5. BÁZA A DIMENZIA
V tejto kapitole sa oboznámime s pojmom bázy vektorového priestoru, čo nám v niekto-
rých vektorových priestoroch umožní zaviesť súradnice. Ďalej budeme definovať dimen-
ziu vektorového priestoru a odvodíme jej základné vlastnosti. V nasledujúcej kapitole
si potom okrem iného dokážeme, že dimenzia je základný štruktúrny invariant tzv.
konečnorozmerných vektorových priestorov.
I v tejto kapitole V označuje nejaký vektorový priestor nad pevným poľom K.
5.1. Steinitzova veta a konečnorozmerné priestory
Začneme jedným technickým výsledkom kľúčového významu.
5.1.1. Veta. (Steinitz) Nech u1, . . . , un, v1, . . . , vm  V . Ak vektory u1, . . . , un sú
lineárne nezávislé a všetky patria do lineárneho obalu [v1, . . . , vm], tak n  m.
Dôkaz. Keďže uj  [v1, . . . , vm] pre každé j  n, existujú cj = (c1j, . . . , cmj)T
 Km
také, že
uj = c1jv1 + . . . + cmjvm = (v1, . . . , vm)  cj.
Inak povedané
(u1, . . . , un) = (v1, . . . , vm)  C,
kde C = (cij)m×n je matica so stĺpcami c1, . . . , cn.
Predpokladajme, že m < n. Potom podľa tvrdenia 3.3.6 má homogénna sústava
C  x = 0 aspoň jedno riešenie x = (x1, . . . , xn)T
= 0. Jednoduchým výpočtom dostá-
vame
x1u1 + . . . + xnun = (u1, . . . , un)  x
= (v1, . . . , vm)  C  x = (v1, . . . , vm)  0 = 0,
čo je v spore s lineárnou nezávislosťou vektorov u1, . . . , un.
5.1.2 Tvrdenie. Pre ľubovoľný vektorový priestor V nasledujúce podmienky sú ekvi-
valentné:
(i) existuje konečná množina X  V taká, že [X] = V ;
(ii) každá lineárne nezávislá množina Y  V je konečná.
Dôkaz. (i)  (ii): Nech X  V je konečná množina, ktorá generuje V . Podľa Steini-
tzovej vety pre ľubovoľné lineárne nezávislé vektory u1, . . . , un platí n  # X, teda
každá lineárne nezávislá množina Y  V je konečná.
(ii)  (i): Budeme dokazovať logicky ekivalentnú implikáciu  (i)   (ii).
Predpokladajme, že žiadna konečná podmnožina priestoru V negeneruje V . Potom
vo V môžeme zostrojiť postupnosť vektorov (yn)
n=0 takú, že y0 = 0 a pre každé n > 0
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
platí yn / [y0, . . . , yn-1]. Podľa tvrdenia 4.4.1 je každý počiatočný úsek (y0, . . . , yn)
tejto postupnosti lineárne nezávislý, takže celá postupnosť je lineárne nezávislá podľa
tvrdenia 4.6.1. Teda vo V existuje nekonečná lineárne nezávislá množina, napr. Y =
{yn; n  N}.
Hovoríme, že vektorový priestor V je konečnorozmerný, ak spĺňa niektorú (teda nevy-
hnutne obe) z ekvivalentných podmienok (i), (ii) práve dokázaného tvrdenia. V opačnom
prípade hovoríme, že V je nekonečnorozmerný vektorový priestor.
5.2. Báza a dimenzia konečnorozmerného priestoru
Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Bázou priestoru V nazývame každú
lineárne nezávislú usporiadnú n-ticu (u1, . . . , un) vektorov z V , ktorá generuje celý
priestor V . Stručne tiež hovoríme, že vektory u1, . . . , un tvoria bázu priestoru V .
Nasledujúce tvrdenie je priamym dôsledkom vety 4.4.4.
5.2.1. Tvrdenie. Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Potom
(a) ľubovoľnú lineárne nezávislú usporiadanú k-ticu (u1, . . . , uk) vektorov z V možno
doplniť do nejakej bázy (u1, . . . , uk, . . . , un) priestoru V ;
(b) z ľubovoľnej generujúcej usporiadanej m-tice (v1, . . . , vm) vektorov z V možno
vybrať nejakú bázu (vi1 , . . . , vin ) priestoru V .
5.2.2. Veta. Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor. Potom
(a) V má aspoň jednu bázu;
(b) ľubovoľné dve bázy priestoru V majú rovnaký počet prvkov.
Dôkaz. (a) je bezprostredným dôsledkom predchádzajúceho tvrdenia, ktoré nám do-
konca dáva dva varianty dôkazu: jeden doplnením prázdnej množiny (ktorá je lineárne
nezávislá) na bázu vo V , druhý výberom bázy z nejakej konečnej generujúcej množiny
vo V .
(b) je zasa bezprostredným dôsledkom Steinitzovej vety. Ak sú totiž (u1, . . . , un),
(v1, . . . , vm) dve bázy vo V , tak, keďže (u1, . . . , un) je lineárne nezávislá a (v1, . . . , vm)
generuje celý priestor V , musí platiť n  m. Nakoľko však i (v1, . . . , vm) je lineárne
nezávislá a (u1, . . . , un) generuje celé V , platí tiež m  n. Teda m = n.
Práve dokázaná veta nám umožňuje korektne definovať dimenziu alebo tiež rozmer
konečnorozmerného vektorového priestoru V ako počet prvkov jeho ľubovoľnej bázy.
Dimenziu vektorového priestoru V značíme dim V . Ak dim V = n, hovoríme, že V je
n-rozmerný vektorový priestor. Ak V je nekonečnorozmerný priestor, kladieme dim V =
. V prípade, že bude potrebné zdôrazniť úlohu poľa K, budeme používať podrobnejšie
označenie dimK V .
Teda V je konečnorozmerný práve vtedy, keď dim V < .
Dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako cvičenie čitateľovi.
5.2.3. Tvrdenie. Nech dim V = n, v1, . . . , vm  V . Potom ľubovoľné dve z nasledujú-
cich podmienok implikujú tretiu:
(i) vektory v1, . . . , vm sú lineárne nezávislé;
(ii) [v1, . . . , vm] = V ;
(iii) m = n.
5. BÁZA A DIMENZIA 3
To okrem iného znamená, že na overenie, či n vektorov v1, . . . , vn tvorí bázu n-roz-
merného vektorového priestoru V , stačí overiť len jednu (a to ľubovoľnú) z podmienok
(i), (ii).
5.3. Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu
Nasledujúca veta je špeciálnym prípadom vety 4.4.2.
5.3.1. Veta. Vektory u1, . . . , un tvoria bázu vektorového priestoru V práve vtedy, keď
každý vektor x  V možno jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie x =
c1u1 + . . . + cnun.
Uvedomme si, že existencia aspoň jedného vyjadrenia x = c1u1 + . . . + cnun je
ekvivalentná s podmienkou, že vektory u1, . . . , un generujú V . Jednoznačnosť tohto
vyjadrenia je zasa ekvivalentná s lineárnou nezávislosťou vektorov u1, . . . , un.
Teda  = (u1, . . . , un) je bázou V vtedy a len vtedy, keď pre každé x  V existuje
práve jedno c = (c1, . . . , cn)T
 Kn
také, že
x = c1u1 + . . . + cnun =   c.
Tento jednoznačne určený stĺpcový vektor c  Kn
budeme nazývať súradnice vektora
x vzhľadom na bázu  a označovať
c = (x).
Teda každá báza  v n-rozmernom vektorovom priestore V definuje súradnicové zob-
razenie x  (x) z V do stĺpcového vektorového priestoru Kn
.
Jednoduchý dôkaz nasledujúceho tvrdenia prenechávame ako cvičenie čitateľovi.
5.3.2. Tvrdenie. Nech  = (u1, . . . , un) je báza konečnorozmerného vektorového
priestoru V . Potom príslušné súradnicové zobrazenie V  Kn
je bijektívne a zachováva
lineárne kombinácie, t. j. pre ľubovoľné a, b  K, x, y  V platí
(ax + by) = a(x) + b(y).
K nemu inverzné zobrazenie Kn
 V je dané predpisom c    c.
V označení posledného tvrdenia teda pre ľubovoľné x  V , c  Kn
platí
x =   (x), (  c) = c.
Prvá rovnosť ukazuje, ako možno vektor x zrekonštruovať z danej bázy  a jeho súrad-
níc (x) v tejto báze; druhá zachytáva zrejmý fakt, že súradnice lineárnej kombinácie
n
i=1 ciui v báze u1, . . . , un tvorí vektor (c1, . . . , cn)T
.
Práve zavedené súradnice by sme mohli podrobnejšie nazvať stĺpcovými súradnicami
vzhľadom na danú bázu. Podobným spôsobom možno zaviesť i riadkové súradnice a
dokázať pre ne analogické tvrdenia ako pre stĺpcové. V takom prípade je samozrejme
vhodnejšie zapisovať príslušnú bázu ako stĺpcový vektor  = (u1, . . . , un)T
a v prípade
riadkového priestoru V = Kn
ju stotožniť s maticou s riadkami u1, . . . , un. Podrobnosti
prenechávame na doplnenie čitateľovi.
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
5.3.3. Príklad. Označme e
(n)
i = si(In)  Kn
stĺpcový vektor pozostávajúci zo samých
núl, okrem i-tej zložky, ktorá je 1. Potom (n)
= e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n je báza stĺpcového
vektorového priestoru Kn
. Nazývame ju kanonickou bázou tohto priestoru. Túto bázu
možno zrejmým spôsobom stotožniť s jednotkovou maticou In. Pokiaľ nebude hroziť
nedorozumenie, budeme horný index (n) vynechávať a príslušnú bázu označovať stručne
 = (e1, . . . , en). Pre ľubovoľný vektor x = (x1, . . . , xn)T
 Kn
platí
x = x1e1 + . . . + xnen,
preto (x) = x, t. j. každý vektor x  Kn
splýva so svojimi vlastnými súradnicami
v kanonickej báze.
Kanonická báza riadkového vektorového priestoru Kn
je tvorená riadkami jednotko-
vej matice In a značíme ju (n)
= e
(n)
1 , . . . , e
(n)
n
T
alebo stručne  = (e1, . . . , en)T
,
t.j. rovnako ako v predchádzajúcom prípade, len s tým rozdielom, že (n)
=  je teraz
stĺpec vektorov a každé ei je riadok pozostávajúci zo samých núl, okrem i-teho miesta,
ktoré je 1.
V predošlom príklade je, okrem iného, zahrnutý aj dôkaz nasledujúceho očakávaného
výsledku.
5.3.4. Veta. Pre ľubovoľné n  N platí dim Kn
= n.
5.3.5. Príklad. Stĺpce matice



1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0



tvoria bázu  (stĺpcového) vektorového priestoru K4
(presvedčte sa o tom s využitím
tvrdenia 5.2.3 a vety 5.3.4). Súradnice vektora x = (x1, x2, x3, x4)T
 Kn
v báze  sú
dané vzťahom
(x) = (x4, x3 - x4, x2 - x3, x1 - x2)T
.
Platí totiž



x1
x2
x3
x4


 = x4



1
1
1
1


 + (x3 - x4)



1
1
1
0


 + (x2 - x3)



1
1
0
0


 + (x1 - x2)



1
0
0
0


 .
Overte.
5.3.6. Príklad. Označme (n)
= (1, x, . . . , xn
) usporiadanú (n + 1)-ticu prvých n + 1
mocnín premennej x. Ľahko nahliadneme, že (n)
je báza vektorového priestoru K(n)
[x]
všetkých polynómov stupňa  n v premennej x nad poľom K. Súradnice polynómu
f(x) =
n
i=0 aixi
v tejto báze tvorí vektor
(f)(n) = (a0, a1, . . . , an)T
 Kn+1
.
Teda dim K(n)
[x] = n+1. Na druhej strane vektorový priestor K[x] všetkých polynómov
v premennej x nad poľom K zrejme nie je konečnorozmerný, teda dim K[x] = .
5. BÁZA A DIMENZIA 5
5.3.7. Príklad. Nech m, n  N. Pre ľubovoľné 1  k  m, 1  l  n označme
E
(m,n)
kl = Ekl = (ikjl)m×n maticu typu m×n nad poľom K, pozostávajúcu zo samých
núl, okrem miesta (k, l), na ktorom je 1. Zrejme každú maticu A = (akl)  Km×n
možno
jednoznačne vyjadriť v tvare
A =
m
k=1
n
l=1
aklEkl,
z čoho vyplýva, že matice E
(m,n)
kl , 1  k  m, 1  l  n, tvoria bázu vektorového
priestoru Km×n
všetkých matíc typu m × n nad poľom K. Jej špeciálnym prípadom je
kanonická báza (n)
v priestore Kn
. Dostávame tak ďalší očakávaný vzťah: dim Km×n
=
mn.
5.3.8. Príklad. Pole C všetkých komplexných čísel je rozšírením poľa R všetkých
reálnych čísel. Teda C možno považovať za vektorový priestor nad poľom R (pozri
príklad 1.6.1). Každé komplexné číslo z možno jednoznačne vyjadriť v tvare
z = a + bi = a1 + bi,
kde a = Re z, b = Im z sú reálne čísla, nazývané reálna resp. imaginárna časť komplex-
ného čísla z, a i je imaginárna jednotka. To znamená, že komplexné čísla (t. j. vektory)
1, i tvoria bázu vektorového priestoru C nad poľom R. Súradnicové zobrazenie vzhľadom
na túto bázu je dané vzťahom
(z)(1,i) =
Re z
Im z
=
1
2 (z + z)
1
2i (z - z)
,
kde z = a - bi je číslo komplexne združené k číslu z = a + bi. Teda dimR C = 2. Na
druhej strane každé pole K, uvažované ako vektorový priestor nad sebou samým má
dimenziu 1, t. j. dimK K = 1. Špeciálne dimR R = 1 aj dimC C = 1.
5.4. Dimenzia prieniku, súčtu a súčinu vektorových priestorov
V tomto paragrafe preskúmame niektoré základné vlastnosti dimenzie, uvažovanej ako
zobrazenie definované na všetkých vektorových priestoroch nad pevným poľom K.
Na začiatok si uvedomme, že ľubovoľný lineárny podpriestor S vektorového prie-
storu V je i sám vektorovým priestorom nad tým istým poľom, teda pojmy ako báza
podpriestoru S a dimenzia podpriestoru S majú dobre definovaný význam. Zrejme
každý podpriestor konečnorozmerného vektorového priestoru je i sám konečnorozmerný.
5.4.1. Veta. (Grassmannova formula) Nech S, T  V sú konečnorozmerné lineárne
podpriestory vektorového priestoru V . Potom
dim(S + T) = dim S + dim T - dim(S  T).
Dôkaz. Označme dim S = m, dim T = n, dim(S  T) = k. Nech u1, . . . , uk je báza
podpriestoru S  T. Doplňme túto bázu do bázy u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k podpriestoru
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
S, a taktiež do bázy u1, . . . , uk, w1, . . . , wn-k podpriestoru T. Dokážeme, že vektory
u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k, w1, . . . , wn-k tvoria bázu podpriestoru S + T. Tým budeme
hotoví, lebo potom naozaj platí
dim(S + T) = k + (m - k) + (n - k) = m + n - k
= dim S + dim T - dim(S  T).
Keďže vektory u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k, w1, . . . , wn-k zrejme generujú podpriestor
S + T (premyslite si detaily), zostáva dokázať, že sú tiež lineárne nezávislé. Nech
a1, . . . , ak, b1, . . . , bm-k, c1, . . . , cn-k sú skaláry také, že
a1u1 + . . . + akuk + b1v1 + . . . + bm-kvm-k + c1w1 + . . . + cn-kwm-k = 0.
Potom
a1u1 + . . . + akuk + b1v1 + . . . + bm-kvm-k = -(c1w1 + . . . + cn-kwm-k),
pričom vektor na ľavej strane patrí do S a vektor na pravej do T. Túto spoločnú hodnotu
z  S  T možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu len vektorov u1, . . . , uk. Z jedno-
značnosti vyjadrenia z v báze u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k podpriestoru S tak dostávame
b1 = . . . = bm-k = 0. Preto
a1u1 + . . . + akuk + c1w1 + . . . + cm-kwn-k = 0.
Z lineárnej nezávislosti bázy u1, . . . , uk, w1, . . . , wn-k podpriestoru T potom vyplýva
a1 = . . . = ak = 0, c1 = . . . = cn-k = 0. Teda u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k, w1, . . . , wn-k
sú lineárne nezávislé vektory.
5.4.2. Dôsledok. Nech S, T sú lineárne podpriestory vektorového priestoru V . Potom
S  T = {0}, t. j. súčet S + T je direktný, práve vtedy, keď
dim(S + T) = dim S + dim T.
Práve dokázané vzťahy pre dimenzie konečnorozmerných podpriestorov nejakého vek-
torového priestoru nápadne pripomínajú vzťah
# (X  Y ) = # X + # Y - # (X  Y )
pre počty prvkov konečných množín z paragrafu 0.2, ktorý sa v prípade disjunktných
množín redukuje na rovnosť
# (X  Y ) = # X + # Y.
To znamená, že konečnorozmerné vektorové priestory (hoci v typickom prípade priesto-
rov nenulovej dimenzie nad nekonečným poľom ide o nekonečné množiny) sa správajú
do značnej miery podobne ako konečné množiny. Dimenzia dim V konečnorozmerného
priestoru V je tak akousi mierou jeho
"
veľkosti", podobne ako počet prvkov # X je
mierou veľkosti konečnej množiny X. Direktný (priamy) súčet lineárnych podpriestorov
je tak analógiou zjednotenia disjunktných množín.
Na rozdiel od multiplikatívneho charakteru počtu prvkov karteziánskeho súčinu ko-
nečných množín, ktorý je daný formulou
# (X × Y ) = # X  # Y,
sa však dimenzia priameho súčinu konečnorozmerných vektorových priestorov (pozri
príklad 1.6.4) správa aditívne, t. j. do značnej miery podobne ako logaritmus.
5. BÁZA A DIMENZIA 7
5.4.3. Tvrdenie. Nech V , W sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K.
Potom pre dimenziu ich priameho súčinu platí
dim(V × W) = dim V + dim W.
Dôkaz. Nech v1, . . . , vm je báza priestoru V a w1, . . . , wn je báza priestoru W. Stačí
overiť, že vektory (v1, 0), . . . , (vm, 0), (0, w1), . . . , (0, wn) tvoria bázu priameho súčinu
V × W. Podrobnosti prenechávame čitateľovi.
V dôsledku toho pre konečnorozmerné priestory V1, . . . , Vk nad poľom K platí
dim(V1 × . . . × Vk) = dim V1 + . . . + dim Vk,
a pre k-tu priamu mocninu V k
priestoru V máme
dim V k
= k dim V.
Poznámka. Ak obvyklým spôsobom rozšírime aritmetiku prirodzených čísel aj na sym-
bol , t. j. položíme n +  =  + n =  +  =  pre n  N, 0   =   0 = 0 a
n   =   n =    =  pre n > 0, ľahko nahliadneme, že vzťahy dokázané v tomto
paragrafe zostávajú v platnosti aj pre nekonečnorozmerné priestory.
5.5. Usporiadané a neusporiadané bázy
Ak (u1, . . . , un) je báza vektorovévo priestoru V , tak (u(1), . . . , u(n)) je tiež báza V
pre ľubovoľnú premutáciou  množiny {1, . . . , n}. Inak povedané, vlastnosť
"
byť bázou
vektorového priestoru" nezávisí od poradia vektorov v báze ­ nie je to ani tak vlastnosť
príslušnej usporiadanej n-tice (u1, . . . , un) ako skôr množiny {u1, . . . , un}. Na druhej
strane je rozumné považovať bázy (u1, . . . , un) a (u(1), . . . , u(n)), kde  je neidentická
permutácia, za rôzne. Prislúchajú im totiž rôzne súradnicové zobrazenia. Napr.  =
(e1, e2, e3),  = (e2, e3, e1) sú bázy stĺpcového priestoru K3
, líšiace sa len poradím
svojich vektorov. Pre súradnice ľubovoľného vektora x = (x1, x2, x3)T
 K3
v týchto
bázach však platí:
(x) =


x1
x2
x3

 , (x) =


x2
x3
x1

 .
Teda (x) = (x), okrem prípadu, keď x1 = x2 = x3.
Doteraz študované bázy by sme vlastne mali presnejšie nazývať konečnými uspo-
riadanými bázami. To naznačuje možnosti uvažovať jednak o nekonečných, jednak
o
"
neusporiadaných" bázach. Keďže v centre nášho záujmu naďalej zostávajú iba koneč-
norozmerné priestory, oboch týchto otázok sa len letmo dotkneme.
Hovoríme, že nekonečná postupnosť (uk)
k=0 = (u0, u1, u2, . . . , uk, . . . ) je báza, pres-
nejšie usporiadaná báza vektorového priestoru V , ak je lineárne nezávislá a generuje celý
priestor V .
Treba zdôrazniť, že podmienka generovania priestoru V hovorí, že každý vektor
x  V možno vyjadriť ako konečnú lineárnu kombináciu x =
n
k=0 ckuk, kde n 
N a c0, . . . , cn  K, prvkov príslušnej bázy.
"
Nekonečné lineárne kombinácie" tvaru

k=0 ckuk sme zatiaľ nedefinovali a len samotná algebraická štruktúra vektorého pries-
toru nám to vo všeobecnosti ani neumožňuje.
Nasledujúce tvrdenie, ktorého dôkaz neuvádzame, je obdobou tvrdenia 5.3.1.
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
5.5.1. Tvrdenie. Postupnosť vektorov (uk)
k=0 je bázou vektorového priestoru V práve
vtedy, keď každý vektor x  V možno jednoznačne až na nulové členy vyjadriť v tvare
lineárnej kombinácie
x = c0u0 + c1u1 + . . . + cnun,
kde n  N a c0, c1, . . . , cn  K.
Uvedomme si podstatnosť vsuvky
"
až na nulové členy". Vzhľadom na premennú
hodnotu n dĺžky príslušnej lineárnej kombinácie možno napr. vektor u0 - u1  V písať
aj v tvare u0 - u1 + 0u2 + 0u3 a pod.
Na druhej strane, pri danej báze  = (uk)
k=0 priestoru V každý vektor x  V
jednoznačne určuje postupnosť skalárov (ck)
k=0  KN
takú, že ck = 0 pre všetky k až
na konečný počet, t. j. (ck)
k=0  K(N)
(pozri príklad 4.1.3 (a)), a platí
x =

k=0
ckuk.
Všimnite si, že takéto lineárne kombinácie obsahujú len konečne mnoho nenulových
sčítancov, takže s ich definíciou nie je žiaden problém. Uvedenú postupnosť (ck)
k=0
potom nazývame súradnicami vektora x vzhľadom na bázu  a označujeme ju (x).
(Vzhľadom na to, že nemienime ďalej rozvíjať príslušnú teóriu pre nekonečnorozmerné
priestory, nemá zmysel bližšie špecifikovať, či tým mienime
"
riadkovú" alebo
"
stĺpcovú"
postupnosť (ck)
k=0.)
5.5.2. Príklad. Postupnosť  = (xn
)
n=0 = (1, x, x2
, . . . , xn
, . . . ) všetkých mocnín
premennej x je bázou priestoru K[x] všetkých polynómov v premennej x nad poľom K.
(Presvedčte sa o tom.) Súradnicami polynómu
f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn
=
n
i=0
aixi
 K[x]
v tejto báze je postupnosť
(f) = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . )  K(N)
.
Podmnožinu X vektorového priestoru V nazývame bázou, presnejšie neusporiada-
nou bázou priestoru V , ak X je lineárne nezávislá a [X] = V . Používa sa tiež názov
Hamelova báza.
Aj v prípade Hamelových báz platí obdoba tvrdení 5.3.1 a 5.5.1, čo umožňuje zaviesť
na priestore V s takouto bázou súradnicové zobrazenie V  K(X)
(pripomíname, že
K(X)
označuje vektorový priestor všetkých zobrazení f : X  K takých, že f(x) = 0
pre všetky x  X až na konečný počet ­ pozri príklad 4.1.3). Súradnicami vektora
v  V vzhľadom na bázu X nazývame jednoznačne určené zobrazenie f  K(X)
, pre
ktoré platí
v =
xX
f(x)x.
5. BÁZA A DIMENZIA 9
(Vzhľadom na konečný počet nenulových sčítancov je uvedená lineárna kombinácia
dobre definovaná.) I tieto súradnice označujeme obvyklým spôsobom (v)X = f.
Zostáva otázka, či aj každý nekonečnorozmerný vektorový priestor má bázu, podob-
ne ako konečnorozmerné priestory resp. nekonečnorozmerné priestory polynómov K[x].
Inak povedané, radi by sme vedieť, či vôbec každý vektorový priestor má bázu. Na
základe základných axióm teórie množín nemožno na túto otázku odpovedať. Až prijatie
tzv. axiómy výberu, postulujúcej platnosť istého princípu platného pre konečné množiny
aj pre nekonečné množiny, nám umožňuje dať na uvedenú otázku kladnú odpoveď. Teda
za predpokladu axiómy výberu má každý vektorový priestor nad ľubovoľným poľom
Hamelovu bázu. Na druhej strane pre väčšinu nekonečnorozmerných priestorov nám
toto tvrdenie zaručuje skutočne len existenciu takejto bázy a nič viac. Nedáva nám
nijakú konkrétnu bázu ani návod ako ju zostrojiť.
K príkladom vektorových priestorov, v ktorých nevieme nijako rozumne popísať Ha-
melovu bázu, hoci jej existenciu máme zaručenú, patria priestory KX
, kde X je neko-
nečná množina, priestor C a, b všetkých spojitých funkcií z netriviálneho uzavretého
interalu a, b do množiny R, no taktiež polia R či C uvažované ako vektorové priestory
nad poľom Q. Nie je to však až taká chyba, lebo v mnohých nekonečnorozmerných
priestoroch študovaných vo funkcionálnej analýze sú užitočnejšie iné typy
"
báz", umož-
ňujúce vyjadrovať vektory z priestoru napr. v tvare istých
"
nekonečných lineárnych
kombinácií"

n=0 cnxn prvkov
"
bázy".

5.6. Fyzika v n-rozmernom priestore
Na záver kapitoly si dovolíme jedno odbočenie od hlavnej témy. Keď sa už toľko ba-
víme o dimenzii, môžeme spolu trochu porozmýšľať, ako sa trojrozmernosť
"
nášho"
priestoru prejavuje v matematickej podobe niektorých fyzikálnych zákonov. Na základe
toho sa pokúsime o extrapoláciu týchto zákonov za hranice trojrozmerného priestoru.
Inak povedané, podnikneme spolu metafyzikálny (nie metafyzický) myšlienkový expe-
riment, v ktorom sa pokúsime trochu pošpekulovať nad otázkou, ako by asi mohla
vyzerať
"
fyzika v n-rozmernom priestore". Samozrejme, nie je jasné, či by pre n = 3
v n-rozmernom priestore mohli existovať vôbec nejakí
"
fyzici", t. j. či by tú
"
fyziku" mal
kto pestovať. Touto otázkou sa však zaoberať nebudeme, hoci naše úvahy nám aj na
ňu naznačia istú odpoveď. Ale nebudeme predbiehať.
Ak sa len trochu hlbšie zamyslíme nad charakterom priestoru, do ktorého sme nevdo-
jak vrhnutí, uvedomíme si, že je plný záhad. Je konečný (ohraničený) alebo nekonečný
(neohraničený)? Je diskrétny (pozostávajúci z akýchsi najmenších, ďalej už nedeliteľ-
ných častí) alebo spojitý (súvislý a donekonečna deliteľný)? Keďže skúsenosť nám na
tieto otázky nedáva jednoznačnú odpoveď, filozofi sa oddávna pokúšali zodpovedať ich
na základe špekulatívnych úvah. Aktuálne nekonečno, či už smerom do diaľky (t. j. sme-
rom k čoraz väčším rozmerom) alebo smerom do hĺbky (t. j. smerom k čoraz menším
rozmerom) sa však vymyká našim predstavám. Rovnako problematická je však pred-
stava ohraničeného priestoru ako i predstava akejsi najmenšej, ďalej už nedeliteľnej
priestorovej oblasti. Priestor si totiž nepredstavujeme ako súcno, t. j. ako
"
niečo", ale
ako prázdnu formu, naplnenú súcnami. Za hranicou, ohraničujúcou
"
celý priestor", by
už nemohlo byť absolútne nič, čo si však nedokážeme predstaviť inak, ako prázdny prie-
stor. Podobne, akákoľvek malá priestorová oblasť, je aspoň myšlienkovo (hoc nie nutne
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
fyzikálne) ďalej deliteľná na menšie časti.
Moderná fyzika sa s podobnými otázkami nevysporadúva nijakou definitívnou odpo-
veďou. Namiesto toho konštruuje rôzne matematické modely a na ich základe získava
predpovede, ktoré možno porovnať s výsledkami experimentov. Tým sa tieto modely
čiastočne potvrdzujú alebo falzifikujú. Navyše hypotéza zakriveného priestoru oddeľuje
otázky (ne)konečnosti a (ne)ohraničenosti. Zakrivený priestor môže byť (sám v sebe)
neohraničený a pritom mať konečný objem. Ale tak, ako zakrivená guľová plocha pou-
kazuje na existenciu trojrozmerného (nezakriveného) priestoru, zakrivený konečne veľký
trojrozmerný priestor vyvoláva otázku existencie nejakého viacrozmerného, neohrani-
čeného a nezakriveného priestoru.
My sa však na tomto mieste nemienime zaoberať otázkou konečnosti či nekonečno-
sti priestoru, či už smerom k čoraz väčším alebo čoraz menším vzdialenostiam. Svoju
pozornosť upriamime na omnoho tvrdšiu hranicu priestoru, ktorú predstavuje jeho troj-
rozmernosť. Na túto hranicu narazíme, keď sa pokúsime uskutočniť štyri rôzne, navzá-
jom kolmé úsečky, vychádzajúce z jedného bodu. Priestor nám také niečo nedovolí.
Pritom existencia takýchto úsečiek nevedie nevyhnutne k sporu, ich uskutočneniu neb-
ránia nijaké logické zákony, ale len a len priestor. Aby sme si uvedomili rozdiel medzi
priestorovou nepredstaviteľnosťou a logickou nemožnosťou, pokúsme sa vmyslieť do po-
stavenia akýchsi plochých bytostí, obývajúcich dvojrozmerný priestor, t. j. rovinu. V ro-
vine možno uskutočniť len dve rôzne navzájom kolmé úsečky vychádzajúce z daného
bodu. Naši
"
dvojrozmerní ľudkovia" by si zrejme nevedeli predstaviť tri takéto úsečky, čo
pre nás nepredstavuje nijaký problém. Podobne nejaké bytosti, obývajúce n-rozmerný
priestor, kde n  3, by si asi vedeli predstaviť n navzájom kolmých úsečiek. Teda ich
existencia je logicky možná.
Vráťme sa však k pôvodnej otázke: ako sa prejavuje trojrozmernosť nášho priestoru
v matematickej podobe niektorých fyzikálnych zákonov a akú
"
fyziku" by asi objavili
"
fyzici" v n-rozmernom priestore.
Samozrejme, nebudeme sa zaoberať uvedenými otázkami v celej ich šírke, len sa
pokúsime ilustrovať naznačenú problematiku na príklade Newtonovho gravitačného zá-
kona. Úplne analogicky by sme mohli postupovať i v prípade Coulombovho zákona pre
elektrostatickú silu.
Podľa Newtonovho gravitačného zákona centrálne symetrické teleso o hmotnosti M
vytvára okolo seba centrálne symetrické gravitačné pole, ktoré na hmotný bod o hmot-
nosti m vo vzdialenosti r od stredu telesa pôsobí silou
F = 
mM
r2
,
kde  je gravitačná konštanta, ktorej hodnotu možno stanoviť experimentálne. Gravi-
tačná hmotnosť je priamo definovaná ako miera gravitačného účinku telesa, čo vyjadruje
priama úmernosť uvedenej sily hmotnostiam oboch telies. Z centrálnej symetrie gravi-
tačného poľa, ktorá je dôsledkom izotropie (homogenity) priestoru, vyplýva, že uvedená
sila závisí len od vzájomnej vzdialenosti oboch telies a nie od ďalších parametrov ich
vzájomnej polohy, napr. od smeru. Navyše je rozumné predpokladať, že gravitačná sila
bude slabnúť so vzdialenosťou r. Na prvý pohľad však nie je jasné, prečo by mala slab-
núť akurát nepriamo úmerne jej druhej mocnine. Ukážeme si, že práve to je dôsledkom
5. BÁZA A DIMENZIA 11
trojrozmernosti priestoru. Rovnako oprávnene však možno tvrdiť, že trojrozmernosť
priestoru je dôsledkom príslušnej podoby v ňom platného gravitačného zákona.
Gravitačné pole si znázorňujeme geometricky pomocou kriviek nazývaných siločiary.
Tie majú v prípade centrálne symetrického poľa v izotropnom priestore tvar polpriamok
vychádzajúcich zo stredu zdroja. Veľkosť príťažlivej sily pôsobiacej na hmotný bod je
(okrem jeho hmotnosti) priamo úmerná hustote týchto siločiar v danom mieste. Keďže
na povrchu guľovej plochy s polomerom r, opísanej okolo stredu príťažlivosti je hustota
siločiar všade rovnaká, táto hustota klesá so vzdialenosťou r nepriamo úmerne plošnému
obsahu povrchu danej guľovej plochy. Tento obsah má hodnotu 4r2
. To znamená, že
veľkosť príťažlivej sily F je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti r.
Pod (n - 1)-rozmernou sférou rozumieme povrch n-rozmernej gule v n-rozmernom
priestore. Ak si jej stred zvolíme za počiatok súradnej sústavy, tak (n - 1)-rozmernú
sféru s polomerom r možno stotožniť s množinou
S(n-1)
(r) = {(x1, . . . , xn)  Rn
; x2
1 + . . . + x2
n = r2
}.
Veľkosť (n - 1)-rozmerného povrchu sféry S(n-1)
(r) je priamo úmerná mocnine rn-1
.
Rovnakou úvahou ako v predchádzajúcom odstavci tak možno odvodiť nasledujúci tvar
Newtonovho gravitačného zákona v n-rozmernom priestore:
F = n
mM
rn-1
,
kde n je gravitačná konštanta, M je hmotnosť centrálne symetrického telesa vytvára-
júceho príslušné gravitačné pole, m je hmotnosť hmotného bodu a r jeho vzdialenosť
od stredu príťažlivosti. Špeciálne si uvedomme, že v jednorozmernom priestore, t. j. na
priamke, gravitačná sila nezávisí na vzdialenosti (siločiary sa nemajú kam rozptýliť, ich
hustota sa so vzdialenosťou nemení).
Práca, ktorú je potrebné vynaložiť na premiestnenie hmotného bodu s hmotnosťou m
zo vzdialenosti r1 > 0 do vzdialenosti r2 > r1 od stredu príťažlivosti, je daná integrálom
A =
r2
r1
F dr = nmM
r2
r1
r1-n
dr.
Pre jednotlivé hodnoty n dostávame
A = 1mM(r2 - r1), ak n = 1,
A = 2mM ln
r2
r1
, ak n = 2,
A = n
mM
n - 2
1
rn-2
1
-
1
rn-2
2
, ak n  3.
Ďalšou analýzou uvedených vzťahov (čo už nebudeme robiť) možno zistiť, že pohyb
v jedno- a dvojrozmernom priestore, t. j. na priamke a v rovine, by bol nesmierne ener-
geticky náročný. Vymaniť sa z gravitačného poľa daného telesa (r2  ) by si vyžia-
dalo nekonečne veľkú energiu. Navyše v rovine je v takomto poli možný len pohyb po
12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
kruhových uzavretých orbitách, alebo po neuzavretých orbitách (tvaru ružice), pričom
oba typy sú stabilné. Uzavretá dráha prechádzajúca v rôznych vzdialenostiach od stredu
príťažlivosti nie je možná. (Prípadom n = 1 sa ani nemusíme zaoberať, lebo na priamke
jednoducho
"
nie je dosť miesta" na pohyb bodu po uzavretej orbite
"
okolo" iného bodu
­ zrážka by bola nevyhnutná.) Gravitačné pôsobenie v n-rozmernom priestore je pre
n  4 zasa ďaleko od zdroja také slabé a blízko zdroja také silné, že iné uzavreté orbity
ako kruhové nie sú možné, a i tie sú nestabilné. Aj tá najmenšia odchýlka od kruhovej
dráhy (zapríčinená napr. pôsobením ďalších planét) by spôsobila zmenu kruhovej dráhy
na špirálovú (napr. únik Zeme od Slnka alebo pád naň). Nestabilita pre n = 4 má
špeciálny charakter: za veľmi idealizovaných predpokladov si možno predstaviť prechod
z jednej kruhovej orbity na inú v dôsledku dvoch po sebe nasledujúcich presne zladených
"
drgnutí" v opačných smeroch (pri ktorých sa zachová energia a moment hybnosti).
Každopádne však stabilné kruhové orbity sú možné len v dimenziách 2 a 3 a stabilné
eliptické orbity len v dimenzii 3.
K podobným efektom by dochádzalo aj pôsobením elektrostatickej sily, pod vplyvom
ktorej sa elektróny pohybujú okolo jadra atómu. Dvojrozmerný atóm by bol natoľko
stabilný, že by sa vôbec nemohol ionizovať, teda v dvojrozmernom priestore by vôbec
nemohlo dochádzať ku vzniku chemických zlúčenín. Vo viac než trojrozmernom prie-
store by zas nemohli existovať stabilné atómy ­ pri najmenšej odchýlke by elektrón po
špirálovej dráhe z atómu unikol alebo spadol na jadro. Jemnejšia analýza kvantovo-
mechanických javov ukazuje, že pre n  5 ­ aj bez pôsobenia vyvolávajúceho malú
odchýlku ­ by elektróny v obale atómu samovoľne prechádzali na čoraz vzdialenejšie
orbity, teda atóm vo viac než štvorrozmernom priestore by sa spontánne ionizoval.
Prípad n = 4 je opäť singulárny: moment hybnosti obiehajúceho elektrónu by mohol
nadobúdať len jedinú pevne stanovenú hodnotu.
Pokiaľ teda uznáme oprávnenosť vykonanej extrapolácie fyzikálnych zákonov troj-
rozmerného sveta aj na svety iných rozmerov (čo je zrejme najproblematickejšie miesto
našich úvah), dochádzame k záveru, že tak stabilné sýstémy planét obiehajúcich okolo
centrálnych hviezd ako aj stabilné a jednako zlučovania schopné atómy pozostávajúce
z jadra a elektrónového obalu sú možné len v trojrozmernom priestore.
Cvičenia
1. Dokážte tvrdenie 5.2.3. (Návod: Použite Stenitzovu vetu 5.1.1 a tvrdenie 5.2.1.)
2. Vyberte z daných vektorov bázu vektorového priestoru V nad poľom K (ak je to možné; ak to
nie je možné, zdôvodnite prečo):
(a) K = R, V = R3, x = (2, 2, 3)T , y = (-1, 0, 2)T , z = (0, 2, 7)T , u = (1, 2, 7)T , v = (3, 2, 1)T ;
(b) K = C, V = C4, x = (1, i, 1, i), y = (i, 1, i, 1), z = (1, 1, 1, 1), u = (1, 0, 0, 1), v = (0, i, i, 0);
(c) K = Z5, V = Z3
5, x = (0, 1, 2, 3)T , y = (1, 2, 3, 4)T , z = (2, 1, 0, 4)T , u = (1, 3, 0, 2)T ,
v = (3, 4, 0, 1)T ;
(d) K = Q, V = Q(3)[x], f0(x) = 1, f1(x) = 1 + x, f2(x) = (1 + x)2, f3(x) = (1 + x)3.
3. Doplňte uvedené vektory do bázy vektorového priestoru V nad poľom K (ak je to možné; ak to
nie je možné, zdôvodnite prečo):
(a) K = R, V = R(2)[x], g(x) = 1 + 2x + 7x2, h(x) = 1 + x;
(b) K = C, V = C4, u = (1 + i, 1 - i, 2, 2i)T , v = (1 + 3i, 3 - i, 4 + 2i, -2 + 4i)T ;
(c) K = Z7, V = Z
(3)
7 [x], f0(x) = 5 + 6x + 5x2 + 6x3, f1(x) = 6 + 5x + 6x2 + 5x3;
(d) K = Z11, V = Z
(3)
11 [x], f0(x) = 5 + 6x + 5x2 + 6x3, f1(x) = 6 + 5x + 6x2 + 5x3.
5. BÁZA A DIMENZIA 13
4. V každej z úloh cvičení 2 a 3 určte dimenziu lineárneho podpriestoru generovaného všetkými
danými vektormi.
5. Dokážte tvrdenie 5.3.2.
6. Podrobne dokážte, že (n) = (e1, . . . , en) je báza vektorového priestoru Kn.
7. Doplňte vynechané podrobnosti v príklade 5.3.5.
8. Dokážte, že uvedená konečná postupnosť vektorov  tvorí bázu vektorového priestoru V nad
poľom K a nájdite súradnice vektorov x, y v tejto báze.
(a) K = R, V = R3,  = (1, 2, 3)T , (1, -1, 1)T , (2, 1, 0)T , x = (1, 1, 1)T , y = (0, 1, -2)T ;
(b) K = C, V = C(2)[z],  = (1 + i, 1 + iz, i - z2), x = f(z) = z, y = g(z) = 1 + z2;
(c) K = Z2, V = Z4
2,  = (1, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 1)T , (1, 0, 0, 1)T , (0, 1, 1, 1)T ), x = (1, 0, 0, 0)T ,
y = (1, 1, 1, 0)T ;
(d) K = R, V = C,  = (1 + i, 1 - i), x = 1, y = i.
8. Dokážte, že vektory u1, . . . , uk, v1, . . . , vm-k, w1, . . . , wn-k z dôkazu vety 5.4.1 naozaj generujú
lineárny podpriestor S + T.
9. Zovšeobecnite dôsledok 5.4.2 na súčet ľubovoľného konečného počtu lineárnych podpriestorov a
dokážte toto zovšeobecnenie.
10. Doplňte vynechané podrobnosti v dôkaze tvrdenia 5.4.3.
11. Nech A  Km×n je matica v stupňovitom tvare. Dokážte, že
(a) jej nenulové riadky tvoria bázu lineárneho podpriestoru [r1(A), . . . , rm(A)]  K1×n;
(b) jej stĺpce, v ktorých ležia vedúce prvky jej riadkov, tvoria bázu lineárneho podpriestoru
[s1(A), . . . , sn(A)]  Km×1.
(c) Odvoďte z (a) a (b), že pre matice v stupňovitom tvare platí dim[r1(A), . . . , rm(A)] =
dim[s1(A), . . . , sn(A)].
12. Nech A, B  Km×n. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia:
(a) A  B  [r1(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), . . . , rm(B)].
(b) Ak A  B a B je navyše v stupňovitom tvare, tak jej nenulové riadky tvoria bázu lineárneho
podpriestoru [r1(A), . . . , rm(A)]  K1×n.
(c) Na základe (b) sformulujte postup, ako možno úpravou vhodnej matice pomocou ERO nájsť
k daným (riadkovým) vektorom x1, . . . , xm  Kn nejakú bázu ich lineárneho obalu [x1, . . . , xm].
Táto báza nie je spravidla (až na veľmi špeciálne prípady) vybraná z vektorov x1, . . . , xm, na
druhej strane však možno úpravou príslušnej matice na redukovaný stupňovitý tvar dosiahnuť
veľmi jednoduchý a prehľadný tvar tejto bázy.
(d) Riešte analogickú úlohu ako v (c) pre stĺpcové vektory.
13. S využitím cvičenia 12 (b) nanovo dokážte jednoznačnosť redukovaného stupňovitého tvaru danej
matice, t. j. pre ľubovoľné matice A, B  Km×n v redukovanom stupňovitom tvare platí A 
B  A = B (porovnaj s cvičením 3.13). (Návod: Uvedomte si, že sa stačí obmedziť na matice
s nenulovými riadkami, a ďalej postupujte indukciou podľa počtu riadkov m.)
14. S použitím cvičenia 13 dokážte zosilnenie tvrdenia z cvičenia 12 (a) do podoby ekvivalencie, t. j.
pre ľubovoľné A, B  Km×n platí A  B  [r1(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), . . . , rm(B)].
15. S využitím výsledkov cvičenia 12 nájdite pre uvedené vektory z vektorového priestoru V nad
poľom K
"
čo najjednoduchšiu" bázu ich lineárneho obalu a doplňte ju (ak treba) do
"
čo najjed-
noduchšej" bázy celého priestoru V :
(a) K = R, V = R4, x = (2, 0, 0, 3), y = (4, -1, 4, 0), z = (2, -1, 4, 3), u = (-2, 2, -8, -9);
(b) K = R, V = R4, x = (0, 0, 2, -1)T, y = (3, -1, 2, 0)T, z = (-3, 1, 2, -2)T, u = (2, -1, 1, -2)T;
(c) K = C, V = C3, x = (i, 1, 1 + i), y = (1 + i, 1 - i, 2), z = (2, -i, 3 - 2i)T ;
(d) K = R, V = R(3)[x], f(x) = 2 + x + x2 - x3, g(x) = 2x2 - x3, h(x) = 1 - x + 2x2;
(e) K = Z5, V = Z3
5, x = (2, 4, 3), y = (0, 1, 2), z = (4, 0, 0);
(f) K = Z7, V = Z
(2)
7 [x], f(x) = 2 + 4x + 3x2, g(x) = x + 2x2, h(x) = 4.
14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
16. Nech q = 1 je ľubovoľné reálne číslo. Pre k, n  N, k  n, definujme q-binomický koeficient ako
výraz n
k q
=
(qn
-1)(qn-1
-1)...(qn-k+1
-1)
(qk-1)(qk-1-1)...(q-1)
. Špeciálne pre k = 0 sa tým myslí n
0 q
= 1. Pre k > n
navyše kladieme n
k q
= 0. Potom pre ľubovoľné k  n platí:
(a) n
k q
= n
n-k q
, (b) n
k
= lim
q1
n
k q
, (c) n
0 q
= n
n q
= 1,
(d) n+1
k q
= n
k-1 q
+ qk n
k q
= qn-k+1 n
k-1 q
+ n
k q
, ak 1  k  n.
Dokážte. Rovnosti (c) a (d) sa nazývajú pravidlami q-Pascalovho trojuholníka pre q-binomické
koeficienty (porovnaj s cvičením 0.18).
17. Nech pole K je konečné a má práve q prvkov. Pre k, n  N označme Cq(n, k) počet všetkých
k-rozmerných lineárnych podpriestorov vektorového priestoru Kn. Dokážte postupne nasledujúce
tvrdenia:
(a) Pre ľubovoľné n platí Cq(n, 0) = Cq(n, n) = 1 a Cq(n, k) = 0 pre k > n.
(b) Cq(n, k) sa rovná počtu všetkých matíc A  Kk×n v redukovanom stupňovitom tvare, ktoré
majú všetky riadky nenulové. (Návod: Uvažujte Kn ako priestor riadkových vektorov a na základe
cvičení 12 a 13 reprezentujte každý jeho k-rozmerný lineárny podpriestor jednoznačne určenou
bázou, ktorej vektory, zapísané ako riadky pod sebou, tvoria maticu v redukovanom stupňovitom
tvare.)
(c) Pre 1  k  n platí Cq(n + 1, k) = Cq(n, k - 1) + qkCq(n, k). To spolu s (a) zabezpečuje,
že čísla Cq(n, k) vyhovujú rovnakým podmienkam q-Pascalovho trojuholníka ako q-binomické
koeficienty n
k q
. (Návod: Využite (b); matice A  Kk×(n+1) v redukovanom stupňovitom tvare
s nenulovými riadkami rozdeľte do dvoch skupín podľa toho, či vedúci prvok posledného riadku
leží alebo neleží v poslednom stĺpci ­ ukážte, že prvých je Cq(n, k - 1) a druhých qkCq(n, k).)
(d) Odvoďte z (a) a (c) rovnosť Cq(n, k) = n
k q
pre všetky k, n  N.
(e) Koľko k-rozmerných lineárnych podpriestorov majú vektorové priestory Zn
p nad poľom Zp pre
p = 2, 3, 5, 7, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0  k  n? Zostrojte počiatočné úseky príslušných p-Pascalových
trojuholníkov.
18. Nech K je pole a (pk(x))
k=0 je postupnosť polynómov z K[x] taká, že stupeň polynómu pk(x)
je práve k. Dokážte, že postupnosť (pk(x)) je bázou vektorového priestoru K[x] (využite cviče-
nie 4.11).