Jméno	e-mail	P	Z	U	celkem P+Z+U	hodnocení
						
						
celkový počet bodů ze zápočtových písemek doplní zkoušený student						
		Opravil:				
l.př.	2.př.	3.př.	4.př.	5.př.	6.př.	7.př.	Celkem
							
Písemka ke zkoušce z lineární algebry — 19.1.2006
Bodování: První čtyři příklady jsou ohodnoceny 5 body, poslední tři 10 body. Doba -110 minut, z toho po prvních 50 minutách trvání písemné zkoušky bude vybrána teoretická část k opravě. Celkem je možno včetně zápočtových písemek a ústní zkoušky získat 100 bodů. Hodnocení: P (Z) - počet bodů na zkouškovou písemku (zápočtovou písemku)
1.          P + Z + U < 49
2.          50 < P + Z + U < 59
3.          60 < P + Z + U < 69
4.          70 < P + Z + U < 79
5.          80 < P + Z + U < 89
6.          90 < P + Z + U < 100
nevyhovující - F dobře - E
velmi dobře minus -velmi dobře - C výborně minus - B výborně - A
D
Teoretická část
1.   Napište Frobeniovu větu o řešitelnosti.
2.   Napište definici determinantu.
3. Dokažte, že zobrazení / :  Q2[íc]
předpisem f(ax2 + bx + c) = (a — b — c)x2 + (a — c + b)x + b pozor na prostory, mezi kterými je zobrazení definováno
QaN
„2
je lineární,
kde /je definované — a. Dejte si
4. V předchozím příkladě najděte báze jádra a obrazu zobrazení /.
Praktická část
Jméno	e-mail	P	Z	U	celkem P+Z+U	hodnocení
						
						
celkový počet bodů ze zápočtových písemek doplní zkoušený student						
Opravil:
l.př.	2.př.	3.př.	4.př.	5.př.	6.př.	7.př.	Celkem
							
5.  Určete všechny hodnoty parametru c G R, pro které je vektor v = (3,1,5) lineární kombinací vektorů ui = (—2, 5,1), 112 = (0, 4, 3), 113 = (6, 5, c) G R .
6.  Určete bázi a dimenzi prostorů W\, W2, W\ + W2 a W\ n W2 ve vektorovém
prostoru R4, je-li     Wx = [(-2,4,-2, 4), (5,1, 5,1), (4,1, 3, 2)] a W2 = [(5,3,5,3), (3,5,3,5),(-l,-2,0,-3)].
7.  Určete matici přechodu A od báze u = ((1, 3, —3), (1, 0,1), (2,1,0)) k bázi v = ((2, 0,1), (—3, 2, —4), (1, —1, 2)) a matici přechodu B od báze v k bázi u.
Vzorové řešení
5. Matici odpovídajícího systému lineárních rovnic upravujeme pomocí řádkových operací
-2 0 6 5 4 5 1    3    c
1	0	-3	1,5
0	4	20	8,5
0	3	c+3	6,5
1	0	-3	1,5
0	1	5	17 8
0	0	c- 12	1 Q
Z poslední matice vyplývá, že systém nemá řešení právě tehdy, když c = 12, tj. pro c=^ 12 je vektor v lineární kombinací vektorů ui, 112, 113.
6. Vektory z W\ a W2 přepíšeme sloupcově do schématu
/ -2    5    4
4     1    1
-2    5    3
\   4     1    2
5    3    -1 \
3    5-2
5    3     0
3    5-3/
Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme systém do schodovitého tvaru, který může vypadat třeba takto:
/ -2     5      4
0      11      9
0      0-1
\   0      0      0
5      3     -1 \
13    11    -4
0      0      1
0      0      0   /
Vidíme, že levá část i celá matice mají hodnost 3, tedy W\ = W1 + W2 a zejnéna pak diinl^i =dim (Wi + W2) = 3. Další úpravou pravé části zjistíme, že i dim Wi = 3 a tedy W\ = W2 = W\ + W2 = W\ n W^- Za bázi lze zvolit např. trojici vektorů generující W\.
7. Sloupce matice přechodu A odpovídají koeficientům ve vyjádření vektorů z báze u jako kombinací vektorů z báze v. Platí tedy V A = U, kde U je matice vytvořená z u uspořádáním vektorů do sloupců, podobně V vzniká z v. Maticovou rovnici můžeme buďto chápat jako systém tří soustav o třech neznámých se společnou levou stranou nebo ji zleva násobíme V^1 a obdržíme A = V~1U. V obou případech se dopracujeme ke schématu (V|t/), který pomocí elementárních řádkových úprav převedeme na tvar (I\V~1U). Matici B vypočítáme jako matici inverzní k A. Správný výsledek:
A-
3	1    2		■i(		3	-1
2	1    1	,B =		-1	1	1
1	2    1  J			3	-5	1