6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA
Zatiaľ sme sa pri štúdiu lineárnej algebry sústredili zakaždým na štruktúru jedného,
izolovaného vektorového priestoru. Doteraz sme si nevybudovali pojmy, ktoré by nám
umožnili štúdium vzťahov medzi viacerými vektorovými priestormi. V tejto kapitole
hodláme zaplniť túto medzeru. Zavedieme a bližšie preskúmame pojem lineárneho zo-
brazenia, ktorý nám umožní porovnávať štruktúry rôznych vektorových priestorov nad
tým istým pevne zvoleným poľom. Voľne povedané, pôjde o zobrazenia medzi vektoro-
vými priestormi, ktoré zachovávajú ich lineárnu štruktúru.
6.1. Lineárne zobrazenia
Nech U, V sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Hovoríme, že : V  U je
lineárne zobrazenie, ak  zachováva operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku,
t. j. ak pre ľubovoľné x, y  V , c  K platí
(x + y) = (x) + (y),
(cx) = c(x).
Ako cvičenie si dokážte, že lineárne zobrazenia zachovávajú nulu a opačné vektory,
t. j. pre lineárne zobrazenie : V  U a x  V platí
(0) = 0, (-x) = -(x).
Zrejme pre každý vektorový priestor V identita idV : V  V je lineárne zobrazenie.
Taktiež pre ľubovoľné vektorové priestory U, V nad poľom K zobrazenie 0: V  U,
ktoré každému vektoru x  V priradí nulový vektor 0  U, je lineárne. Komutatívnosť
operácie súčinu v poli a jeho distributívnosť vzhľadom na sčítanie znamená, že pre
ľubovoľný pevný skalár a  K je priradením x  ax definované lineárne zobrazenie
K  K. Čoskoro sa zoznámime aj s menej triviálnymi príkladmi lineárnych zobrazení.
No zatiaľ si ešte všimnime jednu odlišnosť v použití názvu
"
lineárne zobrazenie"
v lineárnej algebre oproti matematickej analýze, kde sa pod lineárnou funkciou R  R
rozumie ľubovoľná funkcia tvaru f(x) = ax+b, kde a, b  R. Ľahko sa možno presvedčiť,
že takéto f : R  R je lineárne zobrazenie v zmysle našej definície práve vtedy, keď b = 0.
Neskôr zavedieme širšiu triedu zobrazení medzi vektorovými priestormi, ktorá zahŕňa
aj takéto
"
v zmysle matematickej analýzy lineárne" zobrazenia.
Lineárne zobrazenia možno charakterizovať ako zobrazenia medzi vektorovými prie-
stormi (nad tým istým poľom), ktoré zachovávajú lineárne kombinácie. Jednoduchý
dôkaz tohto pozorovania prenechávame čitateľovi. (Návod: Pozrite sa na dôkaz tvrde-
nia 4.1.2.)
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
6.1.1. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a : V  U je
ľubovoľné zobrazenie. Nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i)  je lineárne zobrazenie;
(ii) pre všetky x, y  V , a, b  K platí (ax + by) = a(x) + b(y);
(iii) pre ľubovoľné n  N a všetky x1, . . . , xn  V , c1, . . . , cn  K platí
(c1x1 + . . . + cnxn) = c1(x1) + . . . + cn(xn).
Nasledujúce dve tvrdenia zachytávajú významné vlastnosti lineárnych zobrazení:
kompozícia lineárnych zobrazení je opäť lineárne zobrazenie a obrazy i vzory lineár-
nych podpriestorov v lineárnych zobrazeniach sú tiež lineárnymi podpriestormi.
6.1.2. Tvrdenie. Nech U, V , W sú vektorové priestory nad poľom K a : W  V ,
: V  U sú lineárne zobrazenia. Potom aj ich kompozícia   : W  U je lineárne
zobrazenie.
Dôkaz. Overíme, že i zložené zobrazenie    zachováva lineárne kombinácie. Nech
x, y  W, a, b  K. S využitím linearity zobrazení  a  postupne dostávame
(  )(ax + by) = ((ax + by)) = (ax + by)
= a(x) + b(y) = a(  )(x) + b(  )(y).
Podľa tvrdenia 6.1.1 to znamená, že zobrazenie    je lineárne.
6.1.3. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a : V  U je
lineárne zobrazenie.
(a) Ak S je lineárny podpriestor priestoru V , tak (S) je lineárny podpriestor prie-
storu U.
(b) Ak T je lineárny podpriestor priestoru U, tak -1
(T) je lineárny podpriestor
priestoru V .
Dôkaz. (a) Keďže 0  S, 0 = (0)  (S). Overíme, že obraz (S) je uzavretý vzhľa-
dom na lineárne kombinácie. Nech a, b  K, u, v  (S). Potom existujú x, y  S také,
že u = (x), v = (y). S využitím linearity  dostávame:
au + bv = a(x) + b(y) = (ax + by)  (S),
lebo ax + by  S, nakoľko S  V je lineárny podpriestor.
(b) Keďže (0) = 0  T, 0  -1
(T). Ukážeme, že aj vzor -1
(T) je uzavretý
vzhľadom na lineárne kombinácie. Zvoľme a, b  K, x, y  -1
(T). To znamená, že
(x), (y)  T. Z linearity  vyplýva
(ax + by) = a(x) + b(y)  T,
lebo T  U je lineárny podpriestor. Preto ax + by  -1
(T).
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 3
6.1.4. Príklad. Nech K je pole. Distributívnosť súčinu matíc vzhľadom na ich súčet a
jeho zameniteľnosť s operáciou skalárneho násobku (pozri odstavec 2.2.2) vlastne hovo-
rí, že pre pevné m, n, p  N a ľubovoľnú maticu A  Km×n
je priradením X  A  X
definované lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi matíc Kn×p
 Km×p
.
Podobne je priradením Y  Y  A definované lineárne zobrazenie Kp×m
 Kp×n
.
Špeciálne pre p = 1 je takto definované lineárne zobrazenie x  A  x medzi stĺpco-
vými vektorovými priestormi Kn
 Km
, resp. lineárne zobrazenie y  y  A medzi
riadkovými vektorovými priestormi Km
 Kn
. Neskôr uvidíme, že každé lineárne zob-
razenie medzi konečnorozmernými vektorovými priestormi nad K má
"
v podstate"
takúto podobu.
6.1.5. Príklad. Nech K je pole. Pre m, n  N a pevné 1  i  m, 1  j  n sú
predpismi A  ri(A), A  sj(A) definované lineárne zobrazenia Km×n
 K1×n
resp. Km×n
 Km×1
. Takisto A  AT
je lineárne zobrazenie Km×n
 Kn×m
.
6.1.6. Príklad. Nech V je vektorový priestor nad poľom K, X je množina a x  X
je pevne zvolený prvok. Pripomeňme, že V X
je vektorový priestor všetkých funkcií
f : X  V (pozri 1.6.5). Dosadenie prvku x do funkcie f, t. j. priradenie f  f(x), je
lineárne zobrazenie V X
 V . Podobne, pre ľubovoľnú podmnožinu Y  X je zúženie
f  f Y lineárne zobrazenie V X
 V Y
.
6.1.7. Príklad. Označme V množinu všetkých konvergentných postupností reálnych
čísel. Zrejme V je lineárny podpriestor vektorového priestoru RN
všetkých postupností
reálnych čísel. Potom zobrazenie V  R, ktoré postupnosti a = (an)
n=0  V priradí
jej limitu limn an, je lineárne.
6.1.8. Príklad. (a) Nech X  R a V označuje množinu všetkých zobrazení X  R,
ktoré majú v pevne zvolenom vnútornom bode a množiny X konečnú deriváciu. Zrejme
V je lineárny podpriestor vektorového priestoru RX
. Potom zobrazenie V  R, ktoré
funkcii f  V priradí jej deriváciu f (a) v bode a, je lineárne.
(b) Nech X  R je ľubovoľný netriviálny interval. Pripomeňme, že D(X) označuje
lineárny podpriestor vektorového priestoru RX
, tvorený všetkými funkciami f : X  R,
ktoré majú v každom bode x  X konečnú deriváciu (pozri príklad 4.1.3 (c)). Potom
derivácia, t. j. priradenie f  f , je lineárne zobrazenie D(X)  RX
.
6.1.9. Príklad. Pre reálne čísla a < b označuje C a, b lineárny podpriestor vektoro-
vého priestoru R a,b
, tvorený všetkými spojitými funkciami f : a, b  R (pozri prí-
klad 4.1.3 (b)).
(a) Určitý integrál f 
b
a
f(x) dx je lineárne zobrazenie C a, b  R.
(b) Podobne, na určitý integrál ako funkciu hornej medze, ktorý funkcii f  C a, b
priradí jej primitívnu funkciu F  C a, b danú predpisom
F(x) =
x
a
f(t) dt, (a  x  b),
sa možno dívať ako na lineárne zobrazenie C a, b  C a, b .
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
6.2. Jadro a obraz lineárneho zobrazenia
Nech : V  U je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi nad poľom K.
Jeho jadrom nazývame množinu
Ker  = -1
(0) = {x  V ; (x) = 0}.
Obrazom lineárneho zobrazenia  nazývame, v zhode s paragrafom 0.3, množinu
Im  = (V ) = {(x); x  V }.
(Označenie pochádza z anglických slov kernel a image.)
Keďže {0} je lineárny podpriestor priestoru U a V je lineárny podpriestor priestoru V ,
ako špeciálny prípad tvrdenia 6.1.3 dostávame nasledujúci výsledok.
6.2.1. Tvrdenie. Nech : V  U je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestor-
mi nad poľom K. Potom Ker  je lineárny podpriestor priestoru V a Im  je lineárny
podpriestor priestoru U.
Pomocou pojmov jadra a obrazu možno charakterizovať injektívne resp. surjektívne
lineárne zobrazenia.
6.2.2. Veta. Nech : V  U je lineárne zobrazenie. Potom
(a)  je injektívne práve vtedy, keď Ker  = {0};
(b)  je surjektívne práve vtedy, keď Im  = U.
Dôkaz. (a) Ak  je injektívne, tak 0  V je jediný prvok priestoru V , ktorý sa zobrazí
na 0  U. Teda Ker  = {0}. Naopak, ak  nie je injektívne, tak existujú x, y  V
také, že x = y a (x) = (y). Potom x - y = 0 a (x - y) = (x) - (y) = 0, teda
x - y  Ker . Inak povedané, Ker  = {0}.
(b) je priamo definícia surjektívnosti.
Treba poznamenať, že zakiaľ časť (b) uvedeného tvrdenia je triviálna a platí aj bez
predpokladu linearity zobrazenia , o časti (a) to už povedať nemožno. Pre všeobecné
zobrazenie : V  U by sa totiž mohlo stať, že 0  V je jediný prvok, ktorý sa zobrazí
na 0  U, no  aj tak nie je injektívne. Stále by totiž mohol existovať nejaký vektor
0 = u  U a dva rôzne vektory x, y  V také, že (x) = u = (y). Spomínané
tvrdenie teda hovorí, že lineárne zobrazenia majú značne homogénnu štruktúru, takže
ich injektivitu nemusíme zisťovať
"
všade" ­ dá sa rozpoznať už podľa množiny vzorov
jediného prvku 0  U.
6.2.3. Veta. Nech : V  U je lineárne zobrazenie, pričom vektorový priestor V je
konečnorozmerný. Potom aj Ker  a Im  sú konečnorozmerné priestory a platí
dim V = dim Ker  + dim Im .
Dôkaz. Stačí dokázať uvedenú rovnosť pre dimenzie, konečný rozmer podpriestorov
Ker  a Im  je už jej dôsledkom.
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 5
Označme k = dim Ker , l = dim V - k. Zrejme l  0. Nech u1, . . . , uk je nejaká
báza priestoru Ker . Doplňme ju do bázy u1, . . . , uk, v1, . . . , vl priestoru V . Potom
(u1) = . . . = (uk) = 0. Dokážeme, že vektory (v1), . . . , (vl) tvoria bázu priestoru
Im , z čoho už vyplýva požadovaná rovnosť.
Najprv dokážeme, že vektory (v1), . . . , (vl) generujú podpriestor Im   U. Každý
vektor w  Im  možno vyjadriť v tvare w = (x) pre nejaké x  V , ktoré je
vhodnou lineárnou kombináciou x = a1u1 + . . . + akuk + b1v1 + . . . + blvl vektorov
u1, . . . , uk, v1, . . . , vl bázy priestoru V . Potom
w = (x) = (a1u1 + . . . + akuk + b1v1 + . . . + blvl)
= a1(u1) + . . . + ak(uk) + b1(v1) + . . . + bl(vl)
= b1(v1) + . . . + bl(vl),
teda w  [(v1), . . . , (vl)].
Zostáva dokázať lineárnu nezávislosť vektorov (v1), . . . , (vl). Nech c1, . . . , cl sú
skaláry také, že c1(v1) + . . . + cl(vl) = 0. Potom (c1v1 + . . . + clvl) = 0, teda
c1v1 + . . . + clvl  Ker . Preto sa tento vektor musí dať vyjadriť ako lineárna kom-
binácia c1v1 + . . . + clvl = d1u1 + . . . + dkuk vektorov bázy u1, . . . , uk podpries-
toru Ker . Z lineárnej nezávislosti bázy u1, . . . , uk, v1, . . . , vl priestoru V vyplýva
c1 = . . . = cl = 0 = d1 = . . . = dk, teda aj nezávislosť vektorov (v1), . . . , (vl).
Dimenziu obrazu Im  nazývame hodnosťou lineárneho zobrazenia  a značíme ju
h() = dim Im .
Lineárne zobrazenie : V  V vektorového priestoru V do seba nazývame lineárnym
operátorom alebo lineárnou transformáciou.
Ako sme spomínali v paragrafe 0.5, transformácia f : X  X konečnej množiny X
je injektívna práve vtedy, keď je surjektívna. Ako dôsledok práve dokázanej vety dostá-
vame analogický výsledok aj pre lineárne transformácie konečnorozmerných vektorových
priestorov.
6.2.4. Dôsledok. Nech : V  V je lineárna transformácia konečnorozmerného vek-
torového priestoru V . Potom  je injektívna práve vtedy, keď je surjektívna.
Dôkaz. Nech dim V = n. Potom  je injektívne práve vtedy, keď dim Ker  = 0, a
surjektívne práve vtedy, keď dim Im  = n. Keďže dim Ker  + dim Im  = n, obe tieto
podmienky sú ekvivalenté.
6.3. Lineárne izomorfizmy
Bijektívne lineárne zobrazenie : V  U medzi vektorovými priestormi V , U nad tým
istým poľom K nazývame lineárny izomorfizmus. Hovoríme, že vektorové priestory V ,
U sú lineárne izomorfné alebo len krátko izomorfné, označenie V = U, ak existuje
nejaký lineárny izomorfizmus : V  U.
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
6.3.1. Tvrdenie. Nech U, V , W sú vektorové priestory nad poľom K.
(a) idV : V  V je lineárny izomorfizmus.
(b) Ak : V  U je lineárny izomorfizmus, tak aj -1
: U  V je lineárny izomor-
fizmus.
(c) Ak : W  V , : V  U sú lineárne izomorfizmy, tak aj   : W  U je
lineárny izomorfizmus.
Dôkaz. (a) je triviálne, (c) vyplýva z toho, že kompozícia bijekcií je bijekcia a kompo-
zícia lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Zostáva dokázať (b). Treba overiť, že
inverzné zobrazenie -1
: U  V k lineárnej bijekcii : V  U je tiež lineárne (jeho
bijektívnosť je totiž zrejmá).
Zvoľme u, v  U, a, b  K. Máme dokázať rovnosť
-1
(au + bv) = a-1
(u) + b-1
(v),
ktorá je ekvivalentná s podmienkou
au + bv =  a-1
(u) + b-1
(v) .
Vďaka linearite  a vzťahu   -1
= idU naozaj dostávame
 a-1
(u) + b-1
(v) = a-1
(u) + b-1
(v) = au + bv.
Z práve dokázaného tvrdenia okamžite vyplýva nasledujúci dôsledok.
6.3.2. Dôsledok. Pre vektorové priestory U, V , W nad tým istým poľom platí:
(a) V = V ;
(b) V = U  U = V ;
(c) W = V & V = U  W = U.
Hovoríme, že vzťah izomorfnosti = je reflexívny, symetrický a tranzitívny, t. j. je
vzťahom ekvivalencie. Z formálneho hľadiska s ním teda môžeme narábať podobne ako
so vzťahom rovnosti =.
Izomorfné vektorové priestory majú rovnakú štruktúru, líšia sa nanajvýš označením
svojich prvkov, nie však vzťahmi medzi nimi. Preto ich možno v prípade potreby sto-
tožniť, či nahradiť jeden vektorový priestor jeho izomorfnou kópiou. Z toho dôvodu je
dôležité mať k dispozícii vhodnú triedu vektorových priestorov nad daným poľom, ktorá
by pre každý vektorový priestor obsahovala nejaký priestor s ním izomorfný.
6.3.3. Príklad. (a) Nech V je konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom K,
dim V = n a  = (v1, . . . , vn) je nejaká jeho báza. Potom tvrdenie 5.3.2 vlastne hovorí,
že súradnicové zobrazenie x  (x) je lineárny izomorfizmus V  Kn
.
(b) Podobne možno nahliadnuť, že (i v nekonečnorozmernom prípade) určuje Ha-
melova báza X vektorového priestoru V súradnicové zobrazenie v  (v)X, ktoré je
lineárnym izomorfizmom V  K(X)
(pozri záver paragrafu 5.5).
Na záver tohto paragrafu ešte ukážeme, že typ izomorfizmu daného konečnorozmer-
ného priestoru je jednoznačne určený jeho dimenziou.
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 7
6.3.4. Veta. Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K. Potom
V = U  dim V = dim U.
Dôkaz. Nech V = U a  : V  U je lineárny izomorfizmus. Potom Ker  = {0} a
Im  = U Podľa vety 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu
dim V = dim Ker  + dim Im  = 0 + dim U = dim U.
Naopak, nech dim V = dim U = n. Podľa príkladu 6.3.3 (a) platí V = Kn = U.
Teda konečnorozmerný vektorový priestor V nad poľom K je izomorfný so stĺpcovým
(no rovnako aj s riadkovým) vektorovým priestorom Kn
práve vtedy, keď n = dim V .
Pritom každá báza  priestoru V určuje jeden takýto izomorfizmus V  Kn
­ je ním
súradnicové zobrazenie x  (x).
6.4. Matica lineárneho zobrazenia
Uvažujme nejaké lineárne zobrazenie : Kn
 Km
. V priestore Kn
máme kanonickú
bázu (n)
= (e1, . . . , en). Keďže obrazy (ej) vektorov tejto bázy sú stĺpcové vektory
z priestoru Km
, môžeme vytvoriť maticu
A = ((e1), . . . , (en))  Km×n
,
ktorej stĺpcami sú práve tieto vektory, t. j. platí sj(A) = (ej) pre 1  j  n. Ukážeme,
ako možno obraz (x) ľubovoľného vektora x = (x1, . . . , xn)T
 Kn
vypočítať len zo
znalosti tejto matice. Uvedomme si, že x = x1e1 +    + xnen, a počítajme
(x) = (x1e1 + . . . + xnen) = x1(e1) + . . . + xn(en)
= (s1(A), . . . , sn(A)) 


x1
...
xn

 = A  x
Teda každé lineárne zobrazenie : Kn
 Km
má tvar (x) = A  x pre vhodnú
maticu A  Km×n
. Keďže každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom K je
izomorfný s priestorom Kn
pre n = dim V , pri voľbe pevných báz v konečnorozmer-
ných priestoroch U, V bude možné ľubovoľné lineárne zobrazenie : V  U zakódovať
pomocou vhodnej matice A.
Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K, dim U = m,
dim V = n a  = (u1, . . . , um),  = (v1, . . . , vn) sú bázy v U, resp. vo V . Maticou
lineárneho zobrazenia : V  U vzhľadom na bázy ,  nazývame maticu
A = (v1), . . . , (vn)  Km×n
,
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
ktorej stĺpce sú tvorené súradnicami obrazov (vj) vektorov bázy  vzhľadom na bázu
, t. j. platí sj(A) = (vj) pre 1  j  n. Túto maticu značíme tiež
A = (),.
(Všimnite si obrátené poradie znakov báz voči poradiu vektorových priestorov v ozna-
čení zobrazenia : V  U.)
Maticu A zo začiatku tohto paragrafu by sme teda mohli nazvať maticou lineárneho
zobrazenia : Kn
 Km
vzhľadom na kanonické bázy (n)
, (m)
. Pokiaľ nepovieme
inak, budeme pod maticou lineárneho zobrazenia : Kn
 Km
medzi stĺpcovými
vektorovými priestormi vždy rozumieť maticu ()(m),(n) zobrazenia  vzhľadom na
kanonické bázy.
Pokiaľ budeme skúmať lineárne transformácie : V  V konečnorozmerného vek-
torového priestoru V , budeme väčšinou vzory i obrazy vektorov z V vyjadrovať v tej
istej báze. Maticou lineárnej transformácie : V  V vzhľadom na bázu  priestoru
V teda rozumieme maticu (),.
Pri dôkaze nasledujúcej vety bude potrebné si uvedomiť, že (vj) = e
(n)
j pre ľubo-
voľný vektor vj bázy  = (v1, . . . , vn) priestoru V . Z toho je zrejmé, že pre každú bázu
 n-rozmerného vektorového priestoru V platí
(idV ), = In.
6.4.1. Veta. Nech : V  U je lineárne zobrazenie medzi konečnorozmernými vekto-
rovými priestormi nad poľom K, dim V = n, dim U = m a ,  sú bázy priestorov U
resp. V . Potom pre všetky x  V platí
(x) = (),  (x)
a A = (), je jediná matica s touto vlastnosťou.
Dôkaz. Nech  = (v1, . . . , vn). Zvoľme ľubovoľný vektor x  V a označme (x) =
(x1, . . . , xn)T
, teda x = x1v1 +    + xnvn. Podobne ako v špeciálnom prípade zo
začiatku tohto paragrafu, i teraz dostávame
(x) = (x1v1 + . . . + xnvn) = x1(v1) + . . . + xn(vn),
(x) = x1(v1) + . . . + xn(vn) 
= x1(v1) + . . . + xn(vn)
= (v1), . . . , (vn) 


x1
...
xn

 = (),  (x).
Zostáva ukázať, že pre ľubovoľnú maticu A  Km×n
platí
 x  V (x) = A  (x)  A = (),.
Za uvedeného predpokladu voľbou x = vj dostávame
(vj) = A  (vj) = A  ej = sj(A)
pre každé 1  j  n. Teda matice A a (), majú rovnaké stĺpce, preto sa rovnajú.
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 9
Matica (), lineárneho zobrazenia : V  U z n-rozmerného vektorového prie-
storu V do m-rozmerného vektorového priestoru U nad poľom K vzhľadom na bázy ,
 je teda medzi všetkými maticami A  Km×n
jednoznačne určená podmienkou
(x) = A  (x)
pre každé x  V .
Ďalej si ukážeme, že skladanie lineárnych zobrazení zodpovedá násobeniu matíc, čo
umožňuje vypočítať maticu kompozície lineárnych zobrazení  len zo znalosti matíc
jednotlivých zobrazení  a . Tento výsledok definitívne
"
ospravedlňuje" spôsob, akým
sme súčin matíc definovali v odstavci 2.2.2.
6.4.2. Veta. Nech U, V , W sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K,
 je báza U,  je báza V a  je báza W. Potom pre ľubovoľné lineárne zobrazenia
: W  V , : V  U platí
(  ), = (),  (),.
Dôkaz. Označme A = (), maticu lineárneho zobrazenia  vzhľadom na bázy ,  a
B = (), maticu lineárneho zobrazenia  vzhľadom na bázy , . Dokážeme rovnosť
(  ), = A  B.
Na základe definície matíc A, B pre ľubovoľné x  U platí
(  )x 
= (x) 
= A  (x)
= A  B  (x) = (A  B)  (x).
Keďže matica kompozície    vzhľadom na bázy ,  je podľa vety 6.4.1 touto pod-
mienkou určená jednoznačne, dôkaz je hotový.
V nasledujúcich príkladoch sa zoznámime s niekoľkými dôležitými lineárnymi trans-
formáciami roviny R2
a ich maticami vzhľadom na kanonickú bázu  = (e1, e2).
6.4.3. Príklad. Otočenie roviny okolo počiatku o uhol   R je lineárne zobrazenie
R : R2
 R2
. Homogenita je zrejmá na prvý pohľad. O aditivite sa presvedčíme nasle-
dujúcou úvahou. Ak otočíme rovnobežník vektorov x, y  R2
o uhol , dostaneme tak
rovnobežník prislúchajúci vektorom R(x), R(y). Pritom uhlopriečka prvého rovno-
bežníka prejde na uhlopriečku druhého. Teda R(x + y) = R(x) + R(y) (nakreslite
si obrázok). Maticu tohto lineárneho zobrazenia vzhľadom na kanonickú bázu  budeme
značiť rovnako R, teda pre x  R2
budeme písať R(x) = R  x. Jej stĺpce získame
otočením vektorov e1 = (1, 0)T
, e2 = (0, 1)T
o uhol . Z definície goniometrických
funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice priamo dostávame
R  e1 =
cos 
sin 
, R  e2 =
cos 
2 + 
sin 
2 + 
=
- sin 
cos 
.
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
To znamená, že
R =
cos  - sin 
sin  cos 
a obrazom ľubovoľného vektora (x, y)T
 R2
v otočení R je vektor
R 
x
y
=
x cos  - y sin 
x sin  + y cos 
.
6.4.4. Príklad. Osová súmernosť roviny podľa ľubovoľnej priamky prechádzajúcej po-
čiatkom definuje zobrazenie S : R2
 R2
, kde   R je uhol, ktorý zviera os súmernosti
s osou x. Obdobnou úvahou ako v prípade otočení možno nahliadnuť, že i S je line-
árne zobrazenie. Jeho maticu vzhľadom na kanonickú bázu  budeme značiť rovnako
S. Zrejme matica súmernosti podľa osi x je
S0 =
1 0
0 -1
a osovú súmernosť S možno dostať ako kompozíciu otočenia R-, osovej súmernosti
S0 a otočenia R, t. j.
S = R  S0  R-.
Po vynásobení príslušných matíc z toho s využitím pár trigonometrických vzorcov do-
stávame
S =
cos 2 sin 2
sin 2 - cos 2
.
Teda osová súmernosť S zobrazí vektor (x, y)T
 R2
do vektora
S 
x
y
=
x cos 2 + y sin 2
x sin 2 - y cos 2
.
6.4.5. Príklad. Rovnoľahlosť alebo tiež homotetia so stredom v počiatku a s koefi-
cientom podobnosti 0 = c  R je opäť lineárne zobrazenie R2
 R2
s maticou cI2 =
diag(c, c). Tento príklad možno zrejmým spôsobom zovšeobecniť na ľubovoľnú dimenziu
n.
6.4.6. Príklad. Skosenie v smere osi x s parametrom a. Pre ľubovoľné a  R je prira-
dením

x
y
=
x
ax + y
=
1 0
a 1

x
y
definovaná lineárna transformácia roviny, ktorá posúva každú jej
"
vodorovnú vrstvu"
{(x, y); y = s}, s  R, o vektor ase1 (nakreslite si obrázok). Analogické lineárne trans-
formácie fungujú aj vo viacrozmerných priestoroch Rn
ako aj v konečnorozmerných
vektorových priestoroch nad ľubovoľným poľom.
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 11
6.4.7. Príklad. Galileova transformácia
"
roviny", alebo skôr
"
časopriamky" R2
je z for-
málneho hľadiska totožná so skosením v smere časovej osi t s parametrom a = -v:
t = t
x = -vt + x,
t. j.
t
x
=
1 0
-v 1

t
x
.
Ak k týmto rovniciam ešte doplníme y = y, z = z, dostaneme Galileovu transfor-
máciu
"
časopriestoru" R4
. Vektor (t, x, y, z)T
interpretujeme ako súradnice času (t) a
polohy (x, y, z), ktoré nejakej okamžitej bodovej udalosti v trojrozmernom fyzikálnom
priestore priradí pozorovateľ P, a vektor (t , x , y , z )T
ako súradnice, ktoré jej priradí
pozorovateľ P , ktorý sa vzhľadom na P pohybuje rovnomerne priamočiaro rýchlosťou
v v smere osi x (pričom počiatky ich súradných sústav sú zhodne stanovené okami-
hom a miestom ich stretnutia, kedy tiež splývajú ich príslušné súradné osi). Galileova
transformácia potom udáva vzťah medzi týmito súradnicami, ku ktorému dospejeme na
základe princípov klasickej mechaniky. Je v nej zachytený newtonovský princíp absolút-
neho času a priestoru, rovnakého pre všetkých pozorovateľov nezávisle od ich pohybu,
a galileovský princíp relatívnosti pohybu, ktorý sa prejavuje v rovnocennosti súradných
sústav ľubovoľných navzájom rovnomerne priamočiaro sa pohybujúcich pozorovateľov.
Je známe, že Galileova transformácia sa veľmi dobre zhoduje so skutočnosťou pre rých-
losti v z
"
bežného života", ktoré sú malé v porovnaní s rýchlosťou svetla. Pre rýchlosti
blízke rýchlosti svetla však stráca svoju platnosť a treba ju nahradiť tzv. Lorentzovou
transformáciou, s ktorou sa zoznámime neskôr.
6.5. Priestory lineárnych zobrazení
Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Ak zabudneme na štruktúru vek-
torového priestoru vo V , t. j. V budeme považovať len za množinu, môžeme vytvoriť
vektorový priestor UV
všetkých zobrazení f : V  U s operáciami súčtu a skalárneho
násobku definovanými po zložkách (pozri odstavec 1.6.5). Potom pre množinu L(V, U)
všetkých lineárnych zobrazení : V  U, samozrejme, platí L(V, U)  UV
.
6.5.1. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom L(V, U) je
lineárny podpriestor vektorového priestoru UV
. Teda L(V, U) je vektorový priestor nad
poľom K.
Dôkaz. Treba overiť, že pre ľubovoľné a, b  K lineárna kombinácia  = a + b
lineárnych zobrazení , : V  U, definovaná pre x  V predpisom
(x) = a(x) + b(x),
je tiež lineárne zobrazenie : V  U. Zvoľme x, y  V , c, d  K. Priamym výpočtom
dostávame
(cx + dy) = a(cx + dy) + b(cx + dy) = a(c(x) + d(y)) + b(c(x) + d(y))
= c(a(x) + b(x)) + d(a(y) + b(y)) = c(x) + d(y).
Teda   L(V, U).
12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
6.5.2. Tvrdenie. Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom K a
dim U = m, dim V = n. Potom
L(V, U) = Km×n
,
teda dim L(V, U) = mn.
Dôkaz. Zvoľme bázy  v priestore U a  v priestore V . Z výsledkov predchádzajúceho
paragrafu vyplýva, že priradenie   (), je bijekcia L(V, U)  Km×n
. Stačí teda
dokázať, že je to aj lineárne zobrazenie, to znamená, že pre a, b  K, ,   L(V, U)
platí
(a + b), = a(), + b(),.
To je však zrejmé. Čitateľovi, ktorý má nejaké pochybnosti, odporúčame, aby si jedno-
duchým výpočtom porovnal stĺpce matíc na ľavej a pravej strane.
Na maticu (), sa teda možno dívať ako na súradnice vektora   L(V, U) v pries-
tore Km×n
, vzhľadom na dvojicu báz , .
Lineárne zobrazenie : V  K z vektorového priestoru V do poľa K sa nazýva
lineárny funkcionál alebo lineárna forma na V . Vektorový priestor L(V, K) všetkých
lineárnych foriem na V sa nazýva duálny priestor alebo len krátko duál vektorového
priestoru V . Budeme používať označenie L(V, K) = V 
Keďže v poli K budeme vždy uvažovať len kanonickú bázu pozostávajúcu z jediné-
ho vektora 1  K, ľubovoľná báza  v konečnorozmernom priestore V určuje lineárny
izomorfizmus V 
 V daný predpisom   ()1,. Tým sme dokázali nasledujúce
tvrdenie.
6.5.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľný konečnorozmerný vektorový priestor V nad poľom K
platí V  = V .
Uvedomme si, že matica ()1, lineárneho funkcionálu : V  K je riadkový vektor
z priestoru K1×n
. To nám odkrýva nový pohľad na vektorový priestor riadkov K1×n
.
Pri voľbe kanonickej bázy  v stĺpcovom priestore Kn×1
možno riadkový priestor K1×n
stotožniť s duálom Kn×1 
stĺpcového priestoru Kn×1
.
Ešte raz podčiarknime, že izomorfizmus konečnorozmerného priestoru V a jeho duálu
V 
závisí od výberu bázy vo V . Na druhej strane, pre ľubovoľný vektorový priestor V
možno definovať kanonické, t. j. od výberu bázy nezávislé zobrazenie z priestoru V do
jeho druhého duálu V 
dané predpisom x  x, kde
x() = (x)
pre x  V ,   V 
.
6.5.4. Veta. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. Potom
(a) x  x je injektívne lineárne zobrazenie V  V 
;
(b) ak V je konečnorozmerný, tak x  x je lineárny izomorfizmus V  V 
.
Dôkaz. Najprv ukážeme, že pre každé x  V vôbec platí x  V 
, t. j. x je lineárny
funkcionál na priestore V 
. Pre ,   V 
, a, b  K jednoduchý výpočet dáva
x(a + b) = (a + b)(x) = a(x) + b(x) = ax() + bx().
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 13
(a) Pre x  V označme x = (x). Dokážeme, že : V  V 
je lineárne zobrazenie.
Zvoľme x, y  V c, d  K. Treba overiť, že zobrazenia (cx + dy) a c(x) + d(y) sa
rovnajú, t. j. že každému   V 
priradia tú istú hodnotu. Počítajme
(cx + dy)() = (cx + dy) = c(x) + d(y)
= cx() + dy() = (c(x) + d(y))().
Injektívnosť zobrazenia  spoznáme podľa jeho jadra. Stačí si uvedomiť, že pre ľubovoľné
0 = x  V existuje   V 
také, že (x) = 0.1
Potom
(x)() = x() = (x) = 0,
teda (x) sa nerovná identicky nulovému zobrazeniu 0: V 
 K, ktoré je nulou vo V 
.
Preto x / Ker  pre x = 0, čiže Ker  = {0}.
(b) Ak V je konečnorozmerný, tak s vyžitím vety 6.2.3, už dokázanej časti (a) a
tvrdenia 6.5.3 dostávame
dim Im  = dim V - dim Ker  = dim V = dim V 
= dim V 
.
Preto Im  = V 
, čiže  je i surjektívne.
Každý vektor x  V tak definuje lineárny funkcionál x na duálnom priestore V 
. Pri-
tom konečnorozmerný vektorový priestor V možno prostredníctvom priradenia x  x
prirodzene stotožniť s duálom priestoru V 
. Napr. stĺpcový priestor Kn×1
možno sto-
tožniť s duálom riadkového priestoru K1×n
. Vo všeobecnom prípade možno V stotožniť
s lineárnym podpriestorom Im  = {x; x  V } jeho druhého duálu V 
.
Poznámka. Prostriedkami, ktoré presahujú rámec tohto kurzu, možno dokázať, že V =
V 
a V = V 
pre každý nekonečnorozmerný vektorový priestor V . Zjednodušene po-
vedané, duál V 
je vždy
"
podstatne väčší" než pôvodný priestor V a druhý duál V 
je
"
ešte väčší". Teda ani x  x nemôže byť surjektívne zobrazenie V  V 
.
Cvičenia
1. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a : V  U je lineárne zobrazenie. Potom
(0) = 0 a pre každé x  V platí (-x) = -(x). Dokážte.
2. Dokážte tvrdenie 6.1.1.
3. Nech A  Km×n. Uvažujme lineárne zobrazenie : Km  Kn dané predpisom (x) = A  x.
Ako súvisí jadro Ker  s homogénnou sústavou lineárnych rovníc A  x = 0?
4. (a) V príkladoch 6.1.5­9 podrobne overte, že v nich definované zobrazenia sú naozaj lineárne.
(b) Pre každé z uvedených lineárnych zobrazení určte jeho jadro a obraz.
5. Zdôvodnite, prečo žiadne z nasledujúcich zobrazení R  R nie je lineárne:
(a) (x) = 1 - 3x, (b) (x) = |x|,
(c) f(x) = x2, (d) g(x) = x3,
1V konečnorozmernom prípade ide o očividné tvrdenie. V nekonečnorozmernom prípade však jeho
dôkaz využíva existenciu Hamelovej bázy vo V , prípadne si vyžaduje nejaký iný vhodný dôsledok
axiómy výberu (pozri záverečnú časť paragrafu 5.5 a cvičenie 15).
14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(e) h(x) = |x|, (f) k(x) = 3

x,
(g) l(x) = ln(1 + x2), (h) s(x) = sin x,
(i) (x) = ex, (j) (x) = sinh x = 1
2
(ex - e-x).
6. (a) Uvažujte C ako vektorový priestor nad poľom R. Ukážte, že komplexná konjugácia z  z je
lineárne zobrazenie C  C.
(b) Uvažujte C ako vektorový priestor nad poľom C. Ukážte, že komplexná konjugácia z  z nie
je lineárne zobrazenie C  C.
7. Lineárne zobrazenie : R3  R2 je dané predpisom (x) = (x1 + 2x2, 3x1 + 7x2 - x3)T pre
x = (x1, x2, x3)T  R3 .
(a) Napíšte maticu lineárneho zobrazenia  vzhľadom na kanonické bázy (3) v R3, (2) v R2.
(b) Napíšte maticu  vzhľadom na bázy  = (e1, e2, v) v R3,  = (u1, u2) v R2, kde v =
(-2, 1, 1)T , u1 = (1, 3)T , u2 = (2, 7)T .
(c) Napíšte priamo nejaké bázy lineárnych podpriestorov Ker   R3 a Im   R2.
8. Báza  vektorového priestoru R3 je tvorená stĺpcami matice
1 1 2
2 0 2
3 -1 1
a báza  vektorového
priestoru R4 je tvorená stĺpcami matice
1 2 3 1
1 0 -1 0
1 -1 1 -1
0 1 2 1
. Lineárne zobrazenie  : R3  R4 má
vzhľadom na tieto bázy maticu A = (), =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
.
(a) Napíšte priamo nejaké bázy lineárnych podpriestorov Ker   R3 a Im   R4.
(b) Napíšte maticu  vzhľadom na kanonické bázy (3) v R3, (4) v R(3).
9. Nech n  N. Uvažujme deriváciu f  f ako lineárnu transformáciu D: R(n)[x]  R(n)[x].
(a) Určte lineárne podpriestory Ker D a Im D v R(n)[x] a nájdite nejaké ich bázy. Zistite dimenzie
oboch podpriestorov a overte vzťah dim Ker D + dim Im D = n.
(b) Napíšte maticu lineárnej transformácie D vzhľadom na bázu (n) = (1, x, x2, . . . , xn).
(c) Napíšte maticu D vzhľadom na bázu (n) = 1, 1
1!
x, 1
2!
x2, . . . , 1
n!
xn .
10. Operátor diferencie : R(n)[x]  R(n)[x] je daný predpisom (f)(x) = f(x + 1) - f(x).
(a) Dokážte, že  je lineárny operátor.
(b) Určte lineárne podpriestory Ker  a Im  v R(n)[x] a nájdite nejaké ich bázy. Zistite dimenzie
oboch podpriestorov.
(c) Napíšte maticu lineárnej transformácie  vzhľadom na bázu (n) = (1, x, x2, . . . , xn).
(d) Dokážte, že polynómy 1, x, [x]2, . . . , [x]n, kde [x]k = x(x - 1) . . . (x - k + 1), tvoria bázu
vektorového priestoru R(n)[x].
(e) Napíšte maticu  vzhľadom na bázu (n) = (1, x, [x]2, . . . , [x]n).
(f) Nájdite nejakú bázu vektorového priestoru R(n)[x], vzhľadom na ktorú má  maticu tvaru
0n,1 In
0 01,n
.
11. Pre ľubovoľné ,   R vynásobením príslušných matíc dokážte uvedené rovnosti a interpretujte
ich v reči lineárných transformácií roviny R2:
R  R = R+, R  S = S+/2,
S  S = R2(-), S  R = S-/2.
12. Predpismi (x1, x2, x3)T = (x1 - 2x3, 2x1 + x2 + 3x4, -x1 - x4, x3 + 2x4)T , (x1, x2, x3, x4)T =
(2x1 - x3, 3x3 + x4, x2 + x4)T sú dané lineárne zobrazenia : R3  R4,  : R4  R3. Napíšte
matice lineárnych zobrazení   : R3  R3,    : R4  R4 vzhľadom na kanonické bázy
vektorových priestorov R3 resp. R4.
13. Nech S, T sú lineárne podpriestory konečnorozmerného vektorového priestoru V .
(a) Priradením (x, y)  x + y je definované surjektívne lineárne zobrazenie : S × T  S + T.
Dokážte.
(b) Nájdite jadro Ker  a dokážte, že  je injektívne práve vtedy, keď S  T = {0}.
6. LINEÁRNE ZOBRAZENIA 15
(c) Odvoďte z toho, že vektorové priestory S × T a S + T sú izomorfné práve vtedy, keď S + T =
S  T.
(d) Zovšeobecnite na ľubovoľný konečný počet lineárnych podpriestorov (pozri cvičenie 4.8).
(e) V ktorej časti dôkazu tvrdenia (c) bolo treba použiť predpoklad dim V < ? Ukážte, že by
stačilo predpokladať dim S <  a dim T < .
14. Galileova transformácia
"
časopriestoru" R4 je daná priradením (t, x, y, z)T  (t , x , y , z )T , kde
t = t, x = x-vxt, y = y-vyt, z = z-vzt, pričom vektor v = (vx, vy, vz)T  R3 interpretujeme
ako rýchlosť (pozri príklad 6.4.7).
(a) Napíšte maticu Gv Galileovej transformácie.
(b) Uvažujme dvoch pozorovateľov P a P . Vysvetlite, za akých podmienok je uvedenou trans-
formáciou sprostredkovaný vzťah medzi časmi a priestorovými súradnicami udalostí z hľadiska
pozorovateľov P a P . (Riešte otázku v rámci klasikej fyziky, bez ohľadu na relativistické efekty.)
(c) Vynásobením matíc dokážte vzťah Gu  Gv = Gu+v . Vysvetlite, prečo sa tento vzťah nazýva
klasickým pravidlom skladania rýchlostí.
15. (a) Dokážte nasledujúcu konečnorozmernú verziu Hahnovej-Banachovej vety: Nech V je koneč-
norozmerný vektorový priestor nad poľom K, S  V je vlastný lineárny podpriestor a  : S  K
je lineárny funkcionál. Potom pre každé x  V S existuje lineárny funkcionál   V  taký, že
(x) = 0 a  S = .
(b) Zovšeobecnite tvrdenie (a) aj na nekonečnorozmerné vektorové priestory. (Návod: Predpokla-
dajte, že V má Hamelovu bázu X takú, že x  X a X  S je Hamelova báza podpriestoru S ­
pozri záverečnú časť paragrafu 5.5.)
(c) Pre každý vektor 0 = x  V existuje lineárny funkcionál   V  taký, že (x) = 0. Dokážte
jednak priamo podľa vzoru (a) resp. (b), jednak z nich odvoďte ako špeciálny prípad.
16. Nech K je konečné pole, ktoré má práve q prvkov. Potom q je mocninou nejakého prvočísla.
Dokážte. (Návod: Ukážte, že K nesie prirodzenú štruktúru vektorového priestoru nad poľom Zp,
kde p = char K.)
17. Nech K je konečné pole, q = #K a U, V sú vektorové priestory nad K s konečnými rozmermi
dim U = m, dim V = n. Akú dimenziu a koľko prvkov má vektorový priestor L(V, U) všetkých
lineárnych zobrazení V  U? Porovnajte s dimenziou a počtom prvkov vektorového priestoru
UV všetkých zobrazení V  U. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané zobrazenie f  UV
bude lineárne?