Duální vektorový prostor Vektorové prostory lineárních zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Připomeňme, že pak symbolem WV zna- číme množinu všech zobrazení f : V W. Na této mno- žině WV můžeme definovat binární operaci + sčítání zobrazení a vnější operaci skalárního násobení zobrazení pro libovolná zobrazení f, g : V W a pro libovolný prvek s T předpisy: pro všechna u V : (f + g)(u) = f(u) + g(u), (sf)(u) = s f(u). Pak přímo z této definice se bezprostředně ověří, že (WV , +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Označme dále symbolem L(V, W) množinu všech lineárních zobrazení f : V W. Pak se opět přímým ověřením zjistí, že L(V, W) je podprostor ve vektorovém prostoru (WV , +, ). Do- stáváme tak vektorový prostor (L(V, W), +, ) všech lineárních zobrazení prostoru (V, +, ) do prostoru (W, +, ). Jde ovšem zase o vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť nadále (V, +, ) a (W, +, ) jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem (T, +, ). Při- pomeňme, že symbolem Matmn(T) jsme označili množinu všech matic typu m/n nad tělesem (T, +, ). Pak množina Matmn(T) spolu s binární operací + sčítání matic a s vnější operací ska- lárního násobení matic tvoří vektorový prostor (Matmn(T), +, ) nad tělesem (T, +, ). Je jasné, že je to nenulový vektorový pro- stor dimenze mn. Zvolme nyní pevně báze g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm ve vektorových prostorech (V, +, ) a (W, +, ). Označme opět g = g1 g2 . . . gn a h = h1 h2 . . . hm . Potom zobrazení 1 g,h : L(V, W) Matmn(T) přiřazující každému lineárnímu zobrazení f : V W jeho matici A v bázích g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hm je zjevně izomorfismem vektorového prostoru (L(V, W), +, ) na vektorový prostor (Matmn(T), +, ). V první větě z minulé kapitoly jsme totiž viděli, že g,h je bijekce mno- žiny L(V, W) na množinu Matmn(T), a fakt, že tato bijekce zachovává operace + a v příslušných vektorových prostorech, se opět ověří přímočaře. Je tedy i (L(V, W), +, ) nenulový vek- torový prostor dimenze mn. Lineární formy a duální vektorový prostor Nechť nyní (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Poznamenejme, že samo těleso (T, +, ) je vektorovým prostorem dimenze 1 nad sebou samým, tedy rovněž nad tělesem (T, +, ). Lze proto uvažovat lineární zobrazení f : V T. Takové lineární zobrazení f vektoro- vého prostoru (V, +, ) do tělesa (T, +, ) se nazývá lineární forma na (V, +, ). Vektorový prostor (L(V, T), +, ) všech line- árních forem na (V, +, ) se pak nazývá duální vektorový pro- stor k prostoru (V, +, ) anebo krátce duál prostoru (V, +, ). Důvody pro zavedení této terminologie budou patrny z dalšího textu této kapitoly. Pro množinu L(V, T) všech zmíněných line- árních forem se v této souvislosti užívá též označení V , takže duální vektorový prostor k prostoru (V, +, ) se pak zapisuje ve tvaru (V , +, ). Zvolme dále opět pevně bázi g1, g2, . . . , gn ve vektorovém pro- storu (V, +, ) a označme ji tak jako dříve g = g1 g2 . . . gn . Poznamenejme, že jednotkový prvek 1 tělesa (T, +, ) chápaného jako jednorozměrný vektorový prostor sám tvoří bázi tohoto vek- torového prostoru. Můžeme tedy uvažovat matice lineárních fo- rem f : V T vzhledem k bázím g1, g2, . . . , gn a 1. Každá taková matice je typu 1/n, čili je to vlastně uspořádaná n-tice 2 prvků z T, neboli je to prvek kartézské mocniny Tn . Podle před- chozích zjištění pak víme, že zobrazení g,1 : L(V, T) Tn přiřazující každé lineární formě f : V T její matici v bá- zích g1, g2, . . . , gn a 1, což je vektor (f(g1), f(g2), . . . , f(gn)), je izomorfismem duálního vektorového prostoru (V , +, ) na vektorový prostor (Tn , +, ). Na konci kapitoly o bázích a dimenzích vektorových pro- storů jsme viděli, že rovněž původní nenulový vektorový pro- stor (V, +, ) konečné dimenze n je izomorfní vektorovému pro- storu (Tn , +, ). Příslušný izomorfismus g : V Tn přiřa- zuje každému vektoru u V uspořádanou n-tici (s1, s2, . . . , sn) jeho souřadnic v bázi g1, g2, . . . , gn. Potom však složené zobra- zení -1 g,1 g : V L(V, T) je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) s vektorovým prostorem (V , +, ), který je k němu duální. Nenulový vektorový prostor (V, +, ) konečné dimenze n je tedy izomorfní svému duálnímu vektorovému pro- storu (V , +, ). Poznamenejme ovšem, že výše nalezený izomor- fismus těchto dvou vektorových prostorů závisel na volbě báze g1, g2, . . . , gn vektorového prostoru (V, +, ). Připomeňme z poslední věty v předminulé kapitole, že pro danou bázi g1, g2, . . . , gn vektorového prostoru (V, +, ) nad tě- lesem (T, +, ) a pro libovolné prvky t1, t2, . . . , tn T existuje je- diná lineární forma f : V T taková, že f(g1) = t1, f(g2) = t2, . . . , f(gn) = tn. Uvažujme nyní ke zmíněné bázi g1, g2, . . . , gn prostoru (V, +, ) n-tici lineárních forem g1, g2, . . . , gn : V T zadanou následujícím předpisem pro všechna i, j {1, 2, . . . , n} : gi(gj) = 1 pro i = j, 0 pro i = j. Pak lineární formy g1, g2, . . . , gn tvoří bázi duálního vektoro- vého prostoru (V , +, ). Skutečně, poněvadž duální vektorový prostor (V , +, ) je izomorfní výchozímu vektorovému prostoru (V, +, ) a má tudíž stejnou dimenzi n, stačí ukázat, že line- 3 ární formy g1, g2, . . . , gn generují celý tento duální vektorový prostor. Ovšem pro libovolnou lineární formu f : V T platí f = f(g1)g1 + f(g2)g2 + + f(gn)gn, neboť lineární formy na obou stranách této rovnosti dávají tytéž hodnoty na všech vektorch báze g1, g2, . . . , gn vektorového prostoru (V, +, ), a tedy jsou si rovny. Je tedy každá lineární forma f : V T line- ární kombinací uvedených lineárních forem g1, g2, . . . , gn. Tvoří tedy lineární formy g1, g2, . . . , gn opravdu bázi duálního vekto- rového prostoru (V , +, ) a libovolná lineární forma f : V T má v této bázi souřadnice (f(g1), f(g2), . . . , f(gn)). Tuto bázi g1, g2, . . . , gn duálního vektorového prostoru (V , +, ) nazýváme duální bází k bázi g1, g2, . . . , gn vektorového prostoru (V, +, ). Používáme pro ni též značení g = g1 g2 . . . gn . Tvrzení. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor ko- nečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Nechť g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hn jsou dvě báze tohoto vektorového prostoru a nechť g1, g2, . . . , gn a h1, h2, . . . , hn jsou báze duálního vektorového prostoru (V , +, ) duální k předchozím dvěma bázím. Nechť A je matice přechodu od báze g1, g2, . . . , gn k bázi h1, h2, . . . , hn. Potom transponovaná matice A je maticí přechodu od duální báze h1, h2, . . . , hn k duální bázi g1, g2, . . . , gn. Důkaz. Označme jako dosud g = g1 g2 . . . gn , h = h1 h2 . . . hn a g = g1 g2 . . . gn , h = h1 h2 . . . hn . Fakt, že matice A je maticí přechodu od báze g k bázi h, říká, že platí rovnost h = g A. To znamená, že ve sloupcích matice A leží souřadnice vektorů báze h vzhledem k bázi g. Abychom dokázali, že transponovaná matice A je maticí přechodu od duální báze h k duální bázi g, postačí, ukážeme-li, že platí rov- nost g = A h , čili ověříme-li, že v řádcích matice A leží souřadnice vektorů duální báze g vzhledem k duální bázi h. K tomu účelu ovšem stačí určit hodnoty gi(hj) pro všechna i, j {1, 2, . . . , n}. Nechť A = (aij)i,j=1,2,...,n. Pak pro každé 4 j {1, 2, . . . , n} je hj = a1jg1+a2jg2+ +anjgn, takže potom podle výše uvedené definice lineárních forem g1, g2, . . . , gn pro každé i {1, 2, . . . , n} vychází gi(hj) = aij. Podle úvah před- cházejících tomuto tvrzení má tedy lineární forma gi vzhledem k duální bázi h = h1 h2 . . . hn souřadnice (ai1, ai2, . . . , ain), které skutečně tvoří i-tý řádek matice A. To platí pro všechna i {1, 2, . . . , n} a tím je ověřena potřebná rovnost g = A h . Druhý duál vektorového prostoru Je-li (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ), je možné uvažovat k němu duální vekto- rový prostor (V , +, ), kde V je množina L(V, T) všech lineár- ních forem na (V, +, ). To je opět nenulový vektorový prostor téže konečné dimenze n. Lze tedy tento postup opakovat, takže k vektorovému prostoru (V , +, ) je možné dále uvažovat zase duální vektorový prostor (V , +, ), kde V je množina L(V , T) všech lineárních forem na (V , +, ). Tento poslední vektorový prostor (V , +, ) se nazývá druhý duál prostoru (V, +, ). Viděli jsme, že vektorový prostor (V, +, ) je izomorfní prostoru (V , +, ), a analogicky tento prostor je pak zase izomorfní pro- storu (V , +, ). Celkem je tedy vektorový prostor (V, +, ) izo- morfní svému druhému duálu (V , +, ). Ukážeme, že tady je možno definovat kanonické, tedy na volbě báze prostoru (V, +, ) nezávislé zobrazení množiny V na množinu V , které je izomor- fismem prostoru (V, +, ) a jeho druhého duálu (V , +, ). Věta. Nechť (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Pak zobrazení V : V V dané pro každý vektor u V a pro každou lineární formu f : V T předpisem V(u)(f) = f(u) je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na jeho druhý duál (V , +, ). 5 Důkaz. Pro každý vektor u V je jeho obraz V(u) defi- novaný uvedeným předpisem očividně lineární formou na duál- ním prostoru (V , +, ), čili V(u) je prvkem množiny V . Je tedy zobrazení V korektně definováno a rovněž tak přímočaře se ověří, že V je navíc lineární zobrazení prostoru (V, +, ) do prostoru (V , +, ). Ukážeme dále, že zobrazení V je prosté. Jsou-li u, v V dva vektory takové, že u = v, pak existuje lineární forma f : V T taková, že f(u) = f(v). Skutečně pak totiž u - v = o, takže vektor u-v lze doplnit n-1 dalšími vektory w1, . . . , wn-1 V na bázi vektorového prostoru (V, +, ). Pak lze potřebnou lineární formu f : V T zadat podmínkami f(u - v) = 1 a f(w1) = = f(wn-1) = 0. Potom f(u) = 1 + f(v), takže f(u) = f(v). Pak ovšem pro tuto lineární formu f platí V(u)(f) = f(u) = f(v) = V(v)(f), takže V(u) = V(v). Je tedy zobrazení V prosté, a poněvadž jde přitom o line- ární zobrazení dvou vektorových prostorů téže dimenze n, je V izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na jeho druhý duál (V , +, ). 6