Lineární zobrazení
Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž
tělesem (T, +, ). Nechť f : V  W je zobrazení splňující ná-
sledující podmínky:
(u, v  V)(f(u + v) = f(u) + f(v)),
(s  T)(u  V)(f(su) = s f(u)).
Pak f se nazývá lineární zobrazení nebo též homomorfis-
mus vektorového prostoru (V, +, ) do vektorového prostoru
(W, +, ). Je přitom zřejmé, že uvedené dvě podmínky lze na-
hradit jedinou podmínkou:
(s, t  T)(u, v  V)(f(su + tv) = s f(u) + t f(v)).
V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou
a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
f(o) = o a (u  V)(f(-u) = -f(u)).
Je-li takové lineární zobrazení f vektorových prostorů (V, +, )
a (W, +, ) současně bijekcí množiny V na množinu W, pak
říkáme, že f je izomorfismus vektorového prostoru (V, +, )
na vektorový prostor (W, +, ).
Ačkoliv u obou vektorových prostorů (V, +, ) i (W, +, ) uží-
váme týchž symbolů + a  pro označení operací sčítání vektorů
a vnějšího skalárního násobení, je to jenom kvůli jednoduchosti
označení a nevyplývá z toho žádný jiný vztah mezi těmito opera-
cemi v různých prostorech nežli ten, který je dán výše uvedenými
definičními podmínkami lineárního zobrazení, resp. izomorfismu
vektorových prostorů. Stejná poznámka se týká rovněž nulových
vektorů o v obou vektorových prostorech.
1
Příklad. Nechť (T, +, ) je těleso a nechť m, n jsou přirozená
čísla splňující m  n. Potom kupříkladu zobrazení h : Tn
 Tm
dané pro každá s1, s2, . . . , sn  T předpisem
h (s1, s2, . . . , sn) =
(sm + sm+1 +    + sn, sm-1 + sm + sm+1 +    + sn,
sm-2 + sm-1 + sm + sm+1 +    + sn, . . . , s1 + s2 +    + sn)
je očividně lineárním zobrazením vektorového prostoru (Tn
, +, )
do vektorového prostoru (Tm
, +, ).
Tvrzení. Jsou-li (V, +, ) a (W, +, ) vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) a je-li f : V  W lineární zobrazení vek-
torového prostoru (V, +, ) do vektorového prostoru (W, +, ),
pak rovněž platí, že f(o) = o a že pro každý vektor u  V je
f(-u) = -f(u).
Důkaz. Máme f(o) + f(o) = f(o + o) = f(o), odkud plyne
o = f(o)-f(o) = f(o)+f(o)-f(o) = f(o)+o = f(o). Dále pro
každé u  V máme f(u)+f(-u) = f(u-u) = f(o) = o, takže
f(-u) je opačným vektorem k f(u), a tedy je f(-u) = -f(u).
Tvrzení. Nechť (U, +, ), (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové
prostory nad tělesem (T, +, ) a nechť f : U  V a g : V  W
jsou lineární zobrazení vektorových prostorů. Potom složené zob-
razení g  f : U  W je rovněž lineární zobrazení příslušných
vektorových prostorů.
Důkaz. Nechť s, t  T jsou libovolné prvky a nechť u, v  U
jsou libovolné vektory. Pak vychází
(g  f)(su + tv) = g(f(su + tv)) = g(s f(u) + t f(v))
= s  g(f(u)) + t  g(f(v)) = s  (g f)(u) + t  (g f)(v),
což bylo třeba ověřit.
2
Tvrzení. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) a nechť f : V  W je izomorfismus těchto
vektorových prostorů. Potom inverzní zobrazení f-1
: W  V
je rovněž izomorfismem těchto vektorových prostorů.
Důkaz. Skutečně, poněvadž f  f-1
= idW a poněvadž f je
lineární zobrazení, pro libovolné prvky s, t  T a pro libovolné
vektory x, y  W máme
f(f-1
(sx + ty)) = sx + ty = s f(f-1
(x)) + t f(f-1
(y))
= f(s f-1
(x) + t f-1
(y)).
Nyní, poněvadž f-1
f = idV, aplikací inverzního zobrazení f-1
na první a poslední vektor v této posloupnosti rovností odtud
obdržíme rovnost f-1
(sx + ty) = s f-1
(x) + t f-1
(y), což
potvrzuje, že f-1
je rovněž lineární zobrazení.
Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory nad týmž
tělesem a nechť f : V  W je lineární zobrazení. Pak pro libo-
volnou podmnožinu M  V klademe f(M) = {f(u) | u  M}.
Podotkněme, že jsme tak mimo jiné též definovali, co je f(U)
pro libovolný podprostor U vektorového prostoru (V, +, ).
Tvrzení. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) a nechť f : V  W je lineární zobra-
zení těchto vektorových prostorů. Pak pro každý podprostor U
vektorového prostoru (V, +, ) je f(U) podprostor ve vektoro-
vém prostoru (W, +, ). Je-li M  V podmnožina taková, že
U = M , pak platí, že f(U) = f(M) .
Důkaz. Předně pro nulové vektory máme o = f(o), takže
o  f(U). Dále pro libovolné vektory x, y  f(U) existují vek-
tory u, v  U takové, že x = f(u) a y = f(v). Odtud pak plyne,
že x + y = f(u) + f(v) = f(u + v), takže x + y  f(U). Je-li
navíc s  T libovolný prvek, pak sx = s f(u) = f(su), takže
rovněž sx  f(U). Je tedy f(U) podprostor ve (W, +, ).
3
Nechť M  V je podmnožina taková, že U = M . Stejně
jako výše pro libovolný vektor x  f(U) existuje vektor u  U
takový, že x = f(u). Podle poznatků o generování podpro-
storů z kapitoly o podprostorech vektorových prostorů pak ale
existují přirozené číslo n, prvky s1, s2, . . . , sn  T a vektory
v1, v2, . . . , vn  M takové, že u = s1v1 + s2v2 +    + snvn.
Poněvadž f je lineární zobrazení, plyne odtud, že x = f(u) =
f(s1v1 + s2v2 +    + snvn) = s1 f(v1) + s2 f(v2) +    +
snf(vn). To ovšem znamená, že x  f(M) . Takže platí, že
f(U) = f(M) .
Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory nad týmž
tělesem a nechť f : V  W je lineární zobrazení. Pak množina
vektorů Ker f = {u  V | f(u) = o} se nazývá jádro lineárního
zobrazení f.
Tvrzení. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) a nechť f : V  W je lineární zobrazení
těchto vektorových prostorů. Pak jádro Ker f tohoto lineárního
zobrazení f je podprostor vektorového prostoru (V, +, ). Navíc
platí, že zobrazení f je prosté právě tehdy, když Ker f = {o}.
Důkaz. Pro nulové vektory máme f(o) = o, takže o  Ker f.
Dále pro libovolné vektory u, v  Ker f platí, že f(u) = o a
f(v) = o, odkud plyne, že f(u + v) = f(u) + f(v) = o + o = o,
takže u + v  Ker f. Je-li dále s  T libovolný prvek, pak
rovněž f(su) = s f(u) = so = o, takže také su  Ker f. Je
tedy Ker f podprostor ve (V, +, ).
Je-li zobrazení f prosté, pak ovšem Ker f = {o}. Nechť na-
opak Ker f = {o}. Pak pro libovolné dva vektory u, v  V
takové, že f(u) = f(v), platí, že f(u - v) = f(u) - f(v) = o,
takže u - v  Ker f, čili u - v = o, a tedy u = v. Je tedy
zobrazení f prosté.
4
Budeme se dále věnovat lineárním zobrazením vektorových
prostorů konečné dimenze. Nechť tedy (V, +, ) a (W, +, ) jsou
vektorové prostory konečných dimenzí nad týmž tělesem a nechť
f : V  W je lineární zobrazení. Pak obraz f(V) prostoru V
při tomto zobrazení je podle předposledního tvrzení podprosto-
rem ve vektorovém prostoru (W, +, ) a je to podprostor ko-
nečné dimenze. Dimenze tohoto podprostoru f(V) se nazývá
hodnost lineárního zobrazení f. Podobně jádro Ker f tohoto
lineárního zobrazení je podle posledního tvrzerní podprostorem
ve vektorovém prostoru (V, +, ) a je to ovšem podprostor ko-
nečné dimenze. Dimenze podprostoru Ker f se nazývá defekt
lineárního zobrazení f.
Příklad. Nechť (T, +, ) je těleso a nechť m, n jsou přiro-
zená čísla splňující m  n. Uvažme znovu lineární zobrazení h
vektorového prostoru (Tn
+, ) do vektorového prostoru (Tm
+, )
popsané v předchozím příkladu. Pak zobrazení h je očividně sur-
jektivní, čili h(Tn
) = Tm
, takže hodnost zobrazení h je rovna m.
Je-li m = n, pak jádro tohoto lineárního zobrazení h je zřejmě
Ker h = {o}, takže defekt zobrazení h je roven 0. Je-li ovšem
m < n, pak jádrem tohoto zobrazení h je podprostor
Ker h = {(0, . . . , 0
m-1
, sm, sm+1, . . . , sn) | sm, sm+1, . . . , sn  T,
sm + sm+1 +    + sn = 0}
v (Tn
+, ), který podle poznatků o řešení homogenních lineár-
ních rovnic je generován například vektory
gi = (0, . . . , 0
m-1
, -1, 0, . . . , 0
i-1
, 1, 0, . . . , 0
n-m-i
)
pro i = 1, 2, . . . , n - m. Tyto vektory jsou lineárně nezávislé,
takže tvoří bázi podprostoru Ker h. Je tedy defekt zobrazení h
roven n - m.
5
Věta. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) konečných dimenzí a nechť f : V  W je
lineární zobrazení. Pak pro dimenzi n prostoru (V, +, ) a pro
hodnost k a defekt lineárního zobrazení f platí, že k + = n.
Důkaz. Zvolme bázi w1, w2, . . . , wk podprostoru f(V). Dále
zvolme vektory v1, v2, . . . , vk  V tak, aby platilo f(v1) = w1,
f(v2) = w2, . . . , f(vk) = wk. Zvolme také bázi u1, u2, . . . , u
podprostoru Ker f. Ukážeme, že potom vektory v1, v2, . . . , vk,
u1, u2, . . . , u tvoří dohromady bázi prostoru (V, +, ).
Nechť tedy x  V je libovolný vektor. Pak f(x)  f(V),
takže existují prvky t1, t2, . . . , tk  T takové, že f(x) = t1w1 +
t2w2 +    + tkwk. Položme y = t1v1 + t2v2 +    + tkvk.
Pak ovšem f(x) = f(y). Položme dále z = x - y. Pak ale
f(z) = f(x) - f(y) = o, takže z  Ker f. Existují tedy prvky
s1, s2, . . . , s  T takové, že z = s1u1 +s2u2 +  +s u . Odtud
plyne, že x = y +z = t1v1 +t2v2 +  +tkvk +s1u1 +s2u2 +
   + s u . To znamená, že vektory v1, v2, . . . , vk, u1, u2, . . . , u
generují celý prostor V.
Ukážeme dále, že jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Nechť
tedy t1, t2, . . . , tk  T a s1, s2, . . . , s  T jsou takové prvky, že
t1v1 +t2v2 +  +tkvk +s1u1 +s2u2 +  +s u = o. Odtud
plyne, že t1v1 +t2v2 +  +tkvk = -s1u1 -s2u2 -  -s u .
To ale znamená, že t1v1 + t2v2 +    + tkvk  Ker f, takže
f(t1v1 + t2v2 +    + tkvk) = o. Neboli to znamená, že t1w1 +
t2w2 +    + tkwk = o. Poněvadž vektory w1, w2, . . . , wk jsou
lineárně nezávislé, plyne odtud, že t1 = t2 =    = tk = 0.
Takto dostáváme, že s1u1 + s2u2 +    + s u = o. Poně-
vadž také vektory u1, u2, . . . , u jsou lineárně nezávislé, plyne
odtud též, že s1 = s2 =    = s = 0. Tvoří tedy vektory
v1, v2, . . . , vk, u1, u2, . . . , u bázi vektorového prostoru (V, +, ).
To ale znamená, že k + = n.
6
Základní význam, pokud jde o lineární zobrazení vektorových
prostorů konečné dimenze, má následující fakt ozřejmující mož-
nou rozmanitost těchto lineárních zobrazení.
Věta. Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou vektorové prostory
nad tělesem (T, +, ) konečných dimenzí. Nechť dále vektory
g1, g2, . . . , gn tvoří bázi prostoru (V, +, ). Pak pro každou volbu
vektorů z1, z2, . . . , zn  W existuje jediné lineární zobrazení
f : V  W těchto vektorových prostorů takové, že f(g1) = z1,
f(g2) = z2, . . . , f(gn) = zn.
Důkaz. Víme, že pro každý vektor u  V existují jedno-
značně určené prvky s1, s2, . . . , sn  T, nazývané souřadnice
vektoru u v bázi g1, g2, . . . , gn, takové, že platí u = s1g1 +
s2g2 +    + sngn. Definujme zobrazení f : V  W tak, že
v této situaci každému takovému vektoru u přiřadíme vektor
f(u) = s1z1 +s2z2 +  +snzn z W. Pak se přímočarým způ-
sobem ověří, že f je lineární zobrazení, a je jasné, že f splňuje
předepsané podmínky.
Nechť naopak f : V  W je lineární zobrazení takové, že
f(g1) = z1, f(g2) = z2, . . . , f(gn) = zn. Pak pro libovolný
vektor u  V vyjádřený stejně jako v předchozím odstavci ve
tvaru u = s1g1 + s2g2 +    + sngn platí, že f(u) = s1 f(g1) +
s2 f(g2)+  +snf(gn) = s1z1 +s2z2 +  +snzn. To ukazuje,
že lineární zobrazení f je takto určeno jednoznačně.
Je-li (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a je-li
f : V  V lineární zobrazení prostoru (V, +, ) do něj samot-
ného, pak říkáme,že f je lineární transformace vektorového
prostoru (V, +, ).
7