Pavol Zlatoš LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Kapitoly 0-10 Bratislava 2006 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Obsah 0 Základné pojmy z logiky a teórie množín 9 0.1 Logické spojky a kvantifikátory........................ 9 0.2 Množiny..................................... 12 0.3 Zobrazenia.................................... 17 0.4 Binárne operácie ................................ 21 0.5 Permutácie ................................... 24 0.6 Ekvivalencie a rozklady............................. 29 0.7 O matematických dôkazoch .......................... 32 0.8 Matematická indukcia a rekurzia ....................... 36 Cvičenia........................................ 42 1 Polia a vektorové priestory 49 1.1 Základné číselné obory............................. 49 1.2 Polia....................................... 51 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1.3 Polia Zp..................................... 55 1.4 Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore ................ 57 1.5 Vektorové priestory............................... 60 1.6 Príklady vektorových priestorov........................ 64 Cvičenia........................................ 68 2 Základy maticového počtu 73 2.1 Matice nad danou množinou.......................... 74 2.2 Matice nad daným poľom ........................... 78 2.3 Matice nad vektorovým priestorom...................... 88 Cvičenia........................................ 91 3 Sústavy lineárnych rovníc 97 3.1 Maticový zápis sústavy lineárnych rovníc................... 97 3.2 Redukovaný stupňovitý tvar matice...................... 100 3.3 Elementárne riadkové a stĺpcové operácie (ERO a ESO)........... 105 3.4 Gaussova eliminačná metóda.......................... 114 Cvičenia........................................ 117 4 Lineárne podpriestory a lineárna nezávislosť 121 4.1 Lineárne podpriestory vektorového priestoru................. 121 4.2 Lineárny obal množiny vektorov........................ 124 4.3 Prienik a súčet lineárnych podpriestorov................... 126 4.4 Lineárna nezávislosť .............................. 129 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.5 Lineárny obal a lineárna nezávislosť v priestoroch Km............ 134 4.6 Lineárne nezávislé postupnosti a množiny................... 140 Cvičenia........................................ 142 5 Báza a dimenzia 145 5.1 Steinitzova veta a konečnorozmerné priestory................. 145 5.2 Báza a dimenzia konečnorozmerného priestoru................ 147 5.3 Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu.................. 149 5.4 Dimenzia prieniku, súčtu a súčinu vektorových priestorov.......... 154 5.5 Usporiadané a neusporiadané bázy ...................... 157 5.6 Fyzika v n-rozmernom priestore* ....................... 161 Cvičenia........................................ 167 6 Lineárne zobrazenia 173 6.1 Lineárne zobrazenia............................... 173 6.2 Jadro a obraz lineárneho zobrazenia...................... 178 6.3 Lineárne izomorfizmy.............................. 181 6.4 Matica lineárneho zobrazenia ......................... 184 6.5 Priestory lineárnych zobrazení......................... 192 Cvičenia........................................ 196 7 Inverzné matice a zmena bázy 201 7.1 Hodnosť matice................................. 201 7.2 Inverzné matice a inverzné lineárne zobrazenia................ 205 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 7.3 Výpočet inverznej matice............................ 207 7.4 Matica prechodu ................................ 210 7.5 Matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne bázy............ 214 7.6 Pohyblivé bázy................................. 217 Cvičenia........................................ 220 8 Afinné podpriestory a afinné zobrazenia 227 8.1 Body a vektory................................. 227 8.2 Afinné podpriestory............................... 229 8.3 Prienik a spojenie afinných podpriestorov................... 236 8.4 Vzájomná poloha afinných podpriestorov................... 242 8.5 Afinné zobrazenia................................ 245 Cvičenia........................................ 251 9 Afinné podpriestory a sústavy lineárnych rovníc 257 9.1 Podpriestor riešení homogénnej sústavy a jeho báza............. 257 9.2 Podpriestor riešení nehomogénnej sústavy .................. 260 9.3 Frobeniova veta a riešenie nehomogénnej sústavy .............. 261 9.4 Parametrické a všeobecné rovnice afinných podpriestorov.......... 263 9.5 Rovnice prieniku a spojenia afinných podpriestorov............. 270 Cvičenia........................................ 280 10 Determinanty 285 10.1 Orientovaný objem a multilineárne alternujúce funkcie ........... 285 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 10.2 Definícia a základné vlastnosti determinantu................. 295 10.3 Charakterizácia determinantu a regulárnych matíc.............. 298 10.4 Laplaceov rozvoj determinantu ........................ 301 10.5 Výpočet determinantu............................. 304 10.6 Inverzná matica a Cramerovo pravidlo .................... 311 Cvičenia........................................ 314 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0. Základné pojmy z logiky a teórie množín V tejto kapitole zavedieme niektoré základné logické a množinové pojmy a dohodneme sa na štandardnej symbolike, ktorú budeme ďalej používať. Nebudeme však systematicky budovať axiomatickú teóriu množín, práve naopak, s množinami budeme narábať skôr intutívne. Čitateľ, ktorý základné množinové pojmy ovláda, môže túto kapitolu vynechať, prípadne ju len letmo prelistovať, aby sa oboznámil s našou terminológiou a symbolikou. 0.1. Logické spojky a kvantifikátory Kvôli prehľadnosti budeme niektoré matematické tvrdenia zapisovať v symbolickej podobe ako matematické formuly. S príkladmi rôznych formúl sa ešte stretneme. V tejto chvíli sa zameriame len na spôsob, ako možno z daných tvrdení či formúl tvoriť nové pomocou logických spojok a kvantifikátorov. Nech P, Q sú ľubovoľné tvrdenia. (a) Tvrdenie, ktoré je pravdivé práve vtedy, keď tvrdenie P je nepravdivé, nazývame negáciou tvrdenia P, značíme ho ->P a čítame ho „nie P", prípadne „non P". (b) Tvrdenie, ktoré je pravdivé práve vtedy, keď sú pravdivé obe tvrdenia P, Q, nazývame konjunkciou alebo logickým súčinom tvrdení P, Q, značíme ho P & Q a čítame „P a zároveň Q", krátko len „P a Q", prípadne „P et Q". • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (c) Tvrdenie, ktoré je pravdivé práve vtedy, keď je pravdivé aspoň jedno z tvrdení P, Q, nazývame alternatívou alebo disjunkciou či logickým súčtom tvrdení P, Q, značíme ho P V Q, a čítame „P alebo Q", prípadne „P vel Q". (d) Tvrdenie -P V Q skrátene označujeme P =>- Q a nazývame ho implikáciou tvrdení P, Q. Výraz P =>- Q čítame „ak P, tak Q" alebo „z P vyplýva Q", prípadne „P implikuje Q". Tvrdenie P nazývame predpokladom a tvrdenie Q záverom implikácie P ^ Q. Uvedomte si, že implikácia P =^> Q je nepravdivá jedine v tom prípade, ak predpoklad P je pravdivý a záver Q je nepravdivý. (e) Tvrdenie (P =>- Q) & (Q =>- P) skrátene označujeme P ■$$ Q & nazývame ho ekvivalenciou tvrdení P, Q. Výraz P -^ Q čítame „P práve vtedy, keď Q", prípadne „P je ekvivalentné s Q". Zrejme ekvivalencia P •£>• Q je pravdivá vtedy a len vtedy, keď tvrdenia P, Q sú zároveň obe pravdivé alebo zároveň obe nepravdivé. Znaky -i, &, V, =>, •£>• nazývame logickými spojkami. V literatúre sa možno tiež stretnúť s označením P', —P alebo ~P pre negáciu, P ľ\Q pre konjunkciu, P —► Q alebo P D Q pre implikáciu & P ^ Q alebo P = Q pre ekvivalenciu. Okrem tvrdení zapisujeme formulami aj vlastnosti objektov a vzťahy medzi nimi. Na tento účel používame formuly s voľnými premennými. Označujeme ich P (x), Q(x, y), R(x\,..., xn) a pod. Dosadením konkrétnych objektov do formúl namiesto volných premenných dostávame tvrdenia. Napríklad, ak Q (x, y) je formula s voľnými premennými x, y a a, b sú nejaké objekty, tak Q(a,b) je tvrdenie, ktoré je pravdivé práve vtedy, keď sa objekty a, b nachádzajú vo vzťahu označenom formulou Q. Zrejme aj na formuly s voľnými premennými možno aplikovať logické spojky, ktoré si pritom zachovajú svoj doterajší význam. Popri logických spojkách možno z formúl tvoriť • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec nové formuly či tvrdenia aj pomocou kvantifikátorov. Nech P (x) je ľubovoľná formula. (a) Tvrdenie „existuje x také, že P(x)u skrátene zapisujeme (3 x) P (x). (b) Tvrdenie „pre každé (pre všetky) x platí P(x)u skrátene zapisujeme (y x) P (x). Znaky 3 resp. V sú kvantifikátory; 3 nazývame existenčný a V univerzálny alebo tiež všeobecný kvantifikátor. Zrejme premenná x už nie je vo formulách (y x) P (x) a (3 x) P (x) voľná ale viazaná; ak x je jediná voľná premenná vo formule P (x), tak (V x) P {x) a (3 x) P {x) sú tvrdenia. Oba uvedené kvantifikátory sú zviazané pravidlami negácie kvantifikovaných formúl: ^(3x)P(x) <& (Vx)-.P(a;), -.(Vx)P(a;) <& (3x)^P(x). Pomocou existenčného a univerzálneho kvantifikátora už vieme vyjadriť i kvantifikátor jednoznačnej existencie. Ak P (x) je nejaká vlastnosť, tak tvrdenie „existuje práve jedno x také, že P(x)", t. j. tvrdenie (3x)(P(x)&yy)(P(y) =>y = x)), skrátene zapisujeme v tvare (3\x)P(x). Toto tvrdenie je zrejme ekvivalentné s tvrdením (3x)yy)(P(y) &y = x). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0.2. Množiny Pod množinou rozumieme lubovolné jednoznačne vymedzené zoskupenie nejakých (často i značne rôznorodých) objektov - prvkov množiny - chápané ako jediný objekt. Množiny budeme väčšinou značiť veľkými latinskými písmenami, ich prvky malými písmenami. Tvrdenie „objekt x je prvkom množiny X", zapisujeme x G X; hovoríme tiež, že x patrí do množiny X. Tvrdenie „objekt x nie je prvkom množiny X", t. j. x nepatrí do množiny X, zapisujeme x ^ X. Množina je jednoznačne zadaná zoskupením svojich prvkov. Preto dve množiny, nezávisle od spôsobu ich zadania, považujeme za totožné, ak majú tie isté prvky. Pre ľubovoľné množiny X, Y teda platí x = Y <* (y x) (x G X <* xeY). Túto vlastnosť množín nazývame extenzionalitou. Hovoríme, že množina X je podmnožinou množiny Y, označenie X C y, ak každý prvok množiny X patrí aj do množiny Y, t. j. ICľ^ (y x) (x G X => xeY). Vzťah C nazývame vzťahom inklúzie Extenzionalitu množín teraz možno skrátene vyjadriť v tvare konjunkcie dvoch inklúzií X = Y <& ICľ&ľCI • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Kvantifikácie uvedené v predchádzajúcom paragrafe sa nazývajú neohraničené, lebo oblasť pôsobnosti kvantifikátorov v nich nebola nijako ohraničená. V matematike (i v bežnom živote) sa však častejšie vyskytujú ohraničené kvantifikácie, v ktorých je oblasť pôsobnosti príslušného kvantifikátora ohraničená nejakou množinou X. Ide o kvantifikácie tvaru (3x E X), (Vx E X) a (3\x E X), ktoré čítame postupne „existuje x z množiny X", „pre každé (pre všetky) x z množiny X", resp. „existuje práve jedno (jediné) x z množiny X". Tieto kvantifikácie možno vyjadriť pomocou neohraničených kvantifikácii nasledujúcim spôsobom: Ak P (x) je ľubovoľná vlastnosť a X je množina, kladieme (3xeX)P(x) <* (3x)(xeX& P (x)), (yxEX)P(x) <* (Vi)(iel => P (x)), (3\x E X)P{x) <* (3xeX) (P(x) & (Vy E X)(P(y) => y = x)). V poslednom prípade môžeme tiež použiť vyjadrenie (3\x E X)P{x) <* (3x E X)(Vy E X){P{y) <* y = x). Množinu nazývame konečnou, ak ju možno zadať vymenovaním všetkých jej prvkov. Ak X je konečná množina a X\, x2, ■ ■ ■ , xn sú všetky jej prvky, píšeme X = {Xl , X2, ■ ■ ■, Xnj. Z extenzionality potom vyplýva, že nezáleží na poradí vymenovania prvkov množiny X. Taktiež sa môže stať, že X má menej než n prvkov - v takom prípade sa niektoré z prvkov X\,... ,xn opakujú a v zápise množiny X môžeme (no nemusíme) opakujúce sa prvky až • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec na jeden z nich vynechať. Napríklad {x,y} = {y,x}, a ak x = y, tak {x,y} = {x} = {y}. Okrem množín, ktoré majú nejaké prvky, zavádzame aj tzv. prázdnu množinu 0, ktorá neobsahuje nijaký prvok. Z extenzionality vyplýva, že prázdna množina je touto podmienkou jednoznačne určená. Popri konečných množinách však v matematike často pracujeme i s nekonečnými množinami, t. j. takými, ktoré nemožno zadať vymenovaním všetkých ich jednotlivých prvkov. Takéto množiny zvykneme zadávať nejakou charakteristickou vlastnosťou. Ak P (x) je nejaká vlastnosť, píšeme X = {x; P(x)}, čím myslíme, že pre ľubovoľné x platí x E X práve vtedy, keď x spĺňa P (x). Z extenzionality vyplýva, že takto definovaná množina X je určená jednoznačne. Napríklad vlastnosťou „x je párne celé číslo" je určená množina všetkých párnych celých čísel. Poznamenajme, že z rovnosti X = {x; P (x)} ešte nijako nevyplýva, že množina X je nekonečná - rovnako dobre môže byť aj konečná, dokonca prázdna. Na tomto mieste je potrebné poznamenať, že uvedený princíp, ktorý nám umožňuje zadávať množiny akýmikoľvek vlastnosťami ich prvkov, vedie k logickým sporom, a je preto v uvedenej intuitívnej a neobmedzenej podobe nepoužitelný. Kedze sa však nehodláme púšťať do jeho upresňovania, čo by si vyžiadalo vybudovať základy axiomatickej teórie množín, nezostáva nám než čitateľovi vopred zaručiť, že všetky prípady použitia tohto princípu, ktoré sa v tomto texte vyskytnú, budú plne legálne z hľadiska teórie množín, a požiadať ho o dôveru. Zatiaľ stačí, ak prezradíme, že všetky množiny netvoria množinu, t. j. neexistuje množina všetkých množín. To znamená, že vlastnosťou „x je množina" nie je vymedzená nijaká množina. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Najčastejšie budeme spomínaný princíp používať na vymedzovanie podmnožin nejakej vopred danej množiny pomocou vlastností popísaných matematickými formulami. Ak M je množina a P (x) je nejaká (matematická) vlastnosť, tak existuje množina X všetkých tých prvkov x množiny M, ktoré majú vlastnosť P (x), t. j. množina X = {xE M; P (x)} = {x;xE M k P (x)}. Nech X, y sú ľubovoľné množiny. Prienikom, zjednotením, a rozdielom množín X, Y nazývame porade nasledujúce množiny: X n Y = {x; x E X k x E Y}, X U Y = {x; x E X V x E Y}, X\Y = {x; xeX kx<£Y}. Množiny X, Y nazývame disjunktně, ak X n Y = 0. Čitateľovi prenechávame, aby si sám premyslel základné vlastnosti uvedených množinových operácií. Pod usporiadanou dvojicou objektov x, y rozumieme objekt označovaný (x, y), taký, že pre všetky x, y, u, v platí: (x,y) = (u, v) -^ (x = u & y = v). Uvedomme si, že nepotrebujeme vedieť, čo je „naozaj" usporiadaná dvojica (x, y), dôležitá je len uvedená vlastnosť. Analogicky zavádzame pre ľubovoľné celé číslo n > 2 usporiadanú n-ticu (xi,..., xn) tak, že pre všetky x\,..., xn, y\,...,yn platí (xi,..., xn) = (yi,..., yn) <^ {xi=yx k ... k xn = yn). • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Množiny X x Y = {{x,y); xeX kyEY}, Xi x ... x Xn = {(xi,... ,xn); X\ E Xi & ... & xn E Xn} nazývame karteziánskym súčinom množín X, Y, resp. množín Xi,... ,Xn. V prípade, že Xi = ■ ■ ■ = Xn = X, píšeme Xľ x ... x Xn = Xn. Pre úplnosť ešte kladieme Xľ=X, X° = {0}. Xn nazývame n-tou karteziánskou mocninou množiny X. Počet prvkov konečnej množiny X budeme značiť # X. Taktiež prázdna množina je konečná a platí #0 = 0. Pre nekonečnú množinu X píšeme #X = oo. Zrejme pre ľubovoľné konečné množiny X, Y platí #(iuľ) = #i + #ľ-#(inľ), #(Ixľ) = #I.#ľ. Z poslednej rovnosti vyplýva, že #(x™) = (#xr pre každé celé číslo n > 0 a konečnú množinu X. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0.3. Zobrazenia Zobrazením alebo tiež funkciou z množiny X do množiny Y rozumieme ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku x množiny X priradí jednoznačne určený prvok y množiny Y. Zápis / : X —► y označuje, že / je zobrazenie (funkcia) z X do y. Ten jednoznačne určený prvok y E Y, ktorý zobrazenie / priradí prvku x E X, budeme značiť f (x), prípadne len f x alebo fx. Vo vzťahu y = f (x) nazývame x nezávisle premennou alebo argumentom a y závisle premennou alebo funkčnou hodnotou funkcie /. Píšeme tiež / : x i—► y. Dve zobrazenia f, g : X ^ Y sa rovnajú, ak pre každé x E X platí f (x) = g (x). Množinu všetkých zobrazení z množiny X do množiny Y budeme označovať Yx; teda Yx = {/;/: X - Y}. Toto označenie je motivované vzorcom pre počet prvkov množiny Yx. Pre konečné množiny X, Y totiž platí #(y*) = (#y)<#*). (Samostatne si rozmyslite prečo!) Zobrazenie / : X —► X sa nazýva transformáciou množiny X alebo tiež unárnou (t. j. jednomiestnou) operáciou na množine X. Zobrazenie / : X —► y sa nazýva prosté alebo tiež injektívne či injekcia, ak rôznym prvkom Xi,X2 G X priraďuje rôzne prvky f(x\), f(x2) E Y, t. j. ak platí (\/xi,x2 E X)(xi ^ x2 => f(xi) ^ f(x2)). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Uvedenú podmienku možno ekvivalentne vyjadriť v tvare (V2ľi,2ľ2 e X)(f(xi) = f(x2) => xi = x2). Zobrazenie / : X —► Y sa nazýva zobrazenie na množinu Y alebo tiež surjektívne či surjekcia, ak na každý prvok množiny Y sa zobrazí nejaký prvok množiny X, t. j. ak platí (VyeY)(3xeX)(y = f(x)). Hovoríme, že / : X —► Y je prosté zobrazenie X na Y alebo tiež bijektívne zobrazenie či bijekcia, ak / je zároveň prosté a na, t. j. injektívne i surjektívne. Ešte inak to môžeme vyjadriť podmienkou (VyeY)(3\xeX)(y = f(x)). Namiesto uvedených pojmov niekedy tiež hovoríme, že / je vzájomne jednoznačné zobrazenie množiny X na množinu Y. Ak / : X —► Y je bijekcia, tak existuje jednoznačne určené zobrazenie g : Y —► X, ktoré každému y G y priradí ten jediný prvok x G X, pre ktorý platí y = /(x). Toto zobrazenie nazývame inverzným zobrazením k zobrazeniu / a označujeme ho /_1. Zrejme f~l : y —► X je tiež bijekcia a pre všetky x E X, y E Y platí /-1(/(x))=X, f(f-\y))=y. Nech / : X —► y, g:y^Zsú zobrazenia. Kompozíciou zobrazení /, g alebo aj zloženým zobrazením z f a g rozumieme zobrazenie označené ako g o / : X —► Z, dané pre každé x G X predpisom (9°f)(x) =g(f(x)). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Zložené zobrazenie možno znázorniť pomocou tzv. komutatívneho diagramu x i 9° f (Všimnite si, že zobrazenie g o f zapisujeme „v obrátenom poradí" - najprv totiž na prvok x aplikujeme / a až potom g. Núti nás k tomu zaužívaná konvencia, podľa ktorej argument x píšeme napravo od funkcie /. Poznamenajme, že niektorí autori dávajú prednosť „prirodzenému poradiu" a kompozíciu zobrazení f : X ^ Y, g : Y ^ Z, zapisujú ako fog. Kvôli tomu však opúšťajú spomínanú konvenciu a namiesto f (x) píšu xf. V tomto duchu fungujú napr. niektoré kalkulačky.) Skladanie zobrazení je asociatívne v nasledujúcom zmysle: ak / : X —► Y, g :Y —► Z a h : Z —► W sú zobrazenia, tak h o (g o /) = (h o g) o f. Ľahko totiž nahliadneme, že obe zobrazenia priradia prvku x E X prvok h(g(f(x))) E W. Na každej množine X máme definované identické zobrazenie klx : X —► X, nazývané tiež identita na X, také, že klx (x) = x pre každé x E X. Zrejme idx je bijekcia pre každé X, a pre ľubovoľné zobrazenie / : X —► Y • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec platí f oidx = f = idy of. Pre / : X —► X kladieme f2 = f0f,f3 = f°f°f, at ď. Kvôli úplnosti definujeme aj f1 = f, f° = klx- Zobrazenie fn nazývame n-tou iteráciou zobrazenia f. Ak / : X —► Y je bijekcia, tak k nej inverzné zobrazenie f~l : Y ^ X teraz môžeme charakterizovať rovnosťami rio/ = idx, fof-i = \áY. Čitateľ sám ľahko nahliadne, že pre ľubovoľné zobrazenia f : X ^ Y, g :Y ^ Z platí: (a) Ak /, g sú injektívne, tak aj g o / je injektívne. (b) Ak /, g sú surjektívne, tak aj g o / je surjektívne. (c) Ak /, g sú bijektívne, tak aj g o / je bijektívne. (d) Ak g o f je injektívne, tak aj / je injektívne. (e) Ak g o f je surjektívne, tak aj g je surjektívne. (f) Ak g o f je bijektívne, tak / je injektívne a g je surjektívne. Podmienka (c) nás oprávňuje zaviesť pre bijekcie / : X —► X aj záporné iterácie rn = (rT = (/T1- Nech / : X —► Y je nejaké zobrazenie a A C X. Zúžením zobrazenia f na množinu A nazývame zobrazenie f \ A : A ^ Y také, že (m)(s) = /(aO • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec pre každé x E A. Obrazom množiny A v zobrazení / nazývame množinu f (A) = {f (x); x e A} C Y. Špeciálne, množinu f (X) nazývame obrazom zobrazenia f a značíme ju Im/ = f (X) = {fix); x E X}. Pre f: X^Y&ACX platí Im(/ í A) = f (A); zrejme / je surjekcia práve vtedy, keď im/ = y, Podobne, vzorom množiny B Cľ v zobrazení / : X —► Y nazývame množinu f-\B) = {xeX;f(x)eB}CX. Pre ľubovoľné A C X, B C Y možno jednoducho overiť inklúzie AC f-1 (f(A)), f{r\B))CB. 0.4. Binárne operácie Ak X, Y, Z sú množiny, tak zobrazenie /:lxľ->Z nazývame binárnou (t. j. dvojmiestnou) operáciou na množinách X, Y s hodnotami v množine Z. Binárne operácie väčšinou označujeme znakmi umiestňovanými medzi hodnoty argumentov, ako napr +, •, o, * a pod. Hodnotu takej operácie na dvojici prvkov x E X, y E Y potom označujeme x + y, x ■ y (prípadne len xy), x o y, x * y a pod. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Podobným spôsobom možno zaviesť aj n-miestne operácie X\ x ... x Xn —► Y, prípadne Xn —► Y, či Xn —► X pre ľubovoľné celé číslo n > 0. Najčastejšie budeme pracovať s binárnymi operáciami tvaru / : X x X —► X, ktoré nazývame jednoducho binárnymi operáciami na množine X. Binárna operácia * na množine X sa nazýva asociatívna, ak pre všetky x, y, z E X platí x * (y * z) = (x * y) * z. Asociativita operácie nám dovoľuje vynechávať zátvorky a písať len x * y * z. Podobne si možno počínať i v prípade viacerých argumentov. Binárna operácia * na množine X sa nazýva komutatívna, ak pre všetky x, y E X platí x * y = y * x. Prvok e G X sa nazýva neutrálny prvok binárnej operácie * na množine X, ak pre všetky x E X platí x*e = e*x = x. Zrejme neutrálny prvok operácie * (ak existuje) je určený jednoznačne. Keby totiž e\, e2 G X boli dva neutrálne prvky, tak nevyhnutne ei = ei * e2 = e2. Ak binárna operácia * na množine X má neutrálny prvok e a k danému prvku x E X existuje prvok y E X taký, že x*y = y*x = e, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec hovoríme, že y je inverzný prvok k prvku x. Ak * je asociatívna binárna operácia na X, tak aj inverzný prvok k danému prvku x G X (pokiaľ existuje) je určený jednoznačne. Keby totiž yi, y2 boli dva inverzné prvky k x, tak Vi = Vi * e = yi * (x * y2) = (yi * x) * y2 = e * y2 = y2. Napríklad pre ľubovoľnú množinu X kompozícia o je asociatívna binárna operácia na množine Xx všetkých transformácií množiny X. Zrejme ak j^X > 2, tak táto operácia nie je komutatívna. Identické zobrazenie idx G Xx je neutrálnym prvkom operácie o. K danému zobrazeniu / G Xx existuje inverzný prvok práve vtedy, keď / je bijekcia; v tom prípade je ním inverzné zobrazenie f~l G Xx. Binárnu operáciu * na konečnej množine X možno zadať pomocou tzv. multiplikatívnej tabuľky, ktorej stĺpce i riadky sú označené prvkami množiny X. Do poľa tabuľky ležiaceho v priesečníku x-tého riadku a y-tého stĺpca vpíšeme hodnotu x * y. Napr. tabulkami 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 sú zadané dve asociatívne a komutativně operácie + a • na množine {0,1,2,3,4}. Ďalej 0 je neutrálny prvok operácie + a 1 je neutrálny prvok operácie •. Navyše ku každému prvku • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec a tejto množiny existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu +: k prvkom 0, 1, 2, 3, 4 sú to postupne prvky 0, 4, 3, 2, 1. Pokiaľ ide o operáciu •, vidíme, že k prvku 0 neexistuje inverzný prvok; k prvkom 1, 2, 3 však inverzné prvky existujú: sú to postupne 1, 3, 2. Komutativitu binárnej operácie možno ľahko nahliadnuť z jej multiplikatívnej tabulky -prejaví sa symetriou tabuľky podľa hlavnej diagonály spájajúcej ľavý horný a pravý dolný roh. Taktiež neutrálny prvok možno odhaliť na prvý pohľad, lebo v jeho riadku i stĺpci sa zreproduje riadok resp. stĺpec zo záhlavia tabuľky. Ak už poznáme neutrálny prvok, možno overiť aj existenciu inverzného k danému - treba nájsť neutrálny prvok v riadku i v stĺpci daného prvku. Ak sa nám to podarí pre dvojicu polí tabulky, ktoré ležia v stĺpci resp. riadku toho istého prvku, tak ide o hľadaný inverzný prvok. Asociatívnosť, žiaľ, tak jednoducho nahliadnuť nemožno. 0.5. Permutácie Kým znalosť predchádzajúcich paragrafov je nevyhnutným predpokladom, aby čitateľ mohol začať so štúdiom kapitoly 1, tento paragraf budeme potrebovať až neskôr, keď začneme preberať determinanty. Nech X je ľubovoľná množina. Permutáciou množiny X rozumieme ľubovoľné bijektívne zobrazenie o : X —► X. Množinu všetkých permutácií množiny X značíme S (X). Ak X je konečná množina, tak počet prvkov množiny S S (X) je daný známym vzťahom # a(j), - každú takú dvojicu (i, j) nazývame inverziou permutácie a. Identitaidx má 0 inverzií ap(idx) = ln~l-2n~2■.. .-(n—l)1 = V.-21- ...■ (n- 1)! >0. Stačí teda dokázať, že počet inverzií permutácií a a a o r sa líši o nepárnu hodnotu. Nech 1 < k < l < n sú tie dva prvky, ktoré vymieňa transpozícia r. Potom _ / 1 ... k ... / ... n \ a-{a(l) ... a(k) ... a(l) ... a{n) ) > _ f 1 ... k ... / ... n \ aOT-{a(l) ... a(l) ... a(k) ... a(n) J ' Inverzie (i, j) permutácie a, v ktorých nevystupuje k ani /, sú tiež inverziami permutácie a o r. Inverzie, v ktorých vystupujú prvky i, k, a i, l, kde i ^ k, l, alebo obe súčasne vzniknú alebo súčasne zaniknú v a o r oproti a. Konečne, pokiaľ (k, l) nebola inverziou v a, stane sa ňou v a o r; pokiaľ ňou bola, táto inverzia v a o r zanikne. Teda celkový rozdiel počtu inverzií permutácií c a c o r je nepárny. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0.6. Ekvivalencie a rozklady Podobne ako predošlý, i tento paragraf môže čitateľ zatiaľ preskočiť. Jeho znalosť bude potrebná až neskôr, v súvislosti s niektorými otázkami teórie grúp. S pojmom ekvivalencie sa síce stretneme už predtým, dovtedy ho však nebudeme systematicky využívať. Nech ~ je nejaký dvojmiestny vzťah, do ktorého vstupujú prvky nejakého oboru objektov Af (tento obor môže, ale nemusí byť množinou). Zápisom x ~ y značíme, že prvky x, y E Af sa nachádzajú vo vzťahu ~; ak sa x, y E Af nenachádzajú v tomto vzťahu, píšeme X^y. Hovoríme, že vzťah ~ je na obore Af (a) reflexívny, ak pre všetky x E Af platí x ~ x; (b) symetrický, ak pre všetky x, y E Af platí x ~ y =/- y ~ x; (c) tranzitívny, ak pre všetky x, y, z E Af platí x~y&y~z =/- x~z. Vzťah ~, ktorý je reflexívny, symetrický a tranzitívny na obore Af, nazývame vzťahom ekvivalencie alebo len krátko ekvivalenciou na obore Af. Ekvivalencie budeme väčšinou značiť znakmi ~, «, = a pod. Každý vzťah ekvivalencie na nejakej množine či obore objektov M. predstavuje isté hľadisko, z ktorého považujeme niektoré prvky z Al za rovnocenné, t. j. ekvivalentné, a iné nie. Napr. na množine všetkých hracích guličiek v danej jamke možno zaviesť vzťah ekvivalencie, v ktorom sa nachádzajú ľubovoľné dve guličky práve vtedy, keď majú rovnakú farbu. Vzťah, v ktorom sa nachádzajú dve takéto guličky práve vtedy, keď majú rovnakú hmotnosť, je iným príkladom ekvivalencie na tejto množine. Jedným dychom však poznamenajme, že uvedené príklady neslobodno brať príliš vážne, lebo rovnocennosť sa v nich mieša s podobnosťou, - „naozajstné" ekvivalencie predstavujú • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec len v značne idealizovanom prípade. S reflexívnosťou a symetriou nie je problém, v reálnom živote však zvykne zlyhať tranzitivnost'. Môžeme sa napríklad zhodnúť, že guličky a, b majú rovnakú farbu, a takisto majú rovnakú farbu guličky b, c. No farba guličiek a, c sa nám už rovnakou zdať nemusí. Podobne môžeme v rámci presnosti našich váh dospieť k záveru, že guličky p, q ako aj guličky q, r majú rovnakú hmotnosť. Avšak hmotnosť guličiek p, r sa nám už vážením môže podariť rozlíšiť. Lepším príkladom ekvivalencie je tak vzťah na množine všetkých bankoviek danej meny, v ktorom sa nachádzajú dve bankovky práve vtedy, keď majú rovnakú nominálnu hodnotu. Na rozdiel od reálneho života sa v matematike nemusíme trápiť podobnými ťažkosťami. Všetky ekvivalencie, s ktorými sa tu stretneme, budú mať v plnej miere všetky tri uvedené vlastnosti. Ešte jeden príklad za všetky: vzťahom x ~ y -^ \x\ = \y\ je definovaná ekvivalencia „mať rovnakú absolútnu hodnotu" na množine C všetkých komplexných čísel. Nech ~ je ekvivalencia na množine X. Pre x E X označme x = {u E X; u ~ x} množinu všetkých prvkov u E X ekvivalentných s x, ktorú nazývame triedou alebo blokom ekvivalencie prvku x. Zrejme pre ľubovoľné x E X platí x E x. Ľahko tiež možno dokázať (skúste sami), že x~y -^ x = y -^ x E y ■$$■ y E x -^ žfly^0 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec pre všetky x, y G X. Množinu X/~ = {x; x G X} všetkých tried ekvivalencie prvkov množiny X nazývame faktorovou množinou množiny X podľa ekvivalencie ~. (Podotýkame, že v zhode s paragrafom 0.2 sa každá trieda x nachádza v množine X/~ iba raz, i keď prvkov y G X, pre ktoré platí x = y, môže byť mnoho.) Priradením x i—► x je definované surjektívne zobrazenie X —► X/~, ktoré nazývame prirodzenou alebo tiež kanonickou projekciou množiny X na faktorovú množinu X/~. Na faktorovú množinu X/~ sa možno dívať dvojakým spôsobom. Jednak ako na výsledok stotožnenia či zlepenia navzájom ekvivalentných prvkov množiny X; v takom prípade sa na bloky x dívame predovšetkým ako na prvky, ktoré vznikli „stiahnutím" celej triedy x do jediného bodu, a vedome si nevšímame fakt, že sú to zároveň množiny. Použitím názvu „faktorová množina" naznačujeme, že v danej chvíli dávame tomuto pohľadu prednosť. Na druhej strane sa na množinu X/~ možno dívať ako na rozklad množiny X na navzájom disjunktně neprázdne množiny x. Rozkladom množiny X nazývame ľubovoľný systém (t. j. množinu) jej neprázdnych podmnožin TZ taký, že každý prvok množiny X padne do práve jednej množiny zo systému Tulnými slovami, systém 1Z neprázdnych podmnožin množiny X je jej rozkladom práve vtedy, keď spĺňa nasledujúce dve podmienky: (1) zjednotením všetkých množín A G 1Z je celá množina X, t. j. (Vx G X)(3 A G 71)(x G A); (2) množiny z TZ sú navzájom disjunktně, t. j. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (V A, B e n)(A í B => A n B = 0). Ľahko možno nahliadnuť, že faktorová množina X/~ množiny X podľa ekvivalencie ~ je zároveň rozkladom množiny X, ktorý je tvorený triedami navzájom ekvivalentných prvkov. Taktiež naopak, každý rozklad TZ množiny X určuje predpisom x~ny <* (3AeTZ)(x,y e A) ekvivalenciu na množine X. Inak povedané, prvky x, y E X sú vo vzťahu ekvivalencie určenej rozkladom TZ práve vtedy, keď sa nachádzajú v tej istej (jednoznačne určenej) množine z tohto rozkladu. Čitateľovi prenechávame, aby si samostane overil, že takto definovaný vzťah ~k je reflexívny, symetrický a tranzitívny, t. j. má všetky tri požadované vlastnosti ekvivalencie, ako aj rovnosť X/^n = 7£, t. j. že rozklad (faktorová množina) určený ekvivalenciou ~-r. splýva s pôvodným rozkladom TZ. 0.6.1. Príklad. Rozklad prislúchajúci k spomínanej ekvivalencii x ~ y -^ \x\ =\y\ na množine C je vlastne rozkladom komplexnej roviny na navzájom sústredné kružnice so stredom v počiatku 0 a ľubovoľným polomerom r > 0 (kružnicu s nulovým polomerom prirodzene stotožňujeme s jej stredom). 0.7. O matematických dôkazoch Matematika je veda vybudovaná prevažne (hoci nie výlučne) deduktivně. To znamená, že v tej-ktorej matematickej teórii vychádzame z určitých základných pojmov, ktoré považujeme za intuitívne jasné vďaka istým s nimi spojeným názorným predstavám. Ďalšie • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec pojmy potom definujeme pomocou pojmov základných alebo skôr definovaných. Základné pojmy označujú základné objekty, ktoré tvoria predmet nášho štúdia, alebo určité základné vzťahy medzi nimi. Tieto objekty a vzťahy sú charakterizované istými východzími tvrdeniami, ktorým hovoríme axiómy. V najjednoduchších prípadoch je platnosť axióm jasná z názoru, ktorý stojí v pozadí príslušnej teórie. V zložitejších prípadoch však môžu názorné predstavy zlyhať - vtedy sa na axiómy dívame ako na implicitné definície základných pojmov. To znamená, že rezignujeme na otázku, čo „naozaj" označujú základné pojmy. Môžu označovať čokoľvek, čo spĺňa dané axiómy - to je všetko, čo o nich predpokladáme. Zisk z takéhoto prístupu spočíva v univerzálnosti matematiky - aj výsledky matematických teórií sa potom vzťahujú na veľmi rôznorodé oblasti reality. Totiž na tie, v ktorých možno interpretovať základné pojmy danej teórie tak, že sú pritom splnené jej axiómy. Pri deduktívnej výstavbe nejakej teórie vyvodzujeme ďalšie poznatky z jej axióm logickými prostriedkami, t. j. dokazujeme ich. Týmto dokázaným poznatkom hovoríme vety, tvrdenia, lemy a dôsledky, čím naznačujeme rôzny stupeň dôležitosti, ktorý im pripisujeme. Názvom veta označujeme tie najdôležitejšie z nich, menej dôležité nazývame tvrdeniami a tvrdenia pomocného charakteru označujeme ako lemy. Dôsledky, ako už samotný názov napovedá, pripájame ako bezprostredné dôsledky niektorých viet, tvrdení či liem, pokiaľ ich význam nedosahuje úroveň viet. Poznamenajme, že toto rozdelenie má značne subjektívny charakter a vývoj ho často zvykne prekonať. Mnohé vety časom upadajú do zabudnutia, kým naopak mnohé lemy postupne nadobúdajú na význame. Základným prostriedkom odvodzovania nových poznatkov v deduktívnej teórii je dôkaz. V tomto paragrafe sa veľmi stručne zoznámime s hlavnými typmi matematických dôkazov: s priamym dôkazom, s nepriamym dôkazom a s dôkazom sporom. Uvidíme, že toto rozdelenie • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec tak trochu súvisí so stratégiou vedenia príslušného dôkazu. V nasledujúcom paragrafe sa ešte zoznámime s dôkazom matematickou indukciou. Väčšina matematických tvrdení má tvar implikácie P => Q, t. j. tvrdí sa v nich, že z predpokladu P vyplýva záver Q. Pritom predpoklad P je často konjunkciou nejakých dielčích predpokladov, čiže má tvar P1 Sz ... & Pn. Na tomto mieste sa obmedzíme na niekoľko poznámok o dôkazoch tvrdení takéhoto tvaru. 0.7.1. Priamy dôkaz. Pri priamom dôkaze implikácie P =>- Q dokazujeme (či sa aspoň pokúšame dokázať) záver Q z predpokladu P. Spočiatku sa snažíme dokázať priamo záver Q z daných axióm a už skôr dokázaných tvrdení. Postupujeme pri tom tak ďaleko, ako sa len dá, pričom jedným očkom stále poškuľujeme po predpoklade P, či dielčích predpokladoch Pi,..., Pn. Vo chvíli, keď už nevieme ako ďalej, siahneme po tom z dielčích predpokladov P, ktorý nám umožní pohnúť sa dopredu. Opäť postupujeme ďalej a vo vhodnej chvíli zasa použijeme niektorý dielčí predpoklad P,- (nie nevyhnutne rôzny od Pi). Ak sme úspešní, nakoniec sa nám podarí dospieť k záveru Q, čím dôkaz končí. Ak sme neúspešní, musíme to skúsiť inak, prípadne sa zamyslieť nad otázkou, či spomínaná implikácia vôbec platí. Môže sa stať, že pri našom úspešnom dôkaze sme nepoužili všetky dielčie predpoklady Pi,..., Pn, ale povedzme prvý a posledný z nich sme nepotrebovali. To znamená, že miesto pôvodného tvrdenia (Pi & P2 & ... & Pn-\ & Pn) =>- Q sme dokázali silnejšie tvrdenie (P2 & ... & Pn-\) =>■ Q- 0.7.2. Nepriamy dôkaz. Pri nepriamom dôkaze implikácie P =>- Q dokazujeme miesto nej logicky ekvivalentnú tzv. transponovánu implikáciu ->Q =>- ->P práve opísanou metódou priameho dôkazu. Za tým účelom býva často užitočné (pokiaľ to ide) rozčleniť predpoklad • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec -iQ na konjunkciu dielčích predpokladov R\ & ... & Rm. Ak pôvodný predpoklad P bol konjunkciou dielčích predpokladov Pi & ... & Pn, tak jeho negácia -P je ekvivalentná s alternatívou -Pi V ... V -P„. Potom transponovaná implikácia ->Q =>- -P je logicky ekvivalentná s ľubovoľnou z implikácií ("■Q & Pi & ... & P-l & P+l & . . . & Pra) => -nPi, kde 1 < i < n. Nový záver -ip sa, samozrejme, usilujeme vybrať čo najvýhodnejšie, na čo neexistuje jednoznačný recept, no časom sa nám azda podarí nadobudnúť cit, ktorým sa budeme môcť riadiť. 0.7.3. Dôkaz sporom. Dôkaz sporom do istej miery pripomína nepriamy dôkaz a často sa s ním zvykne zamieňať. Najmä začiatočník by mal k nemu siahnuť až vtedy, keď sa mu priamy ani nepriamy dôkaz nedarí, prípadne keď v ňom skrsne podozrenie, že dokazované tvrdenie neplatí. Namiesto dokazovanej implikácie P =>- Q prijmeme predpoklad P & ->Q, ktorý je logicky ekvivalentný s jej negáciou -i(P =>- Q). Tento predpoklad sa usilujeme doviesť k sporu, čím sa myslí nejaký logicky absurdný záver, ako napr. x y^ x, alebo spor s niektorým z pôvodných predpokladov P, ->Q, prípadne spor s niektorou z axióm alebo s niektorým zo skôr dokázaných tvrdení. Na rozdiel od priameho alebo nepriameho dôkazu, dôkaz sporom nemá vopred stanovený smer určený nejakým známym záverom - ten by sa mal objaviť až v jeho priebehu. Ak sa ani pokus doviesť k sporu predpoklad P & ->Q neskončí úspešne, je namieste pokúsiť sa ho dokázať, to znamená vyvrátiť pôvodnú hypotézu P =^> Q. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0.7.4. Dôkaz ekvivalencie. Niekedy sa nám môže podariť dokázať ekvivalenciu P ^ Q postupnosťou logicky ekvivalentných krokov, no to je skôr výnimka než pravidlo. Vo všeobecnosti si jej dôkaz vyžaduje dokázať zvlášť každú z implikácií P =>- Q, Q =>- P. Pritom na každú z nich možno použiť ľubovoľnú z troch skôr spomínaných metód. Často sa jedna z uvedených implikácií dokazuje priamo a druhá nepriamo, teda dôkaz uvedenej ekvivalencie pozostáva napr. z priamych dôkazov implikácií P =>- Q a ->P =>- ->Q. V našom kurze sa neraz stretneme s vetami, v ktorých sa tvrdí ekvivalencia viacerých podmienok Pi,..., Pn. V tom je zahrnutých n(n — 1) jednotlivých implikácií Pi =>- P j pre rôzne i, j < n. Dokazovať ich všetky by pre n > 3 bolo značne neefektívne a taktiež zbytočné. Stačí totiž dokázať n implikácií tvoriacich cyklus P■ P...=>• Pa(n-1) =>" P" P P(n+1)), t. j. ak n je ľubovoľné prirodzené číslo, ktoré má vlastnosť P, tak aj číslo n + 1 má vlastnosť P. Štruktúru dôkazu matematickou indukciou tak možno zhrnúť do schémy (P(0) & (Vn G N)(P(ra) => P(ra + 1))) => (Vn G N)P(ra). V bode 2° sa vlastne tvrdí platnosť všetkých implikácií P(0) =>- P(l), P(l) =>■ P(2), P(2) =>- P(3), .... Z bodu 1° a prvej z nich vyplýva P(l), z toho spolu s druhou implikáciou dostávame P(2), z čoho pomocou tretej implikácie plynie P(3), at ď. Princíp matematickej indukcie je logicky ekvivalentný so zdanlivo očividným princípom dobrého usporiadania, ktorý tvrdí, že každá neprázdna množina A C N má najmenší prvok. Kedze pre väčšinu študentov býva tento princíp ľahšie prijateľný než princíp indukcie, predvedieme ako možno princíp indukcie z neho dokázať. Dôkaz princípu dobrého usporiadania z princípu indukcie prenechávame na rozmyslenie čitateľovi. Predpokladajme teda platnosť princípu dobrého usporiadania. Nech P je vlastnosť taká, že platí P(0) a(Vne N) (P (n) => P (n + 1)). Označme A = {n G N; ->P(ri)}. Ak neplatí (V n G N) P (n), tak A ^ 0. Nech m je najmenší prvok množiny A. Potom zrejme m/Oa • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec m — 1 ^ A, teda platí P (m — 1). No keďže P (m — 1) =>• P (m), platí P (m), čiže m ^ A, čo je spor. Z pedagogických dôvodov sa budeme (najmä spočiatku) pri dôkazoch indukciou odvolávať radšej na princíp dobrého usporiadania než na princíp indukcie, a tomu tiež podriadime redakciu dôkazu. Poznámka, (a) Niekedy je potrebné miesto počiatočného tvrdenia 1° osobitne dokázať niekoľko prvých tvrdení P(0), P (í), ■ ■ ■, P (k) a potom prejsť k dôkazu modifikovaného tvrdenia 2°, totiž (Vn > k)(P(n) => P{n+ľ)). (b) Indukciou možno dokazovať aj tvrdenia tvaru (Vn > m) P (n), kde m je nejaké pevné prirodzené číslo. Stačí dokázať mierne upravené verzie tvrdení 1° a 2°: P (m) a (Vn > m)(P(n) => P(ra+1)). (c) Pri dôkaze indukciou možno bod 2° nahradiť tvrdením (VraeN)((P(0) & ... & P(ra)) => P(ra+1)). Inak povedané, pri dôkaze záveru P (n + 1) v bode 2° sa nemusíme opierať len o predpoklad P (n), ale v prípade potreby môžeme ako predpoklady použiť všetky predchádzajúce tvrdenia P(0),..., P (n). Takýto dôkaz indukciou sa vlastne riadi schémou (y n G N)((Vfc < n) P (k) => P (n)) => (Vn G N)P(ra). Rozmyslite si, ako je predpoklad 1°, t. j. tvrdenie P(0), už zahrnutý v predpoklade novej schémy pre n = 0, t. j. v tvrdení (V/í; < Q) (P (k) =>- P (Q))- Ďalej si premyslite, ako možno transpozíciou uvedenej implikácie priamo dostať matematickú formuláciu princípu dobrého usporiadania. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0.8.2. Rekurzia. Princíp matematickej indukcie sa používa nielen na dôkazy tvrdení o prirodzených číslach. Možno ho použiť aj na konštrukciu rôznych, či už konečných alebo nekonečných postupností. V takom prípade miesto indukcie budeme radšej hovoriť o postupnosti definovanej či zostrojenej rekurziou. Nech X je množina a F je zobrazenie, ktoré každej konečnej postupnosti, (usporiadanej n-tici) (x\,..., x n) prvkov z X (akejkoľvek dĺžky n E N) priradí nejaký prvok F(x\,... ,xn) E X. Pomocou zobrazenia F možno zostrojiť nekonečnú postupnosť (ara)^0 prvkov z X tak, že položíme a0 = F(ß), an+1 = F(a0,ai,... ,an) pre každé n E N. V takom prípade, hovoríme, že postupnosť (an) je definovaná rekurziou pomocou zobrazenia F. Druhú rovnosť možno samozrejme zapísať v tvare an = F(a0, ci\,..., a„_i) pre n > 0. Taktiež možno definíciu rekurziou obmedziť len na nejaký počiatočný úsek 0,1,... ,n množiny prirodzených čísel a dostať tak rekurziou konečnú postupnosť (oq, ). Niekedy rekurziu začíname nie od nuly ale od jednotky, prípadne od ľubovoľného prirodzeného čísla k. Prvým členom postupnosti (an) zostrojenej rekurziou pomocou zobrazenia F je prvok a0 = F($) E X. Ďalšie členy potom vyzerajú takto: a\ = F(a0), a2 = F(a0,ai), a3 = F{a,o, di, (I2), ■ ■ ■, an = F{a,o, • • •, dri-i), On+i = F[ao,..., an), atd. Najčastejšie sa stretáme s prípadom, keď sa pri rekurzívnej konštrukcii člena an+\ nepoužíva celá predchádzajúca časť postupnosti (ao,... ,an) ale len jej posledný člen an. Napríklad v aritmetickej postupnosti reálnych čísel s počiatočným členom a0 a diferenciou • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec d platí an+i = an + d; podobne rekurentný vzťah pre geometrickú postupnosť reálnych čísel s počiatočným členom a0 a kvocientom q má tvar ara+1 = qan. Iným známym číselným príkladom je tzv. Fibonacciho postupnosť (0n)^LO) ktorej re-kurzívna definícia 4>0 = 4>1 = 1, 4>n+2 = 4>n + 4>n+l používa dva predchádzajúce členy. Rozmyslite si, ako táto definícia zapadá do našej všeobecnej schémy. 0.8.3. Príklad. Bellove čísla sú definované rekurziou B0 = 1, Bn+i = y j í jBk, pri ktorej sa využívajú všetky predchádzajúce členy. Pre istotu pripomíname, že ín\ n\ n(n — 1)... (n — k + 1) \k) = k\(n-k)\ = k\ označuje binomický koeficient alebo kombinačné číslo udávajúce počet všetkých fc-prvko-vých podmnožin n-prvkovej množiny. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Vypočítame niekolko počiatočných hodnôt Bellových čísel: Bo = l, B,= Qä, = 1, ß2= (o)Bo+(l)Bl=2' *=(o)ß»+(l)Bl+(2)B2 = 5' A = (o) * + (3 * + G) * + (3) * + (J) * = K, ft = (0)* + (l)B' + (2)ft + (3)ft + (4)ft + (5)* = 203- - Matematickou indukciou teraz dokážeme, že počet všetkých rozkladov n-prvkovej množiny (teda aj ekvivalencií na n-prvkovej množine) je rovný číslu Bn. Zrejme na prázdnej možine existuje jediný rozklad TZ = 0. Predpokladajme teraz, že pre každé k < n existuje práve Bk rozkladov fc-prvkovej množiny. Všetky rozklady (n + l)-prvkovej množiny {0,1,... ,n} možno získať nasledujúcim spôsobom: (1) zvolíme si ľubovoľné k < n a ľubovoľnú fc-prvkovú podmnožinu A množiny {1,... , n} - to pre dané k možno urobiť práve (^) spôsobmi; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (2) vezmeme lubovolný rozklad 1Z množiny A - ten podľa indukčného predpokladu možno vybrať práve Bk spôsobmi - a množinu A' = {0,1,..., n} \ A pridáme k pôvodnému rozkladu TZ. Zrejme sme takto získali nejaký rozklad TZa = TZU{A'} (n+1) -prvkovej množiny {0,1,... ,n}, pričom každý rozklad S množiny {0,1,... ,n} má tvar S = TZa pre jednoznačne určenú dvojicu {JZ, Ä). Všetkých rozkladov (n + l)-prvkovej množiny teda je Yľk=o (k)^k = Bn+i- Cvičenia 0.1. Pre ľubovoľné množiny X, Y sú nasledujúce štyri podmienky ekvivalentné: (i) X C Y, (ii) X n Y = X, (iii) X U Y = Y, (iv) X \ Y = 0. Dokážte. 0.2. Vzťah inklúzie je reflexívny a tranzitívny, t. j. pre ľubovoľné množiny X, Y, Z platí: (a) X C X; (b)ÍCľfeľCZ4ÍCZ Dokážte. Nájdite príklad dosvedčujúci, že nie je symetrický. 0.3. Nech Z = {..., —2, —1,0,1, 2,... } označuje množinu všetkých celých čísel. Pre každé O^iieZ označme nZ = {nx; x G Z} množinu všetkých celých čísel deliteľných číslom n. Dokážte, že pre ľubovoľné nenulové celé čísla m, n platí (a) mZ C nZ -<=> m je násobkom n; (b) mZ = nZ <í=> |m| = |n|; (c) mZ n nZ = kí,, kde k je najmenší spoločný násobok čísel man; (d) Môže pre niektoré m, n nastať rovnosť mZ n nZ = 0, prípadne mZ n nZ = {0}? Zdôvodnite. 0.4. Pre ľubovoľné množiny X, Y, Z platí • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec inľ = ľni, xuY = Yi)X, x n (Y n Z) = (x n Y) n z, xu(Yu z) = (xuY)u z, xnx = x, xux = x, x n 0 = 0, x u 0 = x, x n (Y u z) = (x nY) u (x n z), x u (Y n z) = (x uY) n (x u z), X \ X = 0, X \ 0 = X, in(ľ\i) = l, iu(ľ\i) = iuľ, (xnľ)\Z=(X\Z)n(ľ\Z), (xuľ)\Z = (i\Z)u(ľ\ z), l\(ľnž) = (l\ľ)u(l\Z), l\(ľuz) = (l\ľ)n(l\ Z), (i\ľ)\Z = i\(ľuz), i\(ľ\Z) = (i\ľ)u(in4 (i\ľ)nz = (inz)\ľ, (i\ľ)uz = (iuz)\(ľ\Z). Dokážte. Pomenujte niektoré z uvedených vlastností binárnych operácií n, U a \ (komutatívnosť, asociatívnosť, ...). 0.5. Pre ľubovoľné množiny X, Y, Z platí X x (Y n Z) = (X x Y) n (X x Z), X x (Y U Z) = (X x Y) U (X x Z), X x (Y \ Z) = (X x Y) \ (X x Z), X x 0 = 0. Dokážte. Napíšte analogické vzťahy distributivnosti karteziánskeho súčinu vzhľadom na operácie prieniku, zjednotenia a množinového rozdielu pri násobení sprava. 0.6. Nech X, Y, Z sú ľubovoľné množiny. Nájdite čo najprirodzenejšiu bijekciu a k nej inverzné zobrazenie medzi každou z nasledujúcich dvojíc množín (množina V (X) všetkých podmnožin množiny • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec X z časti (f) sa nazýva potenčná množina množiny X): (a) X x Y, Y x X; (b) X x (Y x Z), (X x Y) x Z; (c) (X x Y)z, Xz x Yz; (d) XY*Z, (XY)Z; (e) X™, Xíi.-.»}; (f) {0,1}^,P(X) = {A;ACX}; (g) Iľuz,íľxIM; (h) xYxXz,X(YxWMZx™. 0.7. Nech R označuje množinu všetkých reálnych čísel. Funkcie /, g, h : R —> R sú dané predpismi /(x) = (x + l)2, gr(x) = 1 — sin2x, h(x) = e~x. Napíšte a zjednodušte predpisy pre zložené funkcie f ° f, f°9, 9° f, f°h, ho f, g o h, hog, f o g o h, ho go f, g o f o h a, g o h o f. 0.8. Nech f : X —>Y, g :Y ^ Z sú lubovolné zobrazenia. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Ak /, g sú injektívne, tak aj g o f je injektívne. (b) Ak /, g sú surjektívne, tak aj g o f je surjektívne. (c) Ak /, g sú bijektívne, tak aj g o f je bijektívne. (d) Ak g o f je injektívne, tak aj / je injektívne. (e) Ak g o f je surjektívne, tak aj g je surjektívne. (f) Ak g o f je bijektívne, tak / je injektívne a g je surjektívne. Na príklade ukážte, že v prípade (f) g nemusí byť injektívne ani / surjektívne. Čo z toho vyplýva pre prípady (d) a (e)? 0.9. Pre ľubovoľné zobrazenia f : X —>Y, g :Y ^ Z a. množiny A C X, B C Z dokážte rovnosti: (a) (gof)(A) = g(f(A)); (b) (g o f)~\B) = f-\g-\B)). 0.10. Nech / : X —> Y je ľubovoľné zobrazenie. Potom pre všetky A, B C X, C, D C Y platí (a) KB4 f (A) C f (B); (b) CCD ^ f~\C) C f~\D); (c) f(AnB)Cf(A)nf(B); (d) f~\C C\ D) = f~\C) n /-!(£>); • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (e) f(AuB) = f(A)Uf(B); (f) r1 (CU D) = f~\C) U f-^D); (g) f (A \ B) D f (A) \ f (B); (h) r1(C\JD) = /-1(C)\/-1(£>); (i) rW))^; (j) /(/-1(0)CC. Dokážte. Na príkladoch sa presvedčte, že inklúzie v prípadoch (c), (g), (i) a (j) nemožno zameniť rovnosťami. Ukážte, že rovnosť pre všetky A, B C X je v ľubovoľnom z prípadov (c), (g) a (i) ekvivalentná s injektívnoťou zobrazenia /. Podobne je rovnosť pre každé C C Y v prípade (j) ekvivalentná so surjektívnosťou /. 0.11. Nech f : X —> Y, g : Y ^ Z sú bijektívne zobrazenia. Potom (g o f)^1 = f^1 o g-1. Dokážte. Odvoďte z toho, že pre každú permutáciu a G Sn platí |y = y pre všetky x,y G X. Je táto binárna operácia na množine X asociatívna resp. komutatívna? Nájdite všetky ľavé a všetky pravé neutrálne prvky operácie >. (c) Predpokladajme, že e je jediným neutrálnym prvkom (či už ľavým, pravým alebo obojstranným) binárnej operácie * na množine X. Sformulujte pojmy ľavého a pravého inverzného prvku k danému prvku x G X. (d) Pomocou multiplikatívnej tabuľky nájdite príklad (neasociatívnej) binárnej operácie * na množine X, ktorá má jediný (obojstranný) neutrálny prvok e, pričom niektorý prvok a G X má jediný ľavý inverzný a dva rôzne pravé inverzné prvky, a iný prvok b G X má jediný ľavý inverzný no žiadny pravý inverzný prvok. Aké situácie môžu ešte nastať? (Pozri cvičenie 0.18.) (1 2 3 4 \ / 1 2 3 4 \ , a = I sú permutácie množiny {1, 2, 3, 4}. Vypočítajte permutácie «r-1, g^1 u o g, g o a, a o g~11 g o a^1 a g^1 o a o g. 0.14. Nech 1 < i < n G N. Permutácia a G Sn sa nazýva i-cyklus, ak na nejakej i-prvkovej množine {ai, a2,..., aj} C {1, 2,..., n} operuje cyklicky podľa schémy a : ax i—> a2 i—> ... i—> aj i—> ax a na zvyšku množiny {1,..., n} identicky, t. j. a(a) = a pre a G {1,..., n} \ {ai,..., aj}. Skrátene • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec píšeme a = (ai,..., aj). Dva cykly a = (ai,..., aj), ß = (bi,..., b j) sa nazývajú disjunktně, ak {ai,..., aj} n {6i,..., b j} = 0. Zrejme identickú permutáciu možno považovať za 1-cyklus a každá transpozícia je 2-cyklus. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Nech a, ß G Sn sú dva cykly. Potom a o ß = ß o a práve vtedy, keď cykly a, ß sú disjunktně alebo aspoň jeden z nich je 1-cyklus. (b) Každá permutácia a G Sn, je kompozíciou disjunktných cyklov a = «i o ... o afc. Ak do tejto kompozície zahrnieme aj všetky 1-cykly, tak uvedený rozklad je určený jednoznačne až na poradie jednotlivých cyklov. (Návod: Vytvorte cyklus (1, a (í), a2(l),..., 0, a označme Zn = {0,1,..., n — 1} = {x G Z; 0 < x < n}. Potom (Vx G Z)(3!z G Zn)(x =„ z). Dokážte. Toto jednoznačne určené z G Zn nazývame zvyškom po delení čísla x číslom n. (c) Pre ľubovoľné n G Z platí (V x, y, u, v G Z) (x =„ y h, u =„ v => x + u =n y + v & xu =n yv). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (d) Ako vyzerajú triedy rozkladu množiny Z podľa kongruencie =„? 0.17. Matematickou indukciou dokážte nasledujúce vzorce: (a) Eľ=i i = l + 2+...+n= \n(n + 1); (b) E"=iÍ(Í + 1) = 1 • 2 + 2 • 3 + .. . + n(n + 1) = |n(n + l)(n + 2); (c) ELi k2 = í2 + 22 + ... + n2 = \n(n + l)(2n + 1); (d) ELo'/fc = i + J^í"/^) 'x' ', (x 7^ 2k?r, k G Z); (f) Ep=o cosí537 = cosO + cosx + ... + cosnx = cosi-nx> J ™y~"+ w -1; (x ^ 2/c7r, A; G Z); (g) n =-------- nn+i /%-----------> (^n su Fibonacciho čísla). 0.18. (a) Priamym výpočtom overte, že binomické koeficienty (™) = ku™Lky vyhovujú rovnosti (™) = (n"k) a pravidlám Pascalovho trojuholníka, t. j. (™) = (™) = 1 a ("+1) = (^"J + (™) pre 1 < k < n. (b) Označme C(n, k) počet všetkých fc-prvkových podmnožin n-prvkovej množiny. Kombinatorickou úvahou dokážte, že aj tzv. kombinačné čísla C(n, k) vyhovujú pravidlám Pascalovho trojuholníka, t. j. Cín, 0) = Cín, n) = 1 a Cín +í,k) = Cín, k - 1) + Cín, k) pre 1 < k < n. (c) Na základe (a) a (b) odvoďte známy vzorec C [n,k) = (^). Kde treba pritom použiť matematickú indukciu? (d) Pre k > n dodefinujme (^) = Cín, k) = 0. Predpisom n*k = Cín, k) je tak definovaná binárna operácia na množine N. Je táto operácia komutatívna resp. asociatívna? Má nejaký ľavý resp. pravý neutrálny prvok? (Pozri cvičenie 0.12.) Ako je to s prípadnými ľavými či pravými inverznými prvkami? (e) Riešte úlohu (d) aj pre binárnu operáciu n» k = Cín + k, k) = nn. J' na množine N. 0.19. Matematickou indukciou dokážte princíp dobrého usporiadania množiny N (t. j. každá neprázdna • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec podmnožina A množiny N má najmenší prvok). (Návod: Transponujte implikáciu (V n G N) ((V A; < n) P (k) => P (n)) => (V n G N)P(n), a nahraďte vlastnosť P(n) vlastnosťou n ^ A.) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1. Polia a vektorové priestory V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekolko jednoduchých základných tvrdení. Ide štruktúry, ktoré zahŕňame pod pojem poľa a pojem vektorového priestoru. Prvky poľa budeme nazývať skaláry, a niekedy len čísla. Fyzikálne ich možno interpretovať ako hodnoty fyzikálnych veličín, ktoré sú určené iba svojou veľkosťou a znamienkom. Prvky vektorového priestoru, t. j. vektory, zasa zodpovedajú fyzikálnym veličinám, ktoré sú okrem velkosti určené tiež smerom a orientáciou. 1.1. Základné číselné obory Predpokladáme, že čitateľ pozná základné číselné obory, ako sú prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla a komplexné čísla. Každý z týchto číselných oborov tvorí množinu. Dohodneme sa, že ich budeme označovať tzv. tučnými tabuľovými písmenami: N - množina všetkých prirodzených čísel, Z - množina všetkých celých čísel, Q - množina všetkých racionálnych čísel, R - množina všetkých reálnych čísel, C - množina všetkých komplexných čísel. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Ešte poznamenajme, že i nulu považujeme za prirodzené číslo, t.j. 0 G N. Imaginárnu jednotku (ktorá je prvkom C \ E) budeme značiť i. Konštatovaním, že uvedené číselné obory tvoria množiny, sme však ich štruktúru zďaleka nevyčerpali. Omnoho dôležitejšie je, že na každej z týchto množín sú definované dve binárne operácie, sčítanie + a násobenie ■. Pritom na každej z uvedených množín sú obe tieto operácie asociatívne a komutativně. Navyše, násobenie je (z oboch strán) distributivně vzhľadom na sčítanie, t. j. pre všetky prvky x, y, z príslušnej množiny platí x (y + z) = xy + xz, (x + y) z = xz + yz. číselný obor N je v porovnaní s obormi Z, Q, R a C akýsi „chudobnejší" - kým rovnice tvaru x+a = b majú v oboroch Z, Q, E, C riešenie x = b—a pre ľubovoľné a, b, v N je takáto rovnica riešiteľná len ak a < b. Obory Q, E a C sú však „bohatšie" nielen v porovnaní s N no i so Z - rovnice tvaru ax = b majú v oboroch Q, E, C riešenie pre ľubovoľné a ^ 0 a b, kým v N či Z sú riešiteľné len ak a je deliteľom b. Nás budú zaujímať práve vlastnosti číselných oborov Q, E a C s operáciami sčítania a násobenia. Pritom využijeme, že uvedené operácie na týchto oboroch majú rad spoločných vlastností, čo nám umožňuje skúmať ich do velkej miery jednotným spôsobom a súčasne. To dosiahneme tým, že sformulujeme abstraktný pojem poľa, pod ktorý zahrnieme všetky spomínané prípady, ako i mnohé ďalšie, ktoré sa nám objavia až akosi dodatočne. Ako sme spomínali už v úvode, práve takýto prístup je charakteristický pre algebru, presnejšie, v ňom spočíva jej podstata. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1.2. Polia Poľom nazývame množinu K s dvoma význačnými prvkami - nulou 0 a jednotkou 1-a dvomi binárnymi operáciami na K - sčítaním + a násobením ■ - takými, že platí (ya,b E K)(a + b = b + a), (ya,b E K)(a- b = b-a), (y a,b,c E K)(a+ (b + c) = (a + b) + c), (y a,b,c e K) (a- (b ■ c) = (a ■ b) -c), (yaeK)(a + 0 = a), (ya E K){l ■ a = a), (ya E K)(3b E K)(a + b = 0), (Va G X \ {0})(3 6 G K)(a ■ b = 1), (Va, 6, c e .ŕO(a • (6 + c) = (a • 6) + (a • c)), M 1- Teda sčítanie a násobenie v poli sú komutativně a asociatívne operácie a násobenie je distributivně vzhľadom na sčítanie. Ďalej 0 je neutrálny prvok sčítania a 1 je neutrálny prvok násobenia, pričom tieto dva prvky sú rôzne. Jednoducho možno nahliadnuť, že prvok b E K taký, že a + b = 0, t. j. inverzný prvok vzhľadom na operáciu sčítania, je k danému prvku a E K určený jednoznačne (pozri paragraf 0.4). Tento jednoznačne určený prvok k danému a označujeme —a a nazývame opačný prvok k a. Miesto a + (—b) zvykneme písať len a — b. Takisto prvok b E K taký, že a ■ b = 1, je k danému O^aeiř určený jednoznačne - označujeme ho a~l alebo -, prípadne l/a a nazývame inverzný prvok k a alebo prevrátená hodnota prvku a. Miesto a ■ b~l píšeme tiež | alebo a/b. Znak násobenia budeme väčšinou vynechávať a násobenie bude mať prednosť pred sčítaním, teda napr. miesto (a ■ b) + c budeme písať len ab + c. Asociatívnosť nám umožňuje vynechávať zátvorky a súčty či súčiny ľubovoľných konečných postupností prvkov poľa jednoznačne zapisovať v tvare a\ + a2 + ■ ■ ■ + an resp. a\ ■ a2 ■ ■ ■ ■ ■ an prípadne len a\a2 ■ ■ ■ an; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec komutatívnosť nám navyše dovoluje nestarat' sa o poradie sčítancov resp. činiteľov. Kvôli úplnosti sa dohodneme, že pre n = 1 sa oba uvedené výrazy rovnajú a\\ pre n = 0 kladieme prázdny súčet rovný 0 a prázdný súčin rovný 1. Ak a\ = ... = an = a, tak miesto cl\ + ... + an píšeme na a miesto a\... an len an. Teraz si ukážeme, ako možno niektoré najzákladnejšie pravidlá počítania, na ktoré sme zvyknutí v číselných oboroch Q, R a C, odvodiť len z axióm poľa. Zhrnieme ich do nasledujúceho tvrdenia. Okrem iného z neho vyplýva, že k 0 nemôže v poli existovať inverzný prvok (podmienka (c)). 1.2.1. Tvrdenie. Nech K je pole. Potom pre ľubovoľné n E N a a,b,c,b\,... ,bn E K platí (a) a + b = a + c =^> b = c, (b) (ab = ac & a ^ 0) =^> b = c, (c) a0 = 0, (d) ab = 0 => (a = 0 V 6 = 0), (e) —a = (—l)a, (í) a(b — c) = ab — ac, (g) a(bi + ... + bn) = abi + ... + abn. Dôkaz, (a), (b) Kedze obe podmienky možno dokázať v podstate rovnako, urobíme to len pre druhú z nich. Z ab = ac vyplýva a~lab = a~1ac. Ľavá strana sa rovná b a pravá c. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (c) aO + aO = a(0 + 0) = aO = aO + 0. Podľa (a) z toho vyplýva a0 = 0. (d) Nech ab = 0. Potom podľa (c) ab = 0 = aO. Ak a^O, tak podľa (b) z toho vyplýva 6 = 0. (e) Vďaka jednoznačnosti opačného prvku k a stačí overiť, že (— l)a + a = 0. Jednoduchý výpočet dáva (— ľ)a + a = (— ľ)a + la = (—1 + í)a = 0a = 0 podľa (c). (f) Podľa (e) a(b — c) = a(b + (—l)c) = a& + a(—l)c = a& + (— í)ac = ab — ac. (g) Rovnosť zrejme platí pre n = 0, 1, 2. Keby neplatila pre všetky prirodzené čísla, označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré existujú a,b\,... ,bn E K také, že uvedená rovnosť neplatí. Potom n > 2 a pre n — 1 rovnosť platí. Preto a(6i + ... + 6ra_i + bn) = a(bi + ... + 6ra_i) + abn = abx + • • • + abn_x + «&«• To je však spor. Doplňme, že podmienky (a) a (b) sa nazývajú zákony o krátení pre sčítanie resp. násobenie v poli. Podmienka (e) nám umožňuje zaviesť ľubovoľné celočíselné násobky prvkov z poľa. Pre a E K, n E N kladieme (—n)a = —(na) = n(—a). Podobne možno pre nenulové prvky poľa zaviesť i ľubovoľné celočíselné mocniny. Pre 0 ^ a e ŕ, n 6 N kladieme a~n = (a")"1 = (a"1)™. Čitateľovi prenechávame, aby si sám odvodil nasledujúce rovnosti známe z bežných • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec číselných oborov: Oa = 0, la = a, a E K, n(a + b) = na + nb, a, b E K, n E Z, (m + n)a = ma + na, a E K, m, n E Z, (mn)a = m(na), a E K, m, n E Z, (mn)(ab) = (ma)(nb), a, b E K, m, n E Z, a° = 1, a1 = a, a E K, (ab)n = anbn, a,b E K, n E Z, n < 0 ^ a ^ 0 ^ b, am+n = aman^ a E K, m,nEZ, (m < 0 V n < 0) => a ^ 0, amn = (am^ fl G ^ m^n eZ, (m<0Vn<0) ^ a ^ 0, Ešte podotýkame, že v rovnostiach v prvom a šiestom riadku označujú 0 a 1 na ľavých stranách prirodzené čísla, t. j. prvky množiny N, kým 0 a 1 na pravých stranách v prvom riadku označujú prvky poľa K. Vzhľadom na to, že pre všetky tri príklady polí, s ktorými sme doteraz stretli, platí N C K, môže sa nám toto rozlíšenie zdať nepodstatné. Vo všeobecnosti však uvedená inklúzia platiť nemusí. Nech K je pole & L C K. Hovoríme, že L je podpole poľa K, ak 0,1 E L a pre všetky a,b E L platí a + b E L, ab E L, —a E L a, ak a ^ 0, tak aj a~l E L. Inak povedané, podpole poľa K je taká jeho podmnožina L, ktorá obsahuje nulu a jednotku a je uzavretá vzhľadom na sčítanie, násobenie, opačný a inverzný prvok. Zrejme každé podpole poľa K je s týmito operáciami zúženými z K na L i samo poľom. Hovoríme tiež, že pole K je rozšírením poľa L. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Zrejme pole Q je podpoľom poľa E i poľa C; pole C je rozšírením poľa Q aj E. Charakteristikou poľa K, označenie char K, nazývame najmenšie kladné celé číslo n také, že nl = 0; ak také n neexistuje, t. j. nl ^ 0 pre každé celé n > 0, hovoríme že K má charakteristiku oo (niektorí autori vtedy kladú char K = 0). Ak pole K je rozšírením poľa L, tak polia K a L majú tú istú jednotku, preto char K = char L. Zrejme char Q = charlR = char C = oo. 1.2.2. Veta. Nech K je pole. Potom char K je oo alebo prvočíslo. Dôkaz Kedze 0^1, zrejme char K > 1. Predpokladajme, že char K = n je zložené číslo. Potom existujú celé čísla k, l > 1 také, že n = kl. Kedze fc, / < n, je kl ^ 0 ^ 11. Na druhej strane (kl)(ll) = {kl)(l ■ 1) = nl = 0. Podľa tvrdenia 1.2.1.(d) z toho vyplýva kl = 0 alebo 11 = 0, čo je spor. 1.3. Polia Zp V tomto krátkom paragrafe si ukážeme príklady polí, ktorých charakteristika nie je oo. Z toho dôvodu sa tieto polia výrazne odlišujú od našich dôverne známych číselných polí. Presnejšie, pre každé prvočíslo p zostrojíme isté konečné pole Zp, ktoré má p prvkov a charakteristiku p. Na druhej strane, spomínané číselné polia (ako vôbec všetky polia nekonečnej charakteristiky) sú nekonečné. Poznamenajme, že pre každé prvočíslo p a kladné celé číslo k existuje pfc-prvkové pole s charakteristikou p ako aj nekonečné polia charakteristiky p. Ich konštrukcia však presahuje rámec nášho úvodného kurzu. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Pre potreby matematickej analýzy, teda aj z hľadiska fyzikálnych aplikácií, sú najdôležitejšími pólami E a C. Konečné polia však v súčasnosti zohrávajú dôležitú úlohu napr. v kódovaní a kryptografii. Pre každé kladné celé číslo n označme Zra = {k E N; k < n} = {0,1,..., n - 1}. Množinu Zra zo zrejmých dôvodov (pozri cvičenie 0.12) nazývame množinou zvyškových tried modulo n. Na tejto množine teraz zavedieme dve binárne operácie - sčítanie © a násobenie 0 (toto trochu ťažkopádne označenie budeme používať len v tomto paragrafe, neskôr sa vrátime k obvyklým + a •; v definícii však treba odlíšiť sčítanie a násobenie v Zra od príslušných operácií v Z). Pre a, b E Zra kladieme a © b = zvyšok po delení (a + b) : n, a 0 b = zvyšok po delení (ab) : n. Čitateľovi prenechávame na overenie (prípadne na uverenie), že © a 0 sú asociatívne a komutativně operácie na Zra a násobenie je distributivně vzhľadom na sčítanie. Ďalej 0 je neutrálny prvok sčítania a, pre n > 1, je 1 neutrálny prvok násobenia. Navyše Qa = n — a je opačný prvok k a E Zra \ {0}; pre a = 0 je samozrejme ©0 = 0. 1.3.1. Veta. Množina Zra s operáciami © a 0 je pole práve vtedy, keď n je prvočíslo. Dôkaz. Zrejme n je najmenšie kladné celé číslo také, že ral = 10...0 1 =0. ra-krát • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Preto, ak Zra je pole, tak charZra = n, a podľa vety 1.2.2. je n prvočíslo. Dokážeme, že Zp je pole pre každé prvočíslo p. Najprv overíme, že v Zp platí zákon o krátení (aQb = aQck a ^ 0) => b = c. Rovnosť aOb = aO c znamená, že číslo ab — ac = a(b — c) je deliteľné číslom p. Kedze p je prvočíslo, musí byť aspoň jedno z čísel a, b — c deliteľné číslom p. Nakolko 0 < a < p, môže to byť len b — c. Pre b, c E Zp to však znamená b = c. Zostáva overiť existenciu inverzného prvku ku každému O^ae Zp. Uvažujme postupnosť mocnín a1 = a, a2 = a 0 a, a3 = a 0 a 0 a, ..., at ď. Kedze o^O, z dokázaného krátenia vyplýva, že všetky jej členy sú nenulové. Pretože množina Zp je konečná, nemôžu byť všetky členy uvedenej postupnosti rôzne. Musia preto existovať kladné celé čísla k, l také, že ak = ak+l = ak 0 a1. Potom platí ak 0 a1 = ak 0 1, z čoho krátením dostávame a1 = 1. Kedze a1 = a Q a1-1, je a~l = a1-1 inverzný prvok k a. Multiplikativně tabuľky sčítania a násobenia v poli Z5 sme si ako príklady binárnych operácií uviedli v paragrafe 0.4). 1.4. Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore Vektory v rovine či v priestore si predstavujeme ako orientované úsečky, t. j. úsečky, ktorých jeden krajný bod považujeme za počiatočný a druhý za koncový - ten je označený šípkou. Pritom dve rovnako dlhé, rovnobežné a súhlasne orientované úsečky predstavujú ten istý vektor - hovoríme, že sú umiestneniami toho istého vektora. Ak si teda zvolíme nejaký • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec B C O u A Obr. 1.1. Vektorový rovnobežník pevný bod O, tak všetky vektory v rovine či priestore môžeme jednoznačne reprezentovať ako orientované úsečky O A s počiatkom v O, pričom ich koncom môže byť lubovolný bod A roviny či priestoru, bod O nevynímajúc - orientovaná úsečka 00 totiž predstavuje tzv. nulový vektor. Vektory v rovine i v priestore možno sčítať pomocou tzv. vektorového rovnoběžníka. Súčet vektorov u = O A, v = OB je potom znázornený orientovanou uhlopriečkou u+ v = OÚ rovnoběžníka, ktorého dve priľahlé strany tvoria úsečky O A, OB. Vektory možno taktiež násobiť ľubovoľnými skalármi, t. j. reálnymi číslami: ak c G ÍR a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná úsečka s počiatkom v O, ktorej dĺžka je |c|-násobkom dĺžky úsečky v, leží na tej istej priamke ako v a je orientovaná súhlasne s v, ak c > 0, resp. nesúhlasne s v, ak c < 0, (ak c = 0 alebo v je nulový vektor, tak, samozrejme, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec aj cv je nulový vektor, takže nezáleží na jeho smere ani orientácii). Ak si okrem počiatku O zvolíme v rovine či priestore ešte dve resp. tri súradné osi, t. j. navzájom kolmé priamky prechádzajúce počiatkom, a na každej z nich jeden bod v rovnakej jednotkovej vzdialenosti od počiatku, dostaneme pravouhlý súradnicový systém v rovine či v priestore. Každý bod roviny či priestoru je potom jednoznačne určený usporiadanou dvojicou, resp. trojicou svojich súradníc a tiež naopak, každá dvojica resp. trojica súradníc jednoznačne určuje nejaký bod roviny či priestoru. Taktiež každý vektor v rovine či v priestore je potom jednoznačne určený súradnicami svojho koncového bodu a tiež naopak ľubovoľná usporiadaná dvojica resp. trojica súradníc jednoznačne určuje nejaký vektor v rovine či priestore. Pri pevnom súradnicovom systéme tak možno množinu všetkých vektorov v rovine stotožniť s množinou ÍR2 a množinu všetkých vektorov v priestore s množinou M3. Ak (pri takomto stotožnení) u = («1,1(2) €E E2, v = (v\,v2) €= R2 sú dva vektory v rovine, tak ľahko nahliadneme, že pre ich súčet u+ v, daný vektorovým rovnobežníkom, platí u+ v= (ui,u2) + (v\,v2) = (Ui +Vi,U2 + v2). Ak c G E, tak pre skalárny násobok cu dostávame cu = c(u\, u2) = (ctíi, cu2). Podobne možno reprezentovať aj operácie súčtu a skalárneho násobku vektorov v priestore príslušnými operáciami na množine M3 všetkých usporiadaných trojíc reálnych čísel. Ešte si všimnime, že predpoklady kolmosti súradných osí a rovnosti jednotkových dĺžok v jednotlivých smeroch nehrali v našich úvahách nijakú úlohu. Stačí, aby systém súradných osí tvorili dve rôznobežné priamky (v rovine) resp. tri nekomplanárne priamky (v priestore) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec pretínajúce sa v počiatku O. Za jednotkové dĺžky v smeroch jednotlivých súradných osí možno zvoliť dĺžky ľubovoľných (nie nevyhnutne rovnako dlhých) úsečiek. Operácie súčtu vektorov a násobenia vektora skalárom majú rad vlastností, ktoré nie sú viazané len na ich špecifickú geometrickú reprezentáciu v rovine či priestore. Napríklad, prostredníctvom súradnicovej reprezentácie vektorov by sme ich mohli priamočiaro zovšeobecniť na usporiadané n-tice skalárov z ľubovoľného poľa K pre akékoľvek n E N. Tým by sme dostali akési „n-rozmerné vektorové priestory nad poľom K". V duchu algebry teraz zadefinujeme abstraktný pojem vektorového priestoru nad daným poľom, pričom budeme abstrahovať od akýchkoľvek súradníc aj „dimenzie". Podstatné budú pre nás len algebraické vlastnosti operácií súčtu vektorov a skalárneho násobku vektora. K spomínaným príkladom sa však budeme sústavne vracať. 1.5. Vektorové priestory Nech K je pole. Vektorovým alebo tiež lineárnym priestorom nad poľom K nazývame množinu V s význačným prvkom 0 a dvomi binárnymi operáciami - sčítaním + : V x V ^ V a násobením ■ : K x V —► V - takými, že platí • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (V x, y, z e V)(x + (y + z) = (x + y) + z)), (Vx, y G F)(x+y= y+x), (Vx G l/)(x+0 = x), (Vxe V)(3ye V)(x+y = 0), (ya,beK)(yxe V)(a-(b-x) = (ab)-x), (VxgF)(1-x=x), (VaGX)(Vx,yGF)(a-(x+y) = (a ■ x) + (a ■ y)), (Va,beK)(Vxe V)((a + b)-x= (a ■ x) + (b ■ x)). Ako si čitateľ asi všimol, skaláry značíme „obyčajnými" malými latinskými písmenami a vektory tučnými malými latinskými písmenami. Tejto implicitnej dohody sa budeme väčšinou držať, nie však za každú cenu. Kedykoľvek by nás obmedzovala, nebudeme váhať ju porušiť. I keď sčítanie skalárov v poli a sčítanie vektorov značíme rovnakým znakom +, ide o rôzne operácie. Podobne násobenie v poli a násobenie vektora skalárom sú rôzne operácie, hoci obe značíme •. Neskôr tento prístup dovedieme ešte ďalej, keď budeme rovnako značiť príslušné operácie a nuly v rôznych vektorových priestoroch. Rozlišovanie znakov pre nulu 0 G K a 0 G V, hoci tieto prvky plnia rovnakú funkciu v K resp. vo V, je tak trochu proti duchu tohto prístupu. Ide vlastne o zbytočný luxus, ktorý je však v zhode s prijatou dohodou o značení skalárov a vektorov. Z formálneho hľadiska pripomínajú axiómy vektorového priestoru axiómy poľa: sčítanie vektorov je opäť asociatívna a komutatívna binárna operácia na V s neutrálnym prvkom 0 G V, operácia násobenia vektora skalárom tiež spĺňa akúsi podmienku „asociatívnosti", • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1 E K je jej „neutrálnym prvkom" a platia dva „distributivně zákony". Je tu však jeden podstatný rozdiel - kým násobenie v poli K je binárnou operáciou na množine K, t. j. zobrazením • : K x K —► K, násobenie vo vektorovom priestore V nad poľom K nie je binárnou operáciou na V, ale binárnou operáciou • : K x V —► V. To nám však nebráni zaviesť obdobné dohody ako pre operácie v poli: i teraz bude mať násobenie prednosť pre sčítaním a znak násobenia budeme väčšinou vynechávať, t. j. písať napr. ax + y miesto (a ■ x) + y. Takisto budeme vynechávať zátvorky, ktorých umiestnenie neovplyvní výslednú hodnotu výrazov ako napr. v abx alebo a\X\ + ... + anxn. Posledný výraz budeme tiež značiť í=l a nazývať lineárnou kombináciou vektorov X\,..., xn s koeficientmi ci\,..., an. Špeciálne pre n = 1 to znamená J2i=1ciiXi = a\Xi\ kvôli úplnosti pre n = 0 ešte kladieme prázdnu lineárnu kombináciu J2i=1 cííXí rovnú 0. Podobne ako v prípade polí, možno z axióm vektorových priestorov odvodiť niektoré základne pravidlá pre počítanie so skalármi a vektormi. Predovšetkým prvok y E V taký, že x+ y = 0, je k danému x E V určený jednoznačne - značíme ho — cc a nazývame opačný vektor k x. Namiesto x+(—y) opäť píšeme len x—y. Tieto pravidlá zhrnieme v nasledujúcej analógii tvrdenia 1.2.1. 1.5.1. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. Potom pre ľubovoľné n E N, a, b, a\,..., an E K a x, y, z, Xi,..., xn E V platí (a) x+ y= x+ z => y= z, E • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (b) (ax = ay & a ^ 0) =>- x = y, (c) aO = 0 = Ox, (d) ax = 0 => (a = 0 V a; = 0), (ej -x= (-l)x, (f) a(x — y) = ax— ay, (a — b)x = ax — bx, (g) a(xi + ... + xn) = axi + ... + axn, (ax + ... + an)x = axx+ ... + anx. Dôkaz Všetky podmienky, s výnimkou druhej implikácie v (b), možno dokázať celkom analogicky ako príslušné časti tvrdenia 1.2.1. Dokážeme aj túto. Nech ax = bx a x ^ 0. Potom (a — b)x = ax — bx = 0. Podľa (d) z toho vyplýva a — b = 0, teda a = b. Práve definované vektorové priestory by sme presnejšie mohli nazvať „ľavými" vektorovými priestormi, lebo v operácii skalárneho násobku píšeme skalár vľavo od vektora. Celkom obdobne by sme mohli definovať aj „pravé" vektorové priestory, v ktorých by sme operáciu skalárneho násobku chápali ako zobrazenie V x K ^ V & zapisovali ju v tvare x- a alebo len xa pre x E V, a E K. Vďaka komutatívnosti násobenia v poli K si však môžeme dovoliť chápať naše „ľavé" vektorové priestory zároveň ako „pravé". Pre všetky a E K, x E V jednoducho položíme xa = ax. Jediný problém - zabezpečiť pre všetky a, b E K, x E V rovnosť (ab) x = (ba) x, ktorá z takejto definície vyplýva výpočtom (ab) x = a(bx) = a(xb) = (xb)a = x(ba) = (ba) x, (ax = bx & x ^ 0) =^ a = b, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec - je vyriešený práve v dôsledku komutatívnosti násobenia v K. Teda, ak sa nám v operácii skalárneho násobku vyskytne skalár vpravo od vektora, nemusí nás to vyviesť z miery -kľudne ho môžeme prehodiť vľavo a ani o zátvorky sa nemusíme príliš starať. 1.6. Príklady vektorových priestorov 1.6.1. Rozšírenia polí. Zrejme každé pole K možno považovať za vektorový priestor nad sebou samým. Všeobecnejšie, ak pole L je rozšírením poľa K, tak L možno považovať za vektorový priestor nad poľom K (formálne stačí „zabudnúť" násobenie niektorých dvojíc prvkov a, b E L a súčin ab pripustiť len pre a E K, b E L). Podobným spôsobom možno vektorový priestor V nad poľom L zúžením násobenia L x V —► V na násobenie KxV ^ V prerobiť na vektorový priestor nad poľom K. 1.6.2. n-rozmerné riadkové a stĺpcové vektory nad daným poľom. Pre ľubovoľné pole K a n E N množina Kn = {(xi,... ,xn); xi,... ,xn E K} všetkých usporiadaných n-tíc prvkov z K spolu s operáciami x+y= (xi,...,xn) + (yi,...,yn) = (xx + yu ... ,xn + yn), C*L C\X i, . . . , Xnj yCX \, . . . , CXnJ , kde x = (xi,... ,xn) E Kn, y = (y1,... , yn) E Kn a c E K, tvorí vektorový priestor nad poľom K. Zrejme usporiadaná n-tica 0n = (0,..., 0) hrá úlohu nuly v Kn. Ak bude • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec potrebné rozlíšiť nulové vektory v priestoroch Kn pre rôzne prirodzené čísla n, budeme pre nulu v Kn používať označenie 0n. Opačný prvok k x = (x\,... ,xn) E Kn je zrejme «C \%l j • • • j %n) y "C 1 j • • • j -En) Hovoríme, že operácie na Kn sú definované po zložkách. Prvky tohto vektorového priestoru nazývame n-rozmerné riadkové vektory nad poľom K. Kvôli úplnosti ešte poznamenajme, že vektorový priestor K° pozostáva z jediného prvku 0, predstavujúceho „usporiadanú nulaticu", ktorá tak je nevyhnutne nulou v K°. Niekedy je (a väčšinou i bude) výhodnejšie pracovať s n-rozmernými stĺpcovými vektormi nad poľom K, t. j. s vektormi tvaru x X\ XiX%, í=0 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec kde ao,cii,... ,an-i,an G sú skaláry, nazývané koeficienty polynomu /, a an ^ 0; nulu 0 G K považujeme za polynom stupňa —la nenulové skaláry a G K za polynomy stupňa 0. Zrejme každý polynom f(x) definuje (rovnako značenu) funkciu / : K —► K danú predpisom c i—► f (c), t. j. dosadením konkrétnych hodnôt c G K za premennú x do polynomu /(x). Množinu všetkých polynómov v premennej x nad X stupňa nanajvýš n, kde -KíígZ, budeme značiť K ^n> [x]; množinu všetkých polynómov v premennej x nad X značíme K [x]. Ľubovoľný polynóm g (x) = ^™0 hx1 G X [x] stupňa m < n môžeme tiež písať v tvare g (x) = b0 + bix + ... + bmxm + 0xm+1 + ... + 0xn, t. j. v tvare g (x) = Yľí=obíx\ kde bi = 0 pre m < i < n. S použitím tejto konvencie možno definovať súčet f (x) + g (x) polynómov f (x) = Yľi=oaíx^ 9ÍX) = Y^iLa^ix% z K[x] predpisom max(m,ri) (f + 9)(x) = f(x)+g(x)= Yl («í + 6íK-Ak navyše c E K, kladieme TI (c/) (x) =cf(x)^2caix\ í=0 Ľahko možno nahliadnuť, že s takto po zložkách definovanými operáciami súčtu a skalár-neho násobku tvorí každá z množín polynómov J^"-** [x], kde — 1 < n G Z, ako i množina všetkých polynómov K [x] vektorový priestor nad poľom K. Štruktúrou vektorového priestoru sa však algebra polynómov nevyčerpáva. Popri súčte a skalárnom násobku možno na • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec K [x] definovať aj súčin f (x) g (x) uvedených polynómov f (x), g (x) predpisom m+n (í'9) (x) = f (x) g (x) = Y^ ckxk, fc=0 kde cfc = J2í=o aih-i- 1.6.4. Priame súčiny vektorových priestorov. Nech V\ a V2 sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Priamym súčinom (niekedy tiež vonkajším priamym súčtom) priestorov Vi, V2 nazývame množinu V\ x V2, t. j. karteziánsky súčin množín V\, V2, s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku definovanými po zložkách. Teda pre (ui, v?), (vi, v2) E Vi x V2, c E K kladieme (ill, «2) + (i>i, v2) = (tti + Vi,U2 + v2), c(ui,ti2) = (cui,c«2). Zrejme (0,0) je nulou tohto vektorového priestoru a —(ui,Vq) = (—Ui,— v?) je opačný prvok k (ui, v?). Čitateľovi prenechávame, aby si overil, že priamy súčin V\ x V2 s takto definovanými operáciami naozaj tvorí vektorový priestor nad poľom K, a taktiež, aby si premyslel, ako možno uvedenú konštrukciu zovšeobecniť na priamy súčin V\ x ... x Vn ľubovoľného konečného počtu vektorových priestorov V\,..., Vn nad K. Ak V = V\ = ... = Vn, tak píšeme V\ x ... x Vn = Vn a tento vektorový priestor nazývame n-tou priamou mocninou priestoru V. Pre V = K uvedená konštrukcia dáva nám už známy vektorový priestor Kn z 1.6.2, • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1.6.5. Vektorové priestory funkcií. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a X je ľubovoľná množina. Pripomeňme, že Vx označuje množinu všetkých funkcií / : X —► V. Teraz ukážeme, ako možno z tejto množiny urobiť vektorový priestor nad poľom K. Operácie súčtu a skalárneho násobku budeme definovať opäť po zložkách. To znamená, že pre /, g G Vx a c E K budeme definovať funkcie / + g G Vx a c f G Vx tak, že pre každé x G X položíme (f + g)(x) = f(x) + g(x), (c f) (x) =cf(x). Znovu možno ľahko nahliadnuť, že Vx s takto definovanými operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom K - nazývame ho vektorovým priestorom všetkých funkcií z X do V. Nulou vo Vx je funkcia 0 : X —► V identicky rovná prvku 0 G ľ; opačným prvkom k funkcii / G Vx je funkcia — / G Vx daná predpisom x i—► —f(x) pre x G X. V špeciálnom prípade pre V = K takto dostaneme vektorový priestor Kx všetkých funkcií z množiny X do poľa K. Ak X je pole všetkých reálnych prípadne komplexných čísel a X je napr. nejaký uzavretý interval (a, b) reálnych čísel, tak dostávame vektorové priestory funkcií IR^'^ resp. C^a'b\ ktoré sa hojne vyskytujú v matematickej analýze. Cvičenia Cvičenia 1-4 sú opakovaním základných poznatkov o komplexných číslach. 1.1. Vypočítajte: (a) (5 + 3i) + (7 - i), (b) (11 - 10i) - (8 - 5i), (c) (-2 + 5i) • (3 + 2i), (d) (4 - i) • (2 + 9i), (e) (12 + 5i)-1, (f)(7 + i)/(3-4i). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1.2. (a) Pre komplexné číslo x = a + bi, kde a, 6 G M, nazývame a = Rex, b = Im x jeho reálnou resp. imaginárnou časťou. Teda Re* aj Im x sú reálne čísla. Dokážte vzorce: Re(x + y) = Rex + Rey, Re(*y) = Re*Rey — Im x Im y, Im(x + y) = Im x + Im y, Im(*y) = Rex Im y + ImxRey. (b) Ak si v (reálnej) rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, môžeme každé komplexné číslo x = a + bi reprezentovať bodom či vektorom so súradnicami (a, b). Ak prostredníctvom bijekcie x i—> (Rex, Im x) stotožníme každé komplexné číslo s jeho obrazom a množinu C s rovinou (množinou R2), hovoríme o tzv. Gaussovej rovine. Znázornite čísla zo zadaní aj výsledkov cvičenia 1 v Gaussovej rovine. 1.3. Absolútna hodnota komplexného čísla x = a + bi, kde a, 6 G M, je definovaná ako |x| = a/«2 + b2, t. j. ako vzdialenosť bodu x od počiatku v Gaussovej rovine. Komplexne združené číslo k číslu x je x = a — bi, t. j. číslo súmerne združené s x podľa reálnej osi. (a) Nájdite absolútne hodnoty jednotlivých čísel zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1. (b) Dokážte nasledujúce vzťahy: Im x = —Im x; xy_1 = (xy)/ \y\ 2, (y ^ 0), xy = xy, \x + y\ < \x\ + \y\ . (c) V poslednom vzťahu nastane rovnosť práve vtedy, keď existuje nezáporné číslo c G M také, že x = cy alebo y = ex. Dokážte. 1.4. Každé komplexné číslo x možno vyjadriť v tzv. goniometrickom tvare x = r (cos a + i sin a), kde r = \x\ a a je uhol, ktorý (pre i^O) zviera v Gaussovej rovine „vektor" 01 s „vektorom" Ox (pre x = 0 vyhovuje ľubovoľné a G M). Rex = Re*, X : = *, x + y = * + y, |*| : = |*| , |*y| : =N \y\: • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (a) Pre i^O vyjadrite cosa a siná pomocou Rex, Imx a \x\. Dokážte, že a je určené jednoznačne až na sčítanec 2kir, kde A; G Z. (b) Pre x = r(cosa + i sin a), y = s(cos ß + i sin/?) platí xy = rs(cos(a + ß) + isin(a + /?)). Dokážte. (c) Matematickou indukciou dokážte tzv. Moivreovu vetu: (cosa + isina)™ = cos na + i sin na, pre každé n G N. Rozšírte jej platnosť na všetky n G Z. (d) Vyjadrite všetky čísla zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1 v goniometrickom tvare. (e) Pomocou Moivreovej vety vypočítajte (a/3 + i)11, (1 — i)~7. (f) Na základe Moivreovej vety napíšte vzorec pre všetkých n riešení binomickej rovnice xn = c, kde c G C. (Návod: Riešte najprv prípad \c\ = í.) (g) Nájdite všetky riešenia binomických rovníc x3 = (a/3 — i)/2, y4 = 1 + i a z5 = — 4 + 3i. 1.5. Podrobne dokážte vzťahy uvedené za dôkazom tvrdenia 1.2.1. Kde treba, použite matematickú indukciu. 1.6. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či množina A je podpolom poľa K. Svoje rozhodnutie zdôvodnite. (a) K = Q, A = Z; (b) K = R, A = Q[a/2~] ={a + 6a/2; a, 6 g Q}; (c) K = R, A= (-1,1); (d) K = C, A = Z[i] = {a + bi; a,b G Z}; (e) K = Zn, A = Z5; (f) K = C, A = Q[w] = {a + buj + au2; a, 6, c G Q}, kde uj= (-1+ía/3)/2. 1.7. Zostrojte multiplikativně tabuľky sčítania a násobenia v Zn pre 2 < n < 6. Na ich základe zdôvodnite, prečo Z4 a T,§ nie sú polia. 1.8. Vynechajme z definície poľa podmienku 0^ 1 a podmienku požadujúcu existenciu inverzného prvku vzhľadom na násobenie ku každému nenulovému prvku a G K. Množina K s význačnými prvkami 0,1 & K, vybavená binárnymi operáciami súčtu a súčinu, spĺňajúcimi zvyšné podmienky sa nazýva komutatívny okruh s jednotkou.1 Komutatívny okruh s jednotkou sa nazýva netriviálny, ak v ňom predsa len platí 0^1. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len komutatívny okruh. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (a) Z s obvyklými operáciami súčtu a súčinu je netriviálny komutatívny okruh s jednotkou. (b) Pre každé n G N, n ^ 0, je Zn so sčítaním a násobením modulo n komutatívny okruh s jednotkou. Tento okruh je netriviálny práve vtedy, keď n > 2. (c) Komutatívny okruh s jednotkou je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne prvky. 1.9. (a) V ľubovoľnom komutatívnom okruhu s jednotkou K zadefinujte výrazy tvaru na pre ľubovoľné n G Z, a G if rovnako ako v poli. Taktiež zadefinujte výrazy tvaru an pre n G N, a G if. Dokážte pre ne analogické tvrdenia, ako platia v poli. Čo je prekážkou definície an pre všetky n G Z? (b) Zadefinujte charakteristiku ľubovoľného komutatívneho okruhu s jednotkou rovnakým spôsobom ako v prípade poľa. (c) Dokážte, že pre komutatívny okruh s jednotkou K platí char if = 1 práve vtedy, keď K je triviálny. (d) Pre každé n G N, n ^ 0, platí char Zn = n. (e) Pre každé prvočíslo p zostrojte príklad komutatívneho okruhu s jednotkou, ktorý má charakteristiku p, no nie je poľom. (Návod: Pozri cvičenie 1.12.) 1.10. (a) Matematickou indukciou dokážte platnosť binomickej vety v lubovolnom komutatívnom okruhu s jednotkou K (teda aj v ľubovoľnom poli). To znamená, že pre všetky n G N, a, 6 G if platí n-li. i i I n \ „l.n-1 , in _ V^ / "" \„n-kik (a + br = a"+^íja^b+...+ ^n_íjab^ + b" = ^^kja (b) Predpokladajme, že charakteristikou komutatívneho okruhu s jednotkou K je prvočíslo p. Nech m G Z je násobkom p. Dokážte, že pre každé c G if platí mc = 0. (c) Na základe (a) a (b) dokážte, že v komutatívnom okruhu s jednotkou prvočíselnej charakteristiky p platí pre exponent n = p nasledujúci „populárny" variant binomickej vety: (a + b)p = ap + W. 1.11. Doplňte vynechané časti dôkazu tvrdenia 1.5.1. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 1.12. V každom z príkladov 1.6.1-5, podrobne overte, že uvedená množina s príslušnými operáciami tvorí vektorový priestor. 1.13. Rovnako ako v príklade 1.6.3, zadefinujte pre ľubovoľný komutatívny okruh s jednotkou K množinu K[x] všetkých polynómov v premennej x s koeficientmi z if a na nej operácie súčtu a súčinu. Dokážte, že K [x] s takto definovanými operáciami je opäť komutatívny okruh s jednotkou a platí char if [x] = char if. 1.14. Na množine R+ všetkých kladných reálnych čísel definujme nové „sčítanie" © ako násobenie, t. j. x © y = xy. Ďalej definujme novú operáciu „skalárneho násobku" © : R x R+ —> R+ ako umocňovanie, t. j. predpisom a © x = xa. Dokážte, že množina R+ s uvedenými operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom R. Čo je nulový vektor 0 G R+? Ako vyzerá opačný vektor ©x k vektoru x G R+? Vyjadrite pomocou pôvodných operácií násobenia a umocňovania lineárnu kombináciu (ax ©xi) © ... © (an ©xn), kde ai,..., an G R, x\,..., xn G R+. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2. Základy maticového počtu V tejto kapitole sa zoznámime s maticami, t. j. obdĺžnikovými tabulkami, pomocou ktorých budeme kódovať najrôznejšie dôležité údaje o vektorových priestoroch, a naučíme sa s nimi zaobchádzať. Niektoré operácie s maticami budú zatiaľ nemotivované, ich význam vyjde najavo až neskôr. Od čitateľa tak žiadame istú dávku trpezlivosti, podobnú tej, akú musí prejaviť prváčik na základnej škole, ktorý tiež musí najprv zvládnuť jednotlivé písmenká, potom sa naučiť, ako sa z nich skladajú slová, a až potom môže začať čítať zmysluplné texty. Tento vklad sa nám zúročí neskôr, keď nám umožní hladko napredovať a nezdržiavať sa pri nepodstatných otázkach. Pri prvom čítaní možno vynechať odstavce venované blokovým maticiam a maticiam nad vektorovými priestormi. Celkom postačí nalistovať si príslušnú časť až vo chvíli, keď sa s blokovými maticami stretneme v ďalších kapitolách. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.1. Matice nad danou množinou 2.1.1. Typy matíc. Nech X je ľubovoľná množina a m, n E N. Maticou typu mxn, alebo tiež m x n-rozmernou maticou nad množinou X rozumieme obdĺžnikovú tabuľku / all a12 • • • ďin \ (Í21 &22 . . . ß2ra A= . : .. : \ 0"ml Q"m2 ■ ■ ■ 0"mn / pozostávajúcu z prvkov množiny X. Skrátene tiež píšeme A = (aij)mxn, alebo len A = (%). Prvky a,ij E X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, sa nazývajú prvkami matice A. Prvok aij nachádzajúci sa v i-tom riadku a j-tom stĺpci matice A nazývame tiež prvok v mieste (i, j), prípadne (i,j)-ty prvok matice A. Množinu všetkých m x n-rozmerných matíc nad množinou X značíme Xmxn. Ak m = n, hovoríme o štvorcových maticiach rádu n nad množinou X. Poznamenajme, že v prípade, keď niektoré z čísel m, n je 0, množina Xmxn pozostáva z jedinej a to prázdnej matice 0. Neskôr sa ukáže rozumné stotožniť túto maticu s tzv. nulovou maticou. Aby sme sa vyhli trivialitám, budeme sa vždy baviť len o maticiach kladných rozmerov mxn, čitateľ by si však mal aspoň občas uvedomiť, že väčšina našich úvah si zachováva platnosť aj v prípade, keď m = 0 alebo n = 0. Dve matice nad množinou X považujeme za navzájom rovné alebo totožné, ak majú rovnaké rozmery a rovnaké prvky na príslušných miestach. To znamená, že pre matice A = (aij)mxn, B = (bij)pxq nad X kladieme A = B práve vtedy, keď m = p, n = q a pre všetky i = 1,..., m, j = 1,..., n platí a^ = b^. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Množina matíc typu 1 x n nad X splýva s množinou Xn, ak usporiadané n-tice prvkov z X zapisujeme do riadku. Podobne, ak usporiadné m-tice prvkov z X zapisujeme do stĺpca, tak množina matíc typu m x 1 nad X splýva s množinou Xm. Pokiaľ bude z kontextu jasné, či ide o riadky alebo stĺpce, prípadne, ak na tom nebude záležať, budeme písať jednoducho Xn, Xm a pod. Podrobnejšie označenie Xlxn, Xmxl a pod. budeme používať, len ak bude treba rozlíšiť riadky a stĺpce. 2.1.2. Riadky a stĺpce matice. Nech A = (a^) E Xmxn. Usporiadanú n-ticu ri(A) = (aii,ai2,...,ain) G Xlxn, kde 1 < i < m, nazývame i-tym riadkom matice A. Podobne, usporiadnú m-ticu Sj(A) a2j \&rnj/ kde 1 < j < n, nazývame j-tym stĺpcom matice A. Maticu A tak možno stotožniť so stĺpcom jej riadkov ako aj s riadkom jej stĺpcov, t. j. f a\\ a\2 0>2\ &22 Clin \ 0>2n \ 0"ml Q"m2 ■ ■ ■ 0"mn / fn(A)\ r2(A) \rm{A)J (s1(A),s2(A),...,sn(A)). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.1.3. Transponovaná matica. Maticu, ktorú získame z matice A = (aij)mxn záměnou jej riadkov a stĺpcov, nazývame transponovanou maticou k matici A a značíme ju AT. Teda trochu podrobnejšie \T (0>11 (Í21 Q>12 «22 \a\n Ü2n Qro2 O'mn/ To znamená, že A G Xrax"7' a prvok v mieste (i, j) matice A je a ■]%■ Zrejme pre ľubovoľnú maticu A E Xmxn platí (ATf = A. Transpozíciou matíc-riadkov z Xlxra dostaneme matice-stlpce z Xraxl a transpozíciou matíc-stlpcov z Xmxl matice-riadky z Xlxm. Na základe tejto poznámky možno nahliadnuť, že pre ľubovoľnú maticu A E Xmxn & 1 < i < m, 1 < j < n platí sAA1 n(Af, vAA+ s3(AY. Štvorcová matica A E Xnxn sa nazýva symetrická, ak A = AT, t. j. ak a^ = a^j pre všetky i, j = l,...,n. Postupnosť prvkov (au, 022, •••, cinn) nazývame diagonálou štvorcovej matice A. Transponovánu maticu k štvorcovej matici A zrejme získame „osovou súmernosťou" jej prvkov podľa diagonály. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.1.4. Blokové matice. Niekedy bude užitočné spojiť dve matice A E Xmxni, B E Xmxn2 s rovnakým počtom riadkov do jednej matice tak, že príslušné tabuľky jednoducho napíšeme vedľa seba. Výsledná matica je typu m x (n\ + n2) a značíme ju (A, B), prípadne (A \ B). Podobne možno spojiť dve matice A E XmiXn, B E Xm<2Xn s rovnakým počtom stĺpcov do jednej matice tak, že príslušné tabulky napíšeme pod seba. Výsledná matica je typu (mi + ttí-i) x n a značíme ju í J, prípadne Práve popísané konštrukcie sú príkladmi tzv. blokových matíc. Pôvodné matice, z ktorých takto vytvárame blokovú maticu, potom nazývame jej blokmi. Takisto môžeme vedľa seba resp. pod seba zoradiť väčší počet blokov, nie len dva. Naopak, niekedy sa môže ukázať účelné vyznačiť v danej matici nejaké menšie obdĺžnikové časti ako jej bloky. Vtedy hovoríme o tzv. blokovom tvare danej matice. Príkladom toho bol zápis matice A E Xmxn ako riadku jej stĺpcov, prípadne ako stĺpca jej riadkov. Uvedené dve schémy vytvárania blokových matíc „vedľa seba" a „pod seba" možno tiež kombinovať. Napr. z matíc An E XmiXni, Al2 E XmiXn2, A2l E Xm2Xni, A22 E Xm2Xn2 možno vytvoriť blokovú maticu An Aí2\ A2Í A22J typu (mi + m2) x (nľ + n2). Túto konštrukciu možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť i na väčšie systémy matíc. Voľne povedané, blokové matice sú vlastne matice, ktorých prvkami sú opäť matice, pričom všetky matice v tom istom riadku blokovej matice majú rovnaký počet riadkov a všetky matice v tom istom stĺpci blokovej matice majú rovnaký počet stĺpcov. Takto chápanú • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec blokovú maticu možno zapísať v tvare An ... Au\ Akí ■ ■ ■ Akí/ pričom jednotlivé bloky Aíj sú matice nad X rozmerov niiXUj, kde (mi,..., nik), (^i, • • •, ni) sú nejaké konečné postupnosti prirodzených čísel. Maticu nad množinou X z tejto „matice matíc" dostaneme tak, že si v A odmyslíme vnútorné zátvorky oddeľujúce jej jednotlivé bloky Aíj. 2.2. Matice nad daným poľom Na množine X, nad ktorou sme vytvárali príslušné matice, sme zatiaľ nepredpokladali nijakú ďalšiu štruktúru. Jednako na množinách matíc Xmxn sa nám pomerne bohatá štruktúra prirodzene vynorila. Všetky doposiaľ zavedené maticové operácie a vlastnosti však mali výlučne pozičný charakter - zakladali sa na reprezentácii každej matice ako príslušnej obdĺžnikovej tabulky. Ďalšie maticové operácie a vlastnosti, ktoré hodláme zaviesť a neskôr využívať, už budú podmienené prítomnosťou istej štruktúry na množine X. Najdôležitejší a, až na pár výnimiek, vlastne jediný druh matíc, ktorými sa budeme v tomto kurze zaoberať, tvoria matice nad nejakým poľom. Teda v celom paragrafe K označuje pevne zvolené, inak však ľubovoľné pole. V súlade s predošlým paragrafom Kmxn, kde m, n E N, označuje množinu všetkých matíc typu m x n nad poľom K. (^ kxl • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.2.1. Vektorový priestor matíc. Pre pevné m, n E K budeme na množine matíc Kmxn definovať po zložkách operácie súčtu a skalárneho násobku. Teda pre matice A = (a,ij)mxn, B = (bij)mxn nad K a c E K položíme A -\- ÍJ = [ttij + Oij)mxn> CJí [CClij )mxn- Podotýkame, že súčet matíc A + B je definovaný len pre matice A, B rovnakého typu a samotná matica A + B je toho istého typu ako A a B. Neutrálnym prvkom operácie sčítania na Kmxn je matica typu mxn, ktorej všetky prvky sú nulové; nazývame ju nulová matica typu mxn a označujeme ju 0TO;ra, prípadne len 0, keď jej rozmer je jasný z kontextu alebo na ňom nezáleží. Opačným prvkom k matici A = (aij)mxn je zrejme matica — A = (—aij)mxn. Čitateľ si iste sám ľahko overí, že matice ľubovoľného pevného typu mxn nad poľom K s takto definovanými operáciami súčtu a skalárneho násobku tvoria vektorový priestor nad poľom K. Odteraz teda Kmxn už označuje nielen množinu takýchto matíc, ale príslušný vektorový priestor. Nám už známe vektorové priestory Klxn a Kmxl riadkových resp. stĺpcových vektorov sú zrejme špeciálnymi prípadmi vektorových priestorov matíc. 2.2.2. Násobenie matíc. Okrem štruktúry vektorového priestoru na množine matíc pevného typu mxn budeme definovať aj operáciu násobenia matíc, ktorá spája matice rôznych, „vhodne do seba zapadajúcich" rozmerov. Pod vplyvom doterajšieho výkladu čitateľ po takomto nadpise asi očakáva, že i súčin matíc budeme definovať na množine Kmxn po zložkách. Hoci by to, samozrejme, bolo možné a na prvý pohľad sa to zdá prirodzené, násobenie matíc budeme definovať diametrálne odlišným spôsobom, ktorý sa nám zatiaľ môže zdať čudný a neprirodzený. Dôvody pre • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec takúto definíciu budú postupne vychádzať najavo a jej prednosti budeme mať mnohokrát možnosť oceniť. Najprv sa naučíme násobiť niektoré dvojice vektorov. Pod súčinom x ■ y riadkového vektora x = (x\,. . . , xn) E Klxn a stĺpcového vektora y = (j/i,..., yn)T E Knxl rozumieme skalár fyi\ x ■ y = (xi,...,xn) ■ \ = xiyi + ... + xnyn = ^XiPi. \yj %=l Teda, až na „nepochopiteľné" miešanie riadkových a stĺpcových vektorov, ide o bežný „ska-lárny súčin" vektorov x, y E Kn. Pre takto definovaný súčin vektorov sú tiež splnené dobre známe vlastnosti „skalár-neho súčinu". Ľahko možno nahliadnuť, prípadne priamym výpočtom overiť, že pre všetky ueN,ceK ax,xí E Klxn, y, y1 E Knxl platí x(y+y') = xy+xy', (x + x1) ■ y = x ■ y + x1 ■ y, x- cy = c(x■ y) = ex■ y, x- y = yT ■ xF. Hovoríme, že násobenie riadkových a stĺpcových vektorov je distributivně (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie a komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Poslednú rovnosť možno chápať ako svojho druhu „komutatívnosf tohto súčinu; vďačíme za ňu komutatívnosti násobenia v poli K. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Nech m, n,p G N a A = (ciij)mxn, B = (bjk)nxp. Pod súčinom matíc A, B rozumieme maticu A B = (n(A) ■ sk(B))mxp. Všimnime si, že súčin matíc A, B je definovaný, len ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B, t. j. práve vtedy, keď riadky matice A a stĺpce matice B majú rovnaký rozmer. Ďalej, súčin matíc typov mx n & n x p ]e matica typu m x p, čo si možno ľahko zapamätať v symbolickom tvare [m x n] ■ [n x p] = [m x p], pripomínajúcom rozmerové vzťahy vo fyzike. Špeciálne, súčin dvoch štvorcových matíc typu n x n je opäť matica typu n x n. Konečne, prvok na mieste (i, k) matice A ■ B dostaneme ako súčin z-teho riadku matice A a fc-teho stĺpca matice B, teda ako výraz (blk\ n : = anbik + ... + ainbnk = ^ aíjbjk • bnJ j=1 Na základe toho možno ľahko nahliadnuť (prípadne priamym výpočtom overiť) nasledujúce rovnosti rt(A ■ B) = n(A) ■ B, sk(A E) = A sk{E). Násobenie matíc je (z oboch strán) distributivně vzhľadom na sčítanie. To znamená že pre ľubovoľné m, n G N a matice A, A' G Kmxn, B, B' G Knxp platí A (B+B') = A B+A B', (A + A')B=AB+A'B. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Vďaka distributivnosti súčinu vektorov voči ich súčtu je totiž jasné, že (i, k)-ty prvok matice A ■ (B + B') je rt(A) ■ sk{B+B') = n(A) ■ (sk(B) + sk(B')) = rt(A) ■ sk(B) + rt(A) ■ sk(B'), teda sa rovná (i, fc)-temu prvku matice A ■ B + A ■ B'. Rovnako pre druhú rovnosť. Podobne, s využitím zameniteľnosti súčinu vektorov a skalárneho násobku možno dokázať, že pre ľubovoľný skalár c E K a všetky matice A E Kmxn, B E Knxp platí A ■ cB = c{A ■ B) = cA ■ B. Hovoríme, že násobenie matíc komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Násobenie matíc je tiež asociatívne v nasledujúcom zmysle: súčin matíc A ■ (B ■ O) je definovaný práve vtedy, keď je definovaný súčin (A ■ B) ■ C, a v takom prípade sa obe matice rovnajú. Teda podrobnejšie, pre m, n,p, q E N a A E Kmxn, B E Knxp, C E Kpxq platí A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C. Na dôkaz toho si stačí uvedomiť, že pre ľubovoľné vektory x = (x\,..., xn) E Klxn, y= (yi,...,yP)T eKpxl platí (ELi bikVk\ n p Yľk=ibnkyJ i=1 k=l p n n n IV\ = Y^(J2x3h3k)vk = (J2x3h^ ■ ■ ■' Ylxihip)' : \=(xB)y- k=l 3 = X 3=X 3=X \yp/ • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Potom pre 1 < i < m, 1 < l < q, prvok na mieste (i, l) matice A ■ (B ■ O) je n(A) ■ Sl(B ■ C) = n(A) ■ (B ■ 8l(C)) = (n(A) ■ B) ■ 8l(C) = n(A ■ B) ■ 8l(C), teda sa rovná (i, /)-tému prvku matice (A■ B) ■ C. Štvorcovú maticu rádu n, ktorá má všetky prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonály 0, označujeme In a nazývame jednotkovou maticou rádu n. S použitím tzv. Kroneckerovho symbolu Ä v 1, aki=j, 0, aki^j, môžeme písať n o .. 0 1 .. . 0 0\ . 0 0 0 0.. \o 0 .. . 1 0 . 0 l) \Pij)r Jednotkové matice hrajú úlohu neutrálnych prvkov pre násobenie matíc. Presnejšie, pre ľubovoľnú maticu A G Kmxn platí J-m 'A — A Jí ' ± 1 - napriek komutatívnosti násobenia v poli K - násobenie matíc z pozičných dôvodov nie je komutativně na Knxn. Napríklad "i 0-C O-G/í1)- G 0-G 0-G xix (Uvedomte si, že na to, aby oba súčiny AB, BA boli definované a mali rovnaké rozmery, teda, aby vôbec malo zmysel uvažovať o komutatívnosti súčinu, A, B musia byť štvorcové matice rovnakého typu.) Napriek tomu komutatívnosť násobenia v poli K má za dôsledok, že pre všetky m, n, p a matice A E Kmxn, B E Knxp platí rovnosť (A ■ Bf = BT ■ AT. Naozaj, (A ■ B)T aj BT ■ AT sú matice typu p x m a pre 1 < i < m, 1 < k < p, (k, i)-ty prvok matice (A ■ B)T je (i, k)-ty prvok matice A ■ B, t. j. rt(A) ■ sk(B) = sk(B)T ■ rt(A)T = rk(BT) ■ st(AT), • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec čo je (k, i)-ty prvok matice BT ■ AT. Pritom sme využili už spomínanú „komutatívnosť" x- y = yT ■ x7 súčinu vektorov. Na margo poslednej rovnosti ešte podotknime, že pre x G Klxn, y G Kmxl je taktiež definovaný súčin y ■ x. Nie je to však skalár, ale matica typu m x n: (yixi ... yixn \ ' ■ \ í/m^l • • • Vra^r. Teda, okrem prípadu m = n = 1, rovnosť x ■ y = y ■ x nemôže nastať už z rozmerových dôvodov. 2.2.3. Operácie s blokovými maticami. Operácie maticového súčtu a skalárneho násobku, vďaka tomu, že boli definované po zložkách, možno na blokových maticiach rozložiť na jednotlivé bloky. Ak A = (Aij)kxi, B = (Bij)kxi sú blokové matice nad poľom K, pričom zodpovedajúce si bloky Aíj, Bíj majú rovnaký typ m; x rij, tak ich súčet je opäť bloková matica A + B = (Aíj + Bij)kxi s blokmi rovnakých typov. S operáciou skalárneho násobku je to ešte jednoduchšie, lebo sa nemusíme starať o zhodnosť rozmerov jednotlivých blokov. Pre c E K jednoducho dostávame CA = (cAij)kxl- Bloková štruktúra sa prenáša aj na súčin matíc za podmienky, že stĺpce prvej matice sú v rovnakom poradí rozdelené na rovnaký počet rovnako velkých skupín, povedzme • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec ri\ + ri2 + ■ ■ ■ + nv, ako riadky druhej matice. Teda ak A = (Aij)ßXV, B = {Bjk)VXi) sú blokové matice nad K, pričom blok A^ je typu rrií x n j a blok Bjk typu n j x pk, tak aj ich súčin je bloková matica tvaru A ■ B = (Cik)ßX$, kde blok Cík = Au ■ Bík + Ai2 ■ B2k + ... + Aiv ■ Bvk je typu rrií x pk. Inak povedané, blokové matice násobíme tak ako „obyčajné" matice, len s tým rozdielom, že súčet resp. súčin v poli K nahradíme súčtom resp. súčinom matíc. Vo výsledku, ak chceme, si nakoniec môžeme odmyslieť zátvorky oddeľujúce jednotlivé bloky a matica, ktorú takto dostaneme, sa rovná matici, ktorú by sme dostali, keby sme „normálne" vynásobili „odblokované" matice A a B. Jednotkové matice In sú príkladom tzv. diagonálnych matíc. Štvorcovú maticu A = (díj)nxn nazývame diagonálnou, ak a^ = 0 pre všetky i ^ j, t. j. ak všetky jej prvky mimo diagonály sú nuly. Diagonálnu maticu, ktorá má na diagonále postupne prvky d\, d2, ■ ■ ■ , dn E K značíme diag((ii, d2, ■ ■ ■, dn). Teda napr. In = diag(l,... ,1). ra-krát Podobne možno definovať aj tzv. blokovo diagonálne matice. Ak AX) A2,..., Ak sú štvorcové matice rádov n\,n2,... ,nk, tak blokovo diagonálnou maticou s blokmi AX) A2,..., Ak • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec nazývame štvorcovú blokovú maticu diag(Ai, A2,... ,Ak) (Ax 0 0 A2 0 \0 0 ... A J kde 0 nachádzajúca sa na mieste (i, j) označuje nulovú maticu 0ninj. Pred chvíľou uvedené pravidlo o súčine blokových matíc sa redukuje na obzvlášť jednoduchý tvar pre blokovo diagonálne matice - ich násobenie totiž funguje diagonálne po zložkách. Ak A = diag(.Ai,..., Ak), B = diag(Ui,..., Bk) sú blokovo diagonálne matice, pričom zodpovedajúce si bloky Ai} B^ sú štvorcové matice rovnakého rádu ni} tak aj ich súčin je blokovo diagonálna matica tvaru A B = diag(A1 ■ Bu ..., Ak ■ Bk) so štvorcovými blokmi rádov n\,..., nk. Špeciálne, pre „obyčajné" diagonálne matice platí diag(ai,... ,an) ■ diag(&i,... ,bn) = diag(ai&i,..., anbn). Formuláciu analogických pravidiel pre súčet a skalárny násobok (blokovo) diagonálnych matíc prenechávame čitateľovi. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.3. Matice nad vektorovým priestorom Matice nad typu m x n nad poľom K sú špeciálnym druhom blokových matíc. Maticu A = (cLij) E Kmxn môžeme považovať jednak za blokovú maticu s blokmi a^- typu lxl, jednak, ako sme už neraz naznačili, môžeme sa na ňu dívať ako na riadok jej stĺpcov resp. ako na stĺpec jej riadkov. V takom prípade A chápeme ako maticu typu m x 1 nad vektorovým priestorom Klxn, resp. ako maticu typu 1 x n nad vektorovým priestorom Kmxl. Konkrétna podoba týchto vektorových priestorov je však teraz pre nás nepodstatná - pre ľubovoľné m, n E N a ľubovoľný (abstraktný) vektorový priestor V máme totiž definovanú množinu ymxn vgetkých matíc nad množinou V. Na množine Vmxn možno zaviesť operácie súčtu a skalárneho násobku po zložkách. ymxn g týmito operáciami opäť tvorí vektorový priestor nad poľom K. Čitateľovi prenechávame, aby si sám doplnil a premyslel potrebné detaily. My sa sústredíme na zovšeobecnenie operácie skalárneho násobku ifxľ^ľna operácie súčinu medzi maticami vhodných typov nad K a nad V. Pre matice A = (clíj) E Kmxn, a = (Ujk) E Vnxp kladieme A ■ a = (vik) E Vmxp, kde n 3=1 Teda súčin A ■ a definujeme z formálneho hľadiska rovnako ako súčin matíc nad poľom K, len s tým rozdielom že operácia súčtu v K je nahradená operáciou súčtu vo V a operácia súčinu v K operáciou skalárneho násobku K x V —► V. Celkom obdobne ako v odstavci 2.2.2 aj pre násobenie matíc nad V maticami nad K možno overiť distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operá- • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec ciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre všetky l,m, n,p E N, c E K, A, B E Kmxn, C E Klxm a, ßE Vnxp platí: A ■ (a + ß) = A ■ a + A ■ ß, (A + B) a = A a + B a, A ■ (ca) = c(A ■ a) = (cA) ■ ex, C-(A-á) = (C-A)-a, In ■ a = a. Vzhľadom na našu dohodu, podľa ktorej xc = ex pre c E K, x E V, môžeme definovať aj súčin matíc ß = («ý-) E Vmxn, B = (bjk) E Knxp v obrátenom poradí ako maticu ß B = (wik) E Vmxp takú, že n n Wik = ^2 Víjbjk = ^2 bjkVíj. i=i i=i S využitím poslednej definície možno pre A E Kmxn, a E Vnxp, ß E Vmxn, B E Knxp dokázať tiež rovnosti (A ■ af = aT ■ AT, (ß ■ B)T = BT ■ ßT. Aplikáciou týchto vzťahov na predchádzjúci zoznam rovností (no taktiež priamo) možno aj pre súčin matíc tvaru ß ■ B, kde ß E Vmxn, B E Knxp, overiť jeho distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec všetky m, n,p, q G N, c G K, a, ß G Kmxn, A, B e Vnxp, C G Kpxq platí: (ot + ß) ■ A = ot ■ A + ß ■ A, a (A + B) = a A + a B, a • (c.A) = c(ol ■ A) = (ca) ■ A, a ■ (A ■ C) = (a • A) ■ C, a ■ In = a. Taktiež vzťahy pre riadky a stĺpce súčinu z odseku 2.2.2 zostávajú zachované pre oba typu súčinov matíc nad K a V, t. j. Vi(A ■ a) = Vi(A) ■ a, sk(A ■ a) = A ■ sk(a) rt(ß ■ B) = n(ß) ■ B, sk(ß ■ E) = ß ■ sk(B) pre všetky A G Kmxn, a G Vnxp ß G Vmxn, B G Knxp. Napokon si ešte uvedomme, že definície súčinov Act, ß-B sú v zhode s pôvodným násobením matíc. Ak totiž maticu A G Kmxn chápanie ako riadok, t. j. ako maticu typu lxnnad priestorom stĺpcových vektorov Km, tak pre B G Knxp splýva matica (si(A),..., sn(A))-B vypočítaná podľa „novej" definície s blokovým tvarom (A ■ S\(B),..., A ■ sp(B)) matice A ■ B. Podobne, ak B chápeme ako stĺpec, t. j. ako maticu typu n x 1 nad priestorom riadkových vektorov Kp, tak /n(B)\ /n(A)-B \rn(B)J \rm(A) ■ B AB. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (Doplňte si vynechané podrobnosti - pozri cvičenie 2.6.) Špeciálne, lineárnu kombináciu a\X\ + ... anxn vektorov X\,..., xn E V s koeficientmi ci\,..., an E K môžeme s využitím vektorových matíc zapísať v tvare súčinov /CCiN aiXi + ... + anxn = (ai,..., an) ■ Cvičenia / 1 -1 l\ / 0 1 2\ /l 23\ 2.1. Nech A = \ o 52, B = -293, C = 1 4 9 sú matice nad R. Vypočítatjte matice y 1-4 o y \w 6 o j \i 2 4 J A + 2B, A-BT-'iC, AB, BA, A-(B+C), (3AT + B)-C, B C2, C2 B, C B C, A C - C A, A B C a C? -A C. 2.2. Vypočítajte súčin A ■ B komplexných matíc A = (|+| ~;2 2+3i)) B = ( -4 1—2i 2.3. Nájdite matice A, B e Q2x2 také, že A B = 0 ^ B A. 2.4. Uvažujte matice A = (* |), B=(°\), C = (\ %) nad poľom (a) Z5, (b) Z7, (c) Zu, (d) Q. V každom z uvedených prípadov vypočítajte maticu A ■ (B + O). Skúste riešiť úlohy (a)-(d) v optimálnom poradí. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 2.5. Sú dané reálne blokové matice A = ( 411 412 ), B = ( Q1 ^12 ^13 ), kde \A21 A22 ) V-»21 -D22 ti23 J ^11 = (1 1)) -B12 =-B13 = (1 _i), B2i = {_11), B22 = B23 = (_1 _1). Vynásobte A a. B ako blokové matice aj ako matice, v ktorých ste zabudli na rozdelenie do blokov, a oba výsledky porovnajte. 2.6. Maticu A = (aij)mxn na(i ľubovolným poľom K uvažujte ako riadok jej stĺpcov, t.j. ako blokovú maticu A = (ui,..., un), kde Uj = Sj(A) pre j < n. Nech c = (ci,..., cn)T G Kn je stĺpcový vektor. Ukážte, že lineárna kombinácia c\U\ + ... + cnun splýva s „obyčajným" maticovým súčinom A ■ c. Vysvetlite tento fakt pomocou násobenia blokových matíc. 2.7. Nech X je konečná množina. Ľubovoľná množina H C X2 určuje orientovaný graf (X, H) s množinou vrcholov X a s množinou orientovaných hrán H: vrcholy (t. j. prvky množiny X) si znázorníme krúžkami v rovine a z vrcholu x vedieme orientovanú hranu (t. j. šípku) do vrcholu y práve vtedy, keď (x, y) G H (pozri obr. 2.1). Konečnú postupnosť (zo, 21,..., z k) prvkov množiny X takú, že pre každé 1 < i < k platí (zi_1,zi) G H, nazývame cestou dĺžky k v orientovanom grafe (X, H). Predpokladajme, že X = {xi,..., xn} má práve n prvkov. Maticu H = (hij) G Rnxn takú, že hij = 1, j) G ií, a hij = 0, ak (xí,xj) £ H, nazývame incidenčnou maticou orientovaného grafu (X,H). Prvky fc-tej mocniny incidenčnej matice iřoznačme h\, , t.j. H1* = (/iL )• Potom číslo h\, udáva počet ciest dĺžky k z vrcholu Xj do vrcholu x j v orientovanom grafe (X, H). Dokážte (napr. matematickou indukciou). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Obr. 2.1. Príklady orientovaných grafov 2.8. Očíslujte vrcholy orientovaných grafov z obrázku 2.1). Pre každý graf napište jeho incidenčnú maticu a pre každú dvojicu (xj, Xj) jeho vrcholov určte počet ciest dlžky 2, 3, 4 ä o z Xj do x,-. 2.9. Nech if je komutatívny okruh s jednotkou (pozri cvičenie 1.7). Presvedčte sa, že pre ľubovoľné m, n G N možno na množine matíc Kmxn definovať operácie súčtu A + B & skalárneho násobku c A rovnako ako v odstavci 2.2.1. Taktiež možno pre A G Kmxn, B G Knxp definovať súčin A B e Kmxp rovnako ako v odstavci 2.2.2. Ukážte, že všetky vlastnosti maticových operácií uvedené v kapitole 2 zostávajú v platnosti aj v tomto všeobecnejšom prípade. 2.10. Vynechajme z definície poľa, popri nerovnosti 0 ^ 1 a požiadavke existencie inverzného prvku ku každému nenulovému a G if, aj podmienku komutatívnosti násobenia, namiesto ktorej pridajme ešte jeden distributívny zákon (Va, 6, c G K)((a + b)c = ac + bc). Množina K s význačnými prvkami 0 a 1, vybavená operáciami sčítania a násobenia, ktoré vyhovujú uvedeným podmienkam, sa nazýva okruh s jednotkou.1 (a) Okruh s jednotkou K sa nazýva netriviálny, ak v ňom platí 0^1. Dokážte, že okruh s jednotkou K je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne prvky. (b) Nech K je okruh s jednotkou. Presvedčte sa, že pre matice nad K možno zaviesť operácie súčtu, Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len okruh. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec skalarneho násobku a súčinu rovnako ako pre matice nad poľom. Ukážte, že všetky vlastnosti týchto operácií uvedené v kapitole 2, s výnimkou rovností (x ■ y)T = yT ■ xT, (A ■ B)T = BT ■ AT a možnosti zapisovať „lineárne kombinácie" v tvare c\U\ + ... cnUn = (ui,..., un) • (ci,..., cn)T, zostávajú v platnosti. 2.11. Nech K je okruh s jednotkou a n G N. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Množina Knxn so sčítaním a násobením matíc tvorí okruh s jednotkou. (b) Okruh s jednotkou Knxn je triviálny práve vtedy, keď K je triviálny alebo n = 0. (c) Okruh s jednotkou Knxn je komutatívny práve vtedy, keď n = 0, alebo n = 1 a K je komutatívny. 2.12. (a) Rovnako ako v prípade poľa zadefinujte charakteristiku ľubovoľného okruhu s jednotkou. (b) Dokážte, že okruh s jednotkou K je triviálny práve vtedy, keď char if = 1. (c) Nech K je ľubovoľný okruh a 1 < n G N. Potom cha,r Knxn = char if. Dokážte. (d) Pre každé 2 < m G N U {oo} uveďte príklad nekomutatívneho okruhu s jednotkou charakteristiky m. 2.13. Nech K je okruh s jednotkou. (a) Pre všetky n G N zadefinujte mocniny an prvku a G K rovnako ako v poli a dokážte, že pre m, n G N platí aman = am+n, (am)n = amn. Čo bráni definícii mocnín an pre záporné exponenty n G Z? (b) Prvok a G if sa nazýva invertovatetný, ak k nemu existuje (obostranný, teda nutne jediný) inverzný prvok a-1 vzhľadom na násobenie. Pre invertovateľné prvky a G if rozšírte definíciu mocnín a™ na všetky n G Z a dokážte rovnosti z (a) pre ľubovoľné m, n G Z. (c) Nech a, b G if. Co je prekážkou všeobecnej platnosti rovnosti (ab)n = anbn pre n > 2? Dokážte, že ak a, b komutujú, t. j. ab = ba, tak uvedená rovnosť platí pre všetky n G N. (d) Pre if = R2x2 nájdite príklad matíc A, B G if takých, že (A ■ B)2 ^ A2 ■ B2. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (e) Nech a, 6 G if sú invertovateľné. Dokážte, že potom aj prvok ab je invertovateľný a platí (ab) x = &_1a_1. Čo je prekážkou všeobecnej platnosti rovnosti (ab)~n = b~na~n pre n > 2? 2.14. (a) Rovnako ako v príklade 1.6.3 a v cvičení 1.12 zadefinujte množinu K [x] všetkých polynómov v premennej x nad lubovolným okruhom s jednotkou if a na nej operácie súčtu a súčinu. Dokážte, že K [x] s takto definovanými operáciami je opäť okruh s jednotkou a platí char if [x] = char if. (b) Dokážte, že if [x] je komutatívny práve vtedy, keď if je komutatívny. (c) Dokážte, že polynóm f (x) je invertovateľný prvok okruhu if [x] práve vtedy, keď f (x) = a je konštantný polynóm, pričom a je invertovateľný prvok okruhu if. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3. Sústavy lineárnych rovníc V tejto kapitole sa predbežne zoznámime so sústavami lineárnych rovníc nad všeobecným poľom K a naučíme sa ich riešiť. Využijeme pri tom zápis sústavy pomocou istej matice. Štruktúrne vlastnosti množiny všetkých riešení danej sústavy a ich dôsledky preštudujeme a využijeme až neskôr, keď sa bližšie oboznámime so štruktúrou vektorových priestorov. 3.1. Maticový zápis sústavy lineárnych rovníc Pod lineárnou rovnicou o n neznámych x\,..., xn nad poľom K rozumieme formulu tvaru a\X\ + a2x2 + • • • + anxn = b, kde a\,a2,... ,an,b E K, v premenných x\,x2,... ,xn. Sústavou m lineárnych rovníc o n neznámych X\,x2,... ,xn nad poľom K rozumieme konjunkciu formúl tvaru auXi + a2\x2 + ... + ainxn = b\ a2\X\ + a22x2 + ... + a2nxn = b2 kde ciij, bi, pre 1 < i < m, 1 < j < n, sú skaláry z poľa K. Maticu A = (clíj) E Kmxn nazývame maticou sústavy, stĺpcový vektor b = (b\,..., bm)T E Km nazývame jej pravou • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec stranou. Konečne rozšírenou maticou sústavy nazývame blokovú maticu (A \ b) E Kmx(n+1\ Sústava sa nazýva homogénna, ak b = 0; v opačnom prípade sa nazýva nehomogénna. Uvedenú sústavu možno stručne a úsporne zapísať v maticovom tvare A ■ x= b, prípadne, ak ide o homogénnu sústavu, v tvare A- x=0. Riešením sústavy A ■ x= b nazývame ľubovoľný vektor-stlpec x = (x\,X2, ■ ■ ■,xn)T E Kn, ktorého zložky vyhovujú každej z rovníc tejto sústavy, t. j. platí preň A ■ x = b. Vyriešiť sústavu znamená nájsť všetky jej riešenia, t. j. popísať množinu všetkých jej riešení. Dve sústavy A ■ x = b & B ■ x = c, kde A, B E Kmxn, b, c E Kmxl, sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnakú množinu riešení, t. j. ak pre všetky x E Kn platí A ■ x = b práve vtedy, keď B ■ x= c. Skôr než prikročíme k otázke riešenia sústav lineárnych rovníc, považujeme za potrebné upozorniť čitateľa na dve veci. (a) Podčiarkujeme, že riešením sústavy rozumieme vždy vektor x a nie jeho zložky. Tak napríklad sústava 2x + 3y= 12 3x — 2y = 5 nad poľom E má, ako ľahko nahliadneme, jediné riešenie (a:) = Q) a nie dve riešenia x = 3, y = 2. Keď si toto poriadne uvedomíme, môžeme (a samozrejme aj budeme) sa naďalej • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec vyjadrovať obvyklým spôsobom. Budeme teda hovoriť, že sústava má jediné riešenie x = 3, y = 2. (b) Všimnite si, že počet rovníc sústavy a počet neznámych sa nemusia rovnať. V obvyklom prípade, keď rovníc je rovnaký počet ako neznámych, očakávame, že sústava bude mať jediné riešenie. Keď je rovníc menej než neznámych, môžeme očakávať, že sústava bude mať viacero (prípadne i nekonečne mnoho) riešení. Naopak, keď je rovníc viac ako neznámych, môže sa stať, že sústava nebude mať nijaké riešenie. Napriek tomu, že tieto očakávania vyjadrujú niečo ako „prevládajúci trend", ľahko možno nájsť príklady, keď sa nemusia splniť. Zatiaľ len poznamenajme, že homogénna sústava A ■ x = 0 má (bez ohľadu na počet neznámych a počet rovníc) vždy aspoň jedno riešenie - je ním nulový vektor x = 0. Nie je dôležité, akými znakmi sú označené neznáme v sústave A ■ x = b. Na jej riešenie nemá nijaký vplyv, či si vektor neznámych označíme x = (x\,... ,xn)T alebo y = (j/i, • • • ,yn)T alebo nejako inak. To znamená, že celá informácia o tejto sústave, potrebná na nájdenie všetkých jej riešení, je obsiahnutá v rozšírenej matici sústavy (A\b), prípadne, ak ide o homogénnu sústavu, len v matici sústavy A. Preto i metóda riešenia sústav lineárnych rovníc, s ktorou sa teraz zoznámime, bude založená len na úprave tejto matice. Stručne povedané, rozšírenú maticu (A \ b) sústavy A ■ x = b budeme upravovať tak, aby sme dostali vhodnú maticu (B\ c), zodpovedajúcu novej sústave B- x = c, ktorá spĺňa nasledujúce dve podmienky: (a) Je ekvivalentná s pôvodnou sústavou A ■ x = b, t. j. má rovnakú množinu riešení. (b) Všetky jej riešenia možno priamo vyčítať z jej rozšírenej matice (B\ c). V takom prípade hovoríme, že sústava B ■ x = c je vyriešená. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.2. Redukovaný stupňovitý tvar matice Našou prvou úlohou teda bude vyjasniť si, ako by mala vyzerať matica (B\ c), aby sme príslušnú sústavu B■ x= c mohli považovať za vyriešenú. Za tým účelom teraz zavedieme niekoľko pojmov. Hovoríme, že prvok a^ matice A e Kmxn je vedúci prvok z-teho riadku matice A, ak ciij: 7^ 0, a j = 1 alebo au = 0 pre všetky 1 < l < j. Inak povedané, vedúci prvok nenulového riadku je prvý nenulový prvok tohto riadku. Nulový riadok nemá vedúci prvok. Hovoríme, že matica A = (a^) G Kmxn je v redukovanom stupňovitom tvare, ak spĺňa nasledujúce štyri podmienky: (a) Ak n{A) ^Oa rk(A) = 0, tak i < k; t. j. každý nenulový riadok matice A leží nad každým jej nulovým riadkom. (b) Ak aij, au sú vedúce prvky z-teho resp. fc-teho riadku a i < k, tak aj j < l; t. j. vedúci prvok vyššieho riadku leží viac vľavo než vedúci prvok nižšieho riadku. (c) Ak aij je vedúci prvok z-teho riadku, tak a^ = 1; t. j. vedúci prvok každého nenulového riadku je 1. (d) Ak aij je vedúci prvok z-teho riadku, tak afcj- = 0 pre každé k y^ i; t. j. v stĺpci, v ktorom sa nachádza vedúci prvok nejakého riadku, sú všetky ostatné prvky rovné 0. Pokiaľ matica A spĺňa len podmienky (a), (b), hovoríme, že je v stupňovitom tvare. Používa sa tiež názov (redukovaný) schodovitý tvar. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Napríklad z uvedených matíc nad poľom R '230 r 0014 ,0000, '0 10 0N 0010 ,0001 /ooo\ 100 010 Vo o i; /l 2 3 4\ 0123 0012 \0 0 0 1/ (\ 0 1 o\ 0120 0001 \o o o o/ ani jedna z matíc vľavo nie je v stupňovitom tvar; obe matice v strednom stĺpci sú v stupňovitom tvare, nie však v redukovanom stupňovitom tvare; konečne, obe matice vpravo sú v redukovanom stupňovitom tvare. (V každom jednotlivom prípade si podrobne premyslite prečo.) Taktiež každá jednotková matica In, ako aj všetky nulové matice Omn sú v redukovanom stupňovitom tvare. Uvedomme si teraz, akej sústave lineárnych rovníc zodpovedá rozšírená matica v redukovanom stupňovitom tvare. Napríklad (B\c) 10-200 01 600 00 010 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec je matica v redukovanom stupňovitom tvare nad E. Táto matica zodpovedá sústave X\ — 2x3 = 3 %2 + 6x3 = 0 #4 = 1 v neznámych £1, £2, ^3,^4, ^5- Hneď vidíme, že táto sústava má nekonečne mnoho riešení. Každej voľbe parametrov s,íeR totiž zodpovedá jedno riešenie X\ = 3 + 2s X2 = — 6s x3= s #4 = 1 x5 = t. Asi sa zhodneme na tom, že preznačenie neznámych za parametre x3 = s, x§ = t a ich presun na pravú stranu, je úprava natoľko bezprostredná, že sústavu prislúchajúcu k matici (B I c) už možno považovať za vyriešenú. Na napísanie jej riešenia nemusíme písať príslušnú sústavu, môžeme ho napísať priamo na základe matice (B\ c). Dohodneme sa teda, že sústavu lineárnych rovníc B ■ x = c nad poľom K budeme nazývať vyriešenou sústavou, ak jej rozšírená matica (B | c) je v redukovanom stupňovitom tvare. V prípade homogénnej sústavy sa, samozrejme, stačí obmedziť na maticu B. Teraz si predvedieme, ako možno k danej blokovej matici (B \ c) v redukovanom stupňovitom tvare, nájsť všetky riešenia sústavy B ■ x= c. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Najprv si ujasníme, kedy je taká sústava riešiteľná, t. j. má aspoň jedno riešenie. Odpoveď na túto otázku je jednoduchá: Sústava B ■ x = c má riešenie práve vtedy, keď sa v matici (B \ c) nenachádza riadok tvaru (oi__o | 1). ra-krát Taký riadok totiž zodpovedá rovnici 0 = 1, ktorá očividne nemá riešenie. To, že neprítomnosť takého riadku je i postačujúcou podmienkou riešiteľnosti sústavy, vyplýva z nasledujúceho postupu, ako toto riešenie nájsť. Ak sa v j-tom stĺpci matice B nenachádza vedúci prvok žiadneho riadku, tak si neznámu x j zvolíme za parameter; ak sa v j-tom stĺpci nachádza vedúci prvok nejakého riadku, tak neznámu x j si vyjadríme pomocou parametrov tak, že stĺpce matice B prislúchajúce týmto parametrom „prehodíme s opačným znamienkom na druhú stranu". Presnejšiu formuláciu celého postupu vo všeobecnej podobe si odpustíme. Názornejšie bude osvetliť ho na ešte jednom príklade. /l 0 0 2/3-1/2 5\ (B | c) = í 0 1 0 3/4 0 2 \0 0 1 -4-2/5 -2/ je reálna matica v redukovanom stupňovitom tvare. Vidíme, že sa v nej nenachádza riadok tvaru (0,0,0,0 | 1), teda sústava B ■ x = c by mala mať riešenie. Vedúce prvky riadkov matice B sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 2 a 3. Za parametre si teda zvolíme neznáme x4 a x5. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Riešením sústavy je každý vektor (x\,X2, X3,X4,xs)T E E tvaru 2 1 xx= 5-3S+2ŕ „ 3 x2 = 2 - -s 2 x3 = -2 + 4s + -í 5 X4 = S X5 = í, kde parametre s, t E E môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Pre estétov ešte poznamenajme, že zlomkov pri parametroch sa možno jednoducho zbaviť. Je totiž jedno, či si parametrické premenné zvolíme v tvare = í alebo v tvare x4 = 12s, x5 = 10í, kde s, t E R. Pri takejto voľbe parametrov dostaneme všetky riešenia sústavy v tvare bez zlomkov x\ = 5 — 8s + 5í x2= 2- 9s x3 = -2 + 36s + 4í £4 = 12 s x5 = 10í. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.3. Elementárne riadkové a stĺpcové operácie (ERO a ESO) Zatiaľ sme si ujasnili, na aký tvar treba upraviť rozšírenú maticu (A \ b) sústavy A ■ x = b, aby sme získali s ňou ekvivalentnú vyriešenú sústavu B ■ x = c: rozšírená matica (B \ c) novej sústavy musí byť v redukovanom stupňovitom tvare. Teraz si ukážeme, ako to možno urobiť. Maticu (A \ b) budeme na redukovaný stupňovitý tvar upravovať pomocou tzv. elementárnych riadkových operácií. Elementárnou riadkovou operáciou, skrátene tiež ERO, na matici A E Kmxn rozumieme L výmenu dvoch riadkov matice A; II. vynásobenie niektorého riadku matice A nenulovým skalárom z poľa K; III. pripočítanie skalárneho násobku niektorého riadku matice A k jej inému riadku. Matice A, B E Kmxn sa nazývajú riadkovo ekvivalentné, označenie A ~ B, ak jednu z nich možno upraviť na druhú konečným počtom elementárnych riadkových operácií. Riešenie sústavy lineárnych rovníc úpravou jej rozšírenej matice pomocou ERO na riadkovo ekvivalentnú maticu v redukovanom stupňovitom tvare sa nazýva Gauss ova-Jordánova eliminácia. Prenechávame čitateľovi, aby si sám sformuloval analogické pojmy elementárnych stĺpcových operácií (ESO) a stĺpcovej ekvivalencie matíc, označenie A l B. Ich význam vyjde najavo až v neskorších kapitolách. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Výmenou i-teho a fc-teho riadku v matici fn(A)\ n(A) \rm(Ä)) dostaneme maticu fn(A)\ n(A) n(A) \rm(Ä)) Opätovnou výmenou i-teho a fc-teho riadku v tejto matici získame zasa maticu A. Vynásobením i-teho riadku matice A skalárom c^ 0 dostaneme maticu fn(A)\ cn(A) n(A) \rm(A)J Vynásobením i-teho riadku tejto matice skalárom c-1 7^ 0 získame opäť maticu A. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Konečne, pripočítaním c-násobku z-teho riadku matice A k jej fc-temu riadku z nej dostaneme maticu / n(A) \ n(A) n(A) + en (A) V rm(A) ) Všimnite si, že i-ty riadok pri tom zostáva nezmenený. Maticu A z tejto matice získame pripočítaním (—c)-násobku jej z-teho riadku ku fc-temu riadku. Ak A ■ x = b je sústava s rozšírenou maticou (A \ b) a bloková matica (A' \ b') vznikne z (A | b) vykonaním jednej (nezáleží ktorej) ERO, tak sústava A' ■ x = b' je ekvivalentná s pôvodnou sústavou A ■ x = b. Elementárne riadkové operácie na matici (A \ b) totiž zodpovedajú postupne zámene poradia dvoch rovníc sústavy, vynásobením niektorej rovnice nenulovým skalárom a pripočítaním nejakého násobku jednej rovnice k inej rovnici (presnejšie nahradením dojice rovníc Vi(A) ■ x = bi, Vk(A) ■ x = bk dvojicou rovníc Vi(A) ■ x= bi, (rk(A) + ctí{A)) ■ x= bk + obi). Z pred chvíľou vykonaných úvah vyplýva, že ide o ekvivalentné úpravy, ktorými sa množina riešení sústavy nezmení - od novej sústavy A' ■ x = b' sa možno vhodnou ERO vykonanou na jej rozšírenej matici opäť vrátiť k pôvodnej sústave A ■ x = b. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.3.1. Tvrdenie. Nech K je pole, A, B e Kmxn, Ď, c e Km. Ak sú blokové matice (A | b), (B\ c) riadkovo ekvivalentné, tak i sústavy lineárnych rovníc A ■ x = b, B ■ x = c sú ekvivalentné. Dôkaz. Podľa predpokladu existuje postupnosť blokových matíc (A \ b) = (C0 | do), (C\ \ d\), ... ,(Cp\ dp) = (B\ c) typu m x (n + 1) takých, že pre každé / < p matica (Q+i | di+í) vznikne vykonaním jedinej ERO z matice (Q \ di). Potom všetky sústavy Q ■ x= di majú tú istú množinu riešení, t. j. sú ekvivalentné. 3.3.2. Veta. Každá matica nad poľom K je riadkovo ekvivalentná s jednoznačne určenou maticou v redukovanom stupňovitom tvare. Dôkaz existencie a jednoznačnosti spomínanej matice odložíme do cvičení 3.12 a 3.13 (pozri tiež cvičenie 5.13). Zatiaľ sa radšej len na konkrétnych príkladoch naučíme, ako možno k danej matici A nájsť s ňou riadkovo ekvivalentnú maticu v redukovanom stupňovitom tvare. Takýto prístup má navyše tú výhodu, že z radu možných postupov, medzi ktorými si možno pružne voliť podľa okolností, nám nesugeruje jedinú stratégiu, na jednu z ktorých by sme sa nevyhnutne museli obmedziť pri všeobecnom dôkaze. Ambicióznější čitateľ v uvedených príkladoch ľahko i sám zahliadne myšlienku všeobecného dôkazu, ktorú potom bude môcť uplatniť v cvičení 3.12. Napokon, aby sme sa nebavili iba o maticiach, začneme zakaždým s nejakou sústavou lineárnych rovníc. Tým sa zároveň naučíme riešiť ľubovoľnú sústavu lineárnych rovníc nad daným poľom Gaussovou-Jordánovou elimináciou, prípadne rozpoznať, že daná sústava nemá riešenie. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.3.3. Príklad. Je daná sústava 2xx 3xi ■ X\ ■ -3x2 2x2-x2 ■ 4x3 4x3 x4 2X4 x4 1 o 2 troch rovníc o štyroch neznámych nad poľom R. Jej rozšírená matica je -1 -2 -1 Pri jej úprave na redukovaný stupňovitý tvar (podobne ako i v ďalších príkladoch) budeme vynechávať niektoré medzikroky a zaznamenáme len niektoré výsledky viacerých vykonaných ERO. Posledný riadok matice dáme na prvé miesto, potom jeho (—2)-násobok pripočítame k pôvodnému prvému riadku, ktorý posunieme na druhé miesto, a (—3)-násobok toho istého riadku pripočítame k pôvodnému druhému riadku, ktorý posunieme na tretie miesto. Dostaneme tak maticu Pripočítaním (—l)-násobku druhého riadku k tretiemu dostaneme maticu • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Už z tohto tvaru vidíme, že sústava zodpovedajúca poslednej matici nemá riešenie - obsahuje totiž rovnicu 0 = —3. Teda ani pôvodná sústava (hoci neznámych je v nej viac než rovníc) nemá riešenie. Z cvičných dôvodov však dokončíme úpravu na redukovaný stupňovitý tvar, ktorý dostaneme vynásobením tretieho riadku skalárom —1/3, pripočítaním (—2)-násobku resp. 3-násobku tohto nového riadku k prvému resp. druhému riadku a, konečne, vynásobením druhého riadku skalárom 1/5: 10 12/5-4/5 0 1 -8/5 1/5 00 0 0 Čitateľ by si mal všimnúť, že po nastavení vedúceho prvku niektorého riadku na hodnotu 1 okamžite pristupujeme k nulovaniu zvyšných prvkov stĺpca, v ktorom leží tento vedúci prvok. 3.3.4. Príklad. Riešme sústavu x + 2iy = 5 + 4i (3 - \)y + (6 - 2i)z = 10 2x — z = 5 + 3i x + y + z = 5 + 2i • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec štyroch rovníc o troch neznámych nad poľom C. Jej rozšírená matica je íl 2i 0 5 + 4i\ 0 3 - i 6 - 2i 10 2 0 -1 5 +3i " \l 1 1 5 +2i/ Přehoďme jej posledný riadok na prvé miesto a zvyšné riadky posuňme o jedno miesto nadol. V takto získanej matici pripočítajme (—l)-násobok prvého riadku k druhému riadku a (—2)-násobok prvého riadku k štvrtému riadku. Konečne vynásobme tretí riadok skalárom (3 + i)/10. Dostaneme maticu íl 1 1 5 + 2i\ 0-1 + 2Í-1 2i 0 1 2 3 + i " \0 -2 -3 -5-i/ (—l)-násobok tretieho riadku pripočítame k prvému riadku, jeho (1 — 2i)-násobok k druhému a 2-násobok k štvrtému. Nakoniec výmenou druhého a tretieho riadku dostaneme maticu /10 -1 2 + i\ 01 2 3+i 0 0 1 - 4i 5 - 3i " \0 0 1 1 + i / Pripočítajme posledný riadok k prvému, (—2)-násobok posledného riadku k druhému a jeho (—1 + 4i)-násobok k tretiemu. Zostáva vymeniť tretí a štvrtý riadok - výsledná matica je • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec už v redukovanom stupňovitom tvare /lOO 3 + 2i\ 010 1-i 001 1+i " \oo o o / Vidíme, že pôvodná sústava (hoci obsahuje viac rovníc než neznámych) má jediné riešenie x = 3 + 2i, y = 1 — i, z = 1 + i, teda presnejšie vektor (3 + 2i, 1 — i, 1 + i)T e C3. 3.3.5. Príklad. Uvažujme sústavu X\ + X2 + 2^3 + 3^4 = 0 2xi + 4x3 =0 Xi + 2^2 + X3 + 3X4 = 0 3x3 + 4x4 = 0 štyroch rovníc o štyroch neznámych nad poľom Z5. Kedze ide o homogénnu sústavu (ktorej ľavá strana je nulový stĺpcový vektor, teda sa nemení pri žiadnej ERO), stačí upravovať jej (nerozšírenú) maticu íl 1 2 3\ 2040 12 13 ' \0 0 3 AJ • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (—2)-násobok, t.j. 3-násobok prvého riadku pripočítame k druhému riadku a jeho (—l)-násobok, t. j. 4-násobok pripočítame k tretiemu riadku. Dostaneme tak maticu /l 1 2 3\ 0304 0140 " \0 0 3 4/ (—l)-násobok, t.j. 4-násobok tretieho riadku pripočítame k prvému riadku a jeho (—3)-násobok, t. j. 2-násobok pripočítame k druhému riadku. Konečne výmenou druhého a tretieho riadku dostaneme maticu íl 0 3 3\ 0140 0034 • \0 0 3 4/ Tretí riadok odpočítame od prvého aj od štvrtého riadku. Ďalej ho vynásobíme skalárom 3_1 = 2. Napokon jeho (—4)-násobok, t. j. priamo tento nový tretí riadok pripočítame k druhému riadku. Výsledná matica je už v redukovanom stupňovitom tvare íl 0 0 4\ 0103 0013 " \0 0 0 0/ • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Premennú X4 si zvolíme za parameter. Všetky riešenia sústavy majú potom tvar x\ = í, x2 = 2í, x3 = 2í, £4 = í, kde í G Z5. Vidíme teda, že pôvodná sústava (hoci počet jej rovníc je rovnaký ako počet neznámych) má viac než jedno riešenie; nie je ich však nekonečne veľa ale len 5. Práve tolko je totiž možných volieb parametra í, t. j. prvkov poľa Z5. Zaznamenajme ešte jeden očakávaný dôsledok tvrdenia 3.3.1., vety 3.3.2. a spôsobu, ako napísať riešenie sústavy s (rozšírenou) maticou v redukovanom stupňovitom tvare, uvedeného v paragrafe 3.2. 3.3.6. Tvrdenie. Nech A e Kmxn, b e Km a m < n, t. j. sústavy A ■ x = 0, A ■ x = b obsahujú menej rovníc než neznámych. Potom (a) homogénna sústava A ■ x = 0 má popri riešení Xq = 0 aspoň jedno riešenie x ^ 0; (b) ak existuje aspoň jedno riešenie sústavy A- x= b, tak táto sústava má viac než jedno riešenie. Dôkaz, (a) Upravme maticu sústavy A na redukovaný stupňovitý tvar B. Uvedomme si, že matice A aj B majú m riadkov a n stĺpcov. Riadky matice B majú nanajvýš m vedúcich prvkov. Kedze m < n, aspoň v jednom stĺpci matice B neleží vedúci prvok žiadneho riadku. Nech je to napr. j-ty stĺpec. Potom voľbe parametra Xj=tEK,ty^0 zodpovedá aspoň jedno nenulové riešenie sústavy A ■ x = 0. (b) prenechávame ako cvičenie čitateľovi. 3.4. Gaussova eliminačná metóda Hlavne z historických dôvodov ešte stručne spomenieme metódu riešenia sústav lineárnych rovníc tzv. Gaussovouu elimináciou. Pri riešení touto metódou upravíme rozšírenú maticu • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec sústavy len na stupňovitý (teda nie nevyhnutne redukovaný stupňovitý) tvar. Už z tohto tvaru možno ľahko spoznať, či sústava má nejaké riešenie (príslušná matica nesmie obsahovať riadok tvaru (0,..., 0 | d), kde 0 ^ d E K). V tom prípade možno všetky riešenia sústavy získať volbou parametrov (opäť si za ne volíme neznáme x j také, že j-tom stĺpci sa nevyskytuje vedúci prvok žiadneho riadku) a spätným dosadzovaním, t. j. elimináciou neznámych pomocou parametrov. 3.4.1. Príklad. Predpokladajme, že rozšírenú maticu nejakej sústavy nad mocou ERO upravili na stupňovitý tvar sme uz po- 023 0 000-2 000 0 -14 54 31 Táto matica zodpovedá sústave 2^2 + 3^3 — X5 + 4^6 = 1 — 2x4 + 5x5 + 4x6 = 0 3X5 + X6 = 4. Za parametre si zvolíme premenné Xi, x3 a x6. Spätným dosadzovaním postupne dostaneme • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec všetky riešenia v parametrickom tvare Xe = t 1/, x 4 1 ZS = g(4-X6) = - - -t l,r * ^ 10 7 x4 = -(5x5 + 4x6) = — - -t Z 3d x3 = s 1 7 X2 = 77(1 - 3x3 + x5 - 4x6) = - Z D xi = r, kde r, s, ŕ G E. Prípadne, po trochu „šikovnejšej" voľbe parametrov, v tvare X6 = 6í, x5 = | — 2í, x4 = ^ — 7í, X3 = 2s, x2 = I — 3s + 13í, Xi = r. Pozorný čitateľ si iste všimol, že spätné dosadzovanie možno nahradiť ďalšou úpravou rozšírenej matice sústavy pomocou ERO na redukovaný stupňovitý tvar. Stačí totiž vynásobiť nenulové riadky prevrátenými hodnotami ich vedúcich prvkov a pripočítaním vhodných násobkov týchto riadkov vynulovat' zvyšné nenulové prvky v stĺpcoch obsahujúcich vedúce prvky jednotlivých riadkov. I tak však môže byť Gaussova eliminačná metóda v niektorých prípadoch užitočná -najmä keď nám nejde ani tak o explicitný tvar riešení, ako skôr o samotnú otázku Řešitelnosti sústavy, prípadne o počet parametrov, ktoré sa v nich vyskytujú. Všetko to možno totiž spoznať už na základe nejakej matice v stupňovitom tvare, riadkovo ekvivalentnej s pôvodnou rozšírenou maticou sústavy. V takom prípade si teda môžeme odpustiť nielen ďalšiu úpravu na redukovaný stupňovitý tvar, ale aj spätné dosadzovanie. 13 • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Cvičenia 3.1. Podrobne prepočítajte sústavy lineárnych rovníc z príkladov 3.3.3- 3.3.5. 3.2. Gaussovou-Jordánovou elimináciou riešte sústavu lineárnych rovníc A ■ x = b nad poľom R pre matice: /2120-6\ /4\ /3-6110X /6 (a) A= \\\%lz%\, b=[l); (b) A={\z\\t , b= 3 \0120 1/ \2/ \l -2 0 3 / \2 3.3. Gaussovou-Jordanovou elimináciou riešte sústavu lineárnych rovníc A ■ x = b nad poľom C pre matice: (a) A=(i±i?1i+1,), b=(1-o2ih (b) ^=(1^i25i3:;), b=U+i). 3.4. Gaussovou-Jordanovou elimináciou riešte sústavu Ax = b lineárnych rovníc nad poľom Zu pre matice: (a) ^= (1111)» 6=(0; (b) A= (?§??)' 6 = 0- Pre každú sústavu určte počet jej riešení. 3.5. Riešte sústavy z cvičenia 4 nad poľom Z13 a opäť určte počet riešení každej z nich. 3.6. V paragrafe 3.2 definovaný (redukovaný) stupňovitý tvar matice by sme mohli presnejšie nazvať riadkovým (redukovaným) stupňovitým tvarom. Sformulujte definíciu stĺpcového (redukovaného) stupňovitého tvaru matice. Podrobne definujte elementárne stĺpcové operácie (ESO) typov I, II a III. 3.7. Nech A = (aij)mxn, B = (bik)mxp su matice nad poľom K. Označme bk = Sk(B) k-ty stĺpec matice B. Uvažujme maticovú rovnicu A ■ X = B s neznámou maticou X = (xjk)nxp. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Matica X G Knxp je riešením maticovej rovnice A ■ X = B práve vtedy, keď pre každé k < p je jej k-ty stĺpec X]~ = Sfc(X) riešením sústavy A ■ x = b/.- (b) Maticová rovnica A- X = B má riešenie práve vtedy, keď každá zo sústav Ax= bk (k = í,... ,p) má riešenie. Na základe (a) a (b) navrhnite metódu, ako možno úpravou vhodnej blokovej matice pomocou ERO riešiť naraz viacero sústav A ■ x = bk s rovnakou ľavou stranou a rôznymi pravými stranami bi,..., bp. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.8. Nech A = (a,ij)mxn, C = (ckj)qxn sú matice nad poľom K. S hromadným riešením akých sústav lineárnych rovníc súvisí riešenie maticovej rovnice Y- A = C s neznámou maticou Y = (yki)qxrn? Navrhnite metódu založenú na úprave vhodnej blokovej matice pomocou ESO. Ako sa možno vyhnúť ESO a nahradiť ich ERO? 3.9. Riešte maticové rovnice A X = B & F • ^4 = C pre matice A = (\\^), B = (\\~\), C'=(1^1^) nad poľom Q. Určte najprv rozmery matíc la ľ. Aké sústavy lineárnych rovníc ste takto vyriešili? Napíšte riešenie každej z nich (ak existuje). 3.10. Nad poľom R riešte sústavy lineárnych rovníc v neznámych x, y, z a, urobte diskusiu počtu riešení vzhľadom na parametre a G M resp. c, tí G M: (a) x + y+ (2a2 - í)z = a2 + a + 1, (b) ex + y + (c + í)dz = c + 2d+ 1, x + y + (a2 + a — í)z = í, ex + cdz = d + 1, x + a2 z = a2 + a; cy + 2cdz = 2c2 + cd — 1. 3.11. Nech K je pole a, m, n G N. Dokážte, že vzťah A ^ B riadkovej ekvivalencie na množine Kmxn spĺňa podmienky A^A, A^B^-B^A aA^B^B^C^-A^C pre ľubovoľné A, B, C G Kmxn. Inak povedané, tento vzťah je reflexívny, symetrický a tranzitívny, teda je naozaj reláciou ekvivalencie na množine Kmxn (pozri paragraf 0.6). Sformulujte analogický výsledok pre vzťah stĺpcovej ekvivalencie A l B. 3.12. Dokážte vetu 3.3.2. matematickou indukciou podľa počtu riadkov matice. (Návod: Ukážte, že matica s jediným riadkom je riadkovo ekvivalentná s maticou v redukovanom stupňovitom tvare. Predpokladajte, že matica A vznikla z matice v redukovanom stupňovitom tvare pridaním jedného riadku. Ukážte, že aj A je riadkovo ekvivalentná s maticou v redukovanom stupňovitom tvare.) 3.13. Dokážte jednoznačnosť redukovaného stupňovitého tvaru matice. Presnejšie, dokážte, že pre matice 1, Be j^mxn v redukovanom stupňovitom tvare platí A ~ B =>• A = B. (Návod: Ak A, B sú v redukovanom stupňovitom tvare a A ^ B, ukážte, že homogénne sústavy lineárnych rovníc nemajú rovnaké riešenia; to je však spor s A ~ B.) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 3.14. Dokážte zosilnenie tvrdenia 3.3.1. do podoby ekvivalencie, t. j. pre ľubovoľné A, B G Kmxn, 6, c G Km platí: sústavy A ■ x = b a B ■ x = c sú ekvivalentné práve vtedy, keď (A\b) ~ (B\ c). (Návod: Modifikujte myšlienku z predchádzajúceho cvičenia na nehomogénne sústavy.) 3.15. Dokážte tvrdenie 3.3.6.(b). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4. Lineárne podpriestory a lineárna nezávislosť V tejto kapitole sa opäť vrátime k štúdiu abstraktných vektorových priestorov nad všeobecným poľom. K bude v celej kapitole označovať nejaké pevné, inak ľubovoľné pole a V bude nejaký pevne zvolený vektorový priestor nad K. Čitateľ sa však nedopustí nijakej chyby, ak si pod všeobecným poľom K bude predstavovať pole E všetkých reálnych čísel. Zakaždým, keď sa budeme odvolávať na geometrický názor, bude to dokonca užitočné. Na druhej strane by však nemal spúšťať zo zreteľa, že naše úvahy majú podstatne širšiu platnosť -okrem vektorových priestorov nad ÍR sa z nám známych príkladov vzťahujú tak na vektorové priestory nad poľom C všetkých komplexných čísel, poľom Q všetkých racionálnych čísel ako i na vektorové priestory nad konečnými pólami Zp. 4.1. Lineárne podpriestory vektorového priestoru Množina S C V sa nazýva lineárny podpriestor vektorového priestoru V, ak S ^ 0 a pre všetky skaláry a E K a vektory x, y E S platí ax E S a x + y E S. Inak povedané, neprázdna podmnožina S C V je lineárny podpriestor práve vtedy, keď je uzavretá na operácie skalárneho násobku a súčtu vektorov. Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom práve vyslovenej definície. 4.1.1. Tvrdenie. Nech S je lineárny podpriestor vektorového priestoru V. Potom 0 E S • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec a S s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku zúženými z V na S tvorí vektorový priestor nad poľom K. V každom vektorovom priestore V sú {0} a V lineárne podpriestory (v prípade, keď V = {0}, dokonca splývajú, inak ide o dva rôzne podpriestory) - {0} nazývame triválny alebo tiež nulovýa, V nevlastný alebo tiež p/nýlineárny podpriestor. Teda pre vlastný netriviálny lineárny podpriestor S C. V platí {0} ^ S ^ V. Napr. vo vektorovom priestore E3 netriviálne vlastné podpriestory sú práve všetky priamky a roviny prechádzajúce počiatkom 0. Nasledujúce tvrdenie charakterizuje lineárne podpriestory ako množiny uzavreté na lineárne kombinácie. 4.1.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú podmnožinu S vektorového priestoru V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) S je lineárny podpriestor vo V; (ii) S 7^ 0 a pre všetky skaláry a, b E K a vektory x, y E S platí ax+by E S; (iii) pre každé n E N a pre všetky skaláry a\,... ,an E K a vektory x\,..., xn E S platí CL\X\ + ... + anXn E S. Dôkaz. Postupne dokážeme implikácie (i) =^> (ii), (ii) =^> (iii) a (iii) =^> (i). (i)=^(ii): Ak S je lineárny podpriestor, tak S ^ 0. Nech a, b E K, x, y E S. Kedze S je uzavreté na skalárně násobky, platí ax, by E S. Z uzavretosti S na súčet vyplýva ax+by E S. (ii) =^ (iii): Nech platí (ii). Keďže 5^0, existuje s E S. Potom 0 = Os + Os E S a tiež ax = ax + Os E S pre každé a E K, x E S. Teda podmienka z (iii) je splnená pre • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec n = O (lebo prázdna lineárna kombinácia je 0) a n = 1; podľa (ii) je splnená tiež pre n = 2. Keby nebola splnená pre všetky n E N, označíme n najmenšie prirodzené číslo s touto vlastnosťou. Potom n > 2 a pre všetky k < n podmienka z (iii) platí. Nech cii,..., an E K, Xi,..., xn E S sú také, že a\Xi + ... + anxn ^ S. Avšak aiXi + ... + anxn = (aiXi + ... + an-ixn_i) + anxn E S, kedze pre prirodzené čísla n — 1 a 2 podmienka z (iii) platí. To je spor. (iii) =^> (i): Z platnosti (iii) pre n = 0 vyplýva, že 0 G S* (prázdna lineárna kombinácia je totiž 0). Teda S ^ 0. Voľbou n = 1 dostávame uzavretosť S na skalárně násobky. Uzavretosť S na súčet vyplýva z volby n = 2,ai = a2 = l- 4.1.3. Príklad. Kedze s príkladmi lineárnych podpriestorov vektorových priestorov Kn sa ešte stretneme pri mnohých príležitostiach, uvedieme tu niekoľko „exotickej ši ch" príkladov. Napospol pôjde o podpriestory priestorov Kx všetkých funkcií z nejakej množiny X do poľa K (pozri príklad 1.6.5). (a) Označme K^ množinu všetkých funkcií / : X —► K takých, že množina {x E X; f (x) ^ 0} je konečná. Pre ľubovoľnú lineárnu kombináciu funkcií f,g E K^ platí {x E X; a f (x) + bg(x) /0}C{i£l; f {x) ^ 0} U {x E X; g (x) ^ 0}. Z toho vyplýva, že K^ je lineárny podpriestor vektorového priestoru Kx. Ak X je konečná, tak R(x) = Kx; ak X je nekonečná, tak K^ je netriválny vlastný podpriestor vKx. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (b) Nech X C K je ľubovoľná množina reálnych čísel. Potom C (X,M.), alebo len stručne C (X) označuje množinu všetkých spojitých funkcií / : X —► R. Kedze lineárne kombinácie spojitých funkcií sú zrejme opäť spojité fumkcie, C (X) je lineárny podpriestor v Rx. (c) Ak X je nejaký (ohraničený alebo neohraničený) interval reálnych čísel, tak T>(X) označuje množinu všetkých funkcií / : X —► R, ktoré majú v každom bode x G X konečnú deriváciu (v prípadných krajných bodoch intervalu X sa žiada existencia konečnej derivácie zľava alebo sprava). Kedze každá diferencovatelná funkcia je spojitá na svojom definičnom obore a lineárna kombinácia diferencovatelných funkcií je opäť diferencovatelná, T>(X) je lineárny podpriestor vektorového priestoru C (X). 4.2. Lineárny obal množiny vektorov Množinu všetkých lineárnych kombinácií vektorov z podmnožiny X vektorového priestoru V nazývame lineárnym obalom množiny X a označujeme ju [X]. Teda [X] = {aiXi + ... + anxn; n G N & a\,..., an G K & x1}..., xn G X}. Ak X = {xi,..., xn} je konečná množina, tak miesto [{cci,..., a^}] píšeme len [aji,..., xn]. Zrejme tento zápis má zmysel aj pre ľubovoľnú usporiadanú n-ticu (nie nutne rôznych) vektorov (x\,..., xn), a platí [xi,... ,xn] = {aiXi + ... + cinXn] a1}..., an G K}. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.2.1. Tvrdenie. Nech X je podmnožina vektorového priestoru V. Potom lineárny obal [X] množiny X je najmenší lineárny podpriestor vektorového priestoru V taký, že X C [X]. Dôkaz. Musíme dokázať dve veci: (a) [X] je lineárny podpriestor vo V] (b) pre každý lineárny podpriestor S C. V platí X C S =>- [X] C S. (a) Zrejme [X] obsahuje 0 ako prázdnu lineárnu kombináciu, teda [X] ^ 0. Nech c, d E K a u= aľXi + .. . + anx.n, v = b1y1 + .. . + bmym sú prvky z [X], pričom ai}bj E K, xi} ijj E X. Potom CU+ dv = caiXi + ... + canXn + dbxy\ + • • • + dbmym E [X], kedze je to opäť lineárna kombinácia vektorov z X. Podľa podmienky (ii) tvrdenia 4.1.2. je [X] lineárny podpriestor vo V. (b) Nech S C V je lineárny podpriestor taký, že X C S*. Potom podľa podmienky (iii) tvrdenia 4.1.2. všetky lineárne kombinácie vektorov z S, a. tým skôr vektorov z X, patria do S. Teda [X] C S. Dokázané tvrdenie nás oprávňuje nazývať lineárny obal [X] množiny X C V tiež lineárnym podpriestorom generovaným množinou X. Ak [X] = S, hovoríme, že X generuje lineárny podpriestor S, prípadne že X je generujúca množina alebo tiež množina generátorov lineárneho podpriestoru S C. V. Ak S = V, t. j. ak [X] = V, hovoríme krátko o generujúcej množine. Používa sa tiež názov vytvárajúca množina. Kvôli prehľadnosti ešte zhrnieme základné vlastnosti operácie lineárneho obalu X i—► [X]. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.2.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľné podmnožiny X, Y vektorového priestoru V a v E V platí: (a) [0] = [O] = {O}; (b) X C [X]; (c) ICľ4 [X] C [Y]; (d) X je lineárny podpriestor vo V práve vtedy keď X = [X]; (e) [[X]} = [X]; (f) ve[X]^ [XU{v}] = [X]. Dôkaz, (a), (b) a (c) sú triviálne, (d) priamo vyplýva z tvrdenia 4.2.1. a (e) je bezprostredným dôsledkom (d). (f) Nech v E [X]. S použitím (b), (c) a (e) dostávame [Xö{v}]C[[X]ö{v}] = [[X]] = [X]. Teda [X U {v}] = [X]. Kedze v E [X U {v}], obrátená implikácia je triviálna. 4.3. Prienik a súčet lineárnych podpriestorov Nech X, y sú lubovolné podmnožiny vektorového priestoru V. Potom množinu X + Y = {x+y- xeX kyEY} nazývame súčtom množín X, Y. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.3.1. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. Potom aj S C\T a S + T sú lineárne podpriestory vo V. Navyše platí S + T=[SUT\, t. j. S + T je najmenší lineárny podpriestor vo V, ktorý obsahuje S aj T. Dôkaz. Zrejme O E S n T. Z toho, že S* aj T sú uzavreté na lineárne kombinácie, vyplýva, že aj S C\T má túto vlastnosť. Dokážeme, že aj S + T je uzavreté na lineárne kombinácie. Nech a\,a2 E K a ux = xi + Z/i, W2 = &1 + Z/2 sú vektory z S + T, pričom Xi,X2 E S, yi,y2 E T. Potom aiiii + a2U2 = ai(xi + j/i) + a2(x2 + jfe) = (aixi + CL2X2) + (aij/i + a2y2) E S + T, lebo S", T sú lineárne podpriestory, teda a\X\ + 02^2 E S a aij/i + a2y2 E T. Dokážeme poslednú rovnosť. Inklúzie SUTC S + T C [S U T] sú zrejmé. Kedze S + T je lineárny podpriestor voľa[SUľ] je najmenší lineárny podpriestor vo V, ktorý obsahuje množinu S U T, platí tiež [S U T] C S + T. Na druhej strane čitateľ iste ľahko nájde príklady na to, že zjednotenie dvoch lineárnych podpriestorov S, T vektorového priestoru V nemusí byť lineárnym podpriestorom. Presnejšie, S* U T je lineárny podpriestor vo V práve vtedy, keď S C. T alebo T C. S. Porozmýšľajte prečo. Každý prvok z E S + T súčtu lineárnych podpriestorov S,T C. V možno vyjadriť v tvare z = x+ y pre nejaké x E S, y E T. Vo všeobecnosti to však možno urobiť viacerými • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec spôsobmi. Súčet lineárnych podpriestorov S, T vektorového priestoru V nazývame priamym alebo tiež direktným súčtom, ak každé z E S + T možno jednoznačne vyjadriť v tvare z = x + y, kde x E S, y E T; takýto súčet zvykneme tiež označovať S (BT. 4.3.2. Tvrdenie. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) S + T = S ®T, t. j. súčet S + T je direktný; (ii) 5nr = {o}. Dôkaz, (i) =>- (ii): Nech z E S n T. Potom z možno vyjadriť v tvare z = z+ 0, kde z E S, 0 E T, ako aj v tvare z = 0 + z, kde 0 E S, z E T. Z predpokladanej jednoznačnosti vyplýva z = 0. Teda S n T = {0}. (ii) =^> (i): Nech S C\ T = {0}. Predpokladajme, že vektor z E S + T možno vyjadriť v tvaroch z = Xi + yx = x^ + y2, kde a?i, x^ E S, yí} y2 E T. Potom a?i - Xq, = y2 - y\. Kedze X\ — x^ E S, y2 — y\ E T, uvedená spoločná hodnota patrí do SC\T. Preto X\ — x? = Z/2 — Z/i = 0, t. j. Xi = Xq, yi = y2. To dokazuje požadovanú jednoznačnosť. Uvedenú definíciu možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť na priamy súčet ľubovoľného konečného počtu lineárnych podpriestorov. Zodpovedajúce zovšeobecnenie podmienky (ii) z práve dokázaného tvrdenia však už celkom priamočiare nie je. Podrobnosti nájde čitateľ v cvičení 4.8. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.4. Lineárna nezávislosť Nech Ui,... ,Un E V. Hovoríme, že usporiadaná n-tica vektorov (ui,..., u„) je lineárne závislá, ak existujú skaláry c\,..., cn E K také, že (c\,..., cn) ^ 0 a C\U\ + ... + cnun = 0. V opačnom prípade hovoríme, že usporiadaná n-tica vektorov (u\,..., un) je lineárne nezávislá. Pre n = 0 kvôli úplnosti dodávame, že usporiadanú 0-ticu (t. j. prázdnu postupnosť) vektorov považujeme za lineárne nezávislú. Miesto „lineárne (ne)závislá usporiadaná n-tica vektorov (ui,...,«^)" budeme často hovoriť len o lineárne (ne)závislých vektoroch U\,... , tin. Rozměňme si teraz „na drobné", čo znamená ono „v opačnom prípade" v definícii lineárnej nezávislosti. Podľa tejto definície vektory uX)..., -u,n sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď (Vci,... ,cnE K)(ciUi + ... + cnun = 0 => d = ... = cn = 0). Vidíme, že logická štruktúra pojmu lineárnej nezávislosti je trochu zložitejšia, než sme boli doteraz zvyknutí. Kedze ide o kľúčový pojem, je potrebné sa pri ňom na chvíľu pristaviť. Uvedomme si, že pre n-ticu skalárov (ci,...,cn) = 0 platí C\UX + ... + cnun = 0 pre ľubovoľnú n-ticu vektorov (ui,..., u„), bez ohľadu na to, či je lineárne závislá alebo nezávislá. Avšak pre niektoré n-tice vektorov (u\,..., un) môžeme ako výsledok lineárnej kombinácie C\U\ + ... + cnun dostať 0 aj pomocou inej n-tice skalárov (c\,..., cn) než len 0 = (0,..., 0) - takéto usporiadané n-tice (u\,..., un) nazývame lineárne závislé. Pre niektoré usporiadané n-tice vektorov (u\,..., un) je voľba (c\,..., cn) = 0 jediná možnosť ako lineárnou kombináciou C\UX + ... + cnun získať výsledok 0 - takéto usporiadané n-tice nazývame lineárne nezávislé. • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Na precvičenie práve definovaných pojmov čitateľovi odporúčame, aby si dokázal štyri jednoduché no užitočné pozorovania: (a) jediný vektor u je lineárne nezávislý práve vtedy, keď m^O; (b) vektory u, v sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je násobkom druhého; (c) ak niektorý z vektorov uX)... , -u,n je 0, tak tieto vektory sú lineárne závislé; (d) ak sa niektoré dva z vektorov uX)..., -u,n rovnajú alebo niektorý z nich je násobkom iného, tak tieto vektory sú lineárne závislé. Inak povedané, len usporiadaná n-tica nenulových a navzájom rôznych vektorov, z ktorých žiaden nie je násobkom druhého, môže (no stále ešte nemusí) byť lineárne nezávislá. Nasledujúce tvrdenie asi vysvetľuje názov „lineárna závislosť" lepšie než samotná definícia. 4.4.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľné n E N a U\,..., un E V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) vektory U\,..., un sú lineárne závislé; (ii) niektorý z vektorov Uk, k < n, je lineárnou kombináciou predchádzajúcich; (iľ) niektorý z vektorov uk, k < n, je lineárnou kombináciou nasledujúcich; (iii) niektorý z vektorov uk, k < n, je lineárnou kombináciou ostatných. Dôkaz. Dokážeme implikácie (i) =^> (ii) =^> (iii) a (iii) =^> (i). Rovnako by bolo možné dokázať aj implikácie (i) =^> (ii') =^> (iii). (i) =^ (ii): Nech U\,... ,un sú lineárne závislé vektory skaláry, nie všetky rovné 0, také, že C\UX +... + cnVn = 0. Nech k je najväčší z indexov 1,..., n taký, že c^ ^ 0. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Potom d = 0 pre k < i < n, teda C\U\ + ... + CkUk = Yľí=i cíuí = 0. Z toho dostávame Uk = Cll{cXUi + . . . + Cfc_iUfc_i), t. j. wfc je lineárnou kombináciou predchádzajúcich vektorov, (ii) =>- (iii) platí tri valne, (iii) =>- (i): Ak Uk = Yľí=í c-iUi Je lineárnou kombináciou ostatných vektorov, položme Ck = — 1. Potom pre n-ticu skalárov (c\,..., cra) 7^ 0 platí C\U\ + ... + cnun = 0, teda vektory U\,... , un sú lineárne závislé. Poznámka. Všimnite si, že dôkaz implikácie (i) =^> (ii) pokrýva aj prípad k = 1. Vtedy c\ 7^ 0 a C1U1 = 0, preto tiež U! = 0. Teda ux je naozaj lineárnou kombináciou predchádzajúcich (t. j. prázdnej postupnosti) vektorov. Každý vektor x z lineárneho obalu [ui,..., uj možno vyjadriť v tvare X= CiUi + ... +cnvn pre nejakú n-ticu skalárov (c\,..., cn). Nasledujúce tvrdenie ukazuje, že lineárna nezávislosť vektorov U\,..., un je ekvivalentná s jednoznačnosťou tohto vyjadrenia. 4.4.2. Veta. Vektory uX)..., -u,n sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď každý vektor x E [u\,..., Un] možno vyjadriť v tvare x = c\U\ + ... + cnun pre jedinú usporiadanú n-ticu (ci,...,cra) G Kn. Dôkaz. Nech %,..., u„ sú lineárne nezávislé vektory. Predpokladajme, že vektor x E [ui,... , Un] možno vyjadriť v tvaroch X = CiUi + . . . + CnUn = diUi + . . . + dnUn, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec kde (ci,..., Cn), (d\,..., dn) E Kn. Potom (Ci - di)Ui + ... + (Cn- d„)Ua = 0. Z lineárnej nezávislosti vektorov U\,..., un vyplýva c\ — d\ = ... = cn — dn = 0, čiže (ci,..., Cn) = (d\,..., dn). Teda vyjadrenie vektora x v tvare lineárnej kombinácie vektorov Ui,..., Vn je jednoznačné. Predpokladajme teraz, že každý vektor x E [%,..., u„] má jednoznačné vyjadrenie v tvare lineárnej kombinácie vektorov uX)..., un. Špeciálne to platí aj pre vektor x = 0, ktorý má vyjadrenie 0 = Qui + ... + 0u„. Z jednoznačnosti tohto vyjadrenia vyplýva CiUi + ... + cnun = 0 => a = ... = Cn = 0 pre ľubovoľnú n-ticu skalárov (ci,..., cn). Teda vektory uX)..., -u,n sú lineárne nezávislé. Nasledujúce tvrdenie dáva do súvislosti lineárnu (ne)závislosť s lineárnym obalom. 4.4.3. Tvrdenie. Nech U\,..., tt„, v E V pričom vektory U\,..., Un sú lineárne nezávislé. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) v E [ui,...,un]; (ii) vektory U\,..., un) v sú lineárne závislé; (Hi) [uu . . . , Un, V] = [Ui,...,Un]. Dôkaz, (i) =^- (ii): Ak v E [u\,..., u„] tak vektory U\,..., un) v sú lineárne závislé podľa tvrdenia 4.4.1. (ii)=^(iii): Nech vektory U\,... ,Un,v sú lineárne závislé. Potom niektorý z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich. Kedze vektory uX)..., -u,n sú lineárne nezávislé, môže to byť len vektor v. Teda v E [ui,..., uj. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (iii) =>- (i) je obsiahnuté v bode (f) tvrdenia 4.2.2. 4.4.4. Veta. Nech U\,..., un, v\,..., vm e V, pričom vektory U\,..., un sú lineárne nezávislé. Potom z množiny {1,... ,m} možno vybrať indexy %\ < ... < i\. tak, že vektory Ui,... , un, vix,..., vik sú lineárne nezávislé a generujú rovnaký podpriestor ako vektory u\i ■ ■ ■ i uni v\i ■ ■ ■ i vm- Dôkaz. Označme X = {vx,... , vm}. Vektory vix,... , vik vyberieme z množiny X nasledujúcim spôsobom. Ak X C [ux,..., Un], položme k = 0, t. j. nevyberieme žiaden z nich. V opačnom prípade nech vix je prvý z vektorov množiny X, ktorý neleží v podpriestore [uí}... , un\. Ak X C [ui,..., Un, Víj], tak k = 1 a vix je jediný vybraný vektor. Podľa predchádzajúceho tvrdenia sú vektory U\,... , un, vix lineárne nezávislé. Ak X $Z [ui,... , un, UjJ, označíme Vi2 prvý vektor množiny X, ktorý neleží v [u\,... , Un, UjJ (zrejme i\ < %2 a Vix 7^ vÍ2). Vektory U\,..., un, vix, vÍ2 sú podľa tvrdenia 4.4.3. opäť lineárne nezávislé. Podľa potreby pokračujeme rovnakým spôsobom, až kým pre takto získané lineárne nezávislé vektory ux,..., un, vix,..., vik neplatí inklúzia X C [ux,... ,un,vil,... ,vik], kedy sa zastavíme. (V krajnom prípade dostaneme k = m, t. j. vyberieme všetky vektory z množiny X.) Z uvedenej inklúzie okamžite vyplýva rovnosť [Ui, . . . , Un, Vi, ... , Vm] = [Ui, . . . , Un, Vix, . . . , Vik], kedze každý z generátorov podpriestoru na ľavej strane je prvkom podpriestoru na pravej strane. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.5. Lineárny obal a lineárna nezávislosť v priestoroch Km V tomto paragrafe si ukážeme, ako možno na základe našich doterajších znalostí o sústavách lineárnych rovníc tou istou metódou úpravy matíc pomocou ERO na (redukovaný) stupňovitý tvar riešiť pre vektory z priestoru Km nasledujúce tri otázky: (1) rozhodnúť pre dané vektory Xi,... ,xn,y E Km či y patrí alebo nepatrí do lineárneho obalu [x\,... ,Xn]; (2) rozhodnúť pre dané vektory X\,... , xn E Km či sú lineárne závislé alebo nezávislé; (3) vybrať z vektorov X\,... , xn E Km lineárne nezávislé vektory Xjx,... , Xjk (ji < ... < jk) tak, aby vektory Xjlf... , Xjk generovali vo V ten istý lineárny podpriestor ako vektory X\,... , xn. Hoci všetky tri otázky možno riešiť naraz jednotným spôsobom, z metodických dôvodov začneme jednoduchšími otázkami (1) a (2), a až potom pristúpime k trochu zložitejšej otázke (3). Navyše pri tom zavedieme označenie, ktorého sa budeme držať v celom paragrafe. Nech Xi,... ,xn,y E Km sú stĺpcové vektory, pričom -(ľ) -0- \^mj/ \ym/ Označme X = (x i j) E Kmxn maticu so stĺpcami x1}..., xn, a (X\y) E Xmx(ra+1) blokovú maticu zloženú z matice X a vektora y. Potom pre c = (ci,..., cn)T E Kn platí: • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (1) cixi + ... + cnxn = y <=>• X- c= y; (2) c\X\ + ... + cnxn = O -^ Xc = 0. Inak povedané: (1) y E [xi,... ,xn] práve vtedy, keď sústava X- c = y s rozšírenou maticou (X | y) má aspoň jedno riešenie; (2) vektory Xi,... ,xn sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď homogénna sústava X ■ c = 0 má jediné riešenie c = 0; ak táto sústava má aj nejaké nenulové riešenie, tak vektory X\,..., xn sú lineárne závislé. (Nedajte sa spliesť atypickým označením: Xij sú teraz koeficienty sústavy, y i sú zložky pravej strany a c j sú neznáme.) Otázku (1) už vieme riešiť. Stačí pomocou ERO upraviť maticu (X\ y) na stupňovitý tvar. Ak výsledná matica obsahuje riadok tvaru (0,..., 0 | z), kde z ^ 0, tak sústava Xc = y nemá riešenie a y ^ [xi,..., xn]. Ak sa taký riadok vo výslednej matici nenachádza, tak sústava má aspoň jedno riešenie a y E [xi,... ,xn]. Podobne je to s otázkou (2). Opäť stačí pomocou ERO upraviť maticu X na stupňovitý tvar a pozrieť sa, či v každom stĺpci leží vedúci prvok nejakého riadku. Ak je to tak, niet čo voliť za parametre, c = 0 je jediným riešením sústavy X ■ c = 0 a vektory X\,..., xn sú lineárne nezávislé. V opačnom prípade máme možnosť voľby aspoň jedného parametra, sústava má aj nejaké nenulové riešenie a vektory asi,..., xn sú lineárne závislé. Ešte si všimnime úzku súvislosť oboch otázok. Vedúcim prvkom riadku (0,..., 0 | z), kde z 7^ 0, je práve v (n + l)-om stĺpci ležiaci prvok z. Teda matica v stupňovitom tvare riadkovo ekvivalentná s (X \ y) neobsahuje taký riadok práve vtedy, keď v jej poslednom stĺpci neleží vedúci prvok žiadneho riadku. 4.5.1. Príklad. Uvažujme stĺpcové vektory Xi = (1,1, —1, —1)T, Xz = (0,1,0,1)T, x3 = (3,1,-3, -5)T, x4 = (0, 0,1, 2)T, y = (3, 5, -2,1)T, z = (1,1,1,1)T v priestore E4. Máme rozhodnúť, či vektory y, z patria do lineárneho obalu [xi,X2,x3, aj4]. Označme si nasledujúce • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec matice (x\y) í V 10 11 ■10 -11 30 10 -3 1 -5 2 3\ 5 -2 / (X\z) V 10 30 11 10 ■10-3 1 -11-5 2 Matice (X \ y), (X \ z) sú riadkovo ekvivalentné s maticami 1\ 1 1 /io 01 00 yoo 30 -2 0 01 00 3\ 2 1 °/ resp. /10 01 00 yoo 30 -2 0 01 00 1\ o 2 -v Okamžite vidíme, že platí y G [cci, a^, cc3, cc4] a z ^ [a?i, a^, cc3, cc4]. 4.5.2. Príklad. Zistíme, či stĺpce reálnej matice X (2 0 1 3\ 2 1 23 0232 yi 2 4 2y • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec sú lineárne závislé alebo nezávislé. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s maticou íl 2 4 2\ 0110 0012 • \00 0 5/ Vidíme, že stĺpce matice X sú lineárne nezávislé. Na druhej strane, ako matica nad poľom Z5 je X riadkovo ekvivalentná s maticou íl 2 4 2\ 0134 0031 " \0 0 0 0/ Teda stĺpce matice X, chápané ako vektory z vektorového priestoru Zg, sú lineárne závislé. Kľúčom k odpovedi na otázku (3) je nasledujúce tvrdenie. 4.5.3. Tvrdenie. Nech X, Y G Kmxn sú riadkovo ekvivalentné matice, pričom matica Y je v stupňovitom tvare. Pre 1 < j < n označme Xj = s j (X) j-ty stĺpec matice X. Nech ji < ... < j k sú indexy všetkých stĺpcov matice Y, v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov. Potom platí: (a) vektory x^,... , xjk sú lineárne nezávislé; (b) ak v j-tom stĺpci matice Y neleží vedúci prvok žiadneho jej riadku (t. j. 1 < j < n a j ť^ ji> • • • jjk), tak vektor Xj je lineárnou kombináciou vektorov x^,..., Xju kde l < k je najväčší index, pre ktorý platí ji < j; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (CJ [Xj1, . . . , Xjk\ — [X\,..., xn\. Dôkaz, (a) Označme X, Y matice, ktoré pozostávajú len zo stĺpcov s indexmi ji,..., jk matíc X resp. Y (ostatné stĺpce vynecháme). Potom postupnosťou tých istých ERO, ktorými sme X upravili na Y, dostaneme z X maticu Y, teda X ~ Y. Matica Y je však v stupňovitom tvare a má v každom stĺpci vedúci prvok nejakého svojho riadku. Preto homogénna sústava X ■ d = 0 má jediné riešenie d = 0 G Kk, čo znamená, že stĺpce matice X, t. j. vektory x^,... , xjk, sú lineárne nezávislé. (b) Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že matica y je dokonca v redukovanom stupňovitom tvare. Poloha vedúcich prvkov riadkov v jednotlivých stĺpcoch bude stále rovnaká. Nech j ^ ji,... ,jk- Pri voľbe parametra Cj = 1 a volbou 0 za hodnotu všetkých ostatných parametrov (ak nejaké zostali) dostaneme jedno riešenie c = (c\,..., cn)T ^ 0 sústavy X ■ c = 0. Nech / < k je najväčší index taký, že ji < j. Pre naše riešenie c navyše platí Cp = 0, ak j < p < n. Ak je totiž cp parameter, tak je to dôsledok našej volby, a vo vyjadrení neznámych Cjh pre l < h < k sa (jediný nenulový) parameter Cj nevyskytuje. Označme X" maticu, ktorá pozostáva len zo stĺpcov matice X s indexmi ji,... ,ji a j. Z uvedených dôvodov je vektor c" = (c^,... ,Cjv 1)T riešením sústavy X" ■ c" = 0. To znamená, že Xj = —[Cj1Xj1 + . . . + CjtXjJ E [Xj1,... ,Xjt\. (c) je bezprostredným dôsledkom (b) a tvrdenia 4.4.3. Práve dokázané tvrdenie nám dáva priamy návod na riešenie otázky (3). Stačí pomocou ERO upraviť maticu X = (x\,..., xn) na maticu Y v stupňovitom tvare a zistiť v nej indexy ji < ... < jk všetkých stĺpcov, v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov. Potom x^,..., xjk sú hľadané lineárne nezávislé vektory, ktoré generujú lineárny podpriestor [aji,... , x„\. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.5.4. Príklad. Zo stĺpcov reálnej matice íl 13-1 l\ 202 13 113 24 \202 02/ treba vybrať lineárne nezávislé stĺpce, ktoré generujú lineárny obal všetkých stĺpcov matice X. Matica X je riadkovo ekvivalentná s maticou /l13 —1 l\ 0 12 2-3 000 1 1 \000 0 0/ v stupňovitom tvare. Vedúce prvky riadkov matice y sa nachádzajú v stĺpcoch 1, 2 a 4. Hľadané vektory sú teda stĺpce 1, 2 a 4 matice X. Zapísané vedľa seba tvoria maticu 20 1 1 1 2 -\20 0/ I keď sme celý postup riešenia otázok (1), (2) a (3) vyložili len pre priestory stĺpcových vektorov Km a týchto priestorov sa týkali aj všetky príklady, čitateľovi by už nemalo robiť • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec ťažkosti modifikovať popísanú metódu aj na priestory riadkových vektorov Km - či už transponovaním, príslušných matíc riadkových vektorov alebo nahradením elementárnych riadkových operácií stĺpcovými. 4.6. Lineárne nezávislé postupnosti a množiny V tomto paragrafe stručne doplníme pojmy lineárnej závislosti a nezávislosti spôsobom, ktorý umožňuje ich použitie i v prípade nekonečných postupností a ľubovoľných (t. j. konečných aj nekonečných) množín vektorov. Nakolko však tieto otázky zostávajú na okraji nášho záujmu, popri príslušných definíciách sa obmedzíme len na niekoľko jednoduchých zovšeobecnení výsledkov o lineárnej (ne)závislosti usporiadaných n-tíc. Nekonečnú postupnosť (uk)^=0 = (uq, Ui, «2, • • •, uk,...) vektorov z priestoru V nazývame lineárne nezávislou, ak každá jej konečná podpostupnosť (ukl,..., ukn), kde 0 < k\ < ... < kn, je lineárne nezávislá. Dôkaz nasledujúceho jednoduchého tvrdenia prenechávame čitateľovi. 4.6.1. Tvrdenie. Nekonečná postupnosť (wfc)^0 vektorov z V je lineárne nezávislá práve vtedy, keď pre každé n E N jej počiatočný úsek (vq, U\,..., un) je lineárne nezávislý. Napríklad postupnosť (l,x,x2,... ,xk,...) všetkých mocnín x je lineárne nezávislá postupnosť vo vektorovom priestore K [x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom K. Polynom f (x) = a0 + ci\X + ... + anxn je totiž (definitoricky) nulový práve vtedy, keď do = di = ... = On = 0. Množina X C V sa nazýva lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec n E N každá usporiadaná n-tica navzájom rôznych vektorov (u\,..., un) z množiny X je lineárne nezávislá. Ešte raz podčiarkujeme ono „navzájom rôznych" - keby totiž U\,... , un neboli navzájom rôzne vektory, nemohli by byť lineárne nezávislé. Lineárna závislosť či nezávislosť usporiadanej n-iice vektorov nezávisí od ich poradia -zrejme usporiadaná n-tica (ui,..., u„) je lineárne nezávislá práve vtedy, keď je lineárne nezávislá usporiadaná n-tica (ua^,... ,ua^), kde a je ľubovoľná permutácia množiny {l,...,n}. Inak povedané, lineárna (ne)závislosť usporiadanej n-tice (ui,... ,Un) navzájom rôznych vektorov je vlastnosťou množiny {u\,... , un}. Čitateľ už iste ľahko nahliadne platnosť nasledujúceho očividného tvrdenia. 4.6.2. Tvrdenie. Usporiadaná n-tica (ui,..., un) navzájom rôznych vektorov z V je lineárne nezávislá práve vtedy, keď množina {ui,... , u„} C V je lineárne nezávislá. Naše záverečné tvrdenie, ktoré dáva do súvisu lineárnu (ne)závislosť množiny s jej lineárnym obalom, je obdobou tvrdenia 4.4.3. Taktiež jeho dôkaz možno získať malou obmenou dôkazu spomínaného tvrdenia. 4.6.3. Tvrdenie. Nech X C V je lineárne nezávislá množina a v E V. Potom nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) v E [X]; (U) množina X U {v} je lineárne závislá; (iii) [XD{v}] = [X]. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Cvičenia 4.1. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. Potom S* U T je lineárny podpriestor V práve vtedy, keď S C T alebo T C S. Dokážte. 4.2. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či daná podmnožina S vektorového priestoru V nad poľom K je jeho lineárnym podpriestorom. Svoje rozhodnutie zdôvodnite. Ak S nie je lineárny podpriestor, popíšte jeho lineárny obal [S]. (a) K = R, V = R, S= (-1,1); (b) K = C, V = C, S = {z G C; \z\ = 1}; (c) K = R, V = R2, S = {(x, y) G R2; x - 2y = 0}; (d) K = C, V = C2, S = {(x, y) G C2; x + \y = 1}; (e) K = R, V = C, S = {x G C; Rex = Imi}; (f)K = q,V = R,S = q[VŠ] = {a + bVŠ; a, b G Q}; (g) K = Z2,V = ZlS= {(0, 0,0), (1, 0,0), (0,1, 0), (0, 0,1)}; (h) K = Z3, V = Z2, S = {(0,0), (1, 2), (2,1)}; (i) K ľubovoľné, V = K [x], S = {f (x) G K [x]; f (í) = 0}; (j) K ľubovoľné, V = K [x], S = {f (x) G K [x]; /(0) = 1}; (k) K ľubovoľné, V = K [x], S = {f (x) G K [x]; /(0) = f (í)}; (1) K ľubovoľné, V = K [x], S = {a + bx + (a + b)x2; a,b e K}; (m) K ľubovoľné, V = K [x], S = {a + bx + (a + b + í)x2; a,b e K}. 4.3. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či uvedené vektory z vektorového priestoru V nad poľom K sú lineárne nezávislé. Svoje rozhodnutie odôvodnite. (a) if = Q, V = q2, u=(0,0), »=(1,1); • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (b)K = q, v = q3, w=(í,2,:í)t- (c)K = R,V = R4, x = (O,1,0, Í)T, y = (1,0,1,0)T, z = (1,0,0, Í)T; (d) K = C, V = C3, u = (1, i, -i), v = (2 + i, 3 - i, 1 + 2i), w = (2 + 2i, 2 - i, 2 + 2i); (e) if = Z5, 1/ = Z4, x = (1, 3, 2, 4), y = (2, 2,1,1), z = (4, 2, 4, 2); (f) if = Z7, 1/ = Zf, x = (1, 3, 2,4), y = (2, 2,1,1), z = (4, 2,4, 2); (g) if = R, V = R(3)[x], /o(x) = 1, A(x) = x, /2(x) = x(x - 1), h{x) = x{x - l){x - 2); (h) K = Z3, V = Z13[x], f(x) = 5 + 12x, #(x) = 12 + 8x; (i) if = R, y = R [x], /(x) = 5 + 12x, #(x) = 12 + 8x. 4.4. Nech V je vektorový priestor nad poľom if, u\,..., un G V sú lineárne nezávislé vektory aie j^mxn^ Pre i = 1,..., m označme 1% = anUi +.. . + ainun = Tí(A) -(ui, ..., un)T. Potom vektory vi,..., vm G y sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď riadky matice A sú lineárne nezávislé vektory v if™. Dokážte. Čo sa zmení, ak u\,..., un sú lineárne závislé? 4.5. Nech V je vektorový priestor nad poľom if. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či vektor u e V patrí do lineárneho obalu vektorov x, y, z G V. (a) if = R, V = R3, x = (1,1, 2)T, y = (-2,1, -l)T, z = (0,1, l)T, u = (1, 2, -íf; (b) if = C, 1/ = C2, x=(i,l+i), y =(1,1-i), z=(i,-i), u=(l + i,l-i); (c) if = Z3, 1/ = Z3, z = (0,1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2,0,1), u = (1,0,1); (d) if = Z5, V = Z3, z = (0,1, 2), y = (1, 2, 0), z = (2, 0,1), u = (1, 0,1). 4.6. V každej z úloh (a)-(i) cvičenia 4.3 vyberte z daných vektorov lineárne nezávislé vektory, ktoré generujú ten istý lineárny podpriestor ako pôvodné vektory. Riešte rovnaký problém pre vektory x, y, z, u v každej z úloh (a)-(d) cvičenia 4.5. Využite pri tom výsledky cvičení 4.3 a 4.5. 4.7. Doplňte chýbajúce dôkazy častí (a)-(e) tvrdenia 4.2.2. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 4.8. (a) Zovšeobecnite definíciu priameho súčtu na ľubovoľný konečný počet lineárnych podpriestorov daného vektorového priestoru. (b) Nech Si,...,Sn (n > 2) sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. Pre i = í,...,n označme T = Sľ + ... + Si_1 + Si+1 + ... + Sn, t. j. T\ = S2 + ■ ■ ■ + Sn, T2 = Sľ + S3 + ... + Sn, ..., Tn = S\ + ... + Sn-i. Potom Si + ... + Sn = S\ © ... © Sn, t.j. súčet podpriestorov Si,... ,Sn je priamy, práve vtedy, keď pre každé i < n platí Si n Ti = {0}. Dokážte. 4.9. Nech V je vektorový priestor nad poľom K &X C V je ľubovoľná podmnožina. Dokážte tzv. podmienku záměny: (V u, u G V)(u G [IU{»}] \ [X] 4 »G [IU{u}]). Rozhodnite, či platí dokonca ekvivalencia (V u, v G V)(u e [X U {v}} \ [X] <& v G [X U {u}} \ [X])? 4.10. Dokážte tvrdenia 4.6.1., 4.6.2. a 4.6.3. 4.11. Nech K je pole a {pk{x))^=(j je postupnosť polynómov z K [x] taká, že pre k ^ l majú polynomy Pk(x), pi(x) rôzny stupeň. Dokážte, že potom ide o lineárne nezávislú postupnosť. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 5. Báza a dimenzia V tejto kapitole sa oboznámime s pojmom bázy vektorového priestoru, čo nám v niektorých vektorových priestoroch umožní zaviesť súradnice. Ďalej budeme definovať dimenziu vektorového priestoru a odvodíme jej základné vlastnosti. V nasledujúcej kapitole si potom okrem iného dokážeme, že dimenzia je základný štruktúrny invariant tzv. konečnorozmer-ných vektorových priestorov. I v tejto kapitole V označuje nejaký vektorový priestor nad pevným poľom K. 5.1. Steinitzova veta a konečnorozmerné priestory Začneme jedným technickým výsledkom kľúčového významu. 5.1.1. Tvrdenie. (Steinitzova veta) Nech uíy..., un, víy..., vm E V. Ak vektory Ui,... ,Vn sú lineárne nezávislé a všetky patria do lineárneho obalu [vi,..., vm], tak n < m. Dôkaz. Kedze Uj E [v\,..., vm] pre každé j < n, existujú Cj = (c\j,..., cmj)T E Km také, že Uj = C\jVi + . . . + CmjVm = [Vi, . . . , Vm) ■ Cj. Inak povedané (ui,...,u„) = (vi,...,vm) ■ C, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec kde C = (cíj)mxn je matica so stĺpcami C\,..., cn. Predpokladajme, že m < n. Potom podľa tvrdenia 3.3.6. má homogénna sústava Cx = 0 aspoň jedno riešenie x = (x\,... , xn)T ^ 0. Jednoduchým výpočtom dostávame XiUi + . . . + XnUn = (Ui,. . . ,Vn) ■ X = (vi,...,vm) ■ C x= (vi,...,vm) -0 = 0, čo je v spore s lineárnou nezávislosťou vektorov U\,..., un. 5.1.2. Tvrdenie. Pre ľubovoľný vektorový priestor V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) existuje konečná množina X C V taká, že [X] = V; (U) každá lineárne nezávislá množina Y C V je konečná. Dôkaz, (i) =^> (ii): Nech X C y je konečná množina, ktorá generuje V. Podľa Steinitzovej vety pre ľubovoľné lineárne nezávislé vektory U\,..., un platí n < # X, teda každá lineárne nezávislá množina Y C V je konečná. (ii) =^> (i): Budeme dokazovať logicky ekivalentnú implikáciu -i (i) => -i (ii). Predpokladajme, že žiadna konečná podmnožina priestoru V negeneruje V. Potom vo V môžeme zostrojiť postupnosť vektorov (yn)^=o takú, že yo ^ 0 a pre každé n > 0 platí yn ^ [y0,..., yn-\\. Podľa tvrdenia 4.4.1. je každý počiatočný úsek (y0,..., yn) tejto postupnosti lineárne nezávislý, takže celá postupnosť je lineárne nezávislá podľa tvrdenia 4.6.1. Teda vo V existuje nekonečná lineárne nezávislá množina, napr. Y = {yn; n EN}. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Hovoríme, že vektorový priestor V je konečnorozmerný , ak spĺňa niektorú (teda nevyhnutne obe) z ekvivalentných podmienok (i), (ii) práve dokázaného tvrdenia. V opačnom prípade hovoríme, že V je nekonečnorozmerný vektorový priestor. 5.2. Báza a dimenzia konečnorozmerného priestoru Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Bázou priestoru V nazývame každú lineárne nezávislú usporiadnú n-ticu (ui,..., u„) vektorov z V, ktorá generuje celý priestor V. Stručne tiež hovoríme, že vektory uX)... , -u,n tvoria bázu priestoru V. Nasledujúce tvrdenie je priamym dôsledkom vety 4.4.4. 5.2.1. Tvrdenie. Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Potom (a) ľubovoľnú lineárne nezávislú usporiadanú k-ticu (u\,... ,Uk) vektorov z V možno doplniť do nejakej bázy (u\,... , Uk,... , un) priestoru V; (b) z ľubovoľnej generujúcej usporiadanej m-tice (v\,..., vm) vektorov z V možno vybrať nejakú bázu (v^,..., vin) priestoru V. 5.2.2. Veta. Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Potom (a) V má aspoň jednu bázu; (b) ľubovoľné dve bázy priestoru V majú rovnaký počet prvkov. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz, (a) je bezprostredným dôsledkom predchádzajúceho tvrdenia, ktoré nám dokonca dáva dva varianty dôkazu: jeden doplnením prázdnej množiny (ktorá je lineárne nezávislá) na bázu vo V, druhý výberom bázy z nejakej konečnej generujúcej množiny vo V. (b) je bezprostredným dôsledkom Steinitzovej vety. Ak sú totiž (ui,..., u„), (vi,..., vm) dve bázy vo V, tak, kedze (ui,..., u„) je lineárne nezávislá a (vi,..., vm) generuje celý priestor V, musí platiť n < m. Nakoľko však i (v\,..., vm) je lineárne nezávislá a (u\,..., un) generuje celé V, platí tiež m < n. Teda m = n. Práve dokázaná veta nám umožňuje korektne definovať dimenziu alebo tiež rozmer ko-nečnorozmerného vektorového priestoru V ako počet prvkov jeho ľubovoľnej bázy. Dimenziu vektorového priestoru V značíme dim V. Ak dim V = n, hovoríme, že V je n-rozmerný vektorový priestor. Ak V je nekonečnorozmerný priestor, kladieme dim V = oo. V prípade, že bude potrebné zdôrazniť úlohu poľa K, budeme používať podrobnejšie označenie dim^ V. Teda V je konečnorozmerný práve vtedy, keď dim V < oo. Dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako cvičenie čitateľovi. 5.2.3. Tvrdenie. Nech dim V = n, Vi,...,vmEV. Potom ľubovoľné dve z nasledujúcich podmienok implikujú tretiu: (i) vektory V\,... ,vm sú lineárne nezávislé; (ii) [v1,...,vm} = V; (iii) m = n. To okrem iného znamená, že na overenie, či n vektorov ví}... ,vn tvorí bázu n-rozmerného vektorového priestoru V, stačí overiť len jednu (a to ľubovoľnú) z podmienok (i), (ii). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 5.3. Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu Nasledujúca veta je špeciálnym prípadom vety 4.4.2. 5.3.1. Veta. Vektory ui,...,Un tvoria bázu vektorového priestoru V práve vtedy, keď každý vektor x G V možno jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie X= CiUi + ... +cnvn. Uvedomme si, že existencia aspoň jedného vyjadrenia x = C\UX + ... + cnun je ekvivalentná s podmienkou, že vektory uX)..., -u,n generujú V. Jednoznačnosť tohto vyjadrenia je zasa ekvivalentná s lineárnou nezávislosťou vektorov U\,..., un. Teda a = (u\,..., un) je bázou V vtedy a len vtedy, keď pre každé x G V existuje práve jedno c = (c\,..., cn)T G Kn také, že X = C\Ui + . . . + CnVn = Gt • C. Tento jednoznačne určený stĺpcový vektor c G Kn budeme nazývať súradnice vektora x vzhľadom na bázu a a označovať c = (x)a. Teda každá báza a v n-rozmernom vektorovom priestore V definuje súradnicové zobrazenie x i-^ (x)a z V do stĺpcového vektorového priestoru Kn. Jednoduchý dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako cvičenie čitateľovi. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 5.3.2. Tvrdenie. Nech a = {u\,..., Un) je báza konečnorozmerného vektorového priestoru V. Potom príslušné súradnicové zobrazenie V —► Kn je bijektívne a zachováva lineárne kombinácie, t. j. pre ľubovoľné a, b E K, x, y E V platí (ax+by)a = a(x)a + b(y)a. K nemu inverzné zobrazenie Kn —► V je dané predpisom c i—► a ■ c. V označení posledného tvrdenia teda pre ľubovoľné x E V, c E Kn platí X= CX ■ (x)a, ((X ■ C)a = C. Prvá rovnosť ukazuje, ako možno vektor x zrekonštruovať z danej bázy a a jeho súradníc (x)a v tejto báze; druhá zachytáva zrejmý fakt, že súradnice lineárnej kombinácie Yľi=i cíuí v báze Ui,... ,Un tvorí vektor (c\,..., cn)T. Práve zavedené súradnice by sme mohli podrobnejšie nazvať stĺpcovými súradnicami vzhľadom na danú bázu. Podobným spôsobom možno zaviesť i riadkové súradnice a dokázať pre ne analogické tvrdenia ako pre stĺpcové. V takom prípade je samozrejme vhodnejšie zapisovať príslušnú bázu ako stĺpcový vektor ct = (ui,..., un)T a v prípade riadkového priestoru V = Kn ju stotožniť s maticou s riadkami Ui,..., -u,n. Podrobnosti prenechávame na doplnenie čitateľovi. 5.3.3. Príklad. Označme e\ = Si(In) E Kn stĺpcový vektor pozostávajúci zo samých núl, okrem z-tej zložky, ktorá je 1. Potom e^ = (e]"- ,..., e>n ) je báza stĺpcového vektorového priestoru Kn. Nazývame ju kanonickou bázou tohto priestoru. Túto bázu možno zrejmým • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec spôsobom stotožniť s jednotkovou maticou In. Pokiaľ nebude hroziť nedorozumenie, budeme horný index (n) vynechávať a príslušnú bázu označovať stručne e = (ei,..., en). Pre ľubovoľný vektor x = (x\,..., xn)T E Kn platí X — X\G\ -\- . . . -\- XnCn) preto (x)£ = x, t. j. každý vektor x E Kn splýva so svojimi vlastnými súradnicami v kanonickej báze. Kanonická báza riadkového vektorového priestoru Kn je tvorená riadkami jednotkovej matice In a značíme ju rovnako ako v predchádzajúcom prípade e^ = (ej ,..., e„ ) alebo stručne e = (ei,..., en)T, len s tým rozdielom, že e^ = e je teraz stĺpec vektorov a každé e» je riadok pozostávajúci zo samých núl, okrem i-teho miesta, ktoré je 1. V predošlom príklade je, okrem iného, zahrnutý aj dôkaz nasledujúceho očakávaného výsledku. 5.3.4. Veta. Pre ľubovoľné n E N platí dim X"- = n. 5.3.5. Príklad. Stĺpce matice íl 1 1 1\ 1110 110 0 \1 0 0 0/ • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec tvoria bázu et (stĺpcového) vektorového priestoru K4 (presvedčte sa o tom s využitím tvrdenia 5.2.3. a vety 5.3.4. Súradnice vektora x = (xi,X2,x3,xíl)T E Kn v báze a sú dané vzťahom (X)a = (£4, £3 "" "" "" "" "" Platí totiž fxi\ x2 X3 \x4J X4 A\ 1 1 w + (X3 - X4) — X4., X2 — ^3? $1 ~ - X<2 1 1 + (x2 - X3) 1 0 W W + (x 1 - X2) A\ o o w Overte. 5.3.6. Príklad. Označme ${n) = (1 ) usporiadanú (n + l)-ticu prvých n + 1 moc- nín premennej x. Ľahko nahliadneme, že |(ra) je báza vektorového priestoru K^ [x] všetkých polynómov stupňa < n v premennej x nad poľom K. Súradnice polynomu f (x) = Yľí=o aix% v tejto báze tvorí vektor (/)í(n) = (a0,ai,...,an)T e Kn+1. Teda dim K^ [x] = n + 1. Na druhej strane vektorový priestor K [x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom K zrejme nie je konečnorozmerný, teda dim X [x] = 00. 5.3.7. Príklad. Nech m, n E N. Pre ľubovoľné 1 < k < m, 1 < l < n označme Ej^ = Eki = (SikSji)mxn maticu typu m x n nad poľom K, pozostávajúcu zo samých núl, okrem • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec miesta (k, /), na ktorom je 1. Zrejme každú maticu A = (akí) €E Kmxn možno jednoznačne vyjadriť v tvare m n a = 2_^ 2^1 akiEku k=\ 1=1 z čoho vyplýva, že matice E^ , ln-k zrejme generujú podpriestor S + T (premyslite si detaily), zostáva dokázať, že sú tiež lineárne nezávislé. Nech ai,...,a,k, b\,..., bm_k, Ci,..., cra_fc sú skaláry také, že aiUi + ... + akuk + biVi + ... + bm_kvm_k + cxwx + ... + cn_kwm_k = 0. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Potom ciiUi + ... + akuk + biVi + ... + bm_kvm_k = -{ciwx + ... + cn_kwm_k), pričom vektor na ľavej strane patrí do S* a vektor na pravej do T. Túto spoločnú hodnotu z E SC\T možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu len vektorov U\,..., uk. Z jednoznačnosti vyjadrenia z v báze U\,... ,uk,V\,..., vm_k podpriestoru S tak dostávame b\ = ... = bm-k = 0. Preto aiUi + ... + akuk + ciWi + ... + cm_kwn_k = 0. Z lineárnej nezávislosti bázy U\,... ,uk, W\,..., wn_k podpriestoru T potom vyplýva a\ = ... = ak = 0, ci = ... = cn-k = 0. Teda uu ..., uk, ví}..., vm_k, wí}..., wn_k sú lineárne nezávislé vektory. 5.4.2. Dôsledok. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. Potom S Pi T = {0}, t. j. súčet S + T je direktný, práve vtedy, keď dim(S' + T) = dim S + dim T. Práve dokázané vzťahy pre dimenzie konečnorozmerných podpriestorov nejakého vektorového priestoru nápadne pripomínajú vzťah #(iuľ) = #i + #ľ-#(inľ) pre počty prvkov konečných množín z paragrafu 0.2, ktorý sa v prípade disjunktných množín redukuje na rovnosť #(IUľ) = #I + #ľ. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec To znamená, že konečnorozmerné vektorové priestory (hoci v typickom prípade priestorov nenulovej dimenzie nad nekonečným poľom ide o nekonečné množiny) sa správajú do značnej miery podobne ako konečné množiny. Dimenzia dim V konečnorozmerného priestoru V je tak akousi mierou jeho „velkosti", podobne ako počet prvkov #X je mierou velkosti konečnej množiny X. Direktný (priamy) súčet lineárnych podpriestorov je tak analógiou zjednotenia disjunktných množín. Na rozdiel od multiplikatívneho charakteru počtu prvkov karteziánskeho súčinu konečných množín, ktorý je daný formulou #(Ixľ) = #I.#ľ, sa však dimenzia priameho súčinu konečnorozmerných vektorových priestorov (pozri príklad 1.6.4) správa aditívne, t. j. do značnej miery podobne ako logaritmus. 5.4.3. Tvrdenie. Nech V, W sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K. Potom pre dimenziu ich priameho súčinu platí dim (V xW) = dim V + dim W. Dôkaz. Nech V\,..., vm je báza priestoru V a W\,... ,wn je báza priestoru W. Stačí overiť, že vektory (v\, 0),..., (vm, 0), (0, W\),..., (0, wn) tvoria bázu priameho súčinu V x W. Podrobnosti prenechávame čitateľovi. V dôsledku toho pre konečnorozmerné priestory V\,... ,Vk nad poľom K platí dim(Vi x ... x 14) = dim Vx + ... + dim Vk, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec a pre fc-tu priamu mocninu V priestoru V máme dim V = k dim V. Poznámka. Ak obvyklým spôsobom rozšírime aritmetiku prirodzených čísel aj na symbol oo, t. j. položíme n + oo = oo + n = oo + oo = oo pre n E N, 0-oo = oo-0 = 0a n-oo = oo-n = oo-oo = oo pre n > 0, ľahko nahliadneme, že vzťahy dokázané v tomto paragrafe zostávajú v platnosti aj pre nekonečnorozmerné priestory. 5.5. Usporiadané a neusporiadané bázy Ak (ui,..., Un) je báza vektorového priestoru V, tak (ua^,..., uCT(n)) je tiež báza V pre ľubovoľnú premutáciou a množiny {l,...,n}. Inak povedané, vlastnosť „byť bázou vektorového priestoru" nezávisí od poradia vektorov v báze - nie je to ani tak vlastnosť príslušnej usporiadanej n-tice (%,..., u„) ako skôr množiny {ui,..., u„}. Na druhej strane je rozumné považovať bázy (wi,..., un) a (w^i), ..., Wö-(n)), kde a je neidentická permutácia, za rôzne. Prislúchajú im totiž rôzne súradnicové zobrazenia. Napr. e = (ei, e2, e3), rj = (e2, e3, ei) sú bázy stĺpcového priestoru K3, líšiace sa len poradím svojich vektorov. Pre súradnice ľubovoľného vektora x = (x\,X2,X3)T E K3 v týchto bázach však platí: (Xi\ íx2 X2 , (x) v = X3 X3J \Xi Teda (x)£ ^ (x)^, okrem prípadu, keď X\ — X2 — ^3* • Prvá strana • Predchádzajúca strana ^Nasledujúca strana ^Posledná strana *Späť *Celá obrazovka ^Zavrieť ^Koniec Doteraz študované bázy by sme vlastne mali presnejšie nazývať konečnými usporiadanými bázami. To naznačuje možnosti uvažovať jednak o nekonečných, jednak o „neusporiadaných" bázach. Kedze v centre nášho záujmu naďalej zostávajú iba konečnorozmerné priestory, oboch týchto otázok sa len letmo dotkneme. Hovoríme, že nekonečná postupnosť (ufc)£L0 = (uq, U\, vq, ..., uk, ■ ■ ■) je báza, presnejšie usporiadaná báza vektorového priestoru V, ak je lineárne nezávislá a generuje celý priestor V. Treba zdôrazniť, že podmienka generovania priestoru V hovorí, že každý vektor x E V možno vyjadriť ako konečnú lineárnu kombináciu x = Yľk=o ckuk, kde (ieNaco,...,cBef, prvkov príslušnej bázy. „Nekonečné lineárne kombinácie" tvaru ^^0 ckuk sme zatiaľ nedefinovali a len samotná algebraická štruktúra vektorého priestoru nám to vo všeobecnosti ani neumožňuje. Nasledujúce tvrdenie, ktorého dôkaz neuvádzame, je obdobou vety 5.3.1. 5.5.1. Tvrdenie. Postupnosť vektorov (uk)^=0 je bázou vektorového priestoru V práve vtedy, keď každý vektor x E V možno jednoznačne až na nulové členy vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie X = CqUq + CiUi + . . . + CnVn, kde n EN a cq,ci, ... ,Cn E K. Uvedomme si podstatnosť vsuvky „až na nulové členy". Vzhľadom na premennú hodnotu n dĺžky príslušnej lineárnej kombinácie možno napr. vektor Uq — ux E V písať aj v tvare Uq — ux + OU2 + 0w3 a pod. Na druhej strane, pri danej báze ot = (uk)^=0 priestoru V každý vektor x E V jedno- • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec značne určuje postupnosť skalárov (cfc)£L0 G XN takú, že Ck = 0 pre všetky fc až na konečný počet, t. j. (cfc)^lo e -^^ (pozri príklad 4.1.3. (a)), a platí oo x=y^cfcUfc. fc=0 Všimnite si, že takéto lineárne kombinácie obsahujú len konečne mnoho nenulových sčítan-cov, takže s ich definíciou nie je žiaden problém. Uvedenú postupnosť (ck)kLo potom nazývame súradnicami vektora x vzhľadom na bázu a a označujeme ju (x)a. (Vzhľadom na to, že nemienime ďalej rozvíjať príslušnú teóriu pre nekonečnorozmerné priestory, nemá zmysel bližšie špecifikovať, či tým mienime „riadkovú" alebo „stĺpcovú" postupnosť (ck)kLo) 5.5.2. Príklad. Postupnosť £ = (^ra)^L0 = (í, x, x2,..., xn,...) všetkých mocnín premennej x je bázou priestoru K [x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom K. (Presvedčte sa o tom.) Súradnicami polynomu n f (x) = a0 + a\X + ... + anxn = \^ aix% £ K[x\ í=0 v tejto báze je postupnosť (fh = (ao,a1,...,an,0,0,...)eK 3, by si asi vedeli predstaviť n navzájom kolmých úsečiek. Teda ich existencia je logicky možná. Vráťme sa však k pôvodnej otázke: ako sa prejavuje trojrozmernosť nášho priestoru v matematickej podobe niektorých fyzikálnych zákonov a akú „fyziku" by asi objavili „fyzici" v n-rozmernom priestore. Samozrejme, nebudeme sa zaoberať uvedenými otázkami v celej ich šírke, len sa pokúsime ilustrovať naznačenú problematiku na príklade Newtonovho gravitačného zákona. Úplne analogicky by sme mohli postupovať i v prípade Coulombovho zákona pre elektrostatickú silu. Podľa Newtonovho gravitačného zákona centrálne symetrické teleso o hmotnosti M vytvára okolo seba centrálne symetrické gravitačné pole, ktoré na hmotný bod o hmotnosti m vo vzdialenosti r od stredu telesa pôsobí silou mM kde h je gravitačná konštanta, ktorej hodnotu možno stanoviť experimentálne. Gravitačná hmotnosť je priamo definovaná ako miera gravitačného účinku telesa, čo vyjadruje priama úmernosť uvedenej sily hmotnostiam oboch telies. Z centrálnej symetrie gravitačného poľa, ktorá je dôsledkom izotropie (homogenity) priestoru, vyplýva, že uvedená sila závisí len od vzájomnej vzdialenosti oboch telies a nie od ďalších parametrov ich vzájomnej polohy, napr. od smeru. Navyše je rozumné predpokladať, že gravitačná sila bude slabnúť so vzdialenosťou r. Na prvý pohľad však nie je jasné, prečo by mala slabnúť akurát nepriamo úmerne jej • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec druhej mocnine. Ukážeme si, že práve to je dôsledkom trojrozmernosti priestoru. Rovnako oprávnene však možno tvrdiť, že trojrozmernosť priestoru je dôsledkom príslušnej podoby v ňom platného gravitačného zákona. Gravitačné pole si znázorňujeme geometricky pomocou kriviek nazývaných siločiary. Tie majú v prípade centrálne symetrického poľa v izotropnom priestore tvar polpriamok vychádzajúcich zo stredu zdroja. Velkost' príťažlivej sily pôsobiacej na hmotný bod je (okrem jeho hmotnosti) priamo úmerná hustote týchto siločiar v danom mieste. Kedze na povrchu guľovej plochy s polomerom r, opísanej okolo stredu príťažlivosti je hustota siločiar všade rovnaká, táto hustota klesá so vzdialenosťou r nepriamo úmerne plošnému obsahu povrchu danej guľovej plochy. Tento obsah má hodnotu Airr2. To znamená, že veľkosť príťažlivej sily F je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti r. Pod (n— l)-rozmernou sférou rozumieme povrch n-rozmernej gule v n-rozmernom priestore. Ak si jej stred zvolíme za počiatok súradnej sústavy, tak (n — l)-rozmernú sféru s polomerom r možno stotožniť s množinou 5(n-l)(r) = {(xi) _ _ _ Xn) e Rn. x2 + _ _ _ + x2 = f2}_ Veľkosť (n — l)-rozmerného povrchu sféry S,(ra_1-)(r) je priamo úmerná mocnine fa~l. Rovnakou úvahou ako v predchádzajúcom odstavci tak možno odvodiť nasledujúci tvar Ne-wtonovho gravitačného zákona v n-rozmernom priestore: uiM kde Hn je gravitačná konštanta, M je hmotnosť centrálne symetrického telesa vytvárajúceho príslušné gravitačné pole, m je hmotnosť hmotného bodu a r jeho vzdialenosť od stredu • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec príťažlivosti. Špeciálne si uvedomme, že v jednorozmernom priestore, t. j. na priamke, gravitačná sila nezávisí na vzdialenosti (siločiary sa nemajú kam rozptýliť, ich hustota sa so vzdialenosťou nemení). Práca, ktorú je potrebné vynaložiť na premiestnenie hmotného bodu s hmotnosťou m zo vzdialenosti r\ > 0 do vzdialenosti r2 > r\ od stredu príťažlivosti, je daná integrálom ŕV2 ľT2 A= Fár = xnmMl rl~n ár. J r\ Jr\ Pre jednotlivé hodnoty n dostávame A = HimM(r-2 — ?"i), ak n = 1, T2 A = x2mMln—, ak n = 2, ri mM í 1 Ďalšou analýzou uvedených vzťahov (čo už nebudeme robiť) možno zistiť, že pohyb v jedno- a dvojrozmernom priestore, t. j. na priamke a v rovine, by bol nesmierne energeticky náročný. Vymaniť sa z gravitačného poľa daného telesa (f2 —► oo) by si vyžiadalo nekonečne velkú energiu. Navyše v rovine je v takomto poli možný len pohyb po kruhových uzavretých orbitách, alebo po neuzavretých orbitách (tvaru ružice), pričom oba typy sú stabilné. Uzavretá dráha prechádzajúca v rôznych vzdialenostiach od stredu príťažlivosti nie je možná. (Prípadom n = 1 sa ani nemusíme zaoberať, lebo na priamke jednoducho „nie je dosť miesta" na pohyb bodu po uzavretej orbite „okolo" iného bodu - zrážka by • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec bola nevyhnutná.) Gravitačné pôsobenie v n-rozmernom priestore je pre n > 4 zasa ďaleko od zdroja také slabé a blízko zdroja také silné, že iné uzavreté orbity ako kruhové nie sú možné, a i tie sú nestabilné. Aj tá najmenšia odchýlka od kruhovej dráhy (zapríčinená napr. pôsobením ďalších planét) by spôsobila zmenu kruhovej dráhy na špirálovú (napr. únik Zeme od Slnka alebo pád naň). Nestabilita pre n = 4 má špeciálny charakter: za veľmi idealizovaných predpokladov si možno predstaviť prechod z jednej kruhovej orbity na inú v dôsledku dvoch po sebe nasledujúcich presne zladených „drgnutí" v opačných smeroch (pri ktorých sa zachová energia a moment hybnosti). Každopádne však stabilné kruhové orbity sú možné len v dimenziách 2 a 3 a stabilné eliptické orbity len v dimenzii 3. K podobným efektom by dochádzalo aj pôsobením elektrostatickej sily, pod vplyvom ktorej sa elektróny pohybujú okolo jadra atómu. Dvojrozmerný atóm by bol natoľko stabilný, že by sa vôbec nemohol ionizovať, teda v dvojrozmernom priestore by vôbec nemohlo dochádzať ku vzniku chemických zlúčenín. Vo viac než trojrozmernom priestore by zas nemohli existovať stabilné atómy - pri najmenšej odchýlke by elektrón po špirálovej dráhe z atómu unikol alebo spadol na jadro. Jemnejšia analýza kvantovomechanických javov ukazuje, že pre n > 5 - aj bez pôsobenia vyvolávajúceho malú odchýlku - by elektróny v obale atómu samovoľne prechádzali na čoraz vzdialenejšie orbity, teda atóm vo viac než štvorrozmernom priestore by sa spontánne ionizoval. Prípad n = 4 je opäť singulárny: moment hybnosti obiehajúceho elektrónu by mohol nadobúdať len jedinú pevne stanovenú hodnotu. Pokiaľ teda uznáme oprávnenosť vykonanej extrapolácie fyzikálnych zákonov trojrozmerného sveta aj na svety iných rozmerov (čo je zrejme najproblematickejšie miesto našich úvah), dochádzame k záveru, že tak stabilné systémy planét obiehajúcich okolo centrálnych hviezd ako aj stabilné a jednako zlučovania schopné atómy pozostávajúce z jadra a elektrónového obalu sú možné len v trojrozmernom priestore. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Cvičenia 5.1. Dokážte tvrdenie 5.2.3. (Návod: Použite Stenitzovu vetu 5.1.1. a tvrdenie 5.2.1.) 5.2. Vyberte z daných vektorov bázu vektorového priestoru V nad poľom K (ak je to možné; ak to nie je možné, zdôvodnite prečo): (a) K = R, V = R3, x = (2, 2, Sf, y = (-1,0, 2)T, z = (0, 2, 7)T, u = (1, 2, 7)T, t; = (3, 2,1)T; (b) K = C, 1/ = C4, x = (1, i, 1, i), y = (i, 1, i, 1), z = (1,1,1,1), u = (1, 0, 0,1), u = (0, i, i, 0); (c) K = Z5, V = Z|, x = (0,1, 2, 3)T, y = (1, 2, 3,4)T, z = (2,1,0,4)T, u = (1, 3,0, 2)T, u=(3,4,0,l)T; (d) if = Q, V = Q(3)[x], /„(z) = 1, /i(x) = 1 +x, f2(x) = (1 +x)2, /3(x) = (1 +x)3. 5.3. Doplňte uvedené vektory do bázy vektorového priestoru V nad poľom K (ak je to možné; ak to nie je možné, zdôvodnite prečo): (a) K = R, V = R(2)[x], g (x) = 1 + 2x + 7x2, hix) = 1 + x; (b) K = C, y = C4, u = (1 + i, 1 - i, 2, 2i)T, v = (1 + 3i, 3 - i, 4 + 2i, -2 + 4i)T; (c) K = Z7, V = Z{73)[x], /o(x) = 5 + 6x + 5x2 + 6x3, /i(x) = 6 + 5x + 6x2 + 5x3; (d) K = Zu, y = Zn}[x], /o(x) = 5 + 6x + 5x2 + 6x3, /i(x) = 6 + 5x + 6x2 + 5x3. 5.4. V každej z úloh cvičení 5.2 a 5.3 určte dimenziu lineárneho podpriestoru generovaného všetkými danými vektormi. 5.5. Dokážte tvrdenie 5.3.2. 5.6. Podrobne dokážte, že e^ = (e1?..., en) je báza vektorového priestoru Kn. 5.7. Doplňte vynechané podrobnosti v príklade 5.3.5. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 5.8. Dokážte, že uvedená konečná postupnosť vektorov ß tvorí bázu vektorového priestoru V nad poľom K a nájdite súradnice vektorov x, y v tejto báze. (a) K = R, V = R3, ß = ((1,2,3)r, (1, -1,íf, (2,1,0)r), x = (1,1, íf, y = (0,1, -2f; (b) if = C, 1/ = Čí2) [z], /3 = (1 + i, 1 + iz, i - z2), x = f (z) = z,y= g(z) = í + z2; (c) K = Z2,V = Z\,ß = ((1,1,0, Of, (0,0,1, if, (í, 0, 0, if, (0,1,1,1)T), x = (í, 0, 0, Of, y=(í,í,í,0f; (d) if = R, V = C, /3 = (1 + i, 1 - i), x = 1, y = i. 5.9. Dokážte, že vektory U\,..., Uk, Vi,..., vm-k, »i, • • •, wn-j. z dôkazu vety 5.4.1. naozaj generujú lineárny podpriestor S + T. 5.10. Zovšeobecnite dôsledok 5.4.2. na súčet ľubovolného konečného počtu lineárnych podpriestorov a dokážte toto zovšeobecnenie. 5.11. Doplňte vynechané podrobnosti v dôkaze tvrdenia 5.4.3. 5.12. Nech A G Kmxn je matica v stupňovitom tvare. Dokážte, že (a) jej nenulové riadky tvoria bázu lineárneho podpriestoru [ri(^4),..., rm(^4)] C Klxn; (b) jej stĺpce, v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov, tvoria bázu lineárneho podpriestoru [Sl(A),...,sn(A)]CKmxl. (c) Odvoďte z (a) a (b), že pre matice v stupňovitom tvare platí dim[ri(A),..., rm(A)] = dim[si(A),..., sn(A)}. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 5.13. Nech i, Be j^mxn^ Y)ó\tážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) A ~ B => [n(A),..., rm(A)} = [n(B),..., rm(B)]. (b) Ak A ^ B & B je navyše v stupňovitom tvare, tak jej nenulové riadky tvoria bázu lineárneho podpriestoru [^(A),..., rm(A)] C Klxn. (c) Na základe (b) sformulujte postup, ako možno úpravou vhodnej matice pomocou ERO nájsť k daným (riadkovým) vektorom x\,..., xm G Kn nejakú bázu ich lineárneho obalu [x\, . . . , xm]. Táto báza nie je spravidla (až na veľmi špeciálne prípady) vybraná z vektorov x\,..., Xm, na druhej strane však možno úpravou príslušnej matice na redukovaný stupňovitý tvar dosiahnuť veľmi jednoduchý a prehľadný tvar tejto bázy. (d) Riešte analogickú úlohu ako v (c) pre stĺpcové vektory. 5.14. S využitím cvičenia 5.13(b) nanovo dokážte jednoznačnosť redukovaného stupňovitého tvaru danej matice, t. j. pre ľubovoľné matice i, Be jgmxn v redukovanom stupňovitom tvare platí A ~ B =>• A = B (porovnaj s cvičením 3.13) (Návod: Uvedomte si, že sa stačí obmedziť na matice s nenulovými riadkami, a ďalej postupujte indukciou podľa počtu riadkov m.) 5.15. S použitím cvičenia 5.14 dokážte zosilnenie tvrdenia z cvičenia 5.13(a) do podoby ekvivalencie, t. j. pre ľubovoľné A, B e Kmxn platí A ~ B o [n (A),..., rm(A)\ = [n (B),..., rm(B)\. 5.16. S využitím výsledkov cvičenia 5.13 nájdite pre uvedené vektory z vektorového priestoru V nad poľom K „čo najjednoduchšiu" bázu ich lineárneho obalu a doplňte ju (ak treba) do „čo najjednoduchšej" bázy celého priestoru V: (a) K = R, V = R4, x = (2, 0, 0, 3), y = (4, -1, 4, 0), z = (2, -1, 4, 3), u = (-2, 2, -8, -9); (b) K = R, V = R4, x = (0, 0, 2, -l)T, y = (3, -1, 2, 0)T, z = (-3,1, 2, -2)T, u = (2, -1,1, -2)T; (c) K = C, V = C3, x = (i, 1,1 + i), y = (1 + i, 1 - i, 2), z = (2, -i, 3 - 2i)T; (d) K = R, V = R(3) [x], f (x) = 2 + x + x2 - x3, g (x) = 2x2 - x3, hix) = l-x + 2x2; (e) K = Z5,V = Z3,x= (2,4, 3), y = (0,1, 2), z = (4,0,0); • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (f) K = Z7,V = Z(72) [x], f (x) = 2 + 4x + 3x2, g (x) =x + 2x2, h(x) = 4. 5.17. Nech q 7^ ±1 je lubovolné reálne číslo. Pre k, n G N, k < n, definujme q-binomický koeficient ako výraz n\ _ (qn - ľ)^-1 - 1) .. . (g"-fc+1 - 1) k)q - (9fc-l)(9fc-i-l)...(9-l) • Špeciálne pre k = 0 sa tým myslí (™) = 1. Pre k > n navyše kladieme (™) = 0. Potom pre ľubovolné k < n platí: 00 (*), = (»-*),• (b) (*) = J?A' (C) (ô)g = Oq = L (d) ("í1), = G^), + ?fc C), = 1n-k+1 {k\)q + {% ak 1 < A < n. Dokážte. Rovnosti (c) a (d) sa nazývajú pravidlami q-Pascalovho trojuholníka pre (/-binomické koeficienty (porovnaj s cvičením 0.18). 5.18. Nech pole if je konečné a má práve q prvkov. Pre A;, n G N označme Cq(n, k) počet všetkých A;-rozmerných lineárnych podpriestorov vektorového priestoru Kn. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Pre ľubovoľné n platí Cq(n, 0) = Cq(n, n) = 1 a Cq(n, k) = 0 pre k > n. (b) Cq(n, k) sa rovná počtu všetkých matíc A G Kkxn v redukovanom stupňovitom tvare, ktoré majú všetky riadky nenulové. (Návod: Uvažujte Kn ako priestor riadkových vektorov a na základe cvičení 5.13 a 5.14 reprezentujte každý jeho Avrozmerný lineárny podpriestor jednoznačne určenou bázou, ktorej vektory, zapísané ako riadky pod sebou, tvoria maticu v redukovanom stupňovitom tvare.) (c) Pre 1 < k < n platí Cq(n + 1, k) = Cq(n, k — 1) + qkCq(n, k). To spolu s (a) zabezpečuje, že čísla Cq(n, k) vyhovujú rovnakým podmienkam (/-Pascalovho trojuholníka ako (/-binomické koeficienty (^) . (Návod: Využite (b); matice A G Kfcx(n+1) v redukovanom stupňovitom tvare s nenulovými riadkami rozdeľte do dvoch skupín podľa toho, či vedúci prvok posledného riadku leží alebo neleží v poslednom • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec stĺpci - ukážte, že prvých je Cq(n, k — 1) a druhých qkCq(n, k).) (d) Odvoďte z (a) a (c) rovnosť Cq(n, k) = (^) pre všetky k, n Q. N. (e) Koľko fc-rozmerných lineárnych podpriestorov majú vektorové priestory Z™ nad poľom Zp pre p = 2,3,5,7, n = 0,1,2,3,4,5, 0 < k < nl Zostrojte počiatočné úseky príslušných p-Pascalových trojuholníkov. 5.19. Nech K je pole a {pk{x))^=(j je postupnosť polynómov z K[x] taká, že stupeň polynomu pk(x) je práve k. Dokážte, že postupnosť (pk(x)) je bázou vektorového priestoru K[x] (využite cvičenie 4.11). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 6. Lineárne zobrazenia Zatiaľ sme sa pri štúdiu lineárnej algebry sústredili zakaždým na štruktúru jedného, izolovaného vektorového priestoru. Doteraz sme si nevybudovali pojmy, ktoré by nám umožnili štúdium vzťahov medzi viacerými vektorovými priestormi. V tejto kapitole hodláme zaplniť túto medzeru. Zavedieme a bližšie preskúmame pojem lineárneho zobrazenia, ktorý nám umožní porovnávať štruktúry rôznych vektorových priestorov nad tým istým pevne zvoleným poľom. Voľne povedané, pôjde o zobrazenia medzi vektorovými priestormi, ktoré zachovávajú ich lineárnu štruktúru. 6.1. Lineárne zobrazenia Nech U, V sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Hovoríme, že

■ Knxm. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 6.1.6. Príklad. Nech V je vektorový priestor nad poľom K, X je množina a x G X je pevne zvolený prvok. Pripomeňme, že Vx je vektorový priestor všetkých funkcií / : X —► V (pozri 1.6.5) Dosadenie prvku x do funkcie /, t. j. priradenie / i—► f (x), je lineárne zobrazenie Vx —► V. Podobne, pre ľubovoľnú podmnožinu Y C X je zúženie / i—► / \Y lineárne zobrazenie Vx —► VY. 6.1.7. Príklad. Označme V množinu všetkých konvergentných postupností reálnych čísel. Zrejme V je lineárny podpriestor vektorového priestoru EN všetkých postupností reálnych čísel. Potom zobrazenie V —► E, ktoré postupnosti a = (ara)^L0 G V priradí jej limitu linira^oo an, je lineárne. 6.1.8. Príklad, (a) Nech ICRaľ označuje množinu všetkých zobrazení X —► IR, ktoré majú v pevne zvolenom vnútornom bode a množiny X konečnú deriváciu. Zrejme V je lineárny podpriestor vektorového priestoru M,x. Potom zobrazenie V —► ÍR, ktoré funkcii f E V priradí jej deriváciu f (a) v bode a, je lineárne. (b) Nech X C M je ľubovoľný netriviálny interval. Pripomeňme, že T>(X) označuje lineárny podpriestor vektorového priestoru M,x, tvorený všetkými funkciami / : X —► IR, ktoré majú v každom bode x E X konečnú deriváciu (pozri príklad 4.1.3. (c)). Potom derivácia, t. j. priradenie / i—► /', je lineárne zobrazenie T>(X) —► 1RX. 6.1.9. Príklad. Pre reálne čísla a < b označuje C (a, b) lineárny podpriestor vektorového priestoru ]R^a'6\ tvorený všetkými spojitými funkciami / : (a, b) —► ÍR (pozri príklad 4.1.3. (b)). (a) Určitý integrál / i—► f f (x) d x je lineárne zobrazenie C (a, b) —► E. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (b) Podobne, na určitý integrál ako funkciu hornej medze, ktorý funkcii / G C (a, b) priradí jej primitívnu funkciu F E C (a, b) danú predpisom F (x) = / f(t)dt, (a(x) — p>(y) = 0, teda x— y G Ker p>. Inak povedané, Ker<£ ^ {0}. (b) je priamo definícia surjektívnosti. Treba poznamenať, že zakiaľ časť (b) uvedeného tvrdenia je triviálna a platí aj bez predpokladu linearity zobrazenia ip, o časti (a) to už povedať nemožno. Pre všeobecné zobrazenie

0. Nech uí}..., u^ je nejaká báza priestoru Ker p. Doplňme ju do bázy ux,..., uk, vx,..., Vi priestoru V. Potom U^V; (c)W^VkV^U^W^U. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Hovoríme, že vzťah izomorfnosti = je reflexívny, symetrický a tranzitívny, t. j. je vzťahom ekvivalencie. Z formálneho hľadiska s ním teda môžeme narábať podobne ako so vzťahom rovnosti =. Izomorfné vektorové priestory majú rovnakú štruktúru, líšia sa nanajvýš označením svojich prvkov, nie však vzťahmi medzi nimi. Preto ich možno v prípade potreby stotožniť, či nahradiť jeden vektorový priestor jeho izomorfnou kópiou. Z toho dôvodu je dôležité mať k dispozícii vhodnú triedu vektorových priestorov nad daným poľom, ktorá by pre každý vektorový priestor obsahovala nejaký priestor s ním izomorfný. 6.3.3. Príklad, (a) Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom K, dim V = n a ß = (vi,..., vn) je nejaká jeho báza. Potom tvrdenie 5.3.2. vlastne hovorí, že súradnicové zobrazenie x i—► (x)ß je lineárny izomorfizmus V —► Kn. (b) Podobne možno nahliadnuť, že (i v nekonečnorozmernom prípade) určuje Hamelo-va báza X vektorového priestoru V súradnicové zobrazenie v i—► (v)x, ktoré je lineárnym izomorfizmom V —► K^ (pozri záver paragrafu 5.5). Na záver tohto paragrafu ešte ukážeme, že typ izomorfizmu daného konečnorozmerného priestoru je jednoznačne určený jeho dimenziou. 6.3.4. Veta. Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K. Potom V^U <=> dim V = dim U. Dôkaz. Nech V = U a. Lp : V —► ř7 je lineárny izomorfizmus. Potom Ker

A = ((f)aß. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Za uvedeného predpokladu voľbou x = Vj dostávame (tpvj)a = A ■ (euj)ß = A ■ e3 = 8j(A) pre každé 1 < j < n. Teda matice A a (p)a,ß niajú rovnaké stĺpce, preto sa rovnajú. Matica ( U je lineárne zobrazenie. Potom Kn dané predpisom R nie je lineárne: (b) ip(x) = \x\, (d) g(x) = x3, (f) k (x) = \fx, (h) s (x) = sin x, (j) a (x) = sinhx = ^(ex —e~x). (a) f (x) -- = 1 — 3x, (c) f (x) -- = x2, (e) h(x) - = VW\, (g) Kx) = = ln(l + x2) (i) r](x) = = ex, • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 6.6. (a) Uvažujte C ako vektorový priestor nad poľom R. Ukážte, že komplexná konjugácia z >—>~žje lineárne zobrazenie C —> C. (b) Uvažujte C ako vektorový priestor nad poľom C. Ukážte, že komplexná konjugácia z i—> ~ž nie je lineárne zobrazenie C —> C. 6.7. Lineárne zobrazenie

R2 je pre x = (x1? x2, x3)T G R3 dané predpisom R4 má vzhľadom na tieto 1-1 1-1 ,0121 /1 o o bázy maticu A = (4>)aß= ° * ° \ o o o (a) Napíšte priamo nejaké bázy lineárnych podpriestorov Ker-i/> C R3 a Im-i/> C R4. (b) Napíšte maticu -0 vzhľadom na kanonické bázy e^3) v R3, e^ v R^3). 6.9. Nech n G N. Uvažujme deriváciu / 1—> /' ako lineárnu transformáciu _D : R(n)[x] —> R(n)[x]. (a) Určte lineárne podpriestory Ker_D a Im_D v R(n)[x] a nájdite nejaké ich bázy. Zistite dimenzie oboch podpriestorov a overte vzťah dim Ker D + dim Im D = n. (b) Napíšte maticu lineárnej transformácie D vzhľadom na bázu ^n' = (1, x, x2,..., xn). (c) Napíšte maticu D vzhľadom na bázu Qn> = (l, yyx, ^-x2,..., ^jxn). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 6.10. Operátor diferencie A : R(n)[x] —> R(n)[x] je daný predpisom A(f)(x) = fix + 1) — fix). (a) Dokážte, že A je lineárny operátor. (b) Určte lineárne podpriestory KerZ\ a Im A v R(n)[x] a nájdite nejaké ich bázy. Zistite dimenzie oboch podpriestorov. (c) Napíšte maticu lineárnej transformácie A vzhľadom na bázu ^n' = (1, x, x2,..., xn). (d) Dokážte, že polynomy 1, x, [x] 2,..., [x]n, kde [x] k = x (x — 1)... (x — k + í), tvoria bázu vektorového priestoru R(n)[x]. (e) Napíšte maticu A vzhľadom na bázu í/n) = (1, x, [x]2, • • •, [x]n). (f) Nájdite nejakú bázu vektorového priestoru R^n) [x], vzhľadom na ktorú má A maticu tvaru í nA „ " 6.11. Pre ľubovoľné a, ß G R vynásobením príslušných matíc dokážte uvedené rovnosti a interpretujte ich v reči lineárnych transformácií roviny R2: Ra ■ Rß = Ra+ß, Ra ' Sß = Sß+a/2, Sa ■ Sß = R2(ß-a)> ^ß ' Ra = Sß-a/2- 6.12. Predpismi R4, ^ : R4 —► R3- Napíšte matice lineárnych zobrazení ?/> o ^ : R3 ^ R3, ^ o -í/j : R4 ^ R4 vzhľadom na kanonické bázy vektorových priestorov R3 resp. R4. 6.13. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V. (a) Priradením (x, y) 1—> a;+yje definované surjektívne lineárne zobrazenie /x : SxT —> S+T. Dokážte. (b) Nájdite jadro Ker /x a dokážte, že /x je injektívne práve vtedy, keď S P\T = {0}. (c) Odvoďte z toho, že vektorové priestory S x T & S + T sú izomorfné práve vtedy, keď S + T = S(£>T. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (d) Zovšeobecnite na ľubovoľný konečný počet lineárnych podpriestorov (pozri cvičenie 4.8). 6.14. Galileova transformácia „časopriestoru" R4 je daná priradením (t, x, y, z)T i-^ (ť, x', y', z')T, kde ť = t, x' = x — vxt, y' = y — Vyt, z' = z — vzt, pričom vektor v = (vx,vy,vz)T G M3 interpretujeme ako rýchlosť (pozri príklad 6.4.7.). (a) Napíšte maticu Gv Galileovej transformácie. (b) Uvažujme dvoch pozorovateľov P a P'. Vysvetlite, za akých podmienok je uvedenou transformáciou sprostredkovaný vzťah medzi časmi a priestorovými súradnicami udalostí z hľadiska pozorovateľov P a P'. (Riešte otázku v rámci klasickej fyziky, bez ohľadu na relativistické efekty.) (c) Vynásobením matíc dokážte vzťah Gu ■ Gv = Gu+v- Vysvetlite, prečo sa tento vzťah nazýva klasickým "pravidlom skladania rýchlostí. 6.15. (a) Dokážte nasledujúcu konečnorozmernú verziu Hahnovej-Banachovej vety: Nech V je konečno-rozmerný vektorový priestor nad poľom K, S C V je vlastný lineárny podpriestor a tp : S —> K je lineárny funkcionál. Potom pre každé x G V \ S existuje lineárny funkcionál ip G V* taký, že ip(x) y^ 0 a ip \S = -(/>• (b) Zovšeobecnite tvrdenie (a) aj na nekonečnorozmerné vektorové priestory. (Návod: Predpokladajte, že V má Hamelovu bázu X takú, že x e X & X P\ S je Hamelova báza podpriestoru S - pozri záverečnú časť paragrafu 5.5). (c) Pre každý vektor 0 ^ x G V existuje lineárny funkcionál

Ul Porovnajte s dimenziou a počtom prvkov vektorového priestoru Uv všetkých zobrazení V —> U. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané zobrazenie / G Uv bude lineárne? • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 7. Inverzné matice a zmena bázy V tejto kapitole zavedieme pojem inverznej matice k danej štvorcovej matici a dáme ho do súvisu s pojmom inverzného lineárneho zobrazenia. Ďalej sa naučíme počítať inverzné matice a matice prechodu z jednej súradnej bázy do druhej. Nakoniec preskúmame vplyv zmeny bázy na maticu lineárneho zobrazenia. Začneme však s pojmom hodnosti matice, ktorý nám umožní rozhodnúť o existencii inverznej matice a - ako uvidíme neskôr - bude nám ešte veľakrát užitočný. V celej kapitole K označuje pevné pole, m, n, p sú kladné celé čísla. 7.1. Hodnosť matice V tomto paragrafe je potrebné rozlišovať medzi vektorovými priestormi riadkových resp. stĺpcových vektorov. Nebudeme teda používať nešpecifikované označenie Kn, ale priestor riadkových vektorov budeme značiť Klxn a priestor stĺpcových vektorov Knxl. Pripomeňme, že r^A) E Klxn označuje i-tý riadok a Sj(A) E Kmxl zase j-tý stĺpec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec matice A = (ciij)mxn. Túto maticu teda môžeme zapísať v blokových tvaroch fn(A)\ r2(A) \rm{A)) (s1(A),s2(A),...,sn(A)). Riadkovou hodnosťou hr(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru Klxn generovaného riadkami matice A. Podobne, stĺpcovou hodnosťou hs(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru Kmxl generovaného stĺpcami matice A. Teda hr(A) = dim[ri(il), r2(A),..., rm(A)], hs(A) = dim[si(A), s2(A),..., sn(A)] Označme

ß ■ (x)ß pre ľubovoľné x E V. Ak do zrejmej rovnosti x = a • (x)a (pozri paragraf 5.3) budeme za x postupne dosadzovať vektory víy... ,vn bázy ß, s využitím vzťahu pre stĺpce súčinu matíc z paragrafu 2.3 dostaneme Vj = cf (Vj)a = a ■ 8j{Pa>ß) = 8j(a ■ Pa,ß) pre každé 1 < j < n. Tým sme dostali ďalší dôležitý vzťah, ktorý jednoznačne charakterizuje maticu prechodu Pa,ß'- OL ■ Pa,ß = ß. (Podotýkame, že súčin a • Pa,ß treba chápať v zmysle paragrafu 2.3) • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Priradenie Ui i—► Vi pre i < n možno jednoznačne rozšíriť do bijektívnej lineárnej transformácie i) : V —► V. Skrátene píšeme i){cx) = ß. Matica transformácie i) vzhladom na bázu a je opäť (ß)a = (Ů)a>a = ((ŮUi)a, ..., (ŮUn)a) = ((Vi)a, ..., (Vn)a) a,ß- Zhrnutím vykonaných úvah dostávame štyri ekvivalentné charakterizácie matice prechodu. 7.4.1. Tvrdenie. Nech a = (u\,..., un), ß = (v\,... ,vn) sú dve bázy n-rozmerného vektorového priestoru V nad poľom K. Potom pre ľubovoľnú maticu P E Knxn nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) P = (idy)a,ß, t. j. P je matica prechodu z bázy ß do bázy a; (ii) (x)a = P ■ (x)ß pre každé x E V; (iii) OL P = ß, (iv) P = ($)a, kde ů : V —► V je lineárna transformácia taká, že ů(ol) = ß. Z definície matice prechodu a vety 6.4.2. okamžite vyplývajú nasledujúce rovnosti. 7.4.2. Tvrdenie. Nech ex, ß, -y sú bázy konečnorozmerného vektorového priestoru V nad poľom K. Potom P — T P — P ~l P P — P ■* ex,ex -*«,; ■* ß,cx ■* cx,ß i ■* cx,ß ■* ß,~f ■ra,"y • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Z druhej z uvedených podmienok vidno, že matica prechodu Pa,ß je vždy regulárna. Taktiež naopak, každá regulárna matica P E Knxn je maticou prechodu medzi vhodnou dvojicou báz. 7.4.3. Tvrdenie. Nech V je n-rozmerný vektorový priestor nad poľom K, P = (pi:?-) E Knxn je ľubovoľná regulárna matica a ex = (ui,..., u„) je nejaká báza vo V. Položme ß = (vi, ...,vn) = ex-P, 7 = (tüi, ...,wn)= ex ■ P"1, t. j. pre 1 < j < n platí Vj = pijUi + ... + pnjVn a Wj = q\jUx + ... + qnjVn, kde P~l = (qij)nxn- Potom P je maticou prechodu z bázy ß do bázy ex a taktiež z bázy ex do bázy 7, čiže P — P —P Špeciálne, P je maticou prechodu z bázy (si(P),..., sn(P)) do bázy e = (e\,..., en) v Kn a taktiež z bázy e do bázy (si(P_1),..., sn(P~1)). V prípade, keď V = Kn je priestor stĺpcových vektorov, možno každú jeho bázu ex stotožniť s príslušnou regulárnou maticou, ktorej stĺpcami sú vektory danej bázy. Pri takomto stotožnení je návod na výpočet matice prechodu obsiahnutý v nasledujúcom tvrdení. 7.4.4. Tvrdenie. Nech ex = (u\,..., un), ß = (v\,..., vn) sú dve bázy stĺpcového vektorového priestoru Kn. Potom Pa,ß = ex~l ■ ß. Dôkaz. Z podmienky ex ■ Pa,ß = ß okamžite vyplýva požadovaná rovnosť. To nám dáva návod na výpočet matice prechodu pre bázy ex, ß vektorového priestoru • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Kn podľa už známej schémy (a 1/3) -^ (In\Pa,ß) = (e\a-1-ß). 7.5. Matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne bázy V tomto článku sa budeme zaoberať vplyvom zmeny báz na maticu lineárneho zobrazenia, presnejšie, vzťahom medzi maticami daného lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne dvojice báz. 7.5.1. Veta. Nech V\, V2 sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K,

(y2,a2) (V,ßi) -—- (V2,ß2) Nezabudnite, že zobrazenia skladáme „v obrátenom poradí", a tomu musí zodpovedať aj „obrátené poradie" násobenia matíc! 7.5.2. Príklad. Nech

elm) • M-Pe(n))/3, M = P£(m)!a ■ A ■ Pß}£(n) . Ak stotožníme každú bázu s regulárnou maticou, ktorej stĺpce sú vektory tejto bázy, tak uvedené rovnosti nadobudnú tvar A = a'1 ■ Im ■ M I~l ■ ß = ct~l ■ M ß, M=l£ ct- A ß'1 ■ In = ct A ß~\ umožňujúci priamy výpočet jednej z matíc A, M na základe znalosti báz et, ß a druhej z nich. «l,/3l • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Položme si teraz obrátenú otázku. Za akých podmienok sú matice A, B G Kmxn maticami toho istého lineárneho zobrazenia

-Q2 = B", kde Qi, Q2 sú regulárne matice. Stačí pomocou vedúcich prvkov jednotlivých riadkov vynulovat' prípadné ďalšie nenulové prvky týchto riadkov a, ak treba, vymeniť poradie • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec niektorých stĺpcov. Potom P\ ■ A ■ Q\ = P2 • B ■ Q2, teda B = P2 l ■ P\ ■ A ■ Q\ ■ Q2 l a matice P = P2X Pi, Q = Qi • Qš^ sú zrejme regulárne. Na základe dôkazu tejto vety okamžite dostávame záverečný výsledok. 7.5.4. Veta. Pre každé lineárne zobrazenie Lp : V —► U medzi konečnorozmernými vektorovými priestormi nad poľom K možno zvoliť bázu ß priestoru V a bázu ex priestoru U tak, že Lp má vzhľadom na bázy ß, ex maticu v blokovom tvare (V) ot,ß Ifi ®h,n-h "m—h,h "m—h,n—h kde n = dim V, m = dim U a h = h( taktiež vyjadrenie pomocou „pohyblivej" bázy a, t. j. pomocou báz a, ß, (v o tf)« = 0?)« • (v)ß- ktoré je zaujímavé obráteným poradím činiteľov. Stačí si uvedomiť, že zo vzťahov i9(cx) = ß, r](ß) = 7 vyplýva (r] o ů)(cx) = 7, a ďalej podľa časti (iv) tvrdenia 7.4.1. a tvrdenia 7.4.2. tiež ('qoé)a = Parf = Paß ■ Pßrf = (ů)a- ('n)ß. Toto pozorovanie možno matematickou indukciou rozšíriť na ľubovoľný konečný počet báz a lineárnych transformácií. 7.6.1. Veta. Nech oĺq,oĺi, ... ,ock sú bázy konečnorozmerného vektorového priestoru V a $1,..., ůk : V —► V sú lineárne transformácie také, že ů^olí-i) = cti pre 1 < i < k. Potom • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec maticu zloženej transformácie ů = ůk ° ■ ■ ■ ° $1 vzhľadom na pôvodnú bázu CKo možno vyjadriť ako súčin Woo = (^i)co • • • • • (tffcWi matíc ('di)ai_1 dielčích transformácií Ůí vzhľadom na jednotlivé polohy cXí-i pohyblivej bázy oĺq . 7.6.2. Príklad. Nájdeme maticu lineárnej transformácie i? : ÍR3 —► M3 ktorá vznikne zložením otočenia Q\ okolo osi z = [e3] o uhol 7r/4 s otočením i?2 okolo osi so smerovým vektorom f2\(ei) o uhol ir/3. Lineárna transformácia Q\ má v báze e = (e\, e2, e3) maticu /cos(vr/4) -sin(7r/4) 0\ /v/2/2 -v^/2 0\ (a)e = sin(7r/4) cos(tt/4) 0 = v^/2 v^/2 0 . V o 0 1/ \ 0 0 1/ Lineárna transformácia i?2 niá v báze ß = Q\{e) = (i?i(ei), i?i(e2), e3) (t. j. v „novej" báze e) maticu íl o o \ /i o 0 \ (ß2)^ = 0 cos(vr/3) - sin(7r/3) ] = I 0 1/2 —y/3/2 . \0 sin(7r/6) cos(n/6)J \Q ^3/2 1/2 / • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Preto fy/2/2 -y/2/2 0\ /l 0 = v^/2 v^/2 0-0 1/2 \ 0 0 1/ \0 v^/2 = v^/2 v^/4 —-s/6/4 . \ 0 ^2 1/2 / Na základe rovnosti (i?)£ = (ß2)£ • (ßi)e je už teraz hračkou vypočítať aj samotnú maticu otočenia Q2 vzhľadom na kanonickú bázu e: -y/2/A Vě/A\ I v^/2 v^2/2 0N (Í22)e = (ß)e • (ßi)j1 = ( v^/2 v^/4 -VŠ/A ■ -v/2/2 v^/2 0 VŠ/2 1/2 / V 0 0 1, 1/4 3/4 ■ --s/6/4 v^/4 1/2 J Cvičenia 7.1. Nech t/, V sú vektorové priestory nad poľom K a y> : V —> t/ je lineárne zobrazenie. Potom pre ľubovolné vektory «i,..., un e V platí y[i?i,..., u„] = [ip(vi),..., y>(un)]. Dokážte. Odvoďte z toho, že • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec ak evi,..., evn generujú V, tak ifm je dané predpisom y (a;) = A ■ x. 7.2. Určte hodnosť matice A nad poľom K: (*)K = R,A=(H-\); (b)ff = C,A=(i + ji + tJ4*21); (c) if = Z7, A = ( U í); (d) K = Z17, i=(m). 7.3. (a) Dokážte vzorce z tvrdenia 7.2.4. (b) Dokážte, že pre ľubovoľnú maticu A G Knxn a k, l G N platí ^4fc • ^4' = ^4fc+í a (^4fc)' = Akl. (c) Pre regulárnu maticu A G Knxn rozšírte definíciu jej mocniny Ak na ľubovovoľný celočíselný exponent A; a dokážte rovnosti ^4fc • A1 = Ak+l, (^4fc)' = ^4fcí pre všetky A;, / G Z (porovnaj s cvičením 2.13). (d) Za akých okolností platí pre matice A, B e Knxn rovnosť (A ■ B)k = Ak ■ Bk pre ľubovoľné A; G N? (e) Za akých okolností platí pre regulárne matice A, B G Knxn rovnosť (A ■ B)k = Bk ■ Ak pre ľubovoľné A; G Z? (f) Nájdite príklad regulárnych matíc i, Be R2x2 takých, že všetky štyri matice (A- B)~2, (B-A)~2, A~2 ■ B 2, B 2 ■ A~2 sú rôzne. Dá sa táto úloha riešiť aj bez počítania inverzných matíc? 7.4. Nech P G Knxn je regulárna matica. Potom pre ľubovoľné matice A G Kmxn, B G Knxq platí h(A ■ P) = h(A), h(P ■ B) = h(B). Dokážte. 7.5. Zistite, či uvedená matica A nad poľom K je regulárna; v tom prípade vypočítajte k nej inverznú maticu A^1: (&)K = ®,A=(ltt); (b)K = R,A=Qf $Q; (c)K = C,A=( w Y); (d)K = C,A=( i+f i;;); • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (e)K = Z2,A=(l\\); (f) K = Z3, A = (í o ? (*)A=(-l-l),B = (UŽI ; (b)A=(l-20),B=( 22 7.6. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A x ■ B (ak A je regulárna): '2 1 3\ I 2 i% 1-20,5= 22 3 0 3y y-2 0 Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu AC mali by ste dostať B. 7.7. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A ■ B x (ak B je regulárna) (a) A (l305J,i?= (025J; (bM= (?§),£=(!!). Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu C ■ B mali by ste dostať A. 7.8. Ná základe skúseností nadobudnutých v cvičeniach 7.5, 7.6 a 7.7 dokážte tvrdenie 7.3.1. 7.9. Nájdite inverzné matice k maticiam Ra, Sa z príkladov 6.4.3., 6.4.4. Vysvetlite geometrický význam získaných výsledkov. 7.10. Bázy a, ß vektorového priestoru R3 sú tvorené stĺpcami matíc I o 1 1 J resp. I -1 1 o J (a) Nájdite matice prechodu P£,a, Pß,e, Pa,ß a Pß,a- (b) Vektor a; G R3 má vzhľadom na bázu ß súradnice (2, 7,1)T. Nájdite vektor x ako aj jeho súradnice vzhľadom na bázu a. 7.11. Báza a vektorového priestoru R3 je tvorená stĺpcami matice I 2 1 3 J. Nájdite bázy ß, 7 priestoru R3, ak poznáte matice prechodu Pa,ß = ( 2 1 2 ) a P-y,a = ( 2 ° 1 ) • Vypočítajte matice prechodu Pßa a Pf,ß. 7.12. Lineárne zobrazenie ip : R3 —> R4 je dané predpisom ip(x, y, z)T = (x + y,x — y,3x + y + z, z)T. (a) Nájdite maticu zobrazenia 92 vzhľadom na bázy ß priestoru R3 a a priestoru R4 tvorené stĺpcami • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 0 10 1 I resD. I 14 9 matíc (123) resp. (q 123 o 00 1, (b) Nech x = (1, —4, 3)T G R3. Nájdite súradnice vektora R3 má vzhľadom na bázy ß priestoru R4 a a priestoru R3 tvorené / 1 1 1 1 N / 1 — 1 ON stĺpcami matíc A = f } ?}?]^4=(o 1 -1 ) maticu A = (1122). Vo~olo/ Vo ° lJ U290; (a) Nájdite maticu zobrazenia ip vzhľadom na kanonické bázy e^A\ e^\ (b) Nech u = (2,1, 0, —1)T G R4. Nájdite súradnice vektora ip(u) G R3 vzhľadom na bázu a. (c) Vektor u G R4 má vzhľadom na bázu ß súradnice (1, —1,1, — 1)T. Nájdite vektor tp(v) G R3. (d) Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi - vysvetlite ako. (e) Určte hodnosť h zobrazenia tp a nájdite nejaké bázy priestorov R4, R3, vzhľadom na ktoré má matica ip blokový tvar í "Ír n ) • Napíšte explicitne túto maticu. 7.14. Dokážte, že £ = Qn> = (1,1 + x, (1 + x)2,..., (l + x)n) je bázou vektorového priestoru R(n)[x] a nájdite matice prechodu P^x, P{,£, kde £ = ^n' = (í,x,x2,... ,xn) je kanonická báza priestoru R(n)[x]. 7.15. Podľa cvičenia 6.10 je í/n) = 77 = (l, x, [x]2, • • •, [x]n) bázou vektorového priestoru R(n)[x]. Pre 0 < k, m < n označme s(m, k) prvok na mieste (k, m) matice prechodu P^lV a S (m, k) prvok na mieste (k, m) matice prechodu Pv,£- To znamená, že pre 0 < m < n platí [x]m = J22=o s(mi k)xk a • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec xm = Yľk=o S(m> k)[x]k. Koeficienty s(m,k), S(m,k) sa nazývajú Stirlingove čísla prvého resp. druhého druhu. (a) Dokážte, že Stirlingove čísla prvého druhu vyhovujú podmienkam s(0, 0) = 1, s(n, 0) = 0 pre n > 1, s(n, n) = 1 a s(n, k) = 0 pre k > n. (b) Dokážte, že pre 1 < k < n platí s(n + í,k) = s(n, k — í) — ns(n, k). (Návod: Vyjadrite polynóm ]„(x - n) dvojakým spôsobom a porovnajte koeficienty pri xk.) (c) Označme c(n, k) počet všetkých permutácií n-prvkovej množiny, pozostávajúcich z práve k disjunkt-ných cyklov (vrátane 1-cyklov) - pozri cvičenie 0.14. Dokážte, že čísla c(n,k) vyhovujú podmienkam c(0, 0) = 1, c(n, 0) = 0 pre n > 1, c(n, n) = 1 a c(n, k) = 0 pre k > n. (d) Kombinatorickou úvahou dokážte rovnosť c(n + í,k) = c(n, k — 1) + nc(n, A;) pre 1 < k < n. (Návod: Všetky permutácie (n+ l)-prvkovej množiny {0,1,..., n} pozostávajúce z k disjunktných cyklov rozdeľte do dvoch skupín podľa toho, či obsahujú alebo neobsahujú 1-cyklus (0). Ukážte, že prvých je c(n, k — 1) a druhých nc(n, k).) (e) Na základe (a), (b), (c) a (d) dokážte, že pre všetky k, n G N platí c(n,k) = (—l)n~ks(n, k) = \s(n, k)\. Čísla c(n, k) sa nazývajú znamienkovo prosté Stirlingove čísla prvého druhu. (f) Uvedomte si, že (c), (d) sú vlastne akýmisi pravidlami modifikovaného Pascalovho trojuholníka pre čísla c(n, k). Vypočítajte hodnoty týchto čísel pre n < 5, 0 < k < n. (g) Dokážte, že Stirlingove čísla druhého druhu vyhovujú podmienkam S(0,0) = 1, S(n,0) = 0 pre n > 1, S(n, n) = 1 a S(n, k) = 0 pre k > n. (h) Dokážte, že pre 1 < k < n platí S(n + 1, k) = S(n, k — 1) + kS(n, k). (Návod: S využitím rovnosti Nfc+i = [a;]fc(a; — k) vyjadrite polynóm xn+1 = xnx dvojakým spôsobom a porovnajte koeficienty pri Nfc-) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (i) Označme S(n, k) počet všetkých rozkladov n-prvkovej množiny, pozostávajúcich z práve k dis-junktných množin - pozri paragraf 0.6 Dokážte, že čísla S(n,k) vyhovujú podmienkam S(0,0) = 1, S (n, 0) = 0 pre n > 1, S (n, n) = 1 a S (n, k) = 0 pre k > n. (j) Kombinatorickou úvahou dokážte rovnosť S (n + 1, k) = S(n, k — 1) + kS(n, k) pre 1 < k < n. (Návod: Všetky rozklady (n + l)-prvkovej množiny {0,1,..., n} na A; disjunktných podmnožin rozdeľte do dvoch skupín podľa toho, či obsahujú alebo neobsahujú jednoprvkovú množinu {0}. Ukážte, že prvých je S(n, k — 1) a druhých kS(n, k).) (k) Na základe (g), (h), (i) a (j) dokážte, že pre všetky A;, n G N platí S(n, k) = S(n, k). (1) Uvedomte si, že (g), (h) sú vlastne akýmisi pravidlami modifikovaného Pascalovho trojuholníka pre čísla S(n, k). Vypočítajte hodnoty týchto čísel pre n < 5, 0 < k < n. 7.16. (a) Nech a, ß sú dve bázy konečnorozmerného vektorového priestoru V a ů : V —> V je lineárna transformácia taká, že ů(at) = ß. Potom (u)ß = Pa,ß- Dokážte. (b) Nech 7 je tretia báza vo V a r] : V —> V je lineárna transformácia taká, že rj(ß) = j. Odvoďte nasledujúce vyjadrenie pre maticu zloženej transformácie rjoů vo výslednej báze 7 pomocou jej "predchádzajúcich polôh a a ß: (ry o $)y = (u)ß o (rf)y. (c) Zovšeobecnite (b) na ľubovoľný počet k lineárnych transformácií afc + 1 báz podľa vzoru vety 7.6.1. 7.17. (a) Pre ľubovoľnú dvojicu vektorov e^ ^ ej kanonickej bázy e v R3 nájdite maticu (Í2)e transformácie Í2, ktorá vznikne zložením otočenia fl\ okolo osi [ej] o uhol ip s otočením i?2 okolo osi [ej] o uhol tp. (b) Na základe (a) nájdite maticu otočenia o uhol tp okolo priamky, ktorá leží v rovine [ej, ej] a zviera s osou [ej] uhol ip, vzhľadom na bázu e. (Všetky otočenia orientujte podľa pravidla pravej ruky.) (c) Riešte úlohy (a) a (b) pre niekoľko konkrétnych volieb bázických vektorov ej, ej a uhlov • • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 7.18. Nech a = (ui,..., u„) je nejaká báza vektorového priestoru V nad poľom K a ß = (i?i,..., vm) je ľubovolná usporiadaná m-tica vektorov z V. Uvedomte si, že maticu Pa,ß = ((vi)a, ■ ■ ■, (vm)a) & Knxm možno definovať aj za takýchto všeobecnejších pomienok a dokážte nasledujúce tvrdenia: (a) Pre hodnosť matice Pa,ß platí h{Pa^) = dim[i?i,..., vm]. (b) Ak m = n, tak matica Pa,ß je regulárna práve vtedy, keď aj ß je báza priestoru V. (c) Ak m = n, tak pre jednoznačne určené (nie nutne bijektívne) lineárne zobrazenie ů : V —> V také, že ů(ui) = Vi pre i < n stále platí (ů)a = Pa,ß- • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8. Afinné podpriestory a afinné zobrazenia Keď sme v paragrafe 4.1, odvolávajúc sa na geometrický názor, ilustrovali pojem lineárneho podpriestoru, ako príklad sme uviedli, že netriválne vlastné lineárne podpriestory „nášho" trojrozmerného vektorového priestoru E3 sú práve priamky a roviny prechádzajúce počiatkom 0. Kritickejší čitateľ mohol vtedy oprávnene zapochybovať o adekvátnosti a prirodzenosti tohto pojmu, či aspoň pocítiť potrebu zaviesť taký pojem podpriestoru, ktorý by napr. v M3 zahŕňal všetky priamky a roviny, nielen tie prechádzajúce počiatkom. Podobne sme v paragrafe 6.1 hneď po definícii pojmu lineárneho zobrazenia boli nútení učiniť poznámku o jeho odlišnosti od pojmu lineárnej funkcie používaného v matematickej analýze. Vzápätí sme prijali záväzok, že sa s týmto nedostatkom v príhodný čas vyrovnáme. Ten čas práve nastal. Spomínané medzery zaplníme definíciami pojmu afinného podpriestoru alebo tiež lineárnej variety a pojmu afinného zobrazenia. Afinita znamená príbuznosť, spriaznenosť. Čitateľ sám uvidí, že objekty označené prívlastkom „afinný" sú úzko spriaznené so zodpovedajúcimi objektmi nesúcimi prívlastok „lineárny". Ťažiskom kapitoly bude klasifikácia vzájomnej polohy afinných podpriestorov vo vektorovom priestore. 8.1. Body a vektory Na vektory, čiže na prvky vektorových priestorov - aspoň pokiaľ ide o konečnorozmerné vektorové priestory nad E, - sa dívame ako na orientované úsečky s počiatkom v bode 0. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Už táto veta prezrádza, že pôvodne sa na prvky takéhoto priestoru dívame ako na body a celý priestor chápeme ako homogénny, t.j. všetky body považujeme za rovnocenné a nevyčleňujeme v ňom nijaký privilegovaný bod za počiatok. Až na základe tohto pôvodného porozumenia dokážeme po vyčlenení nejakého počiatku O (ktorým sa môže stať ľubovoľný bod homogénneho priestoru) nahradiť bod A príslušného priestoru orientovanou úsečkou O A a následne abstrahovať od jej polohy, to znamená uvidieť za ňou vektor u = OÁ, daný len jej veľkosťou, smerom a orientáciou, ktorý možno umiestniť do ľubovoľného bodu priestoru - nielen do počiatku. Afinným priestorom nad poľom K rozumieme vektorový priestor V nad týmto poľom, pri pohľade na ktorý sme sa vrátili k onomu pôvodnému porozumeniu jeho štruktúre a prvkom. Tie sa z vektorov stali opäť bodmi a počiatok (t. j. nulový vektor) stratil svoje výsadné postavenie - stal sa z neho bod ako každý iný. Formálnu definíciu afinného priestoru nad poľom K tu uvádzať nebudeme. Sme totiž toho názoru, že matematická formalizácia rozdielu medzi oboma spomínanými pohľadmi na prvky vektorového priestoru by v tejto chvíli vniesla do veci viac zmätku než svetla. Celkom postačí, keď úlohu prepínača medzi oboma pohľadmi zveríme dvojiciam slov „bod" -„vektor" a „afinný",- „lineárny", prípadne „afinný" - „vektorový". Na druhej strane však pred nami vyvstáva potreba formálnej definície podmnožin vektorového priestoru, ktoré sú „vernými kópiami" lineárnych podpriestorov - nemusia však prechádzať počiatkom, ale môžu byť umiestnené „kdekoľvek". • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.2. Afinné podpriestory V celom tomto a nasledujúcich dvoch paragrafoch V označuje nejaký pevný, no inak ľubovoľný, vektorový priestor nad poľom K & m, n sú prirodzené čísla. Kvôli pohodliu čitateľa budeme písmenami p, q, r (možno s indexmi) značiť výlučne body, u, v, w označujú zasa výlučne vektory, kým x, y, z môžu podľa potreby označovať body i vektory. Taktiež sa dohodneme, že rozdiel dvoch bodov budeme chápať ako vektor, kým súčet bodu a vektora ako bod. Nech p, q E V, p ^ q. Priamkou prechádzajúcou alebo tiež určenou bodmi p, q rozumieme množinu £(p, q), ktorú dostaneme tak, že do bodu p umiestnime všetky možné skalárně násobky vektora q— p. Typický bod priamky £(p, q) má teda x = P + t(q - p) = (1 - ť)p + tq, kde t E K, čiže £(p} q) = {sp + tq; s, t E K & s + t = 1} C V. tvar Tento výraz má, samozrejme, zmysel aj pre p = q, vtedy však nejde o priamku ale o jednobodovú množinu £(p,p) = {p}- Z uvedeného tvaru ihneď vidíme, že *(P, 9) ^= ^) t. j. M s každou dvojicou bodov obsahuje celú priamku nimi určenú. Druhú podmienku dodávame len kvôli poliam charakteristiky 2; ak char K 7^ 2, tak už vyplýva z prvej, takže je vlastne zbytočná. Na druhej strane, napr. vo vektorovom priestore V nad poľom Z2 pre všetky body p, q G V platí £(p, q) = {p, q}, teda len prvej podmienke by vyhovovala každá podmnožina M C V. Podrobnejšie o tom pojednáva nasledujúce tvrdenie, ktoré je očividne analógiou tvrdenia 4.1.2. 8.2.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú neprázdnu množinu M C V nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) M je afínný podpriestor vo V, t. j. pre ľubovoľné p, q, r E M, s E K platí sp + (1 — s) q E M a p— q+ r E M; 1B ary centrum znamená ťažisko. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (U) M je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné aňnné kombinácie trojíc bodov, t. j. pre všetky p, q, r E M, s,t E K platí sp + tq + (1 - s - t)r E M; (iii) M je uzavretá vzhľadom na akékoľvek aňnné kombinácie, t. j. pre všetky n E N, body p0, pi,..., pn E M a skaláry to, t\,..., tn E K také, že to + t\ + ... + tn = 1, platí toPo + hpi + ... + tnpn E M; Ak char K ^ 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou (i~) pre ľubovoľné p, q E M, s E K platí sp + (1 — s)q E M. Dôkaz. Implikácie (iii) =^> (ii) =^> (i) sú zrejmé aj bez predpokladu char K ^ 2. Dokážeme implikáciu (i) =^> (iii); pri dôkaze vyjde navyše najavo, že pre char K ^ 2 stačí na odvodenie záveru (iii) slabšia podmienka (i-) miesto (i). Predpokladajme (i) (teda tým skôr (i-)) a připusťme, že podmienka (iii) neplatí. Označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré to nastane. Potom n > 2 a pre všetky k < n podmienka (iii) platí, čiže M je uzavretá na afinné kombinácie < n bodov. Nech p0,..., pn E M, to,... ,tn E K sú také, že ío + • • • + tn = 1 a toPo + • • • + tnpn ^ M. Treba zvážiť dve možnosti. (a) Ak ti 7^ 1 pre aspoň jedno i < n, tak bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že ŕo ť^ 1- Označme q Kedze ti l-to • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec U -Pi Xr. -Pn- 1-ío l-h' tn __ l\ ~T ■ ■ ■ ~T tn l -h ~ 1-ío 1, q G M, lebo q je afinnou kombináciou n bodov z M. Potom ÚPO + ílPl + ■ ■ ■ + ínPn = ÍOPO + (l ~ t0) q E M vyplýva už z podmienky (i-). To je však spor. (b) Ak U = 1 pre všetky i < n, tak ide o afinnú kombináciu p0 + Pi + • • • + Pn-i + Pn a íi + ... + íra_i = — 1. Potom q» = —pi — ... — pn-i je afinnou kombináciou n — 1 bodov z M, teda g G M. Podľa druhej z podmienok v (i) máme PO + Pi + • • • + Pn-l + Pn = PO - q+PnE M, čo je opäť spor. Ak char K ^ 2, možno sa zaobísť bez tejto podmienky. Kedze \ + \ = 1, už z (i-) vyplýva |po + \Pn G M. Nakoľko 2 + (—1) = 1, opäť len z (i-) dostávame Po + Pi + • • • + Pn-i + Pn = 2 í -po + 2^™ J - 9 e M. Poznámka. Ak char Ä" = oo, tak možnosť (b) zrejme nemôže nastať, teda v uvedenom dôkaze stačí uvažovať len možnosť (a). Zároveň vidno, že v druhej časti bodu (b) je podstatný predpoklad char K ^ 2. Bez neho by sme totiž nevedeli zaručiť existenciu prvku 1/2 = 2"1 G K inverzného k prvku 2 = 1 + 1 G K. Nasledujúca veta ukazuje, že afinné podpriestory skutočne nie sú ničím iným, než lineárnymi podpriestormi posunutými do ľubovoľného bodu príslušného vektorového priestoru. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.2.2. Veta. Nech M C V. Potom M je aňnný podpriestor vo V práve vtedy, keď existuje bod p E V a lineárny podpriestor S C. V taký, že M = p+S = {p+u- u e S}. V tom prípade pre všetky q, r E M, u E S platí q-r E S, q+uEM, M=q+S, S = {x- q, x E M} = {x- y; x, y E M}. Dôkaz. Nech M C V je afinný podpriestor a p G M je jeho ľubovoľný bod. Položme S = {x-p- x E M}. Potom zrejme M = p + S. Stačí teda dokázať, že S C V je lineárny podpriestor. Kedze p E M, platí 0 = p — p E S. Ukážeme uzavretosť S na lineárne kombinácie. Nech u, v E S, a,b E K. Potom u= x— p, v = y — p pre nejaké x, y E M. Jednoduchý výpočet dáva au+bv = a(x — p) + b(y —p) = ax + by + (1 — a — b) p — p. Prvé tri sčítance tvoria afinnú kombináciu bodov z M, teda ax+ by + (1 — a — b)p E M; preto tiež au+bv E S Nech naopak M = p + S pre nejaký bod p E V a lineárny podpriestor S C. V. Podľa tvrdenia 8.2.1. stačí ukázať uzavretosť M na afinné kombinácie trojíc. Nech x, y, z E M, s,t E K. Potom x= p + u, y = p + v, z= p+ w pre nejaké u,v,w E S. Počítajme sx + ty+(l - s-t)z= s(p+u) +t(p+v) + (l -s-t)(p+w) = p + SU + tv+ (1 — s — t)w. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Keďže tu+ SV+ (1 — s — t)w E S, dostávame sx + ty + (1 — s — ť)z E M. Ďalšie tri podmienky možno teraz overiť priamymi výpočtami, ktoré prenechávame čitateľovi; štvrtá z nich okamžite vyplýva. 8.2.3. Dôsledok. Každý lineárny podpriestor S vektorového priestoru V je jeho afínným podpriestorom. Aňnný podpriestor M vektorového priestoru V je jeho lineárnym podpriestor om práve vtedy, keď 0 E M. Zameraním alebo tiež smerovým podpriestorom afinného podpriestoru M C V nazývame lineárny podpriestor Dir M = {x- y; x, y E M} C V. (Označenie pochádza z anglického slova direction). Podľa vety 8.2.2. je Dir M jediný lineárny podpriestor vo V taký, že M = p + Dir M pre nejaké (pre každé) p E M. Taktiež pre každé p E M platí Dir M = {x -p; x E M}. Pre každú usporiadanú (n + l)-ticu bodov (p0,..., pn), vektorového priestoru V, prípadne pre jeho konečnú neprázdnu podmnožinu {p0,... , pn}, označme £(P0, ...,pn) = {toPo + ■ ■ ■ + tnpn] t0, ■ ■ ■ , tn E K & t0 + . . . + tn = 1} množinu všetkých afinných kombinácií bodov p0,..., pn. Z práve dokázaného tvrdenia vyplýva, že £(po,... , Pn) je najmenší afinný podpriestor vo V, ktorý obsahuje všetky body p0,...,pn; nazývame ho afinný obal bodov p0,... ,pn alebo tiež afinný podpriestor generovaný bodmi p0,..., pn. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Vo všeobecnosti možno pre ľubovoľnú (i nekonečnú) neprázdnu množinu X C V definovať jej afinný obal £(X), nazývaný tiež afinný podpriestor generovaný množinou X, ako množinu všetkých (konečných) afinných kombinácií bodov z X. Opäť platí, že £(X) je najmenší afinný podpriestor vo V, pre ktorý X C £(X). 8.2.4. Tvrdenie. Nech p0,pi,... ,pn e V. Potom £(P0, Pl, ■ ■ ■ , Pn) = PO + [Pl - PO, ■ ■ ■ , Pn - Po], ĽÍľ£(p0, Pl, . . . , Pn) = [Pl - PO, ■ ■ • , Pn - Po}- Dôkaz, prenechávame ako cvičenie čitateľovi. Dimenziou alebo tiež rozmerom afinného podpriestoru M C. V, označenie dim M, nazývame dimenziu jeho zamerania, teda dim M = dim Dir M. Body Po,Pi, ■ ■ ■, Pn vektorového priestoru V nazývame afinně nezávislé, ak vektory Pi — Po, ■ ■ ■ ,Pn — Po sú lineárne nezávislé. Z nasledujúceho očividného tvrdenia okrem iného vyplýva, že body p0,pi,... ,pn E V sú afinně nezávislé práve vtedy, keď pre nejaké (pre každé) 0 < k < n vektory Pj — pk, kde 0 < j < n a j ^ k, sú lineárne nezávislé. Inak povedané, platí 8.2.5. Tvrdenie. Body p0,pi,... ,pn E V sú aßnne nezávislé práve vtedy, keď dim£(p0,pi,... ,pn) =n • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Zrejme O-rozmerné afinné podpriestrory vo V sú práve všetky body p E V (presnejšie, všetky jednobodové podmnožiny vo V). Tieto afinné podpriestory nazývame tiež triviálne. Jednorozmené afinné podpriestory vo V nazývame priamkami. Každá priamka má naozaj tvar £(p, q) pre nejaké afinně nezávislé (t. j. rôzne) body p, q G V. Dvojrozmerné afinné podpriestory vo V nazývame rovinami. Taktiež samotný priestor V je svojim nevlastným afinným podpriestorom. Ak dim V = n, tak (n — l)-rozmerné afinné podpriestory vo V nazývame nadrovinami. Kým pojmy „bod", „priamka" a „rovina" sú absolútne v tom zmysle, že závisia len na dimenzii príslušného afinného podpriestoru, pojem nadroviny je relatívny, lebo závisí na vzťahu dimenzií afinného podpriestoru a celého priestoru. Napríklad ak dim V = 1 (t. j. ak samotné V je priamka), tak každý bod vo V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami v dvojrozmernom priestore (t. j. v rovine) sú zasa všetky priamky. V trojrozmernom priestore V pojmy roviny a nadroviny splývajú. V štvorrozmernom priestore sú zasa nadrovinami trojrozmerné podpriestory; at ď. Ešte poznamenajme, že v 0-rozmernom (t. j. jednobodovom) priestore V niet priamok, rovín ani nadrovín. 8.3. Prienik a spojenie afinných podpriestorov V tomto paragrafe mierne zovšeobecníme niektoré výsledky paragrafov 4.3 a 5.4 o prieniku a súčte lineárnych podpriestorov do podoby použiteľnej pre afinné podpriestory. 8.3.1. Tvrdenie. Nech M, N C V sú afinné podpriestory. Potom M n N je afínný pod- • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec priestor vo V práve vtedy, keď M niV^f). V tom prípade Dir(M n iV) = Dir M n Dir iV. Dôkaz. Ak M íl N = 0, tak to samozrejme nie je afinný podpriestor. Nech M íl N ^ 0. Označme S = Dir M, T = Dir N príslušné smerové podpriestory. Zvolme ľubovoľný bod p E M H N. Stačí dokázať rovnosť MnN = p+(SnT). Zvolme q E M n N. K nemu existujú u E S, v E T také, že q=p+u = p+v. Potom u= ve Sľ\T &qEp+(Sr\T). Teda Mľ\N C p+(Sr\T). Obrátená inklúzia je triviálna. Neprázdnosť prieniku M íl N možno zaručiť za predpokladu, že lineárny priestor Dir M + Dir N je „dosť veľký" • 8.3.2. Tvrdenie. Nech M, N C V sú afínné podpriestory. Potom Dir M + Dir N = V => M D N ^ 0. Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Zvolme ľubovoľné p E M, q E N. Kedze S + T = V, existujú vektory u E S, v E T také, že q— p = u+ v. Potom q=p+(q-p) = p+u+v V dôsledku toho p+u=q—veMíIN, lebo p+uEM&q—veN. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Spojením afinných podpriestorov M, N C V, označenie M U N, nazývame afinný obal ich zjednotenia. Teda MUN = £(MUN). Zrejme MU N je najmenší afinný podpriestor vo V, ktorý obsahuje M aj N, a pre lineárne podpriestory S, T C. V platí S U T = S + T. 8.3.3. Tvrdenie. Nech M, N CV sú afínné podpriestory. (a) AkMnN ž 0, tak Dir(M U iV) = Dir M + Dir iV, M U N = M + Dir N = N + Dir M. (b) Ak M n N = 0, tak pre ľubovoľné p E M, q e N platí Dir(M U iV) = [q - p] + Dir M + Dir iV, MU N = M + ([q-p] +~DiľN) = N+([q-p] +DirM). Poznámka. Stojí za zmienku, že obe rovnosti z (b) sú splnené aj za predpokladu MľlAí^l. V tom prípade však pre ľubovoľné r e M ľ\ N platí q - p = (r - p) + (q - r) E Dir M + Dir N, takže vektor q — p možno v príslušných vzťahoch vynechať. Rovnako tomu bude i v príklade 8.3.5. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz. Stačí dokázať len (b), lebo (a) z neho vyplýva vo svetle našej poznámky. Označme S = Dir M, T = Dir N a zvolme p G M, q G N. Budeme dokazovať iba rovnosť MUN = p+[q-p] + S + T; zvyšok je už jej bezprostredným dôsledkom. Každý bod r G M U N je afinnou kombináciou m n i=0 j=0 kde po,..., pm E M, q0,...,qn E M, s0,...,sm,t0,...,tn E K aY^iSí + Y^jtj = 1- Potom Pi — p G S, qj — q G T pre i < m, j < n. Označme s = s0 + ... + sm, t = í0 + • • • + tn a počítajme m n r= (sp + tq) + Y^ sí(Pí -P) + Y1 *J'(* ~ $ i=0 j=0 m n = p + t(q-p) + Ysl(pl-p) + Yt3(q3-q) G p+[q-p] + S + T, í=0 j=0 kedze s = 1 — t. Teda ML\NCp+[q— p] + S + T. Obrátená inklúzia je triviálna. 8.3.4. Dôsledok. Nech M, N C V sú konečnorozmerné afínné podpriestory. Potom jdimM + dimN-dim(MnN), ak M n N ^ 0, im^ ' ~ í dim M + dim iV - dim(Dir M n Dir iV) + 1, ak M C\ N = ®. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.3.5. Príklad. Vo vektorovom priestore V uvažujme konečnorozmerné afinné podpries- ,vn}. akMniV^, ak M n N = 0, ak M n N ž 0, ak M n N = 0. Ak navyše predpokladáme, že tak vektory uX)... , u^, ako aj vektory vx,... , vn sú lineárne nezávislé, tak m + n-fc, ak M n N ^ 0, m + n-fc + 1, akMnJV = 0, kde k = dim([ui,..., u^] n [i^,..., vn\). 8.3.6. Príklad. V stĺpcovom priestore E4 sú dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T, y = (0,-3,1,-1) z = (1,1,0,0)T, u= (0,-2,4,3)T, v= (2,6,2,5)T, w= (0, 0,1,1)T a bližšie neurčené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] sú lineárne podpriestory &M = p + S,N=q+N sú afinné podpriestory v E4. Nájdeme dimenzie lineárnych podpriestorov S + T, S C\ T a afinných podpriestorov M C\ N, M U N v závislosti na p, q. M = p+[ui,...,Um], N=q+[vi,. Potom p + [q - p, Ui, . . . , V^n, Vi, ..., vn dim(MUiV) = ^dÍm|Ml'---'M-'t;i'---'^' n dim[g- p, Ul)... , um> Vl,... , vn\), dim(M U iV) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Lineárny podpriestor S + T je generovaný stĺpcami blokovej matice íl 01 020\ 2-3 1 -2 6 0 3 10 421 ' \4-10 351/ pričom stĺpce ľavého bloku generujú lineárny podpriestor S a stĺpce pravého bloku lineárny podpriestor T. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s blokovou maticou /10 1 0 20\ 0 1-3 4-4 0 0 0 3 -3 3 1 \00 0 0 01/ v stupňovitom tvare, ktorej riadky majú vedúce prvky v stĺpcoch 1, 2, 3 a 6. Hneď vidíme, že vektory cc, y, z tvoria bázu S a vektory cc, y, z, w bázu S + T. Doupravovaním pravého bloku na riadkovo ekvivalentný stupňovitý tvar /4-40\ 0 20 0 01 \0 00/ sa možno presvedčiť, že i vektory u, v, w sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu T. Zhrnutím dostávame dim S* = dimT = 3, dim(5 + T) =4. Odtiaľ podľa vety 5.4.1. vyplýva • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec dim(S' Pi T) =3 + 3 — 4 = 2. Takže S + T = E4, a bez toho, že by sme čokoľvek ďalej počítali, z tvrdenia 8.3.2. vieme, že nezávisle na bodoch p, q platí M n N ^ 0. Preto dim(M n iV) = dim(S' n T) = 2 podľa tvrdenia 8.3.1. S použitím tvrdenia 8.3.3. a dôsledku 8.3.4. dostávame dim(M U iV) = dim(S + T) = 4. 8.4. Vzájomná poloha afinných podpriestorov V tomto paragrafe podáme sľúbenú klasifikáciu vzájomnej polohy dvojíc netriviálnych vlastných afinných podpriestorov vo vektorovom priestore V. (Hoci to nie je z logického hľadiska nevyhnutné, aby sme sa vyhli triedeniu trivialít, body a celý priestor V z našich úvah vylučujeme.) Táto téma prirodzeným spôsobom rozširuje látku stredoškolskej geometrie, zahŕňajúcu klasifikáciu vzájomnej polohy priamok v rovine resp. priamok a rovín v (trojrozmernom) priestore. Polohu netriviálnych vlastných lineárnych variet M, N C V budeme klasifikovať na základe dvoch kritérií: (A) Ak platí Dir M C Dir N ADir N C Dir M, hovoríme, že M, N sú rovnobežné a píšeme M || N. V opačnom prípade, t. j. ak platí Dir M $Z Dir N & Dir N $Z Dir M, hovoríme, že M, N nie sú rovnobežné, a píšeme M ty N. (B) Ak platí MnJV^I, hovoríme, že M, N sa pretínajú. V opačnom prípade, t. j. ak M n N = 0, hovoríme, že M, N sa nepretínajú, alebo, že sú disjunktně. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Celkovo teda dostávame štyri možnosti: (1) M || N & M n N 7^ 0, čiže M, N sú rovnobežné a pretínajú sa. Ľahko možno nahliadnuť, že v takom prípade platí Dir M C Dir N •& M C N a Dir N C Dir M <=>• NC M. Teda M C N alebo MC«. Hovoríme, že jedna z lineárnych variet M, iV je podvarietou druhej, alebo, že M, N sú vo vzťahu inklúzie. (2) M || iV & M n iV = 0, čiže M, iV sú rovnobežné a nepretínajú sa. Tento prípad nazývame vzťahom pravej rovnobežnosti. (3) M|fJV& MíliV^Í, čiže M, iV nie sú rovnobežné a pretínajú sa. Hovoríme, že M, N sú rôznobežné. (4) M If iV & M Pi iV = 0, čiže M, N nie sú rovnobežné a nepretínajú sa. V tomto prípade ešte rozlišujeme dve ďalšie možnosti: (4a) Ak Dir M n DiriV = {0}, hovoríme, že M, N sú mimobežné. (4b) Ak Dir M n DiriV ^ {0}, hovoríme, že M, N sú čiastočne rovnobežné. Prípady (1), (2), (3) sú nám dobre známe zo stredoškolskej planimetrie, s prípadom (4) sa však v rovine stretnúť nemožno - dve priamky v rovine buď splývajú alebo sú to pravé rovnobežky alebo rôznobežky. Zo stredoškolskej stereometrie, okrem prípadov (1), (2), (3), ktoré sa realizujú vo vzájomných polohách dvojíc priamok, dvojíc rovín ako i priamky a roviny v trojrozmernom priestore, poznáme aj prípad (4a) - ide o prípad mimobežných priamok. S prípadom (4b), t.j. s prípadom čiastočnej rovnobežnosti sme sa však dosiaľ nestretli a nedokážeme ho spojiť so žiadnou názornou geometrickou predstavou. Nie je to náhoda. Platí totiž nasledujúce tvrdenie. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.4.1. Tvrdenie. Nech M, N C V sú čiastočne rovnobežné lineárne variety. Potom dim M > 2, dim N > 2 a dim V > 4. Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Potom S íl T je netriválny vlastný lineárny podpriestor každého zo zameraní S, T. Teda dim(S' n T) > 1, dim M = dim S* > 2, dim N = dim T > 2 a taktiež dim(S' Pi T) < min(dimS', dim T) — 1. S použitím vety 5.4.1. z toho vyplýva dim(5 + T) = dim S + dim T — dim(S' n T) > dim S + dim T — min (dim S, dim T) + 1 = max(dimS', dim T) + 1 > 3. Kedze M n N = 0, podľa tvrdenia 8.3.2. je S* + T vlastný lineárny podpriestor vo V. Preto dim V > dim(S + T) + 1 > 4. Na druhej strane v ľubovoľnom vektorovom priestore V dimenzie > 4 nie je ťažké nájsť príklady čiastočne rovnobežných lineárnych variet. Presvedčte sa, že napr. M=[ei,e2], N = e4 + [e2,e3] sú čiastočne rovnobežné roviny v K4. Skúste nájsť iné príklady. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.5. Afinné zobrazenia Nech U, V sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Hovoríme, že / : V —► U je afinné zobrazenie, ak pre ľubovoľné body p, q, r E V a skalár s E K platí f(sp+(l- s)q= sf(p) + (l- s)f(q), f(p-q+r) = f(p)-f(q) + f(r). Podobným spôsobom ako tvrdenie 8.2.1. možno dokázať, že afinné sú práve tie zobrazenia / : V —► U, ktoré zachovávajú všetky afinné kombinácie trojíc bodov, či, takisto, vôbec všetky afinné kombinácie; v prípade poľa charakteristiky 7^ 2 stačí žiadať zachovávanie afinných kombinácií dvojíc. 8.5.1. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom pre ľubovoľné zobrazenie f : V —► U nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) f je aňnné zobrazenie; (ii) pre všetky p, q, r E V, s, t E K platí f(sp + tq+(l-s- í) r) = s f (p) + tf(q) + (1 - s - t) f (r); (iii) pre každé n E N a všetky body p0, p\..., pn E V a skaláry í0, t\,..., tn E K také, že to + ti + ... + tn = 1, platí f(toPo + ílPl + ■ ■ ■ + tnpn) = tof(po) + *l/(Pl) + ■ ■ ■ + tnf(pn). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Ak char K ^ 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou (ii~) pre všetky p, q E V, s E K platí f(sp+ (1 - s) q) = s f (p) + (1 - s) f (q). Posunutím alebo translation vektorového priestoru V o vektor u E V nazývame zobrazenie V —► V dané predpisom x i—► x + u. Zrejme kompozíciou posunutia o vektor u E V a posunutia o vektor v E V je posunutie o vektor u+ v. Každé posunutie je bijektívne zobrazenie; inverzné zobrazenie k posunutiu o vektor uje posunutie o opačný vektor —u. Z nasledujúcej vety okrem iného vyplýva, že každé afinné zobrazenie možno dostať kompozíciou lineárneho zobrazenia a posunutia. 8.5.2. Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom zobrazenie f : V —► U je aňnné práve vtedy, ked existuje vektor u E U a lineárne zobrazenie (p : V —► U také, že pre každé x E V platí f (x) = p :V ^U & vektory v E V, u E U platí ((f + u) O (ip + v) = (if O -0) + (ipv + u). 8.5.5. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K, f : V —► U je afínné zobrazenie a M C V, N C (J sú afínné podpriestory Potom f (M) je afínný podpriestor v U a f~ľ(N) je afínný podpriestor vo V alebo prázdna množina. Dôkaz. Nech f =

«i)Q, • • •, (2 sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. (b) Podobne, štyri afinně nezávislé body Po,Pi,P2,Pz G V^ sa nazývajú nekomplanárne. Dokážte, že Po, pi, j>2 Ps sú komplanárne práve vtedy, keď ležia v jednej rovine. 8.3. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a po,Pi, ■ ■ ■, Pn, Q £ V- Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Body po,Pi, ■ ■ ■ ,pn sú afinně nezávislé práve vtedy, keď pre nejaké (ľubovoľné) i < n sú lineárne nezávislé vektory pj — Pi, kde je{0,l,...,n}\ {i}. (b) q G £(po, Pi, ■ ■ ■, Pn) práve vtedy, keď q— po € [pi — Po, ■ ■ ■, Pn — Po]- Odvoďte z toho obe rovnosti z tvrdenia 8.2.4. (c) Ak body po,Pi, ■ ■ ■ ,pn sú afinně nezávislé, tak q G £(po, Pi, ■ ■ ■ ,pn) práve vtedy, keď vektory Pi — Po, ■ ■ ■ ,Pn — Po, Q— Po sú lineárne závislé. 8.4. Vo vektorovom priestore R4 sú dané body po = (1,1,2, 2)T, p\ = (0,1,0,1)T, j>2 = (1,2,0, 3)T a q=(0,2,-A,2)T, r=(-í,2,-A,í)T. (a) Zistite, či platí q e £(po,Pi,P2), r e £(po,Pi,P2)- (b) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov £(po, Pi, P2), £(Po, Pi, P2, q), £(Po, Pi, P2, f). (c) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov £(po,Pi,P2) H £(q, r), £(po,Pi,P2) U £(q, r) a určte vzájomnú polohu afinných podpriestorov £(po,Pi,P2), £(q, f). (d) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov £(po, Pi)C\£(q, r), £(po, Pi) U£(q, r) a určte vzájomnú polohu afinných podpriestorov £(po,Pi), £(q, r). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 8.5. (a) Nájdite príklad troch priamok v R3 tak, aby ľubovoľné dve z nich boli mimobežné. (b) Dokážte, že priamka a rovina v trojrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné. (c) Vo vektorovom priestore R4 nájdite príklad mimobežnej priamky a roviny. (d) Dokážte, že dve roviny vo štvorrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné. (e) Nájdite príklad dvoch mimobežných rovín v R5. 8.6. Nech po, p\, p2, Pz, Pa sú ľubovoľné afinně nezávislé body vo vektorovom priestore V nad poľom K. Potom roviny £(po, Pi, P2), Pa + [P2 — Po, Ps — Po] su čiastočne rovnobežné. Dokážte. 8.7. Repér vo vektorovom priestore sa zvykne definovať ako usporiadaná (n + l)-tica afinně nezávislých bodov p = (ro, ri,..., rn) G Vn+1, taká, že £(ro, 7*1,..., rn) = V, prípadne ako usporiadaná (n + 1)-tica (r, ß) = (r, «i,..., vn) G Vn+1, pozostávajúca z ľubovoľného bodu reľa bázy ß = (i?i,..., vn) vektorového priestoru V. Dokážte nasledujúce dve tvrdenia: (a) Nech p = (ro, ri,..., rn) je usporiadaná (n + l)-tica bodov z V. Potom p je repér voľ v zmysle prvej definície, práve vtedy, keď ß = (ri — ro,..., rn — ro) je báza vektorového priestoru V, t. j. práve vtedy, keď (ro, ß) je repér v zmysle druhej definície. (b) Nech r je bod z V a ß = (i?i,..., vn) je usporiadaná n-tica vektorov z V. Potom (r, ß) je repér v zmysle druhej definície práve vtedy, keď p = (r, r+ u1;..., r+ vn) je repér v zmysle prvej definície. Z toho dôvodu nie je potrebné rozlišovať medzi repérmi v zmysle jednej či druhej definície. 8.8. Nech p = (r, ß) je repér vo vektorovom priestore V nad poľom K. Afinnými alebo tiež b ary centrickými súradnicami bodu x G V vzhľadom na repér p nazývame súradnice vektora x — r vzhľadom na bázu ß, čiže (x)p = (x — r)ß. Ak je repér p známy z kontextu, hovoríme len o afinných (bary centrický ch) súradniciach bodu x. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) (0, e), kde e = (ei,..., en) je kanonická báza, je repér v Kn a pre každé x G Kn platí (a;),q e-, = x. (b) Body repéru p = (r0, r1?..., rn) majú vzhľadom na tento repér afinné súradnice (r0)p = 0, (ri)p = ei, ..., (rn)p = en. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (c) Ak dim V = n a p = (r, ß) je repér vo V, tak predpisom x i—> (aj)p je definované bijektívne afinné zobrazenie V —> if™ a pre každé x e V, =(ci,..., cn)T G if™ platí x= r+ß -(x)p, (r+ ß- c)p = c. 8.9. V R3 sú dané body r0 = (5, 2,1)T, n = (0, 2, l)5, r2 = (5, 0, 2)T, r3 = (5, 2, 0)T. (a) Dokážte, že p = (ro, ri, r2, rs) je repér v R3. (b) Nájdite afinné súradnice bodov x = (4,4, — 3)T, y = (—5, —2, — 1)T, z = (0,0, 0)T vzhľadom na repér p. (c) Nájdite body p, q, r, ak poznáte ich afinné súradnice (p)p = (0, 2,1)T, (q)p = (—1,1, — 1)T, (r)p = (0,0,0)r 8.10. Nech 7T = (p, a), p = (r, ß) sú dva repéry vo vektorovom priestore V nad poľom K. Potom afinné súradnice ľubovoľného bodu xe V vzhľadom na tieto repéry sú zviazané vzťahom (a;)^ = Paß ■ (x-p)ß = Paß ■ ((x)p - (p)p), kde Paß je matica prechodu z bázy ß do bázy a. Dokážte. 8.11. Dokážte tvrdenie 8.5.1. (Návod: Modifikujte dôkaz tvrdenia 8.2.1.) 8.12. Dokážte podmienky (1), (2) z dôkazu vety 8.5.2. 8.13. Doplňte vynechané dôkazy oboch rovností z dôkazu tvrdenia 8.5.5. 8.14. Na základe tvrdenia 8.5.5. doplňte dôkazy vety 8.5.6., dôsledku 8.5.7. a tvrdenia 8.5.8. 8.15. Predpokladajme, že dvaja pozorovatelia P & P' popisujú udalosti v čase a v trojrozmernom priestore vzhľadom na po dvoch rovnobežné a rovnako orientované súradné osi x, y, z, resp. x', y', z', pričom počiatok súradnej sústavy pozorovateľa P' má z hľadiska pozorovateľa P v čase t = to, zodpovedajúcom času ť = 0 pozorovateľa P', súradnice (xq, í/o, zq)t. Nech navyše pozorovateľ P' sa vzhľadom na • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec pozorovateľa P pohybuje rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v = (vx,vy,vz)T (pozri príklad 6.4.7. a cvičenie 6.14. (a) Odvoďte tvar Galileovej transformácie, ktorou sú za týchto okolností v klasickej (t.j. v nerela-tivistickej) fyzike zviazané časopriestorové súradnice bodových udalostí z hľadiska pozorovateľov P resp. P': ť = t-t0, x' = x-x0-vxt, y'= y - yo - Vyt, z' = z - z0 -vzt. Nahliadnite, že ide o afinnú transformáciu s rozšírenou maticou (G%j \ — Sq), kde G%j je matica Galileovej transformácie z cvičenia 6.14 a Sq = (to,xo, yo, zo)T■ (b) Nech /, g : R4 —> R4 sú Galileove transformácie s rozšírenými maticami (Gv | — so) resp. (Gw | —Si), kde v, w G R3, so,si G R4. Nájdite rozšírenú maticu kompozície afinných zobrazení f o g & rozšírenú maticu inverzného zobrazenia /_1. Dokážte, že ide opäť o Galileove transformácie uvedeného typu a vysvetlite fyzikálny význam získaných výsledkov. 8.16. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Označme A(V, U) množinu všetkých afinných zobrazení / : V —> U. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) A(V, U) s operáciami súčtu a skalárneho násobku definovanými po zložkách tvorí lineárny podpries-tor vektorového priestoru Uv. A(V, U) navyše obsahuje vektorový priestor C(V, U) všetkých lineárnych zobrazení fi :V —> U ako svoj lineárny podpriestor. (Pozri príklad 1.6.5 a tvrdenie 6.5.1.) (b) Priradením / i—> (/ — /(O),/(O)) je definovaný lineárny izomorfizmus vektorových priestorov A(V, U) -* C(V, U) x U (pozri príklad 1.6.4). (c) Nech a, ß sú nejaké bázy priestorov U resp. V. Potom priradením / i—> (f)a,ß je daný lineárny izomorfizmus vektorových priestorov A(V, U) —> Kmx(n+1). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (d) Predpokladajme, že U, V sú konečnorozmerné a áivaU = m, diraV = n. Odvoďte, či už z (b) alebo z (c), že potom aj A(V, U) je konečnorozmerný a dim*4(V, U) = m(n + í). (e) Ak V je konečnorozmerný, tak jeho duál V* = C(V, K) tvorí nadrovinu v A(V, K) (pozri text tesne pred tvrdením 6.5.3.). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 9. Afinné podpriestory a sústavy lineárnych rovníc V tejto kapitole sa opäť pozrieme cez prizmu toho, čo sme sa dosiaľ naučili, na sústavy lineárnych rovníc. Uvidíme, že množina riešení každej takej sústavy tvorí afinný (v homogénnom prípade dokonca lineárny) podpriestor niektorého stĺpcového vektorového priestoru Kn. Taktiež naopak, ukážeme, že každý afinný podpriestor v Kn možno popísať ako podpriestor riešení vhodnej sústavy lineárnych rovníc. Na vyjadrenie množiny riešení tejto sústavy pomocou parametrov sa potom možno dívať ako na parametrické rovnice príslušného afinného podpriestoru. Získané znalosti nám umožnia v konkrétnych prípadoch určiť vzájomnú polohu afinných podpriestorov. V celej kapitole K označuje pevné, inak ľubovoľné, pole; m, n sú ľubovoľné, pevne zvolené prirodzené čísla. 9.1. Podpriestor riešení homogénnej sústavy a jeho báza Nech A G Kmxn, b G Km. Uvažujme homogénnu sústavu lineárnych rovníc s maticou A A x= 0, a nehomogénnu sústavu s maticou A a pravou stranou b A ■ x= b. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Množiny ich riešení označíme 71(A) = {xeKn; Ax=0}, resp. 7Z(A\b) = {xeKn; Ax = b}. Predpisom (iii) =^> (i) platia triviálne, vysvetlenie potrebuje iba implikácia (i) =^> (ii). Zrejme hodnosť matice D sa rovná počtu jej riadkov a ten je < n. Preto tiež h(D \ A' ■ x — b') = h(D) nezávisle na x. Ale to podľa Frobeniovej vety 9.3.1. znamená, že sústava D-1 = A' ■ x — b' (v neznámych 11,..., t k) niá nejaké riešenie t E Kk pre ľubovoľné x E Km. Poznámka. Z uvedeného dôkazu vyplýva, že tvrdenie 9.4.1. zostáva v platnosti, aj keď matica D nie je v stupňovitom tvare; stačí žiadať len lineárnu nezávislosť jej riadkov. Tú však možno najistejšie nahliadnuť práve úpravou príslušnej matice na stupňovitý tvar. 9.4.2. Príklad. Nájdeme všeobecné rovnice afinného podpriestorru M = p + [ct] stĺpcového vektorového priestoru ll[x nad poľom Zn, kde p = (1,2,3,4,5)T a a je tvorená • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec stĺpcami matice /2 1 O l\ 1526 0270 1609 \0 3 5 8y Budeme upravovať maticu /lOOOO 01000 00100 00010 \0 0 0 0 1 2 10 1 1526 0270 1609 0358 1\ 2 3 4 V pomocou ERO tak, aby stredný blok nadobudol stupňovitý tvar. Po niekolkých krokoch dostaneme /lOOOO 2 10 1 1\ 51000 0 10 2 0 7 43001 0 008 4 102 100 0 000 6 \9301 1 0 000 v Predovšetkým vidíme, že tretí vektor štvorice a je lineárnou kombináciou predchádzajúcich dvoch, preto ho možno v príslušnom parametrickom vyjadrení podpriestoru M vynechať. Zvyšné tri vektory v a sú lineárne nezávislé, čiže dim M = 3. Konečne, všeobecné rovnice • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec podpriestoru M vyzerajú takto lOxi + 2^2 + ^3 =6 9xi + 3x2 + x4 + x5 = 2 . Dosadením sa možno presvedčiť, že bod p skutočne vyhovuje tejto sústave a vektory štvorice a príslušnej homogénnej sústave. 9.5. Rovnice prieniku a spojenia afinných podpriestorov V tomto paragrafe sa pokúsime zostaviť všeobecné recepty, pomocou ktorých budeme vedieť napísať či už všeobecné alebo parametrické rovnice prieniku a spojenia dvoch afinných podpriestorov stĺpcového vektorového priestoru Kn. Pri tom vezmeme do úvahy tri možnosti zadania pôvodných podpriestorov: (1) Oba podpriestory sú zadané všeobecnými rovnicami. (2) Oba podpriestory sú zadané parametricky. (3) Jeden podpriestor je zadaný pomocou všeobecných rovníc a druhý parametricky. Každú situáciu budeme ilustrovať na jednom až dvoch konkrétnych príkladoch, v ktorých navyše vyšetríme i vzájomnú polohu oboch afinných podpriestorov. (1) Nech afinné podpriestory M, N C Kn majú všeobecné rovnice A ■ x = b resp. B ■ x = c, kde A G Kmxn, b G Km, B G Klxn, c G K1. Potom všeobecnými rovnicami • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec prieniku M n N je sústava A ■ x= b B ■ x= c s rozšírenou maticou m- , Parametrické vyjadrenie prieniku M fl N možno získať vyriešením tejto sústavy. Ak hľadáme parametrické vyjadrenie spojenia M U N, najprv vyriešením sústav s rozšírenými maticami (A | b) resp. (B | c) získame parametrické vyjadrenia jednotlivých pod-priestorov M a N. Z nich na základe tvrdenia 8.3.3. (b) zostavíme parametrické vyjadrenie podpriestoru MUN (pozri tiež príklad 8.3.5.). Konečne, ak nás zaujímajú všeobecné rovnice podpriestoru M U N, môžeme ich odvodiť z jeho parametrických rovníc metódou opísanou v druhej časti predchádzajúceho paragrafu 9.4 (pozri tvrdenie 9.4.1. a príklad 9.4.2.). 9.5.1. Príklad. Afinné podpriestory M, N vektorového priestoru Q4 sú dané sústavami X\ + x2 — x3 + :r4 = 9 x\ — X2 + X3 — X4 = —3 resp. x\ + 3^2 + 2^3 — X4 = 0 X\ — 3x2 — 2x3 + £4 = 6 . Ak dáme tieto sústavy dohromady, získame všeobecné rovnice prieniku. Ich riešenie však • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec bude výhodné trochu odložiť a najprv upraviť rozšírené matice pôvodných sústav: 11-11 1-1 1-1 10 00 0 1-11 13 2-1 1-3-2 1 10 0 0 12/3 0 -1/3 Z upravených matíc okamžite dostávame parametrické vyjadrenie pôvodných podpriestorov (matica v hranatých zátvorkách označuje lineárny podpriestor generovaný jej stĺpcami) M Í3\ "o o" 6 0 + 1 -1 1 0 W 0 1 N Í3\ " 00" -1 0 + -2 1 30 W 03 Ak napíšeme obe upravené rozšírené matice všeobecných rovníc podpriestorov MajVdo blokov pod seba, dostaneme rozšírenú maticu všeobecných rovníc podpriestoru M C\N. Jej úpravou na redukovaný stupňovitý tvar vyjde /l 0 0 0 3 \ 0 10 1/5 9/5 0 0 1 -4/5 -21/5 y) 0 0 0 0 J • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Odtiaľ už priamo vyplýva parametrické vyjadrenie 0 1 4 -5 Zistili sme, že dvojrozmerné afinné podpriestory M, N majú jednorozmerný prienik, teda sú rôznobežné. Preto tiež dim(M UJV) = 2 + 2-l=3. Ak postavíme vedľa seba generátory smerových podpriestorov Dir M a Dir N, úpravou príslušnej matice zistíme, že prvé tri sú lineárne nezávislé a posledný z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich. Teda stĺpce matice /o o o\ 1-1-2 M 10 3 tvoria bázu zamerania afinného podpriestoru M U N. Jeho parametrické vyjadrenie je MUN = p+\ß], kde p = (3, 9/5, —21/5, 0)T. Úpravou blokovej matice (J4 | ß \ p) podľa algoritmu z druhej časti paragrafu 9.4 (pozri poznámku za tvrdením 9.4.1.) výmenou prvého a posledného riadku dostaneme všeobecné rovnice podpriestoru M U N: x\ = 3. MC\N \ 3 \ 9/5 21/5 0 J • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (2) Nech M = p + [a], N = q+ [ß] sú parametrické vyjadrenia dvoch afinných pod-priestorov v Kn. Potom, ako už vieme, M U N = p + [q — p, a., ß] a podľa tvrdenia 4.5.3. vynechaním vhodných stĺpcov z blokovej matice (q— p,ct,ß) možno dostať bázu zamerania Dir (M U N). Všeobecné rovnice podpriestoru M U N dostaneme úpravou blokovej matice (In \ q — p, ex, ß \ p), prípadne matice, v ktorej je prostredný blok nahradený bázou zamerania Dir(M U N), podľa algoritmu z paragrafu 9.4 Pokiaľ nás zaujímajú všeobecné rovnice prieniku M ľ\ N, najjednoduchšie ich získame tak, že parametrické rovnice každého z podpriestorov M, N prevedieme na všeobecné rovnice a tieto spojíme dohromady. Parametrické vyjadrenie prieniku MíIjV dostaneme vyriešením jeho všeobecných rovníc. Jestvuje aj iná cesta k parametrickým rovniciam prieniku M ľ\N. Ako vedľajší produkt pri nej možno získať bázy zameraní Dir M, Dir N, Dir(MUN), teda aj parametrické rovnice spojenia M U N. Pri tejto metóde upravujeme blokovú maticu (a | ß \ q— p) pomocou ERO na stupňovitý tvar (A> B' é 1° B c kde matica A' má všetky riadky nenulové (teda lineárne nezávislé a ich počet je h(A') = h(ot) = dim M). Prienik MflA^ je tvorený všetkými x= q + ß ■ t G N, ktoré patria zároveň do M, t. j. existuje vektor parametrov s taký, že x = p + a • s. Hľadáme teda všetky vektory parametrov t, ku ktorým existuje nejaký vektor parametrov s taký, že platí a ■ s = ß ■ t + (q- p). Podľa tvrdenia 9.4.1. (stačí v ňom zameniť poradie prvého a druhého zvislého bloku) k danému t existuje takéto s práve vtedy, keď B ■ t + c = 0. Vyriešením tejto sústavy získame • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec parametrické vyjadrenie t = r + 7 • z, kde r e 7Z(B | — c) a 7 je báza lineárneho podpriestoru H(B), s vektorom parametrov z, ktoré dosadíme do parametrických rovníc podpriestoru N. Dostaneme tak parametrické rovnice x = q + ß ■ (r+ 7 • z) = (q + ß ■ r) + (ß ■ 7) • z podpriestoru M C\ N. Metóda zostavenia všeobecných rovníc prieniku MnN ako i oboch typov rovníc spojenia MUN, popísaná v prvej časti bodu (2), je (aspoň dúfame) dostatočne jasná. V nasledujúcom príklade sa preto sústredíme len na nájdenie parametrických rovníc prieniku Mil N metódou z druhej časti a určenie vzájomnej polohy M a N. 9.5.2. Príklad. Nech M 1 1 14 1 1 25 M "12 3" 2 2 + 22 8 50 9 W 3411 Ni i4. Zrejme Dir N\ íl\ "l 2 3" 1 2 + 22 8 50 9 W 3411 sú afinné podpriestory v D. Obe úlohy o dvojiciach podpriestorov M, N\ aj M, N2 budeme riešiť súčasne. Platí N, Dir N2; označme tento lineárny podpriestor /Íl 1 2 3 0 1\ Al 1 23 0 1\ 14 22 8 2 1 03 1 05 20 1 1 50 9 22 r^j 00 4-2 6 21 \2 5 3411 3 2,1 y)0 0 00 10J • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Ak si z matice na pravej strane odmyslíme krajný pravý blok, po vynechaní rovnice 0 = 0 z nej dostaneme sústavu 4íi - 2í2 + 6ŕ3 = 0. Lineárny podpriestor Dir M íl D je tvorený práve všetkými lineárnym kombináciami ß ■ t, kde ß je matica generátorov D (a jeho báza, čo možno zistiť doupravením stredného bloku na stupňovitý tvar) a t vyhovuje uvedenej homogénnej rovnici. Teda dim(DirM n D) = dim Dir M = 2. Preto DirMCDa platí M || Nľ aj M || N2. Sústava 4íi - 2í2 + 6ŕ3 = -2 o = -i, ktorej musí vyhovovať vektor parametrov t = (íi,Í2,Í3)T, aby ním určený bod z N\ patril aj do M, nemá riešenie. Preto MíliV^la M, Ni sú pravé rovnobežky. Naopak, analogická sústava pre dvojicu M, N2 vedie na jedinú, očividne riešiteľnú rovnicu 4íi — 2í2 + 6*3 = -1- V dôsledku toho M C N2. (3) Nech afinný podpriestor M C Kn je daný všeobecnými rovnicami A ■ x = Ď a afinný podpriestor N = q + [ß] C Kn je daný parametricky. Ak hladáme všeobecné rovnice prieniku M n N, stačí nájsť všeobecné rovnice podpriestoru N a pridať ich k sústave A ■ x = b. Ich vyriešením potom možno dostať aj parametrické vyjadrenie M íl N. Ak hľadáme popis spojenia MUN, najvýhodnejšie je vyriešiť všeobecné rovnice podpriestoru M a z parametrických vyjadrení oboch podpriestorov M, N zostaviť parametrické vyjadrenie • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec M U N podľa tvrdenia 8.3.3. a príkladu 8.3.5. Elimináciou parametrov odtiaľ dostaneme všeobecné rovnice podpriestoru M U N. Iná metóda, ako nájsť parametrické vyjadrenie prieniku M C\ N spočíva v dosadení parametrického vyjadrenia podpriestoru N do všeobecných rovníc podpriestoru M. Tým dostaneme sústavu A ■ (q + ß ■ ť) = b, alebo po úprave s ňou ekvivalentnú sústavu (A- ß)-t=b - A- q, ktorej musí vyhovovať vektor parametrov t, aby ním určený bod x = q + ß ■ t G N patril aj do podpriestoru M, teda do prieniku M ľ\ N. Uvedenú sústavu vyriešime úpravou jej rozšírenej matice (A ■ ß \ b — A ■ q). Podobne ako v prípade (2) riešenie dostaneme v parametrickom tvare t = r + 7 • z, kde r E TZ(A ■ ß \ b — A ■ q) a 7 je báza lineárneho podpriestoru TZ(A ■ ß), s vektorom parametrov z, ktoré dosadíme do parametrických rovníc podpriestoru N. Tak získame parametrické rovnice x = q + ß ■ (r + 7 • z) = (q + ß ■ r) + (ß ■ 7) • z podpriestoru M C\ N. I tentokrát sa v nasledujúcom príklade zameriame len na nájdenie parametrických rovníc prieniku M n N druhou z opísaných metód a na určenie vzájomnej polohy M a. N. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 9.5.3. Príklad. Afinný podpriestor M C E4 má všeobecné rovnice X\ — x2 + x3 — x4 = 1 X\ + X2 — X3 + X4 = 3. Rozšírenú maticu tejto sústavy označíme (A \ b). Afinný podpriestor A^ C E4 je určený ako afinný obal N = £(p,q,r,s) bodov p= (3,0,1,1)T, q = (4,-1,2,2)T, r = (4,1,2,0)T a s = (7, 3, 4, 5)T. Jeho parametrické vyjadrenie potom je N P [q-p,r-p,s-p] /3\ 0 1 W 1 14 -1 13 1 13 1 -14 Kedze A- (q-p, r-p, s-p) 1-1 1-1 11-11 / 1 14\ -1 13 1 13 1 -14 223 008 b— A- p 1-1 1-1 11-11 /3\ 0 1 vv • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec bod tvaru p + t\(q — p) + t2(r — p) + t3(s — p) e N patrí do prieniku M C\ N práve vtedy, keď príslušný vektor parametrov t = (ti,Í2,t3)T vyhovuje sústave s rozšírenou maticou 223 008 1 10 001 Podpriestor riešení tejto sústavy má parametrické vyjadrenie -1 1 0 Dosadením do parametrického vyjadrenia N dostaneme MC\N /3\ 0 1 W / 14\ 13 13 -14/ / 14\ 13 13 -14/ /2\ " o" 1 2 0 + 0 v) -2 a dim(M nJV) = preto tiež dim M tak v M ako aj v iV Ľahko nahliadneme, že hodnosť matice sústavy podpriestoru M je 2, 4 — 2 = 2, a dim N = 3. Z toho dôvodu M ľ\ N je vlastný podpriestor čiže M, N sú rôznobežné. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Cvičenia 9.1. Nájdite nejaký fundamentálny systém riešení sústavy homogénnych lineárnych rovníc A ■ x = 0 pre matice f y/2 1 y/Ž (b) A = i V2 i V 3 2 1+V6, (a) A 10-1-1 o 2 0-1 1-1 10 1 5-2 1,3x5. !>3x3. (c) A = ( l+i 1-i 2+3P 5-i -l-5i 13 , -"2x3. (d)A=(°oí°2l)eZir-v ' Vo i i o/ Xi Vyjadrite všeobecné riešenie každej sústavy ako lineárnu kombináciu fundamentálneho systému riešení. 9.2. Nájdite nejaké riešenie nehomogénnej sústavy A ■ x = ba fundamentálny systém riešení príslušnej homogénnej sústavy danej rozšírenou maticou (&)(A\b)=[\\\ 2N 1,3X4. (b) (A | b) = (ei1_Mewl1)G (c) (A I 6)= [-III0! 2 7 5 1 »3x5. (d) (A | b) = í\ \ \ \3 4 0 »2x3. ^f4- Vyjadrite všeobecné riešenie každej sústavy v tvare súčtu jedného jej riešenia a lineárnej kombinácie fundamentálneho systému riešení príslušnej homogénnej sústavy. 9.3. V každom z nasledujúcich prípadov napíšte parametrické rovnice afinného podpriestoru M vektorového priestoru R3 alebo R4 nad poľom R a nájdite jeho všeobecné rovnice: (a) M = {(0,2,-1)} CR3; (b) M = (1,-1, 2)+ [(1,-5, 4)] C R3; (c) M =[(1,3,-1), (2, 0,5)] C R3; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (d) M = t(ei + e4, 2e2 - e3) C R4 (e) M = (O, 2, -1,1) + [(3,1,10, -8), (3, 5, 8, -6)] C R4; (f) M = *((1,1,1,0), (1,1,0, 1), (1,0,1, 1), (0,1, 1, 1)) C R4; (g) M = R4. 9.4. Pre dané lineárne podpriestory S, T vektorového priestoru R4 nájdite v každom z nasledujúcich prípadov nejaké bázy lineárnych podpriestorov S n T, S + TCR4 a určte ich dimenzie: (a) S = [(1,1,1,1)T (2,0,0, 3)r], T = [(3, 2,1, 0)r, (6, 3, 2, 4)r]; (b) S = [ei - e2 + 2e3 + 64], T = [(1, 0, 2,0)T, (2, -1, 4, íf, (4, -1, 8,1)T]; (c) S = [d + e2, e2 + e3, e3 + e4], T = [(1, 0,1,0)T, (0,1,0,1)T, (1,0,0,1)T]. 9.5. Pre dané afinné podpriestory M, N vektorového priestoru R4 nájdite v každom z nasledujúcich prípadov všeobecné aj parametrické rovnice ich prieniku M n N a určte ich vzájomnú polohu ako aj dimenziu spojenia M U N: (a) M = e((l, 0, 2,0)r, (0, 2,0,1)^), N = (4,1, 7, 2)T + [(1, 2, 3, 4)r, (0,1, 2, 3)r, (0, 0,1, 2)r]; (b) M = (0, 0,1, -Í)T + [(1, 2, 2,1)T (2,1,1, 2)T], JV = [(0,1,1,0)r, (1,0, 0,1)^ (1, -1,0,0)r]; (c) M = [ei, e2], N = (1,1,1,1)T + [e3, e4]. 9.6. Afinné podpriestory M, N vektorového priestoru R5 sú dané všeobecnými rovnicami. V každom z nasledujúcich prípadov zistite ich vzájomnú polohu, napíšte parametrické rovnice ich prieniku aj spojenia a určte dimenzie afinných oboch podpriestorov MílJV, M U N: (a) M : x\ + 2x2 = 0, x2 — 3x3 = 1, 4x3 — x4 + x$ = 2, N : 1x\ + 3x3 — X5 = 5, x2 + X4 = 0, xi — 2x3 = 7; (b) M : x\ + x2 + x3 + x4 + X5 = 5, xi — x2 + x3 = 1, x2 + 2x4 — x5 = 2, x3 = 1, N : 3xi + x2 + 2x3 + 5x4 — X5 = 10, x\ + x3 + 2x4 — X5 = 1; • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (c) M : x\ = 1, X2 = 2, X3 = 3, N : x\ + X2 + X3 = 6, xi — X2 + X3 = 2. 9.7. Jeden z afinných podpriestorov M, N vektorového priestoru R4 je daný všeobecnými rovnicami a druhý parametricky. V každom z nasledujúcich prípadov zistite ich vzájomnú polohu, napíšte parametrické rovnice ich prieniku M n N a všeobecné rovnice ich spojenia M U N a určte dimenzie afinných podpriestorov M D N, M U N: (-a) M : x + y + z = 0, x - 2y + z = A, x - u = 0, N = [(1, 0, -1,0)T]; (b) M : 2x - y + 2z = 3, x + z - 2u = 0, N = [(1, 4,1,1)T, (1,0,1,0)T]; (c) M : x + y = 0, x + z = í, x + u = 2, N = i ((í, 1, 2, 2)T, (2, 2, 3, 2)T). 9.8. Nech V je vektorový priestor nad poľom if a S* je jeho lineárny podpriestor. Označme V/S množinu všetkých afinných podpriestorov M priestoru V takých, že Dir M = S. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Pre každý prvok x e V existuje práve jeden podpriestor X G V/S taký, že x e X. Inými slovami, množina V/S tvorí rozklad množiny V a triedou rozkladu, do ktorej patrí prvok x G V, je afinný podpriestor x+ S G V/S (pozri paragraf 0.6). (b) Prvky x, y G V patria do tej istej triedy rozkladu V/S práve vtedy, keď x— y G S. Inak povedané, vzťahom x =s y ■&■ x— y G S* je definovaná ekvivalencia na množine V prislúchajúca k rozkladu V/S, ted&V/S = V/=s. (c) Nech Xi =s X2, j/i =s ž/2 a c G K. Potom tiež xx + yx =s x2 + y2 a cxx =s ca^. (d) Nech X = x+ S, Y = y + S patria do V/S. Vďaka (c) sú predpismi X + Y = (x + y) + S, cX = CX+ S korektne definované operácie na množine V/S (to znamená, že výsledky týchto operácií nezávisia na reprezentantoch x, y tried X resp. Y ale výlučne na podpriestoroch X, Y). (e) Množina V/S s uvedenými operáciami súčtu a skalárneho násobku tvorí vektorový priestor nad poľom K; nazývame ho faktorový priestor vektorového priestoru V podľa podpriestoru S. Čo je nulou • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec v tomto vektorovom priestore? (f) Priradením x i-^ (s(x) = x+S je definované surjektívne lineárne zobrazenie (s '■ V —> V/S s jadrom KevCs = S. (g) Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a

U je lineárne zobrazenie. Priradením a; + Ker

y (a:) je korektne definované injektívne lineárne zobrazenie V/Ker y —> t/. V dôsledku toho platí y/ Ker 92 = Im y>. (h) Ak y je konečnorozmerný, tak dim V/S = dim V — dim S, čo je ďalšia analógia medzi vlastnosťami dimenzie a logaritmu (porovnaj s tvrdením 5.4.3.). 9.9. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a, S, T sú jeho lineárne podpriestory. Dokážte tzv. kosoštvorcovú vetu o izomorfizme: (S + T)/T = S/(SnT). (Návod: Dokážte, že priradením (x+ y)+Ti-> x+ (S n T), kde x e S, y G T, je korektne definovaný lineárny izomorfizmus (S + T)/T -+ S/(S n T).) 9.10. Nech pole K má konečný počet prvkov q, V je vektorový priestor nad K konečnej dimenzie n a S* je jeho lineárny podpriestor dimenzie k (0 < k < n). Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Faktorový priestor V/S má práve qn~k prvkov. (b) Počet všetkých fc-rozmerných afinných podpriestorov priestoru V je práve qn~k(r£) , kde (™) je (/-binomický koeficient (pozri cvičenia 5.16, 5.17). • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 10. Determinanty V tejto kapitole zavedieme determinanty štvorcových matíc ľubovoľného rozmeru nxn nad pevným poľom K, preskúmame ich základné vlastnosti a naučíme sa ich počítať. Taktiež si ukážeme niekoľko príkladov ich využitia. Čitateľ sa pravdepodobne už na strednej škole stretol s determinantmi reálnych matíc rozmerov 2 x 2 a 3 x 3. Možno tiež vie previesť výpočet determinantov vyšších rádov na výpočet determinantov nižších rádov pomocou ich rozvoja podľa nejakého riadku alebo stĺpca. So všeobecnou definíciou determinantu sa však asi dosiaľ nestretol. Ako čoskoro uvidíme, nie je to nijako priezračná definícia a na prvý pohľad určite nepôsobí „prirodzeným" dojmom. Kedze nechceme, aby táto definícia „spadla z neba", náš výklad začneme pomerne dlhým úvodom, ktorý má poslúžiť ako jej motivácia. 10.1. Orientovaný objem a multilineárne alternujúce funkcie Na začiatok si položme prirodzenú otázku: Ako vyzerajú vzorce pre plošný obsah rovnoběžníka v rovine E2, ktorého dve susedné strany tvoria vektory u = (ui,u2)T, v = (v\,v2)T, resp. pre objem rovnobežnostena v priestore ÍR3, ktorého tri susedné hrany tvoria vektory u= (ui,u2,u3)T, v= (vi,v2,v3)T, w= (wi,w2,w3)T? Vzorce, ktoré by vyjadrovali príslušný obsah alebo objem len pomocou súradníc vekto- • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec rov u, v resp. u, v, w, asi len tak z rukáva nevysypeme, môžeme sa však pokúsiť ich odvodiť. Najschodnejšia cesta vedie cez ujasnenie si vlastností, ktorým by mali takéto vzorce vyhovovať. Uvidíme, že tieto vlastnosti už jednoznačne (až na voľbu jednotkového obsahu či objemu) určujú hľadané vzorce nielen v rovine či v trojrozmernom priestore, ale možno ich bezprostredne zovšeobecniť na n-rozmerné vektorové priestory Kn nad ľubovoľným poľom K, hoci tu pojem „n-rozmerného objemu" stráca svoj názorný geometrický význam. Označme teda P (X) obsah rovinného útvaru X. Zrejme P (X) je vždy nezáporné reálne číslo a pre zhodné útvary X, Y platí P (X) = P (Y). Obsah je navyše aditívny, t. j. pre útvary X, Y také, že P (X nľ) = 0, platí P (X Uľ) = P (X) + P(Y). Konečne, P (X) = 0 pre ľubovoľnú úsečku X. Obsah rovnoběžníka {au+bv; a, b E (0,1)} určeného vektormi u, v G ÍR2 budeme značiť P (u, v). Z práve sformulovaných vlastností obsahu vyplývajú rovnosti P (u, v) = P(v, u), P(cu, v) = \c\P(u, v) pre ľubovoľné u, v e M.2, c E Z. Druhá vlastnosť sa nazýva pozitívna homogenita a pre c = 3 je znázornená na nasledujúcom obrázku. 1111 u 3u Obr. 10.1. K pozitívnej homogenite obsahu vektorového rovnoběžníka • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Platnosť druhej rovnosti pre všetky c G Q možno už z toho jednoducho dokázať (pozri cvičenie 10.1). S jej platnosťou pre všetky c G E je to už trochu zložitejšie - zakladá sa na istých úvah o „spojitosti" obsahu -, a tak jej radšej uveríme bez dôkazu. Pozrime sa teraz na ďalšie dva obrázky. (Podotýkame, že oba znázorňujú situáciu v rovine, teda pri pohľade na ne treba potlačiť priestorové videnie, ktoré sa nám mimovoľne otvára.) E B C B A OV \------A A y ^k \ / / x + yNA / O x D Obr. 10.2. K aditivite obsahu vektorového rovnoběžníka V prvom prípade určujú vektory x+ y, v rovnobežník O ABC, vektory y, v rovnobežník ODEC a rovnobežník vektorov x, v je zhodný s rovnobežníkom D ABE. Zo zhodnosti trojuholníkov O AD, C BE potom na základe uvedených vlastností obsahu vyplýva rovnosť P(x+ y, v) = P (x, v) + P (y, v). • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec V druhom prípade určujú vektory x, v rovnobežník O ABC, vektory x+y, v rovnobežník ODEC a rovnobežník vektorov y, v je zhodný s rovnobežníkom D ABE. Zo zhodnosti trojuholníkov ODA, CEB vyplýva P(x, v) = P(x+ y, v) + P(y, v), teda P{x+y, v) = P (x, v) - P(y, v). To je v porovnaní s prvým prípadom nepríjemné prekvapenie, určite by sme dali prednosť rovnakej formule. Všimnime si však , že „kratšie otočenie" vektora y do vektora v je orientované proti „kratším otočeniam" vektorov x aj x+ y do vektora v. V druhom prípade by sa nám preto hodilo, aby obsah rovnoběžníka určeného vektormi y, v mal z toho dôvodu opačné znamienko ako obsahy rovnobežníkov prislúchajúcich vektorom x, v resp. x+y, v. Tento cieľ možno dosiahnuť, ak namiesto plošného obsahu vektorových rovnobežníkov budeme uvažovať ich orientovaný plošný obsah, ktorý mení znamienko záměnou poradia dvoch vektorov, teda môže nadobúdať aj záporné hodnoty. Pôvodný nezáporný plošný obsah potom dostaneme ako absolútnu hodnotu orientovaného obsahu. Tento prístup nám navyše umožní zbaviť sa absolútnej hodnoty v rovnosti P(cu, v) = \c\P(u, v). Podobnými úvahami, ktoré by si však vyžiadali trochu zložitejšie obrázky, tentokrát znázorňujúce naozaj priestorové situácie, by sme mohli dospieť i k potrebe skúmať orientovaný objem rovnobežnostena {au+bv+cw; a,b,c E (0,1)} určeného vektormi u, v, w v trojrozmernom priestore ÍR3, prípadne n-rozmerný n-rozmerný objem rovnobežnostena {a\U\ + ... + anun; a\,... ,an E (0,1)} určeného vektormi U\,... , un v n-rozmernom priestore W1 (pre n > 3 však bez možnosti sprostredkovať si geometrický vhľad obrázkami). Pre čitateľa, ktorý sa už stretol s vektorovým súčinom v E3, poznamenajme, že orientovaný n-rozmerný objem sa správa do značnej miery podobne. Vektorový súčin u x v dvoch vektorov u, v E ÍR3, je vektor kolmý na rovinu [u, v], ktorého dĺžka sa rovná plošnému ob- • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec sáhu rovnoběžníka vektorov u, v a orientácia je daná pravidlom pravej ruky (ak položíme dlaň pravej ruky malíčkom na vektor u tak, že zakrivené prsty smerujú k vektoru v po oblúku zodpovedajúcom uhlu < 180°, vztýčený palec ukazuje smer aj orientáciu vektora u x v). Z toho dôvodu u x v = —(v x u). Ak nahradíme reálne čísla ľubovoľným poľom K, vykonané úvahy nás privádzajú k nasledujúcim definíciám. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a 1 < n E N. Hovoríme, že zobrazenie F : Vn —► K je (a) n-lineárne alebo tiež multilineárne, ak pre každé 1 < j < n a ľubovoľné vektory U\,..., Uj-i, Uj+i,..., Vn E V priradenie x h^ F(uu ..., Uj_i, x, uj+l, ...,u„) definuje lineárne zobrazenie V —► K, t. j. pre všetky x, y E V, a, b E K platí F(ui,..., Uj-i,ax+by, uj+í, ...,un) = aF(ui,..., Uj_i, x, Uj+i,..., un) + bF(ui,..., u,-_i, y, uj+1,..., un); (b) antisymetrické, ak pre všetky 1 < i < j < n & ľubovoľné vektory U\,... ,Vn E V platí F(Ui, . . . , IM, ■ ■ ■ , Uj, ■ ■ ■, «n) = --^(«1,..., t*,-,..., tii, ..., «n). Inak povedané, F : Vn —► X je n-lineárne, ak dosadením ľubovoľných n — 1 pevných vektorov na akékoľvek miesta do F dostaneme lineárne zobrazenie vo zvyšnej voľnej premennej; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec F je antisymetrické, ak záměnou poradia ľubovoľných dvoch argumentov v F sa hodnota výsledku zmení na opačnú. Cieľom našich úvah teda bolo čitateľa presvedčiť, že n-rozmerný orientovaný objem v W1 je multilineárna antisymetrická funkcia rx...xR"^R. N-------------v--------------' ra-krát Ukazuje sa však, že antisymetriu možno nahradiť zdanlivo slabšou, geometricky názornou podmienkou, motivovanou očividným vzťahom P (u, u) = 0 pre obsah degenerovaného vektorového rovnoběžníka. Hovoríme, že zobrazenie F : Vn —► K je (c) alternujúce, ak pre ľubovoľné Ui,...,Vn G V z podmienky Wj = Uj pre nejaké 1 < i < j < n vyplýva F(ui,...,u„) = 0. Ukážeme si, že uvedené tri vlastnosti spolu tesne súvisia. Najprv ale pripomeňme, že pole K má charakteristiku 2, ak v ňom platí 1 + 1 = 0, čo je ekvivalentné s podmienkou (Va G K)(a = —a). Príkladom je pole Z2 (pozri paragraf 1.2). Ak charit ^ 2, tak (Va G K){a = -a =^ a = 0). 10.1.1. Lema. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a F : Vn —► K je ľubovoľné zobrazenie. (a) Ak char K ^ 2 a F je antisymetrické, tak F je alternujúce. (b) Ak F je multilineárne a alternujúce, tak F je antisymetrické. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz, (a) sme už vlastne dokázali v úvahe predchádzajúcej túto lemu. (b) Nech F je multilineárne a alternujúce. Položme x = ui} y = Uj a zafixujme zvyšné z vektorov uX)..., -u,n. Potom G (aj, y) = F(ui,..., x,..., y,..., u„) je bilineárne (t. j. 2-lineárne) alternujúce zobrazenie V2 —► K. Stačí dokázať, že G je antisymentrické. Vďaka uvedeným vlastnostiam platí G(x, y) + G(y, x) = G(x, x) + G(x, y) + G(y, x) + G(y, y) = G(x+y,x+y) = 0, teda G (x, y) = —G(y, x). Pre multilineárne zobrazenie tak alternácia implikuje antisymetriu, kým opačná implikácia platí len za dodatočného predpokladu char K ^ 2 (no, na druhej strane, aj bez multilinearity). 10.1.2. Lema. Nech F : Vn —► K, a : {1,..., n} —► {1,..., n} sú ľubovoľné zobrazenia a Ui,...,UneV. (a) Ak F je antisymetrické a a je permutácia, tak F(ua{l),..., ua{n)) = (-1)HF(U!, ..., Un). (b) Ak F je alternujúce a a nie je permutácia, tak F(uCT(i),... , Ua(n)) = 0. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz, (a) Stačí si uvedomiť, že |o{n)i známy ako Sarrusovo pravidlo. Skôr ako kuriozitu poznamenajme, že uvedená definícia zahŕňa aj prípad n = 0: pre (jedinú) prázdnu maticu Iq = ( ) G K0x0 dáva det Iq = det( ) = 1. Nasledujúce dve vlastnosti determinantov dokážeme ako dôsledky našej definície. 10.2.1. Tvrdenie. Determinant transponované] matice sa rovná determinantu pôvodnej matice, t. j. det AT = det A pre ľubovoľnú A G Knxn. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz. Podľa definícií transponovanej matice a determinantu det AT = ^2 (-l)l- j = - m < cr(j)), takže pre a E G možno definovať permutácie a' E Sm a a" E Sn_m predpismi a'(j) = cr(j), ak 1 < j < m, resp. a" (k) = a(k + m) — m, ak 1 < k < n — m. Zrejme priradením uh (ď, a") je daná bijekcia G —► Sm x Sn_m a platí |(m)mda»(i)i . . . da»(n-m)i aeG = 2_^ (— 1) fr j). Pre horné aj dolné trojuholníkové matice platí det A = au ... ann, t. j. determinant takej matice je súčinom jej diagonálnych prvkov. Špeciálne to platí pre diagonálne matice. 10.3. Charakterizácia determinantu a regulárnych matíc Úvahy z paragrafu 10.1 možno zhrnúť do nasledujúcej vety. 10.3.1. Veta. Determinant rádu n je n-lineárna alternujúca funkcia Knxn —► K stĺpcov matice. Navyše, pre každý skalár c E K existuje jediné multilineárne alternujúce zobrazenie F : Knxn —► K stĺpcov matice také, že F(In) = c. Toto F je dané predpisom F (A) = c det A. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Determinant det : Knxn —► K je teda jednoznačne určený ako n-lineárna alternujúca funkcia stĺpcov matice taká, že det In = det(ei,..., en) = 1. Táto rovnosť zodpovedá prirodzenej voľbe jednotky orientovaného n-rozmerného objemu v Kn - je ňou orientovaný objem rovnobežnostena určeného vektormi e1;... , en (v tomto poradí). V paragrafe 10.1 sme vlastne dokázali, že každá n-lineárna alternujúca funkcia F : Knxn —► K musí mať uvedený tvar, t. j. je skalárnym násobkom determinantu. Zostáva však overiť, že determinant, tak, ako sme ho definovali v paragrafe 10.2, je naozaj multiline-árne alternujúce zobrazenie. Hoci tieto vlastnosti sú intutívne jasné z našej konštrukcie, pre ambicióznejšieho čitateľa podáme ich dôkaz vychádzajúci len z definície determinantu. Navyše sa tým náš výklad stane formálne nezávislým na motivačných úvahách o orientovanom objeme z prvej časti úvodného paragrafu 10.1. Dôkaz vety 10.3.1. odložíme až do nasledujúceho paragrafu, kde nám poslúži ako vhodný úvod do ďalšieho okruhu otázok. Na tomto mieste však zaznamenáme dva bezprostredné dôsledky tejto charakterizačnej vety. Samozrejme, v jej dôkaze sa na ne nebudeme odvolávať. 10.3.2. Veta. (Cauchy) Pre ľubovoľné matice A, B e Knxn platí det (A ■ B) = det A -det B, t. j. determinant súčinu matíc sa rovná súčinu ich determinantov. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Dôkaz. Zvolme pevne maticu A G Knxn a definujme zobrazenie F : Knxn —► K predpisom F (B) = det(A ■ B) pre B G Knxn. Overíme, že F je n-lineárne alternujúce zobrazenie stĺpcov matice B; označme ich víy... , vn. Najprv overíme, že F je alternujúce. Nech 1 < i < j < n a B je matica taká, že Uj = v j pre nejaké i < j. Potom aj A ■ Vi = A ■ u,-, a s využitím alternácie determinantu dostávame F (B) = det(A ■ (vi,..., vi}..., vj}..., vn)) = d 2. Dôkaz vety 10.3.1. Najprv dokážeme, že determinant je alternujúca funkcia. Nech A G Knxn je taká, že Si(A) = Sj(A) pre nejaké i < j. Označme r G Sn transpozíciu, ktorá vymieňa i aj (a ostatné prvky necháva namieste). Potom pre všetky k,l < n platí a« = aT^)i-Množina všetkých párnych permutácií množiny {l,...,n} sa zvykne značiť An- Zrejme • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec priradením a i—► r o a je daná bijekcia Ai —► «5n \ Ai- S využitím toho môžeme počítať det A = J^ (-l)1'7^^!) i... ať7(ra)ra = 2_^ av(l) 1 • • • ao(n)n ~ /_^ Clo (í) 1 • • • Cla(n)n O e An oeSn^An = 2_^ av(l) 1 • • • ao(n)n — 2_^ a(roo)(l) 1 • • • Cl(TOo)(n)n o e An o e An = 2_^ (Cl-o(l) 1 • • • Cla(n)n — ClT{o{l)) 1 • • • Ch {a {n)) n) = 0. o e An Teraz dokážeme, že det A je lineárnou funkciou j-teho stĺpca (ciij,..., anj)T. Pre i < n označme Sn(i,j) = {a E Sn; i = a (j)} a položme Člíj = 2_^ V "V a acr(l)l • • • ao{j-l) j-\Clo{j + l) j+l ■ ■ ■ Clo(n)n-o£S„(í,j) Potom zrejme n ciet A = y ^ ciijCiij = \ci\j, ■ ■ ■, cinj) ■ \ci\j, ■ ■ ■, cinj) , í=i čo dokazuje spomínanú linearitu. Na základe tvrdenia 10.2.1. platí aj „riadková verzia" práve dokázanej vety 10.3.1. Špeciálne, determinant je takisto multilineárna alternujúca funkcia riadkov matice a (kedze • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec a E Sn(i,j) <=>- a l E Sn(j,i)) pre z-ty riadok (an,... ,a,in) matice A jej determinant má rozvoj n Clet Jí = y ^ Cli j Cli j = \0>ilí • • • > Q>ín) ' \Q>ilí • • • > ^m) ■ 3=1 s rovnako definovanými koeficientmi äij. Uvedený prvok äij nazývame algebraickým doplnkom prvku a^ v matici A. Maticu A = (äij)nXn nazývame maticou algebraických doplnkov k matici A. 10.4.1. Tvrdenie. Nech Aíj označuje maticu rádu n—l, ktorá vznikne z matice A E Knxn vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca. Potom üij = (—1) \Aij\. Dôkaz. Označme B maticu, ktorá vznikne nahradením j-teho stĺpca matice A stĺpcovým vektorom e» E Kn. Zrejme ä^ = \B\. Ak budeme v matici B postupne vymieňať stĺpce s indexmi j a j +1, ďalej j +1 a j + 2, at ď., až nakoniec n—l an, a potom riadky s indexmi i a i + 1, ďalej i + 1 a i + 2, at ď., až napokon n — 1 a n, dostaneme maticu tvaru -(t ľ). kde b vznikne z i-teho riadku matice A vynechaním j-teho prvku a 0 je nulový stĺpec dĺžky n — 1. Podľa tvrdenia 10.2.2. (a poznámky za jeho dôkazom), determinant tejto matice je | Aíj |. Keďže determinant je alternujúca funkcia tak stĺpcov ako aj riadkov matice a všetkých • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec výmien bolo dohromady (n — j) + (n — i) = 2n — (i + j), platí äij = \B\ = (-1)2™-(^)|C| = {-l)l+3\AtJ\. Determinanty matíc, ktoré vzniknú vynechaním niektorých riadkov a rovnakého počtu sltpcov z matice A e Knxn, nazývame jej minormi, prípadne sub determinantmi determinantu |.A|. Dosadením získaných hodnôt algebraických doplnkov do rozvoja determinantu rádu n podľa niektorého riadku resp. stĺpca tak dostávame jeho vyjadrenie pomocou sub-determinantov rádu n — 1. 10.4.2. Veta. Nech A G Knxn, 1 < k, l < n. Potom n n \A\ = Y^(-l)k+3ak3 \Akj\ = ^(-1)*+^ \AÜ\. 3=1 í=l Uvedené súčty nazývame Laplaceovými rozvojmi determinantu |.A| - prvý podľa fc-teho riadku, druhý podľa Z-teho stĺpca. 10.5. Výpočet determinantu Skôr než sa pustíme do výpočtov konkrétnych determinantov, skúsme si urobiť inventúru prostriedkov, ktoré máme nato k dispozícii, a posúdiť ich vhodnosť. Asi sa zhodneme na tom, že výpočet determinantu rádu n podľa jeho definície, ako súčtu n\ súčinov po n činiteľoch, by bol značne ťažkopádny. Pokiaľ sme sa stretli len s prípadmi • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec n = 2 alebo n = 3, nemusíme si to jasne uvedomiť. Avšak už 4! = 24, 5! = 120 a funkcia n\ veľmi rýchlo rastie. Preto je potrebné pouvažovať o nejakej inej metóde. Kedze determinant je multilineárnou alternujúcou funkciou tak riadkov ako aj stĺpcov matice, ako najprirodzenejšia sa nám ponúka metóda úpravy matice na hornú prípadne dolnú trojuholníkovú maticu pomocou elementárnych riadkových i stĺpcových operácií. Ako sme už spomínali v poznámke (2) za dôkazom tvrdenia 10.2.2.: (0) Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu jej diagonálnych prvkov. Pripomeňme si aj nasledujúce pravidlá z paragrafu 10.1 o vplyve ERO a ESO na determinant: (1) Výmenou poradia dvoch riadkov alebo stĺpcov matice sa hodnota jej determinantu zmení na opačnú. (2) Vynásobením nejakého riadku alebo stĺpca matice nenulovým skalárom c G K sa jej determinant zmení na c-násobok pôvodnej hodnoty. (3) Pripočítaním skalárneho násobku nejakého riadku matice k jej inému riadku, resp. násobku nejakého jej stĺpca k inému stĺpcu sa hodnota jej determinantu nezmení. Všimnite si, že len tretí typ menovaných úprav necháva determinant bezo zmeny! Poznamenajme, že úpravy typu (3) spolu s pravidlom (0) plne postačujú na výpočet akéhokoľvek determinantu. Bez pravidiel (1) a (2) sa možno kľudne zaobísť, občas nám však môžu pomôcť sprehľadniť situáciu, preto sa im nebudeme vyhýbať. Často býva užitočné výslovne si uvedomiť nasledujúci dôsledok pravidiel (l)-(3): • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (4) Ak matica obsahuje nulový riadok alebo stĺpec, prípadne dva rovnaké riadky alebo stĺpce, tak jej determinant je 0. Mohlo by sa zdať, že sme akosi pozabudli na Laplaceov rozvoj. Táto metóda umožňuje previesť výpočet determinantu rádu n na výpočet n determinantov rádu n — 1, presnejšie na istú ich lineárnu kombináciu. Ak by sme dôsledne pokračovali ďalej, mohli by sme túto úlohu previesť na výpočet n(n — 1) determinantov rádu n — 2, atď., až by sme napokon dostali n\ determinantov rádu 1. Ak si to dobre premyslíme, zistíme, že takýto výpočet by bol rovnako efektívny (či, lepšie povedané, neefektívny) ako výpočet determinantu priamo na základe jeho definície. Jednako sa Laplaceovho rozvoja celkom nezriekame. Odporúčame ho však používať len vtedy, keď sú všetky prvky príslušného riadku či stĺpca, podľa ktorého determinant rozvíjame, až na jednu výnimku rovné nule. Vtedy vlastne nejde ani tak o rozvoj ako o zníženie rádu daného determinantu o 1 (bez nárastu počtu determinantov). Toto odporúčanie sformulujeme do nášho predposledného pravidla: (5) Nech všetky prvky i-teho riadku prípadne j-teho stĺpca matice A s výnimkou prvku díj sú rovné 0. Potom (-l)i+Jaý-|A v i "y i Všimnite si, že pravidlo (0) možno dostať ako dôsledok (n— l)-násobného použitia pravidla (5) a zrejmého faktu, že determinant matice (a) typu 1 x 1 je samotná hodnota a. Ak si ešte uvedomíme, že determinanty rádu 2 možno najvýhodnejšie počítať priamo z definície: (6) «21 «22 CLIICL22 ~ ^21^12) • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec je to už naozaj všetko, čo potrebujeme vedieť na efektívny výpočet determinantu. 10.5.1. Príklad. Vypočítame determinant reálnej matice f 2 2 11 l\ 5 6 345 7 5 357 13 10 3 8 13 7 2 116 Najprv odpočítame prvý riadok od piateho a druhý od štvrtého. V matici, ktorú takto získame, odpočítame piaty stĺpec od prvého a štvrtý od druhého. Postupne tak dostaneme 22111 56345 75357 84048 50005 11111 02345 00357 00048 00005 l-2-3-4-5 = 120. Priznávame, že výpočet, ktorý sme práve predviedli je tak trochu podraz voči čitateľovi. Úpravy, ktoré sme pri ňom použili, boli totiž len opačným postupom, ktorým sme pri formulácii úlohy z vopred narafičenej výslednej hornej trojuholníkovej matice „uvarili" zadanie. Napokon, tak je tomu s väčšinou úloh v učebniciach. No čitateľ, ktorého autor „nevpustil do kuchyne", má len malú nádej toto optimálne riešenie nájsť. Teda aspoň pokiaľ je úloha dobre postavená. Predvedieme preto aj iné, „normálne" riešenie, na aké má šancu prísť aj nezasvätený riešiteľ. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Najprv odpočítame tretí stĺpec od štvrtého aj piateho a jeho dvojnásobok od prvého aj druhého stĺpca. V ďalšom kroku determinant rozvinieme podľa prvého riadku: 0 010 0 -1 0312 1-132 4 7 435 10 5 010 5 -10 12 1-12 4 7 4 5 10 5 00 5 Teraz odpočítame prvý stĺpec od posledného a získaný determinant rozvinieme podľa posledného riadku: -1 1 7 5 013 -123 453 000 013 -123 453 Po odpočítaní trojnásobku druhého stĺpca od tretieho a rozvinutí podľa prvého riadku sme konečne v cieli: 01 -1 2 45 0 -3 -12 -1 -3 4-12 5(12 + 3-4) = 5-24 = 120. • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 10.5.2. Príklad. Vypočítame tzv. Vandermondov determinant rádu n VĽn(xi,x2,... ,xn) 1Z .Aj\ .Aj 1 ... X 1 .2 2 n—l ± X2 'hey . . . Xo Iry ry^1 ry''' J- tX/JT, "^'fl ' ' ' n Odpočítaním prvého riadku od všetkých ostatných riadkov a následným rozvojom podľa prvého stĺpca dostaneme VĽn(xi,x2,... ,xn) X\ .Aj 1 \J •X'2 Jb\ .Aj r) .Aj 1 . . . .Aj O Ory ____ rf-t O" ____ ry^1 ry'1 •Aj ty-> .Aj 1 .Aj ,,-, .Aj 1 ... .Aj lf~ .Aj 1 n—l sjn— 1 •Aj 1 -1 _ ™n-l ŕ-y>„ ___ T*-. T* ___ o" T* ___ T* *-*y2 *^ 1 ^^ 1 * * * 2 1 ŕy> ___ O"-1 O" ___ ry^ ry'" J- ___ rf •Ajf^ .Aj J. •X'^-i iXy 1 ... .Aj,y-, .Aj 1 Odpočítajme teraz od každého stĺpca počnúc druhým xi-násobok predchádzajúceho stĺpca. V determinante, ktorý získame, je na mieste (i, k), kde 1 < i, k < n — 1, prvok [p^í+l ^l) "^1 V^í+l •%! J — ^i+1 v^í+l %!}• • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec Ak teda vyjmeme z z-teho riadku činiteľ Xi+\ — x\, postupne nám vyjde X2 — X\ X2(x2 — X\) . . . X2~2(^2 — X\) VĽn(xi,x2,...,xn) ry ___ ry ry I ľy ___ ľy \ ry''J ^ í ry ___ O" | (x2 -xi)... (xn - Xi) 1 x2 ■ ■ ■ x ra-2 X Jbfi, ... X, ra-2 = (x2 -Xi) ... (xn - Xi) VD„_i(l2, ...,xn). Teraz už aj bez počítania determinantov vidíme, že VDra_i(2ľ2,...,2ľra) = (x 3 - x2)... (xn - x2) VĽn_2(x3,...,xn), atd. Kedze zrejme VD^a^) = 1, dostávame výsledok VĽn(xi,x2,... ,xn) = Yl (xj-Xí), l U je zobrazenie také, že pre všetky c G Z, v e V platí F(cv) = cF(v), tak uvedená rovnosť platí aj pre všetky c G Q. (b) Ak F : V —> U je zobrazenie také, že pre všetky c G Z, v G V platí F(cv) = \c\F(v), tak uvedená rovnosť platí aj pre všetky c G Q. 10.2. Nech U, Vi,..., Vn sú vektorové priestory nad poľom K. Podobne ako v paragrafe 10.1 definujte pojem n-lineárneho zobrazenia F : Vi x ... x Vn —> U. Označme Cn(Vi,... ,Vn,U) množinu všetkých n-lineárnych zobrazení F : Vi x ... x Vn —> U; ak Vi = ... = Vn = V, tak miesto Cn(Vi,..., Vn, U) píšeme len Cn(V, U). Dokážte, že množina £n(Vi,..., Vn, U) tvorí lineárny podpriestor vektorového • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec priestoru !JVlX-xV" všetkých zobrazení Vi x ... x Vn —> U. 10.3. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a n > 2. Definujte pojmy symetrického, antisymetric-kého a alternujúceho zobrazenia F : Vn —> t/. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Množiny Symn(V,ř7) všetkých symetrických zobrazení Vn —> t/, Asymn(V,t/) všetkých antisy-metrických zobrazení Vn —> t/ a Altn(V,t/) všetkých alternujúcich zobrazení Vn —> if sú lineárne podpriestory vektorového priestoru Uv všetkých zobrazení Vn —> t/. (b) Ak char K = 2, tak SymJV, t/) = AsymJV, t/). (c) Ak char if ^ 2, tak AsymJV, U) C Alt„(V, t/) a SymJV, t/) n AsymJV, U) = {0}, kde 0 tentokrát označuje identicky nulové zobrazenie Vn —> t/. (d) Cn(V, U) n Altn(V, U) C £„(!/ t/) n Asymjl/ t/). (e) Ak char K + 2, tak £„(V, U) n Alt„(V, ř7) = Cn(V, U) n AsymJV, t/). (f) Nájdite príklad bilineárneho (t. j. 2-lineárneho) zobrazenia Z2 x Z2 —> Z2, ktoré je symetrické (teda aj antisymetrické), no nie je alternujúce. (g) Ak dim y = n, tak dim(£n(V, if) n Altn(V, if)) = 1. (Návod: Dobre si uvedomte, čo vlastne hovorí druhá časť vety 10.3.1.) 10.4. Dokážte Lemy 10.1.2. a 10.1.3. za všeobecnejších podmienok cvičenia 10.3, t.j. pre zobrazenia F : 10.5. (a) Vypočítajte orientovaný aj neorientovaný plošný obsah rovnoběžníka určeného vektormi u = (1, 5)T, v = (3, -4)T v rovine R2. (b) Vypočítajte orientovaný aj neorientovaný objem rovnobežnostena určeného vektormi u = (3, 2,-1), v = (5, 0,4), w = (1,1,1) v priestore R3. (c) Vypočítajte orientovaný aj neorientovaný štvorrozmerný objem štvorrozmerného „rovnobežno-nadstena" určeného vektormi e\ + e2, e2 — 2e^, 4e3 — 2e4, 3ei + e^ v priestore R4. • Prvá strana •Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec 10.6. Vypočítajte nasledujúce determinanty nad poľom R: 0 5 3-2 11 6-4 2 1-3 0 3 3 9-6 ; (b) 3 5 7 4 0 10-1 14 4 0 4 7 11 6 ; (c) 3 7 131 -17 2 6 -21 401 0 0 100 29 0 0 3 1 ; (d) 2-204 0 2 3 5 7 11 1-240 2 0 6 0 1-1 1-111-1 ; (e) 0 0 0 11 0 0 0 2 5 1 2 3 0 4 1-10 7 0 1 0 12 3 10.7. Rozhodnite, pre ktoré hodnoty parametra A je uvedená matica regulárna resp. singulárna. Riešte nad každým z polí Q, R, C, Z2 a Z7 pre nasledujúce matice (ak vám prekáža, že niektorý prvok matice nepatrí do príslušného poľa Zp, nahraďťe ho jeho zvyškom po delení číslom p): /iao\ Z1-* x °\ /1100\ /A-i 1 o 4\ w(sj}> w(ís;) (c)(j:ž:> (d,(sT4';> 10.8. Pre ľubovoľnú maticu A rozmeru nxn nad poľom K a skalár c G K platí det(c^4) = c™ det A, špeciálne det(-^4) = (-í)ndetA. Dokážte. 10.9. Nech n > 2 a A, B, C, D sú štvorcové matice rádu n nad poľom K. Na príklade ukážte, že (okrem prípadu B = 0 alebo C = 0) pre z nich zloženú blokovú maticu neplatí nasledujúce „zovšeobecnenie" pravidla na výpočet determinantu matíc rozmeru 2x2: £g| = |A||I?|-|£||C|. 10.10. Pomocou algebraických doplnkov nájdite explicitné vyjadrenie pre inverzné matice k nasledujúcim maticiam a sformulujte nutné a postačujúce podmienky ich existencie: (a)(SŽ); v(\lt}> ^(lll)' (d)(°°); (e)(°H)- Zovšeobecnite výsledky úloh (d), (e) na matice ľubovoľného rádu n. 10.11. Nájdite riešenia nasledujúcich sústav lineárnych rovníc nad poľom R pomocou Cramerovho pravidla: (a) x + y = 1, 3x — 5y = 4; • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (b) x - Ay = -2, Ix + 2y = 1; (c) x + y — z = O, 2x + 'íz = 3, 3x + y — 2z = —5; (d) 2x + y + 2z = 10, Ax - y = -3, y + 2z = 0; (e) x + 2y + 3z + Au = 10, y + 2z + 3m = 6, z + 2u = 3, y — z + u = 1. 10.12. Nech ^4 G Kmxn je matica nad poľom K & I C {1,..., m}, J C {1,..., n} sú dve množiny indexov s rovnakým počtom prvkov k < min(m,n). Označme Ajj G Kkxk štvorcovú maticu rádu k tvorenú tými prvkami a^ matice A, pre ktoré i £ J a j e J. Determinanty takto vzniknutých matíc Ajj nazývame minormi matice A G Kmxn rádu k. Jednoducho povedané, minory matice A sú determinanty štvorcových matíc, ktoré vzniknú vynechaním niektorých riadkov a stĺpcov matice A. Minory prislúchajúce množinám indexov tvaru / = J = {1,..., k} sa nazývajú hlavné minory matice A. Dokážte, že hodnosť matice A je najväčšie prirodzené číslo k, pre ktoré existuje nenulový minor rádu k matice A. (Návod: Ukážte, že ak ri1(A), ..., rik(A) sú lineárne nezávislé riadky matice A, tak existujú indexy stĺpcov ji, ..., j k také, že matica (a>ipjq) k k má hodnosť k.) 10.13. (a) Vypočítajte všetky minory reálnej matice (3 q Z\)- /2+i 0 3i 4 \ (b) Vypočítajte všetky hlavné minory komplexnej matice 4i 3-2i 2 6-i . V 2-i l+5i 0 2i / 10.14. Nech A G Knxn je štvorcová matica rádu n & I, J sú dve podmnožiny množiny {í,...,n} s rovnakým počtom prvkov k < n. Algebraickým doplnkom minora \Ajj\ matice A (pozri cvičenie 12) nazývame výraz ( —l)/+J|^4/'j'|, kde /', J' označujú doplnky množín / resp. J v množine {1,... ,n} a I + J = J2ieIi + J2jejj- Nech ďalej Pfc(n) označuje množinu všetkých fc-prvkových podmnožin množiny {1,..., n} (zrejme # V k (n) = (£)). Dokážte nasledujúce zovšeobecnenia Laplaceovho rozvoja determinantu z vety 10.4.2.: • Prvá strana »Predchádzajúca strana »Nasledujúca strana »Posledná strana »Späť »Celá obrazovka »Zavrieť »Koniec (a) Laplaceov rozvoj determinantu podia vybraných riadkov. Pre lubovolnú množinu I G V k (n) vybraných (indexov) riadkov matice A platí \A\ = E (-l)I+J\Au\\Aľj,\. JeVk(n) (b) Laplaceov rozvoj determinantu podľa vybraných stĺpcov. Pre ľubovoľnú množinu J G V k (n) vybraných (indexov) stĺpcov matice A platí \A\ = E (-l)I+J\Au\\Aľj,\. ieVk(n) / 11 3 0\ 10.15. (a) Vypočítajte algebraické doplnky minorov rádu 2 reálnej matice H° ~2A _* . \ 3 7 2 o) (b) Rozviňte determinant matice z úlohy (a) podľa prvého a druhého riadku. Výsledok prorovnajte s hodnotou determinatu získanou priamym výpočtom. 10.16. Nech K je pole, xo, xi,..., xn sú navzájom rôzne a i/o, ž/i, • • •, ž/n sú ľubovoľné prvky z if. (a) Dokážte, že potom existuje práve jeden polynóm f (x) = ao + a\x + ... + anxn G K{n\x] taký, že f(xo) = ž/o, f(xi) = ž/i, • • •, f (x n) = ž/n! f (x) sa nazýva interpolačný polynóm konečnej funkcie xi '—► ž/i, kde 0 < i < n. (Návod: Rozpíšte uvedené rovnosti do sústavy lineárnych rovníc v neznámych a0,al7... ,an a využite Vandermondov determinant.) (b) Odvoďte tzv. Lagrangeov tvar interpolačného polynomu /(*)=!> n (c) Vyjadrite koeficienty interpolačného polynomu f (x) pomocou Cramerovho pravidla. • Prvá strana •Predchádzajúca strana •Nasledujúca strana •Posledná strana •Späť •Celá obrazovka •Zavrieť •Koniec (d) Nech K je pole reálnych čísel R. V prípade ekvidistančného delenia xo, x\ = xq + d, X2 = xq + 2d, ..., xn = xo + nd s krokom d > 0, nájdite explicitné vzorce pre koeficienty interpolačného polynomu, ak 0 < n < 3. 10.17. S využitím výsledkov predchádzajúceho cvičenia riešte nasledujúce úlohy: (a) Nájdite kvadratické polynomy fo(x), f\(x), f2(x) G R^2-*[x], ktorých grafy prechádzajú bodmi (-1,0), (1,0), (3,-2), resp. (-1,0), (0,-1), (2,5), resp. (0,-1), (2,5), (3,-2). (b) Nájdite kubické polynomy gi(x),g2(x) G R(3)[x], ktorých grafy prechádzajú bodmi (0, —1), (1,0), (2,5), (3,-2), resp. (-1,0), (0,-1), (1,0), (2,5). (c) Nájdite bikvadratický polynóm h(x) G R^4-*[x], ktorého graf prechádza bodmi (—1,0), (0,-1), (1,0), (2,5), (3,-2). (d) Načrtnite grafy funkcií f0, flt f2, g\, g2 a h na intervale (—2,4) a porovnajte ich. 10.18. Permanentom štvorcovej matice A = (aij)nxn nad poľom K nazývame výraz per ^4 = ^2 a