortogonální podprostory II posloupnost (1) je ortonormální (nebo stručně, že vektory u1, . . . , uk jsou ortonormální), je-li ortogonální a každý její vektor je normovaný, posloupnost 1 je ortogonální báze (resp. ortonormální báze) euklidovského prostoru V, jestliže je ortogonální (resp. ortonormální) a navíc je bází prostoru V. Ortogonální podprostory III Rozebereme-li si definici ortogonálnosti pro nejjednodušší případy, pak vidíme, že pro: k = 1: Posloupnost sestávající z jednoho vektoru je vždy ortogonální (bez ohledu na to, zda např. daný vektor je nulový či nikoliv). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právě když u1, u2 = 0. Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právě když u1, u2 = 0. V tomto případě budeme psát u1 u2 nebo u2 u1 (zřejmě zde nezáleží na pořadí vektorů). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právě když u1, u2 = 0. V tomto případě budeme psát u1 u2 nebo u2 u1 (zřejmě zde nezáleží na pořadí vektorů). Dále, jsou-li oba vektory u1, u2 nenulové, pak zřejmě jsou ortogonální, právě když jejich odchylka je 2 (plyne z definice odchylky). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právě když u1, u2 = 0. V tomto případě budeme psát u1 u2 nebo u2 u1 (zřejmě zde nezáleží na pořadí vektorů). Dále, jsou-li oba vektory u1, u2 nenulové, pak zřejmě jsou ortogonální, právě když jejich odchylka je 2 (plyne z definice odchylky). Na druhé straně, dva vektory, z nichž alespoň jeden je nulový, jsou vždy ortogonální (přičemž jejich odchylka samozřejmě není definována). Ortogonální podprostory V Věta Necht' V je euklidovský prostor. Pak pro vektory z V platí: 1. u u u = o, 2. u x pro každé x V u = o, 3. u wi pro i = 1, . . . , k u k i=1 ri wi pro každé ri R. Ortogonální podprostory VI Věta Nenulové ortogonální vektory euklidovského prostoru V jsou lineárně nezávislé. Ortogonální podprostory VI Věta Nenulové ortogonální vektory euklidovského prostoru V jsou lineárně nezávislé. Poznamenejme, že předpoklad nenulovosti všech vektorů je v předchozí větě podstatný a bez něj věta neplatí. Jinak řečeno, jsou-li ortogonální vektory z V lineárně závislé, znamená to, že alespoň jeden z nich musí být nulový. Ortogonální podprostory VII Věta Necht' V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. Ortogonální podprostory VII Věta Necht' V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 e1 + + pk-1 ek-1 + uk , (2) Ortogonální podprostory VII Věta Necht' V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 e1 + + pk-1 ek-1 + uk , (2) ek , ei = 0 = pi ( ei, ei ) + ( uk , ei ), Ortogonální podprostory VII Věta Necht' V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 e1 + + pk-1 ek-1 + uk , (2) ek , ei = 0 = pi ( ei, ei ) + ( uk , ei ), pi = { - uk ,ei ei ,ei je-li ei = o libovolné je-li ei = o. Ortogonální podprostory VII Důkaz předchozí věty byl konstruktivní a jeho algoritmus se nazývá Gram-Schmidtův ortogonalizační proces (používá se při řešení konkrétních příkladů!). Ortogonální podprostory VII Důkaz předchozí věty byl konstruktivní a jeho algoritmus se nazývá Gram-Schmidtův ortogonalizační proces (používá se při řešení konkrétních příkladů!). V předchozí větě se nic nepředpokládá o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů u1, . . . , uk . Proto výsledné ortogonální vektory e1, . . . , ek mohou, ale nemusí být všechny nenulové. Ortogonální podprostory VIII Přesněji řečeno, je-li dim[u1, . . . , uk ] = r ( k), pak tedy i dim[e1, . . . , ek ] = r, což znamená, že právě (k - r) z vektorů e1, . . . , ek je nulových a zbývajících r vektorů je nenulových a tvoří ortogonální bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], tj. podprostoru generovaného vektory u1, . . . , uk . Ortogonální podprostory VIII Přesněji řečeno, je-li dim[u1, . . . , uk ] = r ( k), pak tedy i dim[e1, . . . , ek ] = r, což znamená, že právě (k - r) z vektorů e1, . . . , ek je nulových a zbývajících r vektorů je nenulových a tvoří ortogonální bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], tj. podprostoru generovaného vektory u1, . . . , uk . Speciálně tedy, jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárně nezávislé, tzn. tvoří bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], pak vektory e1, . . . , ek tvoří ortogonální bázi tohoto podprostoru. Ortogonální podprostory IX Gram-Schmidtův algoritmus Ortogonální podprostory X Věta V každém nenulovém euklidovském prostoru V existuje ortogonální báze (resp. ortonormální báze). Ortogonální podprostory XI Příklad V euklidovském prostoru R4 se skalárním součinem definovaným: (x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4) = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W generovaného vektory u1, u2, u3. Přitom: u1 = (0, 1, 2, 1), u2 = (-1, 1, 1, 1), u3 = (1, 0, 1, 0). Ortogonální podprostory XII Řešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). Ortogonální podprostory XII Řešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p e1 + u2, kde p = - u2,e1 e1,e1 = -2 3 . Tedy e2 = (-1, 1 3 , -1 3 , 1 3 ). Ortogonální podprostory XII Řešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p e1 + u2, kde p = - u2,e1 e1,e1 = -2 3 . Tedy e2 = (-1, 1 3 , -1 3 , 1 3 ). e3 = p1 e1 + p2 e2 + u3, kde p1 = - u3,e1 e1,e1 = -1 3 , p2 = - u3,e2 e2,e2 = 1. Tedy e3 = -1 3 e1 + e2 + u3 = (0, 0, 0, 0) = o. Ortogonální podprostory XII Řešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p e1 + u2, kde p = - u2,e1 e1,e1 = -2 3 . Tedy e2 = (-1, 1 3 , -1 3 , 1 3 ). e3 = p1 e1 + p2 e2 + u3, kde p1 = - u3,e1 e1,e1 = -1 3 , p2 = - u3,e2 e2,e2 = 1. Tedy e3 = -1 3 e1 + e2 + u3 = (0, 0, 0, 0) = o. Výsledek: ortogonální bázi podprostoru W tvoří např. vektory e1, e2. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht' A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a A, b B, pak říkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A B nebo B A. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht' A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a A, b B, pak říkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A B nebo B A. Jinak řečeno, A, B jsou ortogonální množiny, právě když a, b jsou ortogonální vektory pro každé a A, b B. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht' A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a A, b B, pak říkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A B nebo B A. Jinak řečeno, A, B jsou ortogonální množiny, právě když a, b jsou ortogonální vektory pro každé a A, b B. Ve speciálních případech: prázdná množina, resp. množina {o} jsou zřejmě ortogonální ke každé podmnožině ve V. Dále z de- finice plyne, že: A B = A B = nebo A B = {o}. Ortogonální podprostory XIV Věta Necht' A, B jsou podmnožiny euklidovského prostoru V. Pak platí: A B [A] [B], tzn. dvě množiny jsou ortogonální, právě když jsou ortogonální podprostory generované těmito množinami. Ortogonální podprostory XV Definice Necht' W je podmnožina (podprostor) euklidovského prostoru V. Pak množina: W = {x V : x, w = 0 pro každé w W} se nazývá ortogonální doplněk podmnožiny (podprostoru) W (ve V). Ortogonální podprostory XV Definice Necht' W je podmnožina (podprostor) euklidovského prostoru V. Pak množina: W = {x V : x, w = 0 pro každé w W} se nazývá ortogonální doplněk podmnožiny (podprostoru) W (ve V). Zřejmě platí W W a ve speciálních případech přímo z definice dostáváme, že V = {o}, resp. {o} = V. Ortogonální podprostory XVI Věta Necht' W je podmnožina euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. W je podprostor ve V, Ortogonální podprostory XVI Věta Necht' W je podmnožina euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. W je podprostor ve V, 2. je-li W podprostor V, máme V = W W , tzn. prostor V je přímým součtem podprostorů W a W . Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. části předchozí věty a podle definice přímého součtu podprostorů) se libovolný vektor u V dá napsat, a to jediným způsobem, ve tvaru: u = x + y, kde x W, y W . Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. části předchozí věty a podle definice přímého součtu podprostorů) se libovolný vektor u V dá napsat, a to jediným způsobem, ve tvaru: u = x + y, kde x W, y W . Poznamenejme, že vektor x z tohoto vyjádření se nazývá ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W. Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. části předchozí věty a podle definice přímého součtu podprostorů) se libovolný vektor u V dá napsat, a to jediným způsobem, ve tvaru: u = x + y, kde x W, y W . Poznamenejme, že vektor x z tohoto vyjádření se nazývá ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W. Píšeme x = uW. Ortogonální podprostory XVIII Věta Necht' W je podprostor euklidovského prostoru V, necht' x (resp. x ) je ortogonální projekce vektoru u (resp. u ) do podprostoru W a necht' r R libovolné. Pak platí: 1. (x + x ) je ortogonální projekce vektoru (u + u ) do W, Ortogonální podprostory XVIII Věta Necht' W je podprostor euklidovského prostoru V, necht' x (resp. x ) je ortogonální projekce vektoru u (resp. u ) do podprostoru W a necht' r R libovolné. Pak platí: 1. (x + x ) je ortogonální projekce vektoru (u + u ) do W, 2. r x je ortogonální projekce vektoru r u do W. Ortogonální podprostory XIX Věta Necht' W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W ) = W, Ortogonální podprostory XIX Věta Necht' W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W ) = W, 2. (W + S) = W S , Ortogonální podprostory XIX Věta Necht' W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W ) = W, 2. (W + S) = W S , 3. (W S) = W + S . Ortogonální podprostory XX Věta Necht' V je vektorový prostor se skalárním součinem, S je jeho konečněrozměrný vektorový podprostor s bazí = (u1, . . . , uk ) a x V. Potom pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když c je řešení soustavy lineárních rovnic G() c = x, T , kde x, označuje řádkový vektor x, u1 , . . . , x, uk Rk . Ortogonální podprostory XXI Důkaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když pro všechna i k máme 0 = x-c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui -c1 u1, ui -. . .-ck uk , ui . Ortogonální podprostory XXI Důkaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když pro všechna i k máme 0 = x-c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui -c1 u1, ui -. . .-ck uk , ui . Tedy x, si() = (c1, . . . , ck )si(G()) tj. x, si() T = ri(G()T ) c. Ortogonální podprostory XXI Důkaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když pro všechna i k máme 0 = x-c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui -c1 u1, ui -. . .-ck uk , ui . Tedy x, si() = (c1, . . . , ck )si(G()) tj. x, si() T = ri(G()T ) c. Jinak řečeno, c musí vyhovovat soustavě G()T c = x, T . Ortogonální podprostory XXI Důkaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když pro všechna i k máme 0 = x-c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui -c1 u1, ui -. . .-ck uk , ui . Tedy x, si() = (c1, . . . , ck )si(G()) tj. x, si() T = ri(G()T ) c. Jinak řečeno, c musí vyhovovat soustavě G()T c = x, T . Ale G()T = G() vzhledem na symetrii Gramovy matice. Ortogonální podprostory XXI Důkaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právě tehdy, když pro všechna i k máme 0 = x-c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui -c1 u1, ui -. . .-ck uk , ui . Tedy x, si() = (c1, . . . , ck )si(G()) tj. x, si() T = ri(G()T ) c. Jinak řečeno, c musí vyhovovat soustavě G()T c = x, T . Ale G()T = G() vzhledem na symetrii Gramovy matice. Protože matice G() je regulární ( je báze S), má tato soustava jediné řešení.