Jméno (tiskacím) e-mail 1 2 3 celkem
.................... .......................
Podpis studenta:
Opravil:
2. Písemka k zápočtu z lineární algebry
Bodování: První dva příklady jsou ohodnoceny 4 body, poslední příklad 2 body.
Doba - 50 minut.
1. Jsou dány lineární podprostory M a N lineárního prostoru R5
pomocí lineárních
obalů:
M = (1, 2, 0, 1, 1), (1, 3, 1, 3, 4), (3, 5, 2, 4, 5) ,
N = (1, 1, 3, 4, 3), (1, 0, 2, 2, 0), (2, 1, 3, 2, 3), (0, 1, 2, 4, 3) .
Najděte bázi a dimenzi prostorů M, N, M ∩ N a M ∨ N.
2. Jsou dány uspořádané báze α a β v lineárním prostoru R4
:
α = ((1, 1, 1, 1)T
, (1, 2, 1, 1)T
, (1, 1, 2, 1)T
, (1, 3, 2, 3)T
)
β = ((1, 0, 3, 3)T
, (1, 2, 1, 1)T
, (2, 2, 5, 4)T
, (−2, −3, −4, −4)T
)
Najděte matice přechodu Pα,β a Pβ,α. Dále je dán vektor x ∈ R4
, x =
(0, 1, 1, 0)T
. Najděte jeho souřadnice vzhledem k oběma uspořádaným bá-
zím.
3. Pro zobrazení f : R2
→ R3
, f(x1, x2) = (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2) najděte
jeho jádro a obraz, tj. popište je pomocí generátorů a určete jejich dimenzi.