Matice
Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla. Matice
typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných mn
prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích
a n sloupcích. Formálně se matice typu m/n nad okruhem
(R, +, ) definuje jako libovolné zobrazení
A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n}  R
přiřazující každé uspořádané dvojici (i, j), kde i  {1, 2, . . . , m}
a j  {1, 2, . . . , n}, nějaký prvek z R. Označíme-li pro každá i, j
tuto hodnotu v R, kterou zobrazení A přiřazuje dvojici (i, j),
pomocí aij, pak obvyklý způsob, jak se matice A zapisuje, je ve
tvaru
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn





.
Pak prvek aij leží v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice A.
Stručněji se tato matice často zapisuje ve tvaru
A = (aij)i=1,...,m, j=1,...,n
anebo jen ve tvaru A = (aij) s udáním, že jde o matici typu m/n.
Mějme nadále matici A = (aij) typu m/n nad (R, +, ).
Upotřebíme v dalším textu následující označení. Pro každé
i  {1, 2, . . . , m} označme
ri(A) = ai1 ai2 . . . ain
i-tý řádek matice A a pro každé j  {1, 2, . . . , n} označme
sj(A) =





a1j
a2j
...
amj





1
j-tý sloupec matice A. Potom výchozí matici A můžeme ztotož-
nit jednak se sloupcem složeným z jejích řádků, takže lze psát
A =





r1(A)
r2(A)
...
rm(A)





,
a také ji můžeme ztotožnit s řádkem složeným z jejích sloupců,
takže lze rovněž psát
A = s1(A) s2(A) . . . sn(A) .
Matici typu m/n, jejíž všechny prvky jsou rovny nulovému
prvku 0 okruhu (R, +, ), značíme jako Omn anebo stručně jen
jako O, jsou-li rozměry této matice zřejmé z kontextu, a říkáme,
že je to nulová matice.
Operace s maticemi
Pro libovolné dvě matice A = (aij) a B = (bij) téhož typu
m/n nad okruhem (R, +, ) definujeme jejich součet A+B jako
matici C = (cij) typu m/n, kde pro každá i  {1, 2, . . . , m}
a j  {1, 2, . . . , n} je cij = aij + bij. To znamená, že lze psát,
že A + B = (aij + bij).
Dále pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n nad okruhem
(R, +, ) a pro libovolný prvek c  R definujeme násobek cA
matice A prvkem c jako matici D = (dij) typu m/n, kde pro
každá i  {1, 2, . . . , m} a j  {1, 2, . . . , n} je dij = caij. Takže
lze psát, že cA = (caij).
Zejména můžeme k dané matici A = (aij) uvažovat matici
(-1)A, kde 1 je jednotkový prvek okruhu (R, +, ) a -1 je prvek
k němu opačný. Vzpomeneme-li si ale, že pro libovolný prvek
2
a  R platí (-1)a = -(1a) = -a, vidíme, že pro matici (-1)A
dostáváme (-1)A = ((-1)aij) = (-aij). Z toho důvodu matici
(-1)A značíme stručně jako -A, takže lze psát -A = (-aij).
O této matici -A říkáme, že je to matice opačná k matici A.
Je jasné, že potom platí A + (-A) = O.
Označíme-li symbolem Matmn(R) množinu všech matic typu
m/n nad okruhem (R, +, ), pak sčítání matic je binární operací
na množině Matmn(R) a je zřejmý následující fakt.
Tvrzení. (Matmn(R), +) je komutativní grupa.
Pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n a libovolnou matici
B = (bjk) typu n/p, obě nad okruhem (R, +, ), definujeme jejich
součin A  B jako matici C = (cik) typu m/p, kde pro každá
i  {1, 2, . . . , m} a k  {1, 2, . . . , p} klademe
cik =
n
j=1
aij  bjk.
Přístupněji lze tuto definici násobení matic formulovat ve
dvou krocích. V prvním kroku nejprve definujeme součin libo-
volné matice x = x1 x2 . . . xn typu 1/n nad (R, +, ) s li-
bovolnou maticí y =





y1
y2
...
yn





typu n/1 nad (R, +, ) jako matici
typu 1/1, tedy vlastně jako prvek z R daný předpisem
x  y = x1 x2 . . . xn 





y1
y2
...
yn





= x1y1 + x2y2 +    + xnyn.
Poznamenejme, že z této definice s využitím distributivity
v okruhu (R, +, ) bezprostředně plyne, že pro libovolné matice
3
u, v typu 1/n nad (R, +, ) a pro libovolné matice y, z typu n/1
nad (R, +, ) platí rovnosti:
(u + v)  y = u  y + v  y,
u  (y + z) = u  y + u  z.
Jedná se zde přitom o rovnosti prvků z R.
Ve druhém kroku pak s využitím dříve zavedeného označení
pro řádky a sloupce matic můžeme výše uvedenou definici sou-
činu libovolné matice A = (aij) typu m/n nad (R, +, ) s libo-
volnou maticí B = (bjk) typu n/p nad (R, +, ) zapsat ve tvaru
A  B =





r1(A)
r2(A)
...
rm(A)





 s1(B) s2(B) . . . sp(B)
=





r1(A)s1(B) r1(A)s2(B) . . . r1(A)sp(B)
r2(A)s1(B) r2(A)s2(B) . . . r2(A)sp(B)
...
...
...
rm(A)s1(B) rm(A)s2(B) . . . rm(A)sp(B)





.
Zopakujme, že součin AB je tedy maticí typu m/p nad (R, +, ).
Navíc je odtud okamžitě vidět, že pro tento součin matic a pro
každé i  {1, 2, . . . , m} platí
ri(A  B) = ri(A)  B,
a podobně pro každé k  {1, 2, . . . , p} platí
sk(A  B) = A  sk(B).
Takto definované násobení matic je asociativní:
Tvrzení. Pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n, pro
libovolnou matici B = (bjk) typu n/p a pro libovolnou matici
4
C = (ck ) typu p/q, všechny nad okruhem (R, +, ), platí
A  (B  C) = (A  B)  C.
Důkaz. Podle definice součinu matic máme A  B = D, kde
D = (dik) je matice typu m/p, přičemž pro libovolná i, k máme
dik = n
j=1 aij  bjk. Dále máme (A  B)  C = D  C = F, kde
F = (fi ) je matice typu m/q, přičemž pro libovolná i, máme
fi =
p
k=1
dik  ck =
p
k=1
n
j=1
aij  bjk  ck .
Podobně máme B  C = G, kde G = (gj ) je matice typu n/q,
přičemž pro libovolná j, máme gj = p
k=1 bjk  ck . Dále máme
A  (B  C) = A  G = H, kde H = (hi ) je matice typu m/q,
přičemž pro libovolná i, máme
hi =
n
j=1
aij  gj =
n
j=1
aij 
p
k=1
bjk  ck .
Odtud ovšem s využitím distributivity a asociativity násobení
v okruhu (R, +, ) pro libovolná i, dostáváme
hi =
n
j=1
p
k=1
aij  bjk  ck =
p
k=1
n
j=1
aij  bjk  ck = fi .
To znamená, že H = F, což bylo třeba ukázat.
Násobení matic je dále distributivní vůči sčítání matic:
Tvrzení. Pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n a pro
libovolné matice B = (bjk) a C = (cjk), obě typu n/p, přitom
vše nad okruhem (R, +, ), platí
A  (B + C) = AB + AC.
5
Pro libovolné matice F = (fij) a G = (gij), obě typu m/n,
a pro libovolnou matici H = (hjk) typu n/p, přitom všechny
matice nad okruhem (R, +, ), platí
(F + G)  H = FH + GH.
Důkaz. Dokážeme první z uvedených rovností; důkaz druhé
z nich je analogický. Při tomto důkazu současně ilustrujeme pou-
žití dvoukrokové definice součinu matic. Obě matice A(B +C)
a AB + AC v první rovnosti jsou typu m/p. Podle zmíněné
definice součinu matic je pro každé i  {1, 2, . . . , m} a každé
k  {1, 2, . . . , p} prvek v i-tém řádku a k-tém sloupci matice
A  (B + C) roven
ri(A)sk(B + C) = ri(A)(sk(B) + sk(C)),
zatímco prvek v i-tém řádku a k-tém sloupci matice AB + AC
je roven
ri(A)sk(B) + ri(A)sk(C).
Připomeňme, že ri(A) je matice typu 1/n, zatímco sk(B) a sk(C)
jsou matice typu n/1. Z dřívějších poznámek o součinech tako-
výchto matic ovšem víme, že
ri(A)(sk(B) + sk(C)) = ri(A)sk(B) + ri(A)sk(C)
pro všechna uvedená i a k. To znamená, že máme A  (B + C) =
AB +AC. Důkaz druhé z výše uvedených rovností, jak bylo již
řečeno, je analogický.
Matice nad okruhem (R, +, ) mající týž počet řádků jako
sloupců, to znamená matice typu n/n pro nějaké přirozené číslo n
se nazývají čtvercové matice řádu n. Je-li A = (aij) taková
čtvercová matice řádu n, pak o prvcích aii pro i = 1, 2, . . . , n
říkáme, že tvoří hlavní diagonálu matice A.
6
Čtvercovou matici řádu n nad netriviálním okruhem (R, +, ),
v níž všechny prvky na hlavní diagonále jsou rovny jednotko-
vému prvku 1 zmíněného okruhu a všechny ostatní prvky jsou
rovny nulovému prvku 0 tohoto okruhu, označujeme symbolem
En nebo krátce jen E. Máme tedy
En =







1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1







,
kde je celkem n řádků a n sloupců. O matici En říkáme, že je to
jednotková matice řádu n nad (R, +, ).
Tato terminologie je odůvodněna faktem plynoucím přímo
z definice násobení matic, že pro libovolnou matici A = (aij) ty-
pu m/n nad daným okruhem (R, +, ) platí Em  A = A = A  En.
V souladu s označením zavedeným výše symbolem Matnn(R)
značíme množinu všech čtvercových matic řádu n nad okruhem
(R, +, ). Pak vedle sčítání také násobení matic je binární operací
na množině Matnn(R) a je evidentní následující fakt.
Tvrzení. (Matnn(R), +, ) je okruh.
Poznamenejme, že je-li okruh (R, +, ) netriviální, pak byť by
třeba byl sám komutativní, pro n > 1 okruh (Matnn(R), +, )
není komutativní:
Vezměme například matici Cn = (cij) řádu n, kde c11 = 1 a
cij = 0 pro všechny ostatní dvojice indexů i, j, takže máme
Cn =







1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0







,
7
a vezměme dále matici Dn = (dij) řádu n, kde d12 = 1 a dij = 0
pro všechny ostatní dvojice indexů i, j, takže máme
Dn =







0 1 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0







.
Pak vychází Cn  Dn = Dn, zatímco Dn  Cn = Onn.
Transponovaná matice
Mějme matici
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn





.
typu m/n nad okruhem (R, +, ). Uvažme matici A typu n/m,
která vznikne z matice A záměnou řádků a sloupců, tedy matici
A =





a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
...
...
...
a1n a2n . . . amn





.
O matici A říkáme, že je to matice transponovaná k matici A.
Je jasné, že pro zmíněnou matici A = (aij) typu m/n nad
okruhem (R, +, ) pak platí
(A ) = A.
Transponováním libovolné matice x typu 1/n nad (R, +, ) do-
staneme matici x typu n/1 a transponováním libovolné matice
8
y typu m/1 nad (R, +, ) dostaneme matici y typu 1/m. Od-
tud je pak rovněž zřejmé, že pro již zmíněnou matici A = (aij)
typu m/n nad (R, +, ), pro každé i  {1, 2, . . . , m} a pro každé
j  {1, 2, . . . , n} platí rovnosti
si(A ) = ri(A) a rj(A ) = sj(A) .
Je-li navíc okruh (R, +, ) komutativní, pak z komutativity
násobení v tomto okruhu pro libovolnou matici x typu 1/n a pro
libovolnou matici y typu n/1, obě nad (R, +, ), plyne rovnost
x  y = y  x
prvků z R. Odtud a z definice násobení matic pak plyne násle-
dující fakt:
Tvrzení. Je-li (R, +, ) komutativní okruh, pak pro libovol-
nou matici A = (aij) typu m/n a pro libovolnou matici B = (bjk)
typu n/p, obě nad okruhem (R, +, ), platí
(A  B) = B  A .
Důkaz. Opět použijeme dvoukrokovou definici součinu ma-
tic. Obě matice (A  B) i B  A jsou typu p/m. Přitom podle
zmíněné definice součinu matic pro libovolná i  {1, 2, . . . , m}
a k  {1, 2, . . . , p} je prvek v i-tém řádku a k-tém sloupci ma-
tice A  B roven ri(A)  sk(B), takže prvek v k-tém řádku a
i-tém sloupci matice (AB) je taktéž roven ri(A)sk(B). Prvek
v k-tém řádku a i-tém sloupci matice B  A je podle zmíněné
definice součinu matic roven rk(B )  si(A ) = sk(B)  ri(A) .
Podle poslední poznámky před tímto tvrzením ovšem platí rov-
nost
ri(A)  sk(B) = sk(B)  ri(A)
pro všechna uvedená i, k. To potvrzuje, že (A  B) = B  A .
9
Blokové matice
V některých situacích bývá vhodné mít danou matici A nad
okruhem (R, +.) rozdělenou několika vodorovnými a svislými
čarami na části nazývané bloky, což jsou opět matice nad okru-
hem (R, +, ) obecně menších rozměrů. Na samotnou matici A
pak lze pohlížet nikoliv jen jako na matici nad (R, +, ), ale také
jako na matici, jejímiž prvky jsou její bloky. Formálně přesná
definice následuje.
Bloková matice je matice A = (Aij) typu m/n, jejímiž prv-
ky jsou matice Aij nad okruhem (R, +, ) navzájem kompatibil-
ních rozměrů. To znamená, že existují přirozená čísla r1, . . . , rm
a s1, . . . , sn taková, že pro každé i  {1, . . . , m} a každé
j  {1, . . . , n} je matice Aij typu ri/sj :
s1 s2 s3
. . .
sn
A =
r1{
r2{
r3{
...
rm{







A11 A12 A13 . . . A1n
A21 A22 A23 . . . A2n
A31 A32 A33 . . . A3n
...
...
...
...
Am1 Am2 Am3 . . . Amn







Vypíšeme-li tedy v zápisu této blokové matice A = (Aij) každý
blok Aij pomocí jeho prvků, můžeme na matici A pohlížet prostě
jako na matici typu r1 +    + rm s1 +    + sn nad (R, +, ).
Lze tedy uvedeným způsobem blokové matice chápat jako
běžné matice. Tím jsou pak i pro blokové matice definovány
operace sčítání a násobení matic. Jsou-li ovšem sčítané, případně
násobené matice rozděleny do bloků "sobě odpovídajícím způ-
sobem", pak jejich součet, případně součin je matice, kterou lze
opět zapsat jako blokovou matici. Navíc v takovém případě je
10
možno zmíněné operace provádět "po blocích". Podrobně to vy-
padá, jak je uvedeno dále.
Jsou-li A = (Aij) a B = (Bij) dvě blokové matice typu m/n,
přičemž pro každé i  {1, . . . , m} a každé j  {1, . . . , n} jsou
Aij i Bij matice typu ri/sj nad (R, +, ), pak pro součet těchto
blokových matic platí
A + B = Aij + Bij ,
což vyjadřuje fakt, že A + B je opět bloková matice typu m/n,
jejímiž bloky jsou matice Aij + Bij typů ri/sj.
Je-li A = (Aij) bloková matice typu m/n, přičemž pro každé
i  {1, . . . , m} a každé j  {1, . . . , n} je Aij matice typu ri/sj
nad (R, +, ), a je-li C = (Cjk) bloková matice typu n/p, přičemž
pro každé j  {1, . . . , n} a každé k  {1, . . . , p} je Cjk matice
typu sj/tk nad (R, +, ), pak lze ukázat, že pro součin těchto
blokových matic platí
A  C =
n
j=1
Aij  Cjk ,
což v tomto případě vyjadřuje fakt, že A  C je bloková matice
typu m/p, jejímiž bloky jsou matice n
j=1 Aij  Cjk typů ri/tk.
Ověření tohoto faktu je snazší provést na příkladech, jejichž pro-
počtem se ozřejmí princip, který je příčinou toho, že toto tvrzení
platí v plné obecnosti, jak je zde uvedeno.
11