1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení. Ide štruktúry, ktoré zahŕňame pod pojem poľa a pojem vektorového priestoru. Prvky poľa budeme nazývať skaláry, a niekedy len čísla. Fyzikálne ich možno in- terpretovať ako hodnoty fyzikálnych veličín, ktoré sú určené iba svojou veľkosťou a znamienkom. Prvky vektorového priestoru, t. j. vektory, zasa zodpovedajú fyzikálnym veličinám, ktoré sú okrem veľkosti určené tiež smerom a orientáciou. 1.1. Základné číselné obory Predpokladáme, že čitateľ pozná základné číselné obory, ako sú prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla a komplexné čísla. Každý z týchto číselných obo- rov tvorí množinu. Dohodneme sa, že ich budeme označovať tzv. tučnými tabuľovými písmenami: N ­ množina všetkých prirodzených čísel, Z ­ množina všetkých celých čísel, Q ­ množina všetkých racionálnych čísel, R ­ množina všetkých reálnych čísel, C ­ množina všetkých komplexných čísel. Ešte poznamenajme, že i nulu považujeme za prirodzené číslo, t. j. 0 N. Imaginárnu jednotku (ktorá je prvkom C R) budeme značiť i. Konštatovaním, že uvedené číselné obory tvoria množiny, sme však ich štruktúru zďaleka nevyčerpali. Omnoho dôležitejšie je, že na každej z týchto množín sú definované dve binárne operácie, sčítanie + a násobenie . Pritom na každej z uvedených množín sú obe tieto operácie asociatívne a komutatívne. Navyše, násobenie je (z oboch strán) distributívne vzhľadom na sčítanie, t. j. pre všetky prvky x, y, z príslušnej množiny platí x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz. Číselný obor N je v porovnaní s obormi Z, Q, R a C akýsi " chudobnejší" ­ kým rovnice tvaru x + a = b majú v oboroch Z, Q, R, C riešenie x = b - a pre ľubovoľné a, b, v N je takáto rovnica riešiteľná len ak a b. Obory Q, R a C sú však " bohatšie" nielen v porovnaní s N no i so Z ­ rovnice tvaru ax = b majú v oboroch Q, R, C riešenie pre ľubovoľné a = 0 a b, kým v N či Z sú riešiteľné len ak a je deliteľom b. Nás budú zaujímať práve vlastnosti číselných oborov Q, R a C s operáciami sčítania a násobenia. Pritom využijeme, že uvedené operácie na týchto oboroch majú rad spo- ločných vlastností, čo nám umožňuje skúmať ich do veľkej miery jednotným spôsobom a súčasne. To dosiahneme tým, že sformulujeme abstraktný pojem poľa, pod ktorý za- hrnieme všetky spomínané prípady, ako i mnohé ďalšie, ktoré sa nám objavia až akosi 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA dodatočne. Ako sme spomínali už v úvode, práve takýto prístup je charakteristický pre algebru, presnejšie, v ňom spočíva jej podstata. 1.2. Polia Poľom nazývame množinu K s dvoma význačnými prvkami ­ nulou 0 a jednotkou 1 ­ a dvomi binárnymi operáciami na K ­ sčítaním + a násobením ­ takými, že platí ( a, b K)(a + b = b + a), ( a, b K)(a b = b a), ( a, b, c K)(a + (b + c) = (a + b) + c), ( a, b, c K)(a (b c) = (a b) c), ( a K)(a + 0 = a), ( a K)(1 a = a), ( a K)( b K)(a + b = 0), ( a K {0})( b K)(a b = 1), ( a, b, c K)(a (b + c) = (a b) + (a c)), 0 = 1. Teda sčítanie a násobenie v poli sú komutatívne a asociatívne operácie a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Ďalej 0 je neutrálny prvok sčítania a 1 je neutrálny prvok násobenia, pričom tieto dva prvky sú rôzne. Jednoducho možno nahliadnuť, že prvok b K taký, že a + b = 0, t. j. inverzný prvok vzhľadom na operáciu sčítania, je k danému prvku a K určený jednoznačne (pozri paragraf 0.4). Tento jednoznačne určený prvok k danému a označujeme -a a nazývame opačný prvok k a. Miesto a+(-b) zvykneme písať len a-b. Takisto prvok b K taký, že ab = 1, je k danému 0 = a K určený jednoznačne ­ označujeme ho a-1 alebo 1 a , prípadne 1/a a nazývame inverzný prvok k a alebo prevrátená hodnota prvku a. Miesto a b-1 píšeme tiež a b alebo a/b. Znak násobenia budeme väčšinou vynechávať a násobenie bude mať prednosť pred sčítaním, teda napr. miesto (ab)+c budeme písať len ab+c. Asociatívnosť nám umožňuje vynechávať zátvorky a súčty či súčiny ľubovoľných konečných postupností prvkov poľa jednoznačne zapisovať v tvare a1+a2+. . .+an resp. a1a2. . .an prípadne len a1a2 . . . an; komutatívnosť nám navyše dovoľuje nestarať sa o poradie sčítancov resp. činiteľov. Kvôli úplnosti sa dohodneme, že pre n = 1 sa oba uvedené výrazy rovnajú a1; pre n = 0 kladieme prázdny súčet rovný 0 a prázdný súčin rovný 1. Ak a1 = . . . = an = a, tak miesto a1 + . . . + an píšeme na a miesto a1 . . . an len an . Teraz si ukážeme, ako možno niektoré najzákladnejšie pravidlá počítania, na ktoré sme zvyknutí v číselných oboroch Q, R a C, odvodiť len z axióm poľa. Zhrnieme ich do nasledujúceho tvrdenia. Okrem iného z neho vyplýva, že k 0 nemôže v poli existovať inverzný prvok (podmienka (c)). 1.2.1. Tvrdenie. Nech K je pole. Potom pre ľubovoľné n N a a, b, c, b1, . . . , bn K platí (a) a + b = a + c b = c, (b) (ab = ac & a = 0) b = c, (c) a0 = 0, (d) ab = 0 (a = 0 b = 0), (e) -a = (-1)a, (f) a(b - c) = ab - ac, (g) a(b1 + . . . + bn) = ab1 + . . . + abn. 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 3 Dôkaz. (a), (b) Keďže obe podmienky možno dokázať v podstate rovnako, urobíme to len pre druhú z nich. Z ab = ac vyplýva a-1 ab = a-1 ac. Ľavá strana sa rovná b a pravá c. (c) a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0. Podľa (a) z toho vyplýva a0 = 0. (d) Nech ab = 0. Potom podľa (c) ab = 0 = a0. Ak a = 0, tak podľa (b) z toho vyplýva b = 0. (e) Vďaka jednoznačnosti opačného prvku k a stačí overiť, že (-1)a + a = 0. Jedno- duchý výpočet dáva (-1)a + a = (-1)a + 1a = (-1 + 1)a = 0a = 0 podľa (c). (f) Podľa (e) a(b - c) = a(b + (-1)c) = ab + a(-1)c = ab + (-1)ac = ab - ac. (g) Rovnosť zrejme platí pre n = 0, 1, 2. Keby neplatila pre všetky prirodzené čísla, označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré existujú a, b1, . . . , bn K také, že uvedená rovnosť neplatí. Potom n > 2 a pre n - 1 rovnosť platí. Preto a(b1 + . . . + bn-1 + bn) = a(b1 + . . . + bn-1) + abn = ab1 + . . . + abn-1 + abn. To je však spor. Doplňme, že podmienky (a) a (b) sa nazývajú pravidlá krátenia pre sčítanie resp. násobenie v poli. Podmienka (e) nám umožňuje zaviesť ľubovoľné celočíselné násobky prvkov z poľa. Pre a K, n N kladieme (-n)a = -(na) = n(-a). Podobne možno pre nenulové prvky poľa zaviesť i ľubovoľné celočíselné mocniny. Pre 0 = a K, n N kladieme a-n = (an )-1 = (a-1 )n . Čitateľovi prenechávame, aby si sám odvodil nasledujúce rovnosti známe z bežných číselných oborov: 0a = 0, 1a = a, a K, n(a + b) = na + nb, a, b K, n Z, (m + n)a = ma + na, a K, m, n Z, (mn)a = m(na), a K, m, n Z, (mn)(ab) = (ma)(nb), a, b K, m, n Z, a0 = 1, a1 = a, a K, (ab)n = an bn , a, b K, n Z, n < 0 a = 0 = b, am+n = am an , a K, m, n Z, (m < 0 n < 0) a = 0, amn = (am )n , a K, m, n Z, (m < 0 n < 0) a = 0, Ešte podotýkame, že v rovnostiach v prvom a šiestom riadku označujú 0 a 1 na ľavých stranách prirodzené čísla, t. j. prvky množiny N, kým 0 a 1 na pravých stranách v prvom riadku označujú prvky poľa K. Vzhľadom na to, že pre všetky tri príklady polí, s ktorými sme doteraz stretli, platí N K, môže sa nám toto rozlíšenie zdať nepodstatné. Vo všeobecnosti však uvedená inklúzia platiť nemusí. Nech K je pole a L K. Hovoríme, že L je podpole poľa K, ak 0, 1 L a pre všetky a, b L platí a + b L, ab L, -a L a, ak a = 0, tak aj a-1 L. Inak povedané, podpole poľa K je taká jeho podmnožina L, ktorá obsahuje nulu a jednotku 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA a je uzavretá vzhľadom na sčítanie, násobenie, opačný a inverzný prvok. Zrejme každé podpole poľa K je s týmito operáciami zúženými z K na L i samo poľom. Hovoríme tiež, že pole K je rozšírením poľa L. Zrejme pole Q je podpoľom poľa R i poľa C; pole C je rozšírením poľa Q aj R. Charakteristikou poľa K, označenie char K, nazývame najmenšie kladné celé číslo n také, že n1 = 0; ak také n neexistuje, t. j. n1 = 0 pre každé celé n > 0, hovoríme že K má charakteristiku (niektorí autori vtedy kladú char K = 0). Ak pole K je rozšírením poľa L, tak polia K a L majú tú istú jednotku, preto char K = char L. Zrejme char Q = char R = char C = . 1.2.2. Veta. Nech K je pole. Potom char K je alebo prvočíslo. Dôkaz. Keďže 0 = 1, zrejme char K > 1. Predpokladajme, že char K = n je zložené číslo. Potom existujú celé čísla k, l > 1 také, že n = kl. Keďže k, l < n, je k1 = 0 = l1. Na druhej strane (k1)(l1) = (kl)(1 1) = n1 = 0. Podľa 1.2.1(d) z toho vyplýva k1 = 0 alebo l1 = 0, čo je spor. 1.3. Polia Zp V tomto krátkom paragrafe si ukážeme príklady polí, ktorých charakteristika nie je . Z toho dôvodu sa tieto polia výrazne odlišujú od našich dôverne známych číselných polí. Presnejšie, pre každé prvočíslo p zostrojíme isté konečné pole Zp, ktoré má p prvkov a charakteristiku p. Na druhej strane, spomínané číselné polia (ako vôbec všetky polia nekonečnej charakteristiky) sú nekonečné. Poznamenajme, že pre každé prvočíslo p a kladné celé číslo k existuje pk -prvkové pole s charakteristikou p ako aj nekonečné polia charakteristiky p. Ich konštrukcia však presahuje rámec nášho úvodného kurzu. Pre potreby matematickej analýzy, teda aj z hľadiska fyzikálnych aplikácií, sú naj- dôležitejšími poľami R a C. Konečné polia však v súčasnosti zohrávajú dôležitú úlohu napr. v kódovaní a kryptografii. Pre každé kladné celé číslo n označme Zn = {k N; k < n} = {0, 1, . . . , n - 1}. Množinu Zn zo zrejmých dôvodov (pozri cvičenia 0.3 a 0.16) nazývame množinou zvyško- vých tried modulo n. Na tejto množine teraz zavedieme dve binárne operácie ­ sčítanie a násobenie (toto trochu ťažkopádne označenie budeme používať len v tomto paragrafe, neskôr sa vrátime k obvyklým + a ; v definícii však treba odlíšiť sčítanie a násobenie v Zn od príslušných operácií v Z). Pre a, b Zn kladieme a b = zvyšok po delení (a + b) : n, a b = zvyšok po delení (ab) : n. Čitateľovi prenechávame na overenie (prípadne na uverenie), že a sú asociatívne a komutatívne operácie na Zn a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Ďalej 0 je neutrálny prvok sčítania a, pre n > 1, je 1 neutrálny prvok násobenia. Navyše a = n - a je opačný prvok k a Zn {0}; pre a = 0 je samozrejme 0 = 0. 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 5 1.3.1. Veta. Množina Zn s operáciami a je pole práve vtedy, keď n je prvočíslo. Dôkaz. Zrejme n je najmenšie kladné celé číslo také, že n1 = 1 . . . 1 n-krát = 0. Preto, ak Zn je pole, tak char Zn = n, a podľa 1.2.2 je n prvočíslo. Dokážeme, že Zp je pole pre každé prvočíslo p. Najprv overíme, že v Zp platí zákon o krátení (a b = a c & a = 0) b = c. Rovnosť a b = a c znamená, že číslo ab - ac = a(b - c) je deliteľné číslom p. Keďže p je prvočíslo, musí byť aspoň jedno z čísel a, b - c deliteľné číslom p. Nakoľko 0 < a < p, može to byť len b - c. Pre b, c Zp to však znamená b = c. Zostáva overiť existenciu inverzného prvku ku každému 0 = a Zp. Uvažujme postupnosť mocnín a1 = a, a2 = a a, a3 = a a a, . . . , atď. Keďže a = 0, z dokázaného krátenia vyplýva, že všetky jej členy sú nenulové. Pretože množina Zp je konečná, nemôžu byť všetky členy uvedenej postupnosti rôzne. Musia preto existovať kladné celé čísla k, l také, že ak = ak+l = ak al . Potom platí ak al = ak 1, z čoho krátením dostávame al = 1. Keďže al = a al-1 , je a-1 = al-1 inverzný prvok k a. Multiplikatívne tabuľky sčítania a násobenia v poli Z5 sme si ako príklady binárnych operácií uviedli v paragrafe 0.4. 1.4. Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore Vektory v rovine či v priestore si predstavujeme ako orientované úsečky, t. j. úsečky, kto- rých jeden krajný bod považujeme za počiatočný a druhý za koncový ­ ten je označený šípkou. Pritom dve rovnako dlhé, rovnobežné a súhlasne orientované úsečky predstavujú ten istý vektor ­ hovoríme, že sú umiestneniami toho istého vektora. Ak si teda zvo- líme nejaký pevný bod O, tak všetky vektory v rovine či priestore môžeme jednoznačne reprezentovať ako orientované úsečky - OA s počiatkom v O, pričom ich koncom môže byť ľubovoľný bod A roviny či priestoru, bod O nevynímajúc ­ orientovaná úsečka - OO totiž predstavuje tzv. nulový vektor. Vektory v rovine i v priestore možno sčítať pomocou tzv. vektorového rovnobežníka. Súčet vektorov u = - OA, v = - OB je potom znázornený orientovanou uhlopriečkou u + v = - OC rovnobežníka, ktorého dve priľahlé strany tvoria úsečky OA, OB. Vektory možno taktiež násobiť ľubovoľnými skalármi, t. j. reálnymi číslami: ak c R a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná úsečka s počiatkom v O, ktorej dĺžka je |c|-násobkom dlžky úsečky v, leží na tej istej priamke ako v a je orientovaná súhlasne s v, ak c > 0, resp. nesúhlasne s v, ak c < 0, (ak c = 0 alebo v je nulový vektor, tak, samozrejme, aj cv je nulový vektor, takže nezáleží na jeho smere ani orientácii). Ak si okrem počiatku O zvolíme v rovine či priestore ešte dve resp. tri súradné osi, t. j. navzájom kolmé priamky prechádzajúce počiatkom, a na každej z nich jeden bod v rovnakej jednotkovej vzdialenosti od počiatku, dostaneme pravouhlý súradnicový systém v rovine či v priestore. Každý bod roviny či priestoru je potom jednoznačne 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA u v u + v O A B C Obr. 1.1. Vektorov rovnobenk určený usporiadanou dvojicou, resp. trojicou svojich súradníc a tiež naopak, každá dvo- jica resp. trojica súradníc jednoznačne určuje nejaký bod roviny či priestoru. Taktiež každý vektor v rovine či v priestore je potom jednoznačne určený súradnicami svojho koncového bodu a tiež naopak ľubovoľná usporiadaná dvojica resp. trojica súradníc jed- noznačne určuje nejaký vektor v rovine či priestore. Pri pevnom súradnicovom systéme tak možno množinu všetkých vektorov v rovine stotožniť s množinou R2 a množinu všetkých vektorov v priestore s množinou R3 . Ak (pri takomto stotožnení) u = (u1, u2) R2 , v = (v1, v2) R2 sú dva vektory v ro- vine, tak ľahko nahliadneme, že pre ich súčet u + v, daný vektorovým rovnobežníkom, platí u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2). Ak c R, tak pre skalárny násobok cu dostávame cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2). Podobne možno reprezentovať aj operácie súčtu a skalárneho násobku vektorov v prie- store príslušnými operáciami na množine R3 všetkých usporiadaných trojíc reálnych čísel. Ešte si všimnime, že predpoklady kolmosti súradných osí a rovnosti jednotkových dĺžok v jednotlivých smeroch nehrali v našich úvahách nijakú úlohu. Stačí, aby sys- tém súradných osí tvorili dve rôznobežné priamky (v rovine) resp. tri nekomplanárne priamky (v priestore) pretínajúce sa v počiatku O. Za jednotkové dĺžky v smeroch jednotlivých súradných osí možno zvoliť dĺžky ľubovoľných (nie nevyhnutne rovnako dlhých) úsečiek. Operácie súčtu vektorov a násobenia vektora skalárom majú rad vlastností, ktoré nie sú viazané len na ich špecifickú geometrickú reprezentáciu v rovine či priestore. Naprí- klad, prostredníctvom súradnicovej reprezentácie vektorov by sme ich mohli priamočiaro zovšeobecniť na usporiadané n-tice skalárov z ľubovoľného poľa K pre akékoľvek n N. Tým by sme dostali akési " n-rozmerné vektorové priestory nad poľom K". V duchu algebry teraz zadefinujeme abstraktný pojem vektorového priestoru nad daným poľom, pričom budeme abstrahovať od akýchkoľvek súradníc aj " dimenzie". Podstatné budú pre nás len algebraické vlastnosti operácií súčtu vektorov a skalárneho násobku vek- tora. K spomínaným príkladom sa však budeme sústavne vracať. 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 7 1.5. Vektorové priestory Nech K je pole. Vektorovým alebo tiež lineárnym priestorom nad poľom K nazý- vame množinu V s význačným prvkom 0 a dvomi binárnymi operáciami ­ sčítaním + : V × V V a násobením : K × V V ­ takými, že platí ( x, y, z V )(x + (y + z) = (x + y) + z)), ( x, y V )(x + y = y + x), ( x V )(x + 0 = x), ( x V )( y V )(x + y = 0), ( a, b K)( x V )(a (b x) = (ab) x), ( x V )(1 x = x), ( a K)( x, y V )(a (x + y) = (a x) + (a y)), ( a, b K)( x V )((a + b) x = (a x) + (b x)). Ako si čitateľ asi všimol, skaláry značíme " obyčajnými" malými latinskými písmenami a vektory tučnými malými latinskými písmenami. Tejto implicitnej dohody sa budeme väčšinou držať, nie však za každú cenu. Kedykoľvek by nás obmedzovala, nebudeme váhať ju porušiť. I keď sčítanie skalárov v poli a sčítanie vektorov značíme rovnakým znakom +, ide o rôzne operácie. Podobne násobenie v poli a násobenie vektora skalárom sú rôzne operácie, hoci obe značíme . Neskôr tento prístup dovedieme ešte ďalej, keď budeme rovnako značiť príslušné operácie a nuly v rôznych vektorových priestoroch. Rozlišovanie znakov pre nulu 0 K a 0 V , hoci tieto prvky plnia rovnakú funkciu v K resp. vo V , je tak trochu proti duchu tohto prístupu. Ide vlastne o zbytočný luxus, ktorý je však v zhode s prijatou dohodou o značení skalárov a vektorov. Z formálneho hľadiska pripomínajú axiómy vektorového priestoru axiómy poľa: sčí- tanie vektorov je opäť asociatívna a komutatívna binárna operácia na V s neutrál- nym prvkom 0 V , operácia násobenia vektora skalárom tiež spĺňa akúsi podmienku " asociatívnosti", 1 K je jej " neutrálnym prvkom" a platia dva " distributívne zákony". Je tu však jeden podstatný rozdiel ­ kým násobenie v poli K je binárnou operáciou na množine K, t. j. zobrazením : K × K K, násobenie vo vektorovom priestore V nad poľom K nie je binárnou operáciou na V , ale binárnou operáciou : K × V V . To nám však nebráni zaviesť obdobné dohody ako pre operácie v poli: i teraz bude mať ná- sobenie prednosť pre sčítaním a znak násobenia budeme väčšinou vynechávať, t. j. písať napr. ax + y miesto (a x) + y. Takisto budeme vynechávať zátvorky, ktorých umiest- nenie neovplyvní výslednú hodnotu výrazov ako napr. v abx alebo a1x1 + . . . + anxn. Posledný výraz budeme tiež značiť n i=1 aixi a nazývať lineárnou kombináciou vektorov x1, . . . , xn s koeficientmi a1, . . . , an. Špe- ciálne pre n = 1 to znamená 1 i=1 aixi = a1x1; kvôli úplnosti pre n = 0 ešte kladieme prázdnu lineárnu kombináciu 0 i=1 aixi rovnú 0. 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Podobne ako v prípade polí, možno z axióm vektorových priestorov odvodiť niekto- ré základne pravidlá pre počítanie so skalármi a vektormi. Predovšetkým prvok y V taký, že x+y = 0, je k danému x V určený jednoznačne ­ značíme ho -x a nazývame opačný vektor k x. Namiesto x + (-y) opäť píšeme len x - y. Tieto pravidlá zhrnieme v nasledujúcej analógii tvrdenia 1.3.1. 1.5.1. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. Potom pre ľubovoľné n N, a, b, a1, . . . , an K a x, y, z, x1, . . . , xn V platí (a) x + y = x + z y = z, (b) (ax = ay & a = 0) x = y, (ax = bx & x = 0) a = b, (c) a0 = 0 = 0x, (d) ax = 0 (a = 0 x = 0), (e) -x = (-1)x, (f) a(x - y) = ax - ay, (a - b)x = ax - bx, (g) a(x1 + . . . + xn) = ax1 + . . . + axn, (a1 + . . . + an)x = a1x + . . . + anx. Dôkaz. Všetky podmienky, s výnimkou druhej implikácie v (b), možno dokázať celkom analogicky ako príslušné časti tvrdenia 1.2.1. Dokážeme aj túto. Nech ax = bx a x = 0. Potom (a - b)x = ax - bx = 0. Podľa (d) z toho vyplýva a - b = 0, teda a = b. Práve definované vektorové priestory by sme presnejšie mohli nazvať " ľavými" vekto- rovými priestormi, lebo v operácii skalárneho násobku píšeme skalár vľavo od vektora. Celkom obdobne by sme mohli definovať aj " pravé" vektorové priestory, v ktorých by sme operáciu skalárneho násobku chápali ako zobrazenie V × K V a zapisovali ju v tvare x a alebo len xa pre x V , a K. Vďaka komutatívnosti násobenia v poli K si však môžeme dovoliť chápať naše " ľavé" vektorové priestory zároveň ako " pravé". Pre všetky a K, x V jednoducho položíme xa = ax. Jediný problém ­ zabezpečiť pre všetky a, b K, x V rovnosť (ab)x = (ba)x, ktorá z takejto definície vyplýva výpočtom (ab)x = a(bx) = a(xb) = (xb)a = x(ba) = (ba)x, ­ je vyriešený práve v dôsledku komutatívnosti násobenia v K. Teda, ak sa nám v ope- rácii skalárneho násobku vyskytne skalár vpravo od vektora, nemusí nás to vyviesť z miery ­ kľudne ho môžeme prehodiť vľavo a ani o zátvorky sa nemusíme príliš starať. 1.6. Príklady vektorových priestorov 1.6.1. Rozšírenia polí. Zrejme každé pole K možno považovať za vektorový prie- stor nad sebou samým. Všeobecnejšie, ak pole L je rozšírením poľa K, tak L možno považovať za vektorový priestor nad poľom K (formálne stačí " zabudnúť" násobenie niektorých dvojíc prvkov a, b L a súčin ab pripustiť len pre a K, b L). Podobným spôsobom možno vektorový priestor V nad poľom L zúžením násobenia L × V V na násobenie K × V V prerobiť na vektorový priestor nad poľom K. 1.6.2. n-rozmerné riadkové a stĺpcové vektory nad daným poľom. Pre ľubo- voľné pole K a n N množina Kn = {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn K} 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 9 všetkých usporiadaných n-tíc prvkov z K spolu s operáciami x + y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn), cx = c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn), kde x = (x1, . . . , xn) Kn , y = (y1, . . . , yn) Kn a c K, tvorí vektorový priestor nad poľom K. Zrejme usporiadaná n-tica 0n = (0, . . . , 0) hrá úlohu nuly v Kn . Ak bude potrebné rozlíšiť nulové vektory v priestoroch Kn pre rôzne prirodzené čísla n, budeme pre nulu v Kn používať označenie 0n. Opačný prvok k x = (x1, . . . , xn) Kn je zrejme -x = -(x1, . . . , xn) = (-x1, . . . , -xn) Hovoríme, že operácie na Kn sú definované po zložkách. Prvky tohto vektorového pries- toru nazývame n-rozmerné riadkové vektory nad poľom K. Kvôli úplnosti ešte pozna- menajme, že vektorový priestor K0 pozostáva z jediného prvku , predstavujúceho " usporiadanú nulaticu", ktorá tak je nevyhnutne nulou v K0 . Niekedy je (a väčšinou i bude) výhodnejšie pracovať s n-rozmernými stĺpcovými vek- tormi nad poľom K, t. j. s vektormi tvaru x = x1 ... xn , kde x1, . . . , xn K. Čitateľ si iste sám doplní definície príslušných operácií (opäť po zložkách) a dalšie podrobnosti. Pokiaľ nebude hroziť nedorozumenie, budeme i tento priestor označovať Kn , prípadne len slovne naznačíme, či tým máme na mysli priestor n-rozmerných riadkových alebo stĺpcových vektorov. V súlade s tým 0n alebo len 0 môže označovať aj nulový vektor-stĺpec. 1.6.3. Polynómy nad daným poľom. Pod polynómom alebo tiež mnohočlenom f(x) stupňa n, kde n N, v premennej x nad poľom K rozumieme formálny výraz tvaru f(x) = a0 + a1x + . . . + an-1xn-1 + anxn = n i=0 aixi , kde a0, a1, . . . , an-1, an sú skaláry, nazývané koeficienty polynómu f, a an = 0; nulu 0 K považujeme za polynóm stupňa -1 a nenulové skaláry a K za polynómy stupňa 0. Zrejme každý polynóm f(x) definuje (rovnako značenú) funkciu f : K K danú predpisom c f(c), t. j. dosadením konkrétnych hodnôt c K za premennú x do polynómu f(x). Množinu všetkých polynómov v premennej x nad K stupňa nanajvýš n, kde -1 n Z, budeme značiť K(n) [x]; množinu všetkých polynómov v premennej x nad K značíme K[x]. Ľubovoľný polynóm g(x) = m i=0 bixi K[x] stupňa m < n môžeme tiež písať v tvare g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm + 0xm+1 + . . . + 0xn , 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA t. j. v tvare g(x) = n i=0 bixi , kde bi = 0 pre m < i n. S použitím tejto konvencie možno definovať súčet f(x) + g(x) polynómov f(x) = n i=0 aixi , g(x) = m i=0 bixi z K[x] predpisom (f + g)(x) = f(x) + g(x) = max(m,n) i=0 (ai + bi)xi . Ak navyše c K, kladieme (cf)(x) = cf(x) n i=0 caixi . Ľahko možno nahliadnuť, že s takto po zložkách definovanými operáciami súčtu a ska- lárneho násobku tvorí každá z množín polynómov K(n) [x], kde -1 n Z, ako i množina všetkých polynómov K[x] vektorový priestor nad poľom K. Štruktúrou vek- torového priestoru sa však algebra polynómov nevyčerpáva. Popri súčte a skalárnom násobku možno na K[x] definovať aj súčin f(x) g(x) uvedených polynómov f(x), g(x) predpisom (fg)(x) = f(x) g(x) = m+n k=0 ckxk , kde ck = k i=0 aibk-i. 1.6.4. Priame súčiny vektorových priestorov. Nech V1 a V2 sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Priamym súčinom (niekedy tiež vonkajším priamym súčtom) priestorov V1, V2 nazývame množinu V1 × V2, t. j. karteziánsky súčin množín V1, V2, s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku definovanými po zložkách. Teda pre (u1, u2), (v1, v2) V1 × V2, c K kladieme (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2), c(u1, u2) = (cu1, cu2). Zrejme (0, 0) je nulou tohto vektorového priestoru a -(u1, u2) = (-u1, -u2) je opačný prvok k (u1, u2). Čitateľovi prenechávame, aby si overil, že priamy súčin V1 ×V2 s takto definovanými operáciami naozaj tvorí vektorový priestor nad poľom K, a taktiež, aby si premyslel, ako možno uvedenú konštrukciu zovšeobecniť na priamy súčin V1 × . . . × Vn ľubovoľného konečného počtu vektorových priestorov V1, . . . , Vn nad K. Ak V = V1 = . . . = Vn, tak píšeme V1 × . . . × Vn = V n a tento vektorový priestor nazývame n-tou priamou mocninou priestoru V . Pre V = K uvedená konštrukcia dáva nám už známy vektorový priestor Kn z 1.5.2. 1.6.5. Vektorové priestory funkcií. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a X je ľubovoľná množina. Pripomeňme, že V X označuje množinu všetkých funkcií f : X V . Teraz ukážeme, ako možno z tejto množiny urobiť vektorový priestor nad poľom K. Operácie súčtu a skalárneho násobku budeme definovať opäť po zložkách. To 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 11 znamená, že pre f, g V X a c K budeme definovať funkcie f + g V X a cf V X tak, že pre každé x X položíme (f + g)(x) = f(x) + g(x), (cf)(x) = cf(x). Znovu možno ľahko nahliadnuť, že V X s takto definovanými operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom K ­ nazývame ho vektorovým priestorom všetkých funkcií z X do V . Nulou vo V X je funkcia 0: X V identicky rovná prvku 0 V ; opačným prvkom k funkcii f V X je funkcia -f V X daná predpisom x -f(x) pre x X. V špeciálnom prípade pre V = K takto dostaneme vektorový priestor KX všetkých funkcií z množiny X do poľa K. Ak K je pole všetkých reálnych prípadne komplexných čísel a X je napr. nejaký uzavretý interval a, b reálnych čísel, tak dostávame vektorové priestory funkcií R a,b resp. C a,b , ktoré sa hojne vyskytujú v matematickej analýze. Cvičenia 1. Vypočítajte v obore komplexných čísel: (a) (5 + 3i) + (7 - i), (b) (11 - 10i) - (8 - 5i), (c) (-2 + 5i) (3 + 2i), (d) (4 - i) (2 + 9i), (e) (12 + 5i)-1, (f) (7 + i)/(3 - 4i). 2. (a) Pre komplexné číslo x = a + bi, kde a, b R, nazývame a = Re x, b = Im x jeho reálnou resp. imaginárnou časťou. Teda Re x aj Im x sú reálne čísla. Dokážte vzorce: Re(x + y) = Re x + Re y, Re(xy) = Re x Re y - Im x Im y, Im(x + y) = Im x + Im y, Im(xy) = Re x Im y + Im x Re y. (b) Ak si v (reálnej) rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, môžeme každé komplexné číslo x = a + bi reprezentovať bodom či vektorom so súradnicami (a, b). Ak prostredníctvom bijekcie x (Re x, Im x) stotožníme každé komplexné číslo s jeho obrazom a množinu C s rovinou (mno- žinou R2), hovoríme o tzv. Gaussovej rovine. Znázornite čísla zo zadaní aj výsledkov cvičenia 1 v Gaussovej rovine. 3. Absolútna hodnota komplexného čísla x = a + bi, kde a, b R, je definovaná ako |x| = a2 + b2, t. j. ako vzdialenosť bodu x od počiatku v Gaussovej rovine. Komplexne združené číslo k číslu x je x = a - bi, t. j. číslo súmerne združené s x podľa reálnej osi. (a) Nájdite absolútne hodnoty jednotlivých čísel zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1. (b) Dokážte nasledujúce vzťahy: Re x = Re x, Im x = - Im x; x = x, xy-1 = (xy)/|y|2 , (y = 0), x + y = x + y, xy = xy, |x| = |x|, |x|2 = xx, |xy| = |x| |y| , |x + y| |x| + |y|. (c) V poslednom vzťahu nastane rovnosť práve vtedy, keď existuje nezáporné číslo c R také, že x = cy alebo y = cx. Dokážte. 4. Každé komplexné číslo x možno vyjadriť v tzv. goniometrickom tvare x = r(cos + i sin ), kde r = |x| a je uhol, ktorý (pre x = 0) zviera v Gaussovej rovine " vektor" - 01 s " vektorom" - 0x (pre x = 0 vyhovuje ľubovoľné R). (a) Pre x = 0 vyjadrite cos a sin pomocou Re x, Im x a |x|. Dokážte, že je určené jednoznačne až na sčítanec 2k, kde k Z. 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA (b) Pre x = r(cos +i sin ), y = s(cos +i sin ) platí xy = rs(cos(+)+i sin(+)). Dokážte. (c) Matematickou indukciou dokážte tzv. Moivreovu vetu: (cos + i sin )n = cos n + i sin n, pre každé n N. Rozšírte jej platnosť na všetky n Z. (d) Vyjadrite všetky čísla zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1 v goniometrickom tvare. (e) Pomocou Moivreovej vety vypočítajte ( 3 + i)11, (1 - i)-7. (f) Na základe Moivreovej vety napíšte vzorec pre všetkých n riešení binomickej rovnice xn = c, kde c C. (Návod: Riešte najprv prípad |c| = 1.) (g) Nájdite všetky riešenia binomických rovníc x3 = ( 3 - i)/2, y4 = 1 + i a z5 = -4 + 3i. 5. Podrobne dokážte vzťahy uvedené za dôkazom tvrdenia 1.2.1. Kde treba, použite matematickú indukciu. 6. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či množina A je podpoľom poľa K. Svoje rozhod- nutie zdôvodnite. (a) K = Q, A = Z; (b) K = R, A = Q 2 = {a + b 2; a, b Q}; (c) K = R, A = -1, 1 ; (d) K = C, A = Z[ i ] = {a + bi; a, b Z}; (e) K = Z11, A = Z5; (f) K = C, A = Q[] = {a + b + c2; a, b, c Q}, kde = (-1 + i 3)/2. 7. Zostrojte multiplikatívne tabuľky sčítania a násobenia v Zn pre 2 n 6. Na ich základe zdôvodnite, prečo Z4 a Z6 nie sú polia. 8. Vynechajme z definície poľa podmienku 0 = 1 a podmienku požadujúcu existenciu inverzného prvku vzhľadom na násobenie ku každému nenulovému prvku a K. Množina K s význačnými prvkami 0, 1 K, vybavená binárnymi operáciami súčtu a súčinu, spĺňajúcimi zvyšné podmienky sa nazýva komutatívny okruh s jednotkou.1 Komutatívny okruh s jednotkou sa nazýva netriviálny, ak v ňom predsa len platí 0 = 1. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Z s obvyklými operáciami súčtu a súčinu je netriviálny komutatívny okruh s jednotkou. (b) Pre každé n N, n = 0, je Zn so sčítaním a násobením modulo n komutatívny okruh s jednotkou. Tento okruh je netriviálny práve vtedy, keď n 2. (c) Komutatívny okruh s jednotkou je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne prvky. 9. (a) V ľubovoľnom komutatívnom okruhu s jednotkou K zadefinujte výrazy tvaru na pre ľubovoľné n Z, a K rovnako ako v poli. Taktiež zadefinujte výrazy tvaru an pre n N, a K. Dokážte pre ne analogické tvrdenia, ako platia v poli. Čo je prekážkou definície an pre všetky n Z? (b) Zadefinujte charakteristiku ľubovoľného komutatívneho okruhu s jednotkou rovnakým spôso- bom ako v prípade poľa. (c) Dokážte, že pre komutatívny okruh s jednotkou K platí char K = 1 práve vtedy, keď K je triviálny. (d) Pre každé n N, n = 0, platí char Zn = n. (e) Pre každé prvočíslo p zostrojte príklad komutatívneho okruhu s jednotkou, ktorý má charak- teristiku p, no nie je poľom. (Návod: Pozri cvičenie 12.) 10. (a) Matematickou indukciou dokážte platnosť binomickej vety v ľubovoľnom komutatívnom okruhu s jednotkou K (teda aj v ľubovoľnom poli). To znamená, že pre všetky n N, a, b K platí (a + b)n = an + n 1 an-1b + . . . + n n-1 abn-1 + bn = n k=0 n k an-kbk. (b) Predpokladajme, že charakteristikou komutatívneho okruhu s jednotkou K je prvočíslo p. Nech m Z je násobkom p. Dokážte, že pre každé c K platí mc = 0. (c) Na základe (a) a (b) dokážte, že v komutatívnom okruhu s jednotkou prvočíselnej charakte- ristiky p platí pre exponent n = p nasledujúci " populárny" variant binomickej vety: (a + b)p = ap + bp . 11. Doplňte vynechané časti dôkazu tvrdenia 1.5.1. 1Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len komutatívny okruh. 1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 13 12. V každom z príkladov 1.6.1­5 podrobne overte, že uvedená množina s príslušnými operáciami tvorí vektorový priestor. 13. Rovnako ako v príklade 1.6.3 zadefinujte pre ľubovoľný komutatívny okruh s jednotkou K množinu K[x] všetkých polynómov v premennej x s koeficientmi z K a na nej operácie súčtu a súčinu. Dokážte, že K[x] s takto definovanými operáciami je opäť komutatívny okruh s jednotkou a platí char K[x] = char K. 14. Na množine R+ všetkých kladných reálnych čísel definujme nové " sčítanie" ako násobenie, t. j. x y = xy. Ďalej definujme novú operáciu " skalárneho násobku" : R × R+ R+ ako umocňovanie, t. j. predpisom a x = xa. Dokážte, že množina R+ s uvedenými operáciami tvorí vektorový priestor nad poľom R. Čo je nulový vektor 0 R+? Ako vyzerá opačný vektor x k vektoru x R+? Vyjadrite pomocou pôvodných operácií násobenia a umocňovania lineárnu kombináciu (a1 x1) . . . (an xn), kde a1, . . . , an R, x1, . . . , xn R+.