1. VEKTOROVÉ PROSTORY Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 20. září 2006 Abstrakt V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení. Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru. Abstrakt V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení. Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru. Prvky tělesa budeme nazývat skaláry a prvky vektorového prostoru vektory. Obsah přednášky I Úvod Základní číselné obory Q, R a C ; pojem tělesa. Tělesa Zp Obsah přednášky I Úvod Základní číselné obory Q, R a C ; pojem tělesa. Tělesa Zp Geometrická interpretace vektorů v rovině a v třírozměrném prostoru Geometrická interpretace vektorů v R2 a R3 , rovnoběžníkové pravidlo Obsah přednášky II Vektorové prostory Příklady vektorových prostorů (řádkově a sloupcově uspořádané n-tice skalárů, polynomy, rozšírení těles, funkce z množiny do tělesa a vektorového prostoru) Číselné obory I N – množina všech přirozených čísel, Číselné obory I N – množina všech přirozených čísel, Z – množina všech celých čísel, Číselné obory I N – množina všech přirozených čísel, Z – množina všech celých čísel, Q – množina všech racionálních čísel, Číselné obory I N – množina všech přirozených čísel, Z – množina všech celých čísel, Q – množina všech racionálních čísel, R – množina všech reálnych čísel, Číselné obory I N – množina všech přirozených čísel, Z – množina všech celých čísel, Q – množina všech racionálních čísel, R – množina všech reálnych čísel, C – množina všech komplexních čísel. Číselné obory II Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0 ∈ N. Číselné obory II Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0 ∈ N. Imaginární jednotku (která je prvkem C − R) budeme značit ı. Číselné obory II Nulu považujeme za přirozené číslo, t. j. 0 ∈ N. Imaginární jednotku (která je prvkem C − R) budeme značit ı. Prvky výše uvedených číselných oborů Q, R, C nazýváme často skaláry. V tomto případě pak budeme mluvit o číselném tělese. Struktura číselných oborů I Na každé z těchto množin jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení · . Struktura číselných oborů I Na každé z těchto množin jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení · . Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Struktura číselných oborů I Na každé z těchto množin jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení · . Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, t. j. pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz. Struktura číselných oborů II Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a C "chudší" – totiž rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, R, C řešení x = b − a pre libovolné a, b, ale v N je takováto rovnice řešitelná, pokud a ≤ b. Struktura číselných oborů II Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a C "chudší" – totiž rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, R, C řešení x = b − a pre libovolné a, b, ale v N je takováto rovnice řešitelná, pokud a ≤ b. Obory Q, R a C jsou však "bohatší" nejen v porovnání s N, ale i s Z – rovnice tvaru ax = b mají v oborech Q, R, C řešení pro libovolné a = 0 a b, přičemž v N či Z jsou řešitelné, pouze pokud a je dělitelem b. Axiomy tělesa I Tělesem nazýváme množinu K s dvěmi význačnými prvky – nulou 0 a jedničkou 1 – a dvěmi binárními operacemi na K – sčítáním + a násobením · – takovými, že platí Axiomy tělesa II (∀a, b ∈ K)(a + b = b + a),(∀a, b ∈ K)(a · b = b · a), (∀a, b, c ∈ K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (∀a, b, c ∈ K)(a · (b · c) = (a · b) · c), (∀a ∈ K)(0 + a = a), (∀a ∈ K)(1 · a = a), (∀a ∈ K)(∃ b ∈ K)(a + b = 0), (∀a ∈ K {0})(∃ b ∈ K)(a · b = 1), (∀a, b, c ∈ K)(a · (b + c) = (a · b) + (a · c)), 0 = 1. Axiomy tělesa III Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. Axiomy tělesa III Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Axiomy tělesa III Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Prvek b ∈ K takový, že a + b = 0, je k danému a ∈ K určený jednoznačně. Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme −a a nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (−b) píšeme jen a − b. Axiomy tělesa IV Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b ∈ K takový, že a · b = 1 je k danému 0 = a ∈ K určený jednoznačně – označujeme ho a−1 nebo 1 a , případně 1/a a nazýváme inverzní prvek k a alebo převrácená hodnota prvku a. Axiomy tělesa IV Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b ∈ K takový, že a · b = 1 je k danému 0 = a ∈ K určený jednoznačně – označujeme ho a−1 nebo 1 a , případně 1/a a nazýváme inverzní prvek k a alebo převrácená hodnota prvku a. Místo a · b−1 píšeme též a b nebo a/b. Vlastnosti tělesa I Tvrzení Buď K těleso. Potom pro všechna n ∈ N a a, b, c, b1, . . . , bn ∈ K platí (a) a + b = a + c ⇒ b = c, (b) (ab = ac & a = 0) ⇒ b = c, (c) a · 0 = 0, (d) a · b = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0), (e) −a = (−1) · a, (f) a · (b − c) = a · b − a · c, (g) a · (b1 + . . . + bn) = a · b1 + . . . + a · bn. Vlastnosti tělesa II Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Vlastnosti tělesa II Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Vlastnosti tělesa II Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a ∈ K, n ∈ N klademe (−n)a = −(na) = n(−a). Vlastnosti tělesa II Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a ∈ K, n ∈ N klademe (−n)a = −(na) = n(−a). Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i libovolné celočíselné mocniny. Pro 0 = a ∈ K, n ∈ N klademe a−n = (an)−1 = (a−1)n. Vlastnosti tělesa III 0a = 0, 1a = a, a0 = 1, a1 = a, n(a + b) = na + nb, (m + n)a = ma + na, (mn)a = m(na), (mn)(ab) = (ma)(nb), (ab)n = anbn, n < 0 ⇒ a = 0 = b, am+n = aman, (m < 0 ∨ n < 0) ⇒ a = 0, amn = (am)n, (m < 0 ∨ n < 0) ⇒ a = 0 ∀a, b ∈ K, m, n ∈ Z. Vlastnosti tělesa IV Nechť K je těleso a L ⊆ K. Říkáme, že L je podtěleso tělesa K, pokud 0, 1 ∈ L a pro všechna a, b ∈ L platí a + b ∈ L, ab ∈ L, −a ∈ L a, pokud a = 0, tak i a−1 ∈ L. Vlastnosti tělesa IV Nechť K je těleso a L ⊆ K. Říkáme, že L je podtěleso tělesa K, pokud 0, 1 ∈ L a pro všechna a, b ∈ L platí a + b ∈ L, ab ∈ L, −a ∈ L a, pokud a = 0, tak i a−1 ∈ L. Podtěleso tělesa K je tedy jeho podmnožina L, která obsahuje nulu a jedničku a je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení, opačnému a inverznímu prvku. Zřejmě každé podtěleso tělesa K je s těmito operacemi zúženými z K na L i samo tělesem. Říkáme pak, že těleso K je rozšířením tělesa L. Vlastnosti tělesa V Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa C; těleso C je rozšířením těles Q a R. Vlastnosti tělesa V Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa C; těleso C je rozšířením těles Q a R. Charakteristikou tělesa K, píšeme charK, nazýváme nejmenší kladné celé číslo n takové, že n1 = 0; pokud takové n neexistuje, t. j. n1 = 0 pro každé celé n > 0, říkáme že K má charakteristiku ∞ (někteří autoři definují charK = 0). Vlastnosti tělesa VI Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto charK = charL. Vlastnosti tělesa VI Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto charK = charL. Zřejmě charQ = charR = charC = ∞. Vlastnosti tělesa VI Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto charK = charL. Zřejmě charQ = charR = charC = ∞. Věta Nechť K je těleso. Potom charK je rovna ∞ nebo prvočíslu. Konečná tělesa I V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není ∞. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. Konečná tělesa I V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není ∞. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté konečné těleso Zp, které má p prvků a charakteristiku p. Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou nekonečná. Konečná tělesa II Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z hlediska fyzikálních aplikací, jsou nejdůležitějšími tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování a kryptografii. Konečná tělesa II Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z hlediska fyzikálních aplikací, jsou nejdůležitějšími tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování a kryptografii. Pro každé kladné celé číslo n označme Zn = {k ∈ N; k < n} = {0, 1, . . . , n − 1}. Konečná tělesa III Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě binární operace – sčítání ⊕ a násobení (je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací v Z). Konečná tělesa III Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě binární operace – sčítání ⊕ a násobení (je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací v Z). Pro a, b ∈ Zn klademe a ⊕ b = zbytek po dělení (a + b)/n, a b = zbytek po dělení (ab)/n. Konečná tělesa IV ⊕ a jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Konečná tělesa IV ⊕ a jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a a = n − a je opačný prvek k a ∈ Zn. Konečná tělesa IV ⊕ a jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a a = n − a je opačný prvek k a ∈ Zn. Věta Množina Zn s operacemi ⊕ a je těleso právě tehdy, když n je prvočíslo. Konečná tělesa V + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 · 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Multiplikativní tabulky sčítání a násobení v tělese Z5. Interpretace I Vektory v rovině či v prostoru si představujeme jako orientované úsečky, t. j. úsečky, jejichž jeden krajní bod považujeme za počáteční a druhý za koncový – ten je označený obvykle šipkou. Interpretace II x y        (x,y) Vektor v rovině Interpretace II x y        (x,y) Vektor v rovině Přitom dvě stejně dlouhé, rovnoběžné a souhlasně orientované úsečky představují ten stejný vektor – říkáme, že jsou umístění téhož vektoru. Interpretace III 1 1        v        v        v Umístění téhož vektoru Interpretace IV Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny vektory v rovině či v prostoru můžeme jednoznačně reprezentovat jako orientované úsečky −→ OA s počátkem v O. Interpretace IV Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny vektory v rovině či v prostoru můžeme jednoznačně reprezentovat jako orientované úsečky −→ OA s počátkem v O. Jejich koncem může být libovolný bod A roviny či prostoru, bod O nevyjímaje – orientovaná úsečka −→ OO totiž představuje tzv. nulový vektor. Interpretace V Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku. Interpretace V Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku. Součet vektorů u = −→ OA, v = −→ OB je potom znázorněný orientovanou uhlopříčkou u + v = −→ OC rovnoběžníka, jehož dvě přilehlé strany tvoří úsečky OA, OB. O ¡ ¡ ¡! E v u u + v    Q       rrrj T v u v − u Interpretace VI Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly: Interpretace VI Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly: pokud c ∈ R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v, pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud c < 0 Interpretace VI Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, t. j. v našem případě reálnými čísly: pokud c ∈ R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v, pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud c < 0 (je-li c = 0 nebo v je nulový vektor, tak, samozřejmě, i cv je nulový vektor, takže nezáleží na jeho směru ani orientaci). Interpretace VII  0v  ) −v    0 2v Násobení vektoru skalárem Interpretace VII Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, t. j. navzájem kolmé přímky procházející počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém v rovině či v prostoru. Interpretace VII Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, t. j. navzájem kolmé přímky procházející počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém v rovině či v prostoru. Každý bod roviny či prostoru je potom jednoznačně určený uspořádanou dvojicí, resp. trojicí svých souřadnic a naopak, každá dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký bod roviny či prostoru. Interpretace VIII Rovněž každý vektor v rovině či v prostoru je potom jednoznačně určený souřadnicemi svého koncového bodu a naopak libovolná uspořádaná dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký vektor v rovině či prostoru. Interpretace VIII Rovněž každý vektor v rovině či v prostoru je potom jednoznačně určený souřadnicemi svého koncového bodu a naopak libovolná uspořádaná dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký vektor v rovině či prostoru. Při pevném souřadnicovém systému tak můžeme množinu všech vektorů v rovině ztotožnit s množinou R2 a množinu všech vektorů v prostoru s množinou R3. Interpretace IX Jsou-li (při takovémto ztotožnění) u = (u1, u2) ∈ R2 , v = (v1, v2) ∈ R2 dva vektory v rovině, tak snadno ověříme, že pro jejich součet u + v, daný vektorovým rovnoběžníkem, platí u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2). Interpretace X Je-li c ∈ R, pak pro skalární násobek cu dostáváme cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2). Podobně to můžeme ověřit pro vektory v prostoru, t. j. uspořádané trojice reálných čísel. Interpretace XI Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Interpretace XI Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky neležící v rovině (v prostoru) protínající se v počátku O. Interpretace XI Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky neležící v rovině (v prostoru) protínající se v počátku O. Za jednotkové délky ve směrech jednotlivých souřadných os můžeme zvolit délky libovolných (ne nutně stejně dlouhých) úseček. Vektorové prostory I Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi – Vektorové prostory I Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi – sčítáním + : V × V → V a Vektorové prostory I Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi – sčítáním + : V × V → V a násobením · : K × V → V – takovými, že platí Vektorové prostory II (∀x, y, z ∈ V )(x + (y + z) = (x + y) + z)), (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x), (∀x ∈ V )(x + 0 = x), (∀x ∈ V )(∃y ∈ V )(x + y = 0), (∀a, b ∈ K)(∀x ∈ V )(a · (b · x) = (ab) · x), (∀x ∈ V )(1 · x = x), (∀a ∈ K)(∀x, y ∈ V )(a · (x + y) = (a · x) + (a · y)), (∀a, b ∈ K)(∀x ∈ V )((a + b) · x = (a · x) + (b · x)). Vektorové prostory III Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Vektorové prostory III Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném( tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Vektorové prostory III Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném( tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Podobně násobení v (číselném) tělese a násobení vektoru skalárem jsou různé operace, ačkoliv obě značíme · . Vektorové prostory III Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném( tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Podobně násobení v (číselném) tělese a násobení vektoru skalárem jsou různé operace, ačkoliv obě značíme · . Později budeme stejně značit příslušné operace a nuly v různých vektorových prostorech. Vektorové prostory IV Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K: Vektorové prostory IV Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K: sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 ∈ V , Vektorové prostory IV Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K: sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 ∈ V , operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku "asociativity", 1 ∈ K je její "neutrální prvek" Vektorové prostory IV Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K: sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 ∈ V , operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku "asociativity", 1 ∈ K je její "neutrální prvek" a platí dva "distributivní zákony". Vektorové prostory V Jeden podstatný rozdíl – násobení v (číselném) tělese K je binární operací na množině K, t. j. zobrazením · : K × K → K, násobení ve vektorovém prostoru V nad číselným tělesem K není binární operace na V , ale binární operace · : K × V → V . Vektorové prostory VI To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát ax + y namísto (a · x) + y. Vektorové prostory VII Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž umístění neovlivní výslednou hodnotu výrazů jako např. v abx nebo a1x1 + . . . + anxn. Poslední výraz budeme taktéž značit n i=1 aixi a nazývat lineární kombinací vektorů x1, . . . , xn s koeficienty a1, . . . , an. Vektorové prostory VIII Speciálně pro n = 1 to znamená 1 i=1 ai xi = a1x1; kvůli úplnosti pro n = 0 ještě klademe prázdnou lineární kombinaci 0 i=1 ai xi rovnou 0. Tvrzení Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n ∈ N, a, b, a1, . . . , an ∈ K a x, y, z, x1, . . . , xn ∈ V platí Vektorové prostory IX (a) x + y = x + z ⇒ y = z, (b) (ax = ay& a = 0) ⇒ x = y, (ax = bx& x = 0) ⇒ a = b, (c) a0 = 0 = 0x, (d) ax = 0 ⇒ (a = 0 ∨ x = 0), Vektorové prostory X (e) −x = (−1)x, (f) a(x − y) = ax − ay, (a − b)x = ax − bx, (g) a(x1 + . . . + xn) = ax1 + . . . + axn, (a1 + . . . + an)x = a1x + . . . + anx. Příklady I Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za vektorový prostor nad sebou samým. Obecněji, pokud těleso L je rozšířením tělesa K, tak L můžeme považovat za vektorový prostor nad tělesem K (formálne stačí "zapomenout" na násobení některých dvojic prvků a, b ∈ L a součin ab připustit jen pro a ∈ K, b ∈ L). Příklady II Podobným způsobem můžeme vektorový prostor V nad tělesem L zúžením násobení L × V → V na násobení K × V → V změnit na vektorový prostor nad tělesem K. Příklady III Pro libovolné těleso K a n ∈ N je množina Kn = {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn ∈ K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi Příklady IV x + y =(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) =(x1 + y1, . . . , xn + yn), cx =c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn), kde x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn , y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn a c ∈ K, vektorový prostor nad tělesem K. Příklady V Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0, . . . , 0) hraje úlohu nuly v Kn . Pokud bude potřebné rozlišit nulové vektory v prostorech Kn pro různá přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn používat označení 0n. Opačný prvek k x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn je zřejmě −x = −(x1, . . . , xn) = (−x1, . . . , −xn). Příklady VI Říkáme, že operace na Kn jsou definované po složkách. Prvky tohoto vektorového prostoru nazýváme n-rozměrné řádkové vektory nad tělesem K. Vektorový prostor K0 sestává z jediného prvku ∅, představujícího "uspořádanou nultici", která je nutně nulou v K0 . Příklady VII Někdy bude výhodnější pracovat s n-rozměrnými sloupcovými vektory nad tělesem K, t. j. s vektory tvaru x =   x1 ... xn   , kde x1, . . . , xn ∈ K. Píšeme rovněž Kn . Příklady VIII Polynomem nebo též mnohočlenem f stupně n, kde −1 ≤ n ∈ Z, v proměnné x nad tělesem K rozumíme formální výraz tvaru f (x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1 + anxn = n i=0 ai xi , Příklady IX kde a0, a1, . . . , an−1, an ∈ jsou skaláry, nazývané koeficienty polynomu f , a an = 0. Nulu 0 ∈ K považujeme za polynom stupně −1 a nenulové skaláry a ∈ K za polynomy stupně 0. Zřejmě každý polynom f definuje (stejně označovanou) funkci f : K → K danou předpisem c → f (c), t. j. dosazením konkrétních hodnot c ∈ K za proměnnou x do polynomu f . Příklady X Množinu všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n, kde −1 ≤ n ∈ Z, budeme značit K(n)[x]; množinu všech polynomů v proměnné x nad K značíme K[x]. Libovolný polynom g(x) = m i=0 bi xi ∈ K[x] stupně m < n můžeme psát ve tvaru g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm + 0xm+1 + . . . + 0xn , t. j. v tvaru g(x) = n i=0 bi xi , kde bi = 0 pro m < i ≤ n. Příklady XI S použitím této konvence lze definovat součet f + g polynomů f = n i=0 ai xi , g = m i=0 bi xi z K[x] předpisem (f + g)(x) = f (x) + g(x) = max(m,n) i=0 (ai + bi )xi . Příklady XII Pokud navíc c ∈ K, klademe (cf )(x) = cf (x) = n i=0 cai xi . Snadno ověříme, že s takto po složkách definovanými operacemi součtu a skalárního násobku tvoří každá z množin polynomů K(n)[x], kde −1 ≤ n ∈ Z, a zároveň i množina všech polynomů K[x] vektorový prostor nad tělesem K. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU Jan Paseka Masarykova univerzita Brno 21. září 2006 Abstrakt V této kapitole se seznámíme s maticemi, t. j. obdélníkovými tabulkami, s jejichž pomocí budeme kódovat nejrůznější důležité údaje o vektorových prostorech, a naučíme se s nimi pracovat. Obsah přednášky I Matice nad danou množinou Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice. Obsah přednášky I Matice nad danou množinou Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice. Matice nad daným tělesem Vektorový prostor matic. Násobení matic, operace s blokovými maticemi. Obsah přednášky I Matice nad danou množinou Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice. Matice nad daným tělesem Vektorový prostor matic. Násobení matic, operace s blokovými maticemi. Matice nad daným vektorovým prostorem Matice nad danou množinou I Nechť X je libovolná množina a m, n ∈ N. Maticí typu m × n, nebo též m × n-rozměrnou maticí nad množinou X rozumíme obdélníkovou tabulku Matice nad danou množinou II A =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     , sestávající z prvků množiny X. Matice nad danou množinou II A =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn     , sestávající z prvků množiny X. Zkráceně píšeme A = (aij )m×n nebo A = (aij ). Matice nad danou množinou III Prvky aij ∈ X, kde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, se nazývají prvky matice A. Matice nad danou množinou III Prvky aij ∈ X, kde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij , který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (i, j), resp. (i, j)-tý prvek matice A. Matice nad danou množinou III Prvky aij ∈ X, kde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij , který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (i, j), resp. (i, j)-tý prvek matice A. Množinu všech m × n-rozměrných matic nad množinou X značíme Xm×n (též Matm,n(X)). Matice nad danou množinou III Prvky aij ∈ X, kde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij , který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (i, j), resp. (i, j)-tý prvek matice A. Množinu všech m × n-rozměrných matic nad množinou X značíme Xm×n (též Matm,n(X)). Pokud m = n, mluvíme o čtvercových maticích řádu n nad množinou X. Matice nad danou množinou IV Poznamenejme, že v případě, když některé z čísel m, n je 0, množina Xm×n sestáva z jediné a to prázdné matice ∅. Dále se budeme vždy bavit jen o maticích kladných rozměrů m × n. Matice nad danou množinou IV Poznamenejme, že v případě, když některé z čísel m, n je 0, množina Xm×n sestáva z jediné a to prázdné matice ∅. Dále se budeme vždy bavit jen o maticích kladných rozměrů m × n. Dvě matice nad množinou X považujeme za navzájem stejné neboli totožné, pokud mají stejné rozměry a stejné prvky na příslušných místech. Matice nad danou množinou V To znamená, že pro matice A = (aij )m×n, B = (bij )p×q nad X klademe A = B právě tehdy, když m = p, n = q a pro všechny i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n platí aij = bij . Matice nad danou množinou V To znamená, že pro matice A = (aij )m×n, B = (bij )p×q nad X klademe A = B právě tehdy, když m = p, n = q a pro všechny i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n platí aij = bij . Množina matic typu 1 × n nad X splývá s množinou Xn , pokud uspořádané n-tice prvků z X zapisujeme do řádku. Podobně, pokud uspořádané m-tice prvků z X zapisujeme do sloupce, tak množina matic typu m × 1 nad X splývá s množinou Xm . Matice nad danou množinou VI Nechť A = (aij ) ∈ Xm×n . Uspořádanou n-tici ri (A) = (ai1, ai2, . . . , ain) ∈ X1×n , kde 1 ≤ i ≤ m, nazýváme i-tým řádkem matice A. Matice nad danou množinou VII Podobně, uspořádanou m-tici sj (A) =     a1j a2j ... amj     , kde 1 ≤ j ≤ n nazýváme j-tým sloupcem matice A. Matice nad danou množinou VIII Matici A tak můžeme ztotožnit jak se sloupcem složeným z jejích řádků tak s řádkem složeným z jejích sloupců, t. j. A = s1(A), s2(A), . . . , sn(A) , Matice nad danou množinou IX a A=     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn    =     r1(A) r2(A) ... rm(A)    . Matice nad danou množinou X Matici, kterou získáme z matice A = (aij )m×n záměnou jejích řádků a sloupců, nazývame transponovanou maticí k matici A a značíme ji AT . Matice nad danou množinou XI AT =     a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... ... a1n a2n . . . amn     . Matice nad danou množinou XI AT =     a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... ... a1n a2n . . . amn     . To znamená, že AT ∈ Xn×m a prvek na pozici (i, j) matice AT je aji . Matice nad danou množinou XI Zřejmě pro libovolnou matici A ∈ Xm×n platí (AT )T = A. Matice nad danou množinou XI Zřejmě pro libovolnou matici A ∈ Xm×n platí (AT )T = A. Transpozicí matic-řádků z X1×n dostaneme matice-sloupce z Xn×1 a transpozicí matic-sloupců z Xm×1 matice-řádky z X1×m . Matice nad danou množinou XII Na základě této poznámky lze snadno vidět, že pro libovolnou matici A ∈ Xm×n a 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n platí si (AT ) = ri (A)T , rj (AT ) = sj (A)T . Matice nad danou množinou XIII Čtvercová matice A ∈ Xn×n se nazývá symetrická, pokud A = AT , t. j. pokud aij = aji pro všechny indexy i, j = 1, . . . , n. Matice nad danou množinou XIII Čtvercová matice A ∈ Xn×n se nazývá symetrická, pokud A = AT , t. j. pokud aij = aji pro všechny indexy i, j = 1, . . . , n. Posloupnost prvků (a11, a22, . . . , ann) nazýváme diagonálou čtvercové matice A. Matice nad danou množinou XIII Čtvercová matice A ∈ Xn×n se nazývá symetrická, pokud A = AT , t. j. pokud aij = aji pro všechny indexy i, j = 1, . . . , n. Posloupnost prvků (a11, a22, . . . , ann) nazýváme diagonálou čtvercové matice A. Transponovanou matici k čtvercové matici A zřejmě získáme "osovou souměrností" jejich prvků podle diagonály. Matice nad danou množinou XIV Někdy bude užitečné spojit dvě matice A ∈ Xm×n1 , B ∈ Xm×n2 se stejným počtem řádků do jedné matice tak, že příslušné tabulky jednoduše napíšeme vedle sebe. Matice nad danou množinou XIV Někdy bude užitečné spojit dvě matice A ∈ Xm×n1 , B ∈ Xm×n2 se stejným počtem řádků do jedné matice tak, že příslušné tabulky jednoduše napíšeme vedle sebe. Výsledná matice je typu m × (n1 + n2) a značíme ji (A, B), případně (A | B). Matice nad danou množinou XV Podobně můžeme spojit dvě matice A ∈ Xm1×n , B ∈ Xm2×n se stejným počtem sloupců do jedné matice tak, že příslušné tabulky napíšeme pod sebe. Matice nad danou množinou XV Podobně můžeme spojit dvě matice A ∈ Xm1×n , B ∈ Xm2×n se stejným počtem sloupců do jedné matice tak, že příslušné tabulky napíšeme pod sebe. Výsledná matice je typu (m1 + m2) × n a značíme ji A B případně A B . Matice nad danou množinou XVI Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky. Matice nad danou množinou XVI Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky. Samozřejmě můžeme vedle sebe resp. pod sebe zařadit větší počet bloků než pouze dva. Matice nad danou množinou XVI Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky. Samozřejmě můžeme vedle sebe resp. pod sebe zařadit větší počet bloků než pouze dva. Naopak, někdy může být účelné vyznačit v dané matici nějaké menší obdélníkové části jako její bloky. Matice nad danou množinou XVII Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice. Matice nad danou množinou XVII Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice. Příkladem toho byl zápis matice A ∈ Xm×n jako řádku složeného z jejích sloupců, případně jako sloupce složeného z jejích řádků. Matice nad danou množinou XVII Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice. Příkladem toho byl zápis matice A ∈ Xm×n jako řádku složeného z jejích sloupců, případně jako sloupce složeného z jejích řádků. Uvedená dvě schemata vytváření blokových matic "vedle sebe" a "pod sebe" můžeme kombinovat. Matice nad danou množinou XVIII Např. z matic A11 ∈ Xm1×n1 , A12 ∈ Xm1×n2 , A21 ∈ Xm2×n1 , A22 ∈ Xm2×n2 můžeme vytvořit blokovou matici A11 A12 A21 A22 typu (m1 + m2) × (n1 + n2). Matice nad danou množinou XIX Tuto konstrukci můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit i na větší systémy matic a zapsat ve tvaru A = (Aij )k×l =   A11 . . . A1l ... ... ... Ak1 . . . Akl   , Matice nad danou množinou XX přičemž jednotlivé bloky Aij jsou matice nad X rozměrů mi × nj , kde (m1, . . . , mk), (n1, . . . , nl ) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel. Matice nad danou množinou XX přičemž jednotlivé bloky Aij jsou matice nad X rozměrů mi × nj , kde (m1, . . . , mk), (n1, . . . , nl ) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel. Matici nad množinou X z této "matice matic" dostaneme tak, že si v A odmyslíme vnitřní závorky oddělující její jednotlivé bloky Aij . Matice nad daným tělesem I Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Matice nad daným tělesem I Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Na množinách matic Xm×n sa nám poměrně bohatá struktura přirozeným způsobem objevila. Matice nad daným tělesem II Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter – zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Matice nad daným tělesem II Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter – zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Další maticové operace a vlastnosti, které hodláme zavést a později využívat, už budou podmíněné přítomností jisté struktury na množině X. Matice nad daným tělesem III Nejdůležitější a, až na pár vyjímek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem. Matice nad daným tělesem III Nejdůležitější a, až na pár vyjímek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem. V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso. Matice nad daným tělesem III Nejdůležitější a, až na pár vyjímek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem. V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso. V souladu s předešlým odstavcem Km×n , kde m, n ∈ N, označuje množinu všech matic typu m × n nad číselným tělesem K. Matice nad daným tělesem IV Pro pevné m, n ∈ N budeme na množině matic Km×n definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Matice nad daným tělesem IV Pro pevné m, n ∈ N budeme na množině matic Km×n definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Tedy pro matice A = (aij )m×n, B = (bij )m×n nad K a c ∈ K A + B = (aij + bij )m×n, cA = (caij )m×n. Matice nad daným tělesem V Součet matic A + B je definovaný jen pro matice A, B stejného typu a samotná matice A + B je téhož typu jako A a B. Matice nad daným tělesem V Součet matic A + B je definovaný jen pro matice A, B stejného typu a samotná matice A + B je téhož typu jako A a B. Neutrálním prvkem operace sčítání na Km×n je matice typu m × n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m × n a označujeme ji 0m,n, resp. 0, je-li její rozměr jasný z kontextu nebo na něm nezáleží. Matice nad daným tělesem VI Opačným prvkem k matici A = (aij )m×n je zřejmě matice −A = (−aij )m×n. Matice nad daným tělesem VI Opačným prvkem k matici A = (aij )m×n je zřejmě matice −A = (−aij )m×n. Matice pevného typu m × n nad tělesem K s takto definovanými operacemi součtu a skalárního násobku tvoří vektorový prostor nad tělesem K tj. Km×n bude dále označovat příslušný vektorový prostor. Matice nad daným tělesem VII Nejprve sa naučíme násobit některé dvojice vektorů. Matice nad daným tělesem VII Nejprve sa naučíme násobit některé dvojice vektorů. Součinem x · y řádkového vektoru x = (x1, . . . , xn) ∈ K1×n a sloupcového vektoru y = (y1, . . . , yn)T ∈ Kn×1 rozumíme skalár x · y = n i=1 xi yi . Matice nad daným tělesem VIII x · y = (x1, . . . , xn) ·   y1 ... yn   = x1y1 + . . . + xnyn = n i=1 xi yi . V tomto případě jde o běžný "skalární součin" vektorů x, y ∈ Kn . Matice nad daným tělesem VIII Snadno se ověří, že pre všechna n ∈ N, c ∈ K a x, x ∈ K1×n, y, y ∈ Kn×1 platí x · (y + y ) = x · y + x · y , (x + x ) · y = x · y + x · y, x · cy = c(x · y) = cx · y, x · y = yT · xT . Matice nad daným tělesem IX Pro takto definovaný součin vektorů jsou splněné dobře známé vlastnosti "skalárního součinu". Matice nad daným tělesem IX Pro takto definovaný součin vektorů jsou splněné dobře známé vlastnosti "skalárního součinu". Říkáme, že násobení řádkových a sloupcových vektorů je distributivní (z obou stran) vzhledem ke sčítání a komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku. Matice nad daným tělesem IX Pro takto definovaný součin vektorů jsou splněné dobře známé vlastnosti "skalárního součinu". Říkáme, že násobení řádkových a sloupcových vektorů je distributivní (z obou stran) vzhledem ke sčítání a komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku. Poslední rovnost můžeme chápat jako "komutativitu" tohoto součinu; vděčíme za ni komutativitě násobení v tělese K. Matice nad daným tělesem X Nechť m, n, p ∈ N a A = (aij )m×n, B = (bjk)n×p. Matice nad daným tělesem X Nechť m, n, p ∈ N a A = (aij )m×n, B = (bjk)n×p. Součinem matic A, B rozumíme matici A · B = (ri (A) · sk(B))m×p. Matice nad daným tělesem X Nechť m, n, p ∈ N a A = (aij )m×n, B = (bjk)n×p. Součinem matic A, B rozumíme matici A · B = (ri (A) · sk(B))m×p. Všimněme si, že součin matic A, B je definovaný, pouze pokud se počet sloupců matice A rovná počtu řádků matice B, t. j. právě tehdy, když řádky matice A a sloupce matice B mají stejný rozměr. Matice nad daným tělesem XI Součin matic typů m × n a n × p je matice typu m × p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru [m × n] · [n × p] = [m × p], připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice. Matice nad daným tělesem XI Součin matic typů m × n a n × p je matice typu m × p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru [m × n] · [n × p] = [m × p], připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice. Součin dvou čtvercových matic typu n × n je tedy opět matice typu n × n. Matice nad daným tělesem XII Prvek na pozici (i, k) matice A · B dostaneme jako součin i-tého řádku matice A a k-tého sloupce matice B, tedy jako výraz ri (A) · sk(B)= (ai1, . . . , ain) ·    b1k ... bnk    = ai1b1k + . . . + ainbnk = n j=1 aij bjk . Matice nad daným tělesem XIII Snadno pak ověříme následující rovnosti ri (A · B) = ri (A) · B, sk(A · B) = A · sk(B). Matice nad daným tělesem XIV Násobení matic je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání. To znamená, že pro libovolné m, n ∈ N a matice A, A ∈ Km×n, B, B ∈ Kn×p platí A · (B + B ) = A · B + A · B , (A + A ) · B = A · B + A · B. Matice nad daným tělesem XV Z distributivity součinu vektorů vzhledem k jejich součtu je totiž jasné, že (i, k)-tý prvek matice A · (B + B ) je ri (A) · sk(B + B ) = ri (A) · (sk(B) + sk(B )) = ri (A) · sk(B) + ri (A) · sk(B ), tedy sa rovná (i, k)-tému prvku matice A · B + A · B . Podobně pro druhou rovnost. Matice nad daným tělesem XVI Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pre libovolný skalár c ∈ K a všechny matice A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p platí A · cB = c(A · B) = cA · B. Matice nad daným tělesem XVI Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pre libovolný skalár c ∈ K a všechny matice A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p platí A · cB = c(A · B) = cA · B. Říkáme pak, že násobení matic komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku. Matice nad daným tělesem XVII Násobení matic je též asociativní: pro m, n, p, q ∈ N a A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p, C ∈ Kp×q platí A · (B · C) = (A · B) · C. Matice nad daným tělesem XVII Násobení matic je též asociativní: pro m, n, p, q ∈ N a A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p, C ∈ Kp×q platí A · (B · C) = (A · B) · C. Pro důkaz toho si stačí uvědomit, že pro libovolné vektory x = (x1, . . . , xn) ∈ K1×n, y = (y1, . . . , yp)T ∈ Kp×1 platí: Matice nad daným tělesem XVIII x · (B · y) = (x1, . . . , xn) ·    p k=1 b1kyk ... p k=1 bnkyk    = n j=1 xj p k=1 bjkyk = p k=1 n j=1 xj bjk yk = n j=1 xj bj1, . . . , n j=1 xj bjp ·    y1 ... yp    = (x · B) · y. Matice nad daným tělesem XIX Pak pro 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ l ≤ q, je (i, l)-tý prvek na pozici (i, l) matice A · (B · C) ri (A) · sl (B · C) = ri (A) · (B · sl (C)) = (ri (A) · B) · sl (C) = ri (A · B) · sl (C), tedy sa rovná (i, l)-tému prvku matice (A · B) · C. Matice nad daným tělesem XX Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme In a nazývame jednotková matice řádu n. Matice nad daným tělesem XX Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme In a nazývame jednotková matice řádu n. S použitím tzv. Kroneckerova symbolu δij = 1, pro i = j, 0, pro i = j, Matice nad daným tělesem XXI můžeme psát In = (δij )n×n =       1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1       . Matice nad daným tělesem XXII Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic. Matice nad daným tělesem XXII Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic. Pro každou matici A ∈ Km×n platí Im · A = A = A · In. Matice nad daným tělesem XXII Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic. Pro každou matici A ∈ Km×n platí Im · A = A = A · In. Množina Kn×n všech čtvercových matic řádu n je kromě struktury vektorového prostoru vybavená asociativní operací násobení, která je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání matic, komutuje s operací skalárního násobku a jednotková matice In je její neutrální prvek. Matice nad daným tělesem XXIII To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matic. Matice nad daným tělesem XXIII To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matic. Pro A ∈ Kn×n, klademe A0 = In a Ak = A · . . . · A k-krát , pro 0 < k ∈ N; Matice nad daným tělesem XXIII To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matic. Pro A ∈ Kn×n, klademe A0 = In a Ak = A · . . . · A k-krát , pro 0 < k ∈ N; tedy A1 = A, A2 = A · A, A3 = A · A · A, atd. Matice nad daným tělesem XXIV Uvědomme si, že pro n > 1 – na rozdíl od komutativity násobení v tělese K – násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na Kn×n. Matice nad daným tělesem XXIV Uvědomme si, že pro n > 1 – na rozdíl od komutativity násobení v tělese K – násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na Kn×n. Například 1 1 0 1 · 0 1 1 1 = 1 1 + 1 1 1 0 1 1 1 · 1 1 0 1 = 0 1 1 1 + 1 . Matice nad daným tělesem XXV Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pre všechna m, n, p a matice A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p platí rovnost (A · B)T = BT · AT . Matice nad daným tělesem XXV Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pre všechna m, n, p a matice A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p platí rovnost (A · B)T = BT · AT . Totiž ri (A) · sk(B) = sk(B)T · ri (A)T = rk(BT ) · si (AT ). Matice nad daným tělesem XXVI Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky. Matice nad daným tělesem XXVI Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky. Jsou-li A = (Aij )k×l , B = (Bij )k×l blokové matice nad číselným tělesem K a odpovídající si si bloky Aij , Bij se stejným typem mi × nj , tak jejich součet je opět Matice nad daným tělesem XXVII bloková matice A + B = (Aij + Bij )k×l s bloky stejných typů. Matice nad daným tělesem XXVII bloková matice A + B = (Aij + Bij )k×l s bloky stejných typů. S operací skalárního násobku je to ještě jednodušší, totiž nemusíme se starat o shodnost rozměrů jednotlivých bloků. cA = (cAij )k×l . Matice nad daným tělesem XXVIII Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n1 + n2 + . . . + nν, jako sloupce druhé matice. Matice nad daným tělesem XXVIII Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n1 + n2 + . . . + nν, jako sloupce druhé matice. Tedy pokud A = (Aij )µ×ν, B = (Bjk)ν×ϑ jsou blokové matice nad K, přičemž blok Aij je typu mi × nj a blok Bjk typu nj × pk, Matice nad daným tělesem XXVIII Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n1 + n2 + . . . + nν, jako sloupce druhé matice. Tedy pokud A = (Aij )µ×ν, B = (Bjk)ν×ϑ jsou blokové matice nad K, přičemž blok Aij je typu mi × nj a blok Bjk typu nj × pk, tak jejich součin je bloková matice tvaru A · B = (Cik)µ×ϑ, kde blok Cik = Ai1 · B1k + Ai2 · B2k + . . . + Ain · Bnk je typu mi × pk. Matice nad daným tělesem XXIX Blokové matice násobíme stejně jako "obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic. Matice nad daným tělesem XXIX Blokové matice násobíme stejně jako "obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic. Jednotkové matice In jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Matice nad daným tělesem XXIX Blokové matice násobíme stejně jako "obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic. Jednotkové matice In jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Čtvercovou matici A = (aij )n×n nazýváme diagonální, pokud aij = 0 pro všechy i = j, t. j. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly. Matice nad daným tělesem XXX Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky d1, d2, . . . , dn ∈ K značíme diag(d1, d2, . . . , dn). Matice nad daným tělesem XXX Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky d1, d2, . . . , dn ∈ K značíme diag(d1, d2, . . . , dn). Tedy např. In = diag(1, . . . , 1 n-krát ). Matice nad daným tělesem XXX Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky d1, d2, . . . , dn ∈ K značíme diag(d1, d2, . . . , dn). Tedy např. In = diag(1, . . . , 1 n-krát ). Podobně můžeme definovat i tzv. blokově diagonální matice. Matice nad daným tělesem XXXI Pokud A1, A2, . . . , Ak jsou čtvercové matice řádů n1, n2, . . . , nk, tak blokově diagonální maticí s bloky A1, A2, . . . , Ak nazýváme čtvercovou blokovou matici diag(A1, A2, . . . , Ak) =      A1 0 . . . 0 0 A2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . Ak      , kde 0 nacházející se na pozici (i, j) označuje nulovou matici 0ni nj . Matice nad daným tělesem XXXII Pravidlo o součinu blokových matic se redukuje na zvlášť jednoduchý tvar pro blokově diagonální matice – násobení funguje diagonálně po složkách. Matice nad daným tělesem XXXII Pokud A = diag(A1, . . . , Ak), B = diag(B1, . . . , Bk) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky Ai , Bi jsou čtvercové matice stejného řádu ni , jejich součin je blokově diagonální matice tvaru A · B = diag(A1 · B1, . . . , Ak · Bk) s čtvercovými bloky řádů n1, . . . , nk. Matice nad daným tělesem XXXII Pravidlo o součinu blokových matic se redukuje na zvlášť jednoduchý tvar pro blokově diagonální matice – násobení funguje diagonálně po složkách. Pokud A = diag(A1, . . . , Ak), B = diag(B1, . . . , Bk) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky Ai , Bi jsou čtvercové matice stejného řádu ni , jejich součin je blokově diagonální matice tvaru A · B = diag(A1 · B1, . . . , Ak · Bk) s čtvercovými bloky řádů n1, . . . , nk. Matice nad daným tělesem XXXIII Speciálně, pro "obyčejné" diagonální matice platí diag(a1, . . . , an) · diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn). Matice nad daným tělesem XXXIII Speciálně, pro "obyčejné" diagonální matice platí diag(a1, . . . , an) · diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn). Platí analogická pravidla pro součet a skalární násobek (blokově) diagonálních matic. A + B = diag(A1 + B1, . . . , Ak + Bk) cA = diag(cA1, . . . , cAk) Matice nad vektorovým prostorem I Matice typu m × n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Matice nad vektorovým prostorem I Matice typu m × n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Matici A = (aij ) ∈ Km×n můžeme považovat jednak za blokovou matici s bloky aij typu 1 × 1, jednak se na ni můžeme dívat jako na řádek jejich sloupců resp. jako na sloupec jejích řádků. Matice nad vekt. prostorem II A pak chápeme jako matici typu m × 1 nad vektorovým prostorem K1×n, resp. jako matici typu 1 × n nad vektorovým prostorom Km×1. Matice nad vekt. prostorem II A pak chápeme jako matici typu m × 1 nad vektorovým prostorem K1×n, resp. jako matici typu 1 × n nad vektorovým prostorom Km×1. Pro libovolné m, n ∈ N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V máme definovanou množinu V m×n všech matic nad množinou V . Matice nad vekt. prostorem II A pak chápeme jako matici typu m × 1 nad vektorovým prostorem K1×n, resp. jako matici typu 1 × n nad vektorovým prostorom Km×1. Pro libovolné m, n ∈ N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V máme definovanou množinu V m×n všech matic nad množinou V . Na množině V m×n můžeme zavést operace součtu a skalárního násobku po složkách. V m×n s těmito operacemi tvoří vektorový prostor nad tělesem K. Matice nad vekt. prostorem III Zobecníme nyní operaci skalárního násobku K × V → V na operaci součinu mezi maticemi vhodných typů nad K a nad V . Matice nad vekt. prostorem III Zobecníme nyní operaci skalárního násobku K × V → V na operaci součinu mezi maticemi vhodných typů nad K a nad V . Pro matice A = (aij ) ∈ Km×n , α = (ujk) ∈ V n×p klademe A · α = (vik) ∈ V m×p , kde vik = n j=1 aij ujk . Matice nad vekt. prostorem IV Tedy součin A · α definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku K × V → V . Matice nad vekt. prostorem IV Pro násobení matic nad V maticemi nad K platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků. Matice nad vekt. prostorem IV Tedy součin A · α definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku K × V → V . Pro násobení matic nad V maticemi nad K platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků. Matice nad vekt. prostorem V To znamená, že pro všechna l, m, n, p ∈ N, c ∈ K, A, B ∈ Km×n, C ∈ Kl×m α, β ∈ V n×p platí: A · (α + β) = A · α + A · β, (A + B) · α = A · α + B · α, A · (cα) = c(A · α) = (cA) · α, C · (A · α) = (C · A) · α, In · α = α. Matice nad vekt. prostorem VI Dle úmluvy, že xc = cx pro c ∈ K, x ∈ V , lze definovat i součin matic β = (vij ) ∈ V m×n, B = (bjk) ∈ Kn×p v obráceném pořadí jako matici β · B = (wik) ∈ V m×p takovou, že wik = n j=1 vij bjk = n j=1 bjkvij . Matice nad vekt. prostorem VII S využitím poslední definice můžeme pro A ∈ Km×n, α ∈ V n×p, β ∈ V m×n, B ∈ Kn×p dokázat rovnosti (A · α)T = αT · AT , (β · B)T = BT · βT . Matice nad vekt. prostorem VII S využitím poslední definice můžeme pro A ∈ Km×n, α ∈ V n×p, β ∈ V m×n, B ∈ Kn×p dokázat rovnosti (A · α)T = αT · AT , (β · B)T = BT · βT . Tedy i pro násobení matic nad K maticemi nad V platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků. Matice nad vekt. prostorem VIII To znamená, že pre všechna m, n, p, q ∈ N, c ∈ K, α, β ∈ Km×n, A, B ∈ V n×p, C ∈ Kp×q platí: (α + β) · A = α · A + β · A, α · (A + B) = α · A + α · B, α · (cA) = c(α · A) = (cα) · A, α · (A · C) = (α · A) · C, α · In = α. Matice nad vekt. prostorem IX Vztahy pro řádky a sloupce součinu z odstavce 2.2.2 zůstávají zachované pre oba typu součinů matic nad K a V , t. j. ri (A · α) = ri (A) · α, sk(A · α) = A · sk(α) ri (β · B) = ri (β) · B, sk(β · B) = β · sk(B) pre všechny A ∈ Km×n, α ∈ V n×p β ∈ V m×n, B ∈ Kn×p. Matice nad vekt. prostorem X Definice součinů A · α, β · B jsou ve shodě s původním násobením matic. Matice nad vekt. prostorem X Definice součinů A · α, β · B jsou ve shodě s původním násobením matic. Chápeme-li matici A ∈ Km×n jakožto řádek, t. j. jakožto matici typu 1 × n nad prostorem sloupcových vektorů Km, tak pro B ∈ Kn×p splývá matice (s1(A), . . . , sn(A)) · B vypočítaná podle "nové" definice s blokovým tvarem (A · s1(B), . . . , A · sp(B)) matice A · B. Matice nad vekt. prostorem XI Podobně, chápeme-li B jako sloupec, t. j. jako matici typu n × 1 nad prostorem řádkových vektorů Kp, tak A ·   r1(B) ... rn(B)   =   r1(A) · B ... rm(A) · B   = A · B. Matice nad vekt. prostorem XII Speciálně, lineární kombinaci a1x1 + . . . anxn vektorů x1, . . . , xn ∈ V s koeficienty a1, . . . , an ∈ K můžeme s využitím vektorových matic zapsat ve tvaru součinů (a1, . . . , an) ·   x1 ... xn   = (x1, . . . , xn) ·   a1 ... an   . 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 26. září 2006 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným tělesem K a naučíme se je řešit. Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným tělesem K a naučíme se je řešit. Využijeme při tom zápis soustavy pomocí jisté matice. Strukturní vlastnosti množiny všech řešení dané soustavy a jejich důsledky budeme studovat až později, poté, co se blíže seznámíme se strukturou vektorových prostorů. Maticový zápis I Základní pojem tohoto odstavce je pojem lineární rovnice. Maticový zápis II Lineární rovnicí o n neznámych x1, . . . , xn nad číselným tělesem K rozumíme formuli tvaru a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b, kde a1, a2, . . . , an, b ∈ K, v proměnných x1, x2, . . . , xn. Maticový zápis III Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn nad číselným tělesem K rozumíme konjunkci formulí tvaru a11x1 + a21x2 + . . . + a1nxn = b1 ... ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm, kde aij , bi , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, jsou skaláry z K. Maticový zápis IV Matici A = (aij ) ∈ Km×n nazýváme maticí soustavy, sloupcový vektor b = (b1, . . . , bm)T ∈ Km nazýváme její pravou stranou. Maticový zápis IV Matici A = (aij ) ∈ Km×n nazýváme maticí soustavy, sloupcový vektor b = (b1, . . . , bm)T ∈ Km nazýváme její pravou stranou. Rozšířenou maticí soustavy nazýváme blokovou matici (A | b) ∈ Km×(n+1). Maticový zápis IV Matici A = (aij ) ∈ Km×n nazýváme maticí soustavy, sloupcový vektor b = (b1, . . . , bm)T ∈ Km nazýváme její pravou stranou. Rozšířenou maticí soustavy nazýváme blokovou matici (A | b) ∈ Km×(n+1). Soustava sa nazývá homogenní, je-li b = 0; v opačném případě sa nazývá nehomogenní. Maticový zápis V Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně zapsat v maticovém tvaru A · x = b, Maticový zápis V Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně zapsat v maticovém tvaru A · x = b, resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru A · x = 0. Maticový zápis V Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně zapsat v maticovém tvaru A · x = b, resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru A · x = 0. Řešením soustavy A · x = b nazýváme takový vektor x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Kn, jehož složky vyhovují každé z rovnic této soustavy, t. j. platí A · x = b. Maticový zápis VI Vyřešit soustavu znamená najít všechna její řešení, t. j. popsat množinu všech jejích řešení. Maticový zápis VI Vyřešit soustavu znamená najít všechna její řešení, t. j. popsat množinu všech jejích řešení. Dvě soustavy A · x = b a B · x = c, kde A, B ∈ Km×n, b, c ∈ Km×1, se nazývají ekvivalentní, pokud mají stejnou množinu řešení, t. j. pokud pro všechna x ∈ Kn platí A · x = b právě tehdy, když B · x = c. Poznámka I (a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme vždy sloupcový vektor x a ne jeho složky. Poznámka I (a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme vždy sloupcový vektor x a ne jeho složky. Tak například soustava 2x + 3y = 12 3x − 2y = 5 nad tělesem R má jediné řešení x y = 3 2 a nikoliv dvě řešení x = 3, y = 2. Poznámka II Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení x = 3, y = 2. Poznámka II Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení x = 3, y = 2. (b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a počet neznámých se nemusí rovnat. V obvyklém případě, když rovnic je stejný počet jako neznámých, očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení. Poznámka II Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení x = 3, y = 2. (b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a počet neznámých se nemusí rovnat. V obvyklém případě, když rovnic je stejný počet jako neznámých, očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení. Pokud je rovnic méně než neznámých, lze očekávat, že soustava bude mít vícero (případně i nekonečně mnoho) řešení. Poznámka III Naopak, pokud je rovnic více než neznámých, může se stát, že soustava nebude mít žádné řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní vyjadřují "převládající trend", lehce lze najít příklady, kdy se nemusí splnit. Poznámka III Naopak, pokud je rovnic více než neznámých, může se stát, že soustava nebude mít žádné řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní vyjadřují "převládající trend", lehce lze najít příklady, kdy se nemusí splnit. Poznamenejme, že homogenní soustava A · x = 0 má (bez ohledu na počet neznámých a počet rovnic) vždy alespoň jedno řešení – je jím nulový vektor x = 0. Poznámka IV Není důležité, jakými znaky jsou označené neznámé v soustavě A · x = b. Poznámka IV Není důležité, jakými znaky jsou označené neznámé v soustavě A · x = b. Na její řešení nemá vliv, zda si vektor neznámých označíme x = (x1, . . . , xn)T nebo y = (y1, . . . , yn)T nebo nějak jinak. Poznámka IV Není důležité, jakými znaky jsou označené neznámé v soustavě A · x = b. Na její řešení nemá vliv, zda si vektor neznámých označíme x = (x1, . . . , xn)T nebo y = (y1, . . . , yn)T nebo nějak jinak. To znamená, že celá informace o této soustavě, potřebná pro nalezení všech jejich řešení, je obsažená v rozšířené matici soustavy (A | b), resp., pokud půjde o homogenní soustavu, jen v matici soustavy A. Poznámka V Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic, se kterou se nyní seznámíme, bude založená jen na úpravě této matice. Poznámka V Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic, se kterou se nyní seznámíme, bude založená jen na úpravě této matice. Rozšířenou matici (A | b) soustavy A · x = b budeme upravovat tak, abychom dostali nějakou jinou matici (B |c), která odpovídá nové soustavě B · x = c, přičemž tato splňuje nasledující dvě podmínky: Poznámka VI (a) Soustava B · x = c je ekvivalentní s původní soustavou A · x = b, t. j. má stejnou množinu řešení. Poznámka VI (a) Soustava B · x = c je ekvivalentní s původní soustavou A · x = b, t. j. má stejnou množinu řešení. (b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst z její rozšířené matice (B | c). Poznámka VI (a) Soustava B · x = c je ekvivalentní s původní soustavou A · x = b, t. j. má stejnou množinu řešení. (b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst z její rozšířené matice (B | c). Pak říkáme, že soustava B · x = c je vyřešená. Redukovaný tvar I Říkáme, že prvek aij matice A ∈ Km×n je vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny 1 ≤ l < j. Redukovaný tvar I Říkáme, že prvek aij matice A ∈ Km×n je vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny 1 ≤ l < j. Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je první nenulový prvek tohoto řádku. Redukovaný tvar I Říkáme, že prvek aij matice A ∈ Km×n je vedoucí prvek i-tého řádku matice A, pokud aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny 1 ≤ l < j. Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je první nenulový prvek tohoto řádku.Nulový řádek nemá vedoucí prvek. Redukovaný tvar II Řekneme, že matice A = (aij ) ∈ Km×n je v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud splňuje nasledující čtyři podmínky: Redukovaný tvar II Řekneme, že matice A = (aij ) ∈ Km×n je v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud splňuje nasledující čtyři podmínky: (a) Je-li ri (A) = 0 a rk(A) = 0, pak i < k; t. j. každý nenulový řádek matice A leží nad každým jejím nulovým řádkem. Redukovaný tvar II Řekneme, že matice A = (aij ) ∈ Km×n je v redukovaném stupňovitém tvaru, pokud splňuje nasledující čtyři podmínky: (a) Je-li ri (A) = 0 a rk(A) = 0, pak i < k; t. j. každý nenulový řádek matice A leží nad každým jejím nulovým řádkem. (b) Jsou-li aij , akl vedoucí prvky i-tého resp. k-tého řádku a i < k, pak platí j < l; t. j. vedoucí prvek vyššího řádku leží více vlevo než vedoucí prvek nižšího řádku. Redukovaný tvar III (c) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, pak aij = 1; t. j. vedoucí prvek každého nenulového řádku je 1. Redukovaný tvar III (c) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, pak aij = 1; t. j. vedoucí prvek každého nenulového řádku je 1. (d) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, tak akj = 0 pro každé k = i; t. j. v sloupci, v kterém sa nachází vedoucí prvek nějakého řádku, jsou všechny ostatní prvky rovné 0. Redukovaný tvar IV Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b), říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Redukovaný tvar IV Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b), říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Používá se též název (redukovaný) schodovitý tvar. Redukovaný tvar IV Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b), říkáme, že je v stupňovitém tvaru. Používá se též název (redukovaný) schodovitý tvar. Následující matice nejsou ve stupňovitém tvaru   0 2 1 1 0 0 0 0 0       0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1     Redukovaný tvar V Matice jsou ve stupňovitém tvaru, ale nejsou v redukovaném stupňovitém tvaru.   2 3 0 1 0 0 1 4 0 0 0 0       1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1     Redukovaný tvar VI Matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru.   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0     Redukovaný tvar VII Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru. Redukovaný tvar VII Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru. Příklad (B | c) =   1 0 −2 0 0 3 0 1 6 0 0 0 0 0 0 1 0 1   je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R. Redukovaný tvar VIII Tato matice odpovídá soustavě x1 − 2x3 = 3 x2 + 6x3 = 0 x4 = 1 v neznámých x1, x2, x3, x4, x5. Redukovaný tvar VIII Tato matice odpovídá soustavě x1 − 2x3 = 3 x2 + 6x3 = 0 x4 = 1 v neznámých x1, x2, x3, x4, x5. Tato soustava má nekonečně mnoho řešení. Redukovaný tvar IX Každé volbě parametrů s, t ∈ R zodpovídá jedno řešení x1 = 3 + 2s x2 = − 6s x3 = s x4 = 1 x5 = t. Redukovaný tvar X Přeznačení neznámých za parametry x3 = s, x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou. Redukovaný tvar X Přeznačení neznámých za parametry x3 = s, x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou. Řešení lze napsat přímo na základě matice (B | c). Redukovaný tvar X Přeznačení neznámých za parametry x3 = s, x5 = t a jejich přesun na pravou stranu je natolik bezprostřední úprava, že soustavu příslušnou k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou. Řešení lze napsat přímo na základě matice (B | c). Soustavu lineárních rovnic B · x = c nad tělesem K budeme nazývat vyřešenou soustavou, pokud její rozšířená matice (B | c) je v redukovaném stupňovitém tvaru. Redukovaný tvar XI V případě homogenní soustavy se stačí omezit pouze na matici B. Redukovaný tvar XI V případě homogenní soustavy se stačí omezit pouze na matici B. Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové matici (B | c) v redukovaném stupňovitém tvaru najít všechna řešení soustavy B · x = c. Redukovaný tvar XI V případě homogenní soustavy se stačí omezit pouze na matici B. Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové matici (B | c) v redukovaném stupňovitém tvaru najít všechna řešení soustavy B · x = c. Nejprve si ujasníme, kdy je takováto soustava řešitelná, t. j. má alespoň jedno řešení. Redukovaný tvar XII Soustava B · x = c má řešení právě tehdy, když se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru (0, . . . , 0 n-krát | 1). Redukovaný tvar XII Soustava B · x = c má řešení právě tehdy, když se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru (0, . . . , 0 n-krát | 1). Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která očividně nemá řešení. Redukovaný tvar XII Soustava B · x = c má řešení právě tehdy, když se v matici (B | c) nenachází řádek tvaru (0, . . . , 0 n-krát | 1). Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která očividně nemá řešení. To, že nepřítomnost takovéhoto řádku je i postačující podmínkou řešitelnosti soustavy, vyplýva z následujícího postupu, jak toto řešení najít. Redukovaný tvar XIII Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází vedoucí prvek žádného řádku, tak si neznámou xj zvolíme za parametr. Redukovaný tvar XIII Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází vedoucí prvek žádného řádku, tak si neznámou xj zvolíme za parametr. Pokud se v j-tém sloupci nachádzí vedoucí prvek nějakého řádku, tak si vyjádříme neznámou xj pomocí parametrů tak, že sloupce matice B příslušné těmto parametrům "přehodíme s opačným znaménkem na druhou stranu". Redukovaný tvar XIV Příklad. (B | c) =   1 0 0 2/3 −1/2 0 1 0 3/4 0 0 0 1 −4 −2/5 5 2 −2   je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R. Redukovaný tvar XIV Příklad. (B | c) =   1 0 0 2/3 −1/2 0 1 0 3/4 0 0 0 1 −4 −2/5 5 2 −2   je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R. Vidíme, že se v ní nenachází řádek tvaru (0, 0, 0, 0 | 1), tedy soustava B · x = c by měla mít řešení. Redukovaný tvar XV Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají ve sloupcích 1, 2 a 3. Za parametry si tedy zvolíme neznámé x4 a x5. Redukovaný tvar XV Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají ve sloupcích 1, 2 a 3. Za parametry si tedy zvolíme neznámé x4 a x5. Řešením soustavy je každý vektor (x1, x2, x3, x4, x5)T ∈ R tvaru x1 = 5−2 3 s+1 2 t x2 = 2−3 4 s x3 = −2+4s+2 5 t x4 = s x5 = t, Redukovaný tvar XVI Parametry s, t ∈ R mohou nabývat libovolné hodnoty. Zlomků u parametrů se můžeme zbavit. Je jedno, zda si parametrické proměnné zvolíme ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s, x5 = 10t, kde s, t ∈ R. Redukovaný tvar XVI Parametry s, t ∈ R mohou nabývat libovolné hodnoty. Zlomků u parametrů se můžeme zbavit. Je jedno, zda si parametrické proměnné zvolíme ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s, x5 = 10t, kde s, t ∈ R. x1 = 5− 8s +5t x2 = 2 −9s x3 = −2+36s+ 4t x4 = 12s x5 = 10t Při takovéto volbě parametrů dostaneme všechna řešení soustavy ve tvaru bez zlomků. ERO a ESO I Elementární řádkovou operací (transformací), zkráceně ERO, na matici A ∈ Km×n rozumíme I. Výměnu dvou řádků matice A; ERO a ESO I Elementární řádkovou operací (transformací), zkráceně ERO, na matici A ∈ Km×n rozumíme I. Výměnu dvou řádků matice A; II. Vynásobení některého řádku matice A nenulovým skalárem z číselného tělesa K; ERO a ESO I Elementární řádkovou operací (transformací), zkráceně ERO, na matici A ∈ Km×n rozumíme I. Výměnu dvou řádků matice A; II. Vynásobení některého řádku matice A nenulovým skalárem z číselného tělesa K; III. Přičtení skalárního násobku některého řádku matice A k jejímu jinému řádku. ERO a ESO II Matice A, B ∈ Km×n sa nazývají řádkově ekvivalentní, označení A ∼ B, pokud jednu z nich můžeme upravit na druhou konečným počtem elementárních řádkových operací. ERO a ESO II Matice A, B ∈ Km×n sa nazývají řádkově ekvivalentní, označení A ∼ B, pokud jednu z nich můžeme upravit na druhou konečným počtem elementárních řádkových operací. Analogické pojmy – elementární sloupcové operace (ESO) a sloupcová ekvivalence matic, označení A B. ERO a ESO III Výměnou i-tého a k-tého řádku v matici A =              r1(A) ... ri (A) ... rk(A) ... rm(A)              dostaneme matici              r1(A) ... rk(A) ... ri (A) ... rm(A)              . ERO a ESO IV Vynásobením i-tého řádku matice A skalárem c = 0 dostaneme matici              r1(A) ... cri (A) ... rk(A) ... rm(A)              . Vynásobením i-tého řádku této matice skalárem c−1 = 0 získáme opět matici A. ERO a ESO V Přičtením c-násobku i-tého řádku matice A k jejímu k-tému řádku z ní dostaneme matici              r1(A) ... ri (A) ... rk(A) + cri (A) ... rm(A)              . ERO a ESO VI Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě zůstává nezměněný. Matici A z této matice získáme přičtením (−c)-násobku jejího i-tého řádku k jejímu k-tému řádku. ERO a ESO VI Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě zůstává nezměněný. Matici A z této matice získáme přičtením (−c)-násobku jejího i-tého řádku k jejímu k-tému řádku. Poznamenejme, že, v případě výměny opětovnou výměnou i-tého a k-tého řádku v matici vzniklé výměnou i-tého a k-tého řádku, získame zase matici A. ERO a ESO VII Je-li A · x = b soustava s rozšířenou maticí (A | b) a bloková matica (A | b ) vznikne z (A | b) provedením jedné (nezáleží které) ERO, pak soustava A · x = b je ekvivalentní s původní soustavou A · x = b. ERO a ESO VIII Elementární řádkové operace na matici (A | b) totiž odpovídají ERO a ESO VIII Elementární řádkové operace na matici (A | b) totiž odpovídají postupné záměně pořadí dvou rovnic soustavy, ERO a ESO VIII Elementární řádkové operace na matici (A | b) totiž odpovídají postupné záměně pořadí dvou rovnic soustavy, vynásobení některé rovnice nenulovým skalárem ERO a ESO VIII Elementární řádkové operace na matici (A | b) totiž odpovídají postupné záměně pořadí dvou rovnic soustavy, vynásobení některé rovnice nenulovým skalárem přičtení nějakého násobku jedné rovnice k jiné rovnici. ERO a ESO IX Přesněji nahrazením dvojice rovnic ri (A) · x = bi , rk(A) · x = bk dvojicí rovnic ri (A) · x = bi , (rk(A) + cri (A)) · x = bk + cbi . ERO a ESO X Je-li A · x = b soustava s rozšířenou maticí (A | b) a (A | b ) rozšířená matice nové ekvivalentní soustavy A · x = b , můžeme se od nové soustavy vhodnou ERO provedenou na její rozšířené matici opět vrátit k původní soustavě A · x = b. ERO a ESO XI Tvrzení Nechť K je těleso, A, B ∈ Km×n , b, c ∈ Km . Jsou-li blokové matice (A | b), (B | c) řádkově ekvivalentní, pak jsou i soustavy lineárních rovnic A · x = b, B · x = c ekvivalentní. ERO a ESO XII Věta Každá matice nad číselným tělesem K je řádkově ekvivalentní s nějakou (právě jednou) maticí v redukovaném stupňovitém tvaru. Poznámka. Uvedený redukovaný stupňovitý tvar dané matice je jednoznačně určený. ERO a ESO XIII Příklad Je daná soustava 2x1 +3x2 − x4 = 1 3x1 +2x2 +4x3 −2x4 = 0 x1 − x2 +4x3 − x4 = 2 třech rovnic o čtyřech neznámých nad tělesem R. ERO a ESO XIV Její rozšířená matice je   2 3 0 −1 3 2 4 −2 1 −1 4 −1 1 0 2   . Při její úpravě na redukovaný stupňovitý tvar budeme vynechávat některé mezikroky a zaznamenáme jen některé výsledky vícero provedených ERO. ERO a ESO XV Poslední řádek matice dáme na první místo, potom jeho (−2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který posuneme na druhé místo, a (−3)-násobek původního posledního řádku přičteme k původnímu druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Dostaneme tak matici   1 −1 4 −1 0 5 −8 1 0 5 −8 1 2 −3 −6   . ERO a ESO XVI Přičtením (−1)-násobku druhého řádku k třetímu řádku dostaneme matici   1 −1 4 −1 0 5 −8 1 0 0 0 0 2 −3 −3   . Z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení – obsahuje totiž rovnici 0 = −3. Tedy ani původní soustava nemá řešení. ERO a ESO XVII Dokončíme úpravu na redukovaný stupňovitý tvar, který dostaneme vynásobením třetího řádku skalárem −1/3, přičtením (−2)-násobku resp. 3-násobku tohoto nového řádku k prvnímu resp. druhému řádku a, konečně, vynásobením druhého řádku skalárem 1/5:   1 0 12/5 6/5 0 1 −8/5 1/5 0 0 0 0 0 0 1   . ERO a ESO XVIII Tvrzení Nechť A ∈ Km×n , b ∈ Km a m < n, t. j. soustavy A · x = 0, A · x = b obsahují méně rovnic než neznámých. Potom (a) homogenní soustava A · x = 0 má s řešením x0 = 0 alespoň jedno řešení x = 0; (b) pokud existuje alespoň jedno řešení soustavy A · x = b, pak má tato soustava více než jedno řešení. Gaussova EM I Dále uvedeme tzv. Gaussovu eliminační metodu řešení soustav lineárních rovnic. Rozšířenou matici soustavy upravíme jen na stupňovitý (tedy ne nutně redukovaný stupňovitý) tvar. Gaussova EM II Z tohoto tvaru můžeme snadno určit, zda má soustava nějaké řešení (příslušná matice nesmí obsahovat řádek tvaru (0, . . . , 0 | d), kde 0 = d ∈ K). V tomto případě můžeme všechna řešení soustavy získat volbou parametrů (opět si za ně volíme neznámé xj takové, že v j-tém sloupci se nevyskytuje vedoucí prvek žádného řádku) a zpětným dosazováním, t. j. eliminací neznámých pomocí parametrů. Gaussova EM III Příklad Předpokládejme, že rozšířenou matici nějaké soustavy nad R jsme si pomocí ERO upravili na stupňovitý tvar   0 2 3 0 −1 4 0 0 0 −2 5 4 0 0 0 0 3 1 1 0 4   . Gaussova EM IV Tato matice odpovídá soustavě 2x2 +3x3 − x5 +4x6 = 1 −2x4 +5x5 +4x6 = 0 3x5 + x6 = 4. Za parametry si zvolíme proměnné x1, x3 a x6. Gaussova EM V Zpětným dosazováním postupně dostaneme všechna řešení v parametrickém tvaru x6 = t x5 = 1 3 (4 − x6) = 4 3 − 1 3 t x4 = 1 2 (5x5 + 4x6) = 10 3 − 7 6 t x3 = s x2 = 1 2 (1 − 3x3 + x5 − 4x6) = 7 6 − 3 2 s − 13 6 t x1 = r, kde r, s, t ∈ R. Gaussova EM VI Případně, po trochu "vhodnější" volbě parametrů, bude řešení v tvaru x6 = 6t, x5 = 4 3 − 2t, x4 = 10 3 − 7t, x3 = 2s, x2 = 7 6 − 3s + 13t, x1 = r. Gaussova EM VII Zpětné dosazování můžeme nahradit další úpravou rozšířené matice soustavy pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar. Stačí totiž vynásobit nenulové řádky převrácenými hodnotami jejich vedoucích prvků a přičtením vhodných násobků těchto řádků vynulovat zbývající nenulové prvky ve sloupcích obsahujících vedoucí prvky jednotlivých řádků. Gaussova EM VIII Gaussova eliminační metoda je užitečná zejména tehdy, pokud nám nejde ani tak o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou otázku řešitelnosti soustavy, případně o počet parametrů, které se v nich vyskytují. Gaussova EM VIII Gaussova eliminační metoda je užitečná zejména tehdy, pokud nám nejde ani tak o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou otázku řešitelnosti soustavy, případně o počet parametrů, které se v nich vyskytují. Toto vše je možné zjistit už na základě nějaké matice ve stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní s původní rozšířenou maticí soustavy. V tomto případě si tedy můžeme odpustit další úpravu na redukovaný stupňovitý tvar i zpětné dosazování. LINEÁRNÍ PODPROSTORY a LINEÁRNÍ NEZÁVISLOST Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 2. října 2006 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se vrátíme ke studiu abstraktních vektorových prostorů nad obecným tělesem. K tedy bude v celé kapitole označovat nějaké pevné, jinak libovolné těleso a V bude pevně zvolený vektorový prostor nad K. Obsah přednášky Lineární prostory Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Lineární obal množiny vektorů Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Lineární obal množiny vektorů Průnik a součet lineárních podprostorů Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Lineární obal množiny vektorů Průnik a součet lineárních podprostorů Lineární nezávislost Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Lineární obal množiny vektorů Průnik a součet lineárních podprostorů Lineární nezávislost Lineární obal v prostorech Km Obsah přednášky Lineární prostory Lineární podprostory Lineární obal množiny vektorů Průnik a součet lineárních podprostorů Lineární nezávislost Lineární obal v prostorech Km Lineárně nezávislé posloupnosti Lineární podprostory I Množina S ⊆ V se nazýva lineární (vektorový) podprostor vektorového prostoru V , pokud S = ∅ a pro všechny skaláry a ∈ K a vektory x, y ∈ S platí ax ∈ S a x + y ∈ S. Lineární podprostory II Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S ⊆ V je lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená na operace skalárního násobku a součtu vektorů. Lineární podprostory II Jinak řečeno, neprázdná podmnožina S ⊆ V je lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená na operace skalárního násobku a součtu vektorů. Tvrzení Nechť S je lineární podprostor vektorového prostoru V . Pak 0 ∈ S a S s operacemi součtu vektorů a skalárního násobku zúženými z V na S tvoří vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Lineární podprostory III V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory (v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde o dva různé podprostory) – Lineární podprostory III V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory (v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde o dva různé podprostory) – {0} nazývame triviální nebo též nulový a V nevlastní alebo též plný lineární podprostor. Lineární podprostory III V každém vektorovém prostoru V jsou {0} a V lineární podprostory (v případě, když V = {0}, dokonce splývají, v opačném případě jde o dva různé podprostory) – {0} nazývame triviální nebo též nulový a V nevlastní alebo též plný lineární podprostor. Tedy pro vlastní netriviální lineární podprostor S ⊆ V platí {0} = S = V . Lineární podprostory IV Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0. Lineární podprostory IV Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0. To si můžeme graficky vyjádřit pomocí následujícího obrázku, který samozřejmě ukáže pouze několik z nekonečně mnoha lineárních podprostorů. Lineární podprostory IV Např. ve vektorovém prostoru R3 netriviální vlastní podprostory jsou právě všechny přímky a roviny procházející počátkem 0. To si můžeme graficky vyjádřit pomocí následujícího obrázku, který samozřejmě ukáže pouze několik z nekonečně mnoha lineárních podprostorů. Lineární podprostory jsou popsány pomocí minimálního počtu generátorů. Lineární podprostory V 8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + y 0 B @ 0 1 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >; $$$$$$$$$$8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + y 0 B @ 0 1 0 1 C A 9 >= >;  8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >;     8 >< >: x 0 B @ 1 1 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >; . . . £ £ 8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A 9 >= >; e e8 >< >: y 0 B @ 0 1 0 1 C A 9 >= >; r rrr8 >< >: y 0 B @ 2 1 0 1 C A 9 >= >;   8 >< >: y 0 B @ 1 1 1 1 C A 9 >= >; . . . ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ €€€€€€€€ rrr rr d d8 >< >: 0 B @ 0 0 0 1 C A 9 >= >; Lineární podprostory V 8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + y 0 B @ 0 1 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >; $$$$$$$$$$8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + y 0 B @ 0 1 0 1 C A 9 >= >;  8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >;     8 >< >: x 0 B @ 1 1 0 1 C A + z 0 B @ 0 0 1 1 C A 9 >= >; . . . £ £ 8 >< >: x 0 B @ 1 0 0 1 C A 9 >= >; e e8 >< >: y 0 B @ 0 1 0 1 C A 9 >= >; r rrr8 >< >: y 0 B @ 2 1 0 1 C A 9 >= >;   8 >< >: y 0 B @ 1 1 1 1 C A 9 >= >; . . . ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ €€€€€€€€ rrr rr d d8 >< >: 0 B @ 0 0 0 1 C A 9 >= >; Následující tvrzení charakterizuje lineární podprostory jako množiny uzavřené na lineární kombinace. Lineární podprostory VI Tvrzení Pro libovolnou podmnožinu S vektorového prostoru V jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) S je lineární podprostor ve V ; (ii) S = ∅ a pro všechny skaláry a, b ∈ K a vektory x, y ∈ S platí ax + by ∈ S; (iii) pro každé n ∈ N a pro všechny skaláry a1, . . . , an ∈ K a vektory x1, . . . , xn ∈ S platí a1x1 + . . . + anxn ∈ S. Lineární podprostory VII Příklad (a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X → K takových, že množina {x ∈ X; f (x) = 0} je konečná. Lineární podprostory VII Příklad (a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X → K takových, že množina {x ∈ X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární kombinaci funkcí f , g ∈ K(X) platí {x ∈ X; af (x) + bg(x) = 0} ⊆ {x ∈ X; f (x) = 0} ∪ {x ∈ X; g(x) = 0}. Lineární podprostory VII Příklad (a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X → K takových, že množina {x ∈ X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární kombinaci funkcí f , g ∈ K(X) platí {x ∈ X; af (x) + bg(x) = 0} ⊆ {x ∈ X; f (x) = 0} ∪ {x ∈ X; g(x) = 0}. Z toho vyplývá, že K(X) je lineární podprostor vektorového prostoru KX . Lineární podprostory VII Příklad (a) Označme K(X) množinu všech funkí f : X → K takových, že množina {x ∈ X; f (x) = 0} je konečná. Pro libovolnou lineární kombinaci funkcí f , g ∈ K(X) platí {x ∈ X; af (x) + bg(x) = 0} ⊆ {x ∈ X; f (x) = 0} ∪ {x ∈ X; g(x) = 0}. Z toho vyplývá, že K(X) je lineární podprostor vektorového prostoru KX .Je-li X je konečná, tak K(X) = KX , je-li X je nekonečná, tak K(X) je netrivální vlastní podprostor v KX . Lineární podprostory VIII (b)Nechť X ⊆ R je libovolná množina reálných čísel. Potom C(X, R), nebo jen stručně C(X) označuje množinu všech spojitých funkcí f : X → R. Lineární podprostory VIII (b)Nechť X ⊆ R je libovolná množina reálných čísel. Potom C(X, R), nebo jen stručně C(X) označuje množinu všech spojitých funkcí f : X → R. Protože lineární kombinace spojitých funkcií je zřejmě opět spojitá funkce, C(X) je lineární podprostor v RX . Lineární obal I Množinu všech lineárních kombinací vektorů z podmnožiny X vektorového prostoru V nazýváme lineárním obalem množiny X a označujeme ji [X]. Lineární obal I Množinu všech lineárních kombinací vektorů z podmnožiny X vektorového prostoru V nazýváme lineárním obalem množiny X a označujeme ji [X]. Tedy [X] = { a1x1 + . . . + anxn; n ∈ N & a1, . . . , an ∈ K & x1, . . . , xn ∈ X}. Lineární obal II Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak místo [{x1, . . . , xn}] píšeme jen [x1, . . . , xn]. Lineární obal II Je-li X = {x1, . . . , xn} konečná množina, tak místo [{x1, . . . , xn}] píšeme jen [x1, . . . , xn]. Zřejmě tento zápis má smysl i pro libovolou uspořádanou n-tici (ne nutně různých) vektorů (x1, . . . , xn), a platí [x1, . . . , xn] = {a1x1 + . . . + anxn; a1, . . . , an ∈ K}. Lineární obal III Tvrzení Nechť X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineární obal [X] množiny X je nejmenší lineární podprostor vektorového prostoru V takový, že X ⊆ [X]. Lineární obal III Tvrzení Nechť X je podmnožina vektorového priestoru V . Potom lineární obal [X] množiny X je nejmenší lineární podprostor vektorového prostoru V takový, že X ⊆ [X]. Dokázané tvrzení nás opravňuje nazývat lineární obal [X] množiny X ⊆ V též lineárním podprostorem generovaným množinou X. Lineární obal IV Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S, případně, že X je generující množina nebo též množina generátorů lineárního podprostoru S ⊆ V . Lineární obal IV Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S, případně, že X je generující množina nebo též množina generátorů lineárního podprostoru S ⊆ V . Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme o generující množině. Používá se též název vytvářející či vytvořující množina. Lineární obal IV Pokud [X] = S, říkáme, že X generuje lineární podprostor S, případně, že X je generující množina nebo též množina generátorů lineárního podprostoru S ⊆ V . Je-li S = V , t. j. je-li [X] = V , mluvíme o generující množině. Používá se též název vytvářející či vytvořující množina. Kvůli přehlednosti ještě shrneme základní vlastnosti operace lineárního obalu X → [X]. Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: (a) [∅] = [0] = {0}; (b) X ⊆ [X]; Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: (a) [∅] = [0] = {0}; (b) X ⊆ [X]; (c) X ⊆ Y ⇒ [X] ⊆ [Y ]; Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: (a) [∅] = [0] = {0}; (b) X ⊆ [X]; (c) X ⊆ Y ⇒ [X] ⊆ [Y ]; (d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X]; Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: (a) [∅] = [0] = {0}; (b) X ⊆ [X]; (c) X ⊆ Y ⇒ [X] ⊆ [Y ]; (d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X]; (e) [[X]] = [X]; Lineární obal V Tvrzení Pro libovolné podmnožiny X, Y vektorového prostoru V a v ∈ V platí: (a) [∅] = [0] = {0}; (b) X ⊆ [X]; (c) X ⊆ Y ⇒ [X] ⊆ [Y ]; (d) X je lineární podprostor ve V právě tehdy, když X = [X]; (e) [[X]] = [X]; (f) v ∈ [X] ⇔ [X ∪ {v}] = [X]. Součet I Nechť X, Y jsou libovolné podmnožiny vektorového prostoru V . Součet I Nechť X, Y jsou libovolné podmnožiny vektorového prostoru V . Potom množinu X + Y = {x + y; x ∈ X & y ∈ Y } nazýváme součtem množin X, Y . Součet II Tvrzení Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V . Potom i S ∩ T a S + T jsou lineární podprostory ve V . Navíc platí S + T = [S ∪ T], t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V , který obsahuje S i T. Součet II Tvrzení Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V . Potom i S ∩ T a S + T jsou lineární podprostory ve V . Navíc platí S + T = [S ∪ T], t. j. S + T je nejmenší lineární podprostor ve V , který obsahuje S i T. Sjednocení dvou lineárních podprostorů S, T vektorového prostoru V nemusí být lineárním podprostorem. Součet III Přesněji, S ∪ T je lineární podprostor ve V právě tehdy, když S ⊆ T nebo T ⊆ S. Součet III Přesněji, S ∪ T je lineární podprostor ve V právě tehdy, když S ⊆ T nebo T ⊆ S. Součet lineárních podprostorů S, T vektorového prostoru V nazýváme přímý nebo též direktní součet, pokud S ∩ T = {0}; píšeme pak S ⊕ T. Součet IV Tvrzení Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V . Následující podmínky jsou ekvivalentní: Součet IV Tvrzení Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V . Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) S ∩ T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní; Součet IV Tvrzení Nechť S, T jsou lineární podprostory vektorového prostoru V . Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) S ∩ T = {0}, t.˙j. součet S + T je direktní; (ii) každý vektor z ∈ S + T má jednoznačné vyjádření ve tvaru z = x + y, kde x ∈ S, y ∈ T. Závislost I Nechť u1, . . . , un ∈ V . Závislost I Nechť u1, . . . , un ∈ V . Říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně závislá, pokud existují skaláry c1, . . . , cn ∈ K tak, že (c1, . . . , cn) = 0 a c1u1 + . . . + cnun = 0. Závislost I Nechť u1, . . . , un ∈ V . Říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně závislá, pokud existují skaláry c1, . . . , cn ∈ K tak, že (c1, . . . , cn) = 0 a c1u1 + . . . + cnun = 0. V opačném případě říkáme, že uspořádaná n-tice vektorů (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá. Závislost II Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že uspořádanou 0-tici (t. j. prázdnou posloupnost) vektorů považujeme za lineárně nezávislou. Závislost II Pro n = 0 kvůli úplnosti dodávame, že uspořádanou 0-tici (t. j. prázdnou posloupnost) vektorů považujeme za lineárně nezávislou. Místo o "lineárně (ne)závislé uspořádané n-tici vektorů (u1, . . . , un)" budeme často mluvit jen o lineárně (ne)závislých vektorech u1, . . . , un. Závislost III Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když Závislost III Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když (∀ c1, . . . , cn ∈ K) (c1u1 + . . . + cnun = 0 ⇒ c1 = . . . = cn = 0). Závislost III Podle definice lineární nezávislosti jsou vektory u1, . . . , un lineárně nezávislé právě tehdy, když (∀ c1, . . . , cn ∈ K) (c1u1 + . . . + cnun = 0 ⇒ c1 = . . . = cn = 0). Pro n-tici skalárů (c1, . . . , cn) = 0 platí c1u1 + . . . + cnun = 0 pro libovolnou n-tici vektorů (u1, . . . , un), bez ohledu na to, zda je lineárně závislá nebo nezávislá. Závislost IV Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme jako výsledek lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné n-tice skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) – takovéto uspořádané n-tice (u1, . . . , un) nazýváme lineárně závislé. Závislost IV Pro některé n-tice vektorů (u1, . . . , un) můžeme jako výsledek lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun dostat 0 i s pomocí jiné n-tice skalárů (c1, . . . , cn) než jen 0 = (0, . . . , 0) – takovéto uspořádané n-tice (u1, . . . , un) nazýváme lineárně závislé. Pro některé uspořádané n-tice vektorů (u1, . . . , un) je volba (c1, . . . , cn) = 0 jediná možnost jak pomocí lineární kombinace c1u1 + . . . + cnun získáme výsledek 0 – takovéto n-tice nazýváme lineárně nezávislé. Závislost V Platí čtyři jednoduchá pozorování: (a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0; Závislost V Platí čtyři jednoduchá pozorování: (a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0; (b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden z nich je násobkem druhého; Závislost V Platí čtyři jednoduchá pozorování: (a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0; (b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden z nich je násobkem druhého; (c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak jsou tyto vektory lineárně závislé; Závislost V Platí čtyři jednoduchá pozorování: (a) jediný vektor u je lineárně nezávislý právě tehdy, když u = 0; (b) vektory u, v jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden z nich je násobkem druhého; (c) je-li některý z vektorů u1, . . . , un roven 0, pak jsou tyto vektory lineárně závislé; (d) pokud se některé dva z vektorů u1, . . . , un rovnají, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. Závislost VI Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice nenulových a navzájem různých vektorů, z kterých žádný není násobkem druhého, může (ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá. Závislost VI Jinak řečeno, pouze uspořádaná n-tice nenulových a navzájem různých vektorů, z kterých žádný není násobkem druhého, může (ale stále ještě nemusí) být lineárně nezávislá. Následující tabulka shrnuje vztah lineární závislosti vzhledem k relaci inkluze. S1 ⊆ S S1 ⊇ S S nezávislá S1 bude nezávislá S1 může být oboje S závislá S1 může být oboje S1 bude závislá Závislost VII Tvrzení Pre libovolné n ∈ N a u1, . . . , un ∈ V jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) vektory u1, . . . , un jsou lineárně závislé; (ii) některý z vektorů uk, k ≤ n, je lineární kombinací předcházejících; (ii’) některý z vektorů uk, k ≤ n, je lineární kombinací nasledujících; (iii) některý z vektorů uk, k ≤ n, je lineární kombinace ostatních. Závislost VIII Každý vektor x z lineárního obalu [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit ve tvaru x = c1u1 + . . . + cnun pro nějakou n-tici skalárů (c1, . . . , cn). Tvrzení Vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když každý vektor x ∈ [u1, . . . , un] můžeme vyjádřit ve tvaru x = c1u1 + . . . + cnun pro jedinou uspořádanou n-tici (c1, . . . , cn) ∈ Kn. Závislost IX Nasledující tvrzení dává do souvislosti lineární (ne)závislost s lineárním obalom. Tvrzení Nechť u1, . . . , un, v ∈ V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) v ∈ [u1, . . . , un]; (ii) vektory u1, . . . , un, v jsou lineárně závislé; (iii) [u1, . . . , un, v] = [u1, . . . , un]. Závislost X Věta Nechť u, . . . , un, v, . . . , vm ∈ V , přičemž vektory u1, . . . , un jsou lineárně nezávislé. Potom z množiny {1, . . . , m} můžeme vybrat indexy i1 < . . . < ik tak, že vektory u1, . . . , un, vi1 , . . . , vik jsou lineárně nezávislé a generují stejný podprostor jako vektory u1, . . . , un, v1, . . . , vm. Lineární obal v Km I Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO na (redukovaný) stupňovitý tvar na řešení následujících tří otázek: Lineární obal v Km I Použití téže metody úpravy matic pomocí ERO na (redukovaný) stupňovitý tvar na řešení následujících tří otázek: (1) rozhodnout pre dané vektory x1, . . . , xn, y ∈ Km zda y patří nebo nepatří do lineárního obalu [x1, . . . , xn]; Lineární obal v Km II (2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn ∈ Km zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé; Lineární obal v Km II (2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn ∈ Km zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé; (3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn ∈ Km lineárně nezávislé vektory xj1 , . . . , xjk (j1 < . . . < jk) tak, aby vektory xj1 , . . . , xjk generovaly ve V stejný lineární podprostor jako vektory x1, . . . , xn. Lineární obal v Km II (2) rozhodnout pro dané vektory x1, . . . , xn ∈ Km zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé; (3) vybrat z vektorů x1, . . . , xn ∈ Km lineárně nezávislé vektory xj1 , . . . , xjk (j1 < . . . < jk) tak, aby vektory xj1 , . . . , xjk generovaly ve V stejný lineární podprostor jako vektory x1, . . . , xn. Zavedeme dále označení, kterého sa budeme držet v celém odstavci. Lineární obal v Km III Nechť x1, . . . , xn, y ∈ Km jsou sloupcové vektory, přičemž xj =    x1j ... xmj    , y =    y1 ... ym    . Lineární obal v Km III Nechť x1, . . . , xn, y ∈ Km jsou sloupcové vektory, přičemž xj =    x1j ... xmj    , y =    y1 ... ym    . Označme X = (xij ) ∈ Km×n matici se sloupci x1, . . . , xn, a (X | y) ∈ Km×(n+1) blokovou matici složenou z matice X a vektoru y. Lineární obal v Km IV Potom pro c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn platí: Lineární obal v Km IV Potom pro c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn platí: (1) c1x1 + . . . + cnxn = y ⇔ X · c = y; Lineární obal v Km IV Potom pro c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn platí: (1) c1x1 + . . . + cnxn = y ⇔ X · c = y; (2) c1x1 + . . . + cnxn = 0 ⇔ X · c = 0. Lineární obal v Km IV Potom pro c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn platí: (1) c1x1 + . . . + cnxn = y ⇔ X · c = y; (2) c1x1 + . . . + cnxn = 0 ⇔ X · c = 0. Jinak řečeno: (1) y ∈ [x1, . . . , xn] právě tehdy, když soustava X · c = y s rozšírenou maticí (X | y) má alespoň jedno řešení; Lineární obal v Km V (2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když homogenní soustava X · c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud tato soustava má i nějaké nenulové řešení, tak vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé. Lineární obal v Km V (2) vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když homogenní soustava X · c = 0 má jediné řešení c = 0; pokud tato soustava má i nějaké nenulové řešení, tak vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé. Otázku (1) umíme řešit. Stačí pomocí ERO upravit matici (X | y) na stupňovitý tvar. Pokud výsledná matice obsahuje řádek tvaru (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, tak soustava X · c = y nemá řešení a y /∈ [x1, . . . , xn]. Lineární obal v Km VI Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a y ∈ [x1, . . . , xn]. Lineární obal v Km VI Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a y ∈ [x1, . . . , xn]. Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží vedoucí prvek nějakého řádku. Lineární obal v Km VI Pokud sa takovýto řádek ve výsledné matici nenachází, tak soustava má alespoň jedno řešení a y ∈ [x1, . . . , xn]. Podobně je tomu s otázkou (2). Opět stačí pomocí ERO upravit matici X na stupňovitý tvar a podívat se, zda v každém sloupci leží vedoucí prvek nějakého řádku. Pokud tento případ nastane, nemáme možnost zvolit parametry, c = 0 je jediným řešením soustavy X · c = 0 a vektory x1, . . . , xn jsou lineárně nezávislé. Lineární obal v Km VII V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé. Lineární obal v Km VII V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé. Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je právě v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z. Lineární obal v Km VII V opačném případě máme možnost volby alespoň jednoho parametru, soustava má tedy nějaké nenulové řešení a vektory x1, . . . , xn jsou lineárně závislé. Vedoucím prvkem řádku (0, . . . , 0 | z), kde z = 0, je právě v (n + 1)-ním sloupci ležící prvek z. Tedy matice v stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní s (X | y) neobsahuje takový řádek právě tehdy, když v jejím posledním sloupci neleží vedoucí prvek žádného řádku. Lineární obal v Km VIII Příklad Uvažme sloupcové vektory x1 = (1, 1, −1, −1)T , x2 = (0, 1, 0, 1)T , x3 = (3, 1, −3, −5)T , x4 = (0, 0, 1, 2)T , y = (3, 5, −2, 1)T , z = (1, 1, 1, 1)T v prostoru R4. Máme rozhodnout, zda vektory y, z leží v lineárním obalu [x1, x2, x3, x4]. Lineární obal v Km IX Označme si následující matice (X | y) =     1 0 3 0 1 1 1 0 −1 0 −3 1 −1 1 −5 2 3 5 −2 1     , Lineární obal v Km IX Označme si následující matice (X | y) =     1 0 3 0 1 1 1 0 −1 0 −3 1 −1 1 −5 2 3 5 −2 1     , (X | z) =     1 0 3 0 1 1 1 0 −1 0 −3 1 −1 1 −5 2 1 1 1 1     . Lineární obal v Km X Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní s maticemi     1 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0     resp.     1 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 −2     . Lineární obal v Km X Matice (X | y), (X | z) jsou řádkově ekvivalentní s maticemi     1 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0     resp.     1 0 3 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 −2     . Okamžitě vidíme, že platí y ∈ [x1, x2, x3, x4] a z /∈ [x1, x2, x3, x4]. Lineární obal v Km XI Příklad Zjistíme, zda sloupce reálné matice X =     2 0 1 3 2 1 2 3 0 2 3 1 1 2 4 2     jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Lineární obal v Km XII Tato matice je řádkově ekvivalentní s maticí     1 2 4 2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2     . Vidíme, že slouce matice X jsou lineárně nezávislé. Lineární obal v Km XIII Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5 je řádkově ekvivalentní s maticí     1 2 4 2 0 1 3 4 0 0 2 3 0 0 0 0     . Lineární obal v Km XIII Z druhé strany, X jakožto matice nad tělesem Z5 je řádkově ekvivalentní s maticí     1 2 4 2 0 1 3 4 0 0 2 3 0 0 0 0     . Tedy sloupce matice X, chápané jakožto vektory z vektorového prostoru Z4 5, jsou lineárně závislé. Lineární obal v Km XIV Tvrzení Nechť X, Y ∈ Km×n jsou řádkově ekvivalentní matice, přičemž matice Y je ve stupňovitém tvaru. Pro 1 ≤ j ≤ n označme xj = sj (X) j-tý sloupec matice X. Nechť j1 < . . . < jk jsou indexy všech sloupců matice Y, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků. Potom platí: Lineární obal v Km XV (a) vektory xj1 , . . . , xjk jsou lineárně nezávislé; Lineární obal v Km XV (a) vektory xj1 , . . . , xjk jsou lineárně nezávislé; (b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží vedoucí prvek žádného jejího řádku (t. j. 1 ≤ j ≤ n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je lineární kombinací vektorů xj1 , . . . , xjl , kde l ≤ k je největší index, pro který platí jl < j; Lineární obal v Km XV (a) vektory xj1 , . . . , xjk jsou lineárně nezávislé; (b) pokud v j-tém sloupci matice Y neleží vedoucí prvek žádného jejího řádku (t. j. 1 ≤ j ≤ n a j = j1, . . . , jk), tak vektor xj je lineární kombinací vektorů xj1 , . . . , xjl , kde l ≤ k je největší index, pro který platí jl < j; (c) [xj1 , . . . , xjk ] = [x1, . . . , xn]. Lineární obal v Km XVI Výše uvedené tvrzení nám dáva přímý návod na řešení otázky (3). Stačí pomocí ERO upravit matici X = (x1, . . . , xn) na matici Y v stupňovitém tvaru a zjistit v ní indexy j1 < . . . < jk všech sloupců, ve kterých leží vedoucí prvky jejich řádků. Potom xj1 , . . . , xjk jsou hledané lineární nezávislé vektory, které generují lineární podprostor [x1, . . . , xn]. Lineární obal v Km XVII Příklad Ze sloupců reálné matice X =     1 1 3 −1 1 2 0 2 1 3 1 1 3 2 4 2 0 2 0 2     je třeba vybrat lineární nezávislé sloupce, které generují lineární obal všech sloupců matice X. Lineární obal v Km XVIII Matice X je řádkově ekvivalentní s maticí Y =     1 1 3 −1 1 0 1 2 2 −3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0     ve stupňovitém tvaru. Vedoucí prvky řádků matice Y se nachází ve sloupcích 1, 2 a 4. Lineární obal v Km XIX Hledané vektory jsou tedy sloupce 1, 2 a 4 matice X. Zapsané vedle sebe pak tvoří matici     1 1 −1 2 0 1 1 1 2 2 0 0     . Lineární obal v Km XX Poznámka. Výše uvedený postup řešení otázek (1), (2) a (3) pro prostory sloupcových vektorů Km lze modifikovat na prostory řádkových vektorů Km – např. transponováním příslušných matic řádkových vektorů nebo nahrazením elementárních řádkových operací sloupcovými. Lineárně nezávislé posloupnosti I Nekonečnou posloupnost (uk)∞ k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . ) vektorů z prostoru V nazýváme lineárně nezávislou, pokud každá její konečná podposloupnost (uk1 , . . . , ukn ), kde 0 ≤ k1 < . . . < kn, je lineárně nezávislá. Lineárně nezávislé posloupnosti II Tvrzení Nekonečná posloupnost (uk)∞ k=0 vektorů z V je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro každé n ∈ N je její počáteční úsek (u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý. Lineárně nezávislé posloupnosti II Tvrzení Nekonečná posloupnost (uk)∞ k=0 vektorů z V je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro každé n ∈ N je její počáteční úsek (u0, u1, . . . , un) lineárně nezávislý. Například posloupnost (1, x, x2, . . . , xk, . . . ) všech mocnin x je lineárně nezávislá posloupnost ve vektorovém prostoru K[x] všech polynomů v proměnné x nad tělesem K. Polynom f (x) = a0 +a1x +. . .+anxn je (definitoricky) nulový právě tehdy, když a0 = a1 = . . . = an = 0. Lineárně nezávislé posloupnosti III Množina X ⊆ V sa nazývá lineárně nezávislá, pokud pro libovolné n ∈ N každá uspořádaná n-tice navzájem různých vektorů (u1, . . . , un) z množiny X je lineárně nezávislá. Lineárně nezávislé posloupnosti III Množina X ⊆ V sa nazývá lineárně nezávislá, pokud pro libovolné n ∈ N každá uspořádaná n-tice navzájem různých vektorů (u1, . . . , un) z množiny X je lineárně nezávislá. Kdyby totiž u1, . . . , un nebyly navzájem různé vektory, nemohly by být lineárně nezávislé. Lineární závislost či nezávislost uspořádané n-tice vektorů nezávisí na jejich pořadí. Lineárně nezávislé posloupnosti IV Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá právě tehdy, když je lineárně nezávislá uspořádaná n-tice (uσ(1), . . . , uσ(n)), kde σ je libovolná permutace množiny {1, . . . , n}. Lineárně nezávislé posloupnosti IV Zřejmě uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) je lineárně nezávislá právě tehdy, když je lineárně nezávislá uspořádaná n-tice (uσ(1), . . . , uσ(n)), kde σ je libovolná permutace množiny {1, . . . , n}. Tedy, lineární (ne)závislost uspořádané n-tice (u1, . . . , un) navzájem různých vektorů je vlastností množiny {u1, . . . , un}. Lineárně nezávislé posloupnosti V Tvrzení Uspořádaná n-tice (u1, . . . , un) navzájem různých vektorů z V je lineárně nezávislá právě tehdy, když množina {u1, . . . , un} ⊆ V je lineárně nezávislá. Lineárně nezávislé posloupnosti VI Tvrzení Nechť X ⊆ V je lineárně nezávislá množina a v ∈ V . Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) v ∈ [X]; (ii) množina X ∪ {v} je lineárně závislá; (iii) [X ∪ {v}] = [X]. BÁZE A DIMENZE Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 20. října 2006 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice. Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice. Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a odvodíme si některé jeho základní vlastnosti. Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice. Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a odvodíme si některé jeho základní vlastnosti. V následující kapitole si potom mimo jiné dokážeme, že dimenze je základní strukturní invariant tzv. konečně rozměrných vektorových prostorů. Obsah přednášky Báze a dimenze Steinitzova věta a konečně rozměrné prostory Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru Souřadnice vektoru vzhledem na danou bázi Souřadnice vektoru vzhledem na danou bázi Dimenze součtu a součinu vektorových prostorů Dimenze součtu a součinu vektorových prostorů Steinitzova věta I Věta (Steinitzova věta) Nechť u1, . . . , un, v1, . . . , vm ∈ V . Jsou-li vektory u1, . . . , un lineárně nezávislé a všechny patří do lineárního obalu [v1, . . . , vm], pak n ≤ m. Steinitzova věta II Tvrzení Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky ekvivalentní: Steinitzova věta II Tvrzení Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky ekvivalentní: (i) existuje konečná množina X ⊆ V tak, že [X] = V ; Steinitzova věta II Tvrzení Pro libovolný vektorový prostor V jsou nasledující podmínky ekvivalentní: (i) existuje konečná množina X ⊆ V tak, že [X] = V ; (ii) každá lineárně nezávislá množina Y ⊆ V je konečná. Steinitzova věta III Říkáme, že vektorový prostor V je konečně rozměrný (konečně dimenzionální), pokud splňuje některou (tedy nutně obě) z ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě dokázaného tvrzení. Steinitzova věta III Říkáme, že vektorový prostor V je konečně rozměrný (konečně dimenzionální), pokud splňuje některou (tedy nutně obě) z ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě dokázaného tvrzení. V opačném případě říkáme, že V je nekonečně rozměrný (nekonečně dimenzionální) vektorový prostor. Báze a dimenze I Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Báze a dimenze I Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Bází prostoru V nazýváme každou lineárně nezávislou uspořádanou n-tici (u1, . . . , un) vektorů z V , která generuje celý prostor V . Báze a dimenze I Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Bází prostoru V nazýváme každou lineárně nezávislou uspořádanou n-tici (u1, . . . , un) vektorů z V , která generuje celý prostor V . Říkáme pak, že vektory u1, . . . , un tvoří bázi prostoru V . Báze a dimenze II Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4. Tvrzení Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom Báze a dimenze II Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4. Tvrzení Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou k-tici (u1, . . . , uk) vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze (u1, . . . , uk, . . . , un) prostoru V ; Báze a dimenze II Následující tvrzení je důsledkem věty 4.4.4. Tvrzení Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou k-tici (u1, . . . , uk) vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze (u1, . . . , uk, . . . , un) prostoru V ; (b) z libovolné generující uspořádané m-tice (v1, . . . , vm) vektorů z V můžeme vybrat nějakou bázi (vi1 , . . . , vin ) prostoru V . Báze a dimenze III Věta Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom Báze a dimenze III Věta Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) V má alespoň jednu bázi; Báze a dimenze III Věta Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) V má alespoň jednu bázi; (b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků. Báze a dimenze III Věta Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) V má alespoň jednu bázi; (b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků. Právě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi nebo též rozměr konečně rozměrného vektorového prostoru V jako počet prvků jeho libovolné báze. Báze a dimenze III Věta Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) V má alespoň jednu bázi; (b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků. Právě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi nebo též rozměr konečně rozměrného vektorového prostoru V jako počet prvků jeho libovolné báze. Dimenzi vektorového prostoru V značíme dimV . Báze a dimenze IV Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor. Báze a dimenze IV Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor. Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = ∞. Báze a dimenze IV Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor. Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = ∞. V případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu číselného tělesa K, budeme používat podrobnější označení dimK V . Báze a dimenze IV Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor. Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = ∞. V případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu číselného tělesa K, budeme používat podrobnější označení dimK V . Tedy V je konečně rozměrný právě tehdy, když dimV < ∞. Báze a dimenze V Tvrzení Nechť dimV = n, v1, . . . , vm ∈ V . Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: Báze a dimenze V Tvrzení Nechť dimV = n, v1, . . . , vm ∈ V . Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: (i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé; Báze a dimenze V Tvrzení Nechť dimV = n, v1, . . . , vm ∈ V . Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: (i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé; (ii) [v1, . . . , vm] = V ; Báze a dimenze V Tvrzení Nechť dimV = n, v1, . . . , vm ∈ V . Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: (i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé; (ii) [v1, . . . , vm] = V ; (iii) m = n. Báze a dimenze V Tvrzení Nechť dimV = n, v1, . . . , vm ∈ V . Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: (i) vektory v1, . . . , vm jsou lineárně nezávislé; (ii) [v1, . . . , vm] = V ; (iii) m = n. To kromě jiného znamená, že na ověření, zda n vektorů v1, . . . , vn tvoří bázi n-rozměrného vektorového prostoru V , stačí ověrit jen jednu (a to libovolnou) z podmínek (i), (ii). Souřadnice vektoru I Následující věta je speciálním případem věty z předchozí kapitoly o lineární nezávislosti. Souřadnice vektoru I Následující věta je speciálním případem věty z předchozí kapitoly o lineární nezávislosti. Věta Vektory u1, . . . , un tvoří bázi vektorového prostoru V právě tehdy, když každý vektor x ∈ V můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru lineární kombinace x = c1u1 + . . . + cnun. Souřadnice vektoru II Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V . Souřadnice vektoru II Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V . Jednoznačnost tohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární nezávislostí vektorů u1, . . . , un. Souřadnice vektoru II Existence aspoň jednoho vyjádření x = c1u1 + . . . + cnun je ekvivalentní s podmínkou, že vektory u1, . . . , un generují V . Jednoznačnost tohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární nezávislostí vektorů u1, . . . , un. Tedy α = (u1, . . . , un) je bází V tehdy a jen tehdy, když pro každé x ∈ V existuje právě jedno c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn tak, že x = c1u1 + . . . + cnun = α · c. Souřadnice vektoru III Uvědomme si, že Souřadnice vektoru III Uvědomme si, že x = α · c Souřadnice vektoru III Uvědomme si, že x = α · c = (u1, . . . , un) ·    c1 ... cn    . Souřadnice vektoru IV Tento jednoznačně určený sloupcový vektor c ∈ Kn budeme nazývat souřadnice vektoru x vzhledem na bázi α Souřadnice vektoru IV Tento jednoznačně určený sloupcový vektor c ∈ Kn budeme nazývat souřadnice vektoru x vzhledem na bázi α a označovat c = (x)α. Tedy každá báze α v n-rozměrném vektorovém prostoru V definuje souřadnicové zobrazení x → (x)α z V do sloupcového vektorového prostoru Kn. Souřadnice vektoru V Tvrzení Nechť α = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového prostoru V . Souřadnice vektoru V Tvrzení Nechť α = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového prostoru V . Potom příslušné souřadnicové zobrazení (−)α : V → Kn je bijektivní a zachovává lineární kombinace, Souřadnice vektoru V Tvrzení Nechť α = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového prostoru V . Potom příslušné souřadnicové zobrazení (−)α : V → Kn je bijektivní a zachovává lineární kombinace, t. j. pro libovolná a, b ∈ K, x, y ∈ V platí (ax + by)α = a(x)α + b(y)α. Souřadnice vektoru V Tvrzení Nechť α = (u1, . . . , un) je báze konečně rozměrného vektorového prostoru V . Potom příslušné souřadnicové zobrazení (−)α : V → Kn je bijektivní a zachovává lineární kombinace, t. j. pro libovolná a, b ∈ K, x, y ∈ V platí (ax + by)α = a(x)α + b(y)α. K němu inverzní zobrazení (−)−1 α : Kn → V je dané předpisem c → α · c. Souřadnice vektoru VI Zejména tedy pro libovolné x ∈ V , c ∈ Kn platí x = α · (x)α, (α · c)α = c. Souřadnice vektoru VI Zejména tedy pro libovolné x ∈ V , c ∈ Kn platí x = α · (x)α, (α · c)α = c. První rovnost ukazuje, jak je možno vektor x zrekonstruovat z dané báze α a jeho souřadnic (x)α v této bázi; Souřadnice vektoru VI Zejména tedy pro libovolné x ∈ V , c ∈ Kn platí x = α · (x)α, (α · c)α = c. První rovnost ukazuje, jak je možno vektor x zrekonstruovat z dané báze α a jeho souřadnic (x)α v této bázi; druhá, že souřadnice lineární kombinace n i=1 ci ui = α · c v bázi α = (u1, . . . , un) tvoří právě vektor (c1, . . . , cn)T . Souřadnice vektoru VII Takto zavedené souřadnice můžeme nazvat sloupcovými souřadnicemi vzhledem k dané bázi. Souřadnice vektoru VII Takto zavedené souřadnice můžeme nazvat sloupcovými souřadnicemi vzhledem k dané bázi. Podobným způsobem můžeme zavést i řádkové souřadnice a dokázat pro ně analogická tvrzení jako pro sloupcové. Souřadnice vektoru VIII Příklad Označme e (n) i = si (In) ∈ Kn sloupcový vektor skládající ze samých nul, mimo i-té složky, která je 1. Souřadnice vektoru VIII Příklad Označme e (n) i = si (In) ∈ Kn sloupcový vektor skládající ze samých nul, mimo i-té složky, která je 1. Potom ε(n) = e (n) 1 , . . . , e (n) n je báze sloupcového vektorového prostoru Kn. Souřadnice vektoru VIII Příklad Označme e (n) i = si (In) ∈ Kn sloupcový vektor skládající ze samých nul, mimo i-té složky, která je 1. Potom ε(n) = e (n) 1 , . . . , e (n) n je báze sloupcového vektorového prostoru Kn. Nazýváme ji kanonickou bází tohoto prostoru. Můžeme ji ztotožnit s jednotkovou maticí In. Souřadnice vektoru IX Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi označovat stručně ε = (e1, . . . , en). Souřadnice vektoru IX Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi označovat stručně ε = (e1, . . . , en). Pro libovolný vektor x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn platí x = x1e1 + . . . + xnen, proto (x)ε = x, Souřadnice vektoru IX Občas budeme horní index (n) vynechávat a příslušnou bázi označovat stručně ε = (e1, . . . , en). Pro libovolný vektor x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn platí x = x1e1 + . . . + xnen, proto (x)ε = x, t. j. každý vektor x ∈ Kn splýva se svými vlastními souřadnicemi v kanonické bázi. Souřadnice vektoru X Kanonická báze řádkového vektorového prostoru Kn je tvořená řádky jednotkové matice In a značíme ji stejně jako v předcházejícím případě ε(n) = e (n) 1 , . . . , e (n) n T nebo stručně ε = (e1, . . . , en)T , s tím rozdílem, že ε(n) = ε je sloupec vektorů a každé ei je řádek skládající se ze samých nul, mimo i-té pozice, na které je 1. Souřadnice vektoru X Kanonická báze řádkového vektorového prostoru Kn je tvořená řádky jednotkové matice In a značíme ji stejně jako v předcházejícím případě ε(n) = e (n) 1 , . . . , e (n) n T nebo stručně ε = (e1, . . . , en)T , s tím rozdílem, že ε(n) = ε je sloupec vektorů a každé ei je řádek skládající se ze samých nul, mimo i-té pozice, na které je 1. Věta Pro libovolné n ∈ N platí dim Kn = n. Souřadnice vektoru XI Příklad Sloupce matice     1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0     tvoří bázi α sloupcového vektorového prostoru K4. Souřadnice vektoru XII Souřadnice vektoru x = (x1, x2, x3, x4)T ∈ Kn v bázi α jsou dané vztahem (x)α = (x4, x3 − x4, x2 − x3, x1 − x2)T . Souřadnice vektoru XII Souřadnice vektoru x = (x1, x2, x3, x4)T ∈ Kn v bázi α jsou dané vztahem (x)α = (x4, x3 − x4, x2 − x3, x1 − x2)T . Platí totiž     x1 x2 x3 x4     = x4     1 1 1 1     + (x3 − x4)     1 1 1 0     + (x2 − x3)     1 1 0 0     + (x1 − x2)     1 0 0 0     . Souřadnice vektoru XIII Příklad Nechť m, n ∈ N. Pro libovolné 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n označme E (m,n) kl = Ekl = (δikδjl )m×n matici typu m × n nad tělesem K, která sestává ze samých nul, kromě pozice (k, l), na které je 1. Souřadnice vektoru XIII Příklad Nechť m, n ∈ N. Pro libovolné 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n označme E (m,n) kl = Ekl = (δikδjl )m×n matici typu m × n nad tělesem K, která sestává ze samých nul, kromě pozice (k, l), na které je 1. Zřejmě každou matici A = (akl ) ∈ Km×n lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru A = m k=1 n l=1 akl Ekl . Souřadnice vektoru XIV Z toho vyplývá, že matice E (m,n) kl , 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n, tvoří bázi vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K. Souřadnice vektoru XIV Z toho vyplývá, že matice E (m,n) kl , 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n, tvoří bázi vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K. Speciálním případem je kanonická báze ε(n) v prostoru Kn. Souřadnice vektoru XIV Z toho vyplývá, že matice E (m,n) kl , 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ l ≤ n, tvoří bázi vektorového prostoru Km×n všech matic typu m × n nad tělesem K. Speciálním případem je kanonická báze ε(n) v prostoru Kn. Dostávame tak vztah: dim Km×n = mn. Dimenze součtu a součinu I Věta Nechť S, T ⊆ V jsou konečně rozměrné lineární podprostory vektorového prostoru V . Dimenze součtu a součinu I Věta Nechť S, T ⊆ V jsou konečně rozměrné lineární podprostory vektorového prostoru V . Potom dim(S + T) = dimS + dimT − dim(S ∩ T). Dimenze součtu a součinu II Důsledek Nechť S, T jsou konečně rozměrné lineární podprostory vektorového prostoru V . Dimenze součtu a součinu II Důsledek Nechť S, T jsou konečně rozměrné lineární podprostory vektorového prostoru V . Potom S ∩ T = {0}, t. j. součet S + T je direktní právě tehdy, když dim(S + T) = dimS + dimT. Dimenze součtu a součinu III Tvrzení Nech‘t V , W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad K. Dimenze součtu a součinu III Tvrzení Nech‘t V , W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad K. Potom pro dimenzi jejich přímého součinu platí dim(V × W ) = dimV + dimW . LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 27. ˇríjna 2006 Abstrakt pˇrednášky Abstrakt V této kapitole prozkoumáme pojem lineárního zobrazení , které nám umožní porovnávat struktury r˚uzných vektorových prostor˚u nad tímž tˇelesem. Obsah pˇrednášky Lineární zobrazení Lineární zobrazení Jádro a obraz lineárního zobrazení Lineární izomorfismy Matice lineárního zobrazení Prostory lineárních zobrazení Lineární zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Lineární zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. ˇRíkáme, že ϕ : V → U je lineární zobrazení, pokud ϕ zachovává operace vektorového souˇctu a skalárního násobku, Lineární zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. ˇRíkáme, že ϕ : V → U je lineární zobrazení, pokud ϕ zachovává operace vektorového souˇctu a skalárního násobku, t. j. pokud pro libovolné x, y ∈ V, c ∈ K platí ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), Lineární zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. ˇRíkáme, že ϕ : V → U je lineární zobrazení, pokud ϕ zachovává operace vektorového souˇctu a skalárního násobku, t. j. pokud pro libovolné x, y ∈ V, c ∈ K platí ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(cx) = cϕ(x). Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opaˇcné vektory, Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opaˇcné vektory, t. j. pro lineární zobrazení ϕ : V → U a x ∈ V platí ϕ(0) = 0, ϕ(−x) = −ϕ(x). Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opaˇcné vektory, t. j. pro lineární zobrazení ϕ : V → U a x ∈ V platí ϕ(0) = 0, ϕ(−x) = −ϕ(x). Pro každý vektorový prostor V je identické zobrazení idV : V → V, x → x lineární. Lineární zobrazení II Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opaˇcné vektory, t. j. pro lineární zobrazení ϕ : V → U a x ∈ V platí ϕ(0) = 0, ϕ(−x) = −ϕ(x). Pro každý vektorový prostor V je identické zobrazení idV : V → V, x → x lineární. Pro libovolné vektorové prostory U, V nad tˇelesem K zobrazení 0 : V → U, které každému vektoru x ∈ V pˇriˇradí nulový vektor 0 ∈ U, je lineární. Lineární zobrazení III Komutativita operace souˇcinu v tˇelese a jeho distributivita vzhledem na sˇcítaní znamená, že pro libovolný pevný skalár a ∈ K je pˇriˇrazením x → ax definované lineární zobrazení K → K. Lineární zobrazení III Komutativita operace souˇcinu v tˇelese a jeho distributivita vzhledem na sˇcítaní znamená, že pro libovolný pevný skalár a ∈ K je pˇriˇrazením x → ax definované lineární zobrazení K → K. Lineární zobrazení m˚užeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tˇelesem), které zachovávají lineární kombinace. Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je libovolné zobrazení. Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ϕ je lineární zobrazení; Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ϕ je lineární zobrazení; (ii) pre všechna x, y ∈ V, a, b ∈ K platí ϕ(ax + by) = aϕ(x) + bϕ(y); Lineární zobrazení IV Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je libovolné zobrazení. Nasledující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ϕ je lineární zobrazení; (ii) pre všechna x, y ∈ V, a, b ∈ K platí ϕ(ax + by) = aϕ(x) + bϕ(y); (iii) pro libovolné n ∈ N a všechna x1, . . . , xn ∈ V, c1, . . . , cn ∈ K platí ϕ(c1x1 + . . . + cnxn) = c1ϕ(x1) + . . . + cnϕ(xn). Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opˇet lineární zobrazení Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opˇet lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostor˚u v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opˇet lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostor˚u v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ψ : W → V, ϕ : V → U jsou lineární zobrazení. Lineární zobrazení V Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opˇet lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostor˚u v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ψ : W → V, ϕ : V → U jsou lineární zobrazení. Potom i jejich složení ϕ ◦ ψ : W → U je lineární zobrazení. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je lineární zobrazení. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineární podprostor prostoru V, tak i ϕ(S) je lineární podprostor prostoru U. Lineární zobrazení VI Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a ϕ : V → U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineární podprostor prostoru V, tak i ϕ(S) je lineární podprostor prostoru U. (b) Je-li T lineární podprostor prostoru U, tak ϕ−1(T) je lineární podprostor prostoru V. Lineární zobrazení VII Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Lineární zobrazení VII Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Distributivita souˇcinu matic vzhledem k jejich souˇctu a jeho zamˇenitelnosti s operací skalárního násobku ˇríká, Lineární zobrazení VII Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Distributivita souˇcinu matic vzhledem k jejich souˇctu a jeho zamˇenitelnosti s operací skalárního násobku ˇríká, že pro pevné m, n, p ∈ N a libovolnou matici A ∈ Km×n je pˇriˇrazením X → A · X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Kn×p → Km×p. Lineární zobrazení VII Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Distributivita souˇcinu matic vzhledem k jejich souˇctu a jeho zamˇenitelnosti s operací skalárního násobku ˇríká, že pro pevné m, n, p ∈ N a libovolnou matici A ∈ Km×n je pˇriˇrazením X → A · X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Kn×p → Km×p. Podobnˇe je pˇriˇrazením Y → Y · A definované lineární zobrazení Kp×m → Kp×n. Lineární zobrazení VIII Speciálnˇe pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x → A · x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn → Km, resp. lineární zobrazení y → y · A mezi ˇrádkovými vektorovými prostory Km → Kn. Lineární zobrazení VIII Speciálnˇe pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x → A · x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn → Km, resp. lineární zobrazení y → y · A mezi ˇrádkovými vektorovými prostory Km → Kn. Každé lineární zobrazení mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad K má v podstatˇe takovýto tvar. Lineární zobrazení IX Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Lineární zobrazení IX Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Pro m, n ∈ N a pevné 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n jsou pˇredpisy Lineární zobrazení IX Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Pro m, n ∈ N a pevné 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n jsou pˇredpisy A → ri(A), A → sj(A) definovaná lineární zobrazení Km×n → K1×n resp. Km×n → Km×1. Lineární zobrazení IX Pˇríklad Necht’ K je tˇeleso. Pro m, n ∈ N a pevné 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n jsou pˇredpisy A → ri(A), A → sj(A) definovaná lineární zobrazení Km×n → K1×n resp. Km×n → Km×1. Rovnˇež A → AT je lineární zobrazení Km×n → Kn×m. Lineární zobrazení X Pˇríklad Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K, X je množina a x ∈ X je pevnˇe zvolený prvek. Lineární zobrazení X Pˇríklad Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K, X je množina a x ∈ X je pevnˇe zvolený prvek. Pˇripomeˇnme, že VX je vektorový prostor všech funkcí f : X → V. Dosazení prvku x do funkce f, t. j. pˇriˇrazení f → f(x), je lineární zobrazení VX → V. Lineární zobrazení X Pˇríklad Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K, X je množina a x ∈ X je pevnˇe zvolený prvek. Pˇripomeˇnme, že VX je vektorový prostor všech funkcí f : X → V. Dosazení prvku x do funkce f, t. j. pˇriˇrazení f → f(x), je lineární zobrazení VX → V. Podobnˇe, pro libovolnou podmnožinu Y ⊆ X je zúžení f → f Y lineární zobrazení VX → VY . Lineární zobrazení XI Pˇríklad Oznaˇcme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných ˇcísel. Lineární zobrazení XI Pˇríklad Oznaˇcme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných ˇcísel. Zˇrejmˇe V je lineární podprostor vektorového prostoru RN všech posloupností reálných ˇcísel. Lineární zobrazení XI Pˇríklad Oznaˇcme V množinu všetch konvergentních posloupností reálných ˇcísel. Zˇrejmˇe V je lineární podprostor vektorového prostoru RN všech posloupností reálných ˇcísel. Pak zobrazení V → R, které posloupnosti a = (an)∞ n=0 ∈ V pˇriˇradí její limitu limn→∞ an, je lineární. Lineární zobrazení XII Pˇríklad Uvažujme projekci π : R3 → R2   x y z   π → x y . Lineární zobrazení XII Pˇríklad Uvažujme projekci π : R3 → R2   x y z   π → x y . Lineární zobrazení XII Pˇríklad Uvažujme projekci π : R3 → R2   x y z   π → x y . Tato projekce je lineární zobrazení, které není prosté a je surjektivní. Lineární zobrazení XII Pˇríklad Uvažujme projekci π : R3 → R2   x y z   π → x y . Tato projekce je lineární zobrazení, které není prosté a je surjektivní. Totiž vzor nˇejakého vektoru v R2 je vertikální pˇrímka vektor˚u z R3. Lineární zobrazení XIII Pˇríklad Následující lineární zobrazení h : R2 → R1 dané pˇredpisem Lineární zobrazení XIII Pˇríklad Následující lineární zobrazení h : R2 → R1 dané pˇredpisem x y h → x + y není rovnˇež prosté. Lineární zobrazení XIII Pˇríklad Následující lineární zobrazení h : R2 → R1 dané pˇredpisem x y h → x + y není rovnˇež prosté. Pro pevné w ∈ R1 je totiž jeho vzor h−1(w) množina všech vektor˚u v rovinˇe, jejichž souˇradnice po seˇctení dávají právˇe w. Lineární zobrazení XIV Pˇríklad Vzory mohou samozˇrejmˇe být jiné struktury než výše použité pˇrímky. Lineární zobrazení XIV Pˇríklad Vzory mohou samozˇrejmˇe být jiné struktury než výše použité pˇrímky. Pro lineární zobrazení h : R3 → R2 definované pˇredpisem   x y z   → x x , Lineární zobrazení XIV Pˇríklad Vzory mohou samozˇrejmˇe být jiné struktury než výše použité pˇrímky. Pro lineární zobrazení h : R3 → R2 definované pˇredpisem   x y z   → x x , jsou pˇríslušné vzory roviny x = 0, x = 1, atd., kolmé k ose x. Jádro a obraz I Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tˇelesem K. Jádro a obraz I Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tˇelesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Kerϕ = ϕ−1 (0) = {x ∈ V; ϕ(x) = 0}. Jádro a obraz I Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tˇelesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Kerϕ = ϕ−1 (0) = {x ∈ V; ϕ(x) = 0}. Obrazem lineárního zobrazení ϕ nazývame množinu Imϕ = ϕ(V) = {ϕ(x); x ∈ V}. Jádro a obraz II Výše zavedené oznaˇcení pochází z anglických slov kernel a image. Jádro a obraz II Výše zavedené oznaˇcení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální pˇrípad tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Jádro a obraz II Výše zavedené oznaˇcení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální pˇrípad tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tˇelesem K. Jádro a obraz II Výše zavedené oznaˇcení pochází z anglických slov kernel a image. Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální pˇrípad tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tˇelesem K. Potom Kerϕ je lineární podprostor prostoru V a Imϕ je lineární podprostor prostoru U. Jádro a obraz III Pomocí pojm˚u jádra a obrazu m˚užeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Jádro a obraz III Pomocí pojm˚u jádra a obrazu m˚užeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení. Potom Jádro a obraz III Pomocí pojm˚u jádra a obrazu m˚užeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení. Potom (a) ϕ je injektivní právˇe tehdy, když Kerϕ = {0}; Jádro a obraz III Pomocí pojm˚u jádra a obrazu m˚užeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení. Potom (a) ϕ je injektivní právˇe tehdy, když Kerϕ = {0}; (b) ϕ je surjektivní právˇe tehdy, když Imϕ = U. Jádro a obraz IV Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení, pˇriˇcemž vektorový prostor V je koneˇcnˇe rozmˇerný. Jádro a obraz IV Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení, pˇriˇcemž vektorový prostor V je koneˇcnˇe rozmˇerný. Potom i Kerϕ a Imϕ jsou koneˇcnˇe rozmˇerné prostory a platí Jádro a obraz IV Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení, pˇriˇcemž vektorový prostor V je koneˇcnˇe rozmˇerný. Potom i Kerϕ a Imϕ jsou koneˇcnˇe rozmˇerné prostory a platí dim V = dim Kerϕ + dim Imϕ. Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Imϕ nazýváme hodností lineárního zobrazení ϕ a znaˇcíme ji Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Imϕ nazýváme hodností lineárního zobrazení ϕ a znaˇcíme ji h(ϕ) = dim Imϕ. Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Imϕ nazýváme hodností lineárního zobrazení ϕ a znaˇcíme ji h(ϕ) = dim Imϕ. Lineární zobrazení ϕ : V → V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem Jádro a obraz V Dimenzi obrazu Imϕ nazýváme hodností lineárního zobrazení ϕ a znaˇcíme ji h(ϕ) = dim Imϕ. Lineární zobrazení ϕ : V → V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací. Jádro a obraz VI D˚usledek Necht’ ϕ : V → V je lineární transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Jádro a obraz VI D˚usledek Necht’ ϕ : V → V je lineární transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom ϕ je injektivní právˇe tehdy, když je surjektivní. Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení ϕ : V → U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tˇelesem K nazýváme lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení ϕ : V → U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tˇelesem K nazýváme lineární izomorfismus. ˇRíkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárnˇe izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V ∼= U, Lineární izomorfismy I Bijektivní lineární zobrazení ϕ : V → U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tˇelesem K nazýváme lineární izomorfismus. ˇRíkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárnˇe izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V ∼= U, pokud existuje nˇejaký lineární izomorfismus ϕ : V → U. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. (a) idV : V → V je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. (a) idV : V → V je lineární izomorfismus. (b) Je-li ϕ : V → U lineární izomorfismus, pak i ϕ−1 : U → V je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy II Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. (a) idV : V → V je lineární izomorfismus. (b) Je-li ϕ : V → U lineární izomorfismus, pak i ϕ−1 : U → V je lineární izomorfismus. (c) Jsou-li ψ : W → V, ϕ : V → U lineární izomorfismy, pak i ϕ ◦ ψ : W → U je lineární izomorfismus. Lineární izomorfismy III Z právˇe dokázaného tvrzení okamžitˇe vyplývá následující d˚usledek. Lineární izomorfismy III Z právˇe dokázaného tvrzení okamžitˇe vyplývá následující d˚usledek. D˚usledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tˇelesem K platí: Lineární izomorfismy III Z právˇe dokázaného tvrzení okamžitˇe vyplývá následující d˚usledek. D˚usledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tˇelesem K platí: (a) V ∼= V; Lineární izomorfismy III Z právˇe dokázaného tvrzení okamžitˇe vyplývá následující d˚usledek. D˚usledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tˇelesem K platí: (a) V ∼= V; (b) V ∼= U ⇒ U ∼= V; Lineární izomorfismy III Z právˇe dokázaného tvrzení okamžitˇe vyplývá následující d˚usledek. D˚usledek Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tˇelesem K platí: (a) V ∼= V; (b) V ∼= U ⇒ U ∼= V; (c) W ∼= V & V ∼= U ⇒ W ∼= U. Lineární izomorfismy IV ˇRíkáme, že vztah izomorfnosti ∼= je reflexivní, symetrický a tranzitivní, Lineární izomorfismy IV ˇRíkáme, že vztah izomorfnosti ∼= je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Lineární izomorfismy IV ˇRíkáme, že vztah izomorfnosti ∼= je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním m˚užeme pracovat podobnˇe jako se vztahem rovnosti =. Lineární izomorfismy IV ˇRíkáme, že vztah izomorfnosti ∼= je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním m˚užeme pracovat podobnˇe jako se vztahem rovnosti =. Pˇríklad Necht’ V je koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K, dimV = n a β = (v1, . . . , vn) je nˇejaká jeho báze. Lineární izomorfismy IV ˇRíkáme, že vztah izomorfnosti ∼= je reflexivní, symetrický a tranzitivní, t. j. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním m˚užeme pracovat podobnˇe jako se vztahem rovnosti =. Pˇríklad Necht’ V je koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K, dimV = n a β = (v1, . . . , vn) je nˇejaká jeho báze. Potom souˇradnicové zobrazení x → (x)β je lineární izomorfizmus V → Kn. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného koneˇcnˇe rozmˇerného prostoru je jednoznaˇcnˇe urˇcený jeho dimenzí. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného koneˇcnˇe rozmˇerného prostoru je jednoznaˇcnˇe urˇcený jeho dimenzí. Vˇeta Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K. Lineární izomorfismy V Platí, že typ izomorfismu daného koneˇcnˇe rozmˇerného prostoru je jednoznaˇcnˇe urˇcený jeho dimenzí. Vˇeta Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom V ∼= U ⇔ dim V = dim U. Lineární izomorfismy VI Tedy koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K je izomorfní se sloupcovým (ˇrádkovým) vektorovým prostorem Kn právˇe tehdy, když n = dimV. Lineární izomorfismy VI Tedy koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K je izomorfní se sloupcovým (ˇrádkovým) vektorovým prostorem Kn právˇe tehdy, když n = dimV. Pˇritom každá báze β prostoru V urˇcuje jeden takovýto izomorfismus V → Kn – Lineární izomorfismy VI Tedy koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K je izomorfní se sloupcovým (ˇrádkovým) vektorovým prostorem Kn právˇe tehdy, když n = dimV. Pˇritom každá báze β prostoru V urˇcuje jeden takovýto izomorfismus V → Kn – je jím souˇradnicové zobrazení x → (x)β. Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení ϕ : Kn → Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi ε(n) = (e1, . . . , en). Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení ϕ : Kn → Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi ε(n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy ϕ(ej) vektor˚u této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, m˚užeme vytvoˇrit matici Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení ϕ : Kn → Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi ε(n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy ϕ(ej) vektor˚u této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, m˚užeme vytvoˇrit matici A = (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) ∈ Km×n , Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení ϕ : Kn → Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi ε(n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy ϕ(ej) vektor˚u této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, m˚užeme vytvoˇrit matici A = (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) ∈ Km×n , jejímiž sloupci jsou právˇe tyto vektory, Matice lineárního zobrazení I Uvažujme lineární zobrazení ϕ : Kn → Km. V prostoru Kn máme kanonickou bázi ε(n) = (e1, . . . , en). Protože obrazy ϕ(ej) vektor˚u této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, m˚užeme vytvoˇrit matici A = (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) ∈ Km×n , jejímiž sloupci jsou právˇe tyto vektory, t. j. platí sj(A) = ϕ(ej) pro 1 ≤ j ≤ n. Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Uvˇedomme si, že x = x1e1 + · · · + xnen, a poˇcítejme Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Uvˇedomme si, že x = x1e1 + · · · + xnen, a poˇcítejme ϕ(x) = ϕ(x1e1 + . . . + xnen) Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Uvˇedomme si, že x = x1e1 + · · · + xnen, a poˇcítejme ϕ(x) = ϕ(x1e1 + . . . + xnen) = x1ϕ(e1) + . . . + xnϕ(en) Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Uvˇedomme si, že x = x1e1 + · · · + xnen, a poˇcítejme ϕ(x) = ϕ(x1e1 + . . . + xnen) = x1ϕ(e1) + . . . + xnϕ(en) = (s1(A), . . . , sn(A)) · (x1, . . . , xn)T Matice lineárního zobrazení II Ukážeme, jak m˚užeme obraz ϕ(x) libovolného vektoru x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn vypoˇcítat pouze ze znalosti této matice. Uvˇedomme si, že x = x1e1 + · · · + xnen, a poˇcítejme ϕ(x) = ϕ(x1e1 + . . . + xnen) = x1ϕ(e1) + . . . + xnϕ(en) = (s1(A), . . . , sn(A)) · (x1, . . . , xn)T = A · x Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení ϕ : Kn → Km má tvar ϕ(x) = A · x pro vhodnou matici A ∈ Km×n. Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení ϕ : Kn → Km má tvar ϕ(x) = A · x pro vhodnou matici A ∈ Km×n. Protože každý koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, Matice lineárního zobrazení III Tedy každé lineární zobrazení ϕ : Kn → Km má tvar ϕ(x) = A · x pro vhodnou matici A ∈ Km×n. Protože každý koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, pˇri volbˇe pevných bazí v koneˇcnˇe rozmˇerných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení ϕ : V → U zakódovat pomocí vhodné matice A. Matice lineárního zobrazení IV Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, dim U = m, dim V = n a α = (u1, . . . , um), β = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Matice lineárního zobrazení IV Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, dim U = m, dim V = n a α = (u1, . . . , um), β = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem k bazím β, α nazývame matici A = (ϕ(v1))α, . . . , (ϕ(vn))α ∈ Km×n , Matice lineárního zobrazení IV Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, dim U = m, dim V = n a α = (u1, . . . , um), β = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem k bazím β, α nazývame matici A = (ϕ(v1))α, . . . , (ϕ(vn))α ∈ Km×n , jejíž sloupce jsou tvoˇreny souˇradnicemi obraz˚u ϕ(vj) vektor˚u báze β vzhledem k bázi α, Matice lineárního zobrazení IV Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, dim U = m, dim V = n a α = (u1, . . . , um), β = (v1, . . . , vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem k bazím β, α nazývame matici A = (ϕ(v1))α, . . . , (ϕ(vn))α ∈ Km×n , jejíž sloupce jsou tvoˇreny souˇradnicemi obraz˚u ϕ(vj) vektor˚u báze β vzhledem k bázi α, t. j. platí sj(A) = (ϕ(vj))α pro 1 ≤ j ≤ n. Matice lineárního zobrazení V Tuto matici znaˇcíme též A = (ϕ)α,β. Matice lineárního zobrazení V Tuto matici znaˇcíme též A = (ϕ)α,β. (Všimnˇeme si obrácené poˇradí znak˚u bazí v˚uˇci poˇradí vektorových prostor˚u v oznaˇcení zobrazení ϕ : V → U.) Matice lineárního zobrazení V Tuto matici znaˇcíme též A = (ϕ)α,β. (Všimnˇeme si obrácené poˇradí znak˚u bazí v˚uˇci poˇradí vektorových prostor˚u v oznaˇcení zobrazení ϕ : V → U.) Matici A ze zaˇcátku tohoto paragrafu m˚užeme nazvat maticí lineárního zobrazení ϕ : Kn → Km vzhledem na kanonickou bázi ε(n), ε(m). Matice lineárního zobrazení VI Pokud neˇrekneme jinak, budeme pod maticí lineárního zobrazení ϕ : Kn → Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumˇet matici (ϕ)ε(m),ε(n) zobrazení ϕ vzhledem ke kanonickým bazím. Matice lineárního zobrazení VI Pokud neˇrekneme jinak, budeme pod maticí lineárního zobrazení ϕ : Kn → Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumˇet matici (ϕ)ε(m),ε(n) zobrazení ϕ vzhledem ke kanonickým bazím. Maticí lineární transformace ϕ : V → V vzhledem k bázi α prostoru V tedy rozumíme matici (ϕ)α,α. Matice lineárního zobrazení VII Pˇritom platí (vj)β = e (n) j pro libovolný vektor vj báze β = (v1, . . . , vn) prostoru V. Matice lineárního zobrazení VII Pˇritom platí (vj)β = e (n) j pro libovolný vektor vj báze β = (v1, . . . , vn) prostoru V. Z toho je zˇrejmé, že pro každou bázi β n-rozmˇerného vektorového prostoru V platí Matice lineárního zobrazení VII Pˇritom platí (vj)β = e (n) j pro libovolný vektor vj báze β = (v1, . . . , vn) prostoru V. Z toho je zˇrejmé, že pro každou bázi β n-rozmˇerného vektorového prostoru V platí (idV )β,β = (e (n) j )n j=1 = In. Matice lineárního zobrazení VIII Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad ˇcíselným tˇelesem K, dimV = n, dimU = m a α, β jsou báze prostor˚u U resp. V. Matice lineárního zobrazení VIII Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad ˇcíselným tˇelesem K, dimV = n, dimU = m a α, β jsou báze prostor˚u U resp. V. Potom pro všechna x ∈ V platí (ϕ(x))α = (ϕ)α,β · (x)β Matice lineárního zobrazení VIII Vˇeta Necht’ ϕ : V → U je lineární zobrazení mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad ˇcíselným tˇelesem K, dimV = n, dimU = m a α, β jsou báze prostor˚u U resp. V. Potom pro všechna x ∈ V platí (ϕ(x))α = (ϕ)α,β · (x)β a A = (ϕ)α,β je jediná matice touto vlastností. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Vˇeta Necht’ U, V, W jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, α je báze U, β je báze V a γ je báze W. Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Vˇeta Necht’ U, V, W jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, α je báze U, β je báze V a γ je báze W. Potom pro libovolné lineární zobrazení ψ : W → V, ϕ : V → U platí Matice lineárního zobrazení IX Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Vˇeta Necht’ U, V, W jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, α je báze U, β je báze V a γ je báze W. Potom pro libovolné lineární zobrazení ψ : W → V, ϕ : V → U platí (ϕ ◦ ψ)α,γ = (ϕ)α,β · (ψ)β,γ. Matice lineárního zobrazení X Pˇríklad Otoˇcení roviny okolo poˇcátku o úhel α ∈ R je lineární zobrazení Rα : R2 → R2. Matice lineárního zobrazení X Pˇríklad Otoˇcení roviny okolo poˇcátku o úhel α ∈ R je lineární zobrazení Rα : R2 → R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi ε budeme znaˇcit’ rovnˇež Rα, Matice lineárního zobrazení X Pˇríklad Otoˇcení roviny okolo poˇcátku o úhel α ∈ R je lineární zobrazení Rα : R2 → R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi ε budeme znaˇcit’ rovnˇež Rα, tedy pro x ∈ R2 budeme psát Rα(x) = Rα · x. Matice lineárního zobrazení X Pˇríklad Otoˇcení roviny okolo poˇcátku o úhel α ∈ R je lineární zobrazení Rα : R2 → R2. Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi ε budeme znaˇcit’ rovnˇež Rα, tedy pro x ∈ R2 budeme psát Rα(x) = Rα · x. Její sloupce získáme otoˇcením vektor˚u e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T o úhel α. Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Rα · e1 = cos α sin α , Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Rα · e1 = cos α sin α , Rα · e2 = cos π 2 + α sin π 2 + α Matice lineárního zobrazení XI Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Rα · e1 = cos α sin α , Rα · e2 = cos π 2 + α sin π 2 + α = − sin α cos α . Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že Rα = cos α − sin α sin α cos α Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že Rα = cos α − sin α sin α cos α a obrazem libovolného vektoru (x, y)T ∈ R2 v otoˇcení Rα je vektor Matice lineárního zobrazení XII To znamená, že Rα = cos α − sin α sin α cos α a obrazem libovolného vektoru (x, y)T ∈ R2 v otoˇcení Rα je vektor Rα · x y = x cos α − y sin α x sin α + y cos α . Matice lineárního zobrazení XIII Matice Rπ/6 = cos(π/6) − sin(π/6) sin(π/6) cos(π/6) Matice lineárního zobrazení XIII Matice Rπ/6 = cos(π/6) − sin(π/6) sin(π/6) cos(π/6) = √ 3/2 −1/2 1/2 √ 3/2 Matice lineárního zobrazení XIII Matice Rπ/6 = cos(π/6) − sin(π/6) sin(π/6) cos(π/6) = √ 3/2 −1/2 1/2 √ 3/2 reprezentuje vzhledem ke standardní bázi transformaci Rπ/6 : R2 → R2, která otoˇcí vektory o π/6 radián˚u proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek. Matice lineárního zobrazení XIII Matice Rπ/6 = cos(π/6) − sin(π/6) sin(π/6) cos(π/6) = √ 3/2 −1/2 1/2 √ 3/2 reprezentuje vzhledem ke standardní bázi transformaci Rπ/6 : R2 → R2, která otoˇcí vektory o π/6 radián˚u proti smˇeru hodinových ruˇciˇcek. Matice lineárního zobrazení XIV Pˇríklad Osová soumˇernost roviny podle libovolné pˇrímky procházející poˇcátkem definuje zobrazení Sα : R2 → R2, kde α ∈ R je úhel, který svírá osa soumˇernosti s osou x. Matice lineárního zobrazení XIV Pˇríklad Osová soumˇernost roviny podle libovolné pˇrímky procházející poˇcátkem definuje zobrazení Sα : R2 → R2, kde α ∈ R je úhel, který svírá osa soumˇernosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v pˇrípadˇe otoˇcení m˚užeme ovˇeˇrit, že i Sα je lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení XIV Pˇríklad Osová soumˇernost roviny podle libovolné pˇrímky procházející poˇcátkem definuje zobrazení Sα : R2 → R2, kde α ∈ R je úhel, který svírá osa soumˇernosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v pˇrípadˇe otoˇcení m˚užeme ovˇeˇrit, že i Sα je lineární zobrazení. Jeho matici vzhledem ke kanonické bázi ε budeme znaˇcit stejnˇe tj. Sα. Matice lineárního zobrazení XV Zˇrejmˇe matice soumˇernosti podle osy x je S0 = 1 0 0 −1 Matice lineárního zobrazení XV Zˇrejmˇe matice soumˇernosti podle osy x je S0 = 1 0 0 −1 a osovou soumˇernost §α m˚užeme obdržet jako složení otoˇcení R−α, osové soumˇernosti S0 a otoˇcení Rα, Matice lineárního zobrazení XV Zˇrejmˇe matice soumˇernosti podle osy x je S0 = 1 0 0 −1 a osovou soumˇernost §α m˚užeme obdržet jako složení otoˇcení R−α, osové soumˇernosti S0 a otoˇcení Rα, t. j. Sα = Rα · S0 · R−α. Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení pˇríslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorc˚u dostaneme Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení pˇríslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorc˚u dostaneme Sα = cos 2α sin 2α sin 2α − cos 2α . Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení pˇríslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorc˚u dostaneme Sα = cos 2α sin 2α sin 2α − cos 2α . Tedy osová soumˇernost Sα zobrazí vektor (x, y)T ∈ R2 na vektor Matice lineárního zobrazení XV Po vynásobení pˇríslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorc˚u dostaneme Sα = cos 2α sin 2α sin 2α − cos 2α . Tedy osová soumˇernost Sα zobrazí vektor (x, y)T ∈ R2 na vektor Sα · x y = x cos 2α + y sin 2α x sin 2α − y cos 2α . Matice lineárního zobrazení XVI Pˇríklad Stejnolehlost neboli též homotetie se stˇredem v poˇcátku a s koeficientem podobnosti 0 = c ∈ R je opˇet lineární zobrazení R2 → R2 s maticí cI2 = diag(c, c). Matice lineárního zobrazení XVI Pˇríklad Stejnolehlost neboli též homotetie se stˇredem v poˇcátku a s koeficientem podobnosti 0 = c ∈ R je opˇet lineární zobrazení R2 → R2 s maticí cI2 = diag(c, c). Tento pˇríklad m˚užeme evidentním zp˚usobem zevšeobecnit na libovolnou dimenzi n. Matice lineárního zobrazení XVII Pˇríklad Zkosení (kroucení, stˇrih) zp˚usobuje deformace tvar˚u. Matice lineárního zobrazení XVII Pˇríklad Zkosení (kroucení, stˇrih) zp˚usobuje deformace tvar˚u. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobˇe posouvány. Matice lineárního zobrazení XVII Pˇríklad Zkosení (kroucení, stˇrih) zp˚usobuje deformace tvar˚u. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobˇe posouvány. Dvˇe základní transformace jsou zkosení ve smˇeru x a zkosení ve smˇeru y. Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve smˇeru x s parametrem a ∈ K se používá transformaˇcní matice urˇcená pˇredpisem: Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve smˇeru x s parametrem a ∈ K se používá transformaˇcní matice urˇcená pˇredpisem: ϕ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 · x y . Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve smˇeru x s parametrem a ∈ K se používá transformaˇcní matice urˇcená pˇredpisem: ϕ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 · x y . Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x, y); y = s}, s ∈ K, o vektor ase1. Matice lineárního zobrazení XVIII Pro zkosení ve smˇeru x s parametrem a ∈ K se používá transformaˇcní matice urˇcená pˇredpisem: ϕ( x y ) = x ax + y = 1 0 a 1 · x y . Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x, y); y = s}, s ∈ K, o vektor ase1. Analogické lineární transformace fungují i ve vícerozmˇerných prostorech Kn. Prostory lineárních zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad ˇcíselným tˇelesem K. Prostory lineárních zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad ˇcíselným tˇelesem K. Uvažme vektorový prostor UV všech zobrazení f : V → U s operacemi souˇctu a skalárního násobku definovanými po složkách. Prostory lineárních zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad ˇcíselným tˇelesem K. Uvažme vektorový prostor UV všech zobrazení f : V → U s operacemi souˇctu a skalárního násobku definovanými po složkách. Pak pro množinu L(V, U) všech lineárních zobrazení ϕ : V → U platí L(V, U) ⊆ UV . Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = m, dimV = n. Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = m, dimV = n. Potom L(V, U) ∼= Km×n , Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom L(V, U) je lineární podprostor vektorového prostoru UV . Tedy L(V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = m, dimV = n. Potom L(V, U) ∼= Km×n , tedy dimL(V, U) = mn. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi α v prostoru U a β v prostoru V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi α v prostoru U a β v prostoru V. Na matici (ϕ)α,β se m˚užeme dívat jako na souˇradnice vektoru ϕ ∈ L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí β, α. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi α v prostoru U a β v prostoru V. Na matici (ϕ)α,β se m˚užeme dívat jako na souˇradnice vektoru ϕ ∈ L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí β, α. Lineární zobrazení ϕ : V → K z vektorového prostoru V do tˇelesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi α v prostoru U a β v prostoru V. Na matici (ϕ)α,β se m˚užeme dívat jako na souˇradnice vektoru ϕ ∈ L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí β, α. Lineární zobrazení ϕ : V → K z vektorového prostoru V do tˇelesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor L(V, K) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce duál vektorového prostoru V. Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi α v prostoru U a β v prostoru V. Na matici (ϕ)α,β se m˚užeme dívat jako na souˇradnice vektoru ϕ ∈ L(V, U) v prostoru Km×n, vzhledem na dvojici bazí β, α. Lineární zobrazení ϕ : V → K z vektorového prostoru V do tˇelesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor L(V, K) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce duál vektorového prostoru V. Budeme používat oznaˇcení L(V, K) = V∗. Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tˇelese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 ∈ K, Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tˇelese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 ∈ K, libovolná báze β v koneˇcnˇe rozmˇerném prostoru V urˇcuje lineární izomorfismus V∗ → V daný pˇredpisem ϕ → (ϕ)1,β. Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tˇelese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 ∈ K, libovolná báze β v koneˇcnˇe rozmˇerném prostoru V urˇcuje lineární izomorfismus V∗ → V daný pˇredpisem ϕ → (ϕ)1,β. Platí tedy Tvrzení Pro libovolný koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V nad tˇelesem K platí V∗ ∼= V. Prostory lineárních zobrazení V Matice (ϕ)1,β lineárního funkcionálu ϕ : V → K je ˇrádkový vektor z prostoru K1×n. Prostory lineárních zobrazení V Matice (ϕ)1,β lineárního funkcionálu ϕ : V → K je ˇrádkový vektor z prostoru K1×n. Pˇri volbˇe kanonické báze ε v sloupcovém prostoru Kn×1 m˚užeme ˇrádkový prostor K1×n ztotožnit s duálem Kn×1 ∗ sloupcového prostoru Kn×1. Prostory lineárních zobrazení V Matice (ϕ)1,β lineárního funkcionálu ϕ : V → K je ˇrádkový vektor z prostoru K1×n. Pˇri volbˇe kanonické báze ε v sloupcovém prostoru Kn×1 m˚užeme ˇrádkový prostor K1×n ztotožnit s duálem Kn×1 ∗ sloupcového prostoru Kn×1. Izomorfismus koneˇcnˇe rozmˇerného prostoru V a jeho duálu V∗ závisí od výbˇeru báze ve V. Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V m˚užeme definovat kanonické, Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V m˚užeme definovat kanonické, t. j. od výbˇeru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V∗∗ Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V m˚užeme definovat kanonické, t. j. od výbˇeru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V∗∗ dané pˇredpisem x → x, kde Prostory lineárních zobrazení VI Pro libovolný vektorový prostor V m˚užeme definovat kanonické, t. j. od výbˇeru báze nezávislé zobrazení z prostoru V do jeho druhého duálu V∗∗ dané pˇredpisem x → x, kde x(ϕ) = ϕ(x) pro x ∈ V, ϕ ∈ V∗. Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tˇelesem K. Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom (a) x → x je injektivní lineární zobrazení V → V∗∗; Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení Nech V je vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom (a) x → x je injektivní lineární zobrazení V → V∗∗; (b) pokud je V koneˇcnˇe rozmˇerný, pak x → x je lineární izomorfismus V → V∗∗. Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x ∈ V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V∗. Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x ∈ V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V∗. Koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor V m˚užeme pˇriˇrazením x → x pˇrirozenˇe ztotožnit s duálem prostoru V∗. 7. HODNOST MATICE, INVERZNÍ MATICE A ZM ˇENA BÁZE Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 2. listopadu 2006 Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané ˇctvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané ˇctvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se nauˇcíme poˇcítat inverzní matice a matice pˇrechodu z jedné souˇradné báze do druhé. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané ˇctvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se nauˇcíme poˇcítat inverzní matice a matice pˇrechodu z jedné souˇradné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv zmˇeny báze na matici lineárního zobrazení. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané ˇctvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se nauˇcíme poˇcítat inverzní matice a matice pˇrechodu z jedné souˇradné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv zmˇeny báze na matici lineárního zobrazení. Pˇrednáška zaˇcne pojmem hodnosti matice, který nám umožní rozhodnout o existenci inverzní matice. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané ˇctvercové matici a dáme jej do souvislosti s pojmem inverzního lineárního zobrazení. Dále se nauˇcíme poˇcítat inverzní matice a matice pˇrechodu z jedné souˇradné báze do druhé. Nakonec prozkoumáme vliv zmˇeny báze na matici lineárního zobrazení. Pˇrednáška zaˇcne pojmem hodnosti matice, který nám umožní rozhodnout o existenci inverzní matice. V celé kapitole K oznaˇcuje pevné tˇeleso, m, n, p jsou kladná celá ˇcísla. Obsah pˇrednášky Hodnost matice, inverzní matice a zmˇena báze Hodnost matice Inverzní matice a inverzní lineární zobrazení Realizace ERO a ESO pomocí násobení matic Výpoˇcet inverzní matice Matice pˇrechodu Matice lineárního zobrazení vzhledem na r˚uzné báze Hodnost matice I V této ˇcásti je potˇrebné rozlišovat mezi vektorovými prostory ˇrádkových resp. sloupcových vektor˚u. Prostor ˇrádkových vektor˚u budeme znaˇcit K1×n a prostor sloupcových vektor˚u Kn×1. Hodnost matice II ri(A) ∈ K1×n oznaˇcuje i-tý ˇrádek a sj(A) ∈ Km×1 j-tý sloupec matice A = (aij)m×n. Hodnost matice II ri(A) ∈ K1×n oznaˇcuje i-tý ˇrádek a sj(A) ∈ Km×1 j-tý sloupec matice A = (aij)m×n. Tuto matici m˚užeme zapsat blokovˇe jako A =      r1(A) r2(A) ... rm(A)      = (s1(A), s2(A), . . . , sn(A)). Hodnost matice III ˇRádkovou hodností hr (A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K1×n generovaného ˇrádky matice A. Hodnost matice III ˇRádkovou hodností hr (A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K1×n generovaného ˇrádky matice A. Podobnˇe, sloupcovou hodností hs(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru Km×1 generovaného sloupci matice A. Hodnost matice III ˇRádkovou hodností hr (A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru K1×n generovaného ˇrádky matice A. Podobnˇe, sloupcovou hodností hs(A) matice A nazýváme dimenzi lineárního podprostoru vektorového prostoru Km×1 generovaného sloupci matice A. Tedy hr (A) = dim[r1(A), r2(A), . . . , rm(A)], hs(A) = dim[s1(A), s2(A), . . . , sn(A)]. Hodnost matice IV Oznaˇcme ϕ : Kn×1 → Km×1 lineární zobrazení dané pˇredpisem ϕ(x) = A · x pro x ∈ Kn×1. Hodnost matice IV Oznaˇcme ϕ : Kn×1 → Km×1 lineární zobrazení dané pˇredpisem ϕ(x) = A · x pro x ∈ Kn×1. Hodností lineárního zobrazení ϕ nazýváme dimenzi jeho obrazu, t. j. h(ϕ) = dim Imϕ. Hodnost matice IV Oznaˇcme ϕ : Kn×1 → Km×1 lineární zobrazení dané pˇredpisem ϕ(x) = A · x pro x ∈ Kn×1. Hodností lineárního zobrazení ϕ nazýváme dimenzi jeho obrazu, t. j. h(ϕ) = dim Imϕ. Zˇrejmˇe platí h(ϕ) = hs(A), protože lineární podprostor Imϕ ⊆ Km×1 je generovaný sloupci matice A. Hodnost matice V Lemma Necht’ A ∈ Km×n. Hodnost matice V Lemma Necht’ A ∈ Km×n. (a) Necht’ matice B vznikne z matice A provedením jedné elementární ˇrádkové operace (ERO). Pak [r1(A), r2(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), r2(B), . . . , rm(B)]. Hodnost matice V Lemma Necht’ A ∈ Km×n. (a) Necht’ matice B vznikne z matice A provedením jedné elementární ˇrádkové operace (ERO). Pak [r1(A), r2(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), r2(B), . . . , rm(B)]. (b) Necht’ matice C vznikne z matice A vykonáním jedné elementární sloupcové operace (ESO). Pak [s1(A), s2(A), . . . , sn(A)] = [s1(C), s2(C), . . . , sn(C)]. Hodnost matice VI Tvrzení Pro každou matici A ∈ Km×n platí hr (A) = hs(A). Hodnost matice VI Tvrzení Pro každou matici A ∈ Km×n platí hr (A) = hs(A). Spoleˇcnou hodnotu ˇrádkové a sloupcové hodnosti budeme nyní znaˇcit h(A) a nazývat hodností matice A. Hodnost matice VI Tvrzení Pro každou matici A ∈ Km×n platí hr (A) = hs(A). Spoleˇcnou hodnotu ˇrádkové a sloupcové hodnosti budeme nyní znaˇcit h(A) a nazývat hodností matice A. Zˇrejmˇe pro A ∈ Km×n je h(A) ≤ min(m, n). Hodnost matice VI Tvrzení Pro každou matici A ∈ Km×n platí hr (A) = hs(A). Spoleˇcnou hodnotu ˇrádkové a sloupcové hodnosti budeme nyní znaˇcit h(A) a nazývat hodností matice A. Zˇrejmˇe pro A ∈ Km×n je h(A) ≤ min(m, n). Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n. Potom h(A) = h(AT ). Hodnost matice VII Tvrzení Necht’ u1, . . . , un ∈ Km×1 jsou libovolné vektory a A ∈ Km×n je matice taková, že sj(A) = uj pro 1 ≤ j ≤ n. Hodnost matice VII Tvrzení Necht’ u1, . . . , un ∈ Km×1 jsou libovolné vektory a A ∈ Km×n je matice taková, že sj(A) = uj pro 1 ≤ j ≤ n. Potom (a) u1, . . . , un jsou lineárnˇe nezávislé právˇe tehdy, když h(A) = n; Hodnost matice VII Tvrzení Necht’ u1, . . . , un ∈ Km×1 jsou libovolné vektory a A ∈ Km×n je matice taková, že sj(A) = uj pro 1 ≤ j ≤ n. Potom (a) u1, . . . , un jsou lineárnˇe nezávislé právˇe tehdy, když h(A) = n; (b) [u1, . . . , un] = Km×1 právˇe tehdy, když h(A) = m. Hodnost matice VII Tvrzení Necht’ u1, . . . , un ∈ Km×1 jsou libovolné vektory a A ∈ Km×n je matice taková, že sj(A) = uj pro 1 ≤ j ≤ n. Potom (a) u1, . . . , un jsou lineárnˇe nezávislé právˇe tehdy, když h(A) = n; (b) [u1, . . . , un] = Km×1 právˇe tehdy, když h(A) = m. Pˇrípad (a) m˚uže nastat tehdy, když n ≤ m; naopak, (b) m˚uže nastat jedinˇe za pˇredpokladu m ≤ n. Hodnost matice VIII Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p. Potom Hodnost matice VIII Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, B ∈ Kn×p. Potom h(A · B) ≤ min h(A), h(B) . Inverzní matice I Necht’ A ∈ Kn×n, t. j. A je ˇctvercová matice typu n × n. Inverzní maticí k matici A rozumíme matici B ∈ Kn×n tak, že A · B = In = B · A. Inverzní matice I Necht’ A ∈ Kn×n, t. j. A je ˇctvercová matice typu n × n. Inverzní maticí k matici A rozumíme matici B ∈ Kn×n tak, že A · B = In = B · A. Zˇrejmˇe k dané ˇctvercové matici A existuje nanejvýš jedna inverzní matice. Inverzní matice I Necht’ A ∈ Kn×n, t. j. A je ˇctvercová matice typu n × n. Inverzní maticí k matici A rozumíme matici B ∈ Kn×n tak, že A · B = In = B · A. Zˇrejmˇe k dané ˇctvercové matici A existuje nanejvýš jedna inverzní matice. Tuto jednoznaˇcnˇe urˇcenou matici (pokud existuje) budeme znaˇcit A−1 . Inverzní matice II Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = dimV = n. Inverzní matice II Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = dimV = n. Necht’ dále α, β jsou nˇejaké báze v U, resp. ve V a A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na báze β, α. Inverzní matice II Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = dimV = n. Necht’ dále α, β jsou nˇejaké báze v U, resp. ve V a A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na báze β, α. Potom k matici A existuje inverzní matice A−1 právˇe tehdy, když k zobrazení ϕ existuje inverzní zobrazení ϕ−1. Inverzní matice II Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = dimV = n. Necht’ dále α, β jsou nˇejaké báze v U, resp. ve V a A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na báze β, α. Potom k matici A existuje inverzní matice A−1 právˇe tehdy, když k zobrazení ϕ existuje inverzní zobrazení ϕ−1. V tomto pˇrípadˇe A−1 je maticí lineárního zobrazení ϕ−1 : U → V vzhledem na báze α, β, t. j. Inverzní matice II Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a dimU = dimV = n. Necht’ dále α, β jsou nˇejaké báze v U, resp. ve V a A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na báze β, α. Potom k matici A existuje inverzní matice A−1 právˇe tehdy, když k zobrazení ϕ existuje inverzní zobrazení ϕ−1. V tomto pˇrípadˇe A−1 je maticí lineárního zobrazení ϕ−1 : U → V vzhledem na báze α, β, t. j. A−1 = (ϕ)α,β −1 = ϕ−1 β,α . Inverzní matice III ˇRíkáme, že ˇctvercová matice A ∈ Kn×n je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A−1 ; v opaˇcném pˇrípadˇe A je singulární. Inverzní matice III ˇRíkáme, že ˇctvercová matice A ∈ Kn×n je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A−1 ; v opaˇcném pˇrípadˇe A je singulární. Vˇeta Matice A ∈ Kn×n je regulární právˇe tehdy, když h(A) = n. Inverzní matice III ˇRíkáme, že ˇctvercová matice A ∈ Kn×n je regulární, pokud k ní existuje inverzní matice A−1 ; v opaˇcném pˇrípadˇe A je singulární. Vˇeta Matice A ∈ Kn×n je regulární právˇe tehdy, když h(A) = n. Vˇeta Pro libovolné A, B ∈ Kn×n platí A · B = In právˇe tehdy, když B · A = In. Inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A, B ∈ Kn×n jsou regulární matice. Inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A, B ∈ Kn×n jsou regulární matice. Potom i matice A−1 , A · B a AT jsou regulární a platí: Inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A, B ∈ Kn×n jsou regulární matice. Potom i matice A−1 , A · B a AT jsou regulární a platí: A−1 −1 = A, Inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A, B ∈ Kn×n jsou regulární matice. Potom i matice A−1 , A · B a AT jsou regulární a platí: A−1 −1 = A, (A · B)−1 = B−1 · A−1 , Inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A, B ∈ Kn×n jsou regulární matice. Potom i matice A−1 , A · B a AT jsou regulární a platí: A−1 −1 = A, (A · B)−1 = B−1 · A−1 , AT −1 = A−1 T . Realizace ERO a ESO I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n. (a) Necht’ B ∈ Km×n vznikne z A provedením jedné ERO. Oznaˇcme E matici, která vznikne z matice Im provedením stejné ERO. Potom B = E · A. Realizace ERO a ESO I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n. (a) Necht’ B ∈ Km×n vznikne z A provedením jedné ERO. Oznaˇcme E matici, která vznikne z matice Im provedením stejné ERO. Potom B = E · A. (b) Necht’ C ∈ Km×n vznikne z A provedením jedné ESO. Oznaˇcme F matici, která vznikne z matice In provedením stejné ESO. Potom C = A · F. Realizace ERO a ESO II ˇCtvercové matice E ∈ Kn×n, které vzniknou z jednotkové matice In provedením jediné ERO nebo ESO, nazýváme elementární matice. Realizace ERO a ESO II ˇCtvercové matice E ∈ Kn×n, které vzniknou z jednotkové matice In provedením jediné ERO nebo ESO, nazýváme elementární matice. Libovolnou ERO (ESO) na matici A m˚užeme realizovat vynásobením matice A vhodnou elementární maticí E (F) zleva (zprava). Výpoˇcet inverzní matice I Návod na výpoˇcet inverzní matice k dané ˇctvercové matici A ∈ Kn×n: (A | In) ERO −→ (In | A−1 ). Výpoˇcet inverzní matice I Návod na výpoˇcet inverzní matice k dané ˇctvercové matici A ∈ Kn×n: (A | In) ERO −→ (In | A−1 ). Tvrzení Necht’ A ∈ Kn×n a E1, E2, . . . , Ek ∈ Kn×n jsou elementární matice tak, že Ek · . . . · E2 · E1 · A = In. Výpoˇcet inverzní matice I Návod na výpoˇcet inverzní matice k dané ˇctvercové matici A ∈ Kn×n: (A | In) ERO −→ (In | A−1 ). Tvrzení Necht’ A ∈ Kn×n a E1, E2, . . . , Ek ∈ Kn×n jsou elementární matice tak, že Ek · . . . · E2 · E1 · A = In. Potom A−1 = Ek · . . . · E2 · E1. Výpoˇcet inverzní matice II K stejnému cíli vede též postup reprezentovaný schématem: A In ESO −→ In A−1 . Výpoˇcet inverzní matice II K stejnému cíli vede též postup reprezentovaný schématem: A In ESO −→ In A−1 . Tvrzení Matice A ∈ Kn×nje regulární právˇe tehdy, když ji m˚užeme rozložit na souˇcin A = E1 · . . . · Ek koneˇcného poˇctu elementárních matic E1, . . . , Ek ∈ Kn×n. Výpoˇcet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B ∈ Km×n platí: Výpoˇcet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B ∈ Km×n platí: (a) A je ˇrádkovˇe ekvivalentní s B právˇe tehdy, když existuje regulární matice P ∈ Km×m tak, že A = P · B; Výpoˇcet inverzní matice III Tvrzení Pro libovolné A, B ∈ Km×n platí: (a) A je ˇrádkovˇe ekvivalentní s B právˇe tehdy, když existuje regulární matice P ∈ Km×m tak, že A = P · B; (b) A je sloupcovˇe ekvivalentní s B právˇe tehdy, když existuje regulární matice Q ∈ Kn×n tak, že A = B · Q. Výpoˇcet inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, P ∈ Km×m, Q ∈ Kn×n, pˇriˇcemž P, Q jsou regulární matice. Výpoˇcet inverzní matice IV Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, P ∈ Km×m, Q ∈ Kn×n, pˇriˇcemž P, Q jsou regulární matice. Potom h(A) = h(P · A) = h(A · Q) = h(P · A · Q). Výpoˇcet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozmˇeru maticí A−1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Výpoˇcet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozmˇeru maticí A−1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Bud’ A ∈ Kn×n regulární a B ∈ Kn×m, C ∈ Km×n libovolné. Výpoˇcet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozmˇeru maticí A−1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Bud’ A ∈ Kn×n regulární a B ∈ Kn×m, C ∈ Km×n libovolné. Pak (A | B) ERO −→ (In | A−1 · B) Výpoˇcet inverzní matice V Násobení libovolné matice vhodného rozmˇeru maticí A−1 (pokud existuje) zleva resp. zprava Bud’ A ∈ Kn×n regulární a B ∈ Kn×m, C ∈ Km×n libovolné. Pak (A | B) ERO −→ (In | A−1 · B) a A C ESO −→ In C · A−1 . Výpoˇcet inverzní matice VI ˇRešení soustavy lineárních rovnic Výpoˇcet inverzní matice VI ˇRešení soustavy lineárních rovnic (A | b) ERO −→ (B | c), Výpoˇcet inverzní matice VI ˇRešení soustavy lineárních rovnic (A | b) ERO −→ (B | c), které má pro regulární A ∈ Kn×n tvar (A | b) ERO −→ (In | A−1 · b). Výpoˇcet inverzní matice VII Tvrzení Necht’ A ∈ Kn×n, b ∈ Kn. Je-li A regulární, tak soustava A · x = b má jediné ˇrešení x = A−1 · b. Matice pˇrechodu I Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K a α = (u1, . . . , un), β = (v1, . . . , vn) jsou jeho dvˇe báze. Maticí pˇrechodu z báze β do báze α nazýváme matici identického zobrazení idV : V → V vzhledem na bázi β, α, kterou znaˇcíme Pα,β. Tedy Pα,β = (idV )α,β. Matice pˇrechodu II Sloupce matice pˇrechodu Pα,β jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚u báze β vzhledem na bázi α, Matice pˇrechodu II Sloupce matice pˇrechodu Pα,β jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚u báze β vzhledem na bázi α, t. j. sj(Pα,β) = (vj)α pro 1 ≤ j ≤ n. Matice pˇrechodu II Sloupce matice pˇrechodu Pα,β jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚u báze β vzhledem na bázi α, t. j. sj(Pα,β) = (vj)α pro 1 ≤ j ≤ n. Tedy Pα,β = (v1)α, (v2)α, . . . , (vn)α , Matice pˇrechodu II Sloupce matice pˇrechodu Pα,β jsou tvoˇreny souˇradnicemi vektor˚u báze β vzhledem na bázi α, t. j. sj(Pα,β) = (vj)α pro 1 ≤ j ≤ n. Tedy Pα,β = (v1)α, (v2)α, . . . , (vn)α , a tato matice je jednoznaˇcnˇe urˇcená podmínkou transformace souˇradnic (x)α = Pα,β · (x)β pro libovolné x ∈ V. Matice pˇrechodu III Pokud do rovnosti x = α · (x)α budeme za x postupnˇe dosazovat vektory v1, . . . , vn bázi β, s využitím vztahu pro sloupce souˇcinu matic dostaneme Matice pˇrechodu III Pokud do rovnosti x = α · (x)α budeme za x postupnˇe dosazovat vektory v1, . . . , vn bázi β, s využitím vztahu pro sloupce souˇcinu matic dostaneme vj = α · (vj)α = α · sj(Pα,β) = sj(α · Pα,β) pro každé 1 ≤ j ≤ n. Matice pˇrechodu III Pokud do rovnosti x = α · (x)α budeme za x postupnˇe dosazovat vektory v1, . . . , vn bázi β, s využitím vztahu pro sloupce souˇcinu matic dostaneme vj = α · (vj)α = α · sj(Pα,β) = sj(α · Pα,β) pro každé 1 ≤ j ≤ n. Tedy α · Pα,β = β. Matice pˇrechodu IV Tvrzení Necht’ α, β jsou báze n-rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Matice pˇrechodu IV Tvrzení Necht’ α, β jsou báze n-rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom pro libovolnou matici P ∈ Kn×n jsou následující podmínky ekvivalentní: Matice pˇrechodu IV Tvrzení Necht’ α, β jsou báze n-rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom pro libovolnou matici P ∈ Kn×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) P = (idV )α,β, t. j. P je matice pˇrechodu z báze β do báze α; Matice pˇrechodu IV Tvrzení Necht’ α, β jsou báze n-rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom pro libovolnou matici P ∈ Kn×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) P = (idV )α,β, t. j. P je matice pˇrechodu z báze β do báze α; (ii) (x)α = P · (x)β pro každé x ∈ V; Matice pˇrechodu IV Tvrzení Necht’ α, β jsou báze n-rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom pro libovolnou matici P ∈ Kn×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) P = (idV )α,β, t. j. P je matice pˇrechodu z báze β do báze α; (ii) (x)α = P · (x)β pro každé x ∈ V; (iii) α · P = β. Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom Pα,α = In, Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom Pα,α = In, Pβ,α = Pα,β −1, Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom Pα,α = In, Pβ,α = Pα,β −1, Pα,β · Pβ,γ = Pα,γ. Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom Pα,α = In, Pβ,α = Pα,β −1, Pα,β · Pβ,γ = Pα,γ. Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice pˇrechodu Pα,β je vždy regulární. Matice pˇrechodu V Tvrzení Necht’ α, β, γ jsou báze koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V nad tˇelesem K. Potom Pα,α = In, Pβ,α = Pα,β −1, Pα,β · Pβ,γ = Pα,γ. Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice pˇrechodu Pα,β je vždy regulární. Naopak, každá regulární matice P ∈ Kn×n je maticí pˇrechodu mezi vhodnou dvojicí bazí. Matice pˇrechodu VI Tvrzení Necht’ V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad K a P ∈ Kn×n je libovolná regulární matice. Matice pˇrechodu VI Tvrzení Necht’ V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad K a P ∈ Kn×n je libovolná regulární matice. Necht’ α = (u1, . . . , un) je nˇejaká báze ve V. Položme vj = α · sj(P), wj = α · sj(P−1 ) pro 1 ≤ j ≤ n, a dále β = (v1, . . . , vn) = α · P, Matice pˇrechodu VI Tvrzení Necht’ V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad K a P ∈ Kn×n je libovolná regulární matice. Necht’ α = (u1, . . . , un) je nˇejaká báze ve V. Položme vj = α · sj(P), wj = α · sj(P−1 ) pro 1 ≤ j ≤ n, a dále β = (v1, . . . , vn) = α · P, γ = (w1, . . . , wn) = α · P−1 . Matice pˇrechodu VI Tvrzení Necht’ V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad K a P ∈ Kn×n je libovolná regulární matice. Necht’ α = (u1, . . . , un) je nˇejaká báze ve V. Položme vj = α · sj(P), wj = α · sj(P−1 ) pro 1 ≤ j ≤ n, a dále β = (v1, . . . , vn) = α · P, γ = (w1, . . . , wn) = α · P−1 . Potom P je maticí pˇrechodu z báze β do báze α a zároveˇn z báze α do báze γ, Matice pˇrechodu VI Tvrzení Necht’ V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad K a P ∈ Kn×n je libovolná regulární matice. Necht’ α = (u1, . . . , un) je nˇejaká báze ve V. Položme vj = α · sj(P), wj = α · sj(P−1 ) pro 1 ≤ j ≤ n, a dále β = (v1, . . . , vn) = α · P, γ = (w1, . . . , wn) = α · P−1 . Potom P je maticí pˇrechodu z báze β do báze α a zároveˇn z báze α do báze γ, t. j. P = Pα,β = Pγ,α. Matice pˇrechodu VII Speciálnˇe, P je maticí pˇrechodu z báze (s1(P), . . . , sn(P)) do báze ε = (e1, . . . , en) v Kn Matice pˇrechodu VII Speciálnˇe, P je maticí pˇrechodu z báze (s1(P), . . . , sn(P)) do báze ε = (e1, . . . , en) v Kn a taktéž z báze ε do báze (s1(P−1 ), . . . , sn(P−1 )). Matice pˇrechodu VII Speciálnˇe, P je maticí pˇrechodu z báze (s1(P), . . . , sn(P)) do báze ε = (e1, . . . , en) v Kn a taktéž z báze ε do báze (s1(P−1 ), . . . , sn(P−1 )). Tvrzení Necht’ α = (u1, . . . , un), β = (v1, . . . , vn) jsou dvˇe báze sloupcového vektorového prostoru Kn. Potom Pα,β = α−1 · β. Matice pˇrechodu VIII Návod na výpoˇcet matice pˇrechodu pro báze α, β vektorového prostoru Kn Matice pˇrechodu VIII Návod na výpoˇcet matice pˇrechodu pro báze α, β vektorového prostoru Kn (α | β) ERO −→ (In | Pα,β) = (ε | α−1 · β). Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze I Vˇeta Necht’ V1, V2 jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, ϕ : V1 → V2 je lineární zobrazení, α1, β1 jsou dvˇe báze prostoru V1 a α2, β2 jsou dvˇe báze prostoru V2. Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze I Vˇeta Necht’ V1, V2 jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, ϕ : V1 → V2 je lineární zobrazení, α1, β1 jsou dvˇe báze prostoru V1 a α2, β2 jsou dvˇe báze prostoru V2. Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze I Vˇeta Necht’ V1, V2 jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K, ϕ : V1 → V2 je lineární zobrazení, α1, β1 jsou dvˇe báze prostoru V1 a α2, β2 jsou dvˇe báze prostoru V2. Potom (ϕ)β2,β1 = Pβ2,α2 · (ϕ)α2,α1 · Pα1,β1 . Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze II Výše uvedenou transformaˇcní formuli si m˚užeme zapamatovat pomocí následujícího diagramu: (V1, α1) A- (V2, α2) (V1, β1) Pα1,β1 6 B- (V2, β2) Pβ2,α2 ? Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pˇríklad Necht’ ϕ : Kn → Km je lineární zobrazení a α, β jsou nˇejaké báze prostor˚u Km resp. Kn. Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pˇríklad Necht’ ϕ : Kn → Km je lineární zobrazení a α, β jsou nˇejaké báze prostor˚u Km resp. Kn. Oznaˇcme A = (ϕ)α,β, M = (ϕ)ε(m),ε(n) matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím β, α resp. vzhledem ke kanonickým bazím ε(n), ε(m). Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pˇríklad Necht’ ϕ : Kn → Km je lineární zobrazení a α, β jsou nˇejaké báze prostor˚u Km resp. Kn. Oznaˇcme A = (ϕ)α,β, M = (ϕ)ε(m),ε(n) matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím β, α resp. vzhledem ke kanonickým bazím ε(n), ε(m). Pak platí: A = Pα,ε(m) · M · Pε(n),β Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pˇríklad Necht’ ϕ : Kn → Km je lineární zobrazení a α, β jsou nˇejaké báze prostor˚u Km resp. Kn. Oznaˇcme A = (ϕ)α,β, M = (ϕ)ε(m),ε(n) matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím β, α resp. vzhledem ke kanonickým bazím ε(n), ε(m). Pak platí: A = Pα,ε(m) · M · Pε(n),β a M = Pε(m),α · A · Pβ,ε(n) . Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar A = α−1 · Im · M · I−1 n · β = α−1 · M · β, Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar A = α−1 · Im · M · I−1 n · β = α−1 · M · β, a M = I−1 m · α · A · β−1 · In = α · A · β−1 . Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze IV Vˇeta Necht’ U je m-rozmˇerný a V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K. Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze IV Vˇeta Necht’ U je m-rozmˇerný a V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze IV Vˇeta Necht’ U je m-rozmˇerný a V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na nˇejaké dvˇe dvojice bazí prostor˚u U, V; Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze IV Vˇeta Necht’ U je m-rozmˇerný a V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na nˇejaké dvˇe dvojice bazí prostor˚u U, V; (ii) existují regulární matice P ∈ Km×m, Q ∈ Kn×n tak, že B = P · A · Q; Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze IV Vˇeta Necht’ U je m-rozmˇerný a V je n-rozmˇerný vektorový prostor nad tˇelesem K. Potom pro libovolné matice A, B ∈ Km×n jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení ϕ : V → U vzhledem na nˇejaké dvˇe dvojice bazí prostor˚u U, V; (ii) existují regulární matice P ∈ Km×m, Q ∈ Kn×n tak, že B = P · A · Q; (iii) h(A) = h(B). Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze V Vˇeta Pro každé lineární zobrazení ϕ : V → U mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad tˇelesem K m˚užeme zvolit bázi β prostoru V a bázi α prostoru U tak, že Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze V Vˇeta Pro každé lineární zobrazení ϕ : V → U mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad tˇelesem K m˚užeme zvolit bázi β prostoru V a bázi α prostoru U tak, že ϕ má vzhledem k bazím β, α matici v blokovém tvaru (ϕ)α,β = Ih 0h,n−h 0m−h,h 0m−h,n−h , Matice LZ vzhledem na r˚uzné báze V Vˇeta Pro každé lineární zobrazení ϕ : V → U mezi koneˇcnˇe rozmˇernými vektorovými prostory nad tˇelesem K m˚užeme zvolit bázi β prostoru V a bázi α prostoru U tak, že ϕ má vzhledem k bazím β, α matici v blokovém tvaru (ϕ)α,β = Ih 0h,n−h 0m−h,h 0m−h,n−h , kde n = dimV, m = dimU a h = h(ϕ). 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZOBRAZENÍ Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 10. listopadu 2006 Abstrakt pˇrednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by napˇr. v R3 zahrˇnoval všechny pˇrímky a roviny, tj. nejen ty procházející poˇcátkem. Abstrakt pˇrednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by napˇr. v R3 zahrˇnoval všechny pˇrímky a roviny, tj. nejen ty procházející poˇcátkem. Zavedeme tedy definici pojmu afinního podprostoru nebo též lineární variety a pojmu afinního zobrazení . Abstrakt pˇrednášky I V této kapitole zavedeme takový pojem podprostoru, který by napˇr. v R3 zahrˇnoval všechny pˇrímky a roviny, tj. nejen ty procházející poˇcátkem. Zavedeme tedy definici pojmu afinního podprostoru nebo též lineární variety a pojmu afinního zobrazení . Tˇežištˇem kapitoly bude klasifikace vzájemné polohy lineárních variet ve vektorovém prostoru. Abstrakt pˇrednášky II V celé kapitole K oznaˇcuje pevné tˇeleso, V oznaˇcuje nˇejaký pevný, ale jinak libovolný, vektorový prostor nad tˇelesem K, m, n jsou pˇrirozená ˇcísla. Abstrakt pˇrednášky II V celé kapitole K oznaˇcuje pevné tˇeleso, V oznaˇcuje nˇejaký pevný, ale jinak libovolný, vektorový prostor nad tˇelesem K, m, n jsou pˇrirozená ˇcísla. V pˇrípadˇe potˇreby budeme mlˇcky pˇredpokládat, že charakteristika našeho tˇelesa bude r˚uzná od 2, tj. 2 · 1 = 0. Obsah pˇrednášky Afinní podprostory a afinní zobrazení Body a vektory Afinní podprostory Pr˚unik a spojení afinních podprostor˚u Vzájemná poloha afinních podprostor˚u Afinní zobrazení Body a vektory I Na vektory se díváme jako na orientované úseˇcky s poˇcátkem v bodˇe 0. Celý prostor chápeme jako homogenní, t. j. všechny body považujeme za rovnocenné a nevyˇcleˇnujeme v nˇem žádný privilegovaný bod za poˇcátek. Body a vektory II Afinním prostorem nad tˇelesem K rozumíme vektorový prostor V nad tímto tˇelesem (prvky se z vektor˚u staly opˇet body a poˇcátek, t. j. nulový vektor, ztratil svoje výsadní postavení – stal se z nˇeho bod jako každý jiný). Body a vektory II Afinním prostorem nad tˇelesem K rozumíme vektorový prostor V nad tímto tˇelesem (prvky se z vektor˚u staly opˇet body a poˇcátek, t. j. nulový vektor, ztratil svoje výsadní postavení – stal se z nˇeho bod jako každý jiný). Pˇresnˇeji: Body a vektory III Afinním prostorem A se zamˇeˇrením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V → P daným (p, v) → p + v tak, že platí: Body a vektory III Afinním prostorem A se zamˇeˇrením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V → P daným (p, v) → p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p ∈ P Body a vektory III Afinním prostorem A se zamˇeˇrením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V → P daným (p, v) → p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p ∈ P 2. p + (v + w) = (p + v) + w pro všechny vektory v, w ∈ V, p ∈ P Body a vektory III Afinním prostorem A se zamˇeˇrením V rozumíme množinu P spolu se zobrazením + : P × V → P daným (p, v) → p + v tak, že platí: 1. p + 0 = p pro všechny body p ∈ P 2. p + (v + w) = (p + v) + w pro všechny vektory v, w ∈ V, p ∈ P 3. pro každé dva body p, q ∈ P existuje právˇe jeden vektor v ∈ P takový, že p + v = q. Znaˇcíme jej pq nebo q − p. Body a vektory IV Bˇežnˇe budeme užívat znaˇcení p ∈ A místo p ∈ P, tj. nebudeme rozlišovat mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Body a vektory IV Bˇežnˇe budeme užívat znaˇcení p ∈ A místo p ∈ P, tj. nebudeme rozlišovat mezi afinním prostorem a jeho nosnou množinou. Uvˇedomme si, že mezi vektory z V a body z P existuje vzájemnˇe jednoznaˇcná korespondence, m˚užeme tedy bez újmy na obecnosti ztotožnit V s P. Afinní podprostory I Písmeny p, q, r budeme (i s indexy) znaˇcit výluˇcnˇe body, u, v, w oznaˇcují zase výluˇcnˇe vektory, x, y, z mohou podle potˇreby oznaˇcovat body i vektory. Rovnˇež se dohodneme, že rozdíl dvou bod˚u budeme chápat jako vektor a souˇcet bodu a vektoru jako bod. Afinní podprostory II Necht’ p, q ∈ V, p = q. Pˇrímkou procházející nebo též urˇcenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q − p. Afinní podprostory II Necht’ p, q ∈ V, p = q. Pˇrímkou procházející nebo též urˇcenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q − p. Typický bod pˇrímky (p, q) má tedy tvar x = p + t(q − p) = (1 − t)p + tq, kde t ∈ K, Afinní podprostory II Necht’ p, q ∈ V, p = q. Pˇrímkou procházející nebo též urˇcenou body p, q rozumíme množinu (p, q), kterou dostaneme tak, že do bodu p umístíme všechny možné skalární násobky vektoru q − p. Typický bod pˇrímky (p, q) má tedy tvar x = p + t(q − p) = (1 − t)p + tq, kde t ∈ K, tj. (p, q) = {sp + tq; s, t ∈ K & s + t = 1} ⊆ V. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o pˇrímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o pˇrímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihned vidíme, že (p, q) = (q, p) pro libovolné p, q ∈ V. Afinní podprostory III Tento výraz má smysl i pro p = q, tehdy však nejde o pˇrímku ale o jednobodovou množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihned vidíme, že (p, q) = (q, p) pro libovolné p, q ∈ V. Afinní podprostory IV Podmnožinu M vektorového prostoru V nazýváme jeho afinním podprostorem nebo též lineární varietou ve V, pokud M = ∅ a pre všechna p, q ∈ M platí (p, q) ⊆ M. Afinní podprostory IV Podmnožinu M vektorového prostoru V nazýváme jeho afinním podprostorem nebo též lineární varietou ve V, pokud M = ∅ a pre všechna p, q ∈ M platí (p, q) ⊆ M. Lineární kombinaci, t. j. výraz tvaru t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn = n i=0 tipi, kde n ∈ N, p0, . . . , pn ∈ V, t0, t1, . . . , tn ∈ K, nazýváme afinní kombinací bod˚u p0, p1, . . . , pn, pokud navíc platí t0 + t1 + . . . + tn = 1. Afinní podprostory V Afinní kombinací bod˚u budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bod˚u než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Afinní podprostory V Afinní kombinací bod˚u budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bod˚u než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Každá afinní kombinace je neprázdná, t. j. obsahuje alespoˇn jeden ˇclen. Afinní podprostory V Afinní kombinací bod˚u budeme chápat jako bod; jiné lineární kombinace bod˚u než afinní se v našich úvahách nevyskytují. Každá afinní kombinace je neprázdná, t. j. obsahuje alespoˇn jeden ˇclen. Tvrzení Pro libovolnou neprázdnou množinu M ⊆ V jsou následující podmínky ekvivalentní: Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; (ii) pro libovolné p, q ∈ M, s ∈ K platí sp + (1 − s)q ∈ M; Afinní podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; (ii) pro libovolné p, q ∈ M, s ∈ K platí sp + (1 − s)q ∈ M; (iii) pro každé n ∈ N a libovolné p0, p1, . . . , pn ∈ M, t0, t1 . . . , tn ∈ K takové, že t0 + t1 + . . . + tn = 1, platí t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn ∈ M. Afinní podprostory VII Vˇeta Necht’ M ⊆ V. Potom M je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když existuje bod p ∈ V a lineární podprostor S ⊆ V tak, že M = p + S = {p + u; u ∈ S}. Afinní podprostory VII Vˇeta Necht’ M ⊆ V. Potom M je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když existuje bod p ∈ V a lineární podprostor S ⊆ V tak, že M = p + S = {p + u; u ∈ S}. V tomto pˇrípadˇe pro všechny q, r ∈ M, u ∈ S platí q − r ∈ S, q + u ∈ M, M = q + S, Afinní podprostory VII Vˇeta Necht’ M ⊆ V. Potom M je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když existuje bod p ∈ V a lineární podprostor S ⊆ V tak, že M = p + S = {p + u; u ∈ S}. V tomto pˇrípadˇe pro všechny q, r ∈ M, u ∈ S platí q − r ∈ S, q + u ∈ M, M = q + S, S = {x − q; x ∈ M} = {x − y; x, y ∈ M}. Afinní podprostory VIII D˚usledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostory VIII D˚usledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostor M vektorového prostoru V je jeho lineárním podprostorem právˇe tehdy, když 0 ∈ M. Afinní podprostory VIII D˚usledek Každý lineární podprostor S vektorového prostoru V je jeho afinním podprostorem. Afinní podprostor M vektorového prostoru V je jeho lineárním podprostorem právˇe tehdy, když 0 ∈ M. Zamˇeˇrením nebo též smˇerovým podprostorem afinního podprostoru M ⊆ V nazýváme lineární podprostor DirM = {x − y; x, y ∈ M} ⊆ V. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nˇejaké (pro každé) p ∈ M. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nˇejaké (pro každé) p ∈ M. Pro každé p ∈ M platí DirM = {x − p; x ∈ M}. Afinní podprostory IX DirM je jediný lineární podprostor ve V takový, že M = p + DirM pro nˇejaké (pro každé) p ∈ M. Pro každé p ∈ M platí DirM = {x − p; x ∈ M}. Zejména je tedy každý afinní podprostor afinním prostorem ve smyslu odstavce 1. Afinní podprostory X Pro libovolnou uspoˇrádanou (n + 1)-tici bod˚u (p0, . . . , pn), vektorového prostoru V, pˇrípadnˇe pro jeho koneˇcnou podmnožinu {p0, . . . , pn} = ∅, oznaˇcme (p0, . . . , pn) = {t0p0 + . . . + tnpn; t0, . . . , tn ∈ K & t0 + . . . + tn = 1} množinu všech afinních kombinací bod˚u p0, . . . , pn. Afinní podprostory XI Z právˇe dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; Afinní podprostory XI Z právˇe dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; nazýváme ho afinní obal bod˚u nebo i afinní podprostor generovaný body p0, . . . , pn. Afinní podprostory XI Z právˇe dokázaného tvrzení vyplývá, že (p0, . . . , pn) je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje všechy body p0, . . . , pn; nazýváme ho afinní obal bod˚u nebo i afinní podprostor generovaný body p0, . . . , pn. Pro každou neprázdnou množinu X ⊆ V m˚užeme definovat její afinní obal (X), nazývaný též afinní podprostor generovaný množinou X, jako množinu všech (koneˇcných) afinních kombinací bod˚u z X. Afinní podprostory XII Opˇet platí, že (X) je nejmenší afinní podprostor ve V tak, že X ⊆ (X). Afinní podprostory XII Opˇet platí, že (X) je nejmenší afinní podprostor ve V tak, že X ⊆ (X). Tvrzení Necht’ p0, p1, . . . , pn ∈ V. Potom (p0, p1, . . . , pn) = p0 + [p1 − p0, . . . , pn − p0 ], Dir (p0, p1, . . . , pn) = [p1 − p0, . . . , pn − p0 ]. Afinní podprostory XIII Dimenzí nebo též rozmˇerem afinního podprostoru M ⊆ V, píšeme dimM, nazýváme dimenzi jeho zameˇrení, tedy dimM = dimDirM. Afinní podprostory XIII Dimenzí nebo též rozmˇerem afinního podprostoru M ⊆ V, píšeme dimM, nazýváme dimenzi jeho zameˇrení, tedy dimM = dimDirM. Body p0, p1, . . . , pn vektorového prostoru V nazýváme afinnˇe nezávislé, pokud vektory p1 − p0, . . . , pn − p0 jsou lineárnˇe nezávislé. Afinní podprostory XIV Z následujícího oˇcividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn ∈ V jsou afinnˇe nezávislé právˇe tehdy, Afinní podprostory XIV Z následujícího oˇcividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn ∈ V jsou afinnˇe nezávislé právˇe tehdy, když pro nˇejaké (pro každé) 0 ≤ k ≤ n vektory pj − pk , kde 0 ≤ j ≤ n a j = k, jsou lineárnˇe nezávislé. Afinní podprostory XIV Z následujícího oˇcividného tvrzení vyplývá, že body p0, p1, . . . , pn ∈ V jsou afinnˇe nezávislé právˇe tehdy, když pro nˇejaké (pro každé) 0 ≤ k ≤ n vektory pj − pk , kde 0 ≤ j ≤ n a j = k, jsou lineárnˇe nezávislé. Tvrzení Body p0, p1, . . . , pn ∈ V jsou afinnˇe nezávislé právˇe tehdy, když dim (p0, p1, . . . , pn) = n. Afinní podprostory XV Zˇrejmˇe 0-rozmˇerné afinní podprostory ve V jsou právˇe všechny body p ∈ V (pˇresnˇeji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Afinní podprostory XV Zˇrejmˇe 0-rozmˇerné afinní podprostory ve V jsou právˇe všechny body p ∈ V (pˇresnˇeji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozmˇerné afinní podprostory ve V nazýváme pˇrímkami. Afinní podprostory XV Zˇrejmˇe 0-rozmˇerné afinní podprostory ve V jsou právˇe všechny body p ∈ V (pˇresnˇeji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozmˇerné afinní podprostory ve V nazýváme pˇrímkami. Každá pˇrímka má skuteˇcnˇe tvar (p, q) pro nˇejaké afinnˇe nezávislé (t. j. r˚uzné) body p, q ∈ V. Afinní podprostory XV Zˇrejmˇe 0-rozmˇerné afinní podprostory ve V jsou právˇe všechny body p ∈ V (pˇresnˇeji, všechny jednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní podprostory nazýváme též triviální. Jednorozmˇerné afinní podprostory ve V nazýváme pˇrímkami. Každá pˇrímka má skuteˇcnˇe tvar (p, q) pro nˇejaké afinnˇe nezávislé (t. j. r˚uzné) body p, q ∈ V. Dvojrozmˇerné afinní podprostory ve V nazýváme rovinami. Afinní podprostory XVI Samotný prostor V je svým nevlastním afinním podprostorem. Pokud dimV = n, tak (n − 1)-rozmˇerné afinní podprostory ve V nazýváme nadrovinami. Pojmy "bod", "pˇrímka" a "rovina" jsou absolutní v tom smyslu, že závisí jen na dimenzi pˇríslušného afinního podprostoru. Pojem nadroviny je relativní, protože závisí na vztahu dimenzí afinního podprostoru a celého prostoru. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je pˇrímka), tak každý bod ve V je zároveˇn nadrovinou. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je pˇrímka), tak každý bod ve V je zároveˇn nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmˇerném prostoru (t. j. v rovinˇe) jsou zase všechny pˇrímky. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je pˇrímka), tak každý bod ve V je zároveˇn nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmˇerném prostoru (t. j. v rovinˇe) jsou zase všechny pˇrímky. V trojrozmˇerném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je pˇrímka), tak každý bod ve V je zároveˇn nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmˇerném prostoru (t. j. v rovinˇe) jsou zase všechny pˇrímky. V trojrozmˇerném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. V ˇctyˇrrozmˇerném prostoru jsou nadrovinami trojrozmˇerné podprostory; atd. Afinní podprostory XVII Pokud dimV = 1 (t. j. pokud samotné V je pˇrímka), tak každý bod ve V je zároveˇn nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmˇerném prostoru (t. j. v rovinˇe) jsou zase všechny pˇrímky. V trojrozmˇerném prostoru V pojmy roviny a nadroviny splývají. V ˇctyˇrrozmˇerném prostoru jsou nadrovinami trojrozmˇerné podprostory; atd. V 0-rozmˇerném (t. j. jednobodovém) prostoru V nejsou pˇrímky, roviny ani nadroviny. Pr˚unik a spojení AP I Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Pr˚unik a spojení AP I Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom M ∩ N je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP I Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom M ∩ N je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když M ∩ N = ∅. V tomto pˇrípadˇe Dir(M ∩ N) = DirM ∩ DirN. Pr˚unik a spojení AP I Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom M ∩ N je afinní podprostor ve V právˇe tehdy, když M ∩ N = ∅. V tomto pˇrípadˇe Dir(M ∩ N) = DirM ∩ DirN. Neprázdnost pr˚uniku M ∩ N m˚užeme zaruˇcit za pˇredpokladu, že lineární prostor DirM + DirN je dostateˇcnˇe velký. Pr˚unik a spojení AP II Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Pr˚unik a spojení AP II Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V ⇒ M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP II Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V ⇒ M ∩ N = ∅. Spojením afinních podprostor˚u M, N ⊆ V, píšeme M N, nazýváme afinní obal jejich sjednocení. Pr˚unik a spojení AP II Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Potom DirM + DirN = V ⇒ M ∩ N = ∅. Spojením afinních podprostor˚u M, N ⊆ V, píšeme M N, nazýváme afinní obal jejich sjednocení. Tedy M N = (M ∪ N). Pr˚unik a spojení AP III Zˇrejmˇe M N je nejmenší afinní podprostor ve V, který obsahuje M i N, a pro lineární podprostory S, T ⊆ V platí S T = S + T. Pr˚unik a spojení AP IV Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. Pr˚unik a spojení AP IV Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. (a) Pokud M ∩ N = ∅, tak Dir(M N) = DirM + DirN, M N = M + DirN = N + DirM. Pr˚unik a spojení AP IV Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou afinní podprostory. (a) Pokud M ∩ N = ∅, tak Dir(M N) = DirM + DirN, M N = M + DirN = N + DirM. (b) Pokud M ∩ N = ∅, tak pro p ∈ M, q ∈ N platí Dir(M N) = [q − p ] + DirM + DirN, M N = M + ( [q − p ] + DirN) = N + ( [q − p ] + DirM). Pr˚unik a spojení AP V Poznámka Obˇe rovnosti z (b) jsou splnˇené i za pˇredpokladu M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP V Poznámka Obˇe rovnosti z (b) jsou splnˇené i za pˇredpokladu M ∩ N = ∅. V tomto pˇrípadˇe však pro libovolné r ∈ M ∩ N platí q − p = (r − p) + (q − r) ∈ DirM + DirN, takže vektor q − p m˚užeme vynechat. Pr˚unik a spojení AP VI D˚usledek Necht’ M, N ⊆ V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné afinní podprostory. Pr˚unik a spojení AP VI D˚usledek Necht’ M, N ⊆ V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné afinní podprostory. Potom dim(M N) = dimM + dimN − dim(M ∩ N), pro M ∩ N = ∅, dimM + dimN − dim(DirM ∩ DirN) + 1, pro M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP VII Pˇríklad Ve vektorovém prostoru V uvažujme koneˇcnˇe rozmˇerné afinní podprostory M = p + [u1, . . . , um ], N = q + [v1, . . . , vn ]. Pr˚unik a spojení AP VII Pˇríklad Ve vektorovém prostoru V uvažujme koneˇcnˇe rozmˇerné afinní podprostory M = p + [u1, . . . , um ], N = q + [v1, . . . , vn ]. Potom M N = p + [u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M ∩ N = ∅, p + [q − p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M ∩ N = ∅, Pr˚unik a spojení AP VIII dim(M N)= dim[u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M ∩ N = ∅, dim[q − p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], pro M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP IX Pokud pˇredpokládáme, že jak vektory u1, . . . , um tak vektory v1, . . . , vn jsou lineárnˇe nezávislé, pak dim(M N) = m + n − k, pro M ∩ N = ∅, m + n − k + 1, pro M ∩ N = ∅, kde k = dim([u1, . . . , um] ∩ [v1, . . . , vn]). Pr˚unik a spojení AP X Pˇríklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, −3, 1, −1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, −2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurˇcené body p, q. Pr˚unik a spojení AP X Pˇríklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, −3, 1, −1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, −2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurˇcené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] jsou lineární podprostory a M = p + S, N = q + N jsou afinní podprostory v R4. Pr˚unik a spojení AP X Pˇríklad V sloupcovém prostoru R4 jsou dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T , y = (0, −3, 1, −1)T , z = (1, 1, 0, 0)T , u = (0, −2, 4, 3)T , v = (2, 6, 2, 5)T , w = (0, 0, 1, 1)T a blíže neurˇcené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] jsou lineární podprostory a M = p + S, N = q + N jsou afinní podprostory v R4. Najdeme dimenze lineárních podprostor˚u S + T, S ∩ T a afinních podprostor˚u M ∩ N, M N v závislosti na p, q. Pr˚unik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice Pr˚unik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice     1 0 1 2 −3 1 3 1 0 4 −1 0 0 2 0 −2 6 0 4 2 1 3 5 1     , Pr˚unik a spojení AP XI Lineární podprostor S + T je generovaný sloupci blokové matice     1 0 1 2 −3 1 3 1 0 4 −1 0 0 2 0 −2 6 0 4 2 1 3 5 1     , pˇriˇcemž sloupce levého bloku generují lineární podprostor S a sloupce pravého bloku lineární podprostor T. Pr˚unik a spojení AP XII Tato matice je ˇrádkovˇe ekvivalentní s následující blokovou maticí Pr˚unik a spojení AP XII Tato matice je ˇrádkovˇe ekvivalentní s následující blokovou maticí     1 0 1 0 1 −3 0 0 3 0 0 0 0 2 0 4 −4 0 −3 3 1 0 0 1     ve stupˇnovitém tvaru, jejíž ˇrádky mají vedoucí prvky ve sloupcích 1, 2, 3 a 6. Pr˚unik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoˇrí bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Pr˚unik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoˇrí bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Doupravením pravého bloku na ˇrádkovˇe ekvivalentní stupˇnovitý tvar Pr˚unik a spojení AP XIII Vidíme, že vektory x, y, z tvoˇrí bázi S a vektory x, y, z, w bázi S + T. Doupravením pravého bloku na ˇrádkovˇe ekvivalentní stupˇnovitý tvar     4 −4 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0     se m˚užeme pˇresvˇedˇcit, že i vektory u, v, w jsou lineárnˇe nezávislé, tedy tvoˇrí bázi T. Pr˚unik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Pr˚unik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle vˇety o dimenzi souˇctu a pr˚uniku vyplývá dim(S ∩ T) = 3 + 3 − 4 = 2. Pr˚unik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle vˇety o dimenzi souˇctu a pr˚uniku vyplývá dim(S ∩ T) = 3 + 3 − 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M ∩ N = ∅. Pr˚unik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle vˇety o dimenzi souˇctu a pr˚uniku vyplývá dim(S ∩ T) = 3 + 3 − 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M ∩ N = ∅. Proto dim(M ∩ N) = dim(S ∩ T) = 2. Pr˚unik a spojení AP XIV Celkem dimS = dimT = 3, dim(S + T) = 4. Odtud dle vˇety o dimenzi souˇctu a pr˚uniku vyplývá dim(S ∩ T) = 3 + 3 − 4 = 2. Tedy S + T = R4. Odtud pak M ∩ N = ∅. Proto dim(M ∩ N) = dim(S ∩ T) = 2. Odtud dim(M N) = dim(S + T) = 4. Vzájemná poloha AP I Polohu netriviálních vlastních afinních podprostor˚u (lineárních variet) M, N ⊆ V budeme klasifikovat na základˇe dvou kritérií: Vzájemná poloha AP II (A) Pokud platí DirM ⊆ DirN ∨ DirN ⊆ DirM, ˇríkáme, že M, N jsou rovnobˇežné a píšeme M N. Vzájemná poloha AP II (A) Pokud platí DirM ⊆ DirN ∨ DirN ⊆ DirM, ˇríkáme, že M, N jsou rovnobˇežné a píšeme M N. V opaˇcném pˇrípadˇe, t. j. pokud platí DirM ⊆ DirN & DirN ⊆ DirM, ˇríkáme, že M, N nejsou rovnobˇežné, a píšeme M N. Vzájemná poloha AP III (B) Pokud platí M ∩ N = ∅, ˇríkáme, že M, N se protínají. Vzájemná poloha AP III (B) Pokud platí M ∩ N = ∅, ˇríkáme, že M, N se protínají. V opaˇcném pˇrípadˇe, t. j. pokud M ∩ N = ∅, ˇríkáme, že M, N se neprotínají, neboli, že jsou disjunktní. Vzájemná poloha AP IV Celkovˇe tedy dostáváme ˇctyˇri možnosti: Vzájemná poloha AP IV Celkovˇe tedy dostáváme ˇctyˇri možnosti: (1) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N jsou rovnobˇežné a protínají se. Vzájemná poloha AP IV Celkovˇe tedy dostáváme ˇctyˇri možnosti: (1) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N jsou rovnobˇežné a protínají se. V tomto pˇrípadˇe platí DirM ⊆ DirN ⇔ M ⊆ N a DirN ⊆ DirM ⇔ N ⊆ M. Vzájemná poloha AP IV Celkovˇe tedy dostáváme ˇctyˇri možnosti: (1) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N jsou rovnobˇežné a protínají se. V tomto pˇrípadˇe platí DirM ⊆ DirN ⇔ M ⊆ N a DirN ⊆ DirM ⇔ N ⊆ M. Tedy M ⊆ N nebo M ⊆ N. ˇRíkáme, že jedna z lineárních variet M, N je podvarietou druhé, neboli, že M, N jsou ve vztahu inkluze. Vzájemná poloha AP V (2) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N jsou rovnobˇežné a neprotínají se. Vzájemná poloha AP V (2) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N jsou rovnobˇežné a neprotínají se. Tento pˇrípad nazýváme vztahem pravé rovnobˇežnosti. Vzájemná poloha AP VI (3) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a protínají se. Vzájemná poloha AP VI (3) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a protínají se. ˇRíkáme, že M, N jsou r˚uznobˇežné. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a neprotínají se. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a neprotínají se. V tomto pˇrípadˇe ještˇe rozlišujeme dvˇe další možnosti: Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a neprotínají se. V tomto pˇrípadˇe ještˇe rozlišujeme dvˇe další možnosti: (4a) Ak DirM ∩ DirN = {0}, ˇríkáme, že M, N jsou mimobˇežné. Vzájemná poloha AP VII (4) M N & M ∩ N = ∅, tj. M, N nejsou rovnobˇežné a neprotínají se. V tomto pˇrípadˇe ještˇe rozlišujeme dvˇe další možnosti: (4a) Ak DirM ∩ DirN = {0}, ˇríkáme, že M, N jsou mimobˇežné. (4b) Pokud DirM ∩ DirN = {0}, ˇríkáme, že M, N jsou ˇcásteˇcnˇe rovnobˇežné. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou ˇcásteˇcnˇe rovnobˇežné lineární variety. Potom dimM ≥ 2, dimN ≥ 2 a dimV ≥ 4. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou ˇcásteˇcnˇe rovnobˇežné lineární variety. Potom dimM ≥ 2, dimN ≥ 2 a dimV ≥ 4. Na druhé stranˇe v libovolném vektorovém prostoru V dimenze ≥ 4 není tˇežké najít pˇríklady ˇcásteˇcne rovnobežných lineárních variet. Vzájemná poloha AP VIII Tvrzení Necht’ M, N ⊆ V jsou ˇcásteˇcnˇe rovnobˇežné lineární variety. Potom dimM ≥ 2, dimN ≥ 2 a dimV ≥ 4. Na druhé stranˇe v libovolném vektorovém prostoru V dimenze ≥ 4 není tˇežké najít pˇríklady ˇcásteˇcne rovnobežných lineárních variet. Napˇr. M = [e1, e2], N = e4 + [e2, e3] jsou ˇcásteˇcnˇe rovnobˇežné roviny v K4. Afinní zobrazení I Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tímž tˇelesem K. ˇRíkáme, že f V → U je afinní zobrazení, pokud pro libovolné body p, q ∈ V a skalár s ∈ V platí f(sp + (1 − s)q) = sf(p) + (1 − s)f(q). Afinní zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Afinní zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom zobrazení f V → U je afinní právˇe tehdy, když pro každé n ∈ N, všechny body p0, . . . , pn ∈ V a skaláry t0, . . . , tn ∈ K takové, že t0 + . . . + tn = 1, platí Afinní zobrazení II Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom zobrazení f V → U je afinní právˇe tehdy, když pro každé n ∈ N, všechny body p0, . . . , pn ∈ V a skaláry t0, . . . , tn ∈ K takové, že t0 + . . . + tn = 1, platí f(t0p0 + . . . + tnpn) = t0f(p0) + . . . + tnf(pn). Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u ∈ V nazýváme zobrazení V → V dané pˇredpisem x → x + u. Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u ∈ V nazýváme zobrazení V → V dané pˇredpisem x → x + u. Zˇrejmˇe kompozicí posunutí o vektor u ∈ V a posunutí o vektor v ∈ V je posunutí o vektor u + v. Afinní zobrazení III Posunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u ∈ V nazýváme zobrazení V → V dané pˇredpisem x → x + u. Zˇrejmˇe kompozicí posunutí o vektor u ∈ V a posunutí o vektor v ∈ V je posunutí o vektor u + v. Každé posunutí je bijektivní zobrazení; inverzní zobrazení k posunutí o vektor u je posunutí o opaˇcný vektor −u. Afinní zobrazení IV Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Afinní zobrazení IV Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom zobrazení f : V → U je afinní právˇe tehdy, když existuje vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ : V → U takové, že pro každé x ∈ V platí Afinní zobrazení IV Vˇeta Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom zobrazení f : V → U je afinní právˇe tehdy, když existuje vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ : V → U takové, že pro každé x ∈ V platí f(x) = ϕ(x) + u. Afinní zobrazení V D˚usledek Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom Afinní zobrazení V D˚usledek Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; Afinní zobrazení V D˚usledek Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; (b) libovolné lineární zobrazení ϕ : V → U je afinní; Afinní zobrazení V D˚usledek Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K. Potom (a) Libovolná translace prostoru V je afinní zobrazení; (b) libovolné lineární zobrazení ϕ : V → U je afinní; (c) afinní zobrazení f : V → U je lineární právˇe tehdy, když f(0) = 0. Afinní zobrazení VI Zˇrejmˇe vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ jsou podmínkou vˇety urˇcené jednoznaˇcnˇe. Afinní zobrazení VI Zˇrejmˇe vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ jsou podmínkou vˇety urˇcené jednoznaˇcnˇe. Zobrazení ϕ = f − f(0) nazývame lineární ˇcástí a vektor u = f(0) absolutním ˇclenem afinního zobrazení f. Afinní zobrazení VI Zˇrejmˇe vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ jsou podmínkou vˇety urˇcené jednoznaˇcnˇe. Zobrazení ϕ = f − f(0) nazývame lineární ˇcástí a vektor u = f(0) absolutním ˇclenem afinního zobrazení f. Píšeme též f = ϕ + u. Afinní zobrazení VI Zˇrejmˇe vektor u ∈ U a lineární zobrazení ϕ jsou podmínkou vˇety urˇcené jednoznaˇcnˇe. Zobrazení ϕ = f − f(0) nazývame lineární ˇcástí a vektor u = f(0) absolutním ˇclenem afinního zobrazení f. Píšeme též f = ϕ + u. Afinní zobrazení jsou zevšeobecnˇením funkcí f : K → K tvaru f(x) = ax + b, kde a, b ∈ K, které (v pˇrípadˇe K = R) v matematické analýze nazýváme lineárními. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a g : W → V, f : V → U jsou afinní zobrazení. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a g : W → V, f : V → U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f ◦ g : W → U je afinní zobrazení. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a g : W → V, f : V → U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f ◦ g : W → U je afinní zobrazení. (f ◦ g)(z) = ϕ(ψ(z) + v) + u = (ϕ ◦ ψ)(z) + ϕ(v) + u. Afinní zobrazení VII Tvrzení Necht’ U, V, W jsou vektorové prostory nad tˇelesem K a g : W → V, f : V → U jsou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f ◦ g : W → U je afinní zobrazení. (f ◦ g)(z) = ϕ(ψ(z) + v) + u = (ϕ ◦ ψ)(z) + ϕ(v) + u. Pro lineární zobrazení ψ : W → V, ϕ : V → U a vektory v ∈ V, u ∈ U platí (ϕ + u) ◦ (ψ + v) = (ϕ ◦ ψ) + (ϕ(v) + u). Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K, f : V → U je afinní zobrazení a M ⊆ V, N ⊆ U jsou afinní podprostory. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K, f : V → U je afinní zobrazení a M ⊆ V, N ⊆ U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f−1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K, f : V → U je afinní zobrazení a M ⊆ V, N ⊆ U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f−1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Protože každé posunutí je bijekce, afinní zobrazení f = ϕ + u : V → U s lineární ˇcástí ϕ je injektivní právˇe tehdy, když ϕ je injektivní. Afinní zobrazení VIII Tvrzení Necht’ U, V jsou vektorové prostory nad tˇelesem K, f : V → U je afinní zobrazení a M ⊆ V, N ⊆ U jsou afinní podprostory. Potom f(M) je afinní podprostor v U a f−1(N) je afinní podprostor ve V nebo prázdná množina. Protože každé posunutí je bijekce, afinní zobrazení f = ϕ + u : V → U s lineární ˇcástí ϕ je injektivní právˇe tehdy, když ϕ je injektivní. Podobnˇe, f je surjektivní právˇe tehdy, když ϕ je surjektivní. Afinní zobrazení IX Vˇeta Necht’ f : V → U je afinní zobrazení, pˇriˇcemž V je koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor. Afinní zobrazení IX Vˇeta Necht’ f : V → U je afinní zobrazení, pˇriˇcemž V je koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor. Potom pro libovolné y ∈ Imf platí dimV = dimf−1 (y) + dimImf. Afinní zobrazení IX Vˇeta Necht’ f : V → U je afinní zobrazení, pˇriˇcemž V je koneˇcnˇe rozmˇerný vektorový prostor. Potom pro libovolné y ∈ Imf platí dimV = dimf−1 (y) + dimImf. Afinní transformací vektorového prostoru V nazýváme libovolné afinní zobrazení f : V → V. Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právˇe tehdy, když je surjektivní. Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právˇe tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht’ f : V → U je afinní zobrazení s lineární ˇcástí ϕ a u = f(0). Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právˇe tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht’ f : V → U je afinní zobrazení s lineární ˇcástí ϕ a u = f(0). Potom f je bijektivní právˇe tehdy, když ϕ je bijektívní. Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právˇe tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht’ f : V → U je afinní zobrazení s lineární ˇcástí ϕ a u = f(0). Potom f je bijektivní právˇe tehdy, když ϕ je bijektívní. V tomto pˇrípadˇe i inverzní zobrazení f−1 : U → V je afinní a platí f−1 = ϕ−1 − ϕ−1(u). Afinní zobrazení X D˚usledek Necht’ f : V → V je afinní transformace koneˇcnˇe rozmˇerného vektorového prostoru V. Potom f je injektívní právˇe tehdy, když je surjektivní. Tvrzení Necht’ f : V → U je afinní zobrazení s lineární ˇcástí ϕ a u = f(0). Potom f je bijektivní právˇe tehdy, když ϕ je bijektívní. V tomto pˇrípadˇe i inverzní zobrazení f−1 : U → V je afinní a platí f−1 = ϕ−1 − ϕ−1(u). Tedy f−1 je kompozicí lineárního zobrazení ϕ−1 a posunutí o vektor −ϕ−1(u). Afinní zobrazení XI Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory a α, β jsou báze v U resp. ve V. Afinní zobrazení XI Necht’ U, V jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory a α, β jsou báze v U resp. ve V. Rozšíˇrenou maticí afinního zobrazení f : V → U s lineární ˇcástí ϕ a absolutním ˇclenem u vzhledem na báze β, α nazýváme blokovou matici (f)α,β = (ϕ)α,β | (u)α . Afinní zobrazení XII Pokud dimU = m, dimV = n, A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ v bazích β = (v1, . . . , vn), α a a = (u)α je vektor souˇradnic vektoru u v bázi α, Afinní zobrazení XII Pokud dimU = m, dimV = n, A = (ϕ)α,β je matice lineárního zobrazení ϕ v bazích β = (v1, . . . , vn), α a a = (u)α je vektor souˇradnic vektoru u v bázi α, tak rozšíˇrenou maticí afinního zobrazení f v bazích β, α je bloková matice (f)α,β = (ϕ(v1))α, . . . , (ϕ(vn))α | (u)α = (A | a). Afinní zobrazení XIII Souˇradnice bodu x ∈ V v bázi β a souˇradnice jeho obrazu f(x) ∈ U v bázi α jsou tak spojené rovností (f(x))α = (ϕ)α,β · (x)β + (u)α = A · (x)β + a. Afinní zobrazení XIII Souˇradnice bodu x ∈ V v bázi β a souˇradnice jeho obrazu f(x) ∈ U v bázi α jsou tak spojené rovností (f(x))α = (ϕ)α,β · (x)β + (u)α = A · (x)β + a. Je-li f lineární zobrazení, t. j. pokud f = ϕ a u = 0, nemá význam rozšiˇrovat matici (ϕ)α,β o nulový sloupec. Afinní zobrazení XIV Tvrzení Necht’ U, V, W jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K a α, β, γ jsou nˇejaké báze prostor˚u U, V, resp. W. Afinní zobrazení XIV Tvrzení Necht’ U, V, W jsou koneˇcnˇe rozmˇerné vektorové prostory nad tˇelesem K a α, β, γ jsou nˇejaké báze prostor˚u U, V, resp. W. (a) Jsou-li g : W → V, f : V → U afinní zobrazení, které mají v pˇríslušných bazích rozšíˇrené matice (g)β,γ = (B | b), (f)α,β = (A | a), tak jejich kompozice f ◦ g : W → U má v bazích γ, α rozšíˇrenou matici (f ◦ g)α,γ = (A · B | A · b + a). Afinní zobrazení XV (b) Je-li f : V → U afinní bijekce s rozšíˇrenou maticí (f)α,β = (A | a) v bazích β, α, tak k ní inverzní zobrazení je afinní bijekce f−1 : U → V, která má v bazích α, β rozšíˇrenou matici f−1 β,α = A−1 | − A−1 · a . 9. AFINNÍ PODPROSTORY A SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 30. listopadu 2006 Abstrakt pˇrednášky V této kapitole se budeme opˇet vˇenovat soustavám lineárních rovnic. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole se budeme opˇet vˇenovat soustavám lineárních rovnic. Dokážeme, že množina ˇrešení každé lineární (homogenní) soustavy tvoˇrí afinní (lineární) podprostor vhodného sloupcového prostoru Kn Abstrakt pˇrednášky V této kapitole se budeme opˇet vˇenovat soustavám lineárních rovnic. Dokážeme, že množina ˇrešení každé lineární (homogenní) soustavy tvoˇrí afinní (lineární) podprostor vhodného sloupcového prostoru Kn a obrácenˇe, každý takový afinní (lineární) podprostor lze popsat jakožto množinu ˇrešení vhodné lineární (homogenní) soustavy. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole se budeme opˇet vˇenovat soustavám lineárních rovnic. Dokážeme, že množina ˇrešení každé lineární (homogenní) soustavy tvoˇrí afinní (lineární) podprostor vhodného sloupcového prostoru Kn a obrácenˇe, každý takový afinní (lineární) podprostor lze popsat jakožto množinu ˇrešení vhodné lineární (homogenní) soustavy. V celé kapitole K oznaˇcuje pevné tˇeleso, m, n jsou pˇrirozená ˇcísla. Obsah pˇrednášky Afinní podprostory a soustavy lineárních rovnic Podprostor ˇrešení homogenní soustavy a jeho báze Frobeniova vˇeta a ˇrešení nehomogenní soustavy Parametrické a všeobecné rovnice afinních podprostor˚u Rovnice pr˚uniku a spojení afinních podprostor˚u Podprostor ˇrešení I Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Uvažujme homogenní soustavu lineárních rovnic s maticí A A · x = 0. Podprostor ˇrešení II Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou stranou b A · x = b. Podprostor ˇrešení II Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou stranou b A · x = b. Množiny jejich ˇrešení oznaˇcíme R(A) = {x ∈ Kn : A · x = 0}, Podprostor ˇrešení II Dále uvažme nehomogenní soustavu s maticí A a pravou stranou b A · x = b. Množiny jejich ˇrešení oznaˇcíme R(A) = {x ∈ Kn : A · x = 0}, resp. R(A | b) = {x ∈ Kn : A · x = b}. Podprostor ˇrešení III Pˇredpisem ϕ(x) = A · x je definované lineární zobrazení ϕ : Kn → Km, pˇriˇcemž R(A) = Kerϕ. Podprostor ˇrešení III Pˇredpisem ϕ(x) = A · x je definované lineární zobrazení ϕ : Kn → Km, pˇriˇcemž R(A) = Kerϕ. Z toho okamžitˇe vyplývá Tvrzení Pro libovolnou matici A ∈ Km×n množina R(A) ˇrešení homogenní soustavy A · x = 0 tvoˇrí lineární podprostor vektorového prostoru Kn. Podprostor ˇrešení IV Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním systémem ˇrešení soustavy A · x = 0. Podprostor ˇrešení IV Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním systémem ˇrešení soustavy A · x = 0. Potom každé ˇrešení pˇríslušné homogenní soustavy m˚užeme jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako lineární kombinaci vektor˚u z fundamentálního systému ˇrešení, Podprostor ˇrešení IV Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním systémem ˇrešení soustavy A · x = 0. Potom každé ˇrešení pˇríslušné homogenní soustavy m˚užeme jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako lineární kombinaci vektor˚u z fundamentálního systému ˇrešení, a naopak, každá lineární kombinace vektor˚u fundamentálního systému je ˇrešením pˇríslušné soustavy. Podprostor ˇrešení IV Každou bázi prostoru R(A) nazýváme fundamentálním systémem ˇrešení soustavy A · x = 0. Potom každé ˇrešení pˇríslušné homogenní soustavy m˚užeme jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako lineární kombinaci vektor˚u z fundamentálního systému ˇrešení, a naopak, každá lineární kombinace vektor˚u fundamentálního systému je ˇrešením pˇríslušné soustavy. Fundamentální systém ˇrešení najdeme následujícím postupem: Podprostor ˇrešení V Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupˇnovitý tvar B ∈ Km×n. Podprostor ˇrešení V Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupˇnovitý tvar B ∈ Km×n. Množinu {1, . . . , n} rozdˇelíme na dvˇe podmnožiny J a J , podle toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází vedoucí prvek nˇejakého jejího ˇrádku. Podprostor ˇrešení V Matici A upravíme pomocí ERO na redukovaný stupˇnovitý tvar B ∈ Km×n. Množinu {1, . . . , n} rozdˇelíme na dvˇe podmnožiny J a J , podle toho, zda se v j-tém sloupci matice B nachází nebo nenachází vedoucí prvek nˇejakého jejího ˇrádku. Oznaˇcme k poˇcet prvk˚u množiny J a zapišme ji ve tvaru J = {j1 < j2 < . . . < jk }. Podprostor ˇrešení VI Pro každý index jl ∈ J sestrojíme vektor vl = (v1l, . . . , vnl)T ∈ Kn takto: Podprostor ˇrešení VI Pro každý index jl ∈ J sestrojíme vektor vl = (v1l, . . . , vnl)T ∈ Kn takto: Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l. Podprostor ˇrešení VI Pro každý index jl ∈ J sestrojíme vektor vl = (v1l, . . . , vnl)T ∈ Kn takto: Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l. Pro j ∈ J vypoˇcítáme hodnoty vjl k uvedeným hodnotám parametr˚u vj1l, . . . , vjk l tak, aby celý vektor vl vyhovoval podmínce B · vl = 0. Podprostor ˇrešení VI Pro každý index jl ∈ J sestrojíme vektor vl = (v1l, . . . , vnl)T ∈ Kn takto: Zvolíme vjl l = 1 a vji l = 0 pro i = l. Pro j ∈ J vypoˇcítáme hodnoty vjl k uvedeným hodnotám parametr˚u vj1l, . . . , vjk l tak, aby celý vektor vl vyhovoval podmínce B · vl = 0. Potom vektory v1, v2, . . . , vk tvoˇrí bázi podprostoru ˇrešení R(A). Pˇritom zˇrejmˇe platí k = n − h(A). Podprostor ˇrešení VII Pˇríklad Pˇredpokládejme, že jsme matici A pomocí ERO už upravili na redukovaný stupˇnovitý tvar B =     1 2 0 0 −1/3 0 0 1 0 1/2 0 0 0 1 −2 0 0 0 0 0     . Vedoucí prvky ˇrádk˚u se nacházejí ve sloupcích 1, 3 a 4. Podprostor ˇrešení VIII Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x3 a x4 si vyjádˇríme s jejich pomocí. Podprostor ˇrešení VIII Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x3 a x4 si vyjádˇríme s jejich pomocí. Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor v1 = (−2, 1, 0, 0, 0)T . Podprostor ˇrešení VIII Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x3 a x4 si vyjádˇríme s jejich pomocí. Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor v1 = (−2, 1, 0, 0, 0)T . Druhá volba parametr˚u je x2 = 0, x5 = 1. Tomu odpovídá vektor v2 = (1/3, 0, −1/2, 2, 1)T . Podprostor ˇrešení VIII Tedy neznámé x2 a x5 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x3 a x4 si vyjádˇríme s jejich pomocí. Naše první volba je x2 = 1, x5 = 0. Tomu odpovídá vektor v1 = (−2, 1, 0, 0, 0)T . Druhá volba parametr˚u je x2 = 0, x5 = 1. Tomu odpovídá vektor v2 = (1/3, 0, −1/2, 2, 1)T . Potom vektory v1, v2 tvoˇrí bázi podprostoru (fundamentální systém) ˇrešení R(A) = R(B) ⊆ R5. Podprostor ˇrešení IX Tvrzení Pro libovolnou matici A ∈ Km×n platí dimR(A) = n − h(A). Podprostor ˇrešení NS I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Podprostor ˇrešení NS I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. (a) Pokud y, z ∈ R(A | ) ¯ , pak y − z ∈ R(A). Podprostor ˇrešení NS I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. (a) Pokud y, z ∈ R(A | ) ¯ , pak y − z ∈ R(A). (b) Pokud z ∈ R(A | b), x ∈ R(A), pak z + x ∈ R(A | b). Podprostor ˇrešení NS I Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. (a) Pokud y, z ∈ R(A | ) ¯ , pak y − z ∈ R(A). (b) Pokud z ∈ R(A | b), x ∈ R(A), pak z + x ∈ R(A | b). R(A | b) = z + R(A) = {z + x; x ∈ R(A)} = z + [v1, . . . , vn] = {z + c1v1 + . . . + ck vk ; c1, . . . , ck ∈ K}. Podprostor ˇrešení NS II Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Podprostor ˇrešení NS II Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Pokud soustava A · x = b má aspoˇn jedno ˇrešení, tak R(A | b) je afinní podprostor v Kn se zamˇeˇrením R(A). Podprostor ˇrešení NS II Tvrzení Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Pokud soustava A · x = b má aspoˇn jedno ˇrešení, tak R(A | b) je afinní podprostor v Kn se zamˇeˇrením R(A). To znamená, že DirR(A | b) = R(A) a dimR(A | b) = dimR(A) = n − h(A). Frobeniova vˇeta I Vˇeta (Frobenius) Necht’ A ∈ Km×n, b ∈ Km. Potom nehomogenní soustava A · x = b má ˇrešení právˇe tehdy, když h(A | b) = h(A). Frobeniova vˇeta II Soustava A · x = b má alespoˇn jedno ˇrešení z ∈ Kn právˇe tehdy, když b ∈ Imϕ (kde ϕ(x) = A · x). Pak R(A | b) = z + R(A). Frobeniova vˇeta II Soustava A · x = b má alespoˇn jedno ˇrešení z ∈ Kn právˇe tehdy, když b ∈ Imϕ (kde ϕ(x) = A · x). Pak R(A | b) = z + R(A). Frobeniova vˇeta ˇríká: nehomogenní soustava A · x = b nemá ˇrešení právˇe tehdy, když se pˇri úpravˇe její rozšíˇrené matice (A | b) na redukovaný stupˇnovitý tvar objeví nˇejaký ˇrádek tvaru (0, . . . , 0 | d) ∈ Kn+1, kde 0 = d ∈ K. Takovýto ˇrádek totiž zodpovídá rovnici 0 = d. Frobeniova vˇeta III Pokud upravíme pomocí ERO rozšíˇrenou matici (A | b) na redukovaný stupˇnovitý tvar (B | c), kde B ∈ Km×n a c ∈ Km, tak B je též v redukovaném stupˇnovitém tvaru. Frobeniova vˇeta III Pokud upravíme pomocí ERO rozšíˇrenou matici (A | b) na redukovaný stupˇnovitý tvar (B | c), kde B ∈ Km×n a c ∈ Km, tak B je též v redukovaném stupˇnovitém tvaru. Potom R(A | b) = R(B | c) = ∅ právˇe tehdy, když se žádný vedoucí prvek nˇejakého ˇrádku matice (B | c) nenachází v posledním, t. j. n + 1-ním sloupci. Frobeniova vˇeta IV Bázi prostoru ˇrešení R(A) = R(B) najdeme postupem popsaným v paragrafu 9.1. Frobeniova vˇeta IV Bázi prostoru ˇrešení R(A) = R(B) najdeme postupem popsaným v paragrafu 9.1. Nech J, J a k mají dˇríve uvedený význam. Frobeniova vˇeta IV Bázi prostoru ˇrešení R(A) = R(B) najdeme postupem popsaným v paragrafu 9.1. Nech J, J a k mají dˇríve uvedený význam. Jedno ˇrešení z = (z1, . . . , zn)T nehomogenní soustavy dostaneme volbou parametr˚u zj1 = . . . = zjk = 0 pro jl ∈ J . Frobeniova vˇeta IV Bázi prostoru ˇrešení R(A) = R(B) najdeme postupem popsaným v paragrafu 9.1. Nech J, J a k mají dˇríve uvedený význam. Jedno ˇrešení z = (z1, . . . , zn)T nehomogenní soustavy dostaneme volbou parametr˚u zj1 = . . . = zjk = 0 pro jl ∈ J . Zbývající hodnoty zj potom vypoˇcítáme tak, aby z vyhovovalo podmínce B · z = c, t. j. zj = cj pro j ∈ J. Frobeniova vˇeta V Pˇríklad Pˇredpokládejme, že jsme matici (A | b) pomocí ERO už upravili na redukovaný stupˇnovitý tvar (B | c) =     1 0 0 3 1/4 0 0 1 0 4 2 −1 0 0 1 1 −5 6 0 0 0 0 0 0 2 −1 −2/7 0     . Frobeniova vˇeta VI Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = ∅. Frobeniova vˇeta VI Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = ∅. Vedoucí prvky ˇrádk˚u se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3. Frobeniova vˇeta VI Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = ∅. Vedoucí prvky ˇrádk˚u se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3. Tedy neznámé x4, x5 a x6 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x2 a x3 si vyjádˇríme pomocí nich. Frobeniova vˇeta VI Vidíme, že h(B | c) = h(B) = 3, tedy R(A | b) = R(B | c) = ∅. Vedoucí prvky ˇrádk˚u se nacházejí ve sloupcích 1, 2 a 3. Tedy neznámé x4, x5 a x6 si zvolíme za parametry a neznámé x1, x2 a x3 si vyjádˇríme pomocí nich. První volbˇe x4 = 1, x5 = x6 = 0 odpovídá vektor v1 = (−3, −4, −1, 1, 0, 0)T . Frobeniova vˇeta VII Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor v2 = (−1/4, −2, 5, 0, 1, 0)T . Frobeniova vˇeta VII Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor v2 = (−1/4, −2, 5, 0, 1, 0)T . Tˇretí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor v3 = (0, 1, −6, 0, 0, 1)T . Frobeniova vˇeta VII Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor v2 = (−1/4, −2, 5, 0, 1, 0)T . Tˇretí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor v3 = (0, 1, −6, 0, 0, 1)T . Potom vektory v1, v2, v3 tvoˇrí bázi podprostoru ˇrešení R(A) = R(B) ⊆ R6 pˇríslušní homogenní soustavy. Frobeniova vˇeta VII Druhá volba x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0 nám dá vektor v2 = (−1/4, −2, 5, 0, 1, 0)T . Tˇretí volbou x4 = x5 = 0, x6 = 1 získáme vektor v3 = (0, 1, −6, 0, 0, 1)T . Potom vektory v1, v2, v3 tvoˇrí bázi podprostoru ˇrešení R(A) = R(B) ⊆ R6 pˇríslušní homogenní soustavy. Koneˇcnˇe volbou parametr˚u x4 = x5 = x6 = 0 získáme jedno ˇrešení z = (2, −1, −2/7, 0, 0, 0)T nehomogenní soustavy. Frobeniova vˇeta VIII Výsledek m˚užeme zapsat do tabulky: v1 v2 v3 z x1 −3 −1/4 0 2 x2 −4 −2 1 −1 x3 −1 5 −6 −2/7 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 Parametrické a všeobecné rovnice I Každý afinní podprostor M ⊆ Kn má tvar M = p + [u1, . . . , uk ] = p + [α] pro nˇejaký bod p = (p1, . . . , pn)T ∈ M a vhodnou uspoˇrádanou k-tici α = (u1, . . . , uk ) vektor˚u z Kn, kde uj = (u1j, . . . , unj)T . Parametrické a všeobecné rovnice II To znamená, že pro libovolné x ∈ Kn platí x ∈ M právˇe tehdy, když existuje t = (t1, . . . , tk )T ∈ Kk tak, že x = p + α · t, kde jsme uspoˇrádanou k-tici α jako obyˇcejnˇe ztotožnili s maticí (uij) ∈ Kn×k se sloupci u1, . . . , uk . Parametrické a všeobecné rovnice III Rovnost x = p + α · t je maticovým zápisem parametrických rovnic afinního podprostoru M ⊆ Kn. Parametrické a všeobecné rovnice III Rovnost x = p + α · t je maticovým zápisem parametrických rovnic afinního podprostoru M ⊆ Kn. Vektor t ∈ Kn nazýváme vektorem parametr˚u a jeho složky t1, . . . , tk ∈ K parametry. Parametrické a všeobecné rovnice IV Po rozepsání do složek x1 = p1 + u11t1 + u12t2 + . . . + u1k tk x2 = p2 + u21t1 + u22t2 + . . . + u2k tk xn = pn + un1t1 + un2tn + . . . + unk tk dostaneme obvyklejší tvar, se kterým jsme sa v dimenzi n = 2 resp. n = 3 už potkali v stˇredoškolské analytické geometrii. Parametrické a všeobecné rovnice V Jsou-li navíc vektory u1, . . . , uk lineárnˇe nezávislé, což m˚užeme vždy dosáhnout vynecháním "nadbyteˇcných vektor˚u", pak parametrické rovnice podprostoru M nám pˇrímo ukáží jeho dimenzi: dimM = k. Parametrické a všeobecné rovnice VI Zápis afinního podprostoru M ⊆ Kn ve tvaru M = p + [α], kde p ∈ M a α je nejaká uspoˇrádaná k-tice, která generuje jeho zamˇeˇrení DirM (m˚užeme si dovolit pˇredpokládat, že α je dokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým vyjádˇrením. Parametrické a všeobecné rovnice VI Zápis afinního podprostoru M ⊆ Kn ve tvaru M = p + [α], kde p ∈ M a α je nejaká uspoˇrádaná k-tice, která generuje jeho zamˇeˇrení DirM (m˚užeme si dovolit pˇredpokládat, že α je dokonce báze v DirM), budeme nazývat jeho parametrickým vyjádˇrením. Parametrické vyjádˇrení M = p + [α] afinního podprostoru m˚užeme pˇrímo pˇrepsat do jeho parametrických rovnic x = p + α · t, (t ∈ Kk ). Naopak, z jeho parametrických rovnic m˚užeme okamžitˇe získat jeho parametrické vyjádˇrení. Parametrické a všeobecné rovnice VII Každá soustava lineárních rovnic A · x = b s rozšíˇrenou maticí (A | b) ∈ Km×(n+1) (pokud má ˇrešení), popisuje afinní podprostor R(A | b) ⊆ Kn. Parametrické a všeobecné rovnice VII Každá soustava lineárních rovnic A · x = b s rozšíˇrenou maticí (A | b) ∈ Km×(n+1) (pokud má ˇrešení), popisuje afinní podprostor R(A | b) ⊆ Kn. Vyˇrešit soustavu lineárních rovnic A · x = b znamená vlastne najít nˇejaké pˇekné parametrické rovnice afinního podprostoru R(A | b). Parametrické a všeobecné rovnice VIII Necht’ tedy M = p + [α] je afinní podprostor v Kn, daný bodom p ∈ Kn a uspoˇrádanou k-ticí α = (u1, . . . , uk ) vektor˚u z Kn, kterou ztotožníme s maticí α = (uij) ∈ Kn×k se sloupci uj. Parametrické a všeobecné rovnice IX Parametrické rovnice x = p + α · t podprostoru M, kde x = (x1, . . . , xn)T ∈ Kn je vektor neznámých a t = (t1, . . . , tk )T ∈ Kk je vektor parametr˚u, m˚užeme pˇrepsat do tvaru In · x = α · t + p, který lze reprezentovat pomocí blokové matice (In | α | p). Parametrické a všeobecné rovnice X Naše metoda bude založená na eliminaci parametr˚u t1, . . . , tk úpravou této matice pomocí ERO. Parametrické a všeobecné rovnice X Naše metoda bude založená na eliminaci parametr˚u t1, . . . , tk úpravou této matice pomocí ERO. Matici (In | α | p) budeme upravovat na ˇrádkovˇe ekvivalentní matici tak, aby prostˇrední blok vo výsledné matici byl ve stupˇnovitém tvaru. Mohou pak nastat dvˇe možnosti Parametrické a všeobecné rovnice XI (1) h(α) = n, což poznáme podle toho, že všechny ˇrádky prostˇredního bloku výsledné matice jsou nenulové. Parametrické a všeobecné rovnice XI (1) h(α) = n, což poznáme podle toho, že všechny ˇrádky prostˇredního bloku výsledné matice jsou nenulové. V tomto pˇrípadˇe M = V a všeobecné rovnice tohoto podprostoru tvoˇrí prázdná soustava (t. j. soustava, která neobsahuje žádnou rovnici). Parametrické a všeobecné rovnice XII (2) h(α) < n. Pak m˚užeme prostˇrední blok výsledné matice rozdˇelit do dvou pod sebou umístˇených blok˚u D 0 , kde horní blok D je stupˇnovitá matice typu h(α) × k, která má všechny ˇrádky nenulové, tedy dolní nulový blok má rozmˇer (n − h(α)) × k. Parametrické a všeobecné rovnice XIII Toto rozdˇelení prostˇredního bloku indukuje rozdˇelení celé výsledné matice do blok˚u Parametrické a všeobecné rovnice XIII Toto rozdˇelení prostˇredního bloku indukuje rozdˇelení celé výsledné matice do blok˚u A D b A 0 b . Parametrické a všeobecné rovnice XIII Toto rozdˇelení prostˇredního bloku indukuje rozdˇelení celé výsledné matice do blok˚u A D b A 0 b . Potom A · x = b jsou všeobecné rovnice afinního podprostoru M, t. j. platí M = p + [α] = R(A | b). Parametrické a všeobecné rovnice XIV Popsaný algoritmus m˚užeme struˇcnˇe shrnout do následujícího schématu (In | α | p) ERO −→ A D b A 0 b , Parametrické a všeobecné rovnice XIV Popsaný algoritmus m˚užeme struˇcnˇe shrnout do následujícího schématu (In | α | p) ERO −→ A D b A 0 b , kde D je matice v stupˇnovitém tvaru s nenulovými ˇrádky (jejichž poˇcet je tedy nutnˇe h(D) = h(α)). Parametrické a všeobecné rovnice XV Z k-tice α m˚užeme vybrat bázi zamˇeˇrení DirM = [α]: je tvoˇrená vektory uj1 , . . . , ujl , kde 1 ≤ j1 < . . . < jl ≤ k jsou indexy tˇech sloupc˚u matice D, ve kterých se nacházejí vedoucí prvky jejich ˇrádk˚u. Parametrické a všeobecné rovnice XVI Tvrzení Necht’ B ∈ Kn×m, C ∈ Kn×k a p ∈ Kn. Parametrické a všeobecné rovnice XVI Tvrzení Necht’ B ∈ Kn×m, C ∈ Kn×k a p ∈ Kn. Pokud bloková matice (B | C | p) je ˇrádkovˇe ekvivalentní s blokovou maticí A D b A 0 b . Parametrické a všeobecné rovnice XVI Tvrzení Necht’ B ∈ Kn×m, C ∈ Kn×k a p ∈ Kn. Pokud bloková matice (B | C | p) je ˇrádkovˇe ekvivalentní s blokovou maticí A D b A 0 b . kde D je matice v stupˇnovitém tvaru s nenulovými ˇrádky, tak R(A | b) = x ∈ Km ; (∃ t ∈ Kk )(B · x = C · t + p) . Rovnice pr˚uniku a spojení afinních podprostor˚u Uvažujme tˇri možnosti zadání p˚uvodních podprostor˚u: (1) Oba podprostory jsou zadané všeobecnými rovnicemi. (2) Oba podprostory jsou zadané parametricky. (3) Jeden podprostor je zadaný pomocí všeobecných rovnic a druhý parametricky. (1) Necht’ afinní podprostory M, N ⊆ Kn mají všeobecné rovnice A · x = b resp. B · x = c, kde A ∈ Km×n, b ∈ Km, B ∈ Kl×n, c ∈ Kl. Potom všeobecnými rovnicemi pr˚uniku M ∩ N je soustava A · x = b B · x = c s rozšíˇrenou maticí A b B c . Parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N m˚užeme získat vyˇrešením této soustavy. Parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N m˚užeme získat vyˇrešením této soustavy. Parametrické vyjádˇrení podprostoru M N m˚užeme získat tak, že nejprve najdeme parametrická vyjádˇrení podprostor˚u M a N a použijeme úvahy z pˇredchozí kapitoly. Následnˇe pak m˚užeme odvodit všeobecné rovnice podprostoru M N. Pˇríklad Afinní podprostory M, N vektorového prostoru Q4 jsou dané soustavami x1 + x2 − x3 + x4 = 9 x1 − x2 + x3 − x4 = −3 resp. x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 0 x1 − 3x2 − 2x3 + x4 = 6 . Upravme rozšíˇrené matice p˚uvodních soustav: 1 1 −1 1 9 1 −1 1 −1 −3 ∼ 1 0 0 0 3 0 1 −1 1 6 , 1 3 2 −1 0 1 −3 −2 1 6 ∼ 1 0 0 0 3 0 1 2/3 −1/3 −1 . Z upravených matic okamžitˇe dostáváme parametrické vyjádˇrení p˚uvodních podprostor˚u (matice v hranatých závorkách oznaˇcuje lineární podprostor generovaný jejími sloupci) M =     3 6 0 0     +     0 0 1 −1 1 0 0 1     , N =     3 −1 0 0     +     0 0 −2 1 3 0 0 3     . Pokud napíšeme obˇe upravené rozšírené matice všeobecných rovnic podprostor˚u M a N do blok˚u pod sebe, dostaneme rozšíˇrenou matici všeobecných rovníc podprostoru M ∩ N. Pokud napíšeme obˇe upravené rozšírené matice všeobecných rovnic podprostor˚u M a N do blok˚u pod sebe, dostaneme rozšíˇrenou matici všeobecných rovníc podprostoru M ∩ N. Její úpravou na redukovaný stupˇnovitý tvar vyjde     1 0 0 0 3 0 1 0 1/5 9/5 0 0 1 −4/5 −21/5 0 0 0 0 0     . Odtud už pˇrímo vyplývá parametrické vyjádˇrení M ∩ N =     3 9/5 −21/5 0     +     0 −1 4 5     . Odtud už pˇrímo vyplývá parametrické vyjádˇrení M ∩ N =     3 9/5 −21/5 0     +     0 −1 4 5     . Zjistili jsme, že dvojrozmˇerné afinní podprostory M, N mají jednorozmˇerný pr˚unik, tedy jsou r˚uznobˇežné. Preto též dim(M N) = 2 + 2 − 1 = 3. Dáme-li vedle sebe generátory smˇerových podprostor˚u DirM a DirN, úpravou pˇríslušné matice zjistíme, že první tˇri jsou lineárnˇe nezávislé a poslední z nich je lineární kombinací pˇredcházejících. Dáme-li vedle sebe generátory smˇerových podprostor˚u DirM a DirN, úpravou pˇríslušné matice zjistíme, že první tˇri jsou lineárnˇe nezávislé a poslední z nich je lineární kombinací pˇredcházejících. Tedy sloupce matice β =     0 0 0 1 −1 −2 1 0 3 0 1 0     tvoˇrí bázi zamˇeˇrení afinního podprostoru M N. Jeho parametrické vyjádˇrení je M N = p + [β], kde p = (3, 9/5, −21/5, 0)T . Jeho parametrické vyjádˇrení je M N = p + [β], kde p = (3, 9/5, −21/5, 0)T . Úpravou blokové matice (I4 | β | p) podle našeho algoritmu, výmˇenou prvého a posledního ˇrádku dostaneme všeobecné rovnice podprostoru M N: x1 = 3 . (2) Necht’ M = p + [α], N = q + [β] jsou parametrické vyjádˇrení dvou afinních podprostor˚u v Kn. (2) Necht’ M = p + [α], N = q + [β] jsou parametrické vyjádˇrení dvou afinních podprostor˚u v Kn. Potom M N = p + [q − p, α, β] a vynecháním vhodných sloupc˚u z blokové matice (q − p, α, β) m˚užeme dostat bázi zamˇeˇrení Dir(M N). (2) Necht’ M = p + [α], N = q + [β] jsou parametrické vyjádˇrení dvou afinních podprostor˚u v Kn. Potom M N = p + [q − p, α, β] a vynecháním vhodných sloupc˚u z blokové matice (q − p, α, β) m˚užeme dostat bázi zamˇeˇrení Dir(M N). Všeobecné rovnice podprostoru M N dostaneme úpravou blokové matice (In | q − p, α, β | p), pˇrípadnˇe matice, v které je prostˇrední blok nahrazený bází zamˇeˇrení Dir(M N) podle našeho algoritmu. Všeobecné rovnice pr˚uniku M ∩ N, získáme tak, že parametrické rovnice každého z podprostor˚u M, N pˇrevedeme na všeobecné rovnice a ty pak spojíme dohromady. Všeobecné rovnice pr˚uniku M ∩ N, získáme tak, že parametrické rovnice každého z podprostor˚u M, N pˇrevedeme na všeobecné rovnice a ty pak spojíme dohromady. Parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N dostaneme vyˇrešením jeho všeobecných rovnic. Jiná cesta k parametrickým rovnicím pr˚uniku M ∩ N: lze pˇri ní jako vedlejší produkt získat báze zamˇeˇrení DirM, DirN, Dir(M N), tedy i parametrické rovnice spojení M N. Jiná cesta k parametrickým rovnicím pr˚uniku M ∩ N: lze pˇri ní jako vedlejší produkt získat báze zamˇeˇrení DirM, DirN, Dir(M N), tedy i parametrické rovnice spojení M N. Metoda: blokovou matici (α | β | q − p) upravujeme pomocí ERO na stupˇnovitý tvar A B c 0 B c , kde matice A má všechny ˇrádky nenulové (tedy lineárnˇe nezávislé a jejich poˇcet je h(A ) = h(α) = dimM). Pr˚unik M ∩ N je tvoˇrený všemi x = q + β · t ∈ N, které patˇrí zároveˇn do M, t. j. existuje vektor parametr˚u s tak, že x = p + α · s. Hledáme tedy všechny vektory parametr˚u t, ke kterým existuje nˇejaký vektor parametr˚u s tak, že platí α · s = β · t + (q − p). K danému t existuje takovéto s právˇe tehdy, když B · t = c. K danému t existuje takovéto s právˇe tehdy, když B · t = c. Vyˇrešením této soustavy dostaneme parametrické vyjádˇrení t = r + γ · z, které dosadíme do parametrických rovnic podprostoru N. K danému t existuje takovéto s právˇe tehdy, když B · t = c. Vyˇrešením této soustavy dostaneme parametrické vyjádˇrení t = r + γ · z, které dosadíme do parametrických rovnic podprostoru N. Dostaneme tak parametrické rovnice x = q + β · (r + γ · z) = (q + β · r) + (β · γ) · z podprostoru M ∩ N. Pˇríklad Necht’ M =     1 1 1 4 1 1 2 5     , N1 =     0 2 2 3     +     1 2 3 2 2 8 5 0 9 3 4 11     , N2 =     1 1 2 2     +     1 2 3 2 2 8 5 0 9 3 4 11     jsou afinní podprostory v R4 . Zˇrejmˇe DirN1 = DirN2; oznaˇcme tento lineární podprostor D. Obˇe úlohy o dvojicích podprostor˚u M, N1 i M, N2 budeme ˇrešit souˇcasnˇe. Zˇrejmˇe DirN1 = DirN2; oznaˇcme tento lineární podprostor D. Obˇe úlohy o dvojicích podprostor˚u M, N1 i M, N2 budeme ˇrešit souˇcasnˇe. Platí     1 1 1 2 3 0 1 1 4 2 2 8 2 1 1 1 5 0 9 2 2 2 5 3 4 11 3 2     ∼     1 1 1 2 3 0 1 0 3 1 0 5 2 0 0 0 4 −2 6 2 1 0 0 0 0 0 1 0     . Pokud si z matice na pravé stranˇe odmyslíme krajní pravý blok, po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu 4t1 − 2t2 + 6t3 = 0. Pokud si z matice na pravé stranˇe odmyslíme krajní pravý blok, po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu 4t1 − 2t2 + 6t3 = 0. Lineární podprostor DirM ∩ D je tvoˇrený právˇe všemi lineárními kombinacemi β · t, kde β je matice generátor˚u D (a jeho báze) a t vyhovuje uvedené homogenní rovnici. Pokud si z matice na pravé stranˇe odmyslíme krajní pravý blok, po vynechání rovnice 0 = 0 z ní dostaneme soustavu 4t1 − 2t2 + 6t3 = 0. Lineární podprostor DirM ∩ D je tvoˇrený právˇe všemi lineárními kombinacemi β · t, kde β je matice generátor˚u D (a jeho báze) a t vyhovuje uvedené homogenní rovnici. Tedy dim(DirM ∩ D) = dimDirM = 2. Proto DirM ⊆ D a platí M N1 a M N2. Soustava 4t1 − 2t2 + 6t3 = 2 0 = 1, které musí vyhovovat vektor parametr˚u t = (t1, t2, t3)T , aby jím urˇcený bod z N1 patˇril i do M, nemá ˇrešení. Soustava 4t1 − 2t2 + 6t3 = 2 0 = 1, které musí vyhovovat vektor parametr˚u t = (t1, t2, t3)T , aby jím urˇcený bod z N1 patˇril i do M, nemá ˇrešení. Proto M ∩ N1 = ∅ a M, N1 jsou pravé rovnobežky. Naopak, analogická soustava pro dvojici M, N2 vede na jedinou, oˇcividnˇe ˇrešitelnou rovnici 4t1 − 2t2 + 6t3 = 1. Naopak, analogická soustava pro dvojici M, N2 vede na jedinou, oˇcividnˇe ˇrešitelnou rovnici 4t1 − 2t2 + 6t3 = 1. Tedy M ⊆ N2. (3) Necht’ afinní podprostor M ⊆ Kn je daný všeobecnými rovnicemi A · x = b a afinní podprostor N = q + [β] ⊆ Kn je daný parametricky. (3) Necht’ afinní podprostor M ⊆ Kn je daný všeobecnými rovnicemi A · x = b a afinní podprostor N = q + [β] ⊆ Kn je daný parametricky. Pokud hledáme všeobecné rovnice pr˚uniku M ∩ N, staˇcí najít všeobecné rovnice podprostoru N a pˇridat je k soustavˇe A · x = b. (3) Necht’ afinní podprostor M ⊆ Kn je daný všeobecnými rovnicemi A · x = b a afinní podprostor N = q + [β] ⊆ Kn je daný parametricky. Pokud hledáme všeobecné rovnice pr˚uniku M ∩ N, staˇcí najít všeobecné rovnice podprostoru N a pˇridat je k soustavˇe A · x = b. Jejich vyˇrešením potom m˚užeme obdržet i parametrické vyjádˇrení M ∩ N. Pokud hledáme popis spojení M N, nejvýhodnˇejší je vyˇrešit všeobecné rovnice podprostoru M a z parametrických vyjádˇrení obou podprostor˚u M, N sestavit parametrické vyjádˇrení M N. Pokud hledáme popis spojení M N, nejvýhodnˇejší je vyˇrešit všeobecné rovnice podprostoru M a z parametrických vyjádˇrení obou podprostor˚u M, N sestavit parametrické vyjádˇrení M N. Eliminací parametr˚u dostaneme všeobecné rovnice podpriestoru M N. Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N spoˇcívá v dosazení parametrického vyjádˇrení podprostoru N do všeobecných rovnic podprostoru M. Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N spoˇcívá v dosazení parametrického vyjádˇrení podprostoru N do všeobecných rovnic podprostoru M. Tím dostaneme soustavu A · (q + β · t) = b, Jiná metoda, jak najít parametrické vyjádˇrení pr˚uniku M ∩ N spoˇcívá v dosazení parametrického vyjádˇrení podprostoru N do všeobecných rovnic podprostoru M. Tím dostaneme soustavu A · (q + β · t) = b, nebo po úpravˇe s ní ekvivalentní soustavu (A · β) · t = b − A · q, které musí vyhovovat vektor parametr˚u t, aby jím urˇcený bod x = q + β · t ∈ N patˇril i do podprostoru M, tedy do pr˚uniku M ∩ N. Uvedenou soustavu vyˇrešíme úpravou její rozšíˇrené matice (A · β | b − A · q). Uvedenou soustavu vyˇrešíme úpravou její rozšíˇrené matice (A · β | b − A · q). Podobnˇe jako v pˇrípadˇe (2) ˇrešení dostaneme v parametrickém tvaru t = r + γ · z a dosadíme ho do parametrických rovnic podprostoru N. Uvedenou soustavu vyˇrešíme úpravou její rozšíˇrené matice (A · β | b − A · q). Podobnˇe jako v pˇrípadˇe (2) ˇrešení dostaneme v parametrickém tvaru t = r + γ · z a dosadíme ho do parametrických rovnic podprostoru N. Tak získáme parametrické rovnice x = q + β · (r + γ · z) = (q + β · r) + (β · γ) · z podprostoru M ∩ N. Pˇríklad Afinní podprostor M ⊆ R4 má všeobecné rovnice x1 − x2 + x3 − x4 = 1 x1 + x2 − x3 + x4 = 3. Pˇríklad Afinní podprostor M ⊆ R4 má všeobecné rovnice x1 − x2 + x3 − x4 = 1 x1 + x2 − x3 + x4 = 3. Afinní podprostor N ⊆ R4 je urˇcený jako afinní obal N = (p, q, r, s) bod˚u p = (3, 0, 1, 1)T , q = (4, −1, 2, 2)T , r = (4, 1, 2, 0)T a s = (7, 3, 4, 5)T . Pˇríklad Afinní podprostor M ⊆ R4 má všeobecné rovnice x1 − x2 + x3 − x4 = 1 x1 + x2 − x3 + x4 = 3. Afinní podprostor N ⊆ R4 je urˇcený jako afinní obal N = (p, q, r, s) bod˚u p = (3, 0, 1, 1)T , q = (4, −1, 2, 2)T , r = (4, 1, 2, 0)T a s = (7, 3, 4, 5)T . Jeho parametrické vyjádˇrení potom je N = p + [q − p, r − p, s − p] =     3 0 1 1     +     1 1 4 −1 1 3 1 1 3 1 −1 4     . Protože 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 ·     1 1 4 −1 1 3 1 1 3 1 −1 4     = 2 2 3 0 0 8 , 1 3 − 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 ·     3 0 1 1     = −2 0 , Protože 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 ·     1 1 4 −1 1 3 1 1 3 1 −1 4     = 2 2 3 0 0 8 , 1 3 − 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 ·     3 0 1 1     = −2 0 , bod tvaru p + t1(q − p) + t2(r − p) + t3(s − p) ∈ N patˇrí do pr˚uniku M ∩ N právˇe tehdy, když pˇríslušný vektor parametr˚u t = (t1, t2, t3)T vyhovuje soustavˇe s rozšíˇrenou maticí 2 2 3 −2 0 0 8 0 ∼ 1 1 0 −1 0 0 1 0 . Podprostor ˇrešení této soustavy má parametrické vyjádˇrení   −1 0 0   +   −1 1 0   . Podprostor ˇrešení této soustavy má parametrické vyjádˇrení   −1 0 0   +   −1 1 0   . Dosazením do parametrického vyjádˇrení N dostaneme M ∩ N =     3 0 1 1     +     1 1 4 −1 1 3 1 1 3 1 −1 4     ·   −1 0 0   + +         1 1 4 −1 1 3 1 1 3 1 −1 4     ·   −1 1 0       Tedy M ∩ N =     2 1 0 2     +     0 2 0 −2     Tedy M ∩ N =     2 1 0 2     +     0 2 0 −2     a dim(M ∩ N) = 1. Hodnost matice soustavy podprostoru M je 2, proto dimM = 4 − 2 = 2, a dimN = 3. Tedy M ∩ N =     2 1 0 2     +     0 2 0 −2     a dim(M ∩ N) = 1. Hodnost matice soustavy podprostoru M je 2, proto dimM = 4 − 2 = 2, a dimN = 3. Z tohoto d˚uvodu M ∩ N je vlastní podprostor jak v M tak v N, tj. M, N jsou r˚uznobˇežné. 10. DETERMINANTY Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 8. prosince 2006 Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme determinanty ˇctvercových matic libovolného rozmˇeru n × n nad pevným tˇelesem K, ˇrekneme si jejich základní vlastnosti a nauˇcíme se je vypoˇcítat vˇcetnˇe pˇríklad˚u jejich aplikace. Abstrakt pˇrednášky V této kapitole zavedeme determinanty ˇctvercových matic libovolného rozmˇeru n × n nad pevným tˇelesem K, ˇrekneme si jejich základní vlastnosti a nauˇcíme se je vypoˇcítat vˇcetnˇe pˇríklad˚u jejich aplikace. V celé kapitole K oznaˇcuje pevné tˇeleso, m, n jsou pˇrirozená ˇcísla. Obsah pˇrednášky Determinanty Permutace Orientovaný objem a multilineární alternující funkce Definice a základní vlastnosti determinantu Charakterizace determinantu a regulárních matic Laplace˚uv rozvoj determinantu Výpoˇcet determinantu Inverzní matice a Cramerovo pravidlo Permutace I Necht’ X je libovolná množina. Permutací množiny X rozumíme libovolné bijektivní zobrazení σ : X → X. Množinu všech permutací množiny X znaˇcíme S(X). Permutace II Je-li X koneˇcná množina, tak poˇcet prvk˚u množiny S(X) je daný známým vztahem # S(X) = (# X)! , kde n! = 1 · 2 · . . . · n je faktoriál pˇrirozeného ˇcísla n (pˇritom 0! = 1! = 1). Permutace III Transformace f : X → X koneˇcné množiny X je injektivní právˇe tehdy, když je surjektivní. Permutace III Transformace f : X → X koneˇcné množiny X je injektivní právˇe tehdy, když je surjektivní. Protože složení σ ◦ τ dvou permutací σ, τ ∈ S(X) dává opˇet permutaci množiny X, kompozice ◦ je asociativní binární operace na množinˇe S(X) a idX je její neutrální prvek. Permutace III Transformace f : X → X koneˇcné množiny X je injektivní právˇe tehdy, když je surjektivní. Protože složení σ ◦ τ dvou permutací σ, τ ∈ S(X) dává opˇet permutaci množiny X, kompozice ◦ je asociativní binární operace na množinˇe S(X) a idX je její neutrální prvek. Snadno se m˚užeme pˇresvˇedˇcit, že – mimo pˇrípad, když # X ≤ 2, – tato operace není komutativní. Permutace IV Pro X = {1, 2, . . . , n} místo S(X) píšeme Sn. Permutace IV Pro X = {1, 2, . . . , n} místo S(X) píšeme Sn. Permutaci σ ∈ Sn obvykle zapisujeme ve tvaru σ = 1 2 . . . n σ(1) σ(2) . . . σ(n) . Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si m˚užeme pˇredstavit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy oznaˇcenými ˇcísly 1, 2, 3. Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si m˚užeme pˇredstavit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy oznaˇcenými ˇcísly 1, 2, 3. Oznaˇcme si identickou permutaci této množiny jako ι, Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si m˚užeme pˇredstavit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy oznaˇcenými ˇcísly 1, 2, 3. Oznaˇcme si identickou permutaci této množiny jako ι, otoˇcení kolem tˇežištˇe trojúhelníka proti smˇeru resp. ve smˇeru hodinových ruˇciˇcek o uhel π/3 jako resp. −1, Permutace V Prvky množiny S3, t. j. permutace množiny {1, 2, 3}, si m˚užeme pˇredstavit jako symetrie rovnostranného trojúhelníka s vrcholy oznaˇcenými ˇcísly 1, 2, 3. Oznaˇcme si identickou permutaci této množiny jako ι, otoˇcení kolem tˇežištˇe trojúhelníka proti smˇeru resp. ve smˇeru hodinových ruˇciˇcek o uhel π/3 jako resp. −1, a osovou soumˇernost podle osy procházející i-tým vrcholem a stˇredem protilehlé strany jako σi, pro i = 1, 2, 3. Permutace VI Množina permutací S3 se bude skládat z permutací ι = 1 2 3 1 2 3 , = 1 2 3 2 3 1 , −1 = 1 2 3 3 1 2 , σ1 = 1 2 3 1 3 2 , σ2 = 1 2 3 3 2 1 , σ3 = 1 2 3 2 1 3 . Permutace VII Permutace VIII Multiplikativní tabulka binární operace ◦ na množinˇe S3 má následující tvar: ◦ ι −1 σ1 σ2 σ3 ι ι −1 σ1 σ2 σ3 −1 ι σ3 σ1 σ2 −1 −1 ι σ2 σ3 σ1 σ1 σ1 σ2 σ3 ι −1 σ2 σ2 σ3 σ1 −1 ι σ3 σ3 σ1 σ2 −1 ι Permutace IX Permutaci σ ∈ S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y ∈ X tak, že x = y, σ(x) = y, σ(y) = x a σ(z) = z pro každé z ∈ X {x, y}. Permutace IX Permutaci σ ∈ S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y ∈ X tak, že x = y, σ(x) = y, σ(y) = x a σ(z) = z pro každé z ∈ X {x, y}. Jinak ˇreˇceno, transpozice je výmˇena dvou prvk˚u množiny X. Permutace IX Permutaci σ ∈ S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y ∈ X tak, že x = y, σ(x) = y, σ(y) = x a σ(z) = z pro každé z ∈ X {x, y}. Jinak ˇreˇceno, transpozice je výmˇena dvou prvk˚u množiny X. Zˇrejmˇe σ1, σ2, σ3 ∈ S3 jsou transpozice. Permutace IX Permutaci σ ∈ S(X) nazýváme transpozicí, pokud existují x, y ∈ X tak, že x = y, σ(x) = y, σ(y) = x a σ(z) = z pro každé z ∈ X {x, y}. Jinak ˇreˇceno, transpozice je výmˇena dvou prvk˚u množiny X. Zˇrejmˇe σ1, σ2, σ3 ∈ S3 jsou transpozice. Z názoru je zˇrejmé, že každou permutaci σ koneˇcné množiny X m˚užeme obdržet postupnými výmˇenami dvojic prvk˚u, je tedy každá takováto permutace je kompozicí transpozic. Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznaˇcný: Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznaˇcný: napˇr. ι ∈ S3 m˚užeme vyjádˇrit jako ι, t. j. kompozici 0 transpozic, a rovnˇež jakožto Permutace X Tento rozklad na transpozice není jednoznaˇcný: napˇr. ι ∈ S3 m˚užeme vyjádˇrit jako ι, t. j. kompozici 0 transpozic, a rovnˇež jakožto ι = σ1 ◦ σ1 = σ2 ◦ σ2 = σ3 ◦ σ3, t. j. alespoˇn tˇremi dalšími možnostmi jakožto kompozici dvou transpozic. Permutace XI Délkou permutace σ koneˇcné množiny X nazveme nejmenší poˇcet transpozic, na jejichž kompozici m˚užeme σ rozložit, a oznaˇcíme ji |σ|. Permutace XI Délkou permutace σ koneˇcné množiny X nazveme nejmenší poˇcet transpozic, na jejichž kompozici m˚užeme σ rozložit, a oznaˇcíme ji |σ|. Samotná délka |σ| není ve skuteˇcnosti d˚uležitá, význam má pouze parita tohoto ˇcísla, t. j. vlastnˇe výraz sgnσ = (−1)|σ|, který nazýváme znaménkem permutace σ. Permutace XII Permutace σ koneˇcné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li ˇcíslo |σ| sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. −1. Permutace XII Permutace σ koneˇcné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li ˇcíslo |σ| sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. −1. Z následující vˇety vyplývá, že pˇri urˇcování znaménka permutace σ m˚užeme použít její libovolný rozklad na transpozice σ = τ1 ◦ . . . ◦ τk a nemusíme sa starat o to, zda tento rozklad je skuteˇcnˇe nejkratší Permutace XII Permutace σ koneˇcné množiny X sa nazývá sudá resp. lichá, je-li ˇcíslo |σ| sudé resp. liché, t. j. pokud její znak je 1 resp. −1. Z následující vˇety vyplývá, že pˇri urˇcování znaménka permutace σ m˚užeme použít její libovolný rozklad na transpozice σ = τ1 ◦ . . . ◦ τk a nemusíme sa starat o to, zda tento rozklad je skuteˇcnˇe nejkratší – pro libovolný takovýto rozklad totiž platí (−1)|σ| = (−1)k . Permutace XIII Vˇeta Necht’ X je koneˇcná množina. Potom pro libovolné σ, τ ∈ S(X) platí (−1)|σ◦τ| = (−1)|σ| · (−1)|τ| . Permutace XIII Vˇeta Necht’ X je koneˇcná množina. Potom pro libovolné σ, τ ∈ S(X) platí (−1)|σ◦τ| = (−1)|σ| · (−1)|τ| . ˇClen σ(j) − σ(i) je záporný právˇe tehdy, když i < j a σ(i) > σ(j), – každou takovouto dvojici (i, j) nazýváme inverzí permutace σ. Orientovaný objem a MAF I Orientovaný objem a multilineární alternující funkce Otázka: Jak vypadají vzorce pro plošný obsah rovnobˇežníku v rovinˇe v R2, jehož dvˇe sousední strany tvoˇrí vektory u = (u1, u2)T , v = (v1, v2)T ? Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnobˇežnostˇenu v prostoru R3, jehož tˇri sousední hrany tvoˇrí vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnobˇežnostˇenu v prostoru R3, jehož tˇri sousední hrany tvoˇrí vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Ujasníme si vlastností takovýchto vzorc˚u. Uvidíme, že tyto vlastnosti už jednoznaˇcnˇe (až na volbu jednotkového obsahu ˇci objemu) urˇcují hledané vzorce nejen v rovinˇe ˇci v tˇrírozmˇerném prostoru. Orientovaný objem a MAF II Otázka: Jak vypadají vzorce pro objem rovnobˇežnostˇenu v prostoru R3, jehož tˇri sousední hrany tvoˇrí vektory u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T , w = (w1, w2, w3)T ? Ujasníme si vlastností takovýchto vzorc˚u. Uvidíme, že tyto vlastnosti už jednoznaˇcnˇe (až na volbu jednotkového obsahu ˇci objemu) urˇcují hledané vzorce nejen v rovinˇe ˇci v tˇrírozmˇerném prostoru. Zobecníme je na n-rozmˇerné vektorové prostory Kn nad libovolným tˇelesem K. Orientovaný objem a MAF III Oznaˇcme P(X) obsah rovinného útvaru X. Orientovaný objem a MAF III Oznaˇcme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zˇrejmˇe P(X) je vždy nezáporné reálné ˇcíslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Orientovaný objem a MAF III Oznaˇcme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zˇrejmˇe P(X) je vždy nezáporné reálné ˇcíslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Obsah je navíc aditivní funkce, t. j. pro útvary X, Y takové, že P(X ∩ Y) = 0, platí P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y). Orientovaný objem a MAF III Oznaˇcme P(X) obsah rovinného útvaru X. Zˇrejmˇe P(X) je vždy nezáporné reálné ˇcíslo a pro shodné útvary X, Y platí P(X) = P(Y). Obsah je navíc aditivní funkce, t. j. pro útvary X, Y takové, že P(X ∩ Y) = 0, platí P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y). Koneˇcnˇe, P(X) = 0 pro libovolnou úseˇcku X. Orientovaný objem a MAF IV Obsah rovnobˇežníka {au + bv; a, b ∈ 0, 1 } urˇceného vektory u, v ∈ R2 budeme znaˇcit P(u, v). Orientovaný objem a MAF IV Obsah rovnobˇežníka {au + bv; a, b ∈ 0, 1 } urˇceného vektory u, v ∈ R2 budeme znaˇcit P(u, v). Platí pak rovnosti P(u, v) = P(v, u), P(cu, v) = |c|P(u, v) pro libovolné u, v ∈ R2, c ∈ Z. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázornˇená na následujícím obrázku. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázornˇená na následujícím obrázku. Orientovaný objem a MAF V Situace pro c = 3 je znázornˇená na následujícím obrázku. Platnost druhé rovnosti pro všechna c ∈ Q plyne z platnosti pro všechna n ∈ N a m ∈ Z. Platnost pre všechna c ∈ R plyne ze spojitosti obsahu. Orientovaný objem a MAF VI Uvažme následující dva obrázky. Orientovaný objem a MAF VI Uvažme následující dva obrázky. Orientovaný objem a MAF VII V prvním pˇrípadˇe urˇcují vektory x + y, v rovnobˇežník OABC, vektory y, v rovnobˇežník ODEC a rovnobˇežník vektor˚u x, v je shodný s rovnobˇežníkem DABE. Orientovaný objem a MAF VII V prvním pˇrípadˇe urˇcují vektory x + y, v rovnobˇežník OABC, vektory y, v rovnobˇežník ODEC a rovnobˇežník vektor˚u x, v je shodný s rovnobˇežníkem DABE. Ze shodnosti trojúhelník˚u OAD, CBE potom na základˇe uvedených vlastností obsahu vyplývá rovnost P(x + y, v) = P(x, v) + P(y, v) Orientovaný objem a MAF VIII V druhém pˇrípadˇe urˇcují vektory x, v rovnobˇežník OABC, vektory x + y, v rovnobˇežník ODEC a rovnobˇežník vektor˚u y, v je shodný s rovnobˇežníkem DABE. Orientovaný objem a MAF VIII V druhém pˇrípadˇe urˇcují vektory x, v rovnobˇežník OABC, vektory x + y, v rovnobˇežník ODEC a rovnobˇežník vektor˚u y, v je shodný s rovnobˇežníkem DABE. Ze shodnosti trojúhelník˚u ODA, CEB vyplývá P(x, v) = P(x + y, v) + P(y, v), tedy P(x + y, v) = P(x, v) − P(y, v), což je nepˇríjemné pˇrekvapení, urˇcitˇe bychome dali pˇrednost stejnému vzorci. Orientovaný objem a MAF IX Všimnˇeme si však, že kratší otoˇcení vektoru y do vektoru v je orientované proti kratším otoˇcením vektor˚u x i x + y do vektoru v. Orientovaný objem a MAF IX Všimnˇeme si však, že kratší otoˇcení vektoru y do vektoru v je orientované proti kratším otoˇcením vektor˚u x i x + y do vektoru v. V druhém pˇrípadˇe by sa nám proto hodilo, aby obsah rovnobˇežníka urˇceného vektory y, v mˇel z tohoto d˚uvodu opaˇcné znaménko než obsahy rovnobˇežník˚u pˇríslušejících vektor˚um x, v resp. x + y, v. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl m˚užeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnobˇežník˚u budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mˇení znaménko zámˇenou poˇradí dvou vektor˚u, tedy m˚uže nabývat i záporné hodnoty. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl m˚užeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnobˇežník˚u budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mˇení znaménko zámˇenou poˇradí dvou vektor˚u, tedy m˚uže nabývat i záporné hodnoty. P˚uvodní nezáporný plošný obsah potom dostaneme jako absolutní hodnotu orientovaného obsahu. Orientovaný objem a MAF X Tento cíl m˚užeme dosáhnou, pokud místo plošného obsahu vektorových rovnobˇežník˚u budeme uvažovat jejich orientovaný plošný obsah, který mˇení znaménko zámˇenou poˇradí dvou vektor˚u, tedy m˚uže nabývat i záporné hodnoty. P˚uvodní nezáporný plošný obsah potom dostaneme jako absolutní hodnotu orientovaného obsahu. Tento pˇrístup nám navíc umožní zbavit se absolutní hodnoty v rovnosti P(cu, v) = |c|P(u, v). Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná ˇcísla libovolným tˇelesem K, provedené úvahy nás pˇrivádí k následujícím definicím. Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná ˇcísla libovolným tˇelesem K, provedené úvahy nás pˇrivádí k následujícím definicím. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K a 1 ≤ n ∈ N. Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná ˇcísla libovolným tˇelesem K, provedené úvahy nás pˇrivádí k následujícím definicím. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K a 1 ≤ n ∈ N. ˇRíkáme, že zobrazení F : Vn → K je (a) n-lineární nebo též multilineární, Orientovaný objem a MAF XI Pokud nahradíme reálná ˇcísla libovolným tˇelesem K, provedené úvahy nás pˇrivádí k následujícím definicím. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem K a 1 ≤ n ∈ N. ˇRíkáme, že zobrazení F : Vn → K je (a) n-lineární nebo též multilineární, pokud pro každé 1 ≤ j ≤ n a libovolné vektory u1, . . . , uj−1, uj+1, . . . , un ∈ V pˇriˇrazení x → F(u1, . . . , uj−1, x, uj+1, . . . , un) Orientovaný objem a MAF XII definuje lineární zobrazení V → K, t. j. pro všechna x, y ∈ V, a, b ∈ K platí F(u1, . . . , uj−1, ax + by, uj+1, . . . , un) = aF(u1, . . . , uj−1, x, uj+1, . . . , un) + bF(u1, . . . , uj−1, y, uj+1, . . . , un); Orientovaný objem a MAF XIII (b) antisymetrické, pokud pro všechna 1 ≤ i < j ≤ n a všechny vektory u1, . . . , un ∈ V platí F(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un) = −F(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , un). Orientovaný objem a MAF XIV (c) alternující, pokud pro všechna 1 ≤ i < j ≤ n a všechny vektory u1, . . . , un ∈ V z podmínky ui = uj vyplývá F(u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , un) = 0. Orientovaný objem a MAF XV Lemma Necht’ F : Vn → K je libovolné zobrazení, K tˇeleso, V vektorový prostor nad K. (a) Je-li charK = 2 a F je antisymetrické, tak F je alternující. (b) Je-li F je multilineární a alternující, je F je antisymetrické. Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht’ F : Vn → K je funkce, K tˇeleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un ∈ V a σ je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht’ F : Vn → K je funkce, K tˇeleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un ∈ V a σ je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. (a) Je-li σ permutace a F je antisymetrické, tak F(uσ(1), . . . , uσ(n)) = (−1)|σ|F(u1, . . . , un); Orientovaný objem a MAF XVI Lemma Necht’ F : Vn → K je funkce, K tˇeleso, V vektorový prostor nad K, u1, . . . , un ∈ V a σ je libovolné zobrazení množiny {1, . . . , n} do sebe. (a) Je-li σ permutace a F je antisymetrické, tak F(uσ(1), . . . , uσ(n)) = (−1)|σ|F(u1, . . . , un); (b) Pokud σ není permutace a F je alternující, tak F(uσ(1), . . . , uσ(n)) = 0. Orientovaný objem a MAF XVII Lemma Necht’ F : Vn → K je multilineární alternující funkce. Potom pro libovolné v1, . . . , vn ∈ V platí: Orientovaný objem a MAF XVII Lemma Necht’ F : Vn → K je multilineární alternující funkce. Potom pro libovolné v1, . . . , vn ∈ V platí: (a) Pˇripoˇctením skalárního násobku nˇejakého z vektor˚u k jinému vektoru se hodnota F(v1, . . . , vn) nezmˇení, t. j. pro libovolné c ∈ K a i, j ≤ n platí F(v1, . . . , vi,. . . , vj + cvi, . . . , vn) = F(v1, . . . , vi, . . . , vj, . . . , vn). Orientovaný objem a MAF XVII (b) Pokud jsou vektory v1, . . . , vn lineárnˇe závislé, tak F(v1, . . . , vn) = 0. Orientovaný objem a MAF XVII (b) Pokud jsou vektory v1, . . . , vn lineárnˇe závislé, tak F(v1, . . . , vn) = 0. Jak vypadají všechny bilineární (t. j. 2-lineární) alternující funkce F : K2 × K2 → K2 nad tˇelesem K? Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Pokud dvakrát po sobˇe využijeme bilinearitu a na závˇer alternaci a antisymetrii F, postupnˇe dostaneme Orientovaný objem a MAF XVIII Zvolme libovolné vektory u = u1e1 + u2e2, v = v1e1 + v2e2 z K2. Pokud dvakrát po sobˇe využijeme bilinearitu a na závˇer alternaci a antisymetrii F, postupnˇe dostaneme F(u, v)=F(u1e1 + u2e2, v) = u1F(e1, v) + u2F(e2, v) =u1F(e1, v1e1 + v2e2) + u2F(e2, v1e1 + v2e2) =u1v1F(e1, e1) + u1v2F(e1, e2) +u2v1F(e2, e1) + u2v2F(e2, e2) =F(e1, e2) · (u1v2 − u2v1) = F(e1, e2) u1 v1 u2 v2 , Orientovaný objem a MAF XIX kde výraz u1 v1 u2 v2 je determinant matice (u, v) = u1 v1 u2 v2 ∈ K2×2 . Orientovaný objem a MAF XX Podobným zp˚usobem m˚užeme odvodit tvar libovolné n-lineární alternující funkce F : Kn×n → K. Orientovaný objem a MAF XX Podobným zp˚usobem m˚užeme odvodit tvar libovolné n-lineární alternující funkce F : Kn×n → K. Necht’ A = (aij) ∈ Kn×n je matice se sloupci sj(A) = a1je1 + . . . + anjen = n i=1 aijei. Orientovaný objem a MAF XXI S využitím n-linearity F pro každý z n sloupc˚u matice A m˚užeme výraz F(A) postupnˇe roznásobit, ˇcímž dostaneme souˇcet nn ˇclen˚u tvaru aσ(1) 1 . . . aσ(n) nF(eσ(1), . . . , eσ(n)), z kterých každý odpovídá právˇe jednomu zobrazení σ množiny {1, . . . , n} do sebe. Orientovaný objem a MAF XXII Podle pˇredchozího lemmatu o nulové hodnotˇe alternující funkce sˇcítance pˇríslušející zobrazením σ /∈ Sn jsou všechny rovné 0 Orientovaný objem a MAF XXII Podle pˇredchozího lemmatu o nulové hodnotˇe alternující funkce sˇcítance pˇríslušející zobrazením σ /∈ Sn jsou všechny rovné 0 a pro σ ∈ Sn platí F(eσ(1), . . . , eσ(n)) = (−1)|σ| F(e1, . . . , en). Orientovaný objem a MAF XXII Podle pˇredchozího lemmatu o nulové hodnotˇe alternující funkce sˇcítance pˇríslušející zobrazením σ /∈ Sn jsou všechny rovné 0 a pro σ ∈ Sn platí F(eσ(1), . . . , eσ(n)) = (−1)|σ| F(e1, . . . , en). Na závˇer tak dostáváme F(A)= F(e1, . . . , en) σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = F(In) σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n, kde pˇríslušná suma obsahuje n! sˇcítanc˚u, jeden pro každou permutaci σ ∈ Sn. Základní vlastnosti determinantu I Determinantem ˇctvercové matice A = (aij) ∈ Kn×n nazýváme výraz det A = a11 . . . a1n ... ... ... an1 . . . ann = σ∈Sn (−1)|σ| aσ(1) 1 . . . aσ(n) n. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí zámˇena s absolutní hodnotou, používame též oznaˇcení |A|. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí zámˇena s absolutní hodnotou, používame též oznaˇcení |A|. Determinant ˇctvercové matice ˇrádu n budeme nazývat determinant ˇrádu n. Základní vlastnosti determinantu II Pokud nehrozí zámˇena s absolutní hodnotou, používame též oznaˇcení |A|. Determinant ˇctvercové matice ˇrádu n budeme nazývat determinant ˇrádu n. Pro matici (aij) ∈ K3×3 dostáváme vzorec a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a21a12a33 − a11a32a23, známý jako Sarrusovo pravidlo. Základní vlastnosti determinantu III Tvrzení Determinant transponované matice sa rovná determinantu p˚uvodní matice, t. j. det AT = det A pro libovolnou matici A ∈ Kn×n. Základní vlastnosti determinantu III Tvrzení Determinant transponované matice sa rovná determinantu p˚uvodní matice, t. j. det AT = det A pro libovolnou matici A ∈ Kn×n. Všechny výsledky o determinantech matic si zachovají svou platnost, pokud v nich každý výskyt slova "sloupec" nahradíme slovem "ˇrádek" a naopak. Základní vlastnosti determinantu IV Tvrzení Necht’ 1 ≤ m < n a A ∈ Kn×n je bloková matice tvaru A = B C 0 D , kde B ∈ Km×m, C ∈ Km×(n−m) a D ∈ K(n−m)×(n−m). Potom det A = det B · det D. Základní vlastnosti determinantu V (1) Pokud A1, . . . , Ak jsou ˇctvercové matice, tak det diag(A1, . . . , Ak ) = det A1 ·. . .· det Ak . (2) Matice A ∈ Kn×n se nazývá horní (dolní) trojúhelníková matice, pokud aij = 0 pro i < j (resp. pre i > j). Pro horní i dolní trojúhelníkové matice (tedy i diagonální) platí det A = a11 . . . ann, t. j. determinant takové matice je souˇcinem jejích diagonálních prvk˚u. Charakterizace determinantu I Vˇeta Determinant ˇrádu n je n-lineární alternující funkce Kn×n → K sloupc˚u matice. Navíc, pro každý skalár c ∈ K existuje jediné multilineární alternující zobrazení F : Kn×n → K sloupc˚u matice tak, že F(In) = c. Toto F je dané pˇredpisem F(A) = c det A. Charakterizace determinantu II Determinant det : Kn×n → K je jednoznaˇcnˇe urˇcený jako n-lineární alternující funkce sloupc˚u matice tak, že det In = det(e1, . . . , en) = 1. Charakterizace determinantu II Determinant det : Kn×n → K je jednoznaˇcnˇe urˇcený jako n-lineární alternující funkce sloupc˚u matice tak, že det In = det(e1, . . . , en) = 1. Tato rovnost koresponduje s pˇrirozenou volbou jednotky orientovaného n-rozmˇerného objemu v Kn – je jí orientovaný objem rovnobˇežnostˇenu urˇceného vektory e1, . . . , en (v tomto poˇradí). Charakterizace determinantu III Vˇeta (Cauchyho vˇeta o determinantu souˇcinu matic) Pro libovolné matice A, B ∈ Kn×n platí det(A · B) = det A · det B; Charakterizace determinantu III Vˇeta (Cauchyho vˇeta o determinantu souˇcinu matic) Pro libovolné matice A, B ∈ Kn×n platí det(A · B) = det A · det B; t. j. determinant souˇcinu matic se rovná souˇcinu jejich determinant˚u. Charakterizace determinantu IV Vˇeta ˇCtvercová matice A ∈ Kn×n je regulární právˇe tehdy, když det A = 0. V tomto Charakterizace determinantu IV Vˇeta ˇCtvercová matice A ∈ Kn×n je regulární právˇe tehdy, když det A = 0. V tomto pˇrípadˇe det A−1 = (det A)−1 . Laplace˚uv rozvoj determinantu I Pro n = 0, 1 není co dokazovat. Budeme v dalším pˇredpokládat, že n ≥ 2. D˚ukaz vˇety o charakterizaci determinantu Nejprve dokážeme, že determinant je alternující funkce. Necht’ A ∈ Kn×n je taková matice, že si(A) = sj(A)) pro nˇejaké i < j. Laplace˚uv rozvoj determinantu II Oznaˇcme τ ∈ Sn transpozici, která zamˇení prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místˇe). Laplace˚uv rozvoj determinantu II Oznaˇcme τ ∈ Sn transpozici, která zamˇení prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místˇe). Pro všechna k, l ≤ n platí akl = aτ(k)l. Laplace˚uv rozvoj determinantu II Oznaˇcme τ ∈ Sn transpozici, která zamˇení prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místˇe). Pro všechna k, l ≤ n platí akl = aτ(k)l. Množinu všech sudých permutací množiny {1, . . . , n} budeme oznaˇcovat jako τ ∈ An. Laplace˚uv rozvoj determinantu II Oznaˇcme τ ∈ Sn transpozici, která zamˇení prvky i a j (a ostatní prvky ponechá na místˇe). Pro všechna k, l ≤ n platí akl = aτ(k)l. Množinu všech sudých permutací množiny {1, . . . , n} budeme oznaˇcovat jako τ ∈ An. Zˇrejmˇe pˇriˇrazením σ → τ ◦ σ je daná bijekce An → Sn. Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈Sn−An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈Sn−An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈An a(τ◦σ)(1) 1 . . . a(τ◦σ)(n) n Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈Sn−An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈An a(τ◦σ)(1) 1 . . . a(τ◦σ)(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − a(τ◦σ)(1) 1 . . . a(τ◦σ)(n) n Laplace˚uv rozvoj determinantu III Podle definice determinantu det A= det(s1(A), . . . , sn(A)) = σ∈Sn (−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈Sn−An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − σ∈An a(τ◦σ)(1) 1 . . . a(τ◦σ)(n) n = σ∈An aσ(1) 1 . . . aσ(n) n − a(τ◦σ)(1) 1 . . . a(τ◦σ)(n) n = 0. Laplace˚uv rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Laplace˚uv rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Pro i ≤ n oznaˇcme Sn(i, j) = {σ ∈ Sn; i = σ(j)} a položme ˜aij = σ∈Sn(i,j)(−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(j−1) j−1aσ(j+1) j+1 . . . aσ(n) n. Laplace˚uv rozvoj determinantu IV Dokážeme, že det A je lineární funkce j-tého sloupce (a1j, . . . , anj)T . Pro i ≤ n oznaˇcme Sn(i, j) = {σ ∈ Sn; i = σ(j)} a položme ˜aij = σ∈Sn(i,j)(−1)|σ|aσ(1) 1 . . . aσ(j−1) j−1aσ(j+1) j+1 . . . aσ(n) n. Potom zˇrejmˇe det A= n i=1 ˜aijaij = (˜a1j, . . . , ˜anj) · (a1j, . . . , anj)T , což dokazuje linearitu. Laplace˚uv rozvoj determinantu V Determinant je rovnˇež multilineární alternující funkce ˇrádk˚u matice a (protože σ ∈ Sn(i, j) ⇔ σ−1 ∈ Sn(j, i)) pro i-tý ˇrádek (ai1, . . . , ain) matice A její determinant má rozvoj Laplace˚uv rozvoj determinantu V Determinant je rovnˇež multilineární alternující funkce ˇrádk˚u matice a (protože σ ∈ Sn(i, j) ⇔ σ−1 ∈ Sn(j, i)) pro i-tý ˇrádek (ai1, . . . , ain) matice A její determinant má rozvoj det A= n j=1 aij ˜aij = (ai1, . . . , ain) · (˜ai1, . . . , ˜ain)T . se stejnˇe definovanými koeficienty ˜aij. Laplace˚uv rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ˜aij nazývame algebraickým doplˇnkem prvku aij v matici A. Laplace˚uv rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ˜aij nazývame algebraickým doplˇnkem prvku aij v matici A. Matici A = (˜aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplˇnk˚u k matici A. Laplace˚uv rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ˜aij nazývame algebraickým doplˇnkem prvku aij v matici A. Matici A = (˜aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplˇnk˚u k matici A. Tvrzení Necht’ Aij oznaˇcuje matici ˇrádu n − 1, která vznikne z matice A ∈ Kn×n vynecháním i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. Laplace˚uv rozvoj determinantu VI Uvedený prvek ˜aij nazývame algebraickým doplˇnkem prvku aij v matici A. Matici A = (˜aij)n×n nazýváme maticí algebraických doplˇnk˚u k matici A. Tvrzení Necht’ Aij oznaˇcuje matici ˇrádu n − 1, která vznikne z matice A ∈ Kn×n vynecháním i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. Potom ˜aij = (−1)i+j |Aij|. Laplace˚uv rozvoj determinantu VII Determinanty matic, které vzniknou vynecháním nˇekterých ˇrádk˚u a stejného poˇctu sloupc˚u z matice A ∈ Kn×n, nazýváme jejími minory, pˇrípadnˇe subdeterminanty determinantu |A|. Laplace˚uv rozvoj determinantu VIII Vˇeta (Laplaceova vˇeta o rozvoji determinantu) Necht’ A ∈ Kn×n, 1 ≤ k, l ≤ n. Potom |A|= n j=1(−1)k+jakj |Akj| = n i=1(−1)i+l|Ail| ail. Laplace˚uv rozvoj determinantu VIII Vˇeta (Laplaceova vˇeta o rozvoji determinantu) Necht’ A ∈ Kn×n, 1 ≤ k, l ≤ n. Potom |A|= n j=1(−1)k+jakj |Akj| = n i=1(−1)i+l|Ail| ail. Uvedené souˇcty nazýváme Laplaceovými rozvoji determinantu |A| – první podle k-tého ˇrádku, druhý podle l-tého sloupce. Výpoˇcet determinantu I Každý determinant je multilineární alternující funkcí jak ˇrádk˚u tak i sloupc˚u matice. Pravidla (0) Determinant trojúhelníkové matice se rovná souˇcinu jejích diagonálních prvk˚u. Výpoˇcet determinantu II (1) Výmˇenou poˇradí dvou ˇrádk˚u nebo sloupc˚u matice se hodnota jejího determinantu zmˇení na opaˇcnou. Výpoˇcet determinantu II (1) Výmˇenou poˇradí dvou ˇrádk˚u nebo sloupc˚u matice se hodnota jejího determinantu zmˇení na opaˇcnou. (2) Vynásobením nˇejakého ˇrádku nebo sloupce matice nenulovým skalárem c ∈ K sa její determinant zmˇení na c-násobek p˚uvodní hodnoty. Výpoˇcet determinantu II (1) Výmˇenou poˇradí dvou ˇrádk˚u nebo sloupc˚u matice se hodnota jejího determinantu zmˇení na opaˇcnou. (2) Vynásobením nˇejakého ˇrádku nebo sloupce matice nenulovým skalárem c ∈ K sa její determinant zmˇení na c-násobek p˚uvodní hodnoty. (3) Pripoˇctením skalárního násobku nˇejakého ˇrádku matice k jejímu jinému ˇrádku, resp. násobku nˇejakého jejího sloupce k jinému sloupci se hodnota jejího determinantu nezmˇení. Výpoˇcet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový ˇrádek nebo sloupec, pˇrípadnˇe dva stejné ˇrádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. Výpoˇcet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový ˇrádek nebo sloupec, pˇrípadnˇe dva stejné ˇrádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. (5) Necht’ všechny prvky i-tého ˇrádku pˇrípadnˇe j-tého sloupce matice A s výjimkou prvku aij jsou rovné 0. Potom |A| = (−1)i+j aij |Aij|. Výpoˇcet determinantu III (4) Pokud matice obsahuje nulový ˇrádek nebo sloupec, pˇrípadnˇe dva stejné ˇrádky nebo sloupce, tak její determinant je 0. (5) Necht’ všechny prvky i-tého ˇrádku pˇrípadnˇe j-tého sloupce matice A s výjimkou prvku aij jsou rovné 0. Potom |A| = (−1)i+j aij |Aij|. (6) a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a21a12. Výpoˇcet determinantu IV Vypoˇcítáme tzv. Vandermond˚uv determinant ˇrádu n VDn(x1, x2, . . . , xn) = 1 x1 x2 1 . . . xn−1 1 1 x2 x2 2 . . . xn−1 2 ... ... ... ... 1 xn x2 n . . . xn−1 n . Výpoˇcet determinantu V Odeˇctením prvního ˇrádku od všech ostatních ˇrádk˚u dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn)= 1 x1 x2 1 . . . xn−1 1 0 x2 − x1 x2 2 − x2 1 . . . xn−1 2 − xn−1 1 ... ... ... ... 0 xn − x1 x2 n − x2 1 . . . xn−1 n − xn−1 1 . Výpoˇcet determinantu VI Následným rozvojem podle prvního sloupce dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 − x1 x2 2 − x2 1 . . . xn−1 2 − xn−1 1 ... ... ... xn − x1 x2 n − x2 1 . . . xn−1 n − xn−1 1 . Výpoˇcet determinantu VI Následným rozvojem podle prvního sloupce dostaneme VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 − x1 x2 2 − x2 1 . . . xn−1 2 − xn−1 1 ... ... ... xn − x1 x2 n − x2 1 . . . xn−1 n − xn−1 1 . Odeˇctˇeme nyní od každého sloupce poˇcínaje druhým x1-násobek pˇredcházejícího sloupce. Výpoˇcet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místˇe (i, k), kde 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ n − 1, prvek (xk i+1 − xk 1 ) − x1(xk−1 i+1 − xk−1 1 ) = xk−1 i+1 (xi+1 − x1). Výpoˇcet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místˇe (i, k), kde 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ n − 1, prvek (xk i+1 − xk 1 ) − x1(xk−1 i+1 − xk−1 1 ) = xk−1 i+1 (xi+1 − x1). Pokud vytkneme z i-tého ˇrádku ˇcinitel xi+1 − x1, postupnˇe nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 − x1 x2(x2 − x1) . . . xn−2 2 (x2 − x1) Výpoˇcet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místˇe (i, k), kde 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ n − 1, prvek (xk i+1 − xk 1 ) − x1(xk−1 i+1 − xk−1 1 ) = xk−1 i+1 (xi+1 − x1). Pokud vytkneme z i-tého ˇrádku ˇcinitel xi+1 − x1, postupnˇe nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 − x1 x2(x2 − x1) . . . xn−2 2 (x2 − x1) ... ... ... Výpoˇcet determinantu VII V determinantu, který získáme, je na místˇe (i, k), kde 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ k ≤ n − 1, prvek (xk i+1 − xk 1 ) − x1(xk−1 i+1 − xk−1 1 ) = xk−1 i+1 (xi+1 − x1). Pokud vytkneme z i-tého ˇrádku ˇcinitel xi+1 − x1, postupnˇe nám vyjde VDn(x1, x2, . . . , xn) = x2 − x1 x2(x2 − x1) . . . xn−2 2 (x2 − x1) ... ... ... xn − x1 xn(xn − x1) . . . xn−2 n (xn − x1) , Výpoˇcet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 − x1) . . . (xn − x1) 1 x2 . . . xn−2 2 Výpoˇcet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 − x1) . . . (xn − x1) 1 x2 . . . xn−2 2 ... ... ... Výpoˇcet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 − x1) . . . (xn − x1) 1 x2 . . . xn−2 2 ... ... ... 1 xn . . . xn−2 n Výpoˇcet determinantu VIII VDn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 − x1) . . . (xn − x1) 1 x2 . . . xn−2 2 ... ... ... 1 xn . . . xn−2 n = (x2 − x1) . . . (xn − x1) VDn−1(x2, . . . , xn). Podobnˇe VDn−1(x2, . . . , xn) = (x3 − x2) . . . (xn − x2) VDn−2(x3, . . . , xn), atd. Výpoˇcet determinantu IX Protože zejména VD1(xn) = 1, dostaneme výsledek VDn(x1, x2, . . . , xn) = 1≤i 0 (kladná definitnost). Skalární souˇcin II Spojení aditivity a homogenity skalárního souˇcinu nám dává jeho linearitu jako funkci první promˇenné (pˇri pevné druhé promˇenné). Skalární souˇcin II Spojení aditivity a homogenity skalárního souˇcinu nám dává jeho linearitu jako funkci první promˇenné (pˇri pevné druhé promˇenné). Ze symetrie plyne i linearita skalárního souˇcinu jako funkce druhé promˇenné (pˇri pevné první promˇenné), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy =c x, y , pro všechna x, y1, y2 ∈ V a c ∈ R. Skalární souˇcin II Spojení aditivity a homogenity skalárního souˇcinu nám dává jeho linearitu jako funkci první promˇenné (pˇri pevné druhé promˇenné). Ze symetrie plyne i linearita skalárního souˇcinu jako funkce druhé promˇenné (pˇri pevné první promˇenné), t. j. rovnosti x, y1 + y2 = x, y2 + x, y2 , x, cy =c x, y , pro všechna x, y1, y2 ∈ V a c ∈ R. Z (bi)linearity plyne podmínka kladné definitnosti x, x ≥ 0 & x, x = 0 ⇔ x = 0 pro každé x ∈ V. Skalární souˇcin III První ˇcást této podmínky nám umožˇnuje definovat normu neboli délku vektoru x rovností x = x, x . Skalární souˇcin III První ˇcást této podmínky nám umožˇnuje definovat normu neboli délku vektoru x rovností x = x, x . Euklidovským prostorem nazýváme libovolný koneˇcnˇe rozmˇerný reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Skalární souˇcin IV Pˇríklad Ze stˇrední školy v rámci analytické geometrie, pˇrípadnˇe v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovinˇe R2 a se skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Skalární souˇcin IV Pˇríklad Ze stˇrední školy v rámci analytické geometrie, pˇrípadnˇe v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovinˇe R2 a se skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se m˚užeme pˇresvˇedˇcit, že stejný vzoreˇcek funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je pˇredpisem x, y = xT · y = n i=1 xiyi Skalární souˇcin IV Pˇríklad Ze stˇrední školy v rámci analytické geometrie, pˇrípadnˇe v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovinˇe R2 a se skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se m˚užeme pˇresvˇedˇcit, že stejný vzoreˇcek funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je pˇredpisem x, y = xT · y = n i=1 xiyi definovaný skalární souˇcin na sloupcovém vektorovém prostoru Rn. Skalární souˇcin IV Pˇríklad Ze stˇrední školy v rámci analytické geometrie, pˇrípadnˇe v rámci fyziky, jsme se potkali s skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 v rovinˇe R2 a se skalárním souˇcinem x, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 v prostoru R3. Lehce se m˚užeme pˇresvˇedˇcit, že stejný vzoreˇcek funguje pro každé n, t. j. pro x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , yn)T je pˇredpisem x, y = xT · y = n i=1 xiyi definovaný skalární souˇcin na sloupcovém vektorovém prostoru Rn. V pˇrípadˇe ˇrádkového prostoru Rn máme x, y = x · yT = n i=1 xiyi Skalární souˇcin V Takovýto skalární souˇcin budeme nazývat standardní skalární souˇcin na Rn. Skalární souˇcin V Takovýto skalární souˇcin budeme nazývat standardní skalární souˇcin na Rn. Standardní skalární souˇcin vektor˚u x, y ∈ Rn (at’ už jde o ˇrádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle znaˇcí x · y. Skalární souˇcin V Takovýto skalární souˇcin budeme nazývat standardní skalární souˇcin na Rn. Standardní skalární souˇcin vektor˚u x, y ∈ Rn (at’ už jde o ˇrádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle znaˇcí x · y. Délka vektoru x vzhledem ke standardnímu skalárnímu souˇcinu je x = √ x · x = n i=1 x2 i 1/2 . Skalární souˇcin V Takovýto skalární souˇcin budeme nazývat standardní skalární souˇcin na Rn. Standardní skalární souˇcin vektor˚u x, y ∈ Rn (at’ už jde o ˇrádkové nebo sloupcové vektory) se obvykle znaˇcí x · y. Délka vektoru x vzhledem ke standardnímu skalárnímu souˇcinu je x = √ x · x = n i=1 x2 i 1/2 . V rámci analytické geometrie se pro nenulové vektory x, y dokazuje známý vztah x · y = x y cos α, který spojuje standardní skalární souˇcin v R2 ˇci v R3 s délkou pˇríslušných vektor˚u a jimi sevˇreným úhlem α. Skalární souˇcin VI Pˇríklad Položíme-li u, v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2, pak jsou opˇet splnˇeny axiomy skalárního souˇcinu, tzn. R2 s tímto skalárním souˇcinem je euklidovským prostorem. Skalární souˇcin VI Pˇríklad Položíme-li u, v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2, pak jsou opˇet splnˇeny axiomy skalárního souˇcinu, tzn. R2 s tímto skalárním souˇcinem je euklidovským prostorem. Srovnáme-li výše uvedený skalární souˇcin se standardním skalárním souˇcinem, je vidˇet, že i když se v obou pˇrípadech jedná o tentýž vektorový prostor R2, jsou definované skalární souˇciny r˚uzné, a tedy r˚uzné jsou pak i pomocí nich získané euklidovské prostory. Skalární souˇcin VII Každý podprostor vektorového prostoru V nad T je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li specielnˇe V euklidovským prostorem, tzn. je reálný s definovaným skalárním souˇcinem, pak zˇrejmˇe axiomy skalárního souˇcinu budou jistˇe splnˇeny i v jeho libovolném (vektorovém) podprostoru. Skalární souˇcin VII Každý podprostor vektorového prostoru V nad T je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li specielnˇe V euklidovským prostorem, tzn. je reálný s definovaným skalárním souˇcinem, pak zˇrejmˇe axiomy skalárního souˇcinu budou jistˇe splnˇeny i v jeho libovolném (vektorovém) podprostoru. To znamená, že každý (vektorový) podprostor euklidovského prostoru V je sám euklidovským prostorem. Budeme jej struˇcnˇe nazývat podprostor euklidovského prostoru. Skalární souˇcin VIII Pˇríklad Necht’ V = Rn[x] a necht’ f = f(x), g = g(x) ∈ Rn[x] jsou libovolné vektory – polynomy. Položíme-li f, g = 1 0 f(x) · g(x) dx, pak rozepsáním (užitím základních vˇet o integrování známých z analýzy) se ovˇeˇrí platnost axiom˚u skalárního souˇcinu. Skalární souˇcin VIII Pˇríklad Necht’ V = Rn[x] a necht’ f = f(x), g = g(x) ∈ Rn[x] jsou libovolné vektory – polynomy. Položíme-li f, g = 1 0 f(x) · g(x) dx, pak rozepsáním (užitím základních vˇet o integrování známých z analýzy) se ovˇeˇrí platnost axiom˚u skalárního souˇcinu. Tedy Rn[x] s tímto skalárním souˇcinem je euklidovský prostor. Skalární souˇcin IX Vˇeta V každém reálném vektorovém prostoru V lze definovat skalární souˇcin. Skalární souˇcin IX Vˇeta V každém reálném vektorovém prostoru V lze definovat skalární souˇcin. M˚užeme tedy prohlásit, že z každého reálného vektorového prostoru lze utvoˇrit euklidovský prostor, obecnˇe však nikoliv jediným zp˚usobem. Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r · v = r · u, v , Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r · v = r · u, v , 3. m i=1 pi · ui , n j=1 rj · vj = m i=1 n j=1 pirj · ui, vj , Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r · v = r · u, v , 3. m i=1 pi · ui , n j=1 rj · vj = m i=1 n j=1 pirj · ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r · v = r · u, v , 3. m i=1 pi · ui , n j=1 rj · vj = m i=1 n j=1 pirj · ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, 5. u, u = 0 ⇔ u = 0 Skalární souˇcin IX Vˇeta Necht’ V je euklidovský vektorový prostor. Pak platí: 1. u, v + w = u, v + u, w , 2. u, r · v = r · u, v , 3. m i=1 pi · ui , n j=1 rj · vj = m i=1 n j=1 pirj · ui, vj , 4. 0, u = u, 0 = 0, 5. u, u = 0 ⇔ u = 0 pro u, v, w, ui, vj ∈ V, r, pi, rj ∈ R libovolná. Skalární souˇcin X Definice Necht’ V je euklidovský prostor, u ∈ V. Pak nezáporné reálné ˇcíslo: u = u, u se nazývá délka nebo též velikost ˇci norma vektoru u. Skalární souˇcin X Definice Necht’ V je euklidovský prostor, u ∈ V. Pak nezáporné reálné ˇcíslo: u = u, u se nazývá délka nebo též velikost ˇci norma vektoru u. Je-li u = 1, pak ˇríkáme, že vektor u je normovaný. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost I Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost Necht’ α = (u1, . . . , uk ) je libovolná uspoˇrádaná k-tice vektor˚u ve vektorovém prostoru V se skalárním souˇcinem. Témˇeˇr všechny podstatné informace o tˇechto vektorech jsou ukryté v tzv. Gramovˇe matici G(α) = G(u1, . . . , uk ) = ui, uj k×k vektor˚u u1, . . . , uk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova nerovnost II Determinant Gramovy matice det G(α) = |G(u1, . . . , uk )| = u1, u1 . . . u1, uk ... ... ... uk , u1 . . . uk , uk se nazývá Gramovým determinantem vektor˚u u1, . . . , uk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. III Tvrzení Necht’ u1, . . . , uk jsou libovolné vektory ve vektorovém prostoru V se skalárním souˇcinem. Potom (a) G(u1, . . . , uk ) je symetrická matice tak, že c · G · cT ≥ 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk ; Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. III Tvrzení Necht’ u1, . . . , uk jsou libovolné vektory ve vektorovém prostoru V se skalárním souˇcinem. Potom (a) G(u1, . . . , uk ) je symetrická matice tak, že c · G · cT ≥ 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk ; (b) vektory u1, . . . , uk jsou lineárnˇe nezávislé právˇe tehdy, když G(u1, . . . , uk ) je c · G · cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV D˚ukaz. Oznaˇcme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je pˇrímým d˚usledkem symetrie skalárního souˇcinu. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV D˚ukaz. Oznaˇcme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je pˇrímým d˚usledkem symetrie skalárního souˇcinu. Zbývá dokázat, že pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk platí c · G · cT ≥ 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Potom z bilinearity a kladné definitnosti skalárního souˇcinu vyplývá c · G · cT = k i=1 k j=1 cicj ui, uj Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IV D˚ukaz. Oznaˇcme G = G(u1, . . . , uk ). (a) Symetrie matice G je pˇrímým d˚usledkem symetrie skalárního souˇcinu. Zbývá dokázat, že pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk platí c · G · cT ≥ 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Potom z bilinearity a kladné definitnosti skalárního souˇcinu vyplývá c · G · cT = k i=1 k j=1 cicj ui, uj = k i=1 ciui, k j=1 cjuj = v, v ≥ 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht’ u1, . . . , uk jsou lineárnˇe nezávislé a pˇredpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk tak, že c · G · cT = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht’ u1, . . . , uk jsou lineárnˇe nezávislé a pˇredpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk tak, že c · G · cT = 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Pak k i=1 k j=1 cicj ui, uj = v, v = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. V (b) Necht’ u1, . . . , uk jsou lineárnˇe nezávislé a pˇredpokládejme, že existuje nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk tak, že c · G · cT = 0. Položme v = c1u1 + . . . + ck uk . Pak k i=1 k j=1 cicj ui, uj = v, v = 0. Protože −, − je skalární souˇcin, je nutnˇe v = 0 tj. z lineární nezávislosti vektor˚u u1, . . . , uk máme, že c = (c1, . . . , ck ) = 0. Spor. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht’ G(u1, . . . , uk ) je c · G · cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht’ G(u1, . . . , uk ) je c · G · cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk . Jsou-li u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, tak v Rn existuje vektor c = (c1, . . . , ck ) = 0 takový, že v = c1u1 + . . . + ck uk = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VI Necht’ G(u1, . . . , uk ) je c · G · cT > 0 pro libovolný nenulový vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk . Jsou-li u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, tak v Rn existuje vektor c = (c1, . . . , ck ) = 0 takový, že v = c1u1 + . . . + ck uk = 0. Potom podle (a) c · G · cT = v, v = 0, 0 = 0, spor. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII D˚usledek Pro libovolné u1, . . . , uk ∈ V platí |G(u1, . . . , uk )| ≥ 0. Pˇritom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právˇe tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárnˇe závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII D˚usledek Pro libovolné u1, . . . , uk ∈ V platí |G(u1, . . . , uk )| ≥ 0. Pˇritom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právˇe tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárnˇe závislé. D˚ukaz. Každá symetrická matice lze zapsat ve tvaru PT · D · P, kde P je regulární matice a D je diagonální matice. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VII D˚usledek Pro libovolné u1, . . . , uk ∈ V platí |G(u1, . . . , uk )| ≥ 0. Pˇritom |G(u1, . . . , uk )| = 0 právˇe tehdy, když vektory u1, . . . , uk jsou lineárnˇe závislé. D˚ukaz. Každá symetrická matice lze zapsat ve tvaru PT · D · P, kde P je regulární matice a D je diagonální matice. Protože c · G · cT ≥ 0 pro libovolný vektor c = (c1, . . . , ck ) ∈ Rk , má matice D na diagonále nezáporné prvky. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, jsou nutnˇe i lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, jsou nutnˇe i lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obrácenˇe, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutnˇe lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice. Necht’ napˇríklad i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, jsou nutnˇe i lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obrácenˇe, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutnˇe lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice. Necht’ napˇríklad i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G(α)) = j=i cjsj(G(α)) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = −1. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, jsou nutnˇe i lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obrácenˇe, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutnˇe lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice. Necht’ napˇríklad i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G(α)) = j=i cjsj(G(α)) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = −1. Odtud 0 = j cjsj(G(α)) = (s1(G(α)), . . . , sk (G(α))) · (c1, . . . , ck )T . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. VIII Jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe závislé, jsou nutnˇe i lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice a tedy |G(u1, . . . , uk )| = 0. Obrácenˇe, je-li |G(u1, . . . , uk )| = 0, jsou nutnˇe lineárnˇe závislé sloupce Gramovy matice. Necht’ napˇríklad i-tý sloupec Gramovy matice je lineární kombinací ostatních. Tedy si(G(α)) = j=i cjsj(G(α)) pro vhodné koeficienty cj, zde ci = −1. Odtud 0 = j cjsj(G(α)) = (s1(G(α)), . . . , sk (G(α))) · (c1, . . . , ck )T . Celkem 0 = (c1, . . . , ck ) · (s1(G(α)), . . . , sk (G(α))) · (c1, . . . , ck )T , tj. vektory u1, . . . , uk jsou lineárnˇe závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálnˇe pro libovolné dva vektory u, v ∈ V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálnˇe pro libovolné dva vektory u, v ∈ V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v − u, v v, u Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálnˇe pro libovolné dva vektory u, v ∈ V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v − u, v v, u = u 2 v 2 − u, v 2 ≥ 0, Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. IX Speciálnˇe pro libovolné dva vektory u, v ∈ V platí |G(u, v)| = u, u u, v v, u v, v = u, u v, v − u, v v, u = u 2 v 2 − u, v 2 ≥ 0, pˇriˇcemž rovnost nastane právˇe tehdy, když vektory u, v jsou lineárnˇe závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. X Tím je dokázaná tzv. Cauchyho-Schwarzova nerovnost: Tvrzení Pro libovolné vektory u, v ∈ V v prostoru V se skalárním souˇcinem platí | u, v | ≤ u v , pˇriˇcemž rovnost nastane právˇe tehdy, když vektory u, v jsou lineárnˇe závislé. Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. XI Cauchyho-Schwarzovu nerovnost ˇcasto zapisujeme v ekvivalentním tvaru: ( u, v )2 ≤ u 2 · v 2 . Gramova matice a Cauchyho-Schwarzova ner. XI Cauchyho-Schwarzovu nerovnost ˇcasto zapisujeme v ekvivalentním tvaru: ( u, v )2 ≤ u 2 · v 2 . Poznamenejme ještˇe, že pro tuto nerovnost se v literatuˇre používá též pojmenování "Cauchyho nerovnost", resp. "Cauchyho-Bunjakovského nerovnost", event. "Schwarzova nerovnost". Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u I Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u Normou na reálném vektorovém prostoru V rozumíme libovolné zobrazení − : V → R, které vektoru x ∈ V pˇriˇradí reálné ˇcíslo x , nazývané normou nebo též délkou vektoru x, takové, že pro všechny x, y ∈ V a libovolné c ∈ R platí x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost), cx = |c| x (pozitivní homogenita), x = 0 ⇒ x = 0 (oddˇelitelnost). Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x ≥ 0 pro každé x ∈ V. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x ≥ 0 pro každé x ∈ V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a −x = x , Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x ≥ 0 pro každé x ∈ V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a −x = x , s použitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme x = 1 2 x + −x ≥ 1 2 x − x = 1 2 0 = 0. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u II Z uvedených podmínek vyplývá nezápornost normy, t. j. x ≥ 0 pro každé x ∈ V. Z pozitivní homogenity platí 0 = 0 a −x = x , s použitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme x = 1 2 x + −x ≥ 1 2 x − x = 1 2 0 = 0. Z oddˇelitelnosti máme x > 0 pro každé 0 = x ∈ V. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivnˇe sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém m˚užeme mˇeˇrit délky vektor˚u. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivnˇe sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém m˚užeme mˇeˇrit délky vektor˚u. Tˇri definující podmínky pro normu zaruˇcují, že takovéto mˇeˇrení délek, t. j. pˇriˇrazení x → x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek oˇcekáváme. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivnˇe sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém m˚užeme mˇeˇrit délky vektor˚u. Tˇri definující podmínky pro normu zaruˇcují, že takovéto mˇeˇrení délek, t. j. pˇriˇrazení x → x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek oˇcekáváme. Vzdáleností bod˚u x, y ve vektorovém prostoru V s normou · nazýváme délku vektoru x − y, t. j. ˇcíslo x − y . Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u III Reálný vektorový prostor s normou nazýváme normovaný prostor. Intuitivnˇe sa na normovaný prostor díváme jako na vektorový prostor, ve kterém m˚užeme mˇeˇrit délky vektor˚u. Tˇri definující podmínky pro normu zaruˇcují, že takovéto mˇeˇrení délek, t. j. pˇriˇrazení x → x , má rozumné vlastnosti, jaké od délek oˇcekáváme. Vzdáleností bod˚u x, y ve vektorovém prostoru V s normou · nazýváme délku vektoru x − y, t. j. ˇcíslo x − y . Pomocí vzdálenosti bod˚u m˚užeme trojúhelníkovou nerovnost vyjádˇrit jiným, ekvivalentním zp˚usobem: x − y + y − z ≥ x − z pre všechny x, y, z ∈ V. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y 2 Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y 2 = x + y 2 . Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Tvrzení Necht’ V je reálný vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Rovností x = x, x je definovaná norma na V. D˚ukaz. Zvolme x, y ∈ V.S použitím bilinearity a symetrie skalárního souˇcinu a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti dostáváme x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 + 2 x, y + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y 2 = x + y 2 . To dokazuje trojúhelníkovou nerovnost. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním souˇcinem platí −1 ≤ x, y x y ≤ 1. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním souˇcinem platí −1 ≤ x, y x y ≤ 1. Proto existuje jediné reálné ˇcíslo α takové, že 0 ≤ α ≤ π a cos α = x, y x y . Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním souˇcinem platí −1 ≤ x, y x y ≤ 1. Proto existuje jediné reálné ˇcíslo α takové, že 0 ≤ α ≤ π a cos α = x, y x y . ˇCíslo α nazýváme úhlem nebo též odchylkou vektor˚u x, y a znaˇcíme ho α = (x, y). Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u IV Z Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti vyplývá, že pro libovolné nenulové vektory x, y ve vektorovém prostoru se skalárním souˇcinem platí −1 ≤ x, y x y ≤ 1. Proto existuje jediné reálné ˇcíslo α takové, že 0 ≤ α ≤ π a cos α = x, y x y . ˇCíslo α nazýváme úhlem nebo též odchylkou vektor˚u x, y a znaˇcíme ho α = (x, y). Ze symetrie skalárního souˇcinu vyplývá (x, y) = (y, x), to znamená, že se jedná o neorientovaný úhel. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u V Pˇri této definici úhlu dvou nenulových vektor˚u z˚ustáva vztah x, y = x y cos (x, y), platný pro standardní skalární souˇcin v R2 a R3 , zachovaný v libovolném prostoru se skalárním souˇcinem. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u V Pˇri této definici úhlu dvou nenulových vektor˚u z˚ustáva vztah x, y = x y cos (x, y), platný pro standardní skalární souˇcin v R2 a R3 , zachovaný v libovolném prostoru se skalárním souˇcinem. ˇRíkáme, že vektory x, y ∈ V jsou (navzájem) kolmé nebo též ortogonální, píšeme x ⊥ y, pokud x, y = 0. Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u VI Tvrzení Necht’ V je vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y ∈ V platí: Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u VI Tvrzení Necht’ V je vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y ∈ V platí: (a) (kosinová vˇeta) x + y 2= x 2 + y 2 + 2 x y cos (x, y), x − y 2= x 2 + y 2 − 2 x y cos (x, y); Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u VI Tvrzení Necht’ V je vektorový prostor se skalárním souˇcinem. Potom pro libovolné nenulové vektory x, y ∈ V platí: (a) (kosinová vˇeta) x + y 2= x 2 + y 2 + 2 x y cos (x, y), x − y 2= x 2 + y 2 − 2 x y cos (x, y); (b) (Pythagorova vˇeta) x ⊥ y ⇒ x + y 2= x − y 2 = x 2 + y 2; Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u VII (c) (pravidlo rovnobˇežníka) x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + y 2 ; Délka vektoru a úhel dvou vektor˚u VII (c) (pravidlo rovnobˇežníka) x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + y 2 ; (d) (úhlopˇríˇcky kosoštvorce jsou na sebe kolmé) x = y ⇒ x + y ⊥ x − y. Ortogonální podprostory I Ortogonálnost Definice Necht’ V je euklidovský prostor a necht’: u1, . . . , uk (1) je koneˇcná posloupnost vektor˚u z V. ˇRekneme, že: posloupnost (1) je ortogonální (nebo struˇcnˇe, že vektory u1, . . . , uk jsou ortogonální), jestliže je: ui, uj = 0 pro každé i, j = 1, . . . , k ∧ i = j, Ortogonální podprostory II posloupnost (1) je ortonormální (nebo struˇcnˇe, že vektory u1, . . . , uk jsou ortonormální), je-li ortogonální a každý její vektor je normovaný, Ortogonální podprostory II posloupnost (1) je ortonormální (nebo struˇcnˇe, že vektory u1, . . . , uk jsou ortonormální), je-li ortogonální a každý její vektor je normovaný, posloupnost 1 je ortogonální báze (resp. ortonormální báze) euklidovského prostoru V, jestliže je ortogonální (resp. ortonormální) a navíc je bází prostoru V. Ortogonální podprostory III Rozebereme-li si definici ortogonálnosti pro nejjednodušší pˇrípady, pak vidíme, že pro: k = 1: Posloupnost sestávající z jednoho vektoru je vždy ortogonální (bez ohledu na to, zda napˇr. daný vektor je nulový ˇci nikoliv). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právˇe když u1, u2 = 0. Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právˇe když u1, u2 = 0. V tomto pˇrípadˇe budeme psát u1 ⊥ u2 nebo u2 ⊥ u1 (zˇrejmˇe zde nezáleží na poˇradí vektor˚u). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právˇe když u1, u2 = 0. V tomto pˇrípadˇe budeme psát u1 ⊥ u2 nebo u2 ⊥ u1 (zˇrejmˇe zde nezáleží na poˇradí vektor˚u). Dále, jsou-li oba vektory u1, u2 nenulové, pak zˇrejmˇe jsou ortogonální, právˇe když jejich odchylka je π 2 (plyne z definice odchylky). Ortogonální podprostory IV k = 2: Vektory u1, u2 jsou ortogonální, právˇe když u1, u2 = 0. V tomto pˇrípadˇe budeme psát u1 ⊥ u2 nebo u2 ⊥ u1 (zˇrejmˇe zde nezáleží na poˇradí vektor˚u). Dále, jsou-li oba vektory u1, u2 nenulové, pak zˇrejmˇe jsou ortogonální, právˇe když jejich odchylka je π 2 (plyne z definice odchylky). Na druhé stranˇe, dva vektory, z nichž alespoˇn jeden je nulový, jsou vždy ortogonální (pˇriˇcemž jejich odchylka samozˇrejmˇe není definována). Ortogonální podprostory V Vˇeta Necht’ V je euklidovský prostor. Pak pro vektory z V platí: 1. u ⊥ u ⇔ u = o, 2. u ⊥ x pro každé x ∈ V ⇔ u = o, 3. u ⊥ wi pro i = 1, . . . , k ⇔ u ⊥ k i=1 ri · wi pro každé ri ∈ R. Ortogonální podprostory VI Vˇeta Nenulové ortogonální vektory euklidovského prostoru V jsou lineárnˇe nezávislé. Ortogonální podprostory VI Vˇeta Nenulové ortogonální vektory euklidovského prostoru V jsou lineárnˇe nezávislé. Poznamenejme, že pˇredpoklad nenulovosti všech vektor˚u je v pˇredchozí vˇetˇe podstatný a bez nˇej vˇeta neplatí. Jinak ˇreˇceno, jsou-li ortogonální vektory z V lineárnˇe závislé, znamená to, že alespoˇn jeden z nich musí být nulový. Ortogonální podprostory VII Vˇeta Necht’ V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk ∈ V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. Ortogonální podprostory VII Vˇeta Necht’ V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk ∈ V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 · e1 + · · · + pk−1 · ek−1 + uk , (2) Ortogonální podprostory VII Vˇeta Necht’ V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk ∈ V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 · e1 + · · · + pk−1 · ek−1 + uk , (2) ek , ei = 0 = pi · ( ei, ei ) + ( uk , ei ), Ortogonální podprostory VII Vˇeta Necht’ V je euklidovský prostor, u1, . . . , uk ∈ V libovolné. Pak existují ve V ortogonální vektory e1, . . . , ek , které generují tentýž podprostor jako vektory u1, . . . , uk , tzn. platí: [u1, . . . , uk ] = [e1, . . . , ek ]. ek = p1 · e1 + · · · + pk−1 · ek−1 + uk , (2) ek , ei = 0 = pi · ( ei, ei ) + ( uk , ei ), pi = { − uk ,ei ei ,ei je-li ei = o libovolné je-li ei = o. Ortogonální podprostory VII D˚ukaz pˇredchozí vˇety byl konstruktivní a jeho algoritmus se nazývá Gram-Schmidt˚uv ortogonalizaˇcní proces (používá se pˇri ˇrešení konkrétních pˇríklad˚u!). Ortogonální podprostory VII D˚ukaz pˇredchozí vˇety byl konstruktivní a jeho algoritmus se nazývá Gram-Schmidt˚uv ortogonalizaˇcní proces (používá se pˇri ˇrešení konkrétních pˇríklad˚u!). V pˇredchozí vˇetˇe se nic nepˇredpokládá o lineární závislosti nebo nezávislosti vektor˚u u1, . . . , uk . Proto výsledné ortogonální vektory e1, . . . , ek mohou, ale nemusí být všechny nenulové. Ortogonální podprostory VIII Pˇresnˇeji ˇreˇceno, je-li dim[u1, . . . , uk ] = r (≤ k), pak tedy i dim[e1, . . . , ek ] = r, což znamená, že právˇe (k − r) z vektor˚u e1, . . . , ek je nulových a zbývajících r vektor˚u je nenulových a tvoˇrí ortogonální bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], tj. podprostoru generovaného vektory u1, . . . , uk . Ortogonální podprostory VIII Pˇresnˇeji ˇreˇceno, je-li dim[u1, . . . , uk ] = r (≤ k), pak tedy i dim[e1, . . . , ek ] = r, což znamená, že právˇe (k − r) z vektor˚u e1, . . . , ek je nulových a zbývajících r vektor˚u je nenulových a tvoˇrí ortogonální bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], tj. podprostoru generovaného vektory u1, . . . , uk . Speciálnˇe tedy, jsou-li vektory u1, . . . , uk lineárnˇe nezávislé, tzn. tvoˇrí bázi podprostoru [u1, . . . , uk ], pak vektory e1, . . . , ek tvoˇrí ortogonální bázi tohoto podprostoru. Ortogonální podprostory IX Gram-Schmidt˚uv algoritmus Ortogonální podprostory X Vˇeta V každém nenulovém euklidovském prostoru V existuje ortogonální báze (resp. ortonormální báze). Ortogonální podprostory XI Pˇríklad V euklidovském prostoru R4 se skalárním souˇcinem definovaným: (x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4) = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 naleznˇete ortogonální bázi podprostoru W generovaného vektory u1, u2, u3. Pˇritom: u1 = (0, 1, 2, 1), u2 = (−1, 1, 1, 1), u3 = (1, 0, 1, 0). Ortogonální podprostory XII ˇRešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizaˇcního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). Ortogonální podprostory XII ˇRešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizaˇcního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p · e1 + u2, kde p = − u2,e1 e1,e1 = −2 3 . Tedy e2 = (−1, 1 3 , −1 3 , 1 3 ). Ortogonální podprostory XII ˇRešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizaˇcního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p · e1 + u2, kde p = − u2,e1 e1,e1 = −2 3 . Tedy e2 = (−1, 1 3 , −1 3 , 1 3 ). e3 = p1 · e1 + p2 · e2 + u3, kde p1 = − u3,e1 e1,e1 = −1 3 , p2 = − u3,e2 e2,e2 = 1. Tedy e3 = −1 3 · e1 + e2 + u3 = (0, 0, 0, 0) = o. Ortogonální podprostory XII ˇRešení: Platí W = [u1, u2, u3], tzn. použijeme Gram-Schmidtova ortogonalizaˇcního procesu: e1 = u1 = (0, 1, 2, 1). e2 = p · e1 + u2, kde p = − u2,e1 e1,e1 = −2 3 . Tedy e2 = (−1, 1 3 , −1 3 , 1 3 ). e3 = p1 · e1 + p2 · e2 + u3, kde p1 = − u3,e1 e1,e1 = −1 3 , p2 = − u3,e2 e2,e2 = 1. Tedy e3 = −1 3 · e1 + e2 + u3 = (0, 0, 0, 0) = o. Výsledek: ortogonální bázi podprostoru W tvoˇrí napˇr. vektory e1, e2. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht’ A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a ∈ A, b ∈ B, pak ˇríkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A ⊥ B nebo B ⊥ A. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht’ A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a ∈ A, b ∈ B, pak ˇríkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A ⊥ B nebo B ⊥ A. Jinak ˇreˇceno, A, B jsou ortogonální množiny, právˇe když a, b jsou ortogonální vektory pro každé a ∈ A, b ∈ B. Ortogonální podprostory XIII Definice Necht’ A, B jsou libovolné podmnožiny euklidovského prostoru V. Je-li: a, b = 0 pro každé a ∈ A, b ∈ B, pak ˇríkáme, že A, B jsou ortogonální množiny a píšeme A ⊥ B nebo B ⊥ A. Jinak ˇreˇceno, A, B jsou ortogonální množiny, právˇe když a, b jsou ortogonální vektory pro každé a ∈ A, b ∈ B. Ve speciálních pˇrípadech: prázdná množina, resp. množina {o} jsou zˇrejmˇe ortogonální ke každé podmnožinˇe ve V. Dále z definice plyne, že: A ⊥ B =⇒ A ∩ B = ∅ nebo A ∩ B = {o}. Ortogonální podprostory XIV Vˇeta Necht’ A, B jsou podmnožiny euklidovského prostoru V. Pak platí: A ⊥ B ⇔ [A] ⊥ [B], tzn. dvˇe množiny jsou ortogonální, právˇe když jsou ortogonální podprostory generované tˇemito množinami. Ortogonální podprostory XV Definice Necht’ W je podmnožina (podprostor) euklidovského prostoru V. Pak množina: W⊥ = {x ∈ V : x, w = 0 pro každé w ∈ W} se nazývá ortogonální doplnˇek podmnožiny (podprostoru) W (ve V). Ortogonální podprostory XV Definice Necht’ W je podmnožina (podprostor) euklidovského prostoru V. Pak množina: W⊥ = {x ∈ V : x, w = 0 pro každé w ∈ W} se nazývá ortogonální doplnˇek podmnožiny (podprostoru) W (ve V). Zˇrejmˇe platí W ⊥ W⊥ a ve speciálních pˇrípadech pˇrímo z definice dostáváme, že V⊥ = {o}, resp. {o}⊥ = V. Ortogonální podprostory XVI Vˇeta Necht’ W je podmnožina euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. W⊥ je podprostor ve V, Ortogonální podprostory XVI Vˇeta Necht’ W je podmnožina euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. W⊥ je podprostor ve V, 2. je-li W podprostor V, máme V = W ⊕ W⊥ , tzn. prostor V je pˇrímým souˇctem podprostor˚u W a W⊥ . Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. ˇcásti pˇredchozí vˇety a podle definice pˇrímého souˇctu podprostor˚u) se libovolný vektor u ∈ V dá napsat, a to jediným zp˚usobem, ve tvaru: u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥ . Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. ˇcásti pˇredchozí vˇety a podle definice pˇrímého souˇctu podprostor˚u) se libovolný vektor u ∈ V dá napsat, a to jediným zp˚usobem, ve tvaru: u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥ . Poznamenejme, že vektor x z tohoto vyjádˇrení se nazývá ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W. Ortogonální podprostory XVII Je-li W libovolný podprostor ve V, pak (podle 2. ˇcásti pˇredchozí vˇety a podle definice pˇrímého souˇctu podprostor˚u) se libovolný vektor u ∈ V dá napsat, a to jediným zp˚usobem, ve tvaru: u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥ . Poznamenejme, že vektor x z tohoto vyjádˇrení se nazývá ortogonální projekce vektoru u do podprostoru W. Píšeme x = uW. Ortogonální podprostory XVIII Vˇeta Necht’ W je podprostor euklidovského prostoru V, necht’ x (resp. x ) je ortogonální projekce vektoru u (resp. u ) do podprostoru W a necht’ r ∈ R libovolné. Pak platí: 1. (x + x ) je ortogonální projekce vektoru (u + u ) do W, Ortogonální podprostory XVIII Vˇeta Necht’ W je podprostor euklidovského prostoru V, necht’ x (resp. x ) je ortogonální projekce vektoru u (resp. u ) do podprostoru W a necht’ r ∈ R libovolné. Pak platí: 1. (x + x ) je ortogonální projekce vektoru (u + u ) do W, 2. r · x je ortogonální projekce vektoru r · u do W. Ortogonální podprostory XIX Vˇeta Necht’ W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W⊥ )⊥ = W, Ortogonální podprostory XIX Vˇeta Necht’ W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W⊥ )⊥ = W, 2. (W + S)⊥ = W⊥ ∩ S⊥ , Ortogonální podprostory XIX Vˇeta Necht’ W, S jsou podprostory euklidovského prostoru V. Pak platí: 1. (W⊥ )⊥ = W, 2. (W + S)⊥ = W⊥ ∩ S⊥ , 3. (W ∩ S)⊥ = W⊥ + S⊥ . Ortogonální podprostory XX Vˇeta Necht’ V je vektorový prostor se skalárním souˇcinem, S je jeho koneˇcnˇerozmˇerný vektorový podprostor s bazí α = (u1, . . . , uk ) a x ∈ V. Potom pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když c je ˇrešení soustavy lineárních rovnic G(α) · c = x, α T , kde x, α oznaˇcuje ˇrádkový vektor x, u1 , . . . , x, uk ∈ Rk . Ortogonální podprostory XXI D˚ukaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když pro všechna i ≤ k máme 0 = x−c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui −c1 u1, ui −. . .−ck uk , ui . Ortogonální podprostory XXI D˚ukaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když pro všechna i ≤ k máme 0 = x−c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui −c1 u1, ui −. . .−ck uk , ui . Tedy x, si(α) = (c1, . . . , ck )si(G(α)) tj. x, si(α) T = ri(G(α)T ) · c. Ortogonální podprostory XXI D˚ukaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když pro všechna i ≤ k máme 0 = x−c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui −c1 u1, ui −. . .−ck uk , ui . Tedy x, si(α) = (c1, . . . , ck )si(G(α)) tj. x, si(α) T = ri(G(α)T ) · c. Jinak ˇreˇceno, c musí vyhovovat soustavˇe G(α)T · c = x, α T . Ortogonální podprostory XXI D˚ukaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když pro všechna i ≤ k máme 0 = x−c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui −c1 u1, ui −. . .−ck uk , ui . Tedy x, si(α) = (c1, . . . , ck )si(G(α)) tj. x, si(α) T = ri(G(α)T ) · c. Jinak ˇreˇceno, c musí vyhovovat soustavˇe G(α)T · c = x, α T . Ale G(α)T = G(α) vzhledem na symetrii Gramovy matice. Ortogonální podprostory XXI D˚ukaz. Pro c = (c1, . . . , ck )T ∈ Rk platí xS = c1u1 + . . . + ck uk právˇe tehdy, když pro všechna i ≤ k máme 0 = x−c1u1+. . .+ck uk , ui = x, ui −c1 u1, ui −. . .−ck uk , ui . Tedy x, si(α) = (c1, . . . , ck )si(G(α)) tj. x, si(α) T = ri(G(α)T ) · c. Jinak ˇreˇceno, c musí vyhovovat soustavˇe G(α)T · c = x, α T . Ale G(α)T = G(α) vzhledem na symetrii Gramovy matice. Protože matice G(α) je regulární (α je báze S), má tato soustava jediné ˇrešení.