7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY V tejto kapitole zavedieme pojem inverznej matice k danej štvorcovej matici a dáme ho do súvisu s pojmom inverzného lineárneho zobrazenia. Ďalej sa naučíme počítať inverzné matice a matice prechodu z jednej súradnej bázy do druhej. Nakoniec preskúmame vplyv zmeny bázy na maticu lineárneho zobrazenia. Začneme však s pojmom hodnosti matice, ktorý nám umožní rozhodnúť o existencii inverznej matice a ­ ako uvidíme neskôr ­ bude nám ešte veľakrát užitočný. V celej kapitole K označuje pevné pole, m, n, p sú kladné celé čísla. 7.1. Hodnosť matice V tomto paragrafe je potrebné rozlišovať medzi vektorovými priestormi riadkových resp. stĺpcových vektorov. Nebudeme teda používať nešpecifikované označenie Kn , ale pries- tor riadkových vektorov budeme značiť K1×n a priestor stĺpcových vektorov Kn×1 . Pripomeňme, že ri(A) K1×n označuje i-tý riadok a sj(A) Km×1 zase j-tý stĺpec matice A = (aij)m×n. Túto maticu teda môžeme zapísať v blokových tvaroch A = r1(A) r2(A) ... rm(A) = (s1(A), s2(A), . . . , sn(A)). Riadkovou hodnosťou hr(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vek- torového priestoru K1×n generovaného riadkami matice A. Podobne, stĺpcovou hodnos- ťou hs(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru Km×1 generovaného stĺpcami matice A. Teda hr(A) = dim[r1(A), r2(A), . . . , rm(A)], hs(A) = dim[s1(A), s2(A), . . . , sn(A)] Označme : Kn×1 Km×1 lineárne zobrazenie dané predpisom (x) = A x pre x Kn×1 . Pripomeňme, že hodnosťou lineárneho zobrazenia nazývame dimenziu jeho obrazu, t. j. h() = dim Im . V našom prípade zrejme platí h() = hs(A), keďže lineárny podpriestor Im Km×1 je generovaný stĺpcami matice A. 7.1.1. Lema. Nech A Km×n . (a) Nech matica B vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO. Potom [r1(A), r2(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), r2(B), . . . , rm(B)]. (b) Nech matica C vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO. Potom [s1(A), s2(A), . . . , sn(A)] = [s1(C), s2(C), . . . , sn(C)]. 1 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Dôkaz. Zrejme pre ľubovoľné vektory u1, . . . , uk v každom vektorovom priestore V a ľubovoľný skalár c K platí: [u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , uk] = [u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , uk], [u1, . . . , ui, . . . , uk] = [u1, . . . , cui, . . . , uk] (ak c = 0), [u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , uk] = [u1, . . . , ui, . . . , cui + uj, . . . , uk]. 7.1.2. Tvrdenie. Pre každú maticu A Km×n platí hr(A) = hs(A). Dôkaz. Upravme A pomocou ERO na redukovaný stupňovitý tvar B Km×n a označme k počet nenulových riadkov v matici B. Podľa práve dokázanej lemy platí [r1(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), . . . , rm(B)]. Preto tiež hr(A) = hr(B). Keďže nenu- lové riadky matice B sú zrejme lineárne nezávislé (rozmyslite si prečo), hr(B) = k, čo je vlastne počet stĺpcov matice B, v ktorých sa nachádza vedúci prvok nejakého jej riadku. Označme 1 j1 < . . . < jk n indexy týchto stĺpcov. Podľa tvrde- nia 4.5.3 vektory sj1 (A), . . . , sjk (A) sú lineárne nezávislé a platí [s1(A), . . . , sn(A)] = [sj1 (A), . . . , sjk (A)]. Preto tiež hs(A) = k = hr(A). Keďže riadková a stĺpcová hodnosť ľubovoľnej matice A splývajú, túto ich spo- ločnú hodnotu budeme odteraz značiť jednoducho h(A) a nazývať hodnosťou matice A. Zrejme pre A Km×n je h(A) min(m, n). Práve vykonané úvahy majú dva bezprostredné dôsledky. 7.1.3. Tvrdenie. Nech A Km×n . Potom h(A) = h(AT ). 7.1.4. Tvrdenie. Nech u1, . . . , un Km×1 sú ľubovoľné vektory a A Km×n je matica taká, že sj(A) = uj pre 1 j n. Potom (a) u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď h(A) = n; (b) [u1, . . . , un] = Km×1 práve vtedy, keď h(A) = m. Všimnite si, že prípad (a) môže nastať iba vtedy, keď n m; naopak, (b) môže nastať jedine za predpokladu m n. Sami si sformulujte a premyslite analogické tvrdenia pre riadkové vektory. Ešte si dokážeme jeden odhad hodnosti súčinu matíc pomocou hodností jednotlivých činiteľov. 7.1.5. Tvrdenie. Nech A Km×n , B Kn×p . Potom h(A B) min h(A), h(B) . Dôkaz. Označme : Kn Km , : Kp Kn lineárne zobrazenia dané predpismi (x) = A x pre x Kn resp. (y) = B y pre y Kp . Zrejme Im( ) Im , preto h(A B) = h( ) h() = h(A). S využitím toho druhý potrebný odhad už dostaneme priamym výpočtom h(A B) = h (A B)T = h BT AT h BT = h(B). 7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 3 7.2. Inverzné matice a inverzné lineárne zobrazenia Nech A Kn×n , t. j. A je štvorcová matica typu n × n. Inverznou maticou k matici A rozumieme maticu B Kn×n takú, že A B = In = B A. Zrejme k danej štvorcovej matici A existuje najviac jedna inverzná matica (rozmyslite si prečo). Túto jednoznačne určenú maticu (ak existuje) budeme značiť A-1 . Nasledujúca veta je bezprostredným dôsledkom súvisu medzi lineárnymi zobraze- niami a ich maticami. 7.2.1. Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a dim U = dim V = n. Nech ďalej , sú nejaké bázy v U, resp. vo V a A = (), je matica lineárneho zobrazenia : V U vzhľadom na bázy , . Potom k matici A existuje inverzná matica A-1 práve vtedy, keď k zobrazeniu existuje inverzné zobrazenie -1 . V tom prípade A-1 je maticou lineárneho zobrazenia -1 : U V vzhľadom na bázy , , t. j. A-1 = (), -1 = -1 , . Hovoríme, že štvorcová matica A Kn×n je regulárna, ak k nej existuje inverzná matica A-1 ; v opačnom prípade hovoríme, že A je singulárna. 7.2.2. Veta. Matica A Kn×n je regulárna práve vtedy, keď h(A) = n. Dôkaz. Označme : Kn Kn lineárnu transformáciu danú predpisom (x) = Ax pre x Kn . K matici A existuje inverzná matica A-1 práve vtedy, keď k zobrazeniu exis- tuje inverzné zobrazenie -1 , t. j. práve vtedy, keď je bijekcia. Podľa dôsledku 6.2.4 to nastane práve vtedy, keď je surjekcia, čiže Im = Kn , čo je ekvivalentné s rovnosťou dim Im = n. Na dokončenie dôkazu si stačí spomenúť, že h(A) = h() = dim Im . Z praktických dôvodov bude užitočné si uvedomiť, že na to, aby sme sa presvedčili, že matica B Kn×n je inverzná k matici A Kn×n , stačí overiť len jednu (a to hocktorú) z rovností A B = In, B A = In. 7.2.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľné A, B Kn×n platí A B = In práve vtedy, keď B A = In. Dôkaz. Označme , : Kn Kn lineárne transformácie dané pre x Kn predpismi (x) = A x, resp. (x) = B x. Nech A B = In. To nastane práve vtedy, keď = idKn . Z toho vyplýva, že je surjekcia a je injekcia (pozri paragraf 0.3). Keďže , sú lineárne transformácie konečnorozmerného vektorového priestoru, podľa dôsledku 6.2.4 to znamená, že aj sú bijekcie, teda lineárne izomorfizmy, a = -1 . Potom však B = A-1 , preto tiež B A = In. Obrátená implikácia vyplýva zo symetrie tvrdenia. S využitím posledného tvrdenia si ako cvičenie overte nasledujúce vzorce, z ktorých už vyplýva zvyšok tvrdenia. 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA 7.2.4. Tvrdenie. Nech A, B Kn×n sú regulárne matice. Potom aj matice A-1 , A B a AT sú regulárne a platí: A-1 -1 = A, (A B)-1 = B-1 A-1 , AT -1 = A-1 T . 7.3. Realizácia ERO a ESO pomocou násobenia matíc Prakticky všetky úlohy lineárnej algebry, s ktorými sme sa doteraz stretli, sme riešili tak, že sme danú situáciu reprezentovali nejakou vhodnou maticou, tú sme ďalej po- mocou ERO upravili na redukovaný stupňovitý tvar a tento výsledný tvar sme potom interpretovali v závislosti na charaktere pôvodnej úlohy. Prezraďme už vopred, že zatiaľ sme všetky úlohy, ktoré sa riešia úpravou matíc pomocou ERO prípadne ESO, zďaleka nevyčerpali. Naopak, táto metóda nás bude v lineárnej algebre neustále sprevádzať. Skôr než pristúpime k ďalšiemu využitiu tejto metódy, tentoraz pri výpočte inverznej matice, však bude potrebné si uvedomiť, že ERO aj ESO možno realizovať pomocou násobenia matíc. 7.3.1. Tvrdenie. Nech A Km×n . (a) Nech B Km×n vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO. Označme E maticu, ktorá vznikne z matice Im vykonaním tej istej ERO. Potom B = E A. (b) Nech C Km×n vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO. Označme F maticu, ktorá vznikne z matice In vykonaním tej istej ESO. Potom C = A F . Dôkaz. Možno overiť priamym výpočtom pre každý jednotlivý druh ERO resp. ESO. Ako cvičenie si to skúste napr. pre maticu A typu 3 × 2, resp. 3 × 3. Štvorcové matice E Kn×n , ktoré vzniknú z jednotkovej matice In vykonaním jedinej ERO alebo ESO, nazývame elementárne matice. Posledná veta teda hovorí, že ľubovoľnú ERO (ESO) na matici A možno realizovať vynásobením matice A vhodnou elementárnou maticou E zľava (sprava). 7.4. Výpočet inverznej matice Návod na výpočet inverznej matice k danej štvorcovej matici A Kn×n si možno najľahšie zapamätať v tvare nasledujúcej schémy: (A | In) ERO --- (In | A-1 ). Tento postup má navyše tú výhodu, že sa nemusíme vopred starať, či inverzná matica k matici A existuje alebo nie. Ak A-1 existuje, tak ju nakoniec vypočítame, ak neexis- tuje, tak to odhalíme počas nášho výpočtu a ďalej v ňom nebudeme pokračovať. Celý postup si teraz vysvetlíme trochu podrobnejšie. Bloková matica (A | In) vznikne tak, že matice A a In jednoducho napíšeme vedľa seba. Túto maticu teraz budeme upravovať pomocou ERO tak, aby sme v ľavej časti z matice A dostali jednotkovú maticu In. Akonáhle sa nám to podarí, matica v pravej časti výslednej blokovej matice je už hľadaná matica A-1 . Ak sa nám to nepodarí, t. j. 7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 5 matica A nie je riadkovo ekvivalentná s jednotkovou maticou (čo nastane práve vtedy, keď h(A) < n, a spoznáme to podľa toho, že sa nám v ľavej časti objaví nejaký nulový riadok), tak inverzná matica k matici A neexistuje. Korektnosť uvedeného postupu vyplýva z nasledujúceho očividného tvrdenia a sku- točnosti, že ERO možno reprezentovať násobením elementárnymi maticami zľava. Tak- tiež tu hrá úlohu fakt, že pre B Kn×n platí B = A-1 práve vtedy, keď B A = In, uvedený v tvrdení 7.2.3. 7.4.1. Tvrdenie. Nech A Kn×n a E1, E2, . . . , Ek Kn×n sú elementárne matice také, že Ek . . . E2 E1 A = In. Potom A-1 = Ek . . . E2 E1. Poznamenajme, že k rovnakému cieľu vedie tiež postup reprezentovaný schémou: A In ESO --- In A-1 . Rozmyslite si prečo a sformulujte príslušné tvrdenie. Z práve vykonaných úvah vyplývajú nasledujúce tri dôsledky. Posledný z nich je čiastočným obrátením odhadu hodnosti súčinu matíc za predpokladu regularity aspoň jedného z činiteľov. 7.4.2. Tvrdenie. Matica A Kn×n je regulárna práve vtedy, keď ju možno rozložiť na súčin A = E1 . . . Ek konečného počtu elementárnych matíc E1, . . . , Ek Kn×n . 7.4.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľné A, B Km×n platí: (a) A B, t. j. A je riadkovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna matica P Km×m taká, že A = P B; (b) A B, t. j. A je stĺpcovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna matica Q Kn×n taká, že A = B Q. 7.4.4. Tvrdenie. Nech A Km×n , P Km×m , Q Kn×n , pričom P , Q sú regu- lárne matice. Potom h(A) = h(P A) = h(A Q) = h(P A Q). Trochu všeobecnejšie možno uvedené úvahy použiť na násobenie ľubovoľnej matice vhodného rozmeru maticou A-1 (ak existuje) zľava resp. sprava. Tieto operácie možno uskutočniť pre regulárnu A Kn×n a ľubovoľné B Kn×m , C Km×n podľa nasle- dujúcich schém: (A | B) ERO --- (In | A-1 B), A C ESO --- In C A-1 . Ešte si všimnime, že v špeciálnom prípade sme niečo podobné vlastne robili už dávno, pri riešení sústav lineárnych rovníc úpravou na redukovaný stupňovitý tvar pomocou ERO. Aj tento postup totiž možno vyjadriť pomocou schémy (A | b) ERO --- (B | c), 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA ktorá má pre regulárnu A Kn×n tvar (A | b) ERO --- (In | A-1 b). Ako vedľajší produkt našich úvah tak dostávame nasledujúci výsledok o riešení sústav n lineárnych rovníc o n neznámych. 7.4.5. Veta. Nech A Kn×n , b Kn . Ak A je regulárna, tak sústava A x = b má jediné riešenie x = A-1 b. 7.5. Matica prechodu Nech V je vektorový priestor nad poľom K a = (u1, . . . , un), = (v1, . . . , vn) sú jeho dve bázy. Maticou prechodu z bázy do bázy nazývame maticu identického zobrazenia idV : V V vzhľadom na bázy , , ktorú značíme P,. Teda P, = (idV ),. Podľa definície matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na dané bázy (pozri para- graf 6.4), stĺpce matice prechodu P, sú tvorené súradnicami vektorov bázy vzhľa- dom na bázu , t. j. sj(P,) = (vj) pre 1 j n. Teda P, = (v1), (v2), . . . , (vn) , a podľa vety 6.4.1 je táto matica jednoznačne určená podmienkou transformácie súrad- níc (x) = P, (x) pre ľubovoľné x V . Ak do zrejmej rovnosti x = (x) (pozri paragraf 5.3) budeme za x postupne dosadzovať vektory v1, . . . , vn bázy , s využitím vzťahu pre stĺpce súčinu matíc z pa- ragrafu 2.3 dostaneme vj = (vj) = sj(P,) = sj( P,) pre každé 1 j n. Tým sme dostali ďalší dôležitý vzťah, ktorý jednoznačne charak- terizuje maticu prechodu P,: P, = . (Podotýkame, že súčin P, treba chápať v zmysle paragrafu 2.3.) Zhrnutím vykonaných úvah dostávame tri ekvivalentné charakterizácie matice pre- chodu. 7.5.1. Tvrdenie. Nech , sú bázy n-rozmerného vektorového priestoru V nad poľom K. Potom pre ľubovoľnú maticu P Kn×n nasledujúce podmienky sú ekvivalentné: (i) P = (idV ),, t. j. P je matica prechodu z bázy do bázy ; (ii) (x) = P (x) pre každé x V ; (iii) P = . Z definície matice prechodu a vety 6.4.2 okamžite vyplývajú nasledujúce rovnosti. 7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 7 7.5.2. Tvrdenie. Nech , , sú bázy konečnorozmerného vektorového priestoru V nad poľom K. Potom P, = In, P, = P, -1 , P, P, = P,, Z druhej z uvedených podmienok vidno, že matica prechodu P, je vždy regulár- na. Taktiež naopak, každá regulárna matica P Kn×n je maticou prechodu medzi vhodnou dvojicou báz. 7.5.3. Tvrdenie. Nech V je n-rozmerný vektorový priestor nad poľom K, P = (pij) Kn×n je ľubovoľná regulárna matica a = (u1, . . . , un) je nejaká báza vo V . Položme = (v1, . . . , vn) = P , = (w1, . . . , wn) = P -1 , t. j. pre 1 j n platí vj = p1ju1 + . . . + pnjun a wj = q1ju1 + . . . + qnjun, kde P -1 = (qij)n×n. Potom P je maticou prechodu z bázy do bázy a taktiež z bázy do bázy , čiže P = P, = P,. Špeciálne, P je maticou prechodu z bázy (s1(P ), . . . , sn(P )) do bázy = (e1, . . . , en) v Kn a taktiež z bázy do bázy (s1(P -1 ), . . . , sn(P -1 )). V prípade, keď V = Kn je priestor stĺpcových vektorov, možno každú jeho bázu stotožniť s príslušnou regulárnou maticou, ktorej stĺpcami sú vektory danej bázy. Pri takomto stotožnení je návod na výpočet matice prechodu obsiahnutý v nasledujúcom tvrdení. 7.5.4. Tvrdenie. Nech = (u1, . . . , un), = (v1, . . . , vn) sú dve bázy stĺpcového vektorového priestoru Kn . Potom P, = -1 . Dôkaz. Z podmienky P, = okamžite vyplýva požadovaná rovnosť. To nám dáva návod na výpočet matice prechodu pre bázy , vektorového priestoru Kn podľa už známej schémy ( | ) ERO --- (In | P,) = ( | -1 ). 7.6. Matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne bázy V tomto článku sa budeme zaoberať vplyvom zmeny báz na maticu lineárneho zob- razenia, presnejšie, vzťahom medzi maticami daného lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne dvojice báz. 7.6.1. Veta. Nech : V1 V2 je lineárne zobrazenie medzi konečnorozmernými vek- torovými priestormi nad poľom K, 1, 1 sú dve bázy priestoru V1 a 2, 2 sú dve bázy priestoru V2. Potom ()2,1 = P2,2 ()2,1 P1,1 . 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Dôkaz. Označme A = ()2,1 , B = ()2,1 matice lineárneho zobrazenia vzhľa- dom na bázy 1, 2, resp. bázy 1, 2. Pre ľubovoľné x V1 platí: B (x)1 = (x)2 = P2,2 (x)2 = P2,2 A (x)1 = P2,2 A P1,1 (x)1 . Na základe vety 6.4.1 z toho okamžite vyplýva dokazovaná rovnosť B = P2,2 A P1,1 . Poslednú transformačnú formulku si možno najľahšie zapamätať pomocou nasledu- júceho diagramu: (V1, 1) A ---- (V2, 2) P1,1 P2,2 (V1, 1) ---- B (V2, 2) Nezabudnite, že zobrazenia skladáme " v obrátenom poradí", a tomu musí zodpovedať aj " obrátené poradie" násobenia matíc! 7.6.2. Príklad. Nech : Kn Km je lineárne zobrazenie a , sú nejaké bázy priestorov Km resp. Kn . Označme A = (),, M = ()(m),(n) matice zobrazenia vzhľadom na bázy , resp. vzhľadom na kanonické bázy (n) , (m) . Podľa poslednej vety platí: A = P,(m) M P(n),, M = P(m), A P,(n) . Ak stotožníme každú bázu s regulárnou maticou, ktorej stĺpce sú vektory tejto bázy, tak uvedené rovnosti nadobudnú tvar A = -1 Im M I-1 n = -1 M , M = I-1 m A -1 In = A -1 , umožňujúci priamy výpočet jednej z matíc A, M na základe znalosti báz , a druhej z nich. Položme si teraz obrátenú otázku. Za akých podmienok sú matice A, B Km×n maticami toho istého lineárneho zobrazenia : V U vzhľadom na nejaké dve (možno no nie nutne rôzne) dvojice báz konečnorozmerných vektorových priestorov U, V ? Od- poveď na ňu dáva nasledujúca veta. 7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 9 7.6.3. Veta. Nech U je m-rozmerný a V je n-rozmerný vektorový priestor nad po- ľom K. Potom pre ľubovoľné matice A, B Km×n nasledujúce podmienky sú ekviva- lentné: (i) A, B sú maticami toho istého lineárneho zobrazenia : V U vzhľadom na nejaké dve (možno no nie nutne rôzne) dvojice báz priestorov U, V ; (ii) existujú regulárne matice P Km×m , Q Kn×n také, že B = P A Q; (iii) h(A) = h(B). Dôkaz. Ekvivalencia (i) (ii) je priamym dôsledkom vety 7.6.1 a tvrdenia 7.5.3. Impli- kácia (ii) (iii) vyplýva z tvrdenia 7.4.4. Zostáva dokázať (iii) (ii). Označme h = h(A) = h(B). Pomocou ERO upravíme A aj B na redukovaný trojuholníkový tvar A = P1 A, resp. B = P2 B, kde P1, P2 sú regulárne matice. Zrejme A , B majú rovnaký počet nenulových riadkov rovný h. A aj B možno ďalej pomocou ESO upraviť na blokový tvar A = A Q1 = Ih 0h,n-h 0m-h,h 0m-h,n-h = B Q2 = B , kde Q1, Q2 sú regulárne matice. Stačí pomocou vedúcich prvkov jednotlivých riadkov vynulovať prípadné ďalšie nenulové prvky týchto riadkov a, ak treba, vymeniť poradie niektorých stĺpcov. Potom P1 A Q1 = P2 B Q2, teda B = P -1 2 P1 A Q1 Q-1 2 a matice P = P -1 2 P1, Q = Q1 Q-1 2 sú zrejme regulárne. Na základe dôkazu tejto vety okamžite dostávame záverečný výsledok. 7.6.4. Veta. Pre každé lineárne zobrazenie : V U medzi konečnorozmernými vek- torovými priestormi nad poľom K možno zvoliť bázu priestoru V a bázu priestoru U tak, že má vzhľadom na bázy , maticu v blokovom tvare (), = Ih 0h,n-h 0m-h,h 0m-h,n-h , kde n = dim V , m = dim U a h = h(). Skúste si túto vetu dokázať priamo a bližšie špecifikovať bázy a . (Návod: Spo- meňte si na dôkaz vety 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu.) Cvičenia 1. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a : V U je lineárne zobrazenie. Potom pre ľubovoľné vektory v1, . . . , vn V platí [v1, . . . , vn] = [(v1), . . . , (vn)]. Dokážte. Odvoďte z toho, že ak v1, . . . , vn generujú V , tak (v1), . . . , (vn) generujú Im . Špeciálne, stĺpce matice A Km×n generujú lineárny podpriestor Im Km, kde : Kn Km je dané predpisom (x) = A x. 2. Určte hodnosť matice A nad poľom K: (a) K = R, A = 2 2 -1 3 0 1 ; (b) K = C, A = 1+i 1+3i 2 3+i 5+5i 4-2i ; (c) K = Z7, A = 1 1 2 3 5 4 1 3 0 ; (d) K = Z17, A = 1 1 2 3 5 4 1 3 0 . 3. (a) Dokážte vzorce z tvrdenia 7.2.4. 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA (b) Dokážte, že pre ľubovoľnú maticu A Kn×n a k, l N platí Ak Al = Ak+l a (Ak)l = Akl. (c) Pre regulárnu maticu A Kn×n rozšírte definíciu jej mocniny Ak na ľubovovoľný celočíselný exponent k a dokážte rovnosti Ak Al = Ak+l, (Ak)l = Akl pre všetky k, l Z (porovnaj s cvičením 2.13). (d) Za akých okolností platí pre matice A, B Kn×n rovnosť (A B)k = Ak Bk pre ľubovoľné k N? (e) Za akých okolností platí pre regulárne matice A, B Kn×n rovnosť (A B)k = Bk Ak pre ľubovoľné k Z? (f) Nájdite príklad regulárnych matíc A, B R2×2 takých, že všetky štyri matice (A B)-2, (B A)-2, A-2 B-2, B-2 A-2 sú rôzne. Dá sa táto úloha riešiť aj bez počítania inverzných matíc? 4. Nech P Kn×n je regulárna matica. Potom pre ľubovoľné matice A Km×n, B Kn×q platí h(A P) = h(A), h(P B) = h(B). Dokážte. 5. Zistite, či uvedená matica A nad poľom K je regulárna; v tom prípade vypočítajte k nej inverznú maticu A-1: (a) K = Q, A = 3 2 1 4 2 1 1 0 1 ; (b) K = R, A = 1 2 6 0 1 3 0 0 1 ; (c) K = C, A = 1+2i 1-i i-2 1 ; (d) K = C, A = 1+2i 1-i i-2 1+i ; (e) K = Z2, A = 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ; (f) K = Z3, A = 1 1 0 1 0 1 0 1 1 . 6. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A-1 B (ak A je regulárna): (a) A = -2 1 3 -2 , B = 2 1 -1 3 2 -5 ; (b) A = 2 1 3 1 -2 0 3 0 3 , B = 2 1 2 2 -2 0 . Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu A C ­ mali by ste dostať B. 7. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A B-1 (ak B je regulárna): (a) A = -2 1 1 -3 0 5 0 2 3 , B = 0 1 1 0 2 5 1 0 0 ; (b) A = 2 5 1 0 7 4 , B = 2 1 2 2 . Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu C B ­ mali by ste dostať A. 8. Ná základe skúseností nadobudnutých v cvičeniach 5, 6 a 7 dokážte tvrdenie 7.3.1. 9. Nájdite inverzné matice k maticiam R, S z príkladov 6.4.3, 6.4.4. Vysvetlite geometrický význam získaných výsledkov. 10. Bázy , vektorového priestoru R3 sú tvorené stĺpcami matíc 1 1 1 0 1 1 0 0 1 resp. 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 . (a) Nájdite matice prechodu P, , P,, P, a P, . (b) Vektor x R3 má vzhľadom na bázu súradnice (2, 7, 1)T . Nájdite vektor x ako aj jeho súradnice vzhľadom na bázu . 11. Báza vektorového priestoru R3 je tvorená stĺpcami matice 1 0 1 2 1 3 0 2 1 . Nájdite bázy , pries- toru R3, ak poznáte matice prechodu P, = 1 2 1 2 1 2 1 0 1 a P, = 0 1 0 2 0 1 1 1 1 . Vypočítajte matice prechodu P, a P, . 12. Lineárne zobrazenie : R3 R4 je dané predpisom (x, y, z)T = (x + y, x - y, 3x + y + z, z)T . (a) Nájdite maticu zobrazenia vzhľadom na bázy priestoru R3 a priestoru R4 tvorené stĺpcami matíc 1 1 1 1 2 3 1 4 9 resp. 0 1 0 1 1 -1 1 -1 0 1 2 3 0 0 0 1 . (b) Nech x = (1, -4, 3)T R3. Nájdite súradnice vektora (x) R4 vzhľadom na bázu . (c) Vektor y R3 má vzhľadom na bázu súradnice (1, 1, 1)T . Nájdite vektor (y) R4. (d) Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi ­ vysvetlite ako. 7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 11 (e) Určte hodnosť h zobrazenia a nájdite nejaké bázy priestorov R3, R4, vzhľadom na ktoré má matica blokový tvar Ih 0 0 0 . Napíšte explicitne túto maticu. 13. Lineárne zobrazenie : R4 R3 má vzhľadom na bázy priestoru R4 a priestoru R3 tvorené stĺpcami matíc 1 1 1 1 1 0 1 0 1 -1 1 1 0 0 1 0 resp. 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 maticu A = 0 5 0 7 1 1 2 2 5 2 9 0 . (a) Nájdite maticu zobrazenia vzhľadom na kanonické bázy (4), (3). (b) Nech u = (2, 1, 0, -1)T R4. Nájdite súradnice vektora (u) R3 vzhľadom na bázu . (c) Vektor v R4 má vzhľadom na bázu súradnice (1, -1, 1, -1)T . Nájdite vektor (v) R3. (d) Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi ­ vysvetlite ako. (e) Určte hodnosť h zobrazenia a nájdite nejaké bázy priestorov R4, R3, vzhľadom na ktoré má matica blokový tvar Ih 0 0 0 . Napíšte explicitne túto maticu. 14. Dokážte, že = (n) = (1, 1 + x, (1 + x)2, . . . , (1 + x)n) je bázou vektorového priestoru R(n)[x] a nájdite matice prechodu P, , P,, kde = (n) = (1, x, x2, . . . , xn) je kanonická báza priestoru R(n)[x].