2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU V tejto kapitole sa zoznámime s maticami, t. j. obdĺžnikovými tabulkami, pomocou ktorých budeme kódovať najrôznejšie dôležité údaje o vektorových priestoroch, a naučíme sa s nimi zaobchádzať. Niektoré operácie s maticami budú zatiaľ nemotivované, ich význam vyjde najavo až neskôr. Od čitateľa tak žiadame istú dávku trpezlivosti, podobnú tej, akú musí prejaviť prváčik na základnej škole, ktorý tiež musí najprv zvládnuť jednotlivé písmenká, potom sa naučiť, ako sa z nich skladajú slová, a až potom môže začať čítať zmysluplné texty. Tento vklad sa nám zúročí neskôr, keď nám umožní hladko napredovať a nezdržiavať sa pri nepodstatných otázkach. Pri prvom čítaní možno vynechať odstavce venované blokovým maticiam a maticiam nad vektorovými priestormi. Celkom postačí nalistovať si príslušnú časť až vo chvíli, keď sa s blokovými maticami stretneme v ďalších kapitolách. 2.1. Matice nad danou množinou 2.1.1. Typy matíc. Nech X je ľubovoľná množina a m, n G N. Maticou typu m x n, alebo tiež m x n-rozmernou maticou nad množinou X rozumieme obdĺžnikovú tabulku / All «12 • • • Clin \ Ct-21 0-22 ■ ■ ■ Ci2n A= : : •. : > \ ClynX Clm2 • • • Clynri / pozostávajúcu z prvkov množiny X. Skrátene tiež píšeme A = (aij)mXn, alebo len A = (ciij). Prvky a^- G X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, sa nazývajú prvkami matice A. Prvok dij nachádzajúci sa v i-tom riadku a j'-tom stĺpci matice A nazývame tiež prvok v mieste (i, j), prípadne (i, j)-ty prvok matice A. Množinu všetkých m x n-rozmerných matíc nad množinou X značíme XmXn. Ak m = n, hovoríme o štvorcových maticiach rádu n nad množinou X. Poznamenajme, že v prípade, keď niektoré z čísel m, n je 0, množina XmXn pozostáva z jedinej a to prázdnej matice 0. Neskôr sa ukáže rozumné stotožniť túto maticu s tzv. nulovou maticou. Aby sme sa vyhli trivialitám, budeme sa vždy baviť len o maticiach kladných rozmerov m x n, čitateľ by si však mal aspoň občas uvedomiť, že väčšina našich úvah si zachováva platnosť aj v prípade, keď m = 0 alebo n = 0. Dve matice nad množinou X považujeme za navzájom rovné alebo totožné, ak majú rovnaké rozmery a rovnaké prvky na príslušných miestach. To znamená, že pre matice A = (aij)mxn, B = (bij)pxq nad X kladieme A = B práve vtedy, keď m = p, n = q a pre všetky i = 1,... , m, j = 1,... , n platí a^ = bij. Množina matíc typu lxn nad X splýva s množinou Xn, ak usporiadané n-tice prvkov z X zapisujeme do riadku. Podobne, ak usporiadné m-tice prvkov z X zapisujeme do 1 2 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA stĺpca, tak množina matíc typu m x 1 nad X splýva s množinou Xm. Pokiaľ bude z kontextu jasné, či ide o riadky alebo stĺpce, prípadne, ak na tom nebude záležať, budeme písať jednoducho Xn, Xm a pod. Podrobnejšie označenie Xlxn, XmXl a pod. budeme používať, len ak bude treba rozlíšiť riadky a stĺpce. 2.1.2. Riadky a stĺpce matice. Nech A = (a^) E X7 n(A) "mXn, Usporiadanú n-ticu (au, CLi2, • • • , din) E X n, kde 1 < i < m, nazývame i-tym riadkom matice A. Podobne, usporiadnú m-ticu s j (A) a2j kde 1 < j < n, nazývame j-tym stĺpcom matice A. Maticu A tak možno stotožniť so stĺpcom jej riadkov ako aj s riadkom jej stĺpcov, t. j. / All «12 ^21 ^22 O-ln \ \ Ojyji\ ď m 2 Ü2r ar. .1 í ri(A) \ r 2(A) \rm(A)J {s1(A),s2(A),... ,sn(A)). 2.1.3. Transponovaná matica. Maticu, ktorú získame z matice A = (a,ij)mXn záměnou jej riadkov a stĺpcov, nazývame transponovanou maticou k matici A a značíme ju Á1'. Teda trochu podrobnejšie \T / a\\ an, prípadne len 0, keď jej rozmer je jasný z kontextu alebo na ňom nezáleží. Opačným prvkom k matici A = (a,ij)mXn je zrejme matica —A. = (—CLij)mXn. Čitateľ si iste sám ľahko overí, že matice ľubovoľného pevného typu mxn nad poľom K s takto definovanými operáciami súčtu a skalárneho násobku tvoria vektorový priestor nad poľom K. Odteraz teda KmXn už označuje nielen množinu takýchto matíc, ale príslušný vektorový priestor. Nám už známe vektorové priestory Klxn a KmXl riadkových resp. stĺpcových vektorov sú zrejme špeciálnymi prípadmi vektorových priestorov matíc. 2.2.2. Násobenie matíc. Okrem štruktúry vektorového priestoru na množine matíc pevného typu mxn budeme definovať aj operáciu násobenia matíc, ktorá spája matice rôznych, „vhodne do seba zapadajúcich" rozmerov. Pod vplyvom doterajšieho výkladu čitateľ po takomto nadpise asi očakáva, že i súčin matíc budeme definovať na množine KmXn po zložkách. Hoci by to, samozrejme, bolo možné a na prvý pohľad sa to zdá prirodzené, násobenie matíc budeme definovať diametrálne odlišným spôsobom, ktorý sa nám zatiaľ môže zdať čudný a neprirodzený. Dôvody pre takúto definíciu budú postupne vychádzať najavo a jej prednosti budeme mať mnohokrát možnosť oceniť. Najprv sa naučíme násobiť niektoré dvojice vektorov. Pod súčinom x ■ y riadkového vektora x = (x±,... ,xn) G Klxn a stĺpcového vektora y = (yi,... ,yn)T & KnXl rozumieme skalár X • y \-£l) • • • j %n) ŕvA \ynj xiyi + • • • + xnyn = ^2 x%y% í=i Teda, až na „nepochopiteľné" miešanie riadkových a stĺpcových vektorov, ide o bežný „skalárny súčin" vektorov x, y E Kn. Pre takto definovaný súčin vektorov sú tiež splnené dobre známe vlastnosti „skalárneho súčinu". Ľahko možno nahliadnuť, prípadne priamym výpočtom overiť, že pre 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 5 všetky n G N, c G K a x, x' G iŕlxn, y, y' G iŕnXl platí x- (y + y') = xy + xy', (x + x') ■ y = x ■ y + x' ■ y, x ■ cy = c(x ■ y) = ex ■ y, T T x ■ y = y ■ x . Hovoríme, že násobenie riadkových a stĺpcových vektorov je distributivně (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie a komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Poslednú rovnosť možno chápať ako svojho druhu „komutatívnosť" tohto súčinu; vďačíme za ňu komutatívnosti násobenia v poli K. Nech m, n,p G N a A = (aij)mXn, B = (bjk)nxP- Pod súčinom matíc A, B rozumieme maticu A B = (rt(A) ■ sk(B))mXp. Všimnime si, že súčin matíc A, B je definovaný, len ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B, t. j. práve vtedy, keď riadky matice A a stĺpce matice B majú rovnaký rozmer. Ďalej, súčin matíc typov m x n a. n x p je matica typu m x p, čo si možno ľahko zapamätať v symbolickom tvare [m x n] ■ [n x p] = [m x p], pripomínajúcom rozmerové vzťahy vo fyzike. Špeciálne, súčin dvoch štvorcových matíc typu n x n je opäť matica typu n x n. Konečne, prvok na mieste (i, k) matice A ■ B dostaneme ako súčin i-teho riadku matice A a fe-teho stĺpca matice B, teda ako výraz /hk\ Vi(A) ■ Sk(B) = (au,... , ain) ■ \ = aa&ifc + • • • + ainbnk = ^ (iíjbjk ■ \bnk/ •7=1 Na základe toho možno ľahko nahliadnuť (prípadne priamym výpočtom overiť) nasledujúce rovnosti n(A ■ B) = n(A) ■ B, sk(A -B)=A- sk(B). Násobenie matíc je (z oboch strán) distributivně vzhľadom na sčítanie. To znamená že pre ľubovoľné m, n G N a matice A, A' G KmXn, B, B' G KnXp platí A ■ (B + B') = A ■ B + A ■ B', (A + A') ■ B = A- B + A' ■ B. Vďaka distributivnosti súčinu vektorov voči ich súčtu je totiž jasné, že (i, k)-ty prvok matice A ■ (B + B') je n(A) -sk(B + B') = n(A) ■ (sk(B) + sk(B')) = n(A) ■ 8k(B) + n(A) ■ sk(B'), teda sa rovná (i, fe)-temu prvku matice A ■ B + A ■ B'. Rovnako pre druhú rovnosť. 6 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Podobne, s využitím zameniteľnosti súčinu vektorov a skalárneho násobku možno dokázať, že pre ľubovoľný skalár c E K a všetky matice A E KmXn, B E KnXp platí A cB = c(A B) = cA B. Hovoríme, že násobenie matíc komutuje, t. j. je zameniteľné s operáciou skalárneho násobku. Násobenie matíc je tiež asociatívne v nasledujúcom zmysle: súčin matíc A ■ (B ■ C) je definovaný práve vtedy, keď je definovaný súčin (A ■ B) ■ C, a v takom prípade sa obe matice rovnajú. Teda podrobnejšie, pre m, n,p, q E N a. A E KmXn, B E KnXp, C E KpX(i platí A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C. Na dôkaz toho si stačí uvedomiť, že pre ľubovoľné vektory ) E Klxn, y = (ž/i,... ,yP)T eKpx1 platí x- (B y) = (a:i,... ,xn) í ELi bikVk \ \J2Pk=ibnkyk J j=l fc=l p n J2(j2xjbjk)yk = (^Xjbjí,... ^Xjbjp fc=l j=l J = l J = l ŕvA \yp/ (x-B)- y. Potom pre 1 < i < m, 1 < l < q, prvok na mieste (i, l) matice A ■ (B ■ C) je rt(A) ■ Sl(B ■ C) = n(A) ■ (B ■ si(C)) = (n(A) ■ B) ■ 8i(C) = rt(A ■ B) ■ st(C), teda sa rovná (i, /)-tému prvku matice (A ■ B) ■ C. Štvorcovú maticu rádu n, ktorá má všetky prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonály 0, označujeme In a nazývame jednotkovou maticou rádu n. S použitím tzv. Kroneckerovho symbolu 1, ak i = j, 0, ak i ŕ j, môžeme písať /l 0 ... 0 0\ 5. »j \Vij)r 0 1 o o 0 0 ... 1 o Vo o ... o i/ Jednotkové matice hrajú úlohu neutrálnych prvkov pre násobenie matíc. Presnejšie, pre ľubovoľnú maticu A E KmXn platí J-m, ' -A — -A — -A ' J-n- Rozmyslite si prečo. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 7 Špeciálne, množina KnXn všetkých štvorcových matíc rádu n je tak popri štruktúre vektorového priestoru navyše vybavená asociatívnou operáciou násobenia, ktorá je (z oboch strán) distributívna vzhľadom na sčítanie matíc, komutuje s operáciou skalár-neho násobku a jednotková matica In je jej neutrálny prvok. To nám, podobne ako pre prvky poľa K, umožňuje zaviesť i mocniny štvorcových matíc. Pre A G KnXn, kladieme ak 0 < k G N; teda A1 = A, A2 = A ■ A, A3 = A ■ A ■ A, atď. Na druhej strane si treba uvedomiť, že pre n > 1 - napriek komutatívnosti násobenia v poli K - násobenie matíc z pozičných dôvodov nie je komutativně na KnXn. Napríklad (Uvedomte si, že na to, aby oba súčiny AB, BA boli definované a mali rovnaké rozmery, teda, aby vôbec malo zmysel uvažovať o komutatívnosti súčinu, A, B musia byť štvorcové matice rovnakého typu.) Napriek tomu komutatívnosť násobenia v poli K má za dôsledok, že pre všetky m, n, p d, matice A G KmXn, B G KnXp platí rovnosť (A ■ B)T = BT ■ AT. Naozaj, (A ■ B)T aj BT ■ AT sú matice typu p x m a, pre 1 < i < m, 1 < k < p, (k, i)-ty prvok matice (A ■ B)T je (i, k)-ty prvok matice A ■ B, t. j. n(A) • 8k(B) = sk{B)T ■ n(A)T = rk{BT) ■ st(AT), čo je (k, i)-ty prvok matice BT ■ Á1'. Pritom sme využili už spomínanú „komutatívnosť" x V = yT ' xT súčinu vektorov. Na margo poslednej rovnosti ešte podotknime, že pre x G Klxn, y G KmXl je taktiež definovaný súčin y ■ x. Nie je to však skalár, ale matica typu m x n: í yxxx ■ ■ ■ y\xn \ y ' X [1/iXjJmXn ; • . ; \ VmX\ ■ ■ ■ 1/rnXn J Teda, okrem prípadu m = n = 1, rovnosť x ■ y = y ■ x nemôže nastať už z rozmerových dôvodov. 2.2.3. Operácie s blokovými maticami. Operácie maticového súčtu a skalárneho násobku, vďaka tomu, že boli definované po zložkách, možno na blokových maticiach rozložiť na jednotlivé bloky. Ak A = (Aij)kxi, B = (Bij)kxi sú blokové matice nad poľom K, pričom zodpovedajúce si bloky Aý-, B^ majú rovnaký typ m, x rij, tak ich súčet je opäť bloková matica A + B = (Aij + Bij)kxi 8 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA s blokmi rovnakých typov. S operáciou skalárneho násobku je to ešte jednoduchšie, lebo sa nemusíme starať o zhodnosť rozmerov jednotlivých blokov. Pre c E K jednoducho dostávame c A = [cAijjkxl- Bloková štruktúra sa prenáša aj na súčin matíc za podmienky, že stĺpce prvej matice sú v rovnakom poradí rozdelené na rovnaký počet rovnako velkých skupín, povedzme ri\ + n2 + ••• + nu, ako riadky druhej matice. Teda ak A = (Aíj)^Xu, B = (Bjk)uxů sú blokové matice nad K, pričom blok Aij je typu m, x n j a blok Bjk typu n j x pk, tak aj ich súčin je bloková matica tvaru A ■ B = (Cí^^xů, kde blok Cík = Au ■ Bxk + Ai2 ■ B2k + ... + Aiv ■ Buk je typu rrii xpk- Inak povedané, blokové matice násobíme tak ako „obyčajné" matice, len s tým rozdielom, že súčet resp. súčin v poli K nahradíme súčtom resp. súčinom matíc. Vo výsledku, ak chceme, si nakoniec môžeme odmyslieť zátvorky oddeľujúce jednotlivé bloky a matica, ktorú takto dostaneme, sa rovná matici, ktorú by sme dostali, keby sme „normálne" vynásobili „odblokované" matice A a B. Jednotkové matice In sú príkladom tzv. diagonálnych matíc. Štvorcovú maticu A = (o>ij)nxn nazývame diagonálnou, ak atJ = 0 pre všetky i ^ j, t. j. ak všetky jej prvky mimo diagonály sú nuly. Diagonálnu maticu, ktorá má na diagonále postupne prvky d\, d2, ■ ■ ■ ,dn E K značíme diag((ii, d2,. .. , dn). Teda napr. In =diag(l,... , 1). n-krát Podobne možno definovať aj tzv. blokovo diagonálne matice. Ak Ai, A2,... ,Ak sú štvorcové matice rádov ni,n2,... ,rik, tak blokovo diagonálnou maticou s blokmi Ai, A2,... , Ak nazývame štvorcovú blokovú maticu /Ai 0 ... 0 \ 0 A2 ... 0 diag(Ai, A2,... ,Afc) = . . . \0 0 ... AkJ kde 0 nachádzajúca sa na mieste (i, j) označuje nulovú maticu 0ninj. Pred chvíľou uvedené pravidlo o súčine blokových matíc sa redukuje na obzvlášť jednoduchý tvar pre blokovo diagonálne matice - ich násobenie totiž funguje diagonálne po zložkách. Ak A = diag(Ai,... , Ak), B = diag(I?i,... , B},) sú blokovo diagonálne matice, pričom zodpovedajúce si bloky A;, Bi sú štvorcové matice rovnakého rádu rii, tak aj ich súčin je blokovo diagonálna matica tvaru A B = diag(Ai • Bx,... , Afc • Bk) so štvorcovými blokmi rádov ri\,... ,rik- Špeciálne, pre „obyčajné" diagonálne matice platí diag(ai,... , an) ■ diag(&i,... , bn) = diag(ai&i,... , anbn). Formuláciu analogických pravidiel pre súčet a skalárny násobok (blokovo) diagonálnych matíc prenechávame čitateľovi. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 9 2.3. Matice nad vektorovým priestorom Matice nad typu m x n nad poľom K sú špeciálnym druhom blokových matíc. Maticu A = (dij) E KmXn môžeme považovať jednak za blokovú maticu s blokmi a^ typu lxl, jednak, ako sme už neraz naznačili, môžeme sa na ňu dívať ako na riadok jej stĺpcov resp. ako na stĺpec jej riadkov. V takom prípade A chápeme ako maticu typu m x 1 nad vektorovým priestorom Klxn, resp. ako maticu typu 1 x n nad vektorovým priestorom KmXl. Konkrétna podoba týchto vektorových priestorov je však teraz pre nás nepodstatná - pre ľubovoľné m, n G N a ľubovoľný (abstraktný) vektorový priestor V máme totiž definovanú množinu VmXn všetkých matíc nad množinou V. Na množine VmXn možno zaviesť operácie súčtu a skalárneho násobku po zložkách. ymxn g týmito operáciami opäť tvorí vektorový priestor nad poľom K. Čitateľovi prenechávame, aby si sám doplnil a premyslel potrebné detaily. My sa teraz sústredíme na zovšeobecnenie operácie skalárneho násobku K x V —► V na operácie súčinu medzi maticami vhodných typov nad K a nad V. Pre matice A = (dij) E Kmxn, ex = (ujk) E Vnxp kladieme A ex = (vik) E VmXp, kde n vik / y CiijUjk . 3 = 1 Teda súčin A ■ ex definujeme z formálneho hľadiska rovnako ako súčin matíc nad poľom K, len s tým rozdielom že operácia súčtu v K je nahradená operáciou súčtu vôľa operácia súčinu v K operáciou skalárneho násobku K x V —► V. Celkom obdobne ako v odstavci 2.2.2 aj pre násobenie matíc nad V maticami nad K možno overiť distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre všetky l, m, n, p E N, c E K, A, B E KmXn, C E Klxm a, ßE Vnxp platí: A ■ (a + ß) = A ■ a + A ■ ß, (A + B) a = A a + B a, A ■ (ca) = c(A ■ ex) = (cA) ■ ex, C ■ (A-á) = (C-A)-a, In ■ ex = ex. Vzhľadom na našu dohodu, podľa ktorej xc = ex pre c E K, x E V, môžeme definovať aj súčin matíc ß = {v i j) E VmXn, B = (bjk) E KnXp v obrátenom poradí ako maticu ß ■ B = (wik) E VmXp takú, že n n Wík = ^Víjbjk = ^bjkVíj . 3=1 3=1 S využitím poslednej definície možno pre A E KmXn, ex E VnXp', ß E VmXn, B E KnXp dokázať tiež rovnosti (A ■ exf = exT ■ AT, (ß ■ B)T = BT ■ ßT. 10 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Aplikáciou týchto vzťahov na predchádzjúci zoznam rovností (no taktiež priamo) možno aj pre súčin matíc tvaru ß ■ B, kde ß E VmXn, B E KnXp, overiť jeho distributivnost' (z oboch strán) vzhľadom na sčítanie, zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku, asociatívnosť a postavenie jednotkových matíc ako neutrálnych prvkov. To znamená, že pre všetky m, n, p, q E N, c E K, a, ß E KmXn, A, B E VnXp, C E KpXq platí: (a + ß) ■ A = a ■ A + ß ■ A, a(A + B)=aA + aB, a • (cA) = c(a ■ A) = (ca) ■ A, a • (A- C) = (a • A) C, a ■ In = a. Taktiež vzťahy pre riadky a stĺpce súčinu z odseku 2.2.2 zostávajú zachované pre oba typu súčinov matíc nad K a V, t. j. Ví{A- a) = rt(A) ■ a, n(ß-B) = n(ß)-B, Sk(A-a) = A Sk(a) sk(ß ■ B) = ß ■ 8k(B) pre všetky A E K7 a E Vnxp ß E Vmxn, B E Knxp. Napokon si ešte uvedomme, že definície súčinov A a., ß ■ B sú v zhode s pôvodným násobením matíc. Ak totiž maticu A E KmXn chápanie ako riadok, t. j. ako maticu typu 1 x n nad priestorom stĺpcových vektorov Km, tak pre B E KnXp splýva matica (si(A),... , sn(A)) ■ B vypočítaná podľa „novej" definície s blokovým tvarom (A ■ Si(B),... , A ■ Sp(B)) matice A ■ B. Podobne, ak B chápeme ako stĺpec, t. j. ako maticu typu n x 1 nad priestorom riadkových vektorov Kp, tak A fri(B)\ \rn(B)J ír1(A)-B\ \rm(A)-Bj AB. (Doplňte si vynechané podrobnosti - pozri cvičenie 6.) Špeciálne, lineárnu kombináciu a\X\ + ... anxn vektorov Xi,...,xn E V s koeficientmi cti,... ,an E K môžeme s využitím vektorových matíc zapísať v tvare súčinov Xi a\ a\X\ + ... + anxr (ai,..., an) \X\,..., Xn) Mr. 2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU 11 Cvičenia 1. Nech A = 1-1 1 \ / 0 1 2\ / 1 2 3 0 5 2 , ß = -2 93 , C = 149 1-4 0/ V 10 60/ V 1 2 4 A+2B, A- BT - 3C, A B, B -A, A ■ (B + C), (3AT A C-C A, A B C aCT A C. sú matice nad R. Vypočítatjte matice B) C, B C2, C2 B, C B C, l+i -2 -i 1-i i 2+3i 2. Vypočítajte súčin A ■ B komplexných matíc A 3. Nájdite matice A, B e Q2x2 také, že A B = 0 / B A. 3i 2+i -4 1—2i 0 4i 4. Uvažujte matice A = 1 3 3 2 0 1 4 1 C = 4 3 4 0 nad poľom (a) Z5, (b) Z7, (c) Zu, (d) Q. V každom z uvedených prípadov vypočítajte maticu A ■ (B + C). Skúste riešiť úlohy (a)-(d) v optimálnom poradí. 5. Sú dané reálne blokové matice A = 112 = 1 2 o 1 , A21 = 2 1 o 1 , A22 = 2 2 0 1 An A12 A21 A22 B11 = 1 1 1 1 Bil -B12 -Bis -B21 -B22 -B23 »12 = -B13 = , kde Au = -B21 = 1 2 1 -1 1 1 o 1 2 1 -1 1 522 = -Ö23 = I 1 1 I • Vynásobte A a B ako blokové matice aj ako matice, v ktorých ste zabudli na rozdelenie do blokov, a oba výsledky porovnajte. 6. Maticu A = ((iij)mXn nad ľubovoľným poľom K uvažujte ako riadok jej stĺpcov, t. j. ako blokovú maticu A = (u\,.. . , un), kde Uj = Sj(A) pre j < n. Nech c = (c\,. . ., cn)T G X" je stĺpcový vektor. Ukážte, že lineárna kombinácia citti + . . .+cnun splýva s „obyčajným" maticovým súčinom A ■ c. Vysvetlite tento fakt pomocou násobenia blokových matíc. 7. Nech X je konečná množina. Ľubovoľná množina H C X2 určuje orientovaný graf (X, H) s množinou vrcholov X a s množinou orientovaných hrán H: vrcholy (t. j. prvky množiny X) si znázorníme krúžkami v rovine a z vrcholu x vedieme orientovanú hranu (t. j. šípku) do vrcholu y práve vtedy, keď (x,y) G H (pozri obr. 2.1). Konečnú postupnosť (zo,zi,.. . , z^) prvkov množiny X takú, že pre každé 1 < í < k platí (zí—\,Zí) G H, nazývame cestou dĺžky k v orientovanom grafe (X, H). Predpokladajme, že X = {xi,.. . ,xn} má práve n prvkov. Maticu H = (hij) G M"Xrl takú, že híj = 1, ak (xí,Xj) G H, a hij = 0, ak (xí,Xj) (£ H, nazývame incidenčnou maticou orientovaného grafu (X, H). Prvky fc-tej mocniny incidenčnej matice H označme h . , t. j. Hk = (/i.. ). Potom číslo h^- udáva počet ciest dĺžky k z vrcholu xí do vrcholu x j v orientovanom grafe (X, H). Dokážte (napr. matematickou indukciou). Obr. 2.1. Príklady orientovaných grafov Očíslujte vrcholy orientovaných grafov z obrázku 2.1. Pre každý graf napíšte jeho incidenčnu maticu a pre každú dvojicu (xí,Xj) jeho vrcholov určte počet ciest dĺžky 2, 3, 4 do i,. Nech K je komutatívny okruh s jednotkou (pozri cvičenie 1.8). Presvedčte sa, že pre ľubovoľné m,n G N možno na množine matíc KmXn definovať operácie súčtu A+ B a skalárneho násobku 12 PAVOL ZLATOS: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA cA rovnako ako v odstavci 2.2.1. Taktiež možno pre A G fřmX™, B G xnXp definovať súčin A ■ B G xmXp rovnako ako v odstavci 2.2.2. Ukážte, že všetky vlastnosti maticových operácií uvedené v kapitole 2 zostávajú v platnosti aj v tomto všeobecnejšom prípade. 10. Vynechajme z definície poľa, popri nerovnosti 0/1 a požiadavke existencie inverzného prvku ku každému nenulovému a G K, aj podmienku komutatívnosti násobenia, namiesto ktorej pridajme ešte jeden distributívny zákon (Va,6, c G K)((a + b)c = ac + bej. Množina K s význačnými prvkami 0 a 1, vybavená operáciami sčítania a násobenia, ktoré vyhovujú uvedeným podmienkam, sa nazýva okruh s jednotkou.1 (a) Okruh s jednotkou K sa nazýva netriviálny, ak v ňom platí 0^1. Dokážte, že okruh s jednotkou K je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne prvky. (b) Nech K je okruh s jednotkou. Presvedčte sa, že pre matice nad K možno zaviesť operácie súčtu, skalárneho násobku a súčinu rovnako ako pre matice nad poľom. Ukážte, že všetky vlastnosti týchto operácií uvedené v kapitole 2, s výnimkou rovností (x- y)T = yT ■ xT, (A- B)T = BT ■ AT a možnosti zapisovať „lineárne kombinácie" v tvare c\U\ +. .. cnun = (u\,.. . , un) ■ (c\,.. . , cn)T, zostávajú v platnosti. 11. Nech K je okruh s jednotkou a n G N. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia: (a) Množina KnXn so sčítaním a násobením matíc tvorí okruh s jednotkou. (b) Okruh s jednotkou KnXn je triviálny práve vtedy, keď K je triviálny alebo n = 0. (c) Okruh s jednotkou KnXn je komutatívny práve vtedy, keď n = 0, alebo n = 1 a K je komutatívny. 12. (a) Rovnako ako v prípade poľa zadefinujte charakteristiku ľubovoľného okruhu s jednotkou. (b) Dokážte, že okruh s jednotkou K je triviálny práve vtedy, keď char K = 1. (c) Nech K je ľubovoľný okruh a 1 < n G N. Potom char KnXn = char K. Dokážte. (d) Pre každé 2 < m G N U {oo} uveďte príklad nekornutaťívneho okruhu s jednotkou charakteristiky m. 13. Nech K je okruh s jednotkou. (a) Pre všetky n G N zadefinujte mocniny an prvku a G K rovnako ako v poli a dokážte, že pre m, n G N platí arnan = am+", (arn)n = arnn. čo bráni definícii mocnín an pre záporné exponenty n G Z? (b) Prvok a G K sa nazýva invertovateľný, ak k nemu existuje (obostranný, teda nutne jediný) inverzný prvok a-1 vzhľadom na násobenie. Pre invertovateľné prvky a G K rozšírte definíciu mocnín an na všetky n G Z a dokážte rovnosti z (a) pre ľubovoľné m, n G Z. (c) Nech a, 6 G K. čo je prekážkou všeobecnej platnosti rovnosti (ab)n = anbn pre n > 2? Dokážte, že ak a, 6 komutujú, t. j. a6 = 6a, tak uvedená rovnosť platí pre všetky n G N. (d) Pre K = R2x2 nájdite príklad matíc A, B e K takých, že (A ■ B)2 / A2 ■ B2. (e) Nech a, b G ií sú invertovateľné. Dokážte, že potom aj prvok ab je invertovateľný a platí (ab)-1 = b~1a~1. čo je prekážkou všeobecnej platnosti rovnosti (ab)~n = b~na~n pre n > 2? 14. (a) Rovnako ako v príklade 1.6.3 a v cvičení 1.13 zadefinujte množinu K[x] všetkých polynómov v premennej x nad ľubovoľným okruhom s jednotkou K ana nej operácie súčtu a súčinu. Dokážte, že K[x] s takto definovanými operáciami je opäť okruh s jednotkou a platí char_ří[x] = char K. (b) Dokážte, že K[x] je komutatívny práve vtedy, keď K je komutatívny. (c) Dokážte, že polynóm f (x) je invertovateľný prvok okruhu K[x] práve vtedy, keď f (x) = a je konštantný polynóm, pričom a je invertovateľný prvok okruhu K. Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len okruh.